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Rongier - DLA/SDT/SP - J. Droz - DLA/SDA/SY/SV1
MODULE 1
CHAPITRE 2
Rappels de mécanique spatiale
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Rappels de mécanique spatialeSommaire
Mouvement d ’un corps dans l ’espace
Définition des coniques
Définition des paramètres orbitaux
Définition des orbites classiques
Quelques formules à retenir …
Traduction du mouvement au sol
Trace au sol
Visibilité
Stabilité du mouvement, notions de perturbations orbitales
Manœuvres orbitales
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Rappels de mécanique spatiale
Mouvement d ’un corps dans l ’espace
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIntroduction
Perception du phénomène• altitude• vitesse
è 2 conditions nécessaires pour ne pas retomber : altitude + vitesse
Mouvement d ’un corps par rapport à la terre• système isolé : terre + satellite• mouvement à force centrale (Kepler) ; gravité terrestre ramenée en 1 point• masse du corps << masse de la Terre
è mouvement autour de la Terre
Complexité du champ de gravité• intéractions multiples Terre / Lune / Soleil / « Etoiles »
è perturbations orbitales
rr
rmM
kFrr
².
−=
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustration (1)
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceEquations de base
Principe fondamental de la dynamique
k.M = µ = 3.98602.1014 m3/s²
è trajectoire du satellite indépendante de sa masse
è mouvement du satellite plan (contenant les CDG + vitesse)
Conservation du moment cinétique
è loi des aires : surface balayée = constante
Conservation de l ’énergie
è équation de la trajectoire
0²
²
0²1
²²²
00
²
2
=
=
−=
−
⇒Γ=
−
=
dtzd
dtd
rdtd
r
rdtd
rdt
rd
mrm
kM
Fθ
µθ
rr
Cdtd
rFSOdtHd
=⇒=∧=θ
² 0rrr
cster
mdtd
rdtdr
mEpEc =−
+
=+
µθ22
²21
( ) )cos( ²1²
00 θθµµ
−+=
rccr
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustration ( 2)
O
S
zθ
→= OSr
rrr
rF
rr⋅−= 2
µ
OSVrdt
dr θ
Cdtdr =⋅ θ2
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceDéfinition des coniques
Notations classiquement utiliséesp : paramètre de l ’orbitee : excentricité de l ’orbite
è (expression mathématique d ’une conique)
è
Quelques exemples– Mars Sample Return hyperbole (au départ de la Terre)– Trajectoire vers la lune ≈ parabole– Missions commerciales classiques ellipses (ou cercles)
µ²cp = 0 ² rce µ=
)cos( 1 0θθ −+=
epr
( )1²2
−= ep
Eµ E = 0 : parabole
E < 0 : orbites captivesE > 0 : orbites de libération
e = 0 : orbite circulairee < 1 : orbite elliptiquee = 1 : orbite paraboliquee > 1 : orbite hyperbolique
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustration (3)
Ellipse
Hyperbole
Za
Zp
Zp
Parabole
Zp
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Diapositive de résumé
Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustration (4)
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustration (4)
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustration (5)
Terre
ApogéePérigée
Satellite
θ
a
Approche plane
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustration (6)
Définition des différentes anomalies
V = anomalie vraie = θ
Visualisation tridimensionnelle
θ
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Paramètres de description du mouvement• cartésiens : X, Y, Z, Vx, Vy, Vz adaptés aux calculs
• orbitaux : a e i ω Ω θ
adaptés aux raisonnements physiques
Définitions du périgée et de l ’apogée• (a, e) ⇔ (Zp, Za)• altitude de périgée• altitude d ’apogée
Mouvement d ’un corps dans l ’espaceParamètres orbitaux
anomalievraie
longitudedu nœud ascendant
argumentdu périgée
/nœud ascendant
excentricitédemi gd axe inclinaison
Zp = a (1 - e) - RtZa = a (1 + e) - Rt
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceParamètres orbitaux (suite)
Problèmes potentiels de détermination• e = 0 : orbite circulaire ⇒ ω non déterminé ⇒ ex = e cosω et ey = e sinω• i = 0 : orbite équatoriale ⇒ Ω non déterminé ⇒ hx = 2 sin i/2 cosΩ et hy = 2 sin i/2 sinΩ
Période et énergie fonction du demi grand axe
• période :
• énergie :
• anomalie moyenne :
• vitesse caractéristique de l ’orbite :
( )
−=
−=
−=
=
arV
ttT
M
aE
aT
MM 2
2
22
2
0
3
µµ
π
µ
µπ
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceDéfinition des orbites classiques
Type Intérêt Période Za Zp a e i ω Ω
GTO orbite optimale pourtransfert vers GEO
10h31 35786 200 24371 0.73 7 180
MEO constellations 5h48 10000 10000 16378 0 fortes /
LEO orbite proche Terre 1h30 à1h45
<1000 <1000 <7378 quelconque /
SSO observation de la Terre(cas particulier LEO)
1h41 800 800 7118 0 98,6 / fixe
GEO Telecom 23h56 35786 35786 0 0
GTO+ GTO plus énergique 13h51 35786 10000 7 7 180
km degcontraintes
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceIllustrations (7)
GTOMEO
LEO
GTO+Super GTO
Movie Clip (MPEG) Movie Clip (MPEG)
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceQuelques formules à retenir … (1/2)
Ellipse + Hyperbole Ellipse HyperboleRayon Vecteur
Rayon au périgéeRayon à l’apogée
θcos1 ep
r+
=
)1(
)1()cos1(
ear
earEear
a
p
+=
−=−=
)1()1cosh(
−=−=
earHear
p
Coordonnéescartésiennes θ
θsincos
ryrx
==
Eeay
eEax
sin1
)(cos2−=
−=
Heay
Heax
sinh1²
)cosh(
−=
=
Paramètres de laconique
²1/
²)1/(
epb
eacepa
−=
=−=
1²/
)1²/(
−=
=−=
epb
eacepa
Demi-grand axe
pa rraK
a
+=
−=
22µ
2
2
∞
=
=
V
Ka
µ
µ
Energie
rV
Kµ
−=2²
)0(2
<−= Ka
Kµ
2
)0(2
2∞=
>=
V
Ka
Kµ
Excentricité²²2
1µ
KCe +=
pa
pa
rr
rr
Ka
Ce
+
−=
<−= )0(²
1µ
∞
∞
−=
+=
>+=
θ
µ
µ
cos1
²²
1
)0(²1
2VC
Ka
Ce
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceQuelques formules à retenir … (2/2)
Ellipse + Hyperbole Ellipse Hyperbole
Distance del’Asymptote
au foyer ∞
∞∞
=
+=
vae
vrad p
sin
sin)(
Vitesse aupérigée e
eaar
Vp
p −+
=
−=
1112 µ
µpp
p rV
arV µµ 212 2 +=
+= ∞
Vitesse àl’apogée
ee
aarV
aa +
−=
−=
1112 µ
µ
Module dela vitesse Ee
Eeaar
Vcos1cos112
++=
−= µµ
+=
arV
12µ
Vitesseradiale
sinVr =
Vitessetangentielle
cosVrC
rv ==
Moyenmouvement
µ=3²an
Képler)( tptnM −= MEeE =− sin
MHHe =−sin
Période
µπ
3
2a
T =
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Mouvement d ’un corps dans l ’espaceQuelques formules à retenir … (2/2)
Ellipse + Hyperbole Ellipse Hyperbole
Constantede la loi des
aires(module du
momentcinétique)
µprVC == cos ( )
aapp rVrV
ena
eaC
==
−=
−=
²1²
²1µ
∞∞==
−=
−=
rvrv
ena
eaC
pp
1²²
)1²(µ
dtdAdtdv
r
2
²
=
=
pente de lavitesse ²cos21
cos1sinsin
eveve
Vv
pe
+++
==µ
Ee
Ee
arp
ve
²cos²1
sin
12
sinsin−
=
−
=1²cosh²
sin
12
sinsin
−=
+
=He
He
arp
ve
=
+++
==
dvdr
rtg
eveve
rVC
1
²cos21cos1
cos
²1sin
²cos²1²1
cos
eEe
tg
Eee
−=
−−
=
²1
sinh1²cosh²
1²cos
e
Hetg
Hee
−=
−−
=
veve
cos1sin
+=
Anomaliesvraies
211
2
cos1sin²1
sin
cos1coscos
Etgeevtg
EeEe
v
EeeEv
−+=
−−
=
−−=
2tanh
11
2
1coshsinh1²
sin
cosh1coshcos
Heeutg
HeHe
v
HeeHv
−+=
−−
=
−−=
EeEeEv
tgcos1
sin2 β
β−
=−
Anomaliesexcentriques
veVeEv
tg
veve
E
veev
E
cos1sin
2
cos1sin1
sin
cos1cos
cos
2
ββ+
=−
+−
=
++
=
veveH
veevH
cos1sin1²sinh
cos1coscosh
+−=
++=
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Rappels de mécanique spatiale
Traduction du mouvement au sol
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Traduction du mouvement au solIntroduction
Nécessité de dialogue avec le mobile :– transmission de données– contrôle du mobile– …
è nécessité de voir le satellite : dépend de la trace au sol et de l ’altitude
Quelques ordres de grandeur
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Rappels de mécanique spatiale
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Traduction du mouvement au solIllustration (8)
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Traduction du mouvement au solTrace au sol
Géométriquement : trace au sol = grand cercle (diamètre terrestre)
Mais avec mouvement de la terre, nécessité de prendre en compte la loi horaire du satellite
è souci important dans le processus d ’analyse de mission
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Traduction du mouvement au solIllustrations (9)
GTO 20° - TRACE AU SOL
-90
-70
-50
-30
-10
10
30
50
70
90
-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
LONGITUDE (°)
LATI
TUD
E (
°)
Orbite :300/35786/20°ω = -90°Ω = 90°
terre fixe terre tournante
ApogéePérigée
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Traduction du mouvement au solIllustrations (10)
Orbite :300/35786/20°ω = -46°78Ω = 90°
terre fixe terre tournante
GTO 20° - TRACE AU SOL
-90
-70
-50
-30
-10
10
30
50
70
90
-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
LONGITUDE (°)
LA
TIT
UD
E (
°)
ApogéePérigée
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Traduction du mouvement au solIllustrations (11)
Orbite SSO824/824/98°6ω = 0°Ω = 0°
terre fixe terre tournante
SSO - TRACE AU SOL
-90
-70
-50
-30
-10
10
30
50
70
90
-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
LONGITUDE (°)
LA
TIT
UD
E (°
)
ariane 5
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Traduction du mouvement au solNotions de visibilité
Visibilité : la trajectoire du lanceur ou du satellite passe dans l ’espace visible par une station(antenne)
Obstacles à la surface de la terre ⇒ site minimum < 0 si station en altitude (effet géométrique) ou si effets radioélectriques favorables
horizonlocal
site minimum
trajectoire
trajectoire
portionvisible
Station
Movie Clip (MPEG)
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Traduction du mouvement au solNotions de visibilité (suite)
Quelques ordres de grandeur
en orbite basse (ex : 400 km circulaire) , durée de visibilité ≈ 10 min (ex. satellite radio amateur) en orbite GEO (35786 km circulaire), durée de visibilité = 24 heures
( )
SmZR
RSm
ZRdurée
T
T
T
cos)cos( avec
23
+=+
+=
α
µα
pour une orbite circulaire(mouvement uniforme)
αZ
trajectoirelanceur
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Rappels de mécanique spatiale
Stabilité du mouvement
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Stabilité du mouvementIntroduction
Problème
terre sphérique non homogène è force non centrale influence gravitationnelle des autres astres è forces perturbatrices densité de l ’air non nulle à haute altitude, pression radiations solaires è forces de surface à effet cumulatif
approximation Képlerienne mise en défaut
travail en orbite Képlerienne + perturbations orbitales nécessité de corriger sans arrêt pour rester sur l ’orbite voulue
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Stabilité du mouvementPrincipale perturbation
Potentiel gravitationnel terrestre
où Jn représentent les harmoniques zonaux et Pn représentent les harmoniques tesseraux et λn d ’autres paramètres
termes prépondérants : potentiel central
terme dit en « J2 » (J2 ≈ 10-3)
−+
+= ∑ ∑∑
∞
=
∞
=
∞
=2 2 1
)(cossin)(sin1n n k
kn
kn
knn
nT
n longiklatPJlatPr
RJ
ru λ
µ
( )1sin321 2
2
2 −
lat
rR
J T
rµ
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Stabilité du mouvementPrincipale perturbation
Potentiel gravitationnel terrestre : illustration
J9
J2
J3
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I. Rongier - DLA/SDT/SP - J. Droz - DLA/SDA/SY/SV35
Stabilité du mouvementPrincipale perturbation (suite)
è effet du J2 : modification du Ω :
application SSO : faire tourner la ligne des nœuds pour équilibrer l ’effet de rotation de la terre autour du soleil modification du ω :
application russe : ω reste constant en choisissant i = 63.5°, ce qui permet de garder l’apogée fixe au dessus de la Russie (satellites Molnya)
( )22
2
²1cos2
23
ei
JaR
Tdtd T
−
−=Ω π
( )
2
22 ²1²sin54
23
−−
=aR
ei
Jdtd Tπω
ariane 5
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Stabilité du mouvementCaractéristiques de l ’orbite SSO
Soleil
αα Plan orbitalΩ1
Ω0
Ω1 - Ω0 = dΩ/dt . (t1 - t0)
ariane 5
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I. Rongier - DLA/SDT/SP - J. Droz - DLA/SDA/SY/SV37
Stabilité du mouvementAutres perturbations - ordres de grandeur
10x
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Attraction centrale
Aplatissement de la Terre (J2)
Frottement (altitude de 1000 à 150 km)
Irrégularités de la forme de la Terre (Jn, n>2 et Cpn)
Attraction de la lune
Attraction du soleil
Pression de radiation solaire
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I. Rongier - DLA/SDT/SP - J. Droz - DLA/SDA/SY/SV38
Stabilité du mouvementAutres perturbations - effets principaux (suite)
Satellite géostationnaire Satellite héliosynchrone
Modèle de potentiel Evolution du 1/2 grand axe Evolution de de la Terre et de la longitude moyenne l ’excentricité (termes tesseraux) (termes zonaux) Définition des points stables et des points instables
Attraction luni-solaire Evolution de l ’inclinaison (dérive séculaire)
Pression de radiation Evolution de l ’excentricité
Frottement atmosphérique Décroissance du demi grand axe
Résonance entre rotation Dérive de l ’inclinaison du plan de l ’orbite et de l ’orbite rotation apparente du soleil
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I. Rongier - DLA/SDT/SP - J. Droz - DLA/SDA/SY/SV39
Stabilité du mouvementAutres perturbations - frottement atmosphérique
Décélération tangentielle :
−=
mCxS
VdtdV .
21 2ρ
A partir de l ’expression de l ’énergie que l ’ondérive par rapport au temps, on obtient :
mCxS
adtda .
µρ−=
La décroisance du demi grand-axe dépend de ladensité atmosphérique, fonction de l ’altitude : plusl ’orbite est basse, plus la décroissance est rapide.
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Rappels de mécanique spatiale
Manœuvres orbitales
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Manœuvres orbitalesManœuvres pures
1 seul paramètre modifié : exemples sur paramètres courants
∆ inclinaison aux nœuds(très coûteux)
∆ Ω à 90° des noeuds
∆ Zp à l ’apogée
∆ Za au périgée
2sin2
iVV
∆=∆
2sin2
∆Ω=∆ VV
initialapogéefinalapogée VVV −=∆
initialpérigéefinalpérigée VVV −=∆
V initial
∆i
V final
∆V
∆Ω∆Ω ∆V
∆Zp
∆V
∆V
∆Za
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Exemples les plus classiques
∆i et circularisation ex : passage GTO à GEO
Transfert de Hohmann
Phasage (orbite parking) : application du transfert de Hohmann
Manœuvres orbitalesManœuvres élaborées courantes
∆i ∆VVapogée
Vcirculaire
iVVVVV circulaireacirculairea ∆−+=∆ cos 2222
triangle des vitesses
∆V1∆V2
orbite detransfert
orbiteinitiale
orbitefinale
∆iV1
V2
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MODULE 1
FIN DU CHAPITRE 2
(Rappels de mécanique spatiale)