2. 有限元分析的基本术语与步骤space.hit.edu.cn › sites › blog › files › attachments › 2018 › 10 › 10 › ...2018/10/10 · 2.有限元分析基本术语与步骤

2016/7/17 0

2. 有限元分析的基本术语与步骤

2.有限元分析基本术语与步骤

1

单元：有限元模型中每一个小的块体；

线、三角形、四边形、四面体、六面体。。。

节点：确定单元形状、表述单元特征、连接相邻单元的点；

载荷：外在施加的力或力矩；不同的学科有所区别；

集中力、分布力、力矩、温度、磁场。。。

边界条件：结构在边界上受到的外加约束；

初始条件：结构响应前所施加的初始速度、初始温度、预应力。。。

有限元常用术语

1 有限元分析常用术语 2 有限元分析步骤


2

节点和单元

节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和存在相互物理作用。

单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。

有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

载荷

载荷



3

自由度（DOFs）

自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。

结构 DOFs

结构位移

热温度

电电位

流体压力

磁磁位

方向自由度

ROTZ

UY

ROTY

UX

ROTX

UZ



4

节点和单元 (续)

每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。

作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。

历史典故

早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布的，运行在价格为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。



5


信息是通过单元之间的公共节点传递的。

分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）

具有公共节点的单元之间存在信息传递

. ..A B

. . .

... . .

A B

. . .

1 node

2 nodes



6


节点自由度是随连接该节点单元类型变化的。

J

I I

J

J

KL

I

L K

I

P O

MN

K

JI

L

三维杆单元 (铰接)UX, UY, UZ

三维梁单元

二维或轴对称实体单元UX, UY 三维四边形壳单元

UX, UY, UZ,

三维实体热单元TEMP

J

P O

MN

K

JI

L

三维实体结构单元

ROTX, ROTY, ROTZ

ROTX, ROTY, ROTZ

UX, UY, UZ,

UX, UY, UZ



7

单元形函数

FEA仅仅求解节点处的DOF值。

单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。

因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。

单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。

单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。



8

真实的二次曲线

.节点单元

二次曲线的线性近似

(不理想结果)

.2

单元形函数(续)

节点单元

DOF值二次分布

..1

节点单元

线性近似(更理想的结果)

真实的二次曲线

. . . . .3 节点单元

二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)

. .4



9

单元形函数(续)

遵循原则:

当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。

在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。



连续体离散化

单元分析

整体分析

确定约束条件

有限元方程求解

结果分析与讨论

有限元法的分析过程



1. 连续体离散化

连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。

离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。

相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。

单元划分后，给每个单元及节点进行编号；

选定坐标系，计算各个节点坐标；

确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。



1.连续体离散化

所示为将一悬臂梁建立有限元分析模型的例子。

该悬臂梁划分为许多三角形单元；三角形单元的三个顶点都是节点。

悬臂梁及其有限元模型



2. 单元分析

连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称为单元分析。

单元分析工作主要有两项：

(1)选择单元位移模式(位移函数)

用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和应力，就需

搞清各单元中的位移分布。

一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其模拟内位移的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数。通常采用的函数形式多为多项式。

根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来表示单元体内任一点位移的关系式。



进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面

力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷；

采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节

点位移与节点力之间的关系矩阵单元刚度矩阵。

(2) 分析单元的特性，建立单元刚度矩阵

3.整体分析

把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单

元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。

集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。

2. 单元分析



4.确定约束条件

由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解

之前，必修根据具体情况分析，确定求解对象问题的边界约束条

件，并对这些方程进行适当修正。

5.有限元方程求解

通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的位移，

进而根据位移可计算单元的应力及应变。

6. 结果分析与讨论



2. 有限元法基本求解方法

(1)位移法

以节点位移作为基本未知量，通过选择适当的位移函数，进行单

元的力学特性分析。在节点处建立单元刚度方程，再组合成整体刚度

矩阵，求解出节点位移后，进而由节点位移求解出应力。

位移法优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以

得到广泛应用，其缺点是精度稍低。

(2)力法

该法是以节点力作为基本未知量，在节点处建立位移连续方程，求解出节点力后，再求解节点位移和单元应力。

力法的特点是计算精度高。

(3)混合法此法是取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知量，建立

平衡方程进行求解。



17

矩阵位移法基本思路

简单概括为：“先分再合，拆了再搭”

根据位移条件和平衡条件将离散的单元组合成原结构，进行整体分析——建立结点力与结点位移之间的关系（结构刚度方程）。

将结构离散成有限的单元，进行单元分析—

—建立杆端力与杆端位移之间的关系（单元刚度方程）。

解算刚度方程，完成结构计算。



18

“先分再合，拆了再搭”

21

y

xo

)(P 11 )(P 22 )(P 33

1i 2i2 31

23

21

1i 2i)(F ( 1 )

1( 1 )1 )(F ( 1 )

2( 1 )2 )(F ( 2 )

2( 2 )2 )(F ( 2 )

1( 2 )1

)(P 11 )(P 22 )(P 33

1

矩阵位移法的算例

EI

il



Space Structure Research Center, HIT, CHINA 19

1

1i)(F ( 1 )

1( 1 )1 )(F ( 1 )

2( 1 )2

(1)

21

(1)

11

(1)

2

(1)

21

(1)

11

(1)

1

δ4iδ2iF

δ2iδ4iF

2

2i)(F ( 2 )

2( 2 )2 )(F ( 2 )

1( 2 )1

(2)

22

(2)

12

(2)

2

(2)

22

(2)

12

(2)

1

δ4iδ2iF

δ2iδ4iF

单元1

单元2

(e)(e)(e)δkF 写成矩阵形式

(1)

2

(1)

1

11

11

(1)

2

(1)

1

δ

δ

4i2i

2i4i

F

F

(2)

2

(2)

1

22

22

(2)

2

(2)

1

δ

δ

4i2i

2i4i

F

F

单元1 单元2

1、单元分析（物理条件）



20

3

(2)

2

2

(2)

1

(1)

2

1

(1)

1

Δδ

Δδδ

Δδ

0FPM

0FFPM

0FPM

(2)

233

(2)

1

(1)

222

(1)

111

位移条件

平衡条件

23

21

1i 2i)(F ( 1 )

1( 1 )1 )(F ( 1 )

2( 1 )2 )(F ( 2 )

2( 2 )2 )(F ( 2 )

1( 2 )1

)(P 11 )(P 22 )(P 33

1

2、整体分析


3

(2)

2

2

(2)

1

(1)

2

1

(1)

1

Δδ

Δδδ

Δδ

位移方程

平衡方程

(1)

21

(1)

11

(1)

2

(1)

21

(1)

11

(1)

1

δ4iδ2iF

δ2iδ4iF

(2)

22

(2)

12

(2)

2

(2)

22

(2)

12

(2)

1

δ4iδ2iF

δ2iδ4iF

物理方程

将位移方程代入物理方程后再代入平衡方程，可得：

33222

232222111

12111

P)Δ4iΔ(2i

P)Δ2iΔ(4i)Δ4iΔ(2i

P)Δ2iΔ(4i

0FPM

0FFPM

0FPM

(2)

233

(2)

1

(1)

222

(1)

111


将上方程组写成矩阵的形式

3

2

1

3

2

1

22

2211

11

P

P

P

Δ

Δ

Δ

4i 0 2i

2i)4i(4i 2i

0 2i4i

简写为：

PΔK

称为“整个结构的刚度方程”。

33222

232222111

12111

P)Δ4iΔ(2i

P)Δ2iΔ(4i)Δ4iΔ(2i

P)Δ2iΔ(4i



23

结论：将单元刚度矩阵中的元素或子块，按其整体编码的下标，

“对号入座、同号相加”组集整体刚度矩阵。

按矩阵形式来表达：

单元刚度矩阵

整体刚度矩阵

(1)22

(1)21

(1)12

(1)11(1)

k k

k kk

1 2

2

1

(2)33

(2)32

(2)23

(2)22(2)

k k

k kk

2 3

3

2

(2)33

(2)32

(2)23

(2)22

(1)22

(1)21

(1)12

(1)11

k k 0

k kk k

k k

K

0

2 3

3

2

1

1

22

2211

11

4i 2i 0

2i 4i4i 2i

2i 4i 0

2 3

3

2

1

1



1 有限元分析常用术语 2 有限元分析步骤24

3、支承条件的处理:

（1）后处理法概念：

（2）支承条件的引入

“主1副零”法

3

2

1

3

2

1

22

2211

11

M

M

M

θ

θ

θ

4i 2i0

2i)4i(4i 2i

0 2i4i

原刚度方程：

引入支承条件后

2

1

2

1

211

11

M

M

θ

θ

)4i(4i 2i

2i4i

为便于编程，保持原矩阵行列不变

先不考虑支承条件建立整个结构的刚度方程，而后再引入支承条件修改刚度方程的方法。

0

M

M

θ

θ

θ

10 0

0 )4i(4i 2i

0 2i 4i

2

1

3

2

1

211

11

1 2 3

21

)(θM 11 )(θM 22 )(θM 33

1i 2i


25

4、非结点荷载的处理：

增加约束杆端固端弯矩为

(e)

f2

(e)

f1(e)

fM

MF

整个结构的结点约束力矩

②

②①

①

f2

f1f2

f1

f3

f2

f1

M

MM

M

M

M

M

去掉附加约束：在各结点施加等效结点荷载Pe，其大小与约束力矩相同，但方向相反

②f2

②f1

①f2

①f1

e3

e2

e1

e

M

)M(M

M

P

P

P

P

(a)

(b)

(c)




5、坐标变换

66

545

544

33

212

211

cossin

sincos

cossin

sincos

FF

FFF

FFF

FF

FFF

FFF

由图可确定如下关系式：

x

i

j

F1

F2

y

y

x

o

F4

F5F5F4

F1F2

F6

F3

F3

F6

o

1

2 3

4

2

3

x

y

1

` `

` `x1p

y1p

1p

x2p

y2p

2p x3p

y3p

3p

x4p

y4p4p

1

2

4

3

` `

` `1u

1v

1

2u

2v

23u

3v

3

4u

4v4

1

2


27

将以上方程组写成矩阵的形式：

进一步：

(e)(e)(e)FλF

( e ) 称为“刚架单元坐标变换矩阵”，该矩阵为正交矩阵。

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

1 0 0 0 0 0

0 cos sin 0 0 0

0 sin cos 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 cos sin

0 0 0 0 sin cos

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F



28

整体坐标系下的单元刚度矩阵:

两种坐标系下的杆端力关系： (1)FλF(e)(e)(e)

(2)δλδ(e)(e)(e)

两种坐标系下的杆端位移关系：

局部坐标系下的单元刚度方程： (3)δkF(e)(e)(e)

将式（1）、（2）代入式（3）并整理，得：

(4)δλkλF(e)(e)(e)T(e)(e)

令： (e)(e)T(e)(e)

λkλk

则： (e)(e)(e)δkF




一般单元的单元分析：

6523226

625332235

414

6523223

625332232

411

4626

612612

2646

612612

l

EI

l

EI

l

EI

l

EIF

l

EI

l

EI

l

EI

l

EIF

l

EA

l

EAF

l

EI

l

EI

l

EI

l

EIF

l

EI

l

EI

l

EI

l

EIF

l

EA

l

EAF

2'

1'

1 2E,A,I,l

1

F5

F4F6

3

F2

F1

F3

24

5

6

x

y

)(

6

5

4

3

2

1

)(

22

2323

22

2323

)(

6

5

4

3

2

1

4

6 0

2

6 0

6

12 0

6

12 0

0 0 0 0

2

6- 0

4

6 0

6

12- 0

6

12 0

0 0 0 0

e

e

e

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EA

l

EA

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EA

l

EA

F

F

F

F

F

F


30

平面杆件结构分析总结

手算解题步骤

（1）确定结点、划分单元、建立坐标系；

（3）计算局部坐标系中单元刚度矩阵；

（4）计算整体坐标系中单元刚度矩阵；(坐标变换）

（5）建立整个结构的刚度矩阵；

（2）求（等效）结点荷载矩阵；

（7）建立整个结构的刚度方程，进而求解结点位移；

（8）根据问题要求，求支座反力及绘内力图等。

（6）引入支承条件，修改刚度方程；

（3）施加荷载；

（2）赋予单元特性；

（4）增加边界条件；

（5）选择求解器，进行求解；

（6）进入后处理，提取结果。

有限元软件求解步骤



31

有限元法分析步骤

实际系统有限元模型

前处理建立几何模型

单元离散化、网格划分

单元特性

边界条件

求解

求解线性或非线性代数方程式，同时获得节点计算结果（如位移等）

后处理获得进一步的结果（如应力等）


Documents

2. 有限元分析的基本术语与步骤space.hit.edu.cn › sites › blog › files › attachments › 2018 › 10 › 10 › ...2018/10/10 · 2.有限元分析基本术语与步骤