2 PLOKSTUMOS VEKTORIAI · Turbūt visi pritartų – žmonėms svarbu vieniems kitus suprasti. O kad susikalbėtume, turime mokėti pasakyti taip, kad žodžiai norimą objek-tą

PLANIMETRIJA

REIŠKINIAI

LYGTYS NELYGYBĖS IR JŲ SISTEMOS

LOGARITMINĖ FUNKCIJA LOGARITMINĖS LYGTYS IR NELYGYBĖS

SKAIČIŲ SEKOS

TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS

FUNKCIJOS

RODIKLINĖ FUNKCIJA RODIKLINĖS LYGTYS IR NELYGYBĖS

PLOKSTUMOS VEKTORIAI2 SKYRIUS

57

Kaip susijusi musė su navigacija tavo telefoneTurbūt visi pritartų ndash žmonėms svarbu vieniems kitus suprasti O kad susikalbėtume turime mokėti pasakyti taip kad žodžiai norimą objek-tą apibūdintų vienareikšmiškai ir tiksliai

Pasak legendos septynioliktajame amžiuje mažasis Renė1 pastebė-jo musę ropojančią lubomis Feisbuko tuo metu dar nebuvo todėl jis nusprendė tiesiog paspoksoti į musę ir pamėginti sugalvoti kaip kuo trumpiau vienareikšmiškai nusakyti musės padėtį

Šie stebėjimai padovanojo žmonijai didžiulę dovaną ndash Dekarto koor-dinačių sistemą Juk žiūrėdamas į lubas Renė suprato kad tik tada kai yra žinomi abu atstumai ndash musės atstumas nuo lango ir jos atstumas nuo sienos ndash musės pozicija gali būti nusakyta vienareikšmiškai

1 Renė Dekartas (Rene Descartes) ndash prancūzų filosofas matematikas ir fizikas moderniosios filosofijos pradininkas

Vaikas pastebėjo musę Musės elgsena paskatino iškelti idėją Vaikas pamiršo musę plėtojo idėją išsamiai ir formaliai ją aprašė

Jo pasekėjai sugalvojo kaip pritaikyti idėją įvairiose gyvenimo srityse

Ir štai ndash šiandien turi navigaciją savo telefone

Jei musė nuropojo jos naująją vietą vienareikšmiškai galima nusa-kyti ir kitaip ndash užtenka žinoti ropojimo kryptį ir nuropotą atstumą Taigi egzistuoja tokie dydžiai kuriems vienareikšmiškai apibūdinti rei-kia dviejų elementų ndash krypties ir ilgio Tai ndash vektoriniai dydžiai arba vektoriai

Kasdien tau tenka susidurti su vektoriniais dydžiais greičiu pagrei-čiu jėga Metas pažinti juos geriau

58

❶ Kurie šių veiksmų atlikti teisingai 1) a(b + c) = ab + ac 2) (a + b) c = a c + b c 3) a

b + c = ab + a

c 4) a (bc) = (ab) (ac)

5) a + db + c = a

b + c + db + c 6) a + d

b + c = ab + d

c 7) (a + b)2 = a2 + b2 8) a + bc = a

c + bc

❷ Nubraižytas keturkampis ABCD O ndash jo įstrižainių sankirtos taškas Kurie iš šių aštuonių teiginių yra teisingi jei keturkampis ndash lygiagretainis

1) AB = AD BC = CD 2) AB = DC AD = BC 3) AB || DC BC = AD 4) AB || DC BC || AD 5) AO = OC BO = OD 6) AB || DC AB = DC 7) AC = BD 8) ang A + ang B = 180deg ang B + ang C = 180deg

❸ Tarkime kad ketiname išsiaiškinti ar keturkampis ABCD yra lygiagretainis Kurių iš 2-ajame uždavinyje pateiktų teiginių pakanka tai įrodyti

❹ Kurie iš šių teiginių yra teisingi 1) jei lygiagretainio bent vienas kampas yra status tai jis ndash stačiakampis 2) jei lygiagretainio dvi kraštinės yra lygios tai jis ndash rombas 3) jei rombo kampai yra statūs tai jis ndash kvadratas 4) jei keturkampio dvi priešingosios kraštinės yra lygios ir lygiagrečios tai jis ndash lygiagretainis 5) jei lygiagretainio dvi gretimosios kraštinės yra lygios tai jis ndash rombas

❺ Kuri iš šių formulių nusako atstumą tarp taškų A(x1 y1) ir B(x2 y2) A AB = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2 B AB = (x2 + x1)2 + (y2 + y1)2

C AB = (x2 ndash x1)2 ndash (y2 ndash y1)2 D AB = (x2 ndash x1)2 + (y2 ndash y1)2

❻ Kaip nustatyti atkarpos AB vidurio taško K kordinates kai A(ndash2 6) o B(0 4)

A K (ndash2 + 02 6 + 4

2 ) B K (0 ndash (ndash2)2 4 ndash 6

2 ) C K (ndash2 ndash 02 6 ndash 4

2 ) D K (ndash2 + 62 0 + 4

2 )❼ Pagal kurią formulę apskaičiuosime cos x jei sin x = a o kampas x yra bukasis

A cos x = 1 ndash a2 B cos x = 1 ndash a2 C cos x = ndash 1 ndash a2 D cos x = 1 ndash a

❽ Kurios iš šių lygybių yra teisingos 1) sin (180deg ndash α) = sin α 2) sin (180deg ndash α) = ndashsin α 3) cos (180deg ndash α) = cos α 4) cos (180deg ndash α) = ndashcos α

❾ Kuris iš taškų A( 15 3) B(2 3 7) C(ndash 13 ndash2 10) ir D(ndash4 9) yra arčiausiai a) abscisių ašies b) ordinačių ašies c) koordinačių pradžios taško

Pradėdamas mokytis šį skyrių turi žinoti veiksmų su skaičiais dėsnius trikampių bei keturkampių rūšis ir jų savybes kaip nustatyti taško pavaizduoto stačiakampėje koordinačių sis-temoje koordinates

kaip pažymėti tašką koordinačių plokštumoje kaip rasti atkarpos ilgį kai žinomos jos galų koordinatės kaip rasti atkarpos vidurio taško koordinates pagrindinę trigonometrijos tapatybę kaip apskaičiuoti bukojo kampo sinusą ir kosinusą

Pasitikrink ar žinaiPAKARTOK

59

❶ Apskaičiuok a) (3 3 + 5)2 b) 18 ndash 8

2 c) 132 ndash 122 d) (21 ndash 32)2

e) 3 a ndash aa

f) 63 ndash 28 ndash 7 g) ndash32 ndash (ndash3)2 ndash (ndash3)3

❷ Nustatyk taškų A B C D koordinates ir apskaičiuok atkarpų AB ir CD ilgius

❸ Yra žinoma kad cos α = 23 Apskaičiuok sin α kai 90deg lt α lt 180deg

❹ Apskaičiuok kampo α didumą 1deg tikslumu jei cos α = ndash 45

❺ Apskaičiuok atstumus AB ir BC kai A(5 ndash7) B(ndash7 3) C(2 3)

❻ Tiesės 2x + 3y = 6 x ndash y = 3 ir x = 0 susikerta Jų atkarpos sudaro trikampį a) Nubraižyk brėžinį b) Nustatyk tiesių bendrų taškų koordinates c) Apskaičiuok trikampio kraštinių ilgius d) Apskaičiuok trikampio didžiausio kampo kosinusą e) Apskaičiuok trikampio plotą

❼ Apskaičiuok atkarpos AB vidurio taško koordinates jei

a) A(14 3) B(ndash9 17) b) A(3 13 ndash1 2

5 ) B(2 23 3)

❽ Trikampio ABC kraštinės AB ilgis 3 cm o kraštinės AC ilgis 4 cm Apskaičiuok kraštinės BC ilgį ir trikampio plotą kai

a) ang A = 60deg b) ang A = 90deg c) ang A = 120deg

❾ Duota formulė a b = c d cos α Iš jos išreikšk cos α

❿ Apskaičiuok lygiagretainio ABCD plotą jei a) AB = 8 BC = 6 ang A = 60deg b) AC = 10 BD = 6 o kampo tarp įstrižainių didumas 45deg c) smailiojo kampo didumas 30deg o įstrižainės BD kuri yra ir lygiagretainio aukštinė ilgis 6 cm

Pradėdamas mokytis šį skyrių turi mokėti atlikti veiksmus su laipsniais ir šaknimis vaizduoti taškus stačiakampėje koordinačių sistemoje apskaičiuoti plokščiųjų geometrinių figūrų perimetrus ir plotus taikyti sinusų ir kosinusų teoremas

Pasitikrink ar moki

60

Vektoriai ir jų veiksmaiJei pasiklysi miške tau svarbiau bus žinoti ne atstumą iki namų o kuria kryptimi eiti Tiek matematikoje tiek realiame gyvenime api-būdinant kai kuriuos dydžius neužtenka nurodyti jų skaitinę reikš-mę reikia nusakyti ir jų kryptį Šie dydžiai vadinami vektoriniais dỹdžiais arba vegravektoriais

Veiksmai su vektoriais skiriasi nuo veiksmų su skaičiais Juk reikia įvertinti ne tik didumą bet ir kryptį Išmokęs veiksmų su vektoriais galėsi paaiškinti kodėl trys stipruoliai negali pajudinti rogučių iš vie-tos o vienas vaikas jas nusiveža lengvai taikysi vektorius spręsdamas įvairius uždavinius Šiais metais nagrinėsime tik plokštumos vekto-rius XII klasėje žengsime toliau

Vegravektoriumi vadinama atkarpa kurioje nurodyta kryptis

Vektorius žymėsime dvejopai didžiosiomis raidėmis su rodykle virš jų pavyzdžiui OM čia O ndash

vektoriaus pradžios taškas M ndash vektoriaus galo taškas viena mažąja raide su rodykle virš jos pavyzdžiui a b

Kolineariaisiais vegravektoriais vadinsime vektorius esančius vienoje tiesė-je arba lygiagrečiose tiesėse

Jeigu kolineariųjų vektorių kryptys sutampa jie vadinami viena-krỹpčiais ir žymimi athinspuarruarrthinspb

Jeigu kolineariųjų vektorių kryptys yra priešingos jie vadinami priešpriešiniais ir žymimi athinspuarrdarrthinspc

Žymime1 būdas OM AB ir t t2 būdas a b

ir t t

Žymimeathinspuarruarrthinspb

thinspndash vienakrypčiai vektoriai

athinspuarrdarrthinspcthinspndash priešpriešiniai vektoriai

Paveiksle pavaizduoti trys kolinearieji vektoriai Nustatykime kurie iš jų yra vienakrypčiai o kurie ndash priešpriešiniai Užrašykime tai var-todami tinkamus žymenis

SprendimasVienakrypčiai athinspuarruarrthinspb

Priešpriešiniai athinspuarrdarrthinspc bthinspuarrdarrthinspc

Pavyzdys

Brėžinyje pavaizduota trapecija ABCD Jos įstrižainės kertasi taške O Kurie iš vektorių BC AD OC DA ir OA yra

a) kolineariejib) vienakrypčiaic) priešpriešiniai

Spręsk 1 uždavinį (p 62)

Pamėgink

SUSIPAŽINK

61

Žymime|a| ndash vektoriaus a ilgis

ĮsiminkAB = ndashBA

Visi vienos krypties ir to paties ilgio vektoriai yra lygūs nesvarbu kur yra jų pradžios taškai Taigi vektorių galima pastumti lygiagrečiai jam pačiam bet kuria kryptimi

Vegravektoriaus ilgiugrave (mograveduliu) vadiname jį vaizduojančios atkarpos ilgį Vektoriaus OM ilgis žymimas |OM| vektoriaus a ilgis ndash |a| arba tiesiog a

Jei vektoriaus pradžios ir galo taškai sutampa jo ilgis lygus nuliui o krypties negalime nurodyti Tokį vektorių t y tiesiog plokštumos tašką vadiname nugraveliniu vegravektoriumi ir žymime |MM| arba 0

Nulinis vektorius yra kolinearus su bet kuriuo vektoriumi

Lygiaisiais vegravektoriais vadiname vektorius kurių ilgis vienodas kryptys sutampa (jie yra vienakrypčiai)

Žymime athinspthinspthinsp = b

Priešingaisiais vegravektoriais vadiname vektorius kurių ilgis vienodas kryptys priešingos (jie yra priešpriešiniai)

Žymime a ir ndasha AB ir ndashAB arba AB ir BA

a) BC = ndashDA ndash priešingi

OC = AO ndash lygūs

b) |BC| = 8 cm

BD2 = BC2 + CD2 BD2 = 82 + 62 BD = 10 |BD| = 10 cm

Stačiakampio ABCD kraštinių ilgiai yra AB = 6 cm ir BC = 8 cma) Kurie iš vektorių yra vienas kitam priešingi kurie ndash lygūsb) Apskaičiuok |BC| ir |BD|

SprendimasStačiakampio priešingosios kraštinės yra lygiagrečios ir lygios todėl vektoriai BC ir DA yra kolinearūs ir vienodo ilgio Tačiau jų kryptys priešingos taigi šie vektoriai yra priešingi

Vektoriai OC ir AO yra vienoje tiesėje taigi jie kolinearūs Stačiakam-pio įstrižainės dalija viena kitą pusiau todėl šių vektorių ilgis vienodas Vektorių kryptys sutampa ndash jie yra lygūs

Vektoriaus |BC| ilgis lygus kraštinės BC ilgiui

Vektoriaus |BD| ilgis lygus įstrižainės BD ilgiui Jį galime apskaičiuoti pagal Pitagoro teoremą

Atsakymas a) BC ir DA ndash priešingi OC ir DA ndash lygūs b) |BC| = 8 cm |BD| = 10 cm

Pavyzdys

Stačiosios trapecijos ABCD trumpesniojo pagrindo BC ilgis 6 cm ilgesniojo pagrindo AD ilgis 12 cm Šoninė kraštinė BA statmena pagrindams Iš taško C nubrėžta trapecijos aukštinė CH taškas H priklauso atkarpai AD Atkarpos CH ilgis lygus 6 cm

a) Kurie iš vektorių AB BC DH AH ir CH yra vienas kitam priešin-gi kurie ndash lygūs

b) Apskaičiuok |AB| |AC| |CD|

Spręsk 2ndash7 uždavinius (p 63)

Pamėgink

62

2 skyrius | Plokštumos vektoriai | Susipažink Vektoriai ir jų veiksmai

Žymime a b

UŽDAVINIAI

a) OA OC = 180deg

b) OB OA = 75deg

c) AB BC = AB AD = 70deg

d) AB OA = AB AK = 140deg

ABCD ndash lygiagretainis Smailiojo kampo tarp jo įstrižainių didumas lygus 75deg o įstrižainė AC su kraštinėmis sudaro 30deg ir 40deg kampus Apskaičiuokime kampus tarp vektorių

a) OA ir OC b) OB ir OA c) AB ir BC d) AB ir OA

Sprendimas

Vektorių pradžios taškas yra tas pats vektoriai ndash priešpriešiniai

Vektorių pradžios taškas yra tas pats taigi kampas tarp vektorių lygus uždavinio sąlygoje nurodytam kampui tarp įstrižainių

Vektorių pradžios taškas yra ne tas pats todėl reikia ieškoti su jais vie-nakrypčių vektorių turinčių tą patį pradžios tašką Lygiagretainio prie-šingosios kraštinės yra lygios ir lygiagrečios todėl BC = AD ir kampas tarp vektorių AB ir BC lygus kampui tarp vektorių AB ir AD

Vektoriai išeina ne iš vieno taško ir brėžinyje nepavyks rasti su jais vienakrypčių vektorių atidėtų iš to paties taško Papildome brėžinį Iš taško A nubrėžiame su vektoriumi OA vienakryptį vektorių AK

Ieškomas kampas bus lygus kampui tarp vektorių AB ir AK Kampas BAK yra gretutinis kampui BAO taigi ang BAK = 180deg ndash 40deg = 140deg

Pavyzdys

Kampugrave tarp dviejų nenugravelinių vegravektorių nubrėžtų iš vieno taško va-dinamas kampas tarp išeinančių iš to paties taško spindulių kuriuose yra šie vektoriai

Norėdami rasti kampą tarp vek-torių a ir b

kurių pradžios taškas yra

ne tas pats turime vektorius lygia-grečiai pastumti taip kad jų pradžios taškai sutaptų

Kampas tarp vektorių negali būti didesnis kaip 180deg t y 0deg φ 180degKampas tarp vienakrypčių vektorių lygus 0deg

a b = 0deg

Kampas tarp priešpriešinių vektorių lygus 180deg

a b = 180deg

❶Taškas B yra tiesėje tarp taškų A ir C Taškas D nėra tiesėje AC Nubraižyk brėžinį ir pažymėk visus nenulinius vektorius kurių pradžios taškai yra taškai A B C arba D Užrašyk vektorius kurie yra

a) priešpriešiniai b) vienakrypčiai

Remdamasis anksčiau pateikto pavyzdžio brėžiniu apskaičiuok kam-pus tarp vektoriųa) DO ir OB b) CD ir BC c) DC ir OB d) OA ir DO


Pamėgink

63

❷ Tiesėje vieną po kito pažymėk keturis taškus A B C ir D Atstumas tarp gretimų taškų 1 cm Kokie yra šie vektoriai (lygūs kolinearūs priešingi ar priešpriešiniai) Užrašyk simboliais

a) AB ir CD AC ir AD DA ir CD AB ir DC b) BC ir CD CD ir AD BD ir CB BC ir BA

❸ Žodžiais užrašytus teiginius pateik simboliais a) vektoriai a ir b

yra lygūs b) vektorių a ir b

suma lygi vektoriui c

c) vektoriai a ir b yra vienakrypčiai d) vektorių a ir b

sumos ilgis lygus 8

e) vektoriai a ir b yra priešingi f) vektorių a ir b

ilgių suma lygi 15

g) vektoriai a ir b yra priešpriešiniai h) vektorių a ir b

ilgiai yra lygūs

❹ Ar teiginys yra teisingas ar klaidingas Jei klaidingas pateik pavyzdį paneigiantį tą teiginį

a) Du priešpriešiniai vektoriai yra kolinearūs b) Du kolinearūs vektoriai yra priešpriešiniai c) Vienakrypčiai vektoriai yra kolinearūs d) Lygieji vektoriai yra vienakrypčiai e) Lygieji vektoriai yra vienodo ilgio f) Vienodo ilgio vektoriai yra lygūs g) Priešingųjų vektorių ilgiai yra lygūs h) Priešpriešiniai vektoriai yra priešingi

❺ Kurie iš pavaizduotų vektorių yra kolinearieji vienakrypčiai priešpriešiniai lygūs priešingi Apskaičiuok vektorių ilgius kai langelio kraštinės ilgis 05 cm

❻ Pasirink nenulinį vektorių a ir šalia tašką M Iš taško M nubrėžk vektorių b

jei a) b

= a b) b

= ndasha c) b

thinspuarruarrthinspa bet |a| lt |b| d) b

thinspuarrdarrthinspa |b| lt |a| e) b

thinspuarrdarrthinspa |a| lt |b| f) b

thinspuarruarrthinspa |a| gt |b|

❼ Stačiakampio KLMN kraštinių ilgiai yra KN = 8 cm KL = 4 cm O ndash jo įstrižainių sankirtos taškas

a) Koks vektorius yra lygus vektoriui LO Apskaičiuok jo ilgį b) Koks vektorius yra priešingas vektoriui KO Apskaičiuok jo ilgį

❽ Lygiagretainio ABCD aukštinė BE su kraštine AB sudaro 25deg kampą Kokio didumo yra kampai tarp šių vektorių

a) AB ir AD b) AB ir BC c) AB ir CD d) DC ir DA e) AD ir CD f) BE ir CD

❾ ABCD ndash lygiašonė trapecija Jos kampai A ir B yra lygūs o kiekvieno jų didumas 120deg Smailiojo kampo tarp įstrižainių didumas 60deg O ndash įstrižainių sankirtos taškas Apskaičiuok kampus tarp nurodytų vektorių

a) OA ir OB b) OA ir DO c) BC ir AB d) CA ir DA e) AB ir CD f) AD ir CD g) OA ir OD h) AO ir OB i) CD ir DA j) BD ir DC k) OB ir OD l) AD ir BO

❿ a) ABCE ndash trapecija AE ndash jos ilgesnysis pagrindas BC ndash trumpesnysis Iš taško C nubrėžta atkarpa kerta pagrindą AE taške D Yra žinoma kad CD || AB CD perp CE BC = 5 cm AB = 3 cm BC = DE Apskaičiuok |CD| ir |CE| taip pat kampus tarp vektorių EC ir ED AD ir CE AB ir CE (1deg tikslumu)

b) ABCD ndash stačiakampis O ndash jo įstrižainių sankirtos taškas AB = 5 cm AD = 12 cm Apskaičiuok |BD | ir |OC | taip pat kampus tarp vektorių AC ir AD OC ir DO DO ir BC (1deg tikslumu)

⓫ Jei AB = CD tai AC = BD Įrodyk

⓬ Iš trikampio ABC viršūnės A atidėk vektorių a = BC ir jam priešingą vektorių Ar nubrėžti vektoriai yra vienoje tiesėje Paaiškink kodėl

a) b)

64

Vektoriai ir jų veiksmaiTrys stipruoliai traukia vaikiškas rogutes tačiau jos ndash nė iš vietos Kaip tai galėtų atsitikti Kodėl sudėjus trijų stipruolių jėgas trau-kimo jėga nepadidėja Todėl kad jėga ndash vektorinis dydis o veiksmai su vektoriais skiriasi nuo veiksmų su skaičiais Išmokime juos atlikti

Mokysimės tokių veiksmų vektorius sudėti ir atimti vektorių pa-dauginti iš skaičiaus ir iš vektoriaus

1 Vektorių sudėtis ir atimtisTrikampio taisyklėNorėdami sudėti vektorius athinsp ir b

1) atidedame juos taip kad vektoriaus a galo taškas sutaptų su vekto-riaus b

pradžios tašku

2) nubrėžiame vektorių jungiantį vektoriaus a pradžios tašką su vek-toriaus b

galo tašku Jis ir yra vektorių athinsp ir b

suma a + b

Norėdami iš vektoriaus a atimti vektorių b prie vektoriaus a prideda-

me jam priešingą vektorių ndashb

Nekolineariųjų vektorių atvejis

Sudėkime vektorius a ir b ir raskime

skirtumus a ndash bthinsp

bei b ndash a

SprendimasIeškome a + b

nubrėžiame vektorių a iš jo galo taško atidedame vektorių b

sumos vektoriaus c pradžios taškas sutampa su vektoriaus a pradžios tašku o galo taškas ndash su vektoriaus b

galo tašku

Ieškome a ndash b

nubrėžiame vektorių a ir iš jo galo taško atidedame vektorių ndashb t y

vektorių kurio ilgis lygus vektoriaus b ilgiui bet kryptis priešinga

skirtumo vektoriaus c pradžios taškas sutampa su vektoriaus a pra-džios tašku o galo taškas ndash su vektoriaus ndashb

galo tašku

Ieškome b ndash a

nubrėžiame vektorių b ir iš jo galo taško atidedame vektorių ndasha t y

vektorių kurio ilgis lygus vektoriaus a ilgiui bet kryptis priešinga skirtumo vektoriaus d

pradžios taškas sutampa su vektoriaus b

pra-

džios tašku o galo taškas ndash su vektoriaus ndasha galo tašku

Pavyzdys

Nubrėžk vektorius a + b

a ndash c c ndash a

c + b

c ndash b

b ndash c

Pamėgink

IŠMOK

65

Kolineariųjų vektorių atvejis

Sudėkime vektorius a ir b

a ir c

SprendimasSudedame du priešpriešinius vektorius Sudėties taisyklę taikome taip pat kaip ir nekolineariųjų vektorių atveju tačiau kad būtų lengviau įsivaizduokime kad paėjome į priekį o paskui grįžome atgal Mūsų poslinkis ir yra sumos vektorius

Priešingųjų vektorių suma lygi nuliniam vektoriui a + (ndasha) = 0

Jei abu vektoriai yra vienodo ilgio t y priešingi paaiškės kad atsidū-rėme tame pačiame taške iš kurio išėjome Suma ndash nulinis vektorius

Sudedame du vienakrypčius vektorius Įsivaizduokime kad pajudėjome į priekį paskui ndash vėl į priekį Mūsų poslinkis ir bus sumos vektorius

Pavyzdys

Lygiagretainio taisyklė

Pagal lygiagretainio taisyklę vektoriai dažniausiai sudedami fizikoje kai reikia rasti materialųjį tašką veikiančių jėgų atstojamąją (sumą)

Norėdami pagal šią taisyklę sudėti vektorius arba iš vieno vektoriaus atimti kitą1) atidedame vektorius athinsp ir b

iš vieno taško

2) papildome brėžinį iki lygiagretainio3) iš to paties taško nubrėžiame lygiagretainio įstrižainę kuri yra su-

mos vektorius a + b

4) nubrėžiame kitą lygiagretainio įstrižainę kuri yra skirtumo vekto-rius a ndash b

jo kryptis ndash nuo vektoriaus b

galo taško iki vektoriaus a

galo taško

Kodėl trys vienodo pajėgumo stipruoliai nepajudina rogučių iš vietos

SprendimasJei stipruoliai S1 S2 ir S3 tempia rogutes taip kad jėgų vektoriai sudaro tarpusavyje 120deg kampus tai jėgų s

1 ir s2 atstojamoji yra vektorius s Šį

vektorių randame pagal lygiagretainio taisyklę Apskaičiavę brėžinyje pavaizduotus kampus įsitikiname kad vektorius s yra priešingas trečio stipruolio jėgos vektoriui s3

Priešingųjų vektorių suma lygi nuliui Štai kodėl rogutės nepajuda

Pavyzdys

Atlik veiksmus su ankstesniame pavyzdyje pavaizduotais vektoriais

a) a ndash b ir a ndash c b) c + b

ir b

ndash c


Pamėgink

66

2 skyrius | Plokštumos vektoriai | Išmok Vektoriai ir jų veiksmai

Daugiakampio taisyklė

Šią taisyklę taikome kai norime sudėti ar atimti daugiau nei du vektorius1) vektorius kuriuos ketiname atimti pakeičiame priešingais2) nuo pirmojo vektoriaus galo taško atidedame antrąjį vektorių nuo

antrojo vektoriaus galo taško ndash trečiąjį vektorių ir t t3) sumos vektorius yra vektorius nubrėžtas nuo pirmojo vektoriaus

pradžios į paskutinio vektoriaus galą

①Raskime vektorių x = a ndash b

+ c ndash d

SprendimasNubrėžiame vektorių a nuo jo galo ndash vektorių ndashb

nuo šio galo ndash vek-

torių c ir galiausiai nuo vektoriaus c galo ndash vektorių ndashd

Sujungiame vektoriaus a pradžios tašką ir vektoriaus ndashd galo tašką Tai

ir yra ieškomas vektorius

Pavyzdžiai

Atkreipk dėmesįAB + BC = AC

Jau galbūt pastebėjai kad kartais ir be brėžinio galima rasti vektorių sumą jei pirmojo vektoriaus pabaigos raidė ir antrojo vektoriaus pra-džios raidė yra vienodos gaunamas vektorius kurio pradžia tokia kaip pirmojo o galas kaip antrojo

AD = AB + AC = a + b

BC = BA + AC = ndasha + b

DE = DB + BA + AC + CE = = ndashb

thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b

②Trikampiai ABC BCD DCE yra lygiakraščiai Išreikškime vekto-rius AD BC ir DE vektoriais a ir b

SprendimasTaikome vektorių sudėties lygiagretainio taisyklęĮsivaizduokime kad turime nueiti iš taško B į tašką C ne tiesiai bet per raudonai nuspalvintas linijas Mūsų pasirinktas kelias vektoriais BA ir AC parodys reikiamą vektorių sumą Vektoriaus BA kryptis priešinga vektoriaus a krypčiai todėl šį vektorių pakeičiame vektoriumi ndashaĮsivaizduokime kad reikia iš taško D patekti tašką E bet ne tiesiai o raudonai nuspalvintais arba jiems lygiais vektoriais Pridėk pieštuką prie taško D ir keliauk kol pasieksi tašką E Kelią gali rinktis įvairų tačiau neatitrauk pieštukoŠiame pavyzdyje apgalvotai pasirinkome ne patį trumpiausią ir geriau-sią sprendimo būdą Norėjome parodyti kad ir kokį kelią pasirinktu-me rezultatas visada bus tas pats Tik nepamirškime įsitikinti kad vek-torius keičiame jiems lygiais t y tokio pat ilgio ir tokios pat krypties

①Turime vektorius a ir b

Nubrėžkime vektorius 2a ndash 1

2 bthinsp

ir 15athinspndash 2b

SprendimasVektorius 2a yra tos pačios krypties kaip ir vektorius a tačiau už jį dvigubai ilgesnisVektorius ndash 1

2 b yra priešingos krypties nei vektorius b

ir už jį perpus

trumpesnis

Taikome lygiagretainio taisyklę Iš vieno taško nubrėžiame vektorius 15a ir 2b

Skirtumo vektorius ndash lygiagretainio įstrižainė vektoriaus

kryptis ndash iš atėminio galo į turinio galą

Pavyzdžiai

Taikydamas lygiagretainio taisyklę sudėk ir atimk vektorius a + b

a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67

Atlikime veiksmus MN + NP ndash RP ndash (MK ndash RK)

MN + NP ndash RP ndash (MK ndash RK) =

= MN + NP ndash RP ndash MK + RK =

= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame

Skirtumus pakeičiame sumomis kur reikėjo atimti pridedame priešin-gą vektorių Ieškome vienodų vieno vektoriaus galo o kito vektoriaus pradžios raidžių Jas radę atitinkamus vektorius sudedame

Vėl ieškome vienodų vieno vektoriaus galo o kito vektoriaus pradžios raidžių Sudedame

Veiksmą kartojame

Gavome dviejų priešingųjų vektorių sumą Ji ndash nulinis vektorius

Pavyzdys

2 Vektorių daugyba iš skaičiausNenulinio vegravektoriaus athinsp ir reatildeliojo skaičiaus k saacutendauga vadinamas vektorius ka kuriam būdingos šios savybės1) jo ilgis lygus |k||a|2) jis yra vienakryptis su vektoriumi a kai k gt 03) jis yra priešpriešinis vektoriui a kai k lt 0

Kai a = 0 arba k = 0 sandauga ka = 0



2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai

❶ Vektoriais a ir b

išreikšk vektoriusOA EO FO BF BD CD BE FE

❷ Atlik veiksmusa) OA ndash EO + AF ndash BE + BOb) BD ndash CD ndash EC + EF


Pamėgink

68


a) BD = BA + AD = a ndash b

b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)

CD = CB + BA + AD = = ndash3a ndash b

+ a = ndash2a ndash b

CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)

BK = 3a + 13 (ndash2a ndash b

) =

= 2 13 a ndash 1

3 b

②Brėžinyje pavaizduota trapecija ABCD kurios CKKD = 1

2 AD = a AB = b

BC = 3AD Vektoriais a ir b

išreikškime vektorių

a) BD b) AC c) BK

SprendimasIšreiškiame pagal vektorių sudėties trikampio taisyklęIšreiškiame pagal vektorių sudėties trikampio taisyklęIšreiškiame pagal vektorių sudėties trikampio taisyklę Nežinome rei-kiamo vektoriaus CK Jį teks išreikšti pirmiausia Pastebime kad CK = 1

3 CDRandame vektorių CD

Randame vektorių CK

Gautą CK išraišką ir vektoriaus BC išraišką įrašome į 1-ąją lygybę

Atsakymas a) BD = a ndash b b) AC = b

+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b

❶ Nubrėžk du nekolineariuosius vektorius a ir b ir atlik veiksmus

3a ndash 4b a + 25b

❷ Trikampio ABC kraštinėje BC pažymėtas taškas T dalija tą krašti-nę santykiu BT TC = 4 1 Vektorių AT išreikšk vektoriais AB = x ir AC = y

Spręsk 22ndash27 uždavinius (p 70ndash71)

Pamėgink

3 Skaliarinė vektorių sandaugaSkaliatilderine dviejų vegravektorių a ir b

saacutendauga vadiname skaičių (skalia-

rą) kuris lygus šių vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugaia ∙ b

= |a||b

| cos φ

Skaliarinę vektorių sandaugą galime žymėti dvejopai a ∙ b arba ab

a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =

= 49 cos 120deg = 49 ∙ (ndash05) = = ndash245

Lygiakraščio trikampio kraštinės ilgis 7 cm Kraštinėse atidėti vekto-riai AB = a AC = c ir BC = b

Apskaičiuokime skaliarinę sandaugą

a) a ∙ c b) a ∙ b

SprendimasVektoriai išeina iš vieno taško todėl kampas tarp jų lygus lygiakraščio trikampio kampui t y 60degNubrėžiame vektorių a iš to paties taško kaip ir vektorių b

Kampo

tarp jų didumas lygus trikampio priekampio CBB1 didumui φ = = 180deg ndash 60deg = 120degAtsakymas a) 245 b) ndash245

Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69

4 Vektorių sudėties ir daugybos dėsniaiVektorių sudėčiai ir daugybai iš skaičiaus galioja mums įprasti perstato-mumo jungiamumo ir skirstomumo dėsniai Kiek kitaip yra su skalia-rine sandauga Jai jungiamumo dėsnis negalioja (a ∙ b

) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)

Trikampio ABC (ang C = 90deg) kraštinių ilgiai lygūs 6 cm 12 cm ir 6 3 cm Apskaičiuok trikampio kampų didumus ir šias skaliarines sandaugas AC ∙ BC AB ∙ BC


Pamėgink

Nusibraižyk statųjį (ang C = 90deg) trikampį ABC kurio statinio BC esančio prieš 30deg kampą ilgis yra 2 cm Tark kad CA = a CB = b

ir

AB = c Patikrink ar galioja lygybė (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b

∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI

⓭ Žinomi vektoriai a b

c ir d

Kokius veiksmus ir su kuriais iš šių vektorių reikia atlikti norint gauti vektorius x y ir z

a) b)

⓮ Duoti trys paporiui nekolinearūs vektoriai a b ir c Nubrėžk

a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a

a + c b ndash c a ndash c c ndash b

⓯ Nubrėžk vektorius a b ir c tenkinančius sąlygas athinspuarruarrthinspb

cthinspuarrdarrthinspb

|a| = 1 cm

|b| = 05 cm |c| = 2 cm Pavaizduok

a) a ndash b a + c b

ndash c b

+ c b) a ndash c a + b

c ndash a c ndash b

⓰ a) Trikampio KLM kraštinių ilgiai KL = 4 cm MK = 3 cm o ang K = 90deg Apskaičiuok |KM + MK | |KL ndash KM| |MK ndash ML| ir |MK | ndash |ML|

b) Stačiakampio ABCD kraštinių ilgiai AB = 12 cm BC = 5 cm Apskaičiuok |AB + BC| | AB ndash BC| |AB| ndash |BC| |AB ndash CD|

70


⓱ Iš vieno taško nubrėžti vektoriai a b ir c ir iš jų sudaryti lygiagretainiai Išreikšk

vektorius x y z vektorių a b ir c suma arba skirtumu

a) b)

⓲ a) Stačiakampio KLMN kraštinių ilgiai 3 cm ir 6 cm Nubrėžk vektorius a = KL + + KN ir b

= LK + LM Apskaičiuok vektorių a ir b

ilgius Ar vektoriai a ir b

yra

lygūs

b) Rombo ABCD įstrižainės kertasi taške O jų ilgiai AC = 10 cm BD = 6 cm Nubrėžk vektorius a = AB + AD ir b

= ndashAD + BA Apskaičiuok vektorių a ir b

ilgius Ar vektoriai a ir b yra lygūs

⓳ ABCDEF ndash taisyklingasis šešiakampis Nubrėžk vektorius

a) a = AB ndash DB + DC b) b = CE + CF ndash EF + EC ndash AE

c) c = AB ndash AC ndash CD d) d = EA + AF ndash EF + BE + BC

⓴ ABCDEF ndash taisyklingasis šešiakampis taškas O ndash jo centras AB = a AF = b

Išreikšk vektoriais a ir b

nurodytus vektorius ir apskaičiuok jų ilgius jei |a| =

= 5 cm

a) OC OF OD AC b) OB AO BF ED

Suprastink reiškinį

a) KL ndash KM ndash MN b) ndashOL + DL + EF ndash EAc) AB + BC ndash AD d) KL + MN + OP ndash OR ndash ML ndash RP

Pasinaudojęs 14 uždavinio brėžiniu nubrėžk vektorius

a) a ndash 2b 05a + b

b + 1

3 c 05athinspndash 05c

b) 3b ndash 05c c ndash 1

3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b

a) D yra trikampio ABC kraštinės AB vidurio taškas Vektorius AB DB ir CD išreikšk vektoriais BC = a ir CA = b

b) T yra lygiagretainio ABCD įstrižainės BD vidurio taškas Vektorius BD BT ir CT išreikšk vektoriais BC = a ir CD = b

a) Rombo ABCD įstrižainė BD taškais K ir T padalyta į tris lygias dalis (BK = KT = = TD) Vektorius BD KT CA CK AT ir TC išreikšk vektoriais BC = a ir CD = b

b) O ndash lygiagretainio ABCD įstrižainių sankirtos taškas Įstrižainėje AC pažymė-ti taškai M ir N dalija atkarpas AO ir OC pusiau Vektorius AC NC CM MN ir DM išreikšk vektoriais BC = a ir CD = b

a) ABCD ndash trapecija kurios pagrindas CD yra du kartus ilgesnis už pagrindą AB Taškai T ir K pažymėti atkarpoje CD taip kad CT = TK = KD taškas M ndash atkarpos BC vidurio taškas Vektorius CD AK BC AC AM KM ir BT išreikšk vektoriais AB = a ir AD = b

71

b) ABCD ndash trapecija kurios pagrindas CD tris kartus trumpesnis už pagrindą AB Taškai T ir K pažymėti atkarpoje BD taip kad DT = TK = KB taškas M ndash atkarpos AB vidurio taškas Vektorius AC CB AT CK DM KM ir CT išreikšk vektoriais AD = a ir CD = b

Taškas K yra trikampio ABC kraštinėje AB Vektorių CK išreikšk vektoriais a = CA ir b

= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1

Taškai K L ir M dalija atkarpą AB į 4 lygias dalis Taškas O yra šalia atkarpos Vektoriais OA = a ir OB = b

išreikšk vektorius

a) OL MO b) OK LO

Apskaičiuok vektorių a ir b (φ ndash kampas tarp jų) skaliarinę sandaugą šimtųjų

tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg

a) ABCD ndash stačiakampis kampo tarp jo įstrižainės BD ir kraštinės BC didumas 30deg AD = 7 cm Apskaičiuok skaliarines sandaugas BC ∙ BD BA ∙ BC BA ∙ BD BD ∙ AD

b) KLMN ndash stačiakampis kampo tarp jo įstrižainės LN ir kraštinės LM didumas 60deg KN = 12 cm Apskaičiuok skaliarines sandaugas LN ∙ LM KN ∙ LM KL ∙ LN LN ∙ KM MN ∙ KN

a) Lygiašonio trikampio ABC kampo B didumas 120deg BD ndash trikampio aukštinė AB = BC = 8 cm Apskaičiuok skaliarines sandaugas BC ∙ BD BA ∙ BC BA ∙ BD

b) Lygiašonio trikampio KLM kampo K didumas 30deg LA ndash trikampio aukštinė KL = LM = 4 cm Apskaičiuok skaliarines sandaugas KL ∙ KL KM ∙ LA LA ∙ KL

Yra žinoma kad |a| = 2 |b| = 1 |c| = 2 a

b = 60deg b

c = 120deg a

c = 90deg Ap-skaičiuok

a) (2a ndash 3b) ∙ c b) (a ndash b

)(a + c)

c) (3b ndash 2a) ∙ c d) (a + b

)(2a ndash c)

Ar sandauga yra vektorius ar skaičius (čia k isin Z t isin Z)

a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)

Plokštumoje pažymėti keturi taškai A B C ir D Įrodyk kad lygybė AB + BC + + CD + DA = 0

yra teisinga kai

a) taškai nėra vienoje tiesėje b) taškai yra vienoje tiesėje

KLMN ndash bet koks keturkampis Įrodyk kad

a) KL + LN = KM + MN b) KL + LM = KN + NM

72

Vektoriai ir jų veiksmai

Vektoriai taikomi daugiausia fizikoje Jei mokaisi fizikos tikrai esi susidūręs su jėgas vaizduojančiaus vektoriais Tačiau vektoriais gali-me remtis ne tik fizikoje bet ir spręsdami pačius įvairiausius mate-matinius bei praktinius uždavinius

1 Vektorių kolinearumo sąlygaJau įsitikinai kad daugindamas vektorių iš skaičiaus gauni su pradiniu vektoriumi kolinearų vektorių Galioja ir atvirkštinė taisyklė jei vek-toriai a ir b

yra kolinearūs tai yra vienintelis skaičius k isin R su kuriuo

b = ka čia a ndash nenulinis vektorius Pritaikykime šią sąlygą spręsdami

uždavinius

Įsimink Jei b

= ka

tai a ir b yra kolinearūs

Jei a ir b yra kolinearūs

tai b = ka

AB = a AD = b AC = a + b

NP = NB + BA + AP = = ndash 23 b

ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a

MP = MA + AP = = ndash 2

3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a

MPthinsp = ndash2thinspNP

MP || NP

Lygiagretainio ABCD kraštinėje AD taškas M pažymėtas taip kad AM MD = 2 1 kraštinėje BC taškas N pažymėtas taip kad BN NC = 2 1 o įstrižainėje AC taškas P pažymėtas taip kad AP PC = 2 1 Įrodykime kad taškai M N ir P yra vienoje tiesėje

ĮrodymasPažymėkime vektorius AB = a AD = b

Išreikškime jais vektorius NP

ir MP

Iš taško N keliaujame į tašką P Vektorius kuriais einame pakeičiamejiems lygiais NB = ndash 2

3 BC = ndash 23 b BA = ndasha AP = 2

3 AC = 23 (a + b

)

Iš taško M keliaujame į tašką P Vektorius kuriais einame pakeičiame jiems lygiais MA = ndash 2

3 AD = ndash 23 b AP = 2

3 AC = 23 (a + b

)

Pastebime kad vektoriai NP ir MP yra kolinearūs

Atkarpos MP ir NP yra lygiagrečiose tiesėse Tačiau jos turi bendrą tašką P Per vieną tašką negali eiti dvi lygiagrečios tiesės todėl taškai M N ir P yra vienoje tiesėje

Pavyzdys

Žinomi nekolinearieji vektoriai a b

c = a ndash b

Kurie iš šių vektorių yra tarpusavyje kolinearūs1) d

= 3b

2) e = ndash02a 3) f

= ndash02a + 02b

4) y = 3b ndash 3a 5) x = 2a ndash 2b

6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73

2 Vektorių statmenumo sąlyga Prisiminkime skaliarinės sandaugos apibrėžtį a b

= |a| |b

| cos φ

Jei φ = 90deg tai a b = |a| |b

| cos 90deg = |a| |b

| 0 = 0

Iš čia gauname taisyklę jei nenuliniai vektoriai yra statmeni tai skaliarinė jų sandauga lygi nuliui Teisingas ir atvirkščias teiginys jei nenulinių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui tai vektoriai yra statmeni Šis teiginys vadinamas vegravektorių statmenugravemo sąlyga

Sudauginkime du lygius vektorius Kampas tarp jų lygus 0deg todėl a a = |a| |a| cos φ = |a| |a| cos 0deg = |a| |a| 1 = |a| |a| = |a|2

Gavome lygybę a 2 = |a|2 Sakome vektoriaus skaliarinis kvadratas ly-gus vektoriaus ilgio kvadratui

Įsimink Jei a perp b

tai a b

= 0

Jei a b = 0 tai a perp b

a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a

AB = b ndash a AD = ndasha ndash b

AB AD = (ndasha + b)(ndasha ndash b

) =

= a 2 ndash a b + a b

ndash b

2 = a 2 ndash b2

a 2 ndash b2 = |a|2 ndash |b

|2

kadangi |a| = |b| tai |a|2 ndash |b

|2 = 0

AB AD = 0 AB perp AD

Įrodykime teiginį jei keturkampio įstrižainės yra lygios ir susikirs-damos dalija viena kitą pusiau tai šis keturkampis ndash stačiakampis

SprendimasŽinome kad keturkampis kurio įstrižainės susikirsdamos dalija viena kitą pusiau yra lygiagretainis Tereikia įsitikinti kad kampas tarp gre-timų kraštinių yra status

Vektorius OB ir OA pažymime atitinkamai b ir a

Vektorius AB ir AD išreiškiame vektoriais a ir b

Norint įrodyti kad kraštinės AB ir AD yra statmenos pakanka apskai-čiuoti jose esančių vektorių skaliarinę sandaugą ir įsitikinti kad ji lygi nuliui Todėl vektorius sudauginame

Jau žinome kad vektoriaus skaliarinis kvadratas lygus vektoriaus ilgio kvadratui

Šis skirtumas lygus nuliui nes pagal sąlygą vektorių a ir b ilgiai yra

lygūs

Gavome AB AD = 0 todėl vektoriai AB ir AD yra statmeni o lygia-gretainis ABCD ndash stačiakampis

Pavyzdys

❶ Įrodyk teiginius a) Jei du vektoriai sudaro smailųjį kampą tai skaliarinė jų sandauga

yra teigiama b) Jei du vektoriai sudaro bukąjį kampą tai skaliarinė jų sandauga

yra neigiama

❷ ABCD ndash stačioji trapecija kurios trumpesnysis pagrindas BC ly-gus trumpesniajai šoninei kraštinei AB ir perpus trumpesnis už ilgesnįjį pagrindą Įrodyk kad trapecijos įstrižainė statmena šo-ninei kraštinei


Pamėgink

74

2 skyrius | Plokštumos vektoriai | Taikyk Vektoriai ir jų veiksmai

Įvairūs vektoriai išreikšti vektoriais x y ir z Kurie iš jų yra kolinearieji (viena-krypčiai ar priešpriešiniai)

a) a = x ndash 12 y b

= 2x ndash y c = x ndash 2y d

= ndash6x + 3y e = ndash2x + 4y

b) a = 3x ndash 2y b = x ndash 2

3 y c = 2x ndash 3y d = ndash6x + 4y e = ndash4x + 6y

a) A B C D ndash keturkampio viršūnės be to AC = a CB = b

BD = b ndash a Įrodyk

kad keturkampis yra trapecija b) AB = a AC = a ndash b

BD = athinsp+ b

Įrodyk kad keturkampis ABCD yra trapecija

a) Remdamasis vektoriais įrodyk kad trikampio vidurinė linija yra lygiagreti su trečiąja kraštine ir perpus trumpesnė už ją

b) Remdamasis vektoriais įrodyk kad trapecijos vidurinė linija yra lygiagreti su pagrindais o jos ilgis lygus pusei pagrindų ilgių sumos

a) Yra žinoma kad |a| = 1 |b| = 1 Vektoriai a ir b

sudaro 60deg kampą Ar vektoriai

x = a ndash b ir y = a + b

yra statmeni Su kuria m reikšme vektoriai z = a + mb

ir

v = 2a + b yra statmeni

3 Įvairūs vektorių uždaviniai

vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh

Lėktuvas skrenda šiaurės kryptimi Pietryčių vėjas pučia 10 ms grei-čiu todėl tikroji lėktuvo skridimo kryptis yra į vakarus nuo šiaurės krypties Lėktuvo greitis ramiu oru 700 kmh Apskaičiuokime tikrąjį lėktuvo greitį vienetų tikslumu

Sprendimas

Nubraižome brėžinį t y pavaizduojame visus vektorius Tikrąjį lėktu-vo greitį žymi vektorius vvt kurį gauname sudėję vėjo greitį vv ir lėktuvo greitį ramiu oru v1 (vektorius sudedame pagal lygiagretainio taisyklę) Pietryčių vėjas su šiaurės kryptimi sudaro 45deg kampą todėl kampas tarp vektorių vv ir v1 lygus 45degSuvienodiname greičio matavimo vienetus 10 ms = 36 kmh

Vektoriaus ilgį randame pritaikę taisyklę |a| = a2

Taikome greitosios daugybos formulę

Taikome taisykles a2 = |a|2 ir a b = |a| |b

| cos α

Įrašome vektorių ilgių ir kampų didumų reikšmes

Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI

Tomas motorine valtimi ketina perplaukti upę Valties savasis greitis 12 kmh upės tėkmės greitis 2 kmh Kokiu kampu (1deg tikslumu) nuo upės kranto turi išplaukti valtis kad patektų į tašką esantį tiesiai prieš savo išvykimo tašką


Pamėgink

75

b) Yra žinoma kad |a| = 1 |b| = 2 Vektoriai a ir b


x = 2a ndash b ir y = 2a + b

yra statmeni Su kuria m reikšme vektoriai z = a + 2b

ir

v = ma + b yra statmeni

Kokį kampą (bukąjį ar smailųjį) sudaro vektoriai a ir b

jeigu jų skaliarinė sandau-ga lygi

a) a b = ndash15 b) a b

= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6

Trikampis ABC yra status Jo ang C = 90deg ang A = 65deg AB = 10 cm Apskaičiuok (01 cm tikslumu)

a) CA AB + CA CB b) AB AC + BC BA

Yra žinoma kad |a| = 2 |b| = 2 φ = 45deg Apskaičiuok

a) |a + b| b) |a ndash b

|

Apskaičiuok kampą tarp vektorių a ir b

kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6

a) Pažymėk rombo ABCD kraštinėse vektorius AB = a ir AD = b

Vektoriais a ir b

išreikšk rombo įstrižainių AC ir BD ilgius Remdamasis vektorių statmenumo sąlyga įrodyk kad rombo įstrižainės yra statmenos viena kitai

b) Lygiagretainiui ABCD būdinga savybė (BD ndash AC) (BD + AC) = 0 Įrodyk kad tas lygiagretainis yra stačiakampis

Upės tėkmės greitis 3 kmh irklinės valties greitis stovinčiame vandenyje 5 kmha) Kokiu kampu kranto atžvilgiu reikia irkluoti valtį kad ji plauktų statmenai upės

krantamsb) Koks yra tikrasis valties plaukimo greitis (valties ir tėkmės greičių suma)c) Per kiek laiko valtis pasieks kitą krantą jei upės plotis 160 m

Šaulys paleido strėlę statmenai vėjui pučiančiam 8 ms greičiu Tačiau strėlė lėkė sudarydama su vėjo kryptimi kampą kurio kosinusas lygus 3

5 Kokiu greičiu skrie-jo strėlė

Plaukikas išplaukė 4 kmh greičiu statmenai upės krantams Upės tėkmės greitis lygus 3 kmh Kokio didumo kampą su upės tėkme sudaro plaukiko plaukimo tra-jektorija Koks yra tikrasis plaukiko greitis

Turistai iš stovyklos S patraukė į pietryčius ir nuėję 2 km pasiekė pilkapyną P Jį apžiūrėję keliavo 4 km šiaurės kryptimi iki ežero E Čia kurį laiką stovyklavo pas-kui patraukė paežere į vakarus Nuėję 2 km atsidūrė kryžkelėje K Turistų maršrutą pavaizduok vektoriais ir paaiškink ar eidami tiesiai į pietus jie sugrįš į stovyklą

Upės plotis 50 m jos tėkmės greitis 5 ms Valties greitis stovinčiame vandenyje 3 ms Per kiek laiko valtis perplauks upę jei irkluotojas irkluos valtį statmenai upės tėkmei

Kūnas veikiamas trijų jėgų nejuda Remdamasis brėžiniu apskaičiuok visų jėgų didumus

76

1 variantas

❶ Parašyk veiksmą kurį reikia atlikti su vektoriais a ir b

kad rezultatas būtų vektorius x a) b) c) d)

❷ Vektorių x išreikšk vektoriais a b

c d ir e

❸ Brėžinyje vaizduojama iš trijų lygiakraščių trikampių sudaryta trapecija Vektorius AC AD CD išreikšk vek-toriais a ir b

❹ Yra žinoma kad x = 2a + b

y = a ndash 14b

Sumą 3x + 5y išreikšk vektoriais a ir b

❺ Stačiosios trapecijos ABCD įstrižainė AC statmena šoninei kraštinei CD AB = BC = 4 cm Apskaičiuok

a) |AB + BC| b) |AB| + |BC| c) |AD| ndash |BC| d) |AD ndash BC|

❻ Kurie iš šių vektorių yra priešpriešiniai kurie ndash vienakrypčiai su vektoriumi x = 2a + b

y = a + 2b z = a ndash 2b

v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b

❼ Lygiagretainio ABCD kurio kraštinių ilgiai AB = 5 AD = 6 įstrižainės susikerta taške M Apskaičiuok vektoriaus a = AC ndash BM ndash MD ndash DC ilgį

Vektoriai ir jų veiksmaiJei mokaisi išplėstinį kursą baigdamas šį skyrių turi mokėti

atpažinti lygiuosius kolineariuosius priešpriešinius priešinguo-sius vektorius

sudėti ir atimti vektorius pagal trikampio taisyklę sudėti ir atimti vektorius pagal lygiagretainio ir daugiakampio taisyklę

padauginti vektorių iš skaičiaus apskaičiuoti skaliarinę vektorių sandaugą užrašyti ir taikyti vektorių kolinearumo bei statmenumo sąlygas taikyti vektorius spręsdamas skaičiavimo ir nesudėtingus įrody-mo uždavinius

PASITIKRINK

77

❽ Trapecijoje ABCD (AD || BC) pažymėti vektoriai BC = a AD = 2a ir AB = b

Taškas M yra įstrižainės AC vidurio taškas Vektorius CD DM MB išreikšk vektoriais a ir b

❾ Yra žinoma kad |a| = 32 |b| = 5 φ = 120deg (čia φ ndash kampas tarp vektorių a ir b

) Ap-

skaičiuok skaliarinę sandaugą

a) a ∙ b b) (05a ndash 3b

)(a + 2b

)

❿ Trikampis ABC yra status Jo ang C = 90deg angA = 54deg AB = 25 cm Apskaičiuok (001 cm tikslumu)

a) CA AB b) BC ∙ BA

2 variantas

❶ Kiekvienas iš dešinėje pavaizduotų vektorių x y ir zthinsp yra dviejų kairėje pavaizduotų vektorių sumos arba skirtumo rezultatas Parašyk veiksmus kuriais gaunami vektoriai x y ir z

❷ Lygiagretainio ABCD kraštinėse pažymėti vektoriai AB = a ir AD = b

Vektorius MA ir MB išreikšk vektoriais a ir b

jei

a) M yra įstrižainių sankirtos taškasb) taškas M yra kraštinėje BC o BM MC = 3 1

❸ Trapecijos ABCD pagrindas AD trigubai ilgesnis už pagrindą BC Kraštinėje AD pažymėtas taškas K taip kad AK = 1

3 AD Vektorius CK KD ir BC išreikšk vektoriais a = BA ir b

= CD

❹ Taškai A B ir X yra vienoje tiesėje taškas O ndash bet kuris plokštumos taškas nesantis tiesėje AB Vektorių OX išreikšk vektoriais OB ir OA kai

a) AX = XB b) AX XB = 2 3

❺ Taškas O yra trikampio KLM pusiaukraštinių sankirtos taškas Vektorius LM KO ir OK + OL + OM išreikšk vektoriais a = KL ir b

= KM

❻ ABCD ndash lygiagretainis Taškas K įstrižainėje pažymėtas taip kad AK KC = 2 1 o taškas L yra kraštinės CD vidurio taškas Vektorius BK ir KL išreikšk vektoriais a = = AB ir b

= BC Ar taškai B K ir L yra vienoje tiesėje

❼ Apskaičiuok kampą tarp vektorių a ir b

kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4

❽ Yra žinoma kad |a| = 5 |b| = 2 2 φ = 45deg Apskaičiuok |a + b

|

❾ Parašiutininkas leidžiasi kryptimi su Žemės paviršiumi sudarančia 60deg kampą Kokiu greičiu leidžiasi parašiutininkas jei vėjas pučia 4 kmh greičiu

78

Vektoriaus koordinatės

Žymimea = (x y) ndash vektoriaus a koordinatės

Veiksmus su vektoriais atlikti bus daug lengviau jei vektorius išreik-šime koordinatėmis

1 Vektoriaus koordinačių samprataNubraižome koordinačių sistemą ir koordinačių ašyse iš taško O atide-dame vektorius kurių ilgis lygus vienetui ašyje Ox ndash vektorių i

ašyje

Oy ndash vektorių j Vektorius i

ir j

vadinsime koordinatildečių ašių viene-

tiniais vegravektoriais arba koordinatildetiniais vegravektoriaisŠiais vektoriais galima išreikšti bet kurį plokštumos vektorių Pavyz-

džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus

KL pradžia nėra taškas O todėl norėdami išreikšti šį vektorių koor-dinatinius vektorius perkeliame taip kad vektorių i

ir j

pradžios taškai

sutaptų su tašku K Tada KL = ndash2i + 2j

Kiekvieną vektorių galime taip išreikšti koordinatiniais vektoriaisa = xi

+ yj

Vegravektoriaus a = xi + yj

koordinatildetėmis vadinami koeficientai x ir y

Vektoriaus koordinates nurodysime taip a = (x y)Koordinačių plokštumoje pavaizduotų vektorių koordinatės yraOA = (3 2) OB = (2 ndash2) OC = (ndash4 ndash1) KL = (ndash2 2)Nulinio vektoriaus koordinatės 0 = (0 0) koordinatinių vektorių

koordinatės i = (1 0) j

= (0 1)

Vektorių a = (ndash6 4) išreikškime koordinatiniais vektoriais ir pavaiz-duokime koordinačių plokštumoje kai šio vektoriaus pradžios taškas yra A(3 2)

Vektorių a išreiškiame koordinatiniais vektoriais a = ndash6i + 4j

Koordinačių plokštumoje pažymime tašką A Nuo jo atidedame vek-torių ndash6i

(6 langelius į kairę) o tada ndash vektorių 4j

(4 langelius į viršų)

Pažymime tašką B Jis yra vektoriaus a pabaigos taškas

Pavyzdys

Koordinačių plokštumoje nubraižyk trikampį kurio viršūnių koor-dinatės A(ndash3 ndash2) B(2 1) C(0 6) Rask vektorių AB CB ir AC koor-dinates Iš taško A nubrėžk vektorių lygų vektoriui CB


Pamėgink

SUSIPAŽINK

79

Įsimink Jei A(xA yA) o B(xB yB) taiAB = (xB ndash xA yB ndash yA)

2 Vektoriaus kurio žinomas pradžios ir pabaigos taškas koordinatės

Žinome taškų A(xA yA) ir B(xB yB) koordinates Ieškome vektoriaus AB koordinačių

Koordinatinius vektorius perkeliame taip kad jų pradžios taškai su-taptų su tašku A Iš brėžinio matyti kad vektorių AB pagal lygiagretai-nio taisyklę galime užrašyti taip

AB = (xB ndash xA)i + (yB ndash yA) j

Vektoriaus AB koordinatės lygios vektoriaus galo taško B ir pradžios taško A atitinkamų koordinačių skirtumui

AB = (xB ndash xA yB ndash yA)

Lygių vektorių koordinatės yra lygios

①Nustatykime vektorių AB ir CD koordinates kai A(ndash3 5) B(2 ndash6) C(4 2) o D(9 ndash9) Ar lygūs šie vektoriai

AB = (2 ndash (ndash3) ndash6 ndash5) = (5 ndash11)

CD = (9 ndash 4 ndash9 ndash 2) = (5 ndash11)

AB = CD

SprendimasSkaičiuojame pagal formulę t y iš taško B koordinačių atimame taško A atitinkamas koordinates

Skaičiuojame pagal formulę t y iš taško D koordinačių atimame taško C atitinkamas koordinates

Vektoriai lygūs nes jų koordinatės yra lygios

Atsakymas AB = CD = (5 ndash11)

Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2

2 )②Žinomi taškai A(x1 y1) ir B(x2 y2) Įrodykime kad atkarpos AB

vidurio taško V koordinates galime apskaičiuoti pagal formulę V(x1 + x2

2 y1 + y2

2 )

AV = (xV ndash x1 yV ndash y1)

VB = (x2 ndash xV y2 ndash yV)

xV ndash x1 = x2 ndash xVyV ndash y1 = y2 ndash yV

xV + xV = x1 + x2yV + yV = y1 + y22xV = x1 + x22yV = y1 + y2

xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2

SprendimasJei V yra atkarpos AB vidurio taškas tai vektoriai AV ir VB yra lygūs Pažymime vidurio taško V koordinates V(xV yV)

Užrašome vektoriaus AV koordinates

Užrašome vektoriaus VB koordinates

Vektoriai AV ir VB yra lygūs todėl sulyginame jų atitinkamas koor-dinates

Iš gautų lygybių išreiškiame taško V koordinates xV ir yV

Taigi atkarpos vidurio taško V koordinates xV ir yV galime apskaičiuoti

pagal formulę V(x1 + x2

2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80

2 skyrius | Plokštumos vektoriai | Susipažink Vektoriaus koordinatės

Išreikšk vektorius koordinatiniais vektoriais

a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)

b) c = (14 0) ir dthinsp

= (29 4

5) Pavaizduok nurodytus vektorius koordinačių plokštumoje kai jų pradžios

taškas yra koordinačių pradžios taškas O

a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j

OM = (ndash3 ndash4) OT = (ndash8 0)

Pavaizduok nurodytus vektorius koordinačių plokštumoje kai jų pradžios taškas yra A(ndash2 3)

a) a = ndash2i ndash 4j

b = i + 2j

c = 4j

AM = (5 ndash1) AT = (0 ndash3)

b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)

③Žinomi taškai A(3 3) B(11 5) C(14 11) ir D(6 9) Įrodykime kad keturkampis yra lygiagretainis ir nustatykime jo įstrižainių sankirtos taško koordinates

AB = (11 ndash 3 5 ndash 3) = (8 2)DC = (14 ndash 6 11 ndash 9) = (8 2)

AB = DCAB = DC AB || DC

xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas

Įrodyti kad keturkampis yra lygiagretainis galima ne vienu būdu Pa-rodysime kad šio keturkampio dvi kraštinės yra lygios ir lygiagrečios

Apskaičiuojame vektorių AB ir DC koordinates

Vektoriai yra lygūs o tai reiškia kad jie yra vienakrypčiai ir vienodo ilgio Todėl kraštinės AB ir CD yra lygios ir lygiagrečios taigi ketur-kampis ndash lygiagretainis

Lygiagretainio įstrižainių sankirtos taškas dalija jas pusiau todėl šio taško koordinates apskaičiuosime pagal atkarpos vidurio taško koor-dinačių formulę

Pažymime ieškomą tašką P Jo koordinatės (xP yP) Taškas P yra at-karpų AC ir BD vidurio taškas Pasirenkame atkarpą AC ir į formulę įrašome taškų A ir C koordinates

Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI

Duoti taškai A(2 2) B(3 5) C(4 0) D(5 3) Nustatyk vektorių AB ir DC koordinates Įrodyk kad tiesės AB ir DC yra lygiagrečios Apskai-čiuok atkarpų BC ir AD vidurio taškų koordinates


Pamėgink

81

Užrašyk pavaizduotų vektorių koordinates

a) b)

Žinomi taškai A(11 ndash3) B(ndash3 ndash13) C(4 ndash1) ir D(ndash2 3) Apskaičiuok nurodytų vektorių koordinates ir išreikšk tuos vektorius koordinatiniais vektoriais i

ir j

a) AB AC CB b) AD BD CD

a) KL = (ndash3 4) L(4 ndash2) Apskaičiuok taško K ir atkarpos KL vidurio taško M koordinates

b) Rask taško D koordinates jei AB = CD ir A(3 ndash2) B(4 5) C(ndash3 1)

c) AB = (2 5) A(ndash4 2) Apskaičiuok taško B ir atkarpos AB vidurio taško ko-ordinates

d) Rask taško A koordinates jei AB = BC ir B(ndash4 8) C(5 2)

a) M ndash atkarpos AB vidurio taškas Vektoriaus AB pradžios taško koordinatės yra (2 4) AB = (6 8) Apskaičiuok vektoriaus AM koordinates

b) KL = (7 1) o taško L koordinatės yra (5 3) A ndash atkarpos KL vidurio taškas Apskaičiuok vektoriaus AK koordinates

a) Duoti taškai A(ndash3 ndash1) B(1 4) C(3 1) D(ndash1 ndash4) Įrodyk kad keturkampis ABCD yra lygiagretainis ir nustatyk jo įstrižainių sankirtos taško koordi-nates

b) Įrodyk kad keturkampis KLMN yra lygiagretainis ir nustatyk jo įstrižainių sankirtos taško koordinates kai K(ndash3 ndash3) L(ndash2 ndash3) M(1 3) N(0 3)

a) Taškas P ndash lygiagretainio KLMN įstrižainių sankirtos taškas Žinomos šių taškų koordinatės M(ndash3 3) N(ndash2 ndash3) P(ndash1 0) Apskaičiuok viršūnių K ir L koordinates

b) Lygiagretainio ABCD viršūnių koordinatės yra A(ndash1 ndash3) ir B(2 ndash2) P(1 1) ndash įstrižainių sankirtos taškas Apskaičiuok šio lygiagretainio viršūnių C ir D koordinates

a) Trikampio ABC viršūnių koordinatės yra A(ndash3 5) B(3 ndash5) ir C(1 3) KL ndash šio trikampio vidurinė linija lygiagreti su pagrindu AC Nustatyk vektorių AB ir KL koordinates

b) Trapecijos ABCD pagrindai ndash atkarpos AB ir CD KL ndash šios trapecijos viduri-nė linija Apskaičiuok vektorių AB CD ir KL koordinates kai A(2 2) B(4 4) C(8 6) ir D(2 0)

82


Šiame skyrelyje išmoksime atlikti veiksmus su vektoriais išreikštais koordinatėmis

1 Vektoriaus ilgisSakykime žinome vektoriaus a koordinates a = (x y) Nubrėžkime šį vektorių koordinačių plokštumoje Iš brėžinio matyti kad vektoriaus a ilgis yra stačiojo trikampio kurio statinių ilgiai x ir y įžambinės ilgis Remdamiesi Pitagoro teorema apskaičiuojame

|a| = x2 + y2

Kai žinomos vektoriaus AB pradžios ir galo taškų koordinatės A(xA yA) B(xB yB) tai jo ilgį randame naudodamiesi formule

|AB| = (xB ndash xA)2 + (yB ndash yA)2

ĮsiminkVektoriaus a = (x y) ilgis|a| = x2 + y2

AB = DC

AB = (ndash4 ndash (ndash7) 2 ndash (ndash3)) = (3 5)

DC = (3 ndash x 3 ndash y)

3 ndash x = 33 ndash y = 5

x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)

BD = (0 ndash (ndash4) ndash2 ndash 2) = (4 ndash4)|BD| = 42 + (ndash4)2 = 4 2

Taškai A(ndash7 ndash3) B(ndash4 2) ir C(3 3) yra trys iš eilės einančios lygiagre-tainio viršūnės Apskaičiuokime šio lygiagretainio įstrižainės BD ilgį

Pastaba Brėžinys yra tik pagalbinė priemonė Jo nebūtina braižyti ati-dedant tikslius taškus koordinačių plokštumoje

Sprendimas

Lygiagretainio ABCD priešingos kraštinės AB ir DC yra lygios ir lygia-grečios todėl vektoriai AB ir DC yra lygūs

Pagal formulę AB = (xB ndash xA yB ndash yA) apskaičiuojame vektoriaus AB koordinates

Pagal tą pačią formulę nustatome vektoriaus DC koordinates

Sulyginame lygių vektorių AB ir DC koordinates Išsprendę sistemą sužinome taško D koordinates

Ketvirtosios lygiagretainio viršūnės D koordinatės yra (0 ndash2)

Apskaičiuojame vektoriaus BD koordinates

Apskaičiuojame vektoriaus |BD| ilgį

Atsakymas |BD| = 4 2

Pavyzdys

IŠMOK

83

Žinomos keturių keturkampio viršūnių koordinatės A(ndash3 ndash3) B(ndash5 8) C(5 3) ir D(7 ndash8)

a) Įsitikink kad keturkampis ABCD yra lygiagretainis (Tai galima padaryti dviem būdais 1) parodyti kad keturkampio priešingo-sios kraštinės poromis yra lygios 2) parodyti kad dvi keturkampio kraštinės yra lygios ir lygiagrečios t y kad jas sudarantys vekto-riai lygūs)

b) Įsitikink kad šis lygiagretainis yra rombas (Užtenka parodyti jog dvi gretimos jo kraštinės yra lygios)


Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)

a ndash b = (xa ndash xb ya ndash yb)

ka = (kxa kya)

2 Vektorių išreikštų koordinatėmis sudėtis atimtis ir daugyba iš skaičiausJei a = (xa ya) b

= (xb yb) k ndash bet koks realusis skaičius tai

vegravektorių sumotildes koordinatės lygios tų vektorių atitinkamų koordi-načių sumai

a + b = (xa + xb ya + yb)

vegravektorių skirtumo koordinatės lygios tų vektorių atitinkamų koor-dinačių skirtumui


skaičiaus k ir vegravektoriaus athinspsaacutendaugos koordinatės lygios vektoriaus koordinačių ir skaičiaus k sandaugoms

ka = (kxa kya)

Yra žinomos keturių taškų koordinatės A(2 5) B(ndash2 4) C(ndash1 4) D(3 ndash2) Apskaičiuokime vektoriaus m = 2 AB ndash CD koordinates

AB = (ndash2 ndash 2 4 ndash 5) = (ndash4 ndash1)

CD = (3 ndash (ndash1) ndash2 ndash 4) = (4 ndash6)m = 2AB ndash CD

xm = 2 (ndash4) ndash 4 = ndash8 ndash 4 = ndash12ym = 2 (ndash1) ndash (ndash6) = ndash2 + 6 = 4

m = (ndash12 4)

SprendimasApskaičiuojame vektoriaus AB koordinates

Apskaičiuojame vektoriaus CD koordinates

Vektoriaus AB atitinkamas koordinates dauginame iš 2 ir atimame vek-toriaus CD koordinates

Atsakymas 2 AB ndash CD = (ndash12 4)

Pavyzdys

Žinomi vektoriai a = (2 ndash3) ir b = (3 ndash1)

a) Nubrėžk šiuos vektorius koordinačių plokštumoje Pavaizduok skirtumo vektorių 3a ndash 2b

ir užrašyk jo koordinates

b) Apskaičiuok skirtumo vektoriaus 3a ndash 2b koordinates taikydamas

veiksmų su vektoriais išreikštais koordinatėmis taisykles


Pamėgink

84

2 skyrius | Plokštumos vektoriai | Išmok Vektoriaus koordinatės

a) Yra žinomi vektoriai AB = (4 6) AC = (2 ndash1) ir taškas A(ndash3 ndash2) Apskaičiuok vektorių AB ir AC ilgius taškų B ir C koordinates vektoriaus BC koordinates ir ilgį

b) Yra žinomi vektoriai KL = (ndash2 3) ML = (ndash2 1) ir taškas L(ndash1 ndash2) Apskaičiuok vektorių KL ir ML ilgius taškų K ir M koordinates vektoriaus MK koordinates ir ilgį

a) Taškai A(3 4) B(5 ndash2) ir C(4 ndash4) yra trys lygiagretainio viršūnės Kokios turi būti šio lygiagretainio ketvirtosios viršūnės T koordinatės Išnagrinėk visus ga-limus atvejus

Žinomi vektoriai a = (3 ndash4) ir b = (ndash1 2) Apskaičiuokime vektorių

3a ndash 2b ir a + b

skaliarinę sandaugą

3a ndash 2b =

= (3 3 ndash 2 (ndash1) 3 (ndash4) ndash 2 2) == (11 ndash16)

a + b = (3 + (ndash1) ndash4 + 2) = (2 ndash2)

(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54

SprendimasApskaičiuojame vektoriaus 3a ndash 2b

koordinates

Apskaičiuojame vektoriaus a + b koordinates

Sudauginame abu vektorius

Atsakymas 54

Pavyzdys

Duoti taškai A(ndash2 3) B(ndash1 2) C(0 4) ir D(ndash2 0) Apskaičiuok vekto-rių 2AB ir BC ndash AD skaliarinę sandaugą


Pamėgink

UŽDAVINIAI

3 Vektorių išreikštų koordinatėmis skaliarinė sandaugaSudauginkime du vektorius a = (xa ya) ir b

= (xb yb) kurių koordinatės

yra žinomos Išreiškę juos koordinatiniais vektoriais gaunamea b

= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =

= xa xb i2 + xa yb i

j + ya xb j

i + ya yb j

2

Kadangi vektoriai i ir j

yra vienetiniai ir vienas kitam statmeni tai

i2 = 1 j

2 = 1 i j = j

i = 0 Įrašę šias reikšmes gauname vektorių

išreikštų koordinatėmis skaliarinės sandaugos formulęa b

= xa xb + ya yb

Skaliarinė vektorių sandauga lygi jų atitinkamų koordinačių san-daugų sumai

Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85

b) Taškai K(8 ndash4) L(2 ndash3) ir M(4 ndash6) yra trys lygiagretainio viršūnės Kokios turi būti šio lygiagretainio ketvirtosios viršūnės P koordinatės Išnagrinėk visus galimus atvejus

Apskaičiuok vektoriaus c = ndash2a + 5b koordinates kai

a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b

= (ndash 3 ndash2 5 )

Apskaičiuok |a ndash 05b| |3b

| 3|a| + 2|b

| kai

a) a = (ndash2 1) b = (4 ndash3) b) a = (5 12) b

= (6 8)

Yra žinoma kad a = (ndash3 4) b = (2 4) c = (ndash4 ndash1) Apskaičiuok skaliarinę

vektorių sandaugą

a) athinsp i b) a c c) (a + b

) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)

Yra žinomi keturi taškai A(ndash2 3) B(2 7) C(2 ndash3) ir D(ndash1 3) Kurio iš toliau nurodytų veiksmų rezultatas yra vektorius o kurio ndash skaičius Apskaičiuok

a) ACthinsp (AB + BC) b) (BCthinsp CD ndash BDthinsp AD)thinsp BDc) |BC| (AC + BD) d) (AB + AC)thinsp ADe) BDthinsp (ACthinsp CD ndash BDthinsp AD) f) (AC + BD) |AC|

Apskaičiuok a ∙ b

(a ndash 2b) ∙ c |c| ∙ b

a) b)

a) Su kuria m reikšme a ∙ b = 4 jei a = (ndash2 m) o b

= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb

Rask vektoriaus a koordinates

a) Apskaičiuok vektoriaus c ilgį jei c = a + b

o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)

b) Apskaičiuok x jei a = (x 2) b = (2 3) o |a + b

| = 13

a) Taškas A priklauso ašiai Oy Nustatyk vektoriaus AB koordinates jei B(6 3) ir |AB| = 10

b) Nustatyk taško A koordinates jei yra žinoma kad šis taškas priklauso ašiai Ox o |AB| = 25 ir B(4 24)

a) Vektorių a = (2 ndash4) išreikšk vektoriais b = (ndash2 3) ir c = (1 ndash4)

b) Vektorių x = (0 ndash5) išreikšk vektoriais a = (2 ndash3) ir b = (4 ndash1)

86


Veiksmai su vektoriais išreikštais koordinatėmis taikomi spren-džiant atrodytų nesusijusius su vektoriais uždavinius Kartais užda-vinio sąlygoje gali net nebūti užuominos apie vektorius pavyzdžiui įrodyk kad trikampis yra bukasisldquo arba įrodyk kad taškai yra vie-noje tiesėjeldquo Tokius uždavinius galime spręsti įvairiai tačiau dažnai pats lengviausias būdas yra taikyti vektorių veiksmų savybes

1 Vektorių išreikštų koordinatėmis kolinearumo sąlygaPrisiminkime jei vektoriai a ir b

yra kolinearūs tai teisinga lygybė

b = ka Vektoriaus b

koordinates sužinome daugindami vektoriaus a

koordinates iš skaičiaus kxb = k xa yb = k ya iš čia xb

xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya

Iš čia išplaukia tokia vektorių išreikštų koordinatėmis savybė jei vektoriai kolinearūs tai jų atitinkamos koordinatės yra proporcingos

Teisingas ir atvirkštinis teiginys vadinamas vegravektorių kolinearugravemo saacutelyga jei vektorių atitinkamos koordinatės yra proporcingos tai vek-toriai kolinearūs

Formule xbxa

= ybya

užrašyta sąlyga netaikoma vektoriams kurie yra lygiagretūs su koordinačių ašimis

Įsimink xb

xa = yb

ya = k

Kai k gt 0 tai athinspuarruarrthinspb

Kai k lt 0 tai athinspuarrdarrthinspb

❶ Kokios bus vektorių lygiagrečių su ašimi Ox koordinatės

❷ Kokios bus vektorių lygiagrečių su ašimi Oy koordinatės

❸ Paaiškink kodėl šios lygybės negalime taikyti kai vektoriai yra lygiagretūs su koordinačių ašimis

Pamėgink

①Žinome kad u = 2i + 5j

v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar

vektoriai a = u ndash v ir b = t ndash z yra kolinearūs

a = (2 ndash (ndash2) 5 ndash 3) = (4 2)b = (3 ndash 11 2 ndash 6) = (ndash8 ndash4)

xaxb

= 4ndash8 = ndash 12

yayb


SprendimasApskaičiuojame vektorių a ir b

koordinates

Tikriname ar vektorių a ir b koordinatės proporcingos

Suprastinę trupmenas matome kad koordinačių santykiai yra lygūs Taigi vektoriai a ir b

yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87

②Įrodykime kad taškai A(1 ndash5) B(3 ndash1) ir C(ndash2 ndash11) yra vienoje tiesėje

AB = (3 ndash 1 ndash1 ndash (ndash5)) = (2 4)AC = (ndash2 ndash 1 ndash11 ndash (ndash5)) = (ndash3 ndash6)xABxAC


yAByAC


SprendimasApskaičiuojame vektorių AB ir AC koordinates

Tikriname ar koordinatės yra proporcingos Santykiai lygūs taigi vek-toriai AB ir AC yra kolinearūs Jie turi bendrą pradžios tašką todėl yra vienoje tiesėje Taškai A B ir C yra vienoje tiesėje

Patikrink ar taškai A(ndash4 4) B(2 ndash8) ir C(ndash1 ndash2) yra vienoje tiesėje


Pamėgink

2 Vektorių išreikštų koordinatėmis statmenumo sąlyga Prisiminkime jei vektoriai athinsp= (xa ya) ir b

= (xb yb) yra statmeni tai jų

skaliarinė sandauga lygi nuliui Teisingas ir atvirkštinis teiginys Pritai-kę skaliarinės sandaugos skaičiavimo taisyklę gauname

xa xb + ya yb = 0ĮsiminkJei athinspperp b

taithinspxa xb + ya yb = 0

Ar vektoriai AB ir CD yra statmeni jei A(2 1) B(5 6) C(4 1) ir D(9 ndash2)

AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD

SprendimasApskaičiuojame vektorių AB ir CD koordinates

Apskaičiuojame skaliarinę sandaugą

Vektorių statmenumo sąlyga tenkinama todėl vektoriai AB ir CD yra statmeni

Pavyzdys

❶ Kurie iš šių vektorių yra statmeni kurie ndash kolinearūsa = (ndash1 2) b

= (ndash1 ndash05) c = (2 1) d

= (1 ndash2)

❷ Su kuria n reikšme vektoriai a = (2n ndash1) ir b = (7 8n ndash 12) yra stat-

meni


PamėginkPamėgink

3 Kampas tarp vektoriųKampo tarp nenulinių vektorių athinsp= (xa ya) ir b

= (xb yb) kosinuso reikš-

mę galime rasti naudodamiesi formulea b

= |a| |b

| cos φ

Iš čia cos φ = a b

|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88

2 skyrius | Plokštumos vektoriai | Taikyk Vektoriaus koordinatės

①Apskaičiuokime kampo tarp vektorių AB ir CD didumą (1deg tiks-lumu) kai žinomos taškų A B C ir D koordinatės A(ndash2 ndash2) B(4 3) C(ndash5 ndash1) D(ndash1 ndash7)

AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52

AB CD = 6 4 + 5 (ndash6) = ndash6

cos φ = ndash661 52

asymp ndash0107

φ asymp 96deg


Apskaičiuojame tų vektorių ilgius

Apskaičiuojame skaliarinę vektorių sandaugą Ji yra neigiama todėl vektoriai sudaro bukąjį kampą

Apskaičiuojame kampo tarp vektorių kosinusą ndash skaliarinę sandaugą padalijame iš vektorių ilgių sandaugos

Skaičiuotuvu apskaičiuojame ieškomą kampo didumą

Atsakymas 96deg

②Žinomos keturkampio ABCD viršūnių koordinatės A(ndash3 1) B(2 4) C(4 0) D(ndash1 ndash3) Nustatykime keturkampio rūšį ir apskaičiuokime jo plotą

AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)

AB = DCketurkampis ABCD ndash lygiagretainis

S = AB AD sin ang BAD

cos φ = AB AD |AB| |AD|

=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170

sin φ = 1 ndash cos2 φ = 1 ndash 1170 =

= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26

SprendimasApskaičiuojame vektorių AB AD ir DC koordinates

Vektoriai AB ir DC lygūs todėl keturkampio kraštinės AB ir CD yra lygios ir lygiagrečios taigi keturkampis yra lygiagretainis

Pasirenkame lygiagretainio ploto formulę Matome kad nežinome kampo tarp gretimų lygiagretainio kraštinių Pažymime ang BAD = φ

Pirmiausia apskaičiuosime ieškomo kampo kosinusą Sandauga neigia-ma todėl kampas yra bukasis

Žinodami kosinusą galime apskaičiuoti to paties kampo sinusą Bukojo kampo sinusas teigiamas

Įrašome gautas reikšmes į lygiagretainio ploto formulę ir apskaičiuo-jame plotą

Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai

❶ Kurie iš vektorių a = (ndash5 2) b = (1 2) c = (ndash4 1) sudaro smailųjį

kurie ndash bukąjį kampą

❷ Apskaičiuok trikampio kurio dvi kraštinės yra vektoriai a = (ndash5 2) ir b = (1 2) plotą


PamėginkPamėgink

89

Patikrink ar vektoriai yra kolinearūs

a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)

Su kuria m reikšme vektoriai a ir b yra kolinearūs

a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)

a) Vektorius a yra kolinearus su vektoriumi b = ndash2i

+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-

čiuok vektoriaus a koordinates b) Vektoriai a = ( 3 2 ) ir b

yra kolinearūs Apskaičiuok vektoriaus b

koordi-

nates kai |b| = 3 5

Vektorius b yra priešpriešinis vektoriui a o jo ilgis lygus 1 Apskaičiuok vekto-

riaus b koordinates jei

a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)

a) Įrodyk kad taškai A(0 2 ) B(2 1 + 2 ) ir C(ndash4 2 ndash 2 ) yra vienoje tiesėje Apskaičiuok atkarpų AB ir AC ilgių santykį

b) Įrodyk kad taškai A( 2 3 ) B(1 2 ) ir C(2 ndash 2 2 2 ndash 3 ) yra vienoje tiesėje Apskaičiuok atkarpų AC ir AB ilgių santykį

a) Su kuria m reikšme vektoriai a = ( 3 m) ir b = (m 3 3 ) yra vienakrypčiai

b) Su kuria t reikšme vektoriai a = (t 2 ) ir b = (4 2 t) yra priešpriešiniai

Su kuria x reikšme vektoriai AB ir CD yra statmeni su kuria ndash kolinearūsa) A(7 ndash3) B(x ndash1) CD = (5 3) b) AB = (ndash3 2) C(1 4) D(4 x)

Trikampio viršūnės yra nurodyti taškai A B ir C Įrodyk kad trikampis ABC yra statusis ir apskaičiuok jo plotą kaia) A(ndash3 ndash1) B(3 2) C(ndash1 ndash5) b) A(ndash3 ndash1) B(7 4) C(0 ndash7)

Apskaičiuok kampo tarp vektorių AB ir CD kosinusą kaia) A(ndash2 3) B(3 1) C(ndash4 5) D(1 0) b) A(ndash2 5) B(3 ndash1) C(2 ndash4) D(2 ndash3)

Kokio didumo kampą sudaro vektoriai a ir b

kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3

a) Vektoriai a ir b yra priešpriešiniai Apskaičiuok vektoriaus a ilgį kai |b

| = 4

a b = ndash20

b) Vektoriai a ir b yra vienakrypčiai Apskaičiuok vektoriaus b

ilgį kai |a| = 5

a b = 20

Žinomos keturkampio viršūnių A B C ir D koordinatėsa) A(6 ndash3) B(14 1) C(15 6) D(8 7) b) A(ndash4 2) B(ndash2 8) C(8 8) D(4 ndash4)

Įrodyk kad tas keturkampis ndash trapecija o jo įstrižainės yra statmenos Apskai-čiuok keturkampio plotą

UŽDAVINIAI

90

1 variantas

❶ Pagal brėžinio duomenis apskaičiuoka) vektorių a ir b

koordinates

b) vektoriaus b ilgį

c) a b

❷ Apskaičiuok vektoriaus a = 2m ndash n koordinates ir ilgį kai

a) m = ndash i ndash 4 j

n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31

4 ndash438) n = (ndash61

8 ndash512)

❸ Ar kolinearūs vektoriai AC ir BD kai A(ndash2 ndash1) B(4 ndash3) C(ndash1 15) D(ndash4 ndash1)

❹ Su kuria n reikšme vektoriai a = (113 ndash n n) ir b

= (ndash3 5 + 5n) yra statmeni

❺ Keturkampio ABCD viršūnės yra taškai A(ndash1 ndash1) B(1 5) C(7 7) ir D(5 1) Įrodyk kad šio keturkampio įstrižainės yra statmenos Nustatyk keturkampio rūšį

❻ Žinomos trikampio ABC viršūnių koordinatės A(1 6) B(2 3) C(ndash3 4)a) Vektorius AB BC AC išreikšk koordinatiniais vektoriaisb) Apskaičiuok trikampio mažiausio kampo kosinusą

❼ Koordinačių plokštumoje pažymėti taškai A(ndash1 1) B(ndash2 6) C(4 ndash3) ir D(1 ndash2)a) Įrodyk kad keturkampis ABCD ndash trapecijab) Apskaičiuok šios trapecijos kampų A ir B didumus (1deg tikslumu)c) Nustatyk ordinačių ašies taško vienodai nutolusio nuo taškų A ir B koordinatesd) Apskaičiuok taško X koordinates jei AX = DCe) Įrodyk kad taškas X priklauso tiesei BCf) Vektorių BC išreikšk vektoriais AB = a ir DC = b


Jei mokaisi išplėstinį kursą baigdamas šį skyrių turi mokėti koordinačių plokštumoje pavaizduotą vektorių išreikšti koordi-natėmis ir koordinatėmis išreikštą vektorių pavaizduoti koordi-načių plokštumoje

apskaičiuoti vektoriaus koordinates kai žinomos jo pradžios ir galo taškų koordinatės

apskaičiuoti vektoriaus ilgį atlikti veiksmus su vektoriais išreikštais koordinatėmis užrašyti ir taikyti vektorių statmenumo bei kolinearumo sąlygas apskaičiuoti skaliarinę vektorių sandaugą ir ją taikyti spręsdamas uždavinius

apskaičiuoti kampo tarp vektorių didumą

PASITIKRINK

91

2 variantas

❶ Pagal brėžinio duomenis apskaičiuoka) a b

b) (a + b)(c + a)

❷ Vektoriaus AB = (6 ndash3) pradžios taškas yra A(4 2) Apskaičiuoka) vektoriaus galo taško koordinatesb) atkarpos AB vidurio taško koordinates

❸ Atkarpa AB kurios galai yra A(3 ndash2) ir B(6 4) padalyta į tris lygias dalis Apskai-čiuok dalijimo taškų koordinates

❹ Su kuria n reikšme vektoriai a = (6 3) ir BD yra statmeni kai B(4 n + 1) ir D(3n 1)

❺ Įrodyk kad taškai A B ir C yra vienoje tiesėje kai A(ndash15 78) B(ndash8 53) ir C(13 ndash22)

❻ Nustatyk trikampio ABC rūšį kai jo viršūnės yra A(9 3) B(2 10) ir C(2 3)

❼ Apskaičiuok kampų kuriuos vektorius a = (5 ndash 2 ) sudaro su koordinatiniais vek-toriais i

thinspir j didumus 01deg tikslumu

❽ Apskaičiuok kampą tarp vektorių a = (ndash7 12) ir b = (4 17) (1deg tikslumu) ir šių vek-

torių sudaryto trikampio plotą (dešimtųjų tikslumu)

❾ Dviejų trikampio viršūnių koordinatės yra A(2 ndash1) ir B(ndash3 5) o to trikampio pu-siaukraštinių sankirtos taško koordinatės yra M(1 1) Apskaičiuok viršūnės C koor-dinates

❿ Koordinačių plokštumoje pažymėti taškai A(ndash3 2) B(ndash1 6) C(6 5) ir D(2 ndash3) a) Įrodyk kad keturkampis ABCD ndash trapecijab) Apskaičiuok šios trapecijos kampų A ir B didumus (1deg tikslumu)c) Ar į šią trapeciją galima įbrėžti apskritimą Jei taip apskaičiuok jo centro koordinatesd) Ar apie šią trapeciją galima apibrėžti apskritimą Jei taip apskaičiuok jo centro ko-

ordinatese) Taškas X priklauso trapecijos pagrindui DC AX ndash trapecijos aukštinė Apskaičiuok

taško X koordinatesf) Taškai T ir K ndash trapecijos įstrižainių BD ir AC vidurio taškai Įrodyk kad vektoriai

TK ir AB yra kolinearūs Apskaičiuok skaliarinę jų sandaugą

92

2 skyrius | Plokštumos vektoriai

❶Keturkampis ABCD yra rombas Jo kraštinės ilgis lygus 5 Skaliarinė vektorių AB ir AC sandauga lygi 32 Apskaičiuok rombo kampų kosinusus ir įstrižainių ilgius

❷ABCD ndash lygiagretainis O ndash bet kuris plokštumos taškas esantis lygiagretainio išorėje Įrodyk kad OA + OC = 2OB + BD

❸ABCD ndash lygiagretainis O ndash bet kuris plokštumos taškas esantis lygiagretainio viduje Įrodyk kad OB + OD = 2OB + BD

❹ABCD ndash lygiagretainis O ndash bet kuris plokštumos taškas Įrodyk kad OA + OC = OB + BD

❺Lygiašonės trapecijos ABCD (AD || BC) kraštinėse pažymėti vektoriai AB = a AD = b

ir DC = c Šiais vektoriais išreikšk trapecijos įstrižaines ir įrodyk kad

jos yra vienodo ilgio

❻Vektorių a = (ndash6 2) užrašyk vektorių b = (0 1) ir c = (4 4) suma nuosekliai

atlikdamas šiuos veiksmus a) apskaičiuok sumos vektoriaus mb

+ nc koordinates

b) sulygink vektorių a ir mb + nc koordinates ir apskaičiuok m bei n reikšmes

c) nubraižyk brėžinį ir užrašyk atsakymą

❼Jėga F yra jėgų F1 ir F2 sudarančių 60deg kampą atstojamoji Kokio didumo kam-pus atstojamoji sudaro su jėgomis F1 ir F2 jei |F1| |F2| = 2 3

❽ Yra žinomos trikampio viršūnės A(ndash2 ndash3) B(ndash1 2) ir C(4 1) Įrodyk kad tri-kampis ABC yra lygiašonis ir parašyk tiesės kurioje yra iš viršūnės A nuleista aukštinė lygtį

❾M ir N ndash rombo ABCD kraštinių BC ir CD vidurio taškai Apskaičiuok kampo MAN kosinusą kai ang BAD = 60deg

❿Į apskritimą kurio centras O įbrėžtas keturkampis ABCD Jo įstrižainės su-sikertančios taške P yra viena kitai statmenos Įrodyk kad kraštinių AB ir CD vidurio taškai apskritimo centras O ir taškas P yra lygiagretainio viršūnės

⓫ Žinomos trijų keturkampio viršūnių koordinatės A(2 ndash1) B(6 0) ir D(1 3) a) Parašyk vektorių AB ir AD koordinates b) Įsitikink kad ang DAB yra status c) Kokios turi būti ketvirtosios viršūnės C koordinatės kad keturkampis ABCD

būtų stačiakampis

⓬ Kvadrato kraštinės ilgis lygus a Kraštinėse pažymėjęs vektorius nustatyk jų sumos vektoriaus koordinates Kiek tokių skirtingų sumų galima gauti skirtingai žymint vektorius

Paaiškinimas Jei vektorius pažymėsime taip kaip parodyta kairia-jame brėžinyje jų suma bus lygi 0

(0 0) Jei bent vieno vektoriaus

kryptį pakeisime taip kaip parodyta dešiniajame brėžinyje suma bus kitokia Reikia ištirti visus variantus

AR PRIIMSI IŠŠŪKĮ

93

I dalis Pasirink tavo nuomone teisingą atsakymą

❶Reiškinio x ndash 1x2 ndash 5 apibrėžimo sritis yra

A (ndashinfin 5) cup (5 +infin) B (ndashinfin 1) cup (1 5) cup (5 +infin)C (ndashinfin ndash 5 ) cup ( 5 +infin) D (ndashinfin ndash 5 ) cup (ndash 5 5 ) cup ( 5 +infin)

❷Pavaizduotos tiesės lygtis yraA y = 2x + 3B y = x2 ndash 3C y = ndash2x ndash 3D y = 05x + 3

❸Pavaizduotos parabolės lygtis yraA y = (x ndash 1)(x ndash 3)B y = (x ndash 1)(x + 3)C y = (x + 1)(x ndash 3)D y = (x + 1)(x + 3)

❹a b c ir d yra skaičių tiesės taškų A B C D koordinatės Kuris iš nurodytų modulių yra didžiausias

A |a ndash b| B |a + b| C |a + c| D |a ndash d|

❺Kvadrato įstrižainės ilgis lygus 18 Apskaičiuok kvadrato plotąA 81 2 B 162 C 162 2 D 324

❻Į pusapskritimį kurio spindulio ilgis 3 cm įbrėžto trikampio plotas yra

A 45 3 cm2 B 6 sin 30deg cm2C 15 3 cm2 D 45 cm2

❼Į apskritimą įbrėžtas taisyklingasis penkiakampis ABCDE Kokio didumo yra kampas tarp šio penkiakampio įstrižainių BD ir BEA 72deg B 36deg C 108deg D 54deg

❽ Jei m2

4 yra sveikasis skaičius o mn nėra sveikasis skaičius tai kokios gali būti

m ir n reikšmės Išrink teisingą atsakymą

A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3

❾Suprastinęs reiškinį 5 ndash xx2 ndash 25 gausi

A ndash 1x + 5 B 1

x ndash 5 C 1x + 5 D 1

5 ndash x

KARTOJIMO UŽDAVINIAI

94


II dalis Išspręsk uždavinius

❿Apie tris lygius vienas kitą liečiančius apskritimus apibrėžtas ketvirtasis liečian-tis visus tris mažuosius apskritimus Apskaičiuok didžiojo apskritimo ilgio ir visų trijų mažųjų apskritimų ilgių sumos santykį

⓫ Į taisyklingąjį šešiakampį įbrėžtas skritulys o į skritulį ndash kvadratas

a) Apskaičiuok šešiakampio ir kvadrato plotų santykįb) Apskaičiuok šešiakampio ir kvadrato perimetrus jei skritulio spindulio ilgis 5 cm

⓬ Stačiakampio OABC kraštinių ilgiai yra OA = 3 OC = 6

a) Vektorius OK ir OL išreikšk vektoriais OA ir OC jei yra žinoma kad AK = KB ir BL = 2LC

b) Užrašyk vektorių OK ir OL koordinatesc) Apskaičiuok kampo tarp vektorių OK ir OL didu-

mąd) Vektorius OA ir OC išreikšk vektoriais OK ir OL

⓭ Trikampio ABC plotas lygus 4 o viršūnių koordinatės yra A(1 ndash2) B(0 1) C(x 0) (čia x gt 1)

a) Parašyk tiesės AB lygtįb) Nustatyk taško K kuriame tiesė AB kerta ašį Ox koordinatesc) Užrašyk trikampio ABC plotą kaip trikampių KBC ir AKC plotų sumąd) Apskaičiuok koordinatės x reikšmę

⓮ Prekės kaina iš pradžių buvo sumažinta 20 vėliau ndash dar 10 Kiek procentų atpigo prekė

⓯ Nustatyk koks yra keturkampis ABCD jei teisinga lygybė OB ndash OA = OC ndash OD Taškas O yra šalia keturkampio

⓰ Automobilis iš pradžių 3 valandas važiavo 120 kmh greičiu paskui dar 2 va-landas ndash greičiu lygiu 2

3 pradinio greičio Apskaičiuok nuvažiuotą atstumą ir vidutinį kelionės greitį

⓱ Apskaičiuok nelygybės 2x2 ndash 4x lt 6 sveikųjų sprendinių aritmetinį vidurkį ir mažiausią natūralųjį sprendinį

⓲ Tadas Matas ir Renatas žaidžia kėgliais Visų jų tikimybės laimėti yra vienodos

a) Kiek yra galimybių vaikinams pasiskirstyti tris vietasb) Kokia tikimybė kad laimės Renatasc) Kokia tikimybė kad laimės vaikinas kurio vardas sudarytas iš 5 raidžiųd) Iš kiekvieno vaikino vardo atsitiktinai pasirenkama viena raidė Kokia tikimybė

kad visos raidės yra aldquo e) Iš kiekvieno vaikino vardo atsitiktinai pasirenkama viena raidė Kokia tikimybė

kad pasirinktos raidės yra vienodosf) Iš kiekvieno vaikino vardo atsitiktinai pasirenkama viena raidė Kokia tikimybė

kad bent dvi pasirinktos raidės yra skirtingos

95

Projektinių darbų užduotys

1 darbas Paveikslėlyje matome kaip laikosi prie liniuotės virvele pririštas plaktukas Liniuotė vos remiasi į stalo kraštą Ar tai įmanoma

Užduotis Pabandyk sumodeliuoti paveikslėlyje vaizduojamą situaciją Paaiškink šį fenomeną remdamasis matematikos ir fizikos žiniomis nubraižyk aiškų brėžinį jame pavaizduok visų veikiančių jėgų vektorius išmatavęs reikiamus dydžius atlik būtinus skaičiavimus ir parodyk kodėl sistema yra pusiausvira

2 darbasAutomobilių šonaslydis ndash sporto šaka kurios varžybose automobiliai slysta trasa ir turi atlikti tam tikras užduotis Ši sporto šaka sparčiai po-puliarėja Gal esi stebėjęs šonaslydžio varžybas ir galėtum matematiškai paaiškinti kas jose vyksta

UžduotisAtsakyk į klausimus atsakymus pagrįsk brėžiniais ir skaičiavimais

❶ Kodėl važiuojant automobiliu posūkyje reikia sumažinti greitį

❷ Paveiksle pavaizduotas šonaslydžio trasos fragmentas Nubrėžk reikiamus vektorius ir paaiškink kodėl automobilis slysta

57

Kaip susijusi musė su navigacija tavo telefoneTurbūt visi pritartų ndash žmonėms svarbu vieniems kitus suprasti O kad susikalbėtume turime mokėti pasakyti taip kad žodžiai norimą objek-tą apibūdintų vienareikšmiškai ir tiksliai

Pasak legendos septynioliktajame amžiuje mažasis Renė1 pastebė-jo musę ropojančią lubomis Feisbuko tuo metu dar nebuvo todėl jis nusprendė tiesiog paspoksoti į musę ir pamėginti sugalvoti kaip kuo trumpiau vienareikšmiškai nusakyti musės padėtį

Šie stebėjimai padovanojo žmonijai didžiulę dovaną ndash Dekarto koor-dinačių sistemą Juk žiūrėdamas į lubas Renė suprato kad tik tada kai yra žinomi abu atstumai ndash musės atstumas nuo lango ir jos atstumas nuo sienos ndash musės pozicija gali būti nusakyta vienareikšmiškai

1 Renė Dekartas (Rene Descartes) ndash prancūzų filosofas matematikas ir fizikas moderniosios filosofijos pradininkas

Vaikas pastebėjo musę Musės elgsena paskatino iškelti idėją Vaikas pamiršo musę plėtojo idėją išsamiai ir formaliai ją aprašė

Jo pasekėjai sugalvojo kaip pritaikyti idėją įvairiose gyvenimo srityse

Ir štai ndash šiandien turi navigaciją savo telefone

Jei musė nuropojo jos naująją vietą vienareikšmiškai galima nusa-kyti ir kitaip ndash užtenka žinoti ropojimo kryptį ir nuropotą atstumą Taigi egzistuoja tokie dydžiai kuriems vienareikšmiškai apibūdinti rei-kia dviejų elementų ndash krypties ir ilgio Tai ndash vektoriniai dydžiai arba vektoriai

Kasdien tau tenka susidurti su vektoriniais dydžiais greičiu pagrei-čiu jėga Metas pažinti juos geriau

58


b + c = ab + a

c 4) a (bc) = (ab) (ac)

5) a + db + c = a

b + c + db + c 6) a + d

b + c = ab + d

c 7) (a + b)2 = a2 + b2 8) a + bc = a

c + bc








A K (ndash2 + 02 6 + 4



2 ) D K (ndash2 + 62 0 + 4








59


2 c) 132 ndash 122 d) (21 ndash 32)2

e) 3 a ndash aa









5 ) B(2 23 3)






Pasitikrink ar moki

60










ir t t







Pavyzdys




Pamėgink

SUSIPAŽINK

61













b) |BC| = 8 cm

BD2 = BC2 + CD2 BD2 = 82 + 62 BD = 10 |BD| = 10 cm







Pavyzdys





Pamėgink

62


Žymime a b

UŽDAVINIAI

a) OA OC = 180deg

b) OB OA = 75deg





Sprendimas






Pavyzdys






a b = 0deg


a b = 180deg





Pamėgink

63







sumos ilgis lygus 8


ilgių suma lygi 15


ilgiai yra lygūs





jei a) b

= a b) b

= ndasha c) b















a) b)

64





pradžios tašku



suma a + b






bei b ndash a




galo tašku

Ieškome a ndash b




galo tašku

Ieškome b ndash a




pra-


Pavyzdys


a ndash c c ndash a

c + b

c ndash b

b ndash c

Pamėgink

IŠMOK

65



a ir c





Pavyzdys




iš vieno taško


mos vektorius a + b




galo taško






Pavyzdys



ir b

ndash c


Pamėgink

66







+ c ndash d






Pavyzdžiai






thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai


a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








58


b + c = ab + a

c 4) a (bc) = (ab) (ac)

5) a + db + c = a

b + c + db + c 6) a + d

b + c = ab + d

c 7) (a + b)2 = a2 + b2 8) a + bc = a

c + bc








A K (ndash2 + 02 6 + 4



2 ) D K (ndash2 + 62 0 + 4








59


2 c) 132 ndash 122 d) (21 ndash 32)2

e) 3 a ndash aa









5 ) B(2 23 3)






Pasitikrink ar moki

60










ir t t







Pavyzdys




Pamėgink

SUSIPAŽINK

61













b) |BC| = 8 cm

BD2 = BC2 + CD2 BD2 = 82 + 62 BD = 10 |BD| = 10 cm







Pavyzdys





Pamėgink

62


Žymime a b

UŽDAVINIAI

a) OA OC = 180deg

b) OB OA = 75deg





Sprendimas






Pavyzdys






a b = 0deg


a b = 180deg





Pamėgink

63







sumos ilgis lygus 8


ilgių suma lygi 15


ilgiai yra lygūs





jei a) b

= a b) b

= ndasha c) b















a) b)

64





pradžios tašku



suma a + b






bei b ndash a




galo tašku

Ieškome a ndash b




galo tašku

Ieškome b ndash a




pra-


Pavyzdys


a ndash c c ndash a

c + b

c ndash b

b ndash c

Pamėgink

IŠMOK

65



a ir c





Pavyzdys




iš vieno taško


mos vektorius a + b




galo taško






Pavyzdys



ir b

ndash c


Pamėgink

66







+ c ndash d






Pavyzdžiai






thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai


a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








59


2 c) 132 ndash 122 d) (21 ndash 32)2

e) 3 a ndash aa









5 ) B(2 23 3)






Pasitikrink ar moki

60










ir t t







Pavyzdys




Pamėgink

SUSIPAŽINK

61













b) |BC| = 8 cm

BD2 = BC2 + CD2 BD2 = 82 + 62 BD = 10 |BD| = 10 cm







Pavyzdys





Pamėgink

62


Žymime a b

UŽDAVINIAI

a) OA OC = 180deg

b) OB OA = 75deg





Sprendimas






Pavyzdys






a b = 0deg


a b = 180deg





Pamėgink

63







sumos ilgis lygus 8


ilgių suma lygi 15


ilgiai yra lygūs





jei a) b

= a b) b

= ndasha c) b















a) b)

64





pradžios tašku



suma a + b






bei b ndash a




galo tašku

Ieškome a ndash b




galo tašku

Ieškome b ndash a




pra-


Pavyzdys


a ndash c c ndash a

c + b

c ndash b

b ndash c

Pamėgink

IŠMOK

65



a ir c





Pavyzdys




iš vieno taško


mos vektorius a + b




galo taško






Pavyzdys



ir b

ndash c


Pamėgink

66







+ c ndash d






Pavyzdžiai






thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai


a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








60










ir t t







Pavyzdys




Pamėgink

SUSIPAŽINK

61













b) |BC| = 8 cm

BD2 = BC2 + CD2 BD2 = 82 + 62 BD = 10 |BD| = 10 cm







Pavyzdys





Pamėgink

62


Žymime a b

UŽDAVINIAI

a) OA OC = 180deg

b) OB OA = 75deg





Sprendimas






Pavyzdys






a b = 0deg


a b = 180deg





Pamėgink

63







sumos ilgis lygus 8


ilgių suma lygi 15


ilgiai yra lygūs





jei a) b

= a b) b

= ndasha c) b















a) b)

64





pradžios tašku



suma a + b






bei b ndash a




galo tašku

Ieškome a ndash b




galo tašku

Ieškome b ndash a




pra-


Pavyzdys


a ndash c c ndash a

c + b

c ndash b

b ndash c

Pamėgink

IŠMOK

65



a ir c





Pavyzdys




iš vieno taško


mos vektorius a + b




galo taško






Pavyzdys



ir b

ndash c


Pamėgink

66







+ c ndash d






Pavyzdžiai






thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai


a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








61













b) |BC| = 8 cm

BD2 = BC2 + CD2 BD2 = 82 + 62 BD = 10 |BD| = 10 cm







Pavyzdys





Pamėgink

62


Žymime a b

UŽDAVINIAI

a) OA OC = 180deg

b) OB OA = 75deg





Sprendimas






Pavyzdys






a b = 0deg


a b = 180deg





Pamėgink

63







sumos ilgis lygus 8


ilgių suma lygi 15


ilgiai yra lygūs





jei a) b

= a b) b

= ndasha c) b















a) b)

64





pradžios tašku



suma a + b






bei b ndash a




galo tašku

Ieškome a ndash b




galo tašku

Ieškome b ndash a




pra-


Pavyzdys


a ndash c c ndash a

c + b

c ndash b

b ndash c

Pamėgink

IŠMOK

65



a ir c





Pavyzdys




iš vieno taško


mos vektorius a + b




galo taško






Pavyzdys



ir b

ndash c


Pamėgink

66







+ c ndash d






Pavyzdžiai






thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai


a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








62


Žymime a b

UŽDAVINIAI

a) OA OC = 180deg

b) OB OA = 75deg





Sprendimas






Pavyzdys






a b = 0deg


a b = 180deg





Pamėgink

63







sumos ilgis lygus 8


ilgių suma lygi 15


ilgiai yra lygūs





jei a) b

= a b) b

= ndasha c) b















a) b)

64





pradžios tašku



suma a + b






bei b ndash a




galo tašku

Ieškome a ndash b




galo tašku

Ieškome b ndash a




pra-


Pavyzdys


a ndash c c ndash a

c + b

c ndash b

b ndash c

Pamėgink

IŠMOK

65



a ir c





Pavyzdys




iš vieno taško


mos vektorius a + b




galo taško






Pavyzdys



ir b

ndash c


Pamėgink

66







+ c ndash d






Pavyzdžiai






thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai


a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








63







sumos ilgis lygus 8


ilgių suma lygi 15


ilgiai yra lygūs





jei a) b

= a b) b

= ndasha c) b















a) b)

64





pradžios tašku



suma a + b






bei b ndash a




galo tašku

Ieškome a ndash b




galo tašku

Ieškome b ndash a




pra-


Pavyzdys


a ndash c c ndash a

c + b

c ndash b

b ndash c

Pamėgink

IŠMOK

65



a ir c





Pavyzdys




iš vieno taško


mos vektorius a + b




galo taško






Pavyzdys



ir b

ndash c


Pamėgink

66







+ c ndash d






Pavyzdžiai






thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai


a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








64





pradžios tašku



suma a + b






bei b ndash a




galo tašku

Ieškome a ndash b




galo tašku

Ieškome b ndash a




pra-


Pavyzdys


a ndash c c ndash a

c + b

c ndash b

b ndash c

Pamėgink

IŠMOK

65



a ir c





Pavyzdys




iš vieno taško


mos vektorius a + b




galo taško






Pavyzdys



ir b

ndash c


Pamėgink

66







+ c ndash d






Pavyzdžiai






thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai


a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








65



a ir c





Pavyzdys




iš vieno taško


mos vektorius a + b




galo taško






Pavyzdys



ir b

ndash c


Pamėgink

66







+ c ndash d






Pavyzdžiai






thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai


a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








66







+ c ndash d






Pavyzdžiai






thinspndash a + b

+ b

thinsp= ndasha + b





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai


a ndash c

c ndash a c + b

c ndash b

b ndash c


Pamėgink

67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








67




= MN + NP + PR + KM + RK =

= MN + NR + KM + RK =

= MR + KM + RK =

= MK + KM = MM = 0

Sprendimas

Atskliaučiame



Veiksmą kartojame


Pavyzdys





2 bthinsp




ir už jį perpus

trumpesnis




Pavyzdžiai





Pamėgink

68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








68



b) AC = AB + BC = b + 3a

c) BK = BC + CK (1)



CK = 13 CD = 1

3 (ndash2a ndash b)


) =

= 2 13 a ndash 1

3 b


2 AD = a AB = b



a) BD b) AC c) BK






+ 3a c) BK = 2 1

3 a ndash 13 b


3a ndash 4b a + 25b



Pamėgink




= |a||b

| cos φ


a) a ∙ c = 7 ∙ 7 cos 60deg = = 49 ∙ 05 = 245b) a ∙ b

= 7 ∙ 7 cos φ =




a) a ∙ c b) a ∙ b


Kampo


Pavyzdys

Įsiminka ∙ b

= |a||b

| cos φ

69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








69


) ∙ c ne a ∙ (b

∙ c)



Pamėgink


ir


∙ c)


Pamėgink

UŽDAVINIAI


c ir d


a) b)


a)b)

a ndash b a + b

b + c c ndash a




|a| = 1 cm



ndash c b


c ndash a c ndash b



70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








70




a) b)




yra

lygūs










= 5 cm






b + 1



3 b 1

7 a + 2c 2a + 15b






71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








71



= CB kai

a) BK KA = 2 1 b) BK KA = 3 1



a) OL MO b) OK LO


tikslumu kai

a) |a| = 13 |b| = 4 φ = 30deg b) |a| = 2 |b

| = 5 φ = 150deg

c) |a| = 06 |b| = 1 2

7 φ = 50deg d) |a| = 3 |b| = 7 φ = 60deg

e) |a| = 02 |b| = 07 φ = 120deg f) |a| = 1 2

7 |b| = 07 φ = 170deg






b = 60deg b

c = 120deg a



)(a + c)


)(2a ndash c)


a) a ∙ b ∙ k b) (a ∙ b

) ∙ (c ∙ d

)

c) (a ∙ b) ∙ c d) a ∙ b

∙ c

e) (a ∙ k) ∙ c f) (a ∙ k) ∙ (c ∙ t)g) (a ∙ b

) ∙ c ∙ d

h) a ∙ (b

∙ c)


yra teisinga kai




72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








72






uždavinius

Įsimink Jei b

= ka



tai b = ka



ndash a + 2

3 (a + b) = ndash 13 a


3 b + 2

3 (a + b) = 2

3 a


MP || NP




ir MP



3 AC = 23 (a + b

)



3 AC = 23 (a + b

)



Pavyzdys


c = a ndash b


= 3b


= ndash02a + 02b


6) z = 3b

+ 3a


Pamėgink

TAIKYK

73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








73


= |a| |b

| cos φ



| 0 = 0





tai a b

= 0


a 2 = |a|2 |a| = a

2

OB = b OA = a



) =


ndash b

2 = a 2 ndash b2


|2


|2 = 0









lygūs


Pavyzdys



yra neigiama



Pamėgink

74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








74











BD = athinsp+ b








ir



vt = vv + v1

|vt| = v

t2 = (vv + v

1)2 =

= v

v2 + 2v

v v

1 + v

12 =

= |v

v|2 + 2|v

v| |v

1| cos 45deg + |v

1|2 =

= 7002 + 2 700 36 cos 45deg + 362 asymp

asymp 726 kmh


Sprendimas





| cos α


Atsakymas 726 kmh

Pavyzdys

UŽDAVINIAI



Pamėgink

75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








75





ir





= 05 c) a b

= ndash02 d) a b

= 6





|


kai

a) |a| = 3 |b| = 4 a b

= 6 b) |a| = 2 1

2 |b| = 1 2

5 a b = 7 3

4

c) |a| = 1 113 |b

| = 1 3

5 a b = 0 d) |a| = 2 2

3 |b| = 5

8 a b = ndash 5

6


Vektoriais a ir b











76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








76

1 variantas




c d ir e



y = a ndash 14b






v = a + 05b

t

= ndash4a ndash 2b






PASITIKRINK

77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








77




) Ap-



)(a + 2b

)



2 variantas




jei




= CD




= KM




kai

a) |a| = 6 |b| = 12 a ∙ b

= 36 b) |a| = 2 2

3 |b| = 3

16 a ∙ b = ndash 1

4


|


78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








78





ašyje


ir j



džiui OA = 3i + 2j

OB = 2i

+ (ndash2j

) = 2i

ndash 2j

OC = ndash4i

ndash j Vektoriaus


ir j

pradžios taškai



+ yj





= (0 1)







Pavyzdys



Pamėgink

SUSIPAŽINK

79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








79












AB = CD





Prisimink V(x1 + x2

2 y1 + y2



2 y1 + y2

2 )





xV = x1 + x2

2

yV = y1 + y2

2








2 y1 + y2

2 )

Pavyzdžiai

80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








80



a) a = (3 ndash7) ir b = (0 075)


= (29 4



a) a = ndashi + 4j

b = 3i

+ 5j

c = ndash7j

OM = (2 ndash3) OT = (6 0)

b) a = ndash2i + 3j

b = i ndash 2j

c = 3j




b = i + 2j

c = 4j


b) a = 4i ndash 3j

b = ndash2i

+ 2j

c = ndash3j

AM = (0 ndash4) AT = (4 0)




xP = 3 + 142 = 85

yP = 3 + 112 = 7

P(85 7)

Sprendimas






Atsakymas (85 7)

UŽDAVINIAI



Pamėgink

81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








81


a) b)


ir j














82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








82




|a| = x2 + y2




AB = DC




x = 0y = ndash2

D(0 ndash2)




Sprendimas









Pavyzdys

IŠMOK

83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








83





Pamėgink

Įsimink a + b

= (xa + xb ya + yb)


ka = (kxa kya)








ka = (kxa kya)





m = (ndash12 4)





Pavyzdys







Pamėgink

84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








84








3a ndash 2b =



(3a ndash 2b)(a + b

) =

= 11 2 + (ndash16) (ndash2) = 54


koordinates



Atsakymas 54

Pavyzdys



Pamėgink

UŽDAVINIAI




= (xai

+ ya j

) (xbi

+ yb j

) =


j + ya xb j

i + ya yb j

2



i2 = 1 j

2 = 1 i j = j



= xa xb + ya yb


Įsiminka b

= xa xb + ya yb

85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








85



a) a = (12 6) b = (0 9) b) a = ( 1

2 2

2 ) b = (ndash 2 12 )

c) a = (ndash 16 12) b = ( 2

15 35) d) a = ( 3 ndash 5 ) b



| 3|a| + 2|b

| kai


= (6 8)


vektorių sandaugą


) c d) ndash i

j e) (i + j

) b

f) bthinsp j

g) b

c h) (b

+ c) a i) j

i j) a (j

ndash i)





a) b)


= (m 6)

b) b = (2 3) a ∙ b

= 26 athinsp= mb



o athinsp= (4 3) ir b = (3 1)


| = 13





86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








86





b = ka Vektoriaus b



xa = k yb

ya = k

Taigi xbxa

= ybya



Formule xbxa

= ybya


Įsimink xb

xa = yb

ya = k






Pamėgink


v = ndash2i

+ 3j

t = (3 2) z = (11 6) Ar



xaxb


yayb



koordinates



yra kolinearūs

Atsakymas Taip

Pavyzdžiai

TAIKYK

87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








87




yAByAC






Pamėgink







AB = (3 5) CD = (5 ndash3)

AB CD = 3 5 + 5 (ndash3) = 0

ABperpCD




Pavyzdys



= (1 ndash2)


meni


PamėginkPamėgink




= |a| |b

| cos φ


|a| |b

|cos φ = a

b

|a| |b

|

88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








88



AB = (6 5) CD = (4 ndash6)|AB| = 36 + 25 = 61|CD| = 16 + 36 = 52



asymp ndash0107

φ asymp 96deg






Atsakymas 96deg


AB = (5 3) AD = (2 ndash4) DC = (5 3)




=

= 5 2 + 3 (ndash4)52 + 32 22 + 42

= ndash 1170


= 13170

S = 34 20 13170

= 2 13 = 26







Atsakymas S = 26

Pavyzdžiai





PamėginkPamėgink

89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








89


a) u = 3 13 i ndash 05 j

ir v = ndash2 i

+ 03 j

b) t

= (3 2) ir z = (1 7

11 6 ) c) a = (6 0) ir b = ( 3

11 0 )d) x = 1

3 i ndash 2 j

ir y = ndash2 i

+ 12 j

e) t

= (0 2) ir z = (0 67) f) a = (6 ndash13) ir b

= ( 3

11 ndash 1311)


a) a = (6 3) b = (ndash2 m) b) a = (6 0) b

= (ndash2 m) c) a = ( 3 2 ) b

= (3 m)

d) a = (ndash3 1) b = (m 6) e) a = (0 1) b

= (0 m) f) a = ( 2 m) b

= (2 3)


+ 4 j

o |a| = 5 Apskai-



koordi-

nates kai |b| = 3 5



a) a = (ndash1 4 5 ) b) a = (2 10 ndash3)









kaia) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 b) |a| = 4 |b

| = 5 a b

= ndash10 3


| = 4

a b = ndash20


ilgį kai |a| = 5

a b = 20



UŽDAVINIAI

90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








90

1 variantas


koordinates


c) a b



n = 5i

ndash 2 j

b) m = (ndash31


8 ndash512)












PASITIKRINK

91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








91

2 variantas


b) (a + b)(c + a)















92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








92











+ nc koordinates














93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








93












❽ Jei m2



A m = 1 n = 2 B m = 3 n = 1 C m = 2 n = 4 D m = 6 n = 3


A ndash 1x + 5 B 1


5 ndash x


94






















95








94






















95








95








Documents

2 PLOKSTUMOS VEKTORIAI · Turbūt visi pritartų – žmonėms svarbu vieniems kitus suprasti. O kad susikalbėtume, turime mokėti pasakyti taip, kad žodžiai norimą objek-tą