2. Relasi Dan Fungsi

BAB 1

BAGIAN 2RELASI DAN FUNGSI

1ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSWRelasi, Fungsi, Fungsi Invers, Fungsi Komposisi, Fungsi Eksponensial dan Logaritma10/19/20101ALZ DANNY WOWOR/MATEMATIKA DASAR '09A.RELASIPengertian Relasi

Secara umum relasi berarti hubungan.

Matematika: Relasi antara dua himpunan (misalnya himpunan A dan himpunan B) adalah suatu aturan yang memangsangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota pada himpunan B.

2ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW10/19/20102ALZ DANNY WOWOR/MATEMATIKA DASAR '09Contoh 1Misalakan Eva, Roni, Tian dan Dian diminta untuk menyebutkan warna kesukaannya masing-masing. Hasilnya adalah sebagai berikut:Eva menyukai warna merahRoni menyukai warna hitam Tina menyukai warna merahDian menyukai warna biruALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW310/19/2010Terdapat dua himpunan yaitu himpunan orang dan himpunan warna. Misalkan A = {Eva, Roni, Tia, Dian} dan B = {merah, hitam, biru}.

Dengan demikian relasi himpunan A dan B dapat digambarkan dengan diagram seperti pada gambar dibawah ini.

10/19/2010ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW4

2Menyatakan RelasiTerdapat tiga cara untuk menyatakan relasi antara dua himpunan, yaitu dengan menggunakan

diagram panahhimpunan pasangan berurtan, dan diagram Cartesius.ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW510/19/2010aDiagram PanahDinamakan relasi diagram panah karena ihubuangkan/dinyatakan dengan arah panah.

CONTOH 1.2:Perhatikan diagram panah berikut.

Gambar 1.2 Tentukan hobi masing-masing anak.

ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW6

10/19/2010Jawab Hasan dipasangkan dengan membaca, berarti Hasan hobi membaca.Maria tidak dipasangkan dengan membaca, memasak, atau olahraga,jadi, hobi Maria bukanlah membaca, memasak, atau olahraga.Joni dipasangkan dengan membaca dan olahraga, berarti Joni hobi membaca dan berolahraga.Zahra dipasangkan dengan memasak, berarti hobinya Zahra adalah memasak.

ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW710/19/2010b Himpunan Pasangan BerurutanDinamakan demikian karena menyatakan relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan B yang dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x A dan y B.

Contoh 1.3:Pada gambar 1.1 relasi menyukai warna, dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan.

ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW810/19/2010Himpunan A = {Eva, Roni, Tia, Dian} dan Himpunan B = {merah, hitam, biru}.

Pernyataan Eva menyukai warna merah ditulis (Eva, merah).Pernyataan Roni menyukai warna hitam ditulis (Roni, hitam).Pernyataan Tia menyukai warna merah ditulis (Tia, merah).Pernyataan Dian menyukai warna biru ditulis (Dian, biru).

Diperoleh pasangan berurutan : {(Eva, merah), (Roni, biru), (Tia, merah), (Dian, biru)}.

10/19/2010ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW9cDiagram CartesiusRelasi yang dinyatakan ke dalam diagram Cartesius, dengan menempatkan suatu himpunan pada sumbu mendatar dan himpunan yang lain pada sumbu tegak, atau sebaliknya.Setiap anggota suatu himpunan yang berpasangan dengan anggota himpunan yang lain, diberi tanda ().Contoh 1.4:Perhatikan kembali contoh 1.1, yang membahas relasi menyukai warna. Himpunan A ditempatkan pada sumbu mendatar, dan himpunan B pada sumbu tegak.

Gambar 1.3 : Relasi menyukai warna dengan diagram Cartesius


10/19/2010B.FUNGSI ATAU PEMETAAN1Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Gambar 1.4Pada gambar 1.4, terdapat dua himpunan yaitu P = {Nisa, Asep, Made, Cucu, Butet} dan Q = {A, B, O, AB}. Setiap anak anggota P dipasangkan dengan tepat satu anggota Q. Bentuk relasi seperti ini disebut Fungsi atau Pemetaan. Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota di himpunan yang lain.


10/19/2010Contoh 1.5:Dari diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi?

Jawab:Diagram panah (a) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.Diagram (b) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu a, mempunyai dua pasangan anggota B, yaitu 1 dan 2.Diagram panah (c) bukan merupakan fungsi kerana ada anggota A, yaitu a, tidak mempunyai pasangan anggota B.


10/19/20102Domain, Kodomain, dan RangePerhatikan fungsi pada gambar 1.6 di bawah ini, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan range (daerah hasil).

Gambar 1.6Dari gambar 1.6 di atas diperoleh : Domain (Df) adalah A = {1, 2, 3}Kodomain adalah B = {1, 2, 3, 4}Range (Rf) adalah = {2, 3, 4}.


10/19/20102Sejarah fungsiIstilah fungsi pertama kali digunakan G. W. Leibniz pada tahun 1673, yang digunakan untuk menujukan ketergantungan pada kuantitas yang lain.Misalnya luas daerah A adalah lingkaran dengan jari-jari r, sehingga A = r2 maka A adalah fungsi dari r.Berubahnya kecepatan agin w terhadap waktu t. maka w adalah fungsi dari t.Setelah itu matematikawan berkembangsaan Swis, Leonhard Euler menotasikan f sebagai fungsi. Yang di tulis y = f(x) (dibaca: y sama dengan f dari x atau y sama dengan f x)Kadang fungsi juga dinotasikan w = f(t), g(x), v(r), dll.ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW1410/19/20103Grafik FungsiGambar 1.7Pada gambar 1.7, aturan yang memetakan himpunan A ke himpunan B adalah untuk setiap x anggota A dipetakan ke (x+1) anggota B. Untuk fungsi pada gambar 1.7 digunakan f maka fungsi tersebut dinotasikan dengan y = f (x) = x + 1. Sehingga diperoleh.

Untuk x = 1, y = f(1) = 1 + 1 = 2 sehingga (1,2).Untuk x = 2, y = f(2) = 2 + 1 = 3 sehingga (2,3).Untuk x = 3, y = f(3) = 3 + 1 = 4 sehingga (3,4).


10/19/2010Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat dituliskan dalam tabel. Seperti pada fungsi y = f (x) = x +1

Tabel 1.1Dari tabel 1.1 merupakan pasangan berurutan, dan akan membentuk sebuah grafik jika setiap noktah dihubungkan seperti pada gambar 1.8

Gambar 1.8Dari gambar di atas domain Df = A = {1, 2, 3}, kodomain = B = {1, 2, 3, 4} dan Range Rf = {2, 3, 4}.

ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW16x123y = f(x) = x +1234Pasangan Berurutan (x, y)(1, 2)(2, 3)(3, 4)

10/19/2010Contoh 1.6Gambarlah grafik fungsi dari f(x) = |x|Solusi: y = f(x) = |x|, berdasarkan defenisi nilai mutlak maka x, x 0y = -x, x < 0Atau dapat juga diselesaikan menggunakan tabel

Gambar 1.9 : grafik |x|ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW17x-3-2-10123y = | x |3210123(x, y)(-3, 3)(-2, 2)(-1, 1)(0, 0)(1,1)(2,2)(3, 3)

grafik di samping bertepatan dengan garis y = x untuk x 0 dan garis y = -x untuk x < 0.10/19/2010Contoh 1.7 Gambarlah fungsi g(x) = ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW18Contoh 1.8 Gambarlah fungsi h(x) =

x + 2, x 2g(x) = 6, x = 2yx62x + 2, x 26, x = 2x + 2, x > 21, x 2xy 1, x 2g(x) = x + 1, x > 210/19/2010C. FUNGSI KOMPOSISIFungsi Komposisi adalah: fungsi hasil kombinasi dua fungsi atau lebih Komposisi antara fungsi f (x) dan g(x) ditulis (f g)(x) = f(g(x)) Sebagai catatan bahwa tidak semua fungsi dapat dilakukan komposisi. Agar dapat dilakukan komposisi antara fungsi g dan f yaitu f o g maka syarat yang harus dipenuhi adalah Rg Df

Contoh 1.9:Diketahui f(x)= x + 1, g(x)= x +5, Tentukan f g dan g f .

Penyelesaian: (f g)(x) = f(g(x))= (x +5)+1 = x + 6(g f)(x) = g(f(x))= (x+1) +5 = (x +2x+1)+5 = x +2x+6

ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW1910/19/2010DFUNGSI INVERSHal hal yang perlu di perhatikanFungi invers berati fungsi kebalikanSimbol f (x) = fungsi invers dari f(x)

Langkah-langkah menentukan fungsi inversMengubah rumus fungsi f(x) menjadi f(y)Mengubah variabel y menjadi x sehingga f(y) menjadi f (x) ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW2010/19/2010Contoh 1.10Diketahui f(x)= 2x, tentukan f (x) , f (-2) dan , f (3) .

Pembahasan:f(x) = 2x berarti y = 2x x = yf(y) = y Berarti f (x) = x

Sehingga f (-2) = (-2) = -1 f (3) = (3) = 3/2

ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW2110/19/2010Contoh 1.11Carilah invers dari f(x) = 4x 5

Solusi:

f(x) = 4x 5 y = 4x 5 x = (y + 5) f(y) = (y + 5)

Sehingga f (x) = (x + 5) ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW2210/19/2010E LOGARITMA DAN FUNGSI EKSPONENSIAL Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling invers, dan dinyatakan sebagai :

Sifat sifat Logaritma :


10/19/2010b.Logaritma NaturalFungsi eksponen natural didefinisikan sebagai inverse dari logaritma natural dan dinotasikan :

Sifat yang dapat di turunkan langsung dari definisi adalah :ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW24

10/19/2010Sifat-sifat Logaritma NaturalUntuk semua bilangan positif a dan b, semua bilangan rasional r, berlaku:


10/19/2010Gambar fungsi y = e dan y = ln x yang saling inversALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW26x Ket: Di gambar dengan Maple 9.2 plot([exp(x),x,ln(x)], x=-10..10, y= -10..10, linestyle=[1,1,1], color=[red,blue,black]);

10/19/2010Contoh 1.121.Jika diketahui ln 2 = 0,6931, carilah nilai dari 2Penyelesaian : ln 2 = ln 2 (3,142)(0,6931) 2,17782.Tentukan nilai x dari ln (xe )Penyelesaian: ln (xe ) = ln x + ln e = ln x + x (ln e) = ln x + x

ALZ DANNY WOWOR / KALKULUS / FTI UKSW27xxx10/19/2010

Documents

2. Relasi Dan Fungsi