Signos y operaciones ( con números enteros y fracciones )

El ALGEBRA es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible ( Baldor )

En el álgebra los símbolos que se emplean para expresar cantidades son números y letras, mientras que en la aritmética solo se emplean números. La consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras dan origen a las FORMULAS ALGEBRAICAS.

Los signos empleados en álgebra son de tres clases : signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.

A.- Los signos de operación más empleados son : suma ( se lee más ), resta ( se lee menos ), multiplicación ( se lee multiplicado por ), división ( se lee dividido entre ), elevación a potencia ( se lee con exponente .. ) y extracción de raíces ( se lee raíz con radical .. ). Nota.- Potencia es producto que resulta de multiplicar una cantidad

o expresión por sí misma una o más veces. Exponente es el número o expresión algebraica que denota la potencia a que se ha de elevar otro número u otra expresión, y se coloca en su parte superior a la derecha. ( Poner ejemplos de cómo se leen diferentes operaciones )

* Definición de Término : cada una de las partes ligadas entre sí por el signo de sumar o de restar dentro de una expresión algebraica.

* Definición de coeficiente : es el factor numérico o literal que multiplica una

expresión, situándose generalmente a la izquierda.En el producto de dos factores, cualquiera de los dos factores es llamado coeficiente del otro. Cuando la cantidad no tiene coeficiente numérico su coeficiente es la unidad. ( Poner ejemplos )

B.- Los signos de relación entre cantidades más empleados son : = ( se lee igual ), > ( se lee mayor que ) y < ( se lee menor que ). Poner ejemplos.

C.- Los signos de agrupación más empleados son : el paréntesis ordinario ( ), el corchete [ ] y la llave { }

Ejemplo de resolución de problemas :

Jerarquizacion de operaciones matemáticas ( con números

enteros y fracciones )

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y l laves.

2º.Calcular las potencias y raíces .

3º.Efectuar los productos y cocientes .

4º.Real izar las sumas y restas .

Antes de continuar revisaremos una importante regla.

REGLA DE LOS SIGNOS : MULTIPLICACION Y DIVISION DE SIGNOS

Para multiplicar o dividir números con igual o distinto signo, debemos aprender la siguiente regla:

+ x + = ++ x - = -- x + = -- x - = +

Podemos resumirlo en que la multiplicación de dos números con el mismo signo (da igual que sea - o +) siempre da como resultado un número positivo (+), mientras que la multiplicación de números con signo diferente siempre da como resultado un número negativo (-)

En la división pasa exactamente lo mismo:

+ : + = ++ : - = -- : + = -- : - = +

Continuando con la jerarquización de las operaciones veremos los siguientes ejemplos.

Tipos de operaciones combinadas

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y di ferencias.

9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos.

3 · 2 - 5 + 4 · 3 - 8 + 5 · 2 =

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y div is iones.

10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 - 16 : 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, restas, productos, d iv is iones y potencias.

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 22 - 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 4 - 16 : 4 =

Seguimos con los productos y cocientes.

= 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 26

2. Operaciones combinadas con paréntesis

(15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 23)=

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.

= (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )=

Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18

3. Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 - (23 - 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 - (8 - 5 )] · [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) =

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 -3 ] · [5 + 2 ] - 3 + 2=

Operamos en los paréntesis.

= 12 · 7 - 3 + 2

Multiplicamos.

= 84 - 3 + 2=

Restamos y sumamos.

= 83

4. Con fracciones

Primero operamos con los productos y números mixtos de los paréntesis .

Operamos en el primer paréntesis , quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplif icamos .

Realizamos las operaciones del paréntesis .

Hacemos las operaciones del numerador , dividimos y simplif icamos el resultado.

Ejercicio de operaciones combinadas

14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) =

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 + 4 · 3 -(4 · 2 - 6)] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2) =

Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.

14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =

Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.

14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =

14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =

La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:

Si el paréntesis va precedido del signo + , se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga.

Si el paréntesis va precedido del signo − , al suprimir el paréntesis hay que cambiar de

signo a todo los términos que contenga.

14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6