2. Stationäre elektrische Felder in Leitern .1 2. Stationäre elektrische Felder in Leitern Theoretische

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of 2. Stationäre elektrische Felder in Leitern .1 2. Stationäre elektrische Felder in Leitern...

  • 1

    2. Stationäre elektrische

    Felder in Leitern

    Theoretische Elektrotechnik TET 1

    • Die elektrische Stromdichte

    • Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes

    • Widerstand und Leitwert

    • Grenzbedingungen

    • Energie und Leistungsumsatz

    [Buch Seite 70-87]

    -235-

    2. Das stationäre elektri-

    sche Strömungsfeld

    Theoretische Elektrotechnik TET 1

    • Die elektrische Stromdichte

    • Grundgleichungen des stationären Strömungsfeldes

    • Widerstand und Leitwert

    • Grenzbedingungen

    • Energie und Leistungsumsatz

    [Buch Seite 70-87]

    Üblicherweise wird dieses Kapitel eher wie folgt überschrieben!

    -236-

  • 2

    Stationäres elektrisches Feld im Leiter

    Zur Bedeutung von «stationär»

    (1) Metallischer Leiter im elektrischen Feld:

    Stationäres elektrisches Feld im Leiter?

    +

    u E E

    i

    i

    +

    +

    E E feldfrei

    Kurzzeitiges Ungleichgewicht (< 10 fs), d.h. Ladunsgträger wandern schnell an die Oberfläche. Im nachfolgenden Gleichgewicht ist Inneres feldfrei!

    Langandauerndes Ungleichgewicht: Quelle hält Potentialdifferenz aufrecht, Ladungsträger wandern ständig, d.h. stationär; Inneres ist nicht feldfrei.

    -237-

    u +

    +

    +

    + +

    + J E

    i

    i

    vD

    Stationäres elektrisches Feld im Leiter

    Zur Bedeutung von «stationär»

    • Wird die Potentialdifferenz (Spannung u) mit Hilfe einer (starren) Urspannungsquelle aufrecht erhal-

    ten, dann herrscht auch im Innern des Metalls ein elektrisches Feld vor.

    • Ladungen wandern stetig (Geschwindigkeit vD) ent- sprechend der im Innern wirkenden Coulombkraft.

    • Es findet ein dauernder, d.h stationärer Ausgleichs- vorgang der Ladungen statt.

    • Dieser kann nur aufrecht erhalten werden, wenn die Spannungsquelle Ladungen «nachliefert», was der Aufrecherhaltung der Spannung entspricht.

    • Die Gesamtheit der stetig wandernden Ladungen wird mit dem stationären Strömungsfeld J um- schrieben (wird oft auch mit S oder G bezeichnet).

    (2) Das elektrische Strömungsfeld:

    «Nachschub»

    Erster Hinweis auf die Elektrodynamik.

    -238-

  • 3

    u +

    +

    +

    + J E

    i

    i

    Elektrode (El) A

    vD s

    D

    Elektrische Stromdichte I

    Ladungsträgerbewegung

    Stationärer Fall:

    i = dQ

    dt Q = D n dA

    dF

    = El /

    D n dA dF

    d e

    A

    di = d e dt

    d e dt

    = d

    dt D dF( )

    d

    dt =

    t + ds

    dt s =

    t + v

    s

    d e dt

    = D

    t dF + v n

    Dn s

    A

    A dF

    (1) Strom als «Ladungszufuhr» von positiven Ladungsträger:

    D =Dn n

    di vD Q V == 0

    D-Feld ist auch ortsabhängig.

    Integrationshülle ohne

    totales Differenzial : d = t dt + s ds

    -239-

    di = d e dt

    = D

    t dF + vD dF

    di = vD dF = J dF

    J = vD

    di = J n dA = Jn dA dF = n dA

    Jn = di

    dA

    u +

    +

    +

    + J E

    i

    i

    Elektrode (El) A

    vD s

    D

    Elektrische Stromdichte II

    Ladungsträgerbewegung

    Stromdichte des Strömungsfeldes

    (2) Ladungsträgerstrom Vom Typ «Stromdichte» und heisst Verschiebungsstromdichte (später). Im stationären Fall 0.

    Stromdichte als Flächendichte des elektrischen Stromes.

    Merke: Beim Strömungsfeld der bewegten Ladungsträger handelt es sich um einen soge- nannten Konvektionsstrom. Im Leiter wird der Konvektionsstrom zum Leitungsstrom.

    (im stationären Fall)

    -240-

  • 4

    di = J n dA

    i = di A

    = J n dA A

    i = J n dA dFA

    J i

    i

    i

    A

    n

    Elektrische Stromdichte III

    Ladungsträgerbewegung

    (3) Stromdichte und elektrische Stromstärke:

    Elektrischer Strom:

    (4) Bezugspfeil der Stromstärke:

    (A) Der Vektor der Stromdichte J wird physikalisch vor- gegeben (durch die Ladungsträgerbewegung).

    (B) Der Bezugspeil der Stromstärke i (kein Vektor!) ist gleichsinnig zu wählen, wie der willkürlich nach oben/unten orientierte Flächennormalenvektor.

    (C) Die Stromstärke ist positiv bei n und J gleichge- richtet und negativ wenn entgegengesetzt gerichtet.

    -241-

    J = v

    > 0

    J = v

    > 0

    J = v

    < 0

    J = v

    < 0

    Elektrische Stromdichte IV

    Ladungsträgerbewegung

    (5) Das Gesamtbild:

    -242-

  • 5

    J = +( ) v +( ) + ( ) v( ) = J +( ) + J( )

    mit : +( ) + ( ) = 0 Neutralitätsbedingung( )

    J = +( ) v +( ) v( )( )

    Elektrische Stromdichte V

    Ladungsträgerbewegung

    • Positive und negative Ladungs- träger: bipolarer Stromtransport.

    • Aus historischen Gründe ent- spricht die technische Strom- richtung der «Fliessrichtung» der positiven Ladungsträge.

    • Alternative Szenarien des Ladungstransportes wie z.B.

    (a) die Ladungsbewegung im Vakuum (Elektronenstrahl),

    (b) die Ladungsbewegung im Elektrolyten,

    (c) die Ladungsbewegung im Halbleiter,

    werden in GET1 diskutiert.

    (6) Strömungsfeld aus unterschiedlichen Ladungsträgern:

    Zur Orientierung von siehe auch Folie 242.

    Zur Neutralitätsbedingung vergleiche auch Folien 11 (abgeschlossene Systeme) 12 (starke Kräfte) und 113 (Realstatus Potential in QED).

    J( )

    -243-

    J

    i

    dF J

    V

    Elektrische Stromdichte VI

    Ladungserhaltung

    • Ladungserhaltung: Bilanz des Ladungstransports durch die Hüllfläche ist ausgeglichen, d.h. Ein- und Ausfuhr von Ladung heben sich auf. Die Zuleitung (cf. Folie 240) ist nun endlich dick und kann in V mitberücksichtigt werden. Es ergibt sich für die Bilanz der externen Stromstärken des Leiters Null:

    i = D

    t + J dF

    V

    =

    = t

    D dF V

    + J dF V

    =

    = t

    divD dV V

    + J dF V

    := 0

    (1) Bilanz der Stromstärke für eine geschlossene Hüllfläche:

    -244-

  • 6

    J

    i

    dF J

    V

    Elektrische Stromdichte VII

    Ladungserhaltung

    • Die Rate der Ladungsänderung im Volumen V entspricht gerade den ein- und austretenden elektrischen Strö- mungsfeldern.

    • Wird das Volumen V als Knoten interpretiert, dann gilt:

    t

    dV V

    + J dF V

    = 0

    (2) Die Kontinuitätsgleichung:

    Ladungs- erhaltung

    dQ

    dt + i = 0 stationärer

    Fall i = 0

    Kirchhoffscher Knotensatz !

    -245-

    J

    dF

    V

    Elektrische Stromdichte VIII

    Ladungserhaltung

    t

    dV V

    + J dF V

    = 0 stationärer Fall

    J dF V

    = 0

    (2) Die Kontinuitätsgleichung:

    J n dA dFV

    = 0 Grundgesetz des stationären Strömungsfeldes. Dies ist eine Verallgemeinerung des Knotensatzes.

    t + divJ dV

    V

    = 0

    t + divJ = 0 stationärer

    Fall divJ = 0

    Kontinuitätsgleichung Differential-Form

    Integral-Form

    -246-

  • 7

    Elektrische Stromdichte IX

    Zur Mikrophysik des Ladungstransportes

    (1) Kopplung zwischen elektrischer Feldstärke und Ladungsträgerbewegung:

    Nur statistisch ungeordnete Temperaturbewegung: Im Zeit- mittel kein Ladungstransport.

    q

    a)

    q

    b)

    q

    E U

    x

    s result.

    Ungeordnete Temperaturbewegung wird durch eine feldinduzierte Driftbewegung überlagert: Im Zeitmittel findet ein Ladungstransport statt.

    (Quellen - spannung)

    • zylindrischer Leiter

    • Es sei: T > 0 q > 0

    -247-

    Elektrische Stromdichte X

    Zur Mikrophysik des Ladungstransportes

    • Resultierende mittlere Geschwindigkeit (Driftgeschwindigkeit):

    v = sresult

    i Stösse i

    = b E = :vD

    (1) Kopplung zwischen elektrischer Feldstärke und Ladungsträgerbewegung:

    q

    q

    E

    x

    s result.

    1

    23 4

    v thermisch

    sresult E

    (detailiertere Herlei- tungen finden sich in GET1 ab Folie 124).

    b: Beweglichkeit der Ladungsträger q im gegebenen Leitermaterial.

    i : mittlere Laufzeit.

    • Kopplung der elektrischen Feldstärke zur Stromdichte (Folie 240):

    J = vD = b E = E J = E

    [ ] = Sm 1

    : elektrische Leitfähigkeit.

    Im stationären Fall ist die Stromdich- te J proportional zum E-Feld, mit der elektrischen Leitfähigkeit als Pro- portionalität (weiteres Grundgesetz).

    -248-

  • 8

    Elektrische Stromdichte XI

    Zur Mikrophysik des Ladungstransportes

    • Als Ursache elektrischer Strömungsfelder und Stromstärken müssen elektrische Felder vorhanden sein.

    • Dies ist eine allgemeine Darstellung des Ohmschen Gesetzes.

    • Die Beweglichkeit b ist für negative Ladungsträger auch negativ. Somit ist die Leitfähigkeit stets eine positive Grösse.

    • Die Leitfähigkeit widerspiegelt die «Rei