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UNIVERSITÄT SIEGEN LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Baustatik I (WS 2017/2018) 2. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme 2.1 Grad der statischen Unbestimmtheit 2.2 Gegenüberstellungen von statisch bestimmten und statisch unbestimmten Systemen 2.3 Berechnungsverfahren 1

2. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte …...LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN Baustatik I(WS 2017/2018) 2. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme 2.1GradderstatischenUnbestimmtheit

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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Baustatik I (WS 2017/2018)

2. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme

2.1 Grad der statischen Unbestimmtheit2.2 Gegenüberstellungen von statisch bestimmten und

statisch unbestimmten Systemen2.3 Berechnungsverfahren

1

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Baustatik I (WS 2017/2018)

2. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme

2.1 Grad der statischen Unbestimmtheit

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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Statisch bestimmte & statisch unbestimmte Systeme

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Ein Tragwerk muss die folgenden Bedingungen bzw. Gleichungen erfüllen:1. Gleichgewichtsbedingungen;2. Werkstoffgesetz;3. Kinematische Beziehungen;4. Randbedingungen RB (statische oder kinematische RB).Dabei spielen die Gleichgewichtsbedingungen und die statischen Randbedin-gungen eine zentrale Rolle. Gleichgewicht muss erfüllt sein, und es muss auch stabil sein!

Definition: Ein System heißt statisch bestimmt, wenn die Auflagerreaktionenund die Schnittgrößen allein aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmbarsind.

Definition: Ein System heißt statisch unbestimmt, falls die Auflagerreaktionenund die Schnittgrößen nicht aus den Gleichgewichtsbedingungen alleinbestimmt werden können.

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

2.1 Grad der statischen Unbestimmtheit

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Zur Feststellung der statischen Unbestimmtheit können die folgenden Abzähl-formeln verwendet werden.

Allgemeine Stabtragwerke (2- und 3-dimensional):

Allgemeine ideale Fachwerke (2- und 3-dimensional):

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Grad der statischen Unbestimmtheit

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Man unterscheidet folgende drei Fälle:

>0, statisch überbestimmt bzw. unbestimmt =0, statisch bestimmt

<0, statisch unterbestimmta

Kriterium zur Beurteilung eines Tragwerks:

zulässig!

nicht zulässig!

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Äußerliche und innerliche statische Unbestimmtheit

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Beispiel: Zweihüftiger Rahmen

Das System ist 1-fach statisch unbestimmt.

Beispiel: Rahmen

Das System ist 2-fach statisch unbestimmt.

2, 5, 2 5 2 3 2 1n r v a

1, 5, 0 5 0 3 1 2n r v a

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Äußerliche und innerliche statische Unbestimmtheit

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Äußerliche und innerliche statische Unbestimmtheit:• Ein System ist äußerlich statisch bestimmt, falls alle Auflagerreaktionen aus

den Gleichgewichtsbedingungen allein bestimmbar sind. • Ein System ist innerlich statisch bestimmt, falls alle Schnittgrößen aus den

Gleichgewichtsbedingungen allein bestimmbar sind.

Abzählformeln:

( ) 6

6

6( 1)

a

i a

a i

a r v n

a r

a a a v n

a a a

( ) 3

3

3( 1)

a

i a

a i

a r v n

a r

a a a v n

a a a

2-D: 3-D:

: Grad der äußerlichen statischen Unbestimmtheit

: Grad der innerlichen statischen Unbestimmtheit

a

i

a

a

UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Äußerliche und innerliche statische Unbestimmtheit

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Beispiel: Zweihüftiger Rahmen

1, 8 5, 0 8 3 5

3(1 1) 0

a

i

n r v a

a

Das System ist äußerlich 5-fach statisch unbestimmt und innerlich statisch bestimmt.

Beispiel: Geschlossener Träger

3v 3v X X

1, 3 5, 6 3 3 0

6 3(1 1) 6

a

i

n r v a

a

Das System ist äußerlich statisch bestimmt, innerlich 6-fach statisch unbestimmt.

UNIVERSITÄT SIEGEN Lehrstuhl für Baustatik

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Ch. Zhang Grad der statischen Unbestimmtheit

Baustatik I Arbeitsblatt

Bestimmung des Grades der statischen Unbestimmtheit Allgemeine Stabtragwerke (2- und 3-dimensional):

2 D: 3a r v n 3 D: 6a r v n

a r v n

Grad der statischen Unbestimmtheit Anzahl der Auflagerkräfte Anzahl der Zwischenreaktionen Anzahl der Scheiben

• Äußerliche und innerliche statische Unbestimmtheit:

2 D : 3

3 ( 1)a

i

a i

a r

a v n

a a a

3 D : 6

6 ( 1)a

i

a i

a r

a v n

a a a

Allgemeine ideale Fachwerke (2- und 3-dimensional):

2 D: 2a r p k 3 D: 3a r p k

a r p

k

Grad der statischen Unbestimmtheit Anzahl der Auflagerkräfte Anzahl der Stäbe zwischen den Knoten Anzahl der Knoten einschließlich Auflagerknoten

Man unterscheidet folgende drei Fälle: 0a Das System ist statisch bestimmt (alle Unbekannten können aus den verfügbaren Gleichungen, den Gleichgewichts- und Nebenbedingungen, ermittelt werden). 0a Das System ist a fach statisch unbestimmt. 0a Das System ist beweglich oder in sich verschieblich (kinematisch).

UNIVERSITÄT SIEGEN LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Univ.- Prof. Dr.- Ing. habil. Ch. Zhang

GRAD DER STATISCHEN UNBESTIMMTHEIT

BAUSTATIK I Arbeitsblatt

(WS 2017/2018)

HINWEISE ZUR STATISCHEN UNBESTIMMTHEIT

Feste (unelastische) Auflagerreaktionen

Für ebene Systeme (2-D) Für räumliche Systeme (3-D)

r = 3

r = 6

r = 2 r = 3

r = 2 r = 2

r = 1 r = 1

Für Trägerroste (2-D)

r = 3

r = 2

r = 1

Elastische Auflagerreaktionen Für ebene Systeme (2-D)

Fc

r = 1

Fc

r = 2

Mc

r = 1

McFc

r = 2

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Univ.- Prof. Dr.- Ing. habil. Ch. Zhang

GRAD DER STATISCHEN UNBESTIMMTHEIT

BAUSTATIK I Arbeitsblatt

(WS 2017/2018)

Mc

r = 3

Zwischenreaktionen System Zwischenreaktionen Anzahl Zwischenreaktionen 2-D ; ; NM Q v = 3

Trägerrost ; ; y z TM Q M v = 3

3-D ; ; ; ; ; y z z y TM Q M Q M N v = 6 M-Gelenk:

Für ebene Systeme (2-D)

Allgemein v s 1 2 s = Anzahl der angeschlossenen Stäbe

s 2 v 2 1 2 2

s 2 v 2 1 2 2

s 3 v 3 1 2 4

Q-Gelenk: Für ebene Systeme (2-D)

v = 2

v = 2

N-Gelenk: Für ebene Systeme (2-D)

v = 2

UNIVERSITÄT SIEGEN LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Univ.- Prof. Dr.- Ing. habil. Ch. Zhang

GRAD DER STATISCHEN UNBESTIMMTHEIT

BAUSTATIK I Arbeitsblatt

(WS 2017/2018)

v = 2

Verschiedene Gelenke: M-Gelenk:

Für Trägerroste (2-D) Für räumliche Systeme (3-D)

0y TM M

v = 1 0y z TM M M

v = 3

0yM

v = 2 0yM

v = 5

0TM v = 2 0zM

v = 5

0zQ v = 2 0TM

v = 5

Geschlossene Zellen müssen „geschlitzt“ werden:

Für ebene Systeme (2-D) Für räumliche Systeme (3-D)

v = 3

v = 6