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Matemática, Teoría de Conjuntos - 1 -7

MATEMÁTICA, Guía N° 2 : TEORÍA DE CONJUNTOS

Un "conjunto" es una agrupación o colección de objetos bien diferenciados

que tienen alguna propiedad en común. A estos objetos se los llama

"elementos".

Por ejemplo, son conjuntos los meses del año, los alumnos de un colegio,

los números impares, etc.

Designaremos a los conjuntos con letras mayúsculas y a los elementos con

minúsculas.

B A

c

d

e f

g h

Un conjunto se puede definir "por extensión" listando todos los elementos que lo componen:

A = {a, b, c, d, e} B = {d, e, f, g, h} y C = {a, b}

Cuando se quiere relacionar un elemento con un conjunto deben

usarse los operadores ∈ (pertenece) o ∉ (no pertenece).

Aa∈

Af ∉

pertenece

no pertenece

Elemento Conjunto

C

a

b

Con este rectángulo

se denota el

Universo de

elementos tratados

i j

U

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También un conjunto se puede definir "por comprensión" indicando la regla que debe cumplir cada elemento para pertenecer al conjunto.

D = {2, 3, 4, 5, 6} puede expresarse: D = { ( )62/ ≤≤∧∈ xNxx }

Cuando se quiere relacionar un conjunto con otro conjunto deben

usarse los operadores ⊂ (está incluido) o ⊄ (no está incluido).

AC ⊂

AB ⊄

está incluido

no está incluido

Conjunto Conjunto

Para que un conjunto esté incluido en otro, todos sus elementos deben

pertenecer al otro conjunto, no existe la inclusión parcial. Si al menos un

elemento de un conjunto no pertenece al otro conjunto debe usarse el

operador "⊄ " (no está incluido) para relacionar ambos conjuntos.

tal que y

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1) UNIÓN: A∪ B

B A c

d

e f

g

h

a

b

A∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}

La unión de dos

conjuntos es otro

conjunto que contiene

a todos los elementos

de ambos conjuntos. i j

U

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2) INTERSECCIÓN: A∩ B

B A c

f

g

h

a

b

A∩ B = {d, e}

La intersección de dos

conjuntos es otro conjunto

que contiene a todos los

elementos que pertenecen a

ambos conjuntos al mismo

tiempo.

d

e

3) DIFERENCIA: A − B

B A c

a

b

A − B = { a , b , c }

La diferencia entre dos

conjuntos A y B es otro

conjunto que contiene a

todos los elementos de A

que no pertenecen a B.

f

g

h

d

e

4) COMPLEMENTO DE A: CA = U − A

B A CA = { f , g , h , i , j }

El Complemento de un

conjunto es igual a la

diferencia entre el Universo

menos dicho conjunto.

f

g

h

d

e

i

i

i

j

j

j

U

U

U c

a

b

Otros símbolos usados en lógica simbólica y de proposiciones son:

∀ : para todo

∃: existe algún

∄: no existe ningún

⇔ : si y solo si

∝: proporcional ⇒ : entonces, ello implica que

∅ = {} : conjunto vacío

∨: o

“ : ” Se cumple que

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Trabajo Práctico N° 2: "Conjuntos"

2.1) Completar con ⊄⊂∉∈ o,, según corresponda:

2.2) Expresar por comprensión los siguientes conjuntos definidos por

extensión:

2.3) Expresar por extensión los siguientes conjuntos definidos por

comprensión:

a) C = { / 3 8x x x∈ ∧ < ≤� }

b) D = { / 8 2x x x∈ ∧ − ≤ < −� }

c) E = { / 5 2x x x∈ ∧ − < <� }

a) −5 ……�

b) ......3

2 �

c) 2…… �

d) � .... �…. �

e) e ……�

f) 0 ……�

g) I …… �

h) 5

2 …… �

i) � …… �

j) � …… �

k) 5− ……�

l) 1+ 3…… I

m) 3 − 2 i …… �

n) |-5 | …… �

o) 2

9…… I

p) 3

15…… �

a) A = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

b) B = {8, 9, 10, 11}

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2.4) Dados los conjuntos definidos anteriormente, hallar:

a) A ∩C

b) B ∪C

c) A − C

d) (A ∩E) ∪B

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Respuestas al Trabajo Práctico Nº 2 de Matemática: "Conjuntos"

2.1)

2.2)

2.3)

a) C = {4, 5, 6, 7, 8}

b) D = {}= ø

c) E = {−4, −3, −2, −1, 0, 1}

a) A = { / 1 5x x x∈ ∧ − ≤ ≤� }

b) B = { / 8 11x x x∈ ∧ ≤ ≤� }

a) −5 …∊∊∊∊… �

b) 3

2 ...∊∊∊∊... �

c) 2…∉∉∉∉… �

d) � .⊂ .� .⊂ .�

e) e …∊∊∊∊…�

f) 0 …∉∉∉∉… �

g) I . ⊄ . �

h) 5

2 …∉∉∉∉… �

i) � . ⊂ . �

j) � .⊄ . �

k) 5− …∉∉∉∉… �

l) 1+ 3…∊∊∊∊… I

m) 3 − 2 i …∊∊∊∊… �

n) |-5 | …∊∊∊∊… �

o) 2

9…∉∉∉∉… I

p) 3

15…∊∊∊∊… �

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2.4)

a) A ∩C = {4, 5}

b) B ∪C = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

c) A − C = {−1, 0, 1, 2, 3}

d) (A ∩E) ∪B = {−1, 0, 1, 8, 9, 10, 11}