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2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 84
2. Theorie des Haushalts � Theorie des Verbraucherverhaltens � Theorie des Faktorangebots Vorgehensweise in drei Schritten:
1) Konsumentenpräferenzen
2) Budgetrestriktion
3) Haushaltsoptimum Annahme des Homo oeconomicus
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 85
2.1 Konsumentenpräferenzen Präferenzen beschreiben, wie ein Haushalt verschiedene Güterbündel für sich in eine Rangfolge bringt. Präferenzrelationen:
schwache Präferenz: Ein Haushalt bewertet ein Güterbündel A )x,x(A2
A1
mindestens so hoch wie das Güterbündel B )x,x(B2
B1 : BAf
Indifferenz: Ein Haushalt bewertet ein Güterbündel A )x,x(A2
A1 gleich hoch wie
das Güterbündel B )x,x(B2
B1 : A ∼ B
strikte Präferenz: Gilt BAf aber nicht ABf , so bewertet der Haushalt das
Güterbündel A )x,x(A2
A1 höher als das Güterbündel B )x,x(
B2
B1 : BA f
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 86
Annahmen über Präferenzen:
Vollständigkeit: Für jedes Paar denkbarer Güterbündel A )x,x(A2
A1 und B )x,x(
B2
B1
gilt BAf oder ABf oder beides.
Reflexivität: Jedes Güterbündel )x,x( 21 ist mindestens so gut, wie es selbst,
d.h. )x,x()x,x( 2121 f .
Transitivität: Wenn für drei beliebige Güterbündel A )x,x(A2
A1 , B )x,x(
B2
B1 und
C )x,x(C2
C1 gilt, BAf und CBf , dann gilt auch CAf .
Nichtsättigung: Gilt für zwei Güterbündel A )x,x(A2
A1 und B )x,x(
B2
B1 (mit A≠B),
daß A von jedem Gut mindestens genau so viel enthält wie B, dann gilt BAf . Stabilität der Präferenzen: Im betrachteten Zeitraum ändern sich die Präferenzen des Haushalts nicht.
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 87
x1
x2
A
x1A
x2A
G
D
E
H
B
Abbildung 2.1: Güterbündel und Präferenzen
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 88
x1
x2
A
x1A
x2A
G
D
E
H
B
L
K
Abbildung 2.2: Konstruktion einer Indifferenzkurve
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 89
x1
x2
A
x1A
x2A
G
D
E
H
B
U1
Abbildung 2.3: Eine Indifferenzkurve
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 90
x1
x2
A
D
B
U1
U2
U3
Abbildung 2.4: Eine Indifferenzkurvenschar
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 91
x1
x2
A
D
B
Abbildung 2.5: Indifferenzkurven können sich nicht schneiden
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 92
weitere Annahme über Präferenzen: strikte Konvexität: Ist ein Haushalt zwischen zwei Güterbündeln A und B mit
(A≠B) indifferent, dann gilt für jede Mischung (Linearkombination) C der beiden
Güterbündel C = α A + (1− α) B, mit 0 ≤ α ≤ 1: AC f ∼ B. konvexe Menge: Alle Punkte auf einer Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten einer konvexen Menge sind ebenfalls Elemente der Menge.
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 93
x1
x2
A
B
C = α A + (1− α) B
Abbildung 2.6: Konvexität der Präferenzen
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 94
x1
x2
A
B
x1
x2
A
B
(a) konvexe Präferenzen (b) Nicht-konvexe
Präferenzen
x1
x2
A
B
(c) konkave Präferenzen
Abbildung 2.7: Konvexe und nicht-konvexe Präferenzen
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 95
x1
x2
A
D
B
E
∆x2
∆x1
tan α =∆x2/∆x1
α
Abbildung 2.8: Die Grenzrate der Substitution
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 96
Grenzrate der Substitution:
0dU1
2
x
xGRS
=∆
∆−=
infinitesimale Betrachtung:
0dU1
2
dx
dxGRS
=
−=
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 97
x1
x2
A
D
B
E
Abbildung 2.9: Sinkende Grenzrate der Substitution
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 98
Spezialfälle:
x1
x2
U1 U2 U3 U4
Abbildung 2.10: Vollkommene Substitutionsgüter
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 99
x1
x2
U1
U2
U3
U4
Abbildung 2.11: Vollkommene Komplementärgüter
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 100
x1
x2
U1 U2 U3 U4
Abbildung 2.12: x2 ist ein neutrales Gut
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 101
x1
x2
U1
U2
U3
Abbildung 2.13: x2 ist ein Ungut
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 102
Nutzenfunktionen Der „Nutzen“ gibt den zahlenmäßigen Wert des Niveaus der Bedürfnisbefriedigung an, das durch den Konsum eines bestimmten Güterbündels erreicht wird. Nutzenfunktion: mathematische Beziehung zwischen einem Güterbündel und einem Nutzenniveau: U = U(x1,x2)
� schwache Präferenz: BAf wenn )x,x(U)x,x(UB2
B1
A2
A1 ≥
� Indifferenz: A∼B wenn )x,x(U)x,x(UB2
B1
A2
A1 =
� strikte Präferenz: BA f wenn )x,x(U)x,x(UB2
B1
A2
A1 >
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 103
Unterscheidung von ordinaler und kardinaler Nutzenmessung Messung auf einer kardinalen Skala ist eindeutig bis auf eine positive lineare
Transformation U~
= a + b⋅U, b > 0. � ordinale Nutzenfunktion ordnet Güterbündel in einer Rangordnung an. � kardinale Nutzenfunktion legt nicht nur die Rangordnung verschiedener Güterbündel zueinander fest, sondern bestimmt auch die relative Größe der Nutzendifferenzen zwischen verschiedenen Güterbündeln eindeutig.
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 104
Beispiel: Anna wählt zwischen verschiedenen Güterbündeln
Güterbündel Nutzen (U) Flasche Limonade 4 Becher Eis 8 Kinobesuch 16
Transformation: U~
= - 8 + 2⋅U,
Güterbündel Nutzen (U~
) Flasche Limonade 0 Becher Eis 8 Kinobesuch 24
Wichtig: Weder ordinale noch kardinale Nutzenmessung erlaubt interpersonelle Nutzenvergleiche!
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 105
Exkurs: Ursprünge der Nutzentheorie (Jeremy Bentham (1748-1832)):
„Nature has placed mankind under the governance of two sovereign masters, pain and pleasure. It is for them alone to point out what we ought to do, as well as to determine what we shall do. ... The principle of utility recognizes this subjection. ...
By the principle of utility is meant that principle which approves or disapproves of every action whatsoever, according to the tendency it appears to have to augment or diminish the happiness of the party whose interest is in question.“
Jeremy Bentham, An Introduction to the Principles of Morals and Legislation, Veröffentlichung 1823, Chapter I.
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 106
ordinale Nutzenfunktionen darf man jeder monotonen (ordnungserhaltenden) Transformationen unterziehen. monotone Transformation f(U): Wenn UA > UB, dann gilt auch f(UA) > f(UB). Beispiele:
� positive lineare Transformation: U~
= a + b⋅U, b>0.
� logarithmische Transformation: )Uln(U~
= , für 0U ≥ .
� Quadratwurzel: UU~
= , für 0U ≥ .
Transformation: UU~
= ,
Güterbündel Nutzen (U) Nutzen ( UU~
= ) Flasche Limonade 4 2 Becher Eis 8 2,83 Kinobesuch 16 4
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 107
Abbildung 2.14: Nutzenfunktion U(x1,x2) = 4x10.9x2
0.5
0
2
4 6
8 10
x1
0
2 4
6 8
10
x2
0
25
50
75
100
U x1 , x2
0
2
4 6
8 10
x1
0
25
50
75
100
U
x1 , x2
0 2
4
6
8
10
x1
0
2
4
6
8
10
x2
0 25
50
75
100
U x1 , x2
2
4
6
8
10
x1
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 108
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
Abbildung 2.15: Indifferenzkurvenschar
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 109
Häufig verwendet: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion
0, ,xx)x,x(U 2121 >γβ= γβ
Beispiel: Ermittlung einer Indifferenzkurve aus einer Nutzenfunktion für β=γ=1.
2121 xx)x,x(U =
Wie lautet die Indifferenzkurve für U = 50?
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 110
Abbildung 2.16: Nutzenfunktion U(x1,x2) = x1x2
0
2
4
6
8
10
x1
0
2
4
6
8
10
x2
0
25
50
75
100
U x1 , x2
0
2
4
6
8
10
x1
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 111
1 2 3 4 5
20
40
60
80
100
Abbildung 2.17: Indifferenzkurve für U = 50
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 112
Nutzenfunktion für perfekte Substitute:
U(x1,x2) = a⋅x1 + b⋅x2
allgemeine Form der Indifferenzkurven:
Uxbxa 21 =⋅+⋅ � 12 xb
a
b
Ux ⋅−=
Nutzenfunktion für perfekte Komplemente:
U(x1,x2) = min{a⋅x1, b⋅x2}
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 113
x1
x2
U2/b
tan α = -(a/b)
U1/b
Abbildung 2.18: Indifferenzkurvenverlauf bei vollkommenen Substitutionsgütern
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 114
x1
x2
U1
U2
x2 = (a/b)x1
x1 = U2/a
x2 = U2/b
Abbildung 2.19: Indifferenzkurvenverlauf bei vollkommenen
Komplementärgütern
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 115
partielle Nutzenfunktion: )x,x(U 21
erste partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach der Menge eines Gutes: Grenznutzen (marginal utility) des Gutes. Grenznutzen von x1:
01
11
2012
11
1 xx
)x,x(U)x,x(U
x
U
−
−=
∆
∆
läßt man 01
11 xx − → 0:
1
211
x
)x,x(UMU
∂
∂=
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 116
x1
U
U0
x10
x11
U1
)x,x(U 21
tan α =∆U/∆x1
α
Abbildung 2.20: Grenznutzen I
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 117
Grenznutzen von x2:
02
12
021
121
2 xx
)x,x(U)x,x(U
x
U
−
−=
∆
∆
läßt man 02
12 xx − → 0:
2
212
x
)x,x(UMU
∂
∂=
allgemein: h
21h
x
)x,x(UMU
∂
∂= , h =1,2.
verbreitete Annahme:
21
212
x
)x,x(U
∂
∂< 0,
22
212
x
)x,x(U
∂
∂<0
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 118
„Gesetz“ vom abnehmenden Grenznutzen
x1
U
U0
x10
x11
U1
)2
x,1
x(U
Abbildung 2.21: Grenznutzen II
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 119
GRS und Grenznutzen Entlang einer Indifferenzkurve gilt U)x,x(UU 21 == .
Das totale Differential der Nutzenfunktion ist
22112
2
211
1
21 dxMUdxMUdxx
)x,x(Udx
x
)x,x(UdU +=
∂
∂+
∂
∂= .
Entlang einer Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant, d.h. dU = 0
2211 dxMUdxMU0 +=
⇔ 1122 dxMUdxMU =−
⇔ 2
1
0dU1
2
MU
MU
dx
dx=−
=
, d.h. 2
1
0dU1
2
MU
MU
dx
dxGRS =−=
=
.
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 120
α
x1
x2
A
tan α = GRS =MU1/MU2
α
Abbildung 2.22: GRS und Grenznutzen
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 121
Eine monotone Transformation beeinflußt die GRS nicht:
z.B. U~
= a + b⋅U: 11 MUbU~
M ⋅=
22 MUbU~
M ⋅=
2
1
2
1
0dU1
2
MU
MU
MUb
MUb
dx
dxGRS =
⋅
⋅=−=⇒
=
GRS bei vollkommenen Substitutionsgütern:
U(x1,x2) = a⋅x1 + b⋅x2
b
a
dx
dxGRS
0dU1
2 =−==
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 122
Cobb-Douglas-Nutzenfunktion:
0, ,xx)x,x(U 2121 >γβ= γβ
1
21
21
21
1
0dU1
2
x
x
xx
xx
dx
dxGRS
γ
β=
γ
β=−=⇒
−γβ
γ−β
=
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 123
monotone Transformation: logarithmierte Cobb-Douglas-Funktion
0, ,xlnxln)x,x(U 2121 >γβγ+β=
1
1x
MUβ
=
2
2x
MUγ
=
21
21
212
xx
)x,x(U β−=
∂
∂,
22
22
212
xx
)x,x(U γ−=
∂
∂.
1
2
2
1
0dU1
2
x
x
x
x
dx
dxGRS
γ
β=
γ
β
=−=⇒
=
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 124
weitere Transformation: Cobb-Douglas-Funktion potenzieren mitγ+β
1
0, ,xx)x,x(U 2121 >γβ= γ+β
γ
γ+β
β
Definition: γ+β
γ=α−⇒
γ+β
β=α )1( , d.h. wir schreiben
01 xx)x,x(U12121 >α>= α−α
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 125
1
2
1
2
21
12
11
0dU1
2
x
x
x)1(
x
xx)1(
xx
dx
dxGRS
γ
β=
α−
α=
α−
α=−=⇒
α−α
α−−α
=
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 126
Abbildung 2.23: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion mit α = 0.5
0
2
4
6
8
10
x1
0
2
4
6
8
10
x2
2.5
5
7.5
10
U x1 , x2
2
4
6
8
10
x1
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 127
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
Abbildung 2.24: Indifferenzkurvensystem für Cobb-Douglas-Nutzenfunktion
(α = 0.5)
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 128
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5 U(x1,x2 = 5)
U(x1,x2 = 2)
Abbildung 2.25: Partielle Nutzenfunktion für Cobb-Douglas-Nutzenfunktion
(α = 0,5)
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 129
2 4 6 8 10
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
MU1(x2=5)
MU1(x2=1)
Abbildung 2.26: Grenznutzen von x1 bei x2 =2 und x2 = 5 für Cobb-Douglas-
Nutzenfunktion (α = 0.5)
2. Theorie des Haushalts 2.1 Konsumentenpräferenzen
VWL I/WS 2007/08 130
Literatur:
Breyer (2007), S. 115-23, 127-31. Pindyck/Rubinfeld (2005), S. 101-121. Varian (2007), Kap. 3+4.
2. Theorie des Haushalts 2.2 Budgetbeschränkung
VWL I/WS 2007/08 131
2.2 Budgetbeschränkung
Ixpxp 2211 ≤+
p1: Preis von x1 p2: Preis von x2 I: Einkommen
Gibt der Haushalt das ganze Einkommen aus, so ist die Budgetbeschränkung: Ixpxp 2211 =+
� 1
2
1
2
2 xp
p
p
Ix −=
2. Theorie des Haushalts 2.2 Budgetbeschränkung
VWL I/WS 2007/08 132
x1
x2
tan α = -(p1/p2)
I/p2 1
x
2p
1p
2pI
2x −=
I/p1
I2
x2
p1
x1
p ≤+α
Abbildung 2.27: Die Budgetrestriktion
2. Theorie des Haushalts 2.2 Budgetbeschränkung
VWL I/WS 2007/08 133
x1
x2
I0/p2
1x
2p
1p
2pI
2x
1
−=
I0/p1
I1/p2
I1/p1
1x
2p
1p
2pI
2x
0
−=
Abbildung 2.28: Einkommensänderungen und die Budgetgerade
2. Theorie des Haushalts 2.2 Budgetbeschränkung
VWL I/WS 2007/08 134
x1
x2
I0/p2
1x
2p
11
p
2pI
2x −=
I/p10
I1/p2
I/p11
1x
2p
01
p
2pI
2x −=
Abbildung 2.28: Preisänderungen und die Budgetgerade
2. Theorie des Haushalts 2.2 Budgetbeschränkung
VWL I/WS 2007/08 135
proportionale Änderung aller Preise:
1
2
1
2
1
2
1
2
2 xp
p
p
Ix
p
p
p
Ix −
µ=
µ
µ−
µ=
proportionale Änderung von Einkommen und Preisen:
1
2
1
2
1
2
1
2
2 xp
p
p
Ix
p
p
p
Ix −=
µ
µ−
µ
µ=
Literatur: Pindyck/Rubinfeld (2005), S. 122-126. Varian (2007), Kap. 2.
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 136
2.3 Haushaltsoptimum
x1
x2
A
Budgetgerade
B
U3
U2
U1
x1A
x1B
x2A
x2B
Abbildung 2.29: Das Haushaltsoptimum
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 137
� Steigung von Indifferenzkurve und Budgetgerade ist gleich:
2
1
p
pGRS = oder
2
1
2
1
p
p
MU
MU=
-- Grenznutzenverhältnis gleich Preisverhältnis.
2
2
1
1
p
MU
p
MU=
-- Grenznutzen pro Ausgabeneinheit ist bei beiden Gütern gleich.
-- Gleichheit des internen Austauschverhältnisses (GRS) und des externen
Austauschverhältnisses (Preisverhältnis).
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 138
x1
x2
B
U3 U2 U1
x1B=I/p1
Abbildung: 2.30: Randlösung für das Haushaltsoptimum I
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 139
x1
x2
B U3
U2
U1
x2B=I/p2
Abbildung: 2.31: Randlösung für das Haushaltsoptimum II
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 140
Ermittlung des Haushaltsoptimums mit dem Lagrange-Ansatz Gegeben: Zielfunktion: (Nutzenfunktion) maxx1,x2 U(x1,x2)
Nebenbedingung: I = p1x1 + p2x2
1. Schritt: Umformung der Nebenbedingung zu:
0= p1x1 + p2x2 - I
2. Schritt: Bilden der Lagrange-Funktion:
Z(x1,x2,λ) = U(x1,x2) - λ( p1x1 + p2x2 - I)
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 141
3. Schritt: Maximierung von Z über x1,x2. Notwendige Bedingungen 1. Ordnung:
0pMUx
Z11
1
=λ−=∂
∂ (1)
0pMUx
Z22
2
=λ−=∂
∂ (2)
0IxpxpZ
2211 =+−−=λ∂
∂ (3)
Umformung von (1) und (2) zu 11 pMU λ= (1’), 22 pMU λ= (2’)
Division von (1) durch (2):
2
1
2
1
2
1
p
p
p
p
MU
MU=
λ
λ= (4)
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 142
Lösung von (3) und (4) ergibt das nutzenmaximierende Güterbündel x1* = x1 (p1,p2,I) x2* = x2 (p1,p2,I) Die hinreichenden Bedingungen zweiter Ordnung werden nicht überprüft. Ein Maximum ist sichergestellt, da die Nutzenfunktion quasikonkav und die Budgetmenge konvex ist.
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 143
x1
x2
B
U3 U2
U1
D
E
Abbildung 2.32: Nicht-konvexe Präferenzen und Haushaltsoptimum I
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 144
x1
x2
B
U3
U2
U1
C
A
Abbildung 2.33: Nicht-konvexe Präferenzen und Haushaltsoptimum II
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 145
Rechenbeispiel: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion
Zielfunktion: (Nutzenfunktion) maxx1,x2 x1αx2
1-α
Nebenbedingung: I = p1x1 + p2x2
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 146
Fall perfekter Substitute:
U(x1,x2) = a⋅x1 + b⋅x2
allgemeine Form der Indifferenzkurven:
12 xb
a
b
Ux ⋅−= ,
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 147
x1
x2 U3
Steigung = -(a/b)
U1
Steigung = -(p1/p2)
U2
A
x1 = I/p1 Abbildung 2.34: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Substitutionsgütern
– Fall I
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 148
x1
x2 U3
Steigung = -(a/b)
= -(p1/p2)
U1
U2
Abbildung 2.35: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Substitutionsgütern
– Fall II
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 149
x1
x2
U3
Steigung = -(a/b)
U1
Steigung = -(p1/p2)
U2
A x2 = I/p2
Abbildung 2.36: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Substitutionsgütern
– Fall III
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 150
Fall perfekter Komplemente
U(x1,x2) = min{a⋅x1, b⋅x2}
p1x1 + p2x2 = I und x2 = 1xb
a
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 151
x1
x2
U1
U2
U3
A
x1A
x2A
x2 = (a/b)x1
Abbildung 2.37: Haushaltsoptimum bei vollkommenen Komplementärgütern
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 152
Beispiel 3.4: Ein Treuhandfonds für die Hochschulausbildung (Pindyck/Rubinfeld (2005), S. 134f.)
Ausbildung
Konsum
(C)
A
B
U2
U1
AusbildungA
CA
CB
AusbildungB
D
U3
Abbildung B2.1: Zweckgebundener Transfer I
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 153
Ausbildung
Konsum
(C)
A
B
U2 U1
AusbildungA
CA
CB
AusbildungB
Abbildung B2.2: Zweckgebundener Transfer II
2. Theorie des Haushalts 2.3 Haushaltsoptimum
VWL I/WS 2007/08 154
Ausbildung
Konsum
(C)
A B
U2 U1
AusbildungA
CA
CB
AusbildungB
Abbildung B2.3: Zweckgebundener Transfer III