Mecnica de Rocas

Teora de Fractura Hoek-Brown y ecuaciones de Kirsch- Mecanica de Rocas 2014Mecnica de RocasEcuacin de KIRSCH y teora de fractura de Hoek-Brown

Introduccin

Hoy en da la ecuacin de Kirsch es una de la ms usada en mecnica de rocas para el clculo de la resistencia a los esfuerzos y elasticidad del macizo rocoso. Junto con lo postulado por Hoek-Brown, son capaces de determinar el estado tensional alrededor de una labor, aunque la ecuacin de Kirsch se acota ms a labores de caractersticas subterrneas y de forma circular. Por un lado, Kirsch necesita conocer de antes los esfuerzos insitu y las dimensiones de la labor, en cambio Hoek-Brown depende de las propiedades del macizo rocoso y de los esfuerzos resultantes aplicados a una muestra de roca intacta (ensayo de compresin uniaxial y triaxial).

Tabla de contenidoIntroduccin1Criterio de Hoek Brown3Determinacin de las constantes del material6Criterio generalizado (2002)7Desarrollo de las ecuaciones de Kirsch12Nomenclatura12Ecuaciones de Kirsch14Esfuerzos en los lmites de la excavacin14Ejemplo de uso de las ecuaciones19Conclusin24Bibliografa25

Criterio de Hoek Brown

El criterio de fractura de Hoek-Brown es un criterio emprico adecuado para macizos rocosos. Aunque originalmente se desarroll para el diseo de excavaciones subterrneas, su uso se extendi a otras aplicaciones, siempre referido a terrenos rocosos.

En el presente apartado se analiza el origen y justificacin del criterio en su versin de 1980 y se describe la ltima versin 2002.

Criterio original de 1980 Ec. (3)

Donde : Esfuerzo principal mayor en el debilitamiento.: esfuerzo principal menor aplicado a la muestra.: es la resistencia uniaxial a la compresin de la roca inalterada en la muestra.m y s: constantes que dependen de las propiedades de la roca y del grado de su fracturacin antes de ser sometida a los esfuerzos principales (s=1 para la roca intacta)

Esta relacin se puede representar grficamente mediante un diagrama tal y como se muestra en la siguiente figura 1. La resistencia a la compresin uniaxial de la muestra se logra sustituyendo en la ecuacin (3) lo que da: Ec. (4)

Para roca inalterada , donde s = 1 Para roca fracturada de antemano s < 1

La resistencia a la tensin uniaxial de la muestra se logra sustituyendo , la ecuacin (3), se obtiene: Ec. (5)

Figura n1. Representacin grfica de las condiciones de los esfuerzos para debilitar a la roca inalterada.

A parte de la relacin entre los esfuerzos principales mayor y menor en el debilitamiento, tambin puede ser conveniente expresar el criterio del debilitamiento en trminos del esfuerzo cortante y de los esfuerzos normales que actan sobre un plano que est inclinado un ngulo con respecto a la direccin del esfuerzo principal mayor, como lo muestra el esquema de la figura n2.Relacin entre los esfuerzos cortante y normal, con los esfuerzos principales:

Donde es el ngulo entre el plano de la direccin del debilitamiento esfuerzo principal mayor

Figura n2. Esquema de esfuerzos cortantes y normales que actan en un plano inclinado en un ngulo con respecto a la orientacin del esfuerzo principal mayor.

Cuando se hace la prueba con una muestra isotrpica, se supone habitualmente que la relacin entre la resistencia al corte y el esfuerzo normal queda definido por la envolvente de una serie de crculos de Mohr que representan los esfuerzos principales en el debilitamiento. Bajo estas condiciones se supone que la inclinacin del plano de debilitamiento queda definida por la normal a la envolvente de Mohr como lo ilustra la siguiente figura:

Figura n3. Representacin grfica de las condiciones de los esfuerzos para debilitar a la roca inalterada.

Determinacin de las constantes del material

Roca inalterada:El criterio emprico indicado por la ecuacin

Puede transcribirse en:

Donde y Para la roca inalterada s = 1 y la resistencia a la compresin uniaxial y la constante del material m se obtienen por:

(6)Donde y son pares sucesivos de datos y n es el nmero total de tales pares.

Roca fracturada o muy fisurada:Para roca fracturada o muy fisurada, la resistencia de los pedazos de roca inalterada , se estima con una prueba de la carga puntual. El valor de m para la roca fracturada o muy fisurada se obtiene con la ecuacin (6) antes vista. Y el valor de la constante s se obtiene por:

(7)Cuando el valor de la constante s se aproxima mucho a cero, la ecuacin (7) puede indicar un valor negativo. En tal caso, se pondr s = 0 y se calculara m de la manera siguiente:

Criterio generalizado (2002)

Hoek observo que el criterio original aplicando a macizos rocosos fracturados daba valores de resistencia adecuados solo en el caso de que la tensin principal menor tuviera valores de comprensin elevados. Para valores bajos de confinamiento, el criterio predeca resistencias muy elevadas a compresin simple y a traccin. La realidad es que en un macizo rocoso fracturado la resistencia a traccin es muy baja si no nula.

Evala resistencia y deformabilidad de los macizos rocosos fracturados.

Adems, inicialmente el criterio fue formulado para anlisis de excavaciones subterrneas, por lo que en problemas de estabilidad de taludes resulta ms conveniente trabajar en trminos de los esfuerzos normal y de corte, que en trminos de los esfuerzos principales, tal como fue planteado en el criterio original.

Dnde:mi = para roca intactamb = para roca fracturadaGSI = Geological Strength Index 0 GSI 100 -- Si GSI = 100, roca intacta: se recupera el criterio H-B original. Depende de las condiciones en la superficie y de la estructura del macizoD = factor que depende del grado de alteracin a que el macizo ha sido sometido debido a explosiones y relajacin de tensiones

ndice GSILa resistencia de un macizo rocoso fracturado depende de las propiedades de los trozos o bloques de la roca intacta y, tambin, de la libertad de estos para deslizar y girar bajo distintas condiciones de esfuerzo. Esta libertad est controlada por el perfil geomtrico de los trozos o bloques de roca intacta, as como tambin, por las condiciones de las superficies que separan dichos trozos o bloques. Los trozos de roca angulosos, con caras definidas por superficies lisas y abruptas, producen un macizo rocoso mucho ms competente que uno que tenga bloques completamente rodeados por material intemperizado y/o alterado.

El ndice Geolgico de Resistencia (GSI), proporciona un sistema para estimar la disminucin de la resistencia que presentara un macizo rocoso con diferentes condiciones geolgicas.

Figura n4. Caracterizacin de un macizo rocoso blocoso, en base a la interconexin entre partculas y condicin de discontinuidad. (HOEK, MARINOS and BENISSI 1998).

Al calificar la competencia del macizo es preciso considerar un rango de valores, ya que difcilmente esta corresponder a un solo valor.

Figura n5. Tabla con valores para el factor D, dependiendo de las condiciones del macizo rocoso.

El factor de alteracin D es un factor reductor de la resistencia, que depende del grado de alteracin que haya sufrido el macizo rocoso por efectos de las voladuras o por descompresin. Vara entre D=0, para aquellos macizos no alterados por las anteriores razones, hasta D=1 para los muy afectados.

Criterio original mb= 0.5743, s= 0.00138, y a= 0.5Criterio modificado: mb = 0.5743, s=0, y a=0.55

Figura n6. Grafica que representa la relacin entre las tensiones principales para el criterio original y el generalizado.

En general las dos envolventes no difieren mucho excepto en la zona de tensiones bajas

Relacin con Mohr-Coulomb del criterio original

Tensin normal y tensin tangencial efectiva

Resistencia a la traccin de la roca

El criterio de falla de Hoek Brown supone comportamiento isotrpico de la roca y del macizo rocoso y se orienta al comportamiento del macizo rocoso, por lo que solo debe aplicarse en aquellos macizos rocosos en los cuales existe un nmero suficiente de discontinuidades estrechamente espaciadas, de modo tal que es posible suponer un comportamiento isotrpico de la envolvente de falla sobre el conjunto de discontinuidades.

Cuando el talud o la excavacin subterrnea analizada son de gran tamao respecto al bloque tpico el macizo rocoso puede suponerse como un material tipo Hoek-Brown (si se puede aplicar el criterio).

Cuando el tamao del bloque tpico, definido por las discontinuidades, es similar al de la estructura analizada y/o cuando existe un sistema estructural claramente predominante, no debe utilizarse el criterio de Hoek Brown. En este caso, la estabilidad de la estructura debera analizarse considerando el comportamiento de los bloques y cuas.Desarrollo de las ecuaciones de Kirsch

Es una de las soluciones que aparecieron primero sobre la distribucin bidimensional de los esfuerzos alrededor de un orificio en un cuerpo elstico comprimido, fue publicado en 1898 por KIRSCH para la seccin vertical ms sencilla, el orificio circular.Esta metodologa nos permiten conocer el estado tensional inducido a una distancia r (medida desde el centro de la circunferencia) por el efecto de realizar una excavacin circular de radio a (considerada de largo semi-infinito), conociendo ante mano el estado tensional in situ.Permiten determinar esfuerzos y deformaciones. Las ecuaciones dispuestas usan coordenadas polares.

Nomenclatura

Figura n7(a). Grafica que representa la relacin entre las tensiones principales para el criterio original y el generalizado.

Figura n7(b). Grafica que representa la relacin entre las tensiones principales para el criterio original y el generalizado.

Para este anlisis tomaremos como gua la figura 7.b , para plantear las ecuaciones.Dnde:

a : radio del tnelr : radio que permite un punto dentro de la masap = y : esfuerzo verticaleskp = x : esfuerzo horizontales : ngulo que forma la lnea radial con la horizontal o con el zenit.

K : es la relacin que hay entre los esfuerzos de campo horizontales y esfuerzos verticales que actan en el terreno donde este no est afectado por la excavacin. (k=hz/ vz)

Ecuaciones de Kirsch Esfuerzo radial:

Esfuerzo Tangencial

Esfuerzo Cortante

Esfuerzos principales en plano de papel en el punto (r, ):

Direcciones principales

La teora de le elasticidad, permite plantear, con relativa sencillez los estados de esfuerzos en torno a una galera circular perforada en el continuo elstico; otras formas de galera desembocan con rapidez en dificultades matemticas muy grandes, que hacen prcticamente imposible la obtencin de soluciones para la galera circular constituye aun en estos casos una buena imagen aproximada. Esta puede obtenerse con consideracin de un estado de deformacin plana en una galera no adems, para cualquier combinacin de cargas horizontales y verticales.Los esfuerzos alrededor de una cavidad dependen de la magnitud de los esfuerzos aplicados y de la geometra o forma del cuerpo comprimido. Las constantes E (Young) y (Poisson) no aparecen en ninguna ecuacin y esto significa que el modelo de esfuerzos es independiente del material que se usa, con la condicin de que se trate de un material elstico lineal.

Esfuerzos en los lmites de la excavacinDespus de reemplazar en las ecuaciones de Kirsch el esfuerzo radial r y el esfuerzo cortante r son cero en el borde de la excavacin donde r=a. Ahora, el esfuerzo tangencial en los bordes se obtiene con:

En el techo y el piso de la cavidad donde =0 y 180 respectivamente, se reduce a:

En las cajas de la excavacin =90 y 270 tenemos:

Esfuerzos Tangenciales en los lmites de la excavacin (/pz)Para K=0 los esfuerzos en el techo y el piso de la cavidad son a tensinA=3pB=-p

Para K=0,33 los esfuerzos en el techo y piso son ceroPara K>0,33 todos los esfuerzos de la periferia son a compresin Los esfuerzos en las paredes disminuyen desde un mximo de 3p para K=0 hasta un valor de 2p para K=1

Estos valores se pueden apreciar de forma grfica en la siguiente figura

Figura n8. Variacin en los esfuerzos de la periferia (techo, piso y cajas) de una excavacin circular con la variacin en la relacin k de los esfuerzos aplicados

Solucin de kirsch en el contorno de la laborAl final se puede decir que el estado de esfuerzos en el contorno de una labor circular esta determinada por las siguientes expresiones:

(B)

(A)

Figura n9. Estado tensional en el contorno de la labor segn KIRSCH.

Zona de influenciaPara disear excavaciones el concepto de zona de influencia es relevante. Se entiende como el dominio sobre el que una excavacin genera una perturbacin significativa del estado tensional. La presencia de una excavacin vecina puede afectar el estado tensional del rea donde se va a realizar otra excavacin, esto podra llegar a afectar la nueva excavacin al punto de hacerla fallar. La zona de influencia determina el campo cercano y el campo lejano.Si se considera una excavacin circular en un campo hidrosttico de esfuerzo de magnitud p y un radio de la labor a, entonces para una distancia desde el centro de la labor de r=5a.

Figura n10. Variacin de la relacin del esfuerzo tangencial al esfuerzo vertical aplicado pz con distancia radial r a lo largo del eje horizontal para k=0Se reemplazan los valores en estas ecuaciones;

Se puede demostrar que para r=5a, el estado tensional no es significativamente diferente que el campo lejano (estado tensional original)De esta forma la excavacin 1 no afecta al estado de la excavacin, dado que esta est fuera de su zona de influencia. Para el diseo se pueden considerar ambas excavaciones aisladas.

Figura n11. Lmites de influencias de ambas labores circulares.En general, la interaccin ser insignificante si los centros de las excavaciones se encuentran a una distancia mayor a 6 veces el radio mayor de las dos excavaciones. Importante notar que la zona de influencia est determinada por la forma de la excavacin y por el estado tensional pre-minera.

Esfuerzos independientes del tamao de la excavacinDebemos notar que los esfuerzos alrededor de un orificio circular, en un macizo de roca infinito (ec. de Kirsch) no incluyen trminos como el radio del tnel a, sino que incluyen trminos independientes de la dimensin a/r. Esto quiere decir que en las cajas de un tnel circular de un metro se puede inducir los mismos niveles de esfuerzos que en las cajas de un tnel de 10 metros, en la misma roca elstica.Este fenmeno provoco mucha confusin en el pasado, debido a que algunos autores concluyeron que en vista que los esfuerzos inducidos en la roca alrededor de la cavidad son independientes del tamao de la excavacin, la estabilidad de la excavacin tambin era independiente de su tamao.Si el macizo rocoso fuera perfectamente elstico y libre de defectos, podra ser que esta conclusin resultara razonablemente correcta, pero no es el caso cuando se trata de macizos ya fracturados de por s.Aunque los esfuerzos sean idnticos, la estabilidad de una excavacin en un macizo rocoso fracturado y fisurado la controlara la relacin entre el tamao de la excavacin y el tamao de los bloques en el macizo rocoso.En consecuencia, al aumentar el tamao de la labor en una formacin de roca tpicamente fisurada no aumentaran los esfuerzos aunque seguramente provocara una disminucin en la estabilidad.

Ejemplo de uso de las ecuaciones

A una profundidad de 450 metros se realiza una excavacin de 3 metros de dimetro la roca posee un peso unitario de 26KN/M3, una resistencia a la compresin uniaxial de 60 mpa y una resistencia a la traccin de 3 Mpa.Cul es el stress alcanzado en el lmite de la excavacin? a)k=0,3b)k=2.5

Asumiendo que no hay fortificaciones, y que en el lmite de la excavacin solo existe compresin uniaxial ya que == 0La solucin para el estrs tangencial es

Se reduce despus de r = a

Asumiendo que el stress vertical es solo por el peso, se aplica la regla de heim

Ahora como las direcciones de los esfuerzos principales son 0 y 90Para K = 0.3

= 0 se tiene que

= 90 se tiene que Para K = 2.5

= 0

= 90 en este caso podemos ver que se supera la resistencia de 60 MPa en la corona y en el piso

Si en la misma situacin anterior se construye un tnel de 6 metros de dimetro paralelo al anterior y al mismo nivel, la separacin entre los centros de ambas excavaciones es de 10 metros .Se considera la distancia a la cual se produzcan 5% de influencia en los esfuerzos Si se asume influencia hidrosttica tenemos

K = 1, = 0Por lo tanto

Asumiendo un 5% de influencia se tiene

Como tenemos una excavacin de dimetro de 3 metros a=1.5Y tambin tenemos una excavacin de 6 metros de dimetro a= 3Por lo tanto los resultados seriaSe tienes r1 de 6,7 m para el de dimetro de 3 metrosY para r2 de 13.4 para el dimetro de 6 metros Recordando que la distancia que los separa es de 10 metros lo que se concluye es que la excavacin 1 no influye en el excavacin 2, pero la excavacin 2 si influye en la excavacin 1Por lo tanto queda demostrado que la presencia de una excavacin vecina puede afectar el estado tensional del rea donde se va a realizar el otra excavacin llegando al punto de hacerla fallar.

Excavacin 1excavacin 2Calculando los esfuerzosPara la excavacin nmero 2 con K=0.3

Entonces para la primera excavacin tenemos =12.48 Mpa y

Luego para la primera excavacin tenemos que los lmites de la excavacin

Para 0

Otro ejercicio analizado Resultados El programa Excel nos permite varias rpidamente varios parmetros y ver qu pasa con el comportamiento del macizo rocoso.

Conclusin

Llegamos a la conclusin que los esfuerzos alrededor de un orificio circular, en un macizo de roca. Que en las cajas de un tnel circular de 4 metro se pueden inducir los mismos niveles de esfuerzos que en las cajas de un tnel de 10 metros, en la misma roca elstica.Este problema crea confusin por la independencia de los esfuerzos inducidos del tamao Si el macizo rocoso fuera perfectamente elstico y libre de defectos, podra ser que esta conclusin resultara razonablemente correcta, pero no es el caso cuando se trata de macizos ya fracturados de por s.

Bibliografa

Esfuerzos alrededor de excavaciones subterrneas (Hugo Olmos Naranjo) Definicin preliminar de las secciones tipo de sostenimiento en los tneles proyectados por mtodos convencionales. Publicacin en INGEOPRES, n192 Mayo 2010 Hoek E. (1983), Strenght of jointed masses. Geotechnique, 33 (3), pp. 187-223 Carta para evaluar el ndice de resistencia geolgica en macizos rocosos fracturados. Marinos y Hoek (2000)

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