2 Vektor.pdf

1

Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.blogspot.com

2. Vektor

2.1 Vektor dan skalar

Berdasarkan nilai dan arahnya, besaran fisika dibagi menjadi dua bagian , yaitu besaran skalar dan

besaran vektor. Besaran skalar hanya memiliki nilai saja, seperti massa, waktu, energi, daya dan suhu.

Besaran vektor memiliki nilai dan arah, seperti perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momentum,

torsi dan momentum angular. Konsep vektor merupakan alat bantu yang sangat penting akan untuk

menjelaskan besaran vektor. Operasi besaran skalar berbeda dengan dengan operasi vektor. Sehingga kita

akan mempelajari operasi vektor terlebih dahulu sebelum mempelajari kinematika dan dinamika gerak

benda.

Sebuah vektor disimbolkan oleh anak panah dengan arah vektor ditunjukkan oleh mata panah, seperti

Gbr.2.1. Panjang vektor menunjukkan nilai atau besar vektor. Titik P disebut titik asal vektor ( titik

tangkap vektor) dan titik Q disebut ujung vektor menunjukkan arah vektor. Ada perbedaan cara penulisan

besaran skalar dan besaran vektor. Besaran vektor dituliskan dengan huruf cetakan tebal, contohnya A .

Cara lain penulisan vektor adalah menuliskan anak panah di atas huruf, yaitu A . Nilai vektor

ditunjukkan oleh A atau |A| . Huruf miring miring dan simbol | | menunjukkan nilai sebuah vektor.

2.2 Komponen vektor

Arah gerak sebuah partikel bergerak lurus dapat dijelaskan dengan tanda positif atau negatif. Untuk

menentukan arah gerak benda dalam bidang dan ruang tidak bisa lagi menggunakan tanda positif atau

negatif. Arah gerak benda dalam bidang (dua dimensi) dan ruang (tiga dimensi) dapat dinyatakan dalam

vektor. Skalar hanya memiliki satu komponen, sedangkan vektor memiliki tiga komponen.Posisi vektor

dalam bidang atau ruang biasanya ditempatkan dalam sistem koordinat, misalnya koordinat kartesian.

Komponen vektor dua dimensi

Sebuah vektor A terletak pada bidang xy seperti pada Gbr. 2.2. Vektor A membentuk sudut terhadap

sumbu x positif. Vektor A dapat diuraikan menjadi komponen xA pada sumbu x dan komponen yA

pada sumbu y.

Gbr. 2.1 : Simbol vektor

P

Q

A = 10 cm

Aatau A

2


Komponen vektor A diperoleh dengan menggunakan aturan trigonometri.

cos cosx xA

A AA

(2.1)

sin siny

y

AA A

A (2.2)

Besar vektor diperoleh menggunakan teorema Phytagoras.

2 2x xA A A (2.3)

Arah vektor A terhadap sumbu x positif diberikan oleh

tany

x

A

A (2.4)

Contoh 2.1 :

Tentukan komponen vektor kecepatan 1v dan 2v dalam arah sumbu x dan sumbu y ! Besar kecepatan 1v

dan 2v berturut-turut adalah 20 m/s dan 10 m/s.

Penyelesaian :

Komponen vektor kecepatan 1v :

01,x 1

1v cos30 20 3 m s 10 3 m s

2v

01,y 1

1v sin30 20 m s 10 m s

2v

300

1v

2v

370

y

x

y

x

A

xA

yA

y

A

xA

yA

x

Gbr. 2.2: Komponen Vektor dalam dua dimensi

3


Komponen vektor kecepatan 2v :

02,x 2

3v sin37 10 m s 6 m s

5v

02,y 2

4v cos37 10 m s 8m s

5v

Komponen vektor tiga dimensi

Sebuah vektor A terletak dalam ruang kartesian seperti pada Gbr. 2.3. Vektor A membentuk sudut

terhadap sumbu x positif, sudut terhadap y positif, dan sudut terhadap sumbu z positif . Vektor A

dapat diuraikan menjadi komponen xA pada sumbu x, komponen yA pada sumbu y , dan komponen zA

pada sumbu z .

Komponen vektor A diperoleh dengan menggunakan aturan trigonometri.

cos cosx xA

A AA

(2.5)

cos cosy

y

AA A

A (2.6)

cos cosz zA

A AA

(2.7)

Besar vektor A diperoleh menggunakan teorema phytagoras.

2 2 2x y zA A A A (2.8)

Arah vektor terhadap sumbu x positif adalah

2 2

tany z

x

A A

A

(2.9)

Arah vektor A terhadap sumbu y positif adalah

z

A

zA

yA

x

y

xA

Gbr. 2.3: Komponen Vektor dalam tiga dimensi

4


2 2

tan x z

y

A A

A

(2.10)

Arah vektor A terhadap sumbu y positif adalah

2 2

tanx y

z

A A

A

(2.11)

2.3 Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor menunjukkan arah vektor yang nilainya satu satuan. Koordinat kartesian

memiliki tiga vektor satuan dani j k, saling tegak lurus.

i atau x : vektor satuan dalam arah sumbu x dan besarnya satu satuan

j atau y : vektor satuan dalam arah sumbu y dan besarnya satu satuan

k atau z : vektor satuan dalam arah sumbu z dan besarnya satu satuan

Vektor A dalam dua dimensi dituliskan dalam bentuk

x yA A i A j

(2.12)

dengan nilai vektor A adalah :

2 2x yA A A

(2.13)

Vektor satuan dalam tiga dimensi dapat dituliskan menjadi

atau x y zx y z x y zA A i A j A k A A A A (2.14)

dan nilai vektor A adalah

2 2 2x y zA A A A

(2.15)

y

x

A

yA

xA

i

j

Gbr.2.4: Vektor satuan koordinat kartesian

A

z

zA

yA

x

y

xA i

i j

k

yA j

zA k

5


Vektor satuan A adalah A . Tanda ^ adalah simbol vektor satuan. Vektor satuan A adalah vektor A

dibagi besar vektor A .

AA=

A (2.16)

Vektor posisi adalah vektor berasal dari titik asal 0,0,0 . Vektor posisi x y zA A i A j A k dapat

dituliskan dalam bentuk titik , ,x y zA A A A . Vektor nol disimbolkan dengan 0 atau 0 . Semua

komponen vektor nol sama dengan nol.

Contoh 2.2 :

Sebuah benda dilemparkan dengan kecepatan 10 m/s membentuk sudut 600 terhadap sumbu x positif.

Nyatakan kecepatan awal benda dalam vektor satuan i dan j !

Penyelesaian :

Komponen vektor kecepatan benda dalam sumbu x dan sumbu y adalah

00, 0 cos 10cos60 5m sxv v

00, 0 sin 10sin 60 5 3 m syv v

Vektor kecepatan awal benda dalam vektor satuan i dan j dituliskan dalam bentuk

0 0, 0, 5 5 3 m sx yv v i v j i j

Contoh 2.3 :

Sebuah benda memiliki vektor posisi ( 2 2 ) mr i j k . Tentukan besar dan vektor satuan vektor r !

Penyelesaian :

Besar komponen vektor 2 2r i j k pada sumbu x, sumbu y dan sumbu z berturut-turut adalah rx = 1

m, ry = 2 m , dan rz = 2 m. Besar vektor r adalah

2 2 2 2 2 21 2 2 3mx y zr r r r Vektor satuan vektor r adalah

1 2 2 3 3 3

rr i j k

r

2.3 Aljabar vektor

x

y

v0

600

6


Kita akan mulai operasi dasar vektor seperti kesamaan, penjumlahan, pengurangan dan perkalian

vektor. Alajabar vektor sangat banyak digunakan dalam persamaan fisika.

Kesamaan vektor

Dua vektor dikatakan sama hanya jika nilai dan arah dua vektor tersebut sama. Secara geometri, dua

vektor sama hanya jika kedua vektor sejajar dengan arah yang sama dan panjangnya sama, tetapi tidak

membutuhkan posisi yang sama, lihat Gbr.2.5a. Secara analitik, dua vektor sama ketika nilai komponen

kedua vektor sama. Kesamaan vektor A dan A dituliskan dalam bentuk

A B

(2.17)

atau

x y zx y z x y zA i A j A k B B B (2.18)

ini sama dengan tiga buah persamaaan

x x y y z zA B A B A B (2.19) Sebuah vektor dipindahkan ke posisi lain akan tetap sama asalkan tidak mengubah nilai dan arah vektor

tersebut. Vektor A dan A memiliki nilai yang sama tetapi arah vektornya berlawanan. Vektor A

dikatakan berlawanan dengan vektor A , seperti pada Gbr. 2.5b.

Penjumlahan vektor

Penjumlahan dua vektor didefenisikan oleh persamaan

x x x x x xA B A B i A B j A B k (2.20) Jumlah dua vektor adalah sebuah vektor yang komponennya merupakan penjumlahan komponen-

komponen pada arah yang sama dari kedua vektor. Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara geometri

dan analitik. Metode geometri dibagi menjadi dua cara, yaitu aturan segitiga dan jajargenjang. Metode

analitik menggunakan aturan penjumlahan komponen vektor.

Perkalian vektor dengan skalar

Jika c adalah skalar (konstanta) dan A adalah sebuah vektor, maka

x y z x y zc A c A i A j A k cA i cA j cA k Ac (2.21)

Gbr. 2.5 : (a) Kesamaan vektor A dan B . (b) Vektor A berlawanan dengan A

A

A= 5cm B

B= 5cm

(a)

A

A

(b)

7


Perkalian vektor A dan skalar c akan menghasilkan vektor yang baru, yaitu Ac . Konstanta c akan

mempengaruhi besar dan arah vektor A . Jika c konstanta positif, maka vektor baru akan memiliki arah

yang sama dengan vektor A . Jika k konstata negatif, maka vektor baru akan memiliki arah yang

berlawanan dengan vektor A . Misalkan kita ambil nilai konstanta c =-1, 2, 1/2, -2, dan -1/2, hasil

perkalian ditunjukkan oleh Gbr.2.6. Jika c = -1, maka arah vektor A berlawanan dengan vektor A .

Pengurangan vektor

Pengurangan vektor B dari vektor A didefenisikan oleh persamaan

1 x x x x x xA B A B A B i A B j A B k (2.22)

2.4 Penjumlahan vektor secara geometri

Penjumlahan vektor secara geometri berarti tidak menggunakan sistem koordinat. Dua buah vektor

A dan B , ditunjukkan oleh Gbr. 2.7.

Jumlah vektor A dan B disebut resultan vektor, R :

R= A+B (2.23)

Jumlah besar vektor A dan B tidak sama dengan besar vektor R .

|R| |A|+|B| (2.24)

Cara untuk menjumlahkan vektor dapat digunakan dengan metode geometri atau analitik. Metode

geometri dibagi menjadi dua aturan, yaitu aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Metode analitik

menggunakan penjumlahan komponen vektor.

Aturan segitiga

Lihat kembali Gbr. 2.7. Untuk menghitung resultan vektor A dan B , pertama hubungkan titik

tangkap vektor B ke titik arah vektor A . Resultan vektor diperoleh dengan menggambarkan vektor

menghubungkan titik tangkap vektor A ke titik arah vektor B , seperti ditunjukkan pada Gbr. 2.8.

A B

Gbr. 2.7 : Vektor A dan B

A -A

2A -2A

12

A 12

A

Gbr. 2.6 : Perkalian vektor A dengan konstanta k =-1, 2, 1/2, -2, dan -1/2

8


Misalkan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Nilai resultan vektor diperoleh

menggunakan hukum kosinus.

Besar resultan vektor dapat dituliskan dalam bentuk :

2 2 0|A+B| 2 cos(180 - )R A B AB

2 2|A+B| 2 cosR A B AB (2.25)

Kesimpulan :

Jika vektor A sejajar B ( = 0), maka R = A + B

Jika vektor A tegak lurus B ( = 900), maka 2 2R A B

Jika vektor A berlawanan dengan B ( = 1800), maka R A B

Rentang nilai resultan vektor A dan B adalah A B R A B

Untuk menghitung resultan lebih dari dua vektor dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan dua

vektor terlebih dahulu. Kemudian resultan dua vektor dijumlahkan dengan vektor lainnya, demikian

seterusnya sehingga diperoleh resultan vektor total. Gambar vektor resultan dari tiga atau lebih vektor

dapat langsung diperoleh dengan mengikuti aturan penjumlahan metode segitiga. Misalkan terdapat tiga

buah vektor seperti pada Gbr.2.10a, maka gambar vektor resultannya ditunjukkan oleh gambar Gbr.2.10b.

A

BC

A

B

C

R

(a) (b)

Gbr.2.10 : (a) Vektor A,BdanC . (b) Resultan tiga buah vektor

Gbr. 2.9 : Geometri resultan vektor aturan segitiga

180

A

B

R

A

B

Gbr. 2.8 : Penjumlahan vektor aturan segitiga

A B

A

B

R

9


Penjumlahan vektor memiliki beberapa sifat penting. Sifat-sifat penjumlahan vektor :

Pertama, penjumlahan vektor berlaku sifat komutatif.

A B B A (2.26) Kedua, penjumlahan vektor berlaku sifat asosiatif.

A B C A B C

(2.27)

Ketiga, pengurangan vektor A - B bentuk khusus dari perjumlahan vektor A+B .

- -C A B A B

(2.28)

Besar pengurangan dua buah vektor dapat dituliskan dalam bentuk :

2 2|A-B| 2 cosA B AB

Contoh 2.4 :

Dua buah gaya 1F dan 2F membentuk sudut menarik sebuah peti dan besar gaya berturut-turut adalah

80 N dan 60 N. Tentukan nilai resultan gaya yang dirasakan oleh peti untuk nilai adalah 00, 600 ,900 dan

1800!

Penyelesaian :

Diketahui bahwa F1 = 80 N dan F2 = 60 N. Rumus resultan vektor adalah

2 21 2 1 2 1 2| |= 2 cosRF F F F F F F

Jika = 00, maka

1 2 1 2| |= 140 NRF F F F F Jika = 00, maka

2 2 01 2 1 2 1 2| |= 2 cos60 121,7 NRF F F F F F F

Jika = 900, maka

2 21 2 1 2| |= 100 NRF F F F F

Jika = 1800, maka

1 2 1 2| |= 20 NRF F F F F

Aturan Jajargenjang

1F

2F

Gbr. 2.11 : Pengurangan vektor aturan segitiga

A B

A

-B

A B

10


Lihat kembali Gbr.2.8. Untuk mendapatkan resultan vektor A dan B dengan metode jajar genjang,

pertama hubungkan titik tangkap vektor A dan titik tangkap vektor B . Gambarkan vektor bayangan A

dan hubungkan titik tangkap vektor A ke titik arah vektor B . Kemudian gambarkan vektor bayangan

B dan hubungkan titik tangkap B vektor ke titik arah A . Besar resultan vektor diperoleh dengan

menggambarkan vektor menghubungkan titik tangkap vektor A ke titik arah vektor B , seperti

ditunjukkan pada Gbr. 2.12.

Misalkan adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Nilai resultan vektor diperoleh menggunakan hukum kosinus.

Besar resultan vektor dapat dituliskan dalam bentuk :

2 2 0|A+B| 2 cos(180 -)R A B AB

2 2 2 cosR A B AB (2.29) Sudut adalah besar sudut yang dibentuk oleh vektor A dan vektor R . Sudut adalah besar

sudut yang dibentuk oleh vektor B dan vektor R . Nilai sudut dan dapat ditemukan menggunakan

hukum sinus.

sin 180 sin sin

R A B

(2.30)

Contoh 2.5 :

Sebuah mobil bergerak 3 km ke Utara, kemudian 5 km ke Timur Laut. Gambarkan vektor perpindahan

mobil dan tentukan besar dan arah perpindahan mobil dari arah Utara!

Penyelesaian :

Gbr. 2.13: Geometri resultan vektor metode jajargenjang

A

B

O

B

R

A

B

A

Q

P

180

Gbr. 2.12: Penjumlahan vektor aturan jajargenjang

A B

A

B

R

A

B

11


Hubungan antara vektor A , B dan S adalah

S A B

Besar sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B adalah 450. Besar perpindahan mobil adalah

2 2 02 cos45S A B AB 2 2 03 5 2 3 5cos45S

34 15 2 km 7,43kmS Arah perpindahan mobil diperoleh menggunakan hukum sinus.

0 sinsin135

S B

0 5 1sin sin 45 2 0,4377,43 2

B

S

028,8

Mobil berpindah sejauh 7,43 km pada sudut 028,8 dari arah Utara.

Contoh 2.6 :

Sebuah beban beratnya w = 200 N digantungkan menggunakan tali seperti ditunjukkan pada gambar.

Beban dalam keadaan setimbang seperti pada gambar. Tentukan besar tegangan tali T1 dan T2!

Penyelesaian :

Kita dapat menggambarkan hubungan vektor 1T , 2T dan w memenuhi hubungan

300 N

300

1T 2T

w

Utara

Timur

450

1350

Barat

Selatan

B

S A

12


Besar tegangan tali T1 dan T2 diperoleh dengan menggunakan hukum sinus.

01

10 0 0

sin60200 3

sin30 sin60 sin30

w TT w N

0

210 0 0

sin90400

sin30 sin90 sin30

w TT w N

2.5 Penjumlahan vektor metode analitik

Penjumlahan dua vektor menggunakan metode analitik adalah penjumlahan komponen kedua vektor

pada sumbu yang sama. Penjumlahan ini dikenal sebagai metode perhitungan aljabar vektor. Resultan dua

vektor dapat dituliskan dalam bentuk

R A B

(2.31)

Cara menjumlahkan vektor dengan metode penjumlahan komponen vektor, yaitu :

a. Uraikan komponen vektor dalam komponen skalarnya. Komponen vektor A adalah xA , yA dan zA .

Komponen vektor B adalah xB , yB dan zB .

b. Jumlahkan semua komponen vektor pada sumbu yang sama untuk mendapatkan komponen vektor R ,

yaitu xR , yR dan zR .

x x x y y y z z zR A B R A B R A B

(2.32)

c. Gabungkan komponen vektor R untuk mendapatkan vektor R.

x x x x x xR A B i A B j A B k

(2.33)

Nilai vektor resultan R akan sama dengan

2 2 2 2 2 2

x y z x y zR F F F R R R

(2.34)

Secara umum dapat dituliskan bahwa jika ada dua vektor,

x y zA A i A j A k dan

x y zB B i B j B k

maka :

x x x x x xA B A B i A B j A B k

(2.35)

x x x x x xA B A B i A B j A B k

(2.36)

Contoh 2.7 :

Diketahui dua buah vektor

1 3 2 mr i j k

1T

2T

300

600

900

w

13


23 4 mr i k

Tentukan :

a. besar vektor 1r dan 2r

b. 1 2r r

c. 1 2r r

d. 1 22 3r r

Penyelesaian :

a. Besar vektor 1r adalah

2 2 21 3 1 2 14 mr

Besar vektor 2r adalah

2 21 3 4 5 mr

b. 1 2 3 2 3 4 3 3 2 4 6 6r r i j k i k i j k i j k

c. 1 2 3 2 3 4 3 3 2 4 2r r i j k i k i j k j k

d. 1 2 2 3 2 3 2 3 3 4 6 2 4 9 12 15 2 16r r i j k i k i j k i k i j k

Contoh 2.8 :

Tentukan besar resultan dari tiga vektor gaya pada gambar di bawah ini!

Penyelesaian :

Misalkan F1 = 10 N, F2 = 10 3 N, dan F3 = 10 N. Sekarang kita uraikan masing-masing vektor gaya pada

sumbu x dan sumbu y .

0 01 1 1

cos30 sin30 5 3 5F F i F j i j

0 02 2 2

cos60 sin60 5 3 15F F i F j i j

3 3 5F F j j

Resultan ketiga gaya adalah

1 2 3 15R x yF F F F F i F j j

Besar resultan vektor gaya adalah

x

y

300

600

5 N

10 N

10 3 N

14


2 2 2 215 0 15x yR F F N

3.6 Perkalian dua vektor

Perkalian dua vektor merupakan operasi vektor yang sangat banyak digunakan dalam mekanika. Ada

dua jenis perkalian dua buah vektor, yaitu perkalian skalar (dot product) dan perkalian silang (cross

product).

Perkalian skalar

Defenisi perkalian skalar dua vektor adalah perkalian antara dua besar vektor dikalikan dengan

kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor.

cosA B AB

(2.37)

dimana sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B . Perkalian skalar dinamakan juga perkalian dot.

A B dibaca dotA B . Hasil perkalian dot dua vektor menghasilkan besaran skalar.

Perkalian dot adalah proyeksi vektor A ke vektor B atau proyeksi vektor B ke vektor A .

Perkalian skalar menyearahkan dua buah vektor.

cos cos cosA B A B A B AB

(2.38)

Jika = 0 (vektor A searah dengan vektor B ), maka A B AB .

Jika = 90 (vektor A tegak lurus dengan vektor B ), maka 0A B .

Jika = 180 (vektor A berlawanan arah dengan vektor B ),, maka A B AB .

Jika vektor A tegak lurus B , maka vektor A dikatakan ortogonal dengan vektor B . Vektor satuan

dani j k, saling ortogonal. Perkalian dot vektor satuan koordinat kartesian mengikuti aturan :

= 1 1 cos0 1i i j j k k =

(2.39)

0 1 1 cos90 0i j j k i k = =

(2.40)

Jika ada vektor A dan B ,

x y zA A i A j A k

x y zB B i B j B k

maka perkalian dot vektor A dan B adalah

A

B

(a)

A B cos

B

A

B

A cos

(b)

Gbr. 2.14 : (a) Dua vektor A dan B membentuk sudut

(b) Proyeksi vektor A dan B

15


x y z x y z

x x x y x z y x y y y z

z x z y z z

A B A i A j A k B i B j B k

A B i i A B i j A B i k A B j i A B j j A B j k

A B k i A B k j A B k k

Jadi,

x x y y z zA B A B A B A B

(2.41)

Kita juga dapat menuliskan bahwa

2 2 2 2x y zA A A A A A

(2.42)

Jadi,

A A A

(2.43)

Kosinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor adalah

2 2 2 2 2 2cos

x x y y z z

x y z x y z

A B A B A BA B

AB A A A B B B

(2.44)

Kesimpulan :

1. A B B A Hukum komutatif

2. A B C A B A C Hukum distributif

3. k A B kA B A kB A B k dimana k adalah skalar

4. = 1, 0i i j j k k i j j k i k = =

5. x x y y z zA B A B A B A B

6. 0A B dan A dan B adalah bukan vektor nol, maka A dan B tegak lurus

Aplikasi perkalian skalar dalam fisika :

a. Kerja

Jika gaya dan perpindahan sejajar maka kerja yang dilakukan oleh gaya sama dengan perkalian

besar gaya dan perpindahan. Jika gaya dan perpindahan tegak lurus maka kerja yang dilakukan oleh

gaya sama dengan nol. Jadi, defenisi kerja adalah perkalian komponen gaya sejajar perpindahan

dikali besar perpindahan.

cosW F S F S

(2.45)

16


b. Energi kinetik

Defenisi energi kinetik adalah

21 1

2 2kE mv v mv

(2.46)

Contoh 2.9 :

Jika 2 2A i j k dan 6 3 2B i j k , hitung A B dan sudut antara vektor A dan B !

Penyelesaian:

Menghitung nilai A B :

2 2 6 3 2 (2)(6) (2)( 3) ( 1)(2) 12 6 2 4A B i j k i j k 2 2 22 1 2 3A 2 2 26 3 2 7B

Menghitung sudut vektor A dan B :

cosA B AB

4 4cos

(3)(7) 21

A B

AB

1 04cos 7921

Contoh 2.10 :

Tentukan nilai a agar vektor A ai j k tegak lurus dengan vektor 2 3B i j k !

Penyelesaian:

A dan B tegak lurus hanya jika 0A B . Jadi,

( )(1) (1)(2) ( 1)( 3) 2 3 0A B a a

a = - 5

Contoh 2.11 : Kerja

Hitung kerja yang dilakukan gaya pada benda yang memiliki vektor perpindahan 5 4 mr i j k dan

gaya yang bekerja adalah 2 2 NF i j k !

Penyelesaian :

F F

S

Gbr. 2.15 : Kerja adalah perkalian dot antara gaya dan perpindahan

17


Kerja = 2 2 5 4 10 1 8 19 joule.F r i j k i j k

Perkalian Silang

Defenisi nilai perkalian silang dua vektoradalah perkalian antara dua besar vektor dan kemudian

dikalikan dengan sinus sudut yang dibentuk oleh dua vektor. Hasil perkalian silang dua vektor

menghasilkan vektor.

sinC A B AB

(2.47)

A B disebut perkalian silang atau perkalian cross . A B dibaca crossA B .

Jika = 0 (vektor A searah dengan vektor B ), maka 0A B .

Jika = 90 (vektor A tegak lurus dengan vektor B ), maka A B AB .

Jika = 180 (vektor A berlawanan arah dengan vektor B ),maka 0A B .

Jika besar sudut yang dibentuk oleh dua vektor adalah 0 00 dan180 ( dua vektor sejajar atau berlawanan

arah) , maka hasil perkalian vektor dua vektor tersebut sama dengan nol. Nilai perkalian vektor

C A B maksimum ketika vektor A dan B tegak lurus.

Perkalian silang antara A dan B menghasilkan vektor C. Vektor C tegak lurus dengan bidang yang

dibentuk oleh vektor A dan B , artinya vektor C juga tegak lurus dengan vektor A dan B . Arah vektor

hasil perkalian silang ditentukan menggunakan aturan tangan kanan.

Lihat Gbr. 2.16, perkalian A B kebalikan dari B A . Perkalian silang memiliki sifat antikomutatif.

A B B A (2.48)

Hasil perkalian cross antara vektor satuan koordinat kartesian mengikuti aturan :

0i i j j k k = = (2.49)

, ,i j k j k i k i j = (2.50)

Gbr. 2.16 : Aturan tangan kanan pada perkalian silang

A

B

C=A B

A

B

C=B A

18


, ,j i k k j i i k j = (2.51)

Jika ada dua buah vektor A dan B ,

x y zA A i A j A k

x y zB B i B j B k

maka perkalian silang vektor A dan B adalah

x y z x y z

x x x y x z y x y y y z

z x z y z z

A B A i A j A k B i B j B k

A B i i A B i j A B i k A B j i A B j j A B j k

A B k i A B k j A B k k

Kita menyederhanakan persamaan di atas menjadi :

y z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k (2.52)

Kita juga dapat menentukan hasil perkalian silang menggunakan metode determinan.

y z x yx zx y z

y z x yx zx y z

i j kA A A AA A

A B A A A i j kB B B BB B

B B B

(2.53)

y z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k

Untuk menentukan sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif dalam koordinat kartesian

ditentukan menggunakan perkalian silang i j k . Vektor satuan i searah sumbu x positif, vektor satuan

j searah sumbu y positif dan vektor satuan k searah sumbu z positif.

Kesimpulan :

1. A B B A Tidak memenuhi hukum komutatif

2. A B C A B A C Hukum distributif

3. k A B kA B A kB A B k dimana k adalah skalar

4. = 0, , ,i i j j k k i j k j k i i k j = =

5. y z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k

6. Nilai 0A B sama dengan luas jajar genjang dengan sisi A dan B

7. 0A B dan A dan B adalah bukan vektor nol, maka A dan B sejajar.

8. 0 dan 0A A B B A B

Aplikasi perkalian vektor dalam fisika:

a. Luas

19


Nilai perkalian silang sinA B AB menunjukkan luas jajargenjang yang dibentuk oleh vektor

danA B , lihat Gbr. 2.17. Jadi, luas adalah besaran vektor.

b. Torsi

Perkalian komponen gaya (F) tegak lurus dengan dengan lengan gaya (d) dikali dengan panjang

lengan gaya dinamakan torsi atau momen gaya. Jika torsi dan lengan gaya sejajar maka torsi sama

dengan nol. Jika gaya dan lengan gaya tegak lurus, maka torsi sama dengan Fd. Jika gaya dan lengan

gaya membentuk sudut , maka torsi sama dengan

sinrF

(2.54)

Jadi torsi merupakan perkalian silang antara lengan gaya dan gaya.

r F

(2.55)

c. Kecepatan angular

Sebuah benda bermassa m bergerak melingkar dengan kecepatan sudut terhadap kerangka acuan

titik O yang diam. Titik P berjarak r dari titik O. Kecepatan tangensial v benda m di titik P adalah

v r

(2.56)

Besar kecepatan tangensial adalah

sinv r r

(2.57)

r

F

Gbr.2.18 : Vektor torsi, .

x A

y

B

cosB

sinB

Gbr.2.17 : Jajar genjang representasi dari perkalian silang

20


d. Momentum sudut

Sebuah benda bergerak rotasi seperti pada Gbr 2.19. Momentum sudut benda m didefenisikan

perkalian silang antara vektor posisi benda dari suatu acuan dan vektor momentum linear.

L r p r mv (2.58)

Contoh 2.12 : Luas

Jika 2 3A i j k dan 4 2B i j k , hitung A B dan luas jajargenjang yang dibentuk oleh vektor

A dan B !

Penyelelesaian :

Metode 1 :

2 3 4 2

2 4 2 3 4 2 4 2

2 8 4 3 12 6 4 2

0 8 4 3 0 6 4 0 10 3 11

A B i j k i j k

i i j k j i j k k i j k

i i i j i k j i j j j k k i k j k k

k j k i j i i j k

Metode 2 :

3 1 2 1 2 3 2 3 1 10 3 11

4 2 1 2 1 41 4 2

i j k

A B i j k i j k

Luas yang dibentuk oleh vektor A dan B sama dengan besar vektor A B .

Luas = 2 2 210 3 11 230 satuanA B

Contoh 2.13 : Momen gaya

Gbr.2.19 : Benda m bergerak dengan kecepatan sudut

r

O

P

v

sinr

21


Sebuah gaya 3 2 4 NF i j k bekerja pada pada benda titik dengan vektor posisi 2 3 mr i j k . Tentukan momen gaya yang bekerja pada benda terhadap titik asal!

Penyelelesaian :

Momen gaya pada benda :

2 4 3 4 3 2 3 2 4 21 3 2 3 2 1

2 1 3

i j k

r F i j k i j k

2.7 Perkalian tiga vektor

Perkalian kombinasi tiga vektor dinamakan perkalian triple. Perkalian triple dibagi menjadi dua jenis,

yaitu perkalian triple skalar (triple scalar product) dan perkalian triple vektor (triple vector product).

Perkalian triple skalar

Perkalian triple skalar memiliki bentuk kombinasi

A B C (2.59) Perkalian triple skalar akan menghasilkan skalar. Hasil perkalian triple skalar adalah

A B C

B C A C A B

x y z z y y z x x z z x y y xA B C B C A B C B C A B C B C

(2.60)

Perkalian triple skalar dapat dituliskan dalam bentuk

A B Cx y z

x y z

x y z

A A A

B B B

C C C

(2.61)

Hasil perkalian triple skalar A B C menunjukkan volume ruang yang dibentuk oleh vektor A,Bdan C seperti terlihat dalam Gbr. 2.20.

22


Contoh 2.14 :

Hitung volume yang dibentuk oleh vektor 1 2 2 2 3 m , m, dan 3 r i j r i j k r i k !

Penyelesaian :

2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 30 1 3 1 3 0

3 0 1

i j k

r r i j k i j k

Volume = 31 2 3 2 3 1 2 3 2 6 0 4mr r r i j i j k

Perkalian triple vektor

Perkalian triple skalar memiliki bentuk kombinasi

A B C (2.62) Hasil perkalian triple vektor memenuhi aturan

A B C B A C -C A B (2.63) Pers.(2.32), sebuah hubungan yang dikenal sebagai aturan BAC - CAB . Perkalian triple vektor

menghasilkan vektor.

Contoh aplikasi perkalian triple vektor adalah rumus momentum angular. Andaikata sebuah partikel

bermassa m bergerak dengan kecepatan sudut relatif terhadap kerangka acuan yang diam O . Defenisi

momentum angular partikel m terhadap titik O seperti ditunjukkan Gbr. 2.19 adalah

L r p r mv mr v (2.64)

Hubungan antara kecepatan linear v dan kecepatan sudut adalah .v r Sehingga

L r p r mv mr r (2.65)

Kita dapat membuat analogi bahwa , danA r B C r , dengan menggunakan aturan BAC-CAB akan

kita peroleh

A

x

y

z

B

C

Gbr.2.20 : Volum menunjukkan hasil perkalian triple skalar

23


L m r r r r (2.66)

Jika kecepatan angular tegak lurus dengan radius r , maka 0r . Jadi, 2L mr (2.67)

Nilai momentum angular adalah

2L mr mvr (2.68) Percepatan sentripetal massa m dalam gambar Gbr.2.19 diberikan oleh

.a v r (2.69)

Contoh 2.15 :

Diberikan tiga vektor 2 , 3A i B j dan C j k , hitung A B C !

Penyelesaian :

A B C B A C - C A B 3 2 0 6j j k j

3.8 Turunan vektor

Sebuah partikel bergerak dari posisi r t ke posisi r t t selang waktu t (lihat gambar 2.21).

Perpindahan partikel selang waktu t adalah

r r t t r t (2.70) Perubahan perpindahan partikel terhadap waktu t adalah

r t t r tr

t t

(2.71)

Turunan vektor r t terhadap waktu adalah

0 0

lim limt t

r t t r tdr r

dt t t

(2.69)

Vektor r t dalam koordinat kartesian diberikan oleh

r t x t i y t j z t k (2.72)

x

y

z

r

r t t r

Gbr.2.21 : Perubahan vektor posisi r t ke posisi r t t selang waktu t

24


Turunan pertama vektor r t terhadap waktu adalah

dr dx dy dzi j kdt dt dt dt

(2.73)

Turunan kedua vektor r t terhadap waktu adalah 2 2 2 2

2 2 2 2 d r d x d y d zi j k

dt dt dt dt (2.74)

drv

dt menunjukkan kecepatan partikel dan

2

2

dv d ra

dt dt menunjukkan percepatan partikel.

Rumus turunan vektor

Jika A, Bdan C adalah turunan vektor bergantung waktu t dan fungsi skalar bergantung waktu t, maka

1. A B

A+Bd d d

dt dt dt

2. B A

A B A Bd d d

dt dt dt

3. B A

A B A Bd d d

dt dt dt

4. A

A Ad d d

dt dt dt

5. Jika x y zA A i A j A k , maka

x y zdA dA i dA j dA k

6. A B A B A Bd d d

7. A B A B A Bd d d

Contoh 2.16 : Gerak Melingkar

Sebuah partikel bergerak memiliki vektor posisi cos sinr r t i r t j , dimana r dan adalah

konstanta. Tunjukkan bahwa (a) kecepatan v tegak lurus terhadap r , (b) percepatan a arahnya ke titik

asal dan memiliki nilai sebanding dengan jarak dari titik asal, (c) vektor konstanr v

Penyelesaian :

a. sin cosdr

v r t i r t jdt

v

t x

y

r

a

25


Jadi,

cos sin sin cos

cos sin sin cos 0

r v r t i r t j r t i r t j

r t r t r t r t

Karena 0r v , maka r dan v tegak lurus.

b. 2

2 2 2 2

2 cos sin cos sin

d r dva r t i r t j r t i r t j r

dtdt

Percepatan berlawanan dengan arah r , artinya percepatan arahnya menuju titik asal. Nilainya

sebanding dengan jarak dari titik asal.

c. cos sin sin cosr v r t i r t j r t i r t j 2 2 2 2 cos sin , sebuah vektor konstanr t k r t k r k

Fisisnya, gerak ini adalah gerak melingkar sebuah partikel dengan kecepatan angular konstan .

Percepatan partikel arahnya menuju pusat lingkaran dikenal percepatan sentripetal.

Aplikasi turunan vektor : Hukum kedua Newton

Dinamika mempelajari gaya yang menyebabkan benda bergerak. Hukum kedua Newton bahwa

resultan gaya yang bekerja pada benda m sama dengan perubahan momentum benda terhadap waktu.

Bentuk matematis hukum kedua Newton adalah

dpF

dt (2.75)

Momentum p didefenisikan perkalian massa m dan kecepatan v , sehingga

d mvF

dt (2.76)

Menggunakan rumus A

A Ad d d

dt dt dt

, maka akan diperoleh

dv dmF m v

dt dt (2.77)

3.9 Soal dan penyelesaian

1. Dua vektor memiliki besar yang sama dengan F membentuk sudut . Jika besar resultan kedua vektor

sama dengan F. Hitung nilai !

Penyelesaian :

Diketahui bahwa 1 2RF F F F .

2 21 2 1 22 cosRF F F F F

2 2 2 22 cosF F F F 1

cos2

Besar sudut berada dalam kuadran II, sehingga nilai = 1200.

26


2. Sebuah pesawat bergerak dengan kecepatan 5 m/s ke arah Utara. Pada saat yang bersamaan, angin

bertiup pada sudut 370 dari Utara dengan kecepatan 2 m/s. Tentukan resultan kecepatan dan arah

gerak pesawat dari arah Utara!

Penyelesaian :

Besar perpindahan mobil adalah

2 2 02 cos37r p a p av v v v v

2 2 05 2 2 5 2 cos37rv

29 16 km 3 5 m s 6,71 m srv Menentukan arah resultan kecepatan pesawat menggunakan aturan sinus.

0 sinsin143

r av v

0 2 3sin sin37 0,1796,71 5

a

r

v

v

011,5

Resultan kecepatan pesawat adalah 6,71 m/s membentuk sudut 028,8 terhadap arah Utara.

3. Sebuan balok bermassa 20 kg didorong oleh gaya F = 100 N membentuk sudut 300 terhadap sumbu

vertikal, seperti ditunjukkan pada gambar. Hitung komponen gaya pada sumbu x dan sumbu y!

Penyelesaian :

Komponen gaya pada sumbu x:

20 kg

300

F = 100 N

x

y

Utara

Timur

370

1430

Barat

Selatan

rv

av

pv

27


0 1sin30 100 50N2x

F F

Komponen gaya pada sumbu y:

0 1cos30 100 3 50 3 N2y

F F

4. Ini adalah gaya-gaya yang bekerja pada sebuah partikel P :

1 3 3 NF i j k

2 2 2 7 NF i j k

3 8 NF i k

Hitung vektor dan besar resultan gaya yang bekerja pada partikel P!

Penyelesaian :

Vektor resultan gaya :

3 3 2 2 7 8 2 N

R R R RF F F F

i j k i j k i k

j k

Nilai resultan gaya adalah RF = 5 N

5. Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 90 m dan kecepatan arus sungai 4 m/s. Bila perahu diarahkan menyilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s. Tentukan resultan

kecepatan perahu dan sudut yang dibentuk oleh lintasan perahu terhadap arah tegak lurus sungai!

Penyelesaian :

Diagram vektor kecepatan perahu pv , kecepatan sungai sv dan resultan kecepatan perahu sv :

Besar resultan kecepatan perahu adalah

2 2 2 23 4 5m sr p sv v v

Besar sudut adalah

04tan 533

s

p

v

v

6. Hitung nilai a agar vektor A ai j k tegak lurus dengan vektor B ai k !

Penyelesaian:

r p sv v v

pv

sv

28


A dan B tegak lurus hanya jika 0A B . Jadi,

2 1 0A B a

1a

7. Hukum Cosinus. Buktikan hukum cosinus menggunakan perkalian dot!

Penyelesaian:

C A B

C C A B A B 2 2 22C A A B B

2 2 2 2 cosC A B AB

8. Hukum Sinus. Buktikan hukum sinus menggunakan perkalian silang!

Penyelesaian :

Misalkan sudut , dan adalah sudut dalam segitiga yang dibentuk oleh vektor ,A B dan C .

C A B

( )C B A B B A B

( )C A A B A B A A B

Kita mendapatkan hubungan bahwa :

A B C A C B

sin sin sinAB AC BC

sin sin sin

A B C

9. Buktikan bahwa nilai perkalian silang adalah

22

2 2A B A B A B

C

B

A

C

B

A

29


Penyelesaian:

2 2 22

y z z y z x x z x y y xA B A B A B A B A B A B A B Dengan sedikit kerja keras, kita akan memperoleh

2 22 2 2 2 2 2

x y z x y z x x y y z zA B A A A B B B A B A B A B atau dengan menggunakan perkalian dot, kita peroleh

22

2 2A B A B A B

10. Buktikan bahwa cos cos cos sin sin mengunakan perkalian dot!

Penyelesaian :

Misalkan vektor satuan a membentuk sudut terhadap sumbu x positif dan vektor satuan b

membentuk sudut terhadap sumbu x positif.

cos sina i j

cos sinb i j

cos sin cos sina b i j i j

cos cos cos sin sin

11. Untuk dua vektor A i j k dan 2B i j k , hitung :

a. A B dan | |A B

b. sudut antara vektor A dan B

c. A B

d. A B A B

Penyelesaian :

a. 2 2A B i j k

2 2 22 2 1 3A B

b. cos 0A B

AB

090

x

y

a

b

30


c.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 31 2 1 2 1 1

1 1 2

i j k

A B i j k i j

d. 12A B A B

12. Gerak Melingkar. Sebuah partikel bermassa m bergerak melingkar menurut persamaan posisi

cos sinr r t i r t j

dimana r dan konstan. Hitung nilai daya yang bekerja pada benda P F v !

Penyelesaian:

cos sinr r t i r t j

sin cosdr

v r t i r t jdt

22 2

2 cos sin

d ra r t i r t j

dt

Daya yang bekerja pada partikel :

0P F v ma v

Daya yang bekerja pada partikel sama dengan nol artinya partikel tidak mengalami perubahan

kelajuan.

13. Gaya magnet. Suatu ruangan diberi medan magnet homogen B B z . Sebuah partikel bermuatan

positif q bergerak dengan kecepatan v v x . Hitung gaya magnet ( F qv B ) yang dialami oleh

partikel!

Penyelesaian :

F q v x B z qvB y . Partikel dibelokkan pada sumbu y negatif karena q bernilai positif.

14. Untuk dua vektor 2A i j k dan 2B i j k , tentukan vektor satuan bidang yang dibentuk

oleh vektor A dan B !

Penyelesaian :

2 1 1 5 3

1 1 2

i j k

A B i j k

Vektor satuan bidang dibentuk oleh vektor A dan B adalah

2 2 2 5 3 5 3

35 35 351 5 3

A B i j k i j kn

A B

31


15. Diberikan tiga vektor 2 ,A i j B i k dan 4C j , hitung :

a. A B C dan A B C

b. A B C dan A B C

c. A B C dan A B C

Penyelesaian :

a. 2 4 (2)(1) (1)(4) (0)(1) 6A B C i j i j k

3 4 (3)(0) (1)(4) (1)(0) 4A B C i j k j

b. 2 1 0

1 0 1 8

0 4 0

A B C

8A B C A B C

c. A B C B A C - C A B 4 2 4 4 8 4i k j i j k

A B C 2 0 4 4 4C A B i j i j i j

16. Tunjukkan bahwa

a. 2 2A B A B A B

b. 2A B A B A B

Penyelesaian :

a. 2 2A B A B A A A B B A B B A B

b. 2A B A B A A A B B A B B A B A B A B

17. Defenisi momentum sudut adalah perkalian silang vektor posisi dan momentum linear.

L r p

Diketahui bahwa 4 2L j k dan 3r i . Jika y zp p i p i , tentukan nilai py dan pz!

Penyelesaian :

Momentum sudut : 4 2 0, 4, 2x y zL j k L L L

Vektor posisi : 3 3, 0x y zr i r r r

Momentum : 0y z xp p i p i p

x y z y z z y z x x z x y y xL r p L i L j L k r p r p i r p r p j r p r p k Tinjau Lx :

32


0x y z z yL r p r p , karena 0y zr r maka nilai pz tidak bisa ditentukan nilainya.

Tinjau Ly :

4y z x x zL r p r p

3 4zp

4

3zp

Tinjau Lz :

2z x y y xL r p r p

3 2yp

2

3yp

Jadi , 2 43 3

p i i .

18. Rumus percepatan sentripetal benda bermassa m adalah .a r . Jika tegak lurus terhadap

r , tunjukkan bahwa 2a r dan nilai percepatan sentripetal adalah 2v r !

Penyelesaian :

Gunakan aturan perkalian triple vektor A B C B A C -C A B .

a r r r

Jika tegak lurus terhadap r , maka 0r . Jadi, 2a r . Kecepatan benda m adalah

v r r . Besar percepatan sentripetal benda adalah

22 va r

r

19. Momentum sudut partikel m didefenisikan L mr v . Tunjukkan bahwa

dLr F

dt

Penyelesaian :

Gunakan aturan turunan vektor B A

A B A Bd d d

dt dt dt .

dL d d r dv

mr v m v mr mv v r madt dt dt dt

Karena 0v v , F ma dan r F , maka kita peroleh hubungan

dLr F

dt

20. Sebuah partikel bergerak memiliki persamaan gerak

2 2 2 1 4 mr t i t j

33


Tentukan kecepatan dan percepatan partikel sebagai fungsi waktu!

Penyelesaian :

Kecepatan partikel adalah

2 2 2 1 4 m 4 8dr d d

v t i t j t i t jdt dt dt

Percepatan partikel adalah

2

2 4 8 4 8

d r dv da t i t j i j

dt dtdt

Documents

2 Vektor.pdf