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2. Zeitreihenzerlegung und Komponentenmodell 2.1 Komponenten ökonomischer Zeitreihen. Ökonomische Zeitreihen lassen sich als Resultat eines Zusammenwirkens ver-schiedener Bewegungskomponenten auffassen. Übersicht 10. 1:Komponenten ökonomischer Zeitreihen. - PowerPoint PPT Presentation
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2. Zeitreihenzerlegung und Komponentenmodell2.1 Komponenten ökonomischer Zeitreihen
Ökonomische Zeitreihen lassen sich als Resultat eines Zusammenwirkens ver-schiedener Bewegungskomponenten auffassen. Übersicht 10. 1:Komponenten ökonomischer Zeitreihen
Komponenten ökonomischer Zeitreihen
Systematische Komponenten Restkomponente
Glatte Komponente Saisonkomponente
Trend Konjunkturkomponente
Abb.: Zeitreihendiagramm der systematischen Komponenten
Zeitreihe: y1, y2, ..., yn oder (yt), t=1,2,...nZeitreihendiagramm: Lineare Verbindung der Wertepaare (t, yt) in einem t,yt- Koordinatensystem (Zeitreihenpolygon)
Zeitreihenzerlegung: Separierung der Komponenten einer Zeitreihe
Komponentenmodelle
Additives Grundmodell:
(2.1a) yt= mt + ct + st + ut oder (2.1b) yt= gt + st + ut
Annahme: Zyklische Schwankungen mit konstanter Amplitude
Multipikatives Grundmodell:
(2.2a) yt= mt · ct · st · ut oder (2.2b) yt= gt · st · ut
Annahme: Zyklische Schwankungen mit proportional wachsender
Amplitude
Überführung in ein additives Modells durch Logarithmierung:
Aus (2.2b): log yt= log gt + log st + log ut
Gemischtes Modell:
(2.3) yt= (mt + ct ) st + ut
100
110
120
130
140
150
160
1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 421986 1987 1988 1989 1990
Quartale
ty
2526272829303132333435
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Zeit
ty
Abb.: Zeitreihendiagramm des Kfz-BestandsAbb.: Zeitreihendiagramm der Löhne und Ge-hälter je Beschäftigten
2.2 Trend und glatte Komponente2.2.1 Trendfunktionen
Wenn eine Zeitreihe in einem Zeitintervall keinen Strukturbruch aufweist, ist es oft mög-lich, ihre Entwicklungstendenz durch eine Funktion der Zeit t zu modellieren. Eine solche Funktion(2.4) mt = f(t),
die mittels der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt werden kann, heißt Trend-funktion. Es handelt sich dabei um eine Regressionsfunktion, in der die Zeit t als unab-hängige Variable auftritt.
Trendbestimmung beim einfachen Grundmodell(2.5) yt = mt + ut
Lineare Trendfunktion (approx. konst. abs. Zuwächse):(2.6) mt = a0 + a1·t
Kleinst-Quadrate-Kriterium:
(2.7)
(10.1) .
10 a,a
n
1t
210t10 Min!taaya,aQ
Notwendige Bedingungen für ein Minimum der Kriteriumsfunktion Q(a0,a1):
Normalgleichungen:
01taay2a
a,aQ n
1t10t
0
10
0ttaay2a
a,aQ n
1t10t
1
10
t10 ΣyΣtana(2.8a) tΣyΣtaΣta(2.8b) t2
10
Kleinst-Quadrate-Schätzer:
2__2
__
22tt
1
tt
tyyt
)t(tn
tytyna
tayn
ta
n
ya 11
t0
(2.9a)
(2.9b)
Beispiel: Wie aus der Abbildung hervorgegangen ist, wächst der Bestand an Kraftfahrzeugen relativ gleichmäßig an, wobei die jährlichen Zuwächse nicht zu stark variieren. Das Zeitreihendiagramm legt daher nahe, die Trend-komponente der Zeitreihe durch eine lineare Trendfunktion nachzubilden.
t yt t² yt·t
1 27116 1 27116
2 27858 4 55716
3 28452 9 85356
4 29122 16 116488
5 29905 25 149525
6 30618 36 183708
7 31748 49 222236
8 32762 64 262096
9 33764 81 303876
45 271345 285 1406117
Arbeitstabelle (mit originären Kfz-Bestandsdaten):
Koeffizienten der Trendgeraden (nicht-zentrierter Zeitindex)
Steigungsmaß:
Achsenabschnitt:
Trendgerade
mt = 26033,4 + 823,2·t, t=1,2,...,n
2,823540
444528
452859
4527134514061179
)t(tn
tytyna
222tt
1
4,2603352,8234,301499
452,823
9
271345
n
ta
n
ya 1
t0
Zentrierter Zeitindex t‘:Einfache Lösung der Normalgleichungen durch Zentrierung des Zeitindex:t‘=...,-2,-1,0,1,2,... (n ungerade), t‘=...;-1,5;-0,5;0,5;1,5;... (n gerade)
Es gilt dann: (2.10)
0Σt'
Normalgleichungen bei zentriertem Zeitindex:
t'0 Σyna1)1.2( t'ΣyΣt'a2)1.2( t'2
1
Kleinst-Quadrate-Schätzer:
n
Σy'a(2.13) t'0 2
t''11
Σt'
t'Σy)a(a(2.14)
Kleinst-Quadrate-Schätzer für a0:
n
Σta
n
Σyta'aa)15.2( 1
t'100
Aus (2.15) ergibt sich aus der Umformung der linearen Trendgeraden mit dem Zeitindex t‘=t- :
Güte der Anpassung der Trendgeraden(Bestimmtheitmaß, Determinationskoeffizient):
t'at'a'att'a'at''a'am 1101010t t
2t
2t
2t
2t
22t
22t2
ΣyΣyn
ΣyyΣn
ynΣy
ynyΣR(2.16b)
)y(ZeitreihederVarianz
)Varianzerklärte(TrendwertederVarianzR)a16.2(
t
2
Beispiel: Wir bestimmen die lineare Trendfunktion der Zeitreihe Bestand an Kraftfahr-zeugen jetzt unter Verwendung des zentrierten
t t‘ t‘² yt‘ yt‘·t‘
1 -4 16 27116 -108464
2 -3 9 27858 -83574
3 -2 4 28452 -56904
4 -1 1 29122 -29122
5 0 0 29905 0
6 1 1 30618 30618
7 2 4 31748 63496
8 3 9 32762 98286
9 4 16 33764 135056
45 0 60 271345 49392
Arbeitstabelle (mit originären Kfz-Bestandsdaten):
Koeffizienten der Trendgeraden (zentrierter Zeitindex)
Achsenabschnitt (extrapolierter Trendwert für t=0):
Steigungsmaß:
Trendgerade
mt = 26033,4 + 823,2·t, t=1,2,...,n
823,260
49392
Σt'
t'Σy'a
2t'
1
.033,426945
823,29
2713459Σt
a9
Σya 1
t'0
t yt
1 27116 26856,6 735277456
721276964
2 27858 27679,8 776068164
766171328
3 28452 28503,0 809516304
812421009
4 29122 29326,2 848090884
860026006
5 29905 30149,4 894309025
908986320
6 30618 30972,6 937461924
959301951
7 31748 31795,8 1007935505
1010972898
8 32762 32619,0 1073348644
1063999161
9 33764 33442,2 1140007696
1118380741
271345 271345,0 8222015601
8221536378
Bestimmtheitsmaß:
Durchschnittl. Kfz-Bestand:
988,079235541
56987640
1493096010152228
1493093781532228
y9y
y9yR
2
2
22t
22t2
149309
345271y
Arbeitstabelle zur Berechnung des Bestimmtheitsmaßes: 2
tyty 2ty
ty
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zeit
,
Abb.: Zeitreihendiagramm für den Kfz-Bestand mit Trendgerade
Prognose des Kfz-Bestands durch Trendextrapolation
z.B. Jahr t=10: 280,43410826,2018,426y10
Exponentialtrend
Anwendung bei Wachstumsvorgängen, bei denen eine Variable in einem Zeitraum überproportional steigt
Exponentielle Trendfunktion (approx. konst. rel. Zuwächse):
(2.17) mt = a·bt
Die Trendwerte verändern sich beim Exponentialtrend von Periode zu Periode um
eine konstante Wachstumsrate b-1. Der konstante Faktor a gibt den Trendwert ei-ner
Zeitreihe für die Periode vor Beginn des Stützzeitraumes wieder.
Linearisierung der exponentiellen Trendfunktion:
(2.18) log mt = log a + t·log b
KQ-Kriterium: (2.19)
Kleinst-Quadrate-Schätzer:
Trendkoeffizienten:
!Minblogtalogylogb,aQb,a
n
1t
2t
22tt
ttn
tylogylogtnblog)20.2(
n
tblog
n
ylogalog)21.2( t
alg10a)22.2(
blg10b)23.2(
Beispiel: Die Bruttolohn- und -gehaltssumme aus unselbständiger Arbeit ohne Ar-beitgeberbeiträge zur Sozialversicherung ist in dem Zeitraum von 9 Jahren überpro-portional angestiegen (s. Abb.). Aus diesem Grund lässt sich die zeitliche Entwick-lung nicht durch eine lineare Trendfunktion beschreiben. Vielmehr kann der Trend hier unter Verwendung einer konstanten Wachstumsrate modelliert werden, die ei-nen Durchschnitt der jährlichen Wachstumsraten widerspiegelt.
700
800
900
1000
1100
1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
Jahre
Mrd. DM
Abb.: Zeitreihendiagramm der Bruttolohn- und -gehaltssumme
Berechnung der Trendkoeffizienten
t t² yt lg yt t·lg yt
1 1 764,44 2,883343 2,883343
2 4 777,42 2,890656 5,781312
3 9 802,93 2,904678 8,714034
4 16 833,78 2,921051 11,684204
5 25 876,63 2,942816 14,714080
6 36 912,81 2,960380 17,762280
7 49 948,85 2,977198 20,840386
8 64 993,19 2,997032 23,976256
9 81 1070,10 3,029424 27,264819
45 285 26,506578 133,620714
Arbeitstabelle (mit originären Bruttolohn- und –gehaltsdaten):
Kleinst-Quadrate-Schätzer:
Trendkoeffizienten:
Exponentielle Trendfunktion:
Prognose:z.B. für das Jahr t=10:
Güte der Anpassung (bei semi-logarithm. Skala):
Bestimmtheitsmaß: R² = 0,982
0,018130452859
4526,506578133,6207149b glo
2
2,8545259
450,018130
9
26,5065789a glo
715,3610a 2,854525 1,042610b 0,018130
tt 1,0426715,36m
1085,681,0426715,36y 1010
2.2.2 Methode der gleitenden Durchschnitte
Flexible Methode zur Ermittlung der glatten Komponente, die ohne stren-ge Annahmen auskommt
Methodischer Ansatz und Grundidee
Mit der Methode der gleitenden Durchschnitte wird eine Zeitreihe ge-glättet, indem man sukzessive Mittelwerte aus einer feststehenden Anzahl benachbarter Zeitreihenwerte ermittelt (gleiche Länge der Stützberei-che), die jeweils der Mitte des betreffenden Zeitintervalls zugeordnet wer-den. Die Folge der Durchschnitte wird als gleitend bezeichnet, weil jeweils der älteste Zeitreihenwert durch den Zeitreihenwert ersetzt wird, der unmit-telbar am rechten Rand außerhalb des Stützbereichs liegt. Auf diese Art und Weise „gleiten“ die gebildeten Durchschnitte quasi entlang einer Zeitachse. Der Glättungseffekt ergibt sich dadurch, dass extreme Zeitreihenwerte nicht mehr voll zur Geltung kommen, sondern abgewichtet werden (Gewicht < 1).
Ordnung des gleitenden Durchschnitts (Anz. der eingehenden Zeitreihenwerte): p
p-gliedriger gleitender Durchschnitt:
pty
Einfache p-gliedrige gleitende Durchschnitte (p ungerade)
Ein p-gliedriger gleitender Durchschnitt setzt sich aus p=2q+1 Beobach-tungswerten zusammen, wobei jeweils q Werte vor und nach seiner zeit-lichen Zentrierung liegen.
1 2 3 4 5 6 t
3-gliedrige gleitende Durchschnitte:
t=2: = (1 + 4 + 7)/3 = 12/3 = 4
t=3: = (4 + 7 + 4)/3 = 15/3 = 5
t=4: = (7 + 4 + 7)/3 = 18/3 = 6
t=5: = (4 + 7 + 10)/3 = 21/3 = 7
y1=1 y2=4 y3=7 y4=4 y5=7 y6=10
1tt1t3t yyy
3
1y
32132 yyy
3
1y
43233 yyy
31
y
54334 yyy
3
1y
65435 yyy
31
y
Allg. Formel für einf. p-gliedrigen gleitenden Durchschnitt (p ungerade):
(2.21)
In den Rändern lassen sich jeweils q gleitende Durchschnittswerte nicht berechnen.
Z.B. p=5: 5-gliedriger gleitender Durchschnitt:
Rekursionsformel:
(2.22)
.qn,2,q1,qt,yp1
yyyyyp1
y
q
qkkt
qt1tt1tqtpt
2t1tt1t2t5t yyyyy
51
y
qn,2,q1,qt,yyp1
yy qt1qtpt
p1t
Beispiel: Das Niveau der Auftragseingänge im Verarbeitenden Gewerbe (ohne Nah-rungs- und Genussmittelgewerbe) wird vom Statistischen Bundesamt kalendermonat-lich über einen Index gemessen. Quartalsmäßig hat sich der Index des Auftrags-eingangs in einem Zeitraum von drei Jahren wie folgt entwickelt:
Jahr I. Quartal II. Quartal III. Quartal IV. Quartal
1 106,6,
108,6 115,9
2 122,1 1238 117,8 125,4
3 130,7 124,9 128,5 133,7
4 137,7
Bei einer Glättung der Zeitreihe unter Verwendung eines 3-gliedrigen gleitenden Durchschnitts bleibt die erste und letzte Periode des Beobachtungszeitraums unbesetzt. Der erste gleitende Durchschnittswert, der dem III. Quartal des 1. Jahres zugeordnet wird, lautet
.Der gleitende Durchschnittswert für das IV. Quartal des 1. Jahres ist durch
gegeben.
110,4115,9108,6106,631
yyy31
y 1/IV1/III1/II31/III
5115,122,1115,9108,63
1yyy
3
1y 2/I1/IV1/III
31/IV
Zeit yt
1/II 106,6
1/III 108,6 110,4
1/IV 115,9 115,5
2/I 122,1 120,6
2/II 123,8 121,2
2/III 117,8 122,3
2/IV 125,4 124,6
3/I 130,7 127,0
3/II 124,9 128,0
3/III 128,5 129,0
3/IV 133,7 133,3
4/I 137,7
100
105
110
115
120
125
130
135
140
2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1
ty
1988 1989 1990 1991
Quartale
Abb.: Index des Auftragseingangs mit 3-gliedrigem glei- tenden Durchschnitt
3ty
Zentrierte p-gliedrige gleitende Durchschnitte (p gerade)
Wenn eine Zeitreihe saisonale Schwankungen aufweist, wird der Glättungseffekt im Allgemei-nen durch einfache gleitende Durchschnitte ungerader Ordnung verzerrt. Der Grund liegt darin, dass ein bestimmter Jahreabschnitt (z.B. Monat, Quartal) hierbei in einem gleitenden Durchschnittwert unberücksichtigt bleibt. Um saisonale Schwankungen auszuschalten, müssen die gleitenden Durchschnitte so konzipiert werden, dass ihre Ordnung mit der Zykluslänge übereinstimmt. Bei Quartalsdaten mit regelmäßig wiederholenden saisonalen Schwankungen kommen für die glatte Komponente daher vorzugsweise 4-gliedrige gleitende Durchschnitte, bei Monatsdaten mit diesen Eigenschaften 12-gliedrige gleitende Durchschnitte in Betracht. Hierbei handelt sich um gleitende Durchschnitte gerader Ordnung.
Ein gleitender Durchschnittswert gerader Ordnung lässt sich jedoch keiner Zeiteinheit eindeu-tig zuordnen, da er auf der Zeitachse genau zwischen den beiden mittleren Perioden oder Zeitpunkten liegt. Um dies zu vermeiden, zieht man p+1 Zeitreihenwerte zur Berechnung ei-nes gleitenden Durchschnitts gerader Ordnung heran und gewichtet die beiden äußeren Zeit-reihenwerte mit dem Faktor ½. Auf diese Weise werden die gleitenden Durchschnitte zen-triert. Bei Zeitreihen mit saisonalen Schwankungen erfolgt die Glättung daher mittels zen-trierter gleitender Durchschnitte.
Zentrierte gleitende Durchschnitte bei Quartalsdaten (p=4):
(2.23)
Zentrierte gleitende Durchschnitte bei Monatsdaten (p=12):
(2.24)
Allg. Formel für zentrierte p-gliedrige gleitende Durchschnitte:
(2.25)
An den Rändern des Beobachtungszeitraums lassen sich q=p/2 gleitende Durchschnitts-werte nicht berechnen.
Die zentrierten gleitenden Durchschnitte (2.25) entsprechen einer Mittelung jeweils zweier benachbarter unzentrierter gleitender Durchschnitte bei unveränderter Ordnung.
2t1tt1t2t
4t y
21
yyyy21
41
y
6t1tt1t5t6t
12t y
21
yyyyy21
121
y
qn2,...,q1,qt,y21
yy21
p1
y qtkt1q
1qkqt
pt
Beispiel: Die Löhne und Gehälter je Beschäftigten weisen ein klares Saisonmuster auf. Im I. Quartal eines Jahres liegt der Tiefstand und nach den etwa gleichwertigen beiden mittleren Quartalen wird im IV. Quartal das saisonale Hoch erreicht. Die lang-fristig steigende Tendenz dieser Zeitreihe kann daher am besten durch 4-gliedrige gleitende Durchschnitte beschrieben werden.
Jahr I. Quartal
II. Quartal
III. Quartal
IV. Quartal
1 113,6 121,3 122,0 138,8
2 116,3 125,7 125,7 143,5
3 121,1 128,6 129,0 147,3
4 123,2 129,2 130,3 147,9
5 128,0 135,7 136,2 155,5
Berechnung 4-gliedriger gleitender Durchschnitte:
für 1/III:
124,3116,32
1138,8122,0121,3113,6
2
1
4
1
y2
1yyyy
2
1
4
1y 2/I1/IV1/III1/II1/I
41/III
100
110
120
130
140
150
160
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
ty
1986 1987 1988 1989 1990Quartale
Abb.: Löhne und Gehälter je Beschäftigten mit zentriertem 4-gliedrigem gleitenden Durchschnitt
für 1/IV:
125,2125,72
1116,3138,8122,0121,3
2
1
4
1
y2
1yyyy
2
1
4
1y 2/II2/I1/IV1/III1/II
41/IV