20 Generación de Números Aleatorios y Prubas de Aleatoriedad

8/18/2019 20 Generación de Números Aleatorios y Prubas de Aleatoriedad

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Simulación de Sistemas – Semestre 2008-1

Simulación de SistemasGeneración de Números y Variables Aleatorias

Tomado de In ! "duardo#arba$al %!


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Agenda

Generación de números y variables aleatorias1! Generación de Números Aleatorios2! &ruebas de aleatoriedad!'! Variables aleatorias discretas( )ernoulli* )inomial* &oisson!+! Variables aleatorias continuos( ", onencial* Trian ular*

Normal* #.i #uadrado* /eibull!! &ruebas de bondad de a$uste( olmo oro - Smirno y #.i

cuadrado 3 χ 24

%ecturas( Ross, Cap. 3, 4 y 5)an5s* #a ! 8 y 6%a7* #a !


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Son la .erramienta ara enerar e entos de ti orobabil9stico* se em lean en modelos :ue tienen ariablesestoc;sticas! "n estos modelos em learemos númerosaleatorios uni


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1! Tienen una distrib'ción 'ni-orme con ar;metros aB 0y b B1 !

Generación de Números AleatoriosCaracter sticas de los NúmerosAleatorios

/'nción dedensidad0

media0

istrib'ción2ni-orme

varian a0

2! "stad9sticamente inde endientes'! Su eriodo o ciclo de ida debe ser lar o

"ntonces como @i es uni


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+! >eben ser enerados a tra Ds de un mDtodo r; ido

Generación de Números AleatoriosCaracter sticas de los NúmerosAleatorios

! >eben ser enerados a tra Ds de un mDtodo :ue no

re:uiera muc.o uso de memoria ni almacenamiento!

;ara c'mplir con estas caracter sticas el es


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Generación de Números Aleatorios#rrores posibles en la generación de losNúmeros Aleatorios

%os números enerados no est(n 'ni-ormementedistrib'idos !%os números enerados son discretos en lu ar decontinuos!

%a media de los números enerados es m'y alta o ba=a !%a varian a de los números enerados es m'y alta oba=a.%os números enerados e+>iben variación c clica 3autocorrelación entre los números* números sucesi os muc.om;s altos o ba$os :ue el adyacente* arios números sobrela media se uidos de otros ba$o la media4!


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;rovisión#+terna

Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación

Caracter sticas"s un mDtodo de eneración r(pido !

#s posible determinar una secuenciade números enerada anteriormente!>e ende de una


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Generación/ sica


Caracter sticas"s un mDtodo de eneración lento !?mposible re roducir una sec'encia de números eneradaanteriormente!&odr9an roducir números realmente aleatorios

Se eneran números aleatorios em leando al úninstrumento


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Generación @atem(tica


Se em lean al oritmos matem;ticos ara crear relacionesde recurrencia en la secuencia de números enerados

Caracter sticas"s un mDtodo de eneración r(pido !

#s posible determinar una secuencia denúmeros enerada anteriormente!

&roduce números seudo aleatorios

@e isaremos al unos acontinuación


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@ todo del @edio C'adrado @id :


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@ todo del @edio ;rod'cto @id ;rod'ct @et>od6

Generación de Números Aleatorios/ormas de Generación B Generación@atem(tica

#n general entonces0Se multi lican los números i81 y iJ y se e,traen los 5 d9 itosmedios ara


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#=emplo0

:emill

a

;aso10

Tienen + d9 itos! &or tanto 5 B +

;aso!0 Tiene 8 d9 itos! &or tanto cum le la

condición de tener 25 d9 itos* no esnecesario a re ar ceros a laiE:uierda

;aso30

@e itiendo nue amente los asos se enerar9an lossi uientes números seudo aleatorios

:emilla

adicional63750 = X 3721'0 = X

8395.073839526 2102

=⇒= R

X

X X

75721323

1

0'0

X

X X =

7213.075721323 10'0

1

=⇒= R

X

X X


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Caracter sticas

)astante similar al mDtodo del edio #uadradoDtodo con pobres propiedades estad sticas.

%a Hsemilla debe ser esco ida cuidadosamente!;roblema0 Si en al ún momento se obtiene unnúmero de H5 d9 itos* los cuales eneran al serele ados al cuadrado* un número donde los H5d9 itos medios son cero* la secuencia de números

se degenera !


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F cnica de m'ltiplicación por 'na ConstanteConstant @'ltiplier @et>od6


#n general entonces0Se multiplica cada númeroXi por la constanteC y se extraen los k dígitos medios paraformarXi+1

1! "sco er dos números iniciales0 una semilla o con D d9 ito yuna constante C!

2! Se m'ltiplican dic.os números y se e,traen los 5 d9 itos mediosde la multi licación! %os cuales


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#=emplo0

:emill

a

;aso10

%a semilla tiene + d9 itos! &or tanto 5B +

;aso!0 Tiene 8 d9 itos! &or tanto cum le la

condición de tener 25 d9 itos* no esnecesario a re ar ceros a laiE:uierda

;aso30

@e itiendo nue amente los asos se enerar9an lossi uientes números seudo aleatorios

Constant

e


63750 = X 3721=C

8395.073839526 212

=⇒= R

X

CX

7213.075721323 101

=⇒= R

X

CX

757213231

0

X

CX =


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Caracter sticas

)astante similar al mDtodo del edio #uadradoDtodo con pobres propiedades estad sticas.

%a Hsemilla debe ser esco ida cuidadosamente!;roblema0 Si en al ún momento se obtiene unnúmero de H5 d9 itos* los cuales eneran al serele ados al cuadrado* un número donde los H5d9 itos medios son cero* la secuencia de números

se degenera!



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Generador Congr'encial ineal ineal Congr'entialGenerator6


HI:#R"AC?JN0mod es la 0, m > a, m > c, m > Z 0;ara obtener los aleatorios R i se divide K i entre m

1,.......,2,1,0,mod)(1

−=+=+

mimca Z Z ii


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Caracter sticas

"s el enerador m(s 'tili ado !&roduce una sec'encia periódica o c9clica denúmeros aleatorios!Se deben enerar secuencias de er9odo com leto!Se deben de escoger las constantes a, c y m *de modo :ue generen sec'encias de per odo

completo !

Generador Congr'encial ineal ineal Congr'entialGenerator6


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#=emplo 10 mód'lo m &m'ltiplicador a 5incremento c %semilla Zo 4

;ar(metros0Generamos entonces aleatorios em leandoel G#%(

Generador Congr'encial ineal ineal Congr'entialGenerator6 GeneradorC 0 Z i+1 5 Z i + 7 ) mod 8

n 35 Z i + 7 ) Z i+1 B 3 5 Z i + 7 ) mod 8

R i

1 K+L !% 2 mod 8 3 '?8 $.3%5

!

3

4

5

)

K'L !! 22 mod 8 ) ?8 $.%5$

K L 3% ' mod 8 5 ?8 $.)%5

K L 3! '2 mod 8 $ 0?8 $

K0L % mod 8 % ?8 $.&%5

K L 4! +2 mod 8 ! 2?8 $.!5$

% K2L 1% 1 mod 8 1 1?8 $.1!5

& K1L 1! 12 mod 8 4 +?8 $.5$$

L K+L !% 2 mod 8 3 '?8 $.3%5

"ste G#% ermite enerar 8 númerosaleatorios antes de re etir el rimero! Su

eriodo es 8 y es i ual al módulo m B 8* se lellama enerador de eriodo com leto


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#=emplo !0 mód'lo m 1$m'ltiplicador a %incremento c %semilla Zo %

;ar(metros0Generamos entonces aleatorios em leandoel G#%(

Generador Congr'encial ineal ineal Congr'entialGenerator6GeneradorC 0 Z i+1 7 Z i + 7 ) mod 10

n 35 Z i + 7 ) Z i+1 B 3 5 Z i + 7 ) mod 8 Ri

1 K L 5) mod 10 ) ?10 $.)$

!

3

4

5

K L 4L +6 mod 10 L 6?10 $.L$

K6L %$ 0 mod 10 $ 0?10 $

K0L % mod 10 % ?10 $.%$

K L 5) mod 10 ) ?10 $.)$

"ste G#% ermite enerar + númerosaleatorios antes de re etir el rimero! Su

eriodo es + y es ?/#R#NF# al módulo m B10* or tanto no es de eriodo com leto


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Feorema de M'll y obell para GC


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HI:#R"AC?JN0"l Generador #on ruencial ulti licati o es en realidad un casoes ec9=co del Generador #on ruencial %ineal cuando el incremento3 c 4 es i ual a cero! ;odemos observar


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Feoremas para eterminación de par(metros de 'n GC

Sea( , iL1 B 3a , i L c 4 mod 2 n

Feorema0 Generador con mód'lo ig'al a 'na potenciade !

;or e=emplo0

n B 8 m B 2 n B 2 8 B !5)

c im ar c B

;

5 B 2 a 1L+5 B 1 L +324 B L

Zi+1 9 Zi + 7 ) mod 256

Mn enerador donde c B $, n B 1 * si c es im ar y el


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%as ruebas de aleatoriedad son ruebas dise adas araase urar :ue se cum lan las ro iedades de 'ni-ormidade independencia deseadas! Al unas son(

;r'ebas de AleatoriedadFipos de ;r'ebas

;r'eba de corridas o rac>as runs test 60Se utiliEa ara determinar la resencia anormal de ru os de númerosascendentes* descendentes* or encima del romedio* o or deba$o del

romedio!;r'eba de -rec'encia0Msa el mDtodo de olmo oro -Smirno o el mDtodo #.i-cuadrado aracom arar una distribución uni


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",isten dos(

;r'ebas de Aleatoriedad;r'ebas de corridas

;r'eba de corridas ARR?IA OAIAPH;r'eba de corridas ARR?IA O #IAPH # A@# ?A

Se eri=ca la aleatoriedad de los números* com robando :ue el

número de corridas sea una ariable aleatoria distribuidanormalmente! &ara eso se em lea una rueba de .i ótesis delti o(

2ni-ormidadO0 ( @i P M 30*14

O1 ( @i Q M 30*14

?ndependenciaO0 ( @i P inde endiente

O1 ( @i Q inde endiente

&ara ambas ruebas se debe es eci=car un ni el de si ni=canciaQ [email protected] .i ótesis nula dado :ue es erdadera – 0!01 o 0!0 4


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Número de corridas

;r'ebas de Aleatoriedad;r'ebas de corridas

#orrida( sucesión de e entos similares recedidos yse uidos or un e ento di


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e nición

;r'ebas de Aleatoriedad;r'ebas de corridas Arriba y Aba=o

"sta rueba com rueba si el número total de corridas en lasecuencia de números aleatorios uede ser consideradacomo t9 ica o no!;rocedimient

o01! Se enera una secuencia de números seudoaleatorios!2! Si a un número le si ue otro mayor se le asi na un HL * si

el si uiente es menor se le asi na un H- !'! Se calcula a B número de corridas* cuya lon itud est; dada

or el número de si nos i uales :ue contiene4. Siendo N la cantidad de números en la secuencia, la media y la

varianza están dadas por:

3

12 −=

N µ

9029162 −

= N

σ


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6. Se calcula la longitud de corrida “ a ”, como la cantidad de grupos designos asociados a la secuencia de aleatorios. Para N !" , “ a ” sepuede apro#imar mediante una distri$uci%n normal . "l estad9sticode rueba ser;(

;r'ebas de Aleatoriedad;r'ebas de corridas Arriba y Aba=o

;rocedimiento0

σ

µ −=

a Z 0


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e nición

;r'ebas de Aleatoriedad;r'ebas de corridas Arriba y eba=o de lamedia

&sta prue$a nos permite veri'icar (ue los datos sigan una distri$uci%nuni'orme alrededor de la media te%rica de ".), de 'orma aleatoria

;rocedimiento01! Se enera una secuencia de números seudoaleatorios!

2! Si un número est; or encima de la media se le asi na unHL * si est; or deba$o se le asi na un H- !

!. Se calcula n * y n +, donde n 1 es el número de o$servaciones porencima de la media y n 2 el número de o$servaciones por debajo dela media

4. Siendo N la cantidad de números en la secuencia, la media y lavarianza están dadas por:

)1(

)2(22

21212

−

−=

N

N

N

nnnnσ

212 21 +=

N

nn µ


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6. Se calcula la longitud de corrida “ b ”, como la cantidad de grupos designos asociados a la secuencia de aleatorios. Para N !" , “ b ” sepuede apro#imar mediante una distri$uci%n normal . "l estad9sticode rueba ser;(

! Si SK$S B K18 7! entonces no e+iste evidencia s' cientepara decir

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