Note: Le seguenti 20 lezioni di logica matematica sono state da me trascritte dalle relative videolezioni del Prof. P. G. Odifreddi, adattate al linguaggio scritto, aggiustate e da me interpretate, spero in modo corretto, in certi passaggi non del tutto chiari o espliciti. Ho fatto questo lavoro spinto solo dallinteresse per questa materia, che non ho potuto soddisfare nei lontani tempi delluniversit, per mancanza del materiale didattico adeguato o difficolt di reperirlo. Questo corso di logica mi ha aperto le idee sulla matematica moderna, in particolare lalgebra astratta e la teoria insiemistica avanzata, ostiche per me quandero studente di fisica, soprattutto nella comprensione di certi teoremi. Consiglio di seguire questi corso agli studenti dei primi anni di fisica e naturalmente di matematica. Prof. C. Cella LEZIONE 1: La logica matematicaMi chiamo Piergiorgio Odifreddi e vi invito a seguire un corso di logica matematica. Questa la prima lezione, una lezione introduttiva che divideremo in due parti, poi naturalmente sar seguita da un lungo ciclo di 19 altre lezioni in cui entreremo ovviamente nei dettagli di questa materia. Cerchiamo per di capire che cos la logica matematica, anzi dovrei cercare di convincervi a seguire le prossime lezioni, perci cercher di spiegarvi in parole

povere e anche cercando di attirare la vostra attenzione, che cos la logica matematica. Cominciamo subito a vedere qualcuna delle slide. Vi dico anche, gi dagli inizi, che queste slide voi potrete trovarle sul sito del Nettuno e quindi ogni volta che faremo una nuova lezione potrete andare a rivedervi queste cose, piano piano e a ripassare ci che stato detto. Allora, dicevo, incominciamo con una definizione, perch come avrete capito dallaggettivo matematica, questo corso qualche cosa che ha a che fare appunto con la matematica e soprattutto con i procedimenti della matematica. Ora questi procedimenti, qualcuno di voi lo sapr, anzi mi immagino che la maggior parte di voi, visto che seguite corsi di questo genere, sapr cosa significa fare matematica, significa in particolare seguire il metodo matematico, che un metodo assiomatico, che parte da definizioni, parte da assiomi e poi sviluppa via via nozioni pi complesse e proposizioni pi complicate che vengono derivate dagli assiomi. Allora cominciammo, anche noi subito, dalla migliore tradizione della matematica con una definizione: che cos la logica? Beh, la logica si pu definire in tanti molti, ma io ho scelto questo modo qua: la logica semplicemente la scienza del ragionamento. Ci sono ovviamente due termini del discorso, cio scienza e ragionamento e su questi dobbiamo soffermarci per un momento, anzitutto ragionamento. LOGICA = Scienza del ragionamento

LOGICA MATEMATICA = Scienza del ragionamento

matematicoQuesto significa che stiamo cercando di costruire una teoria per non una teoria, per esempio di come fatto il mondo, di come fatto il cervello o tante altre cose; a noi interessa in questo corso e soprattutto nellambito della logica, della logica matematica, ma pi in generale della logica, ci interessa studiare come luomo ragiona, luomo inteso ovviamente come essere umano. Questo il primo termine di questa definizione, ma c anche questaltro termine che ci dice anche come noi cercheremo di studiare questo ragionamento, cio il termine scienza e per lappunto scienza significa che cercheremo di usare il metodo scientifico, che poi nel caso nostro sar in particolare il metodo matematico. Quindi vi ho detto in breve quale sar largomento del nostro discorso, cio il ragionamento e quale sar il metodo con cui noi affronteremo questo discorso, cio il metodo scientifico. Ora questo, gi in parte dovrebbe, dirvi come mai si parla di logica

matematica, cio il matematica, in questo titolo logica matematica pu stare a significare per lappunto, il fatto che noi seguiremo, adotteremo, useremo il metodo della matematica per studiare il ragionamento. In effetti, cos in parte, ma solo in parte e questo il motivo o uno dei motivi, per cui la logica matematica si chiama, per lappunto matematica, a differenza dalla logica in generale, che era invece una scienza o meglio un argomento che veniva studiato gi dai tempi dei greci, come diremo anche fra pochi minuti, ma in un modo forse un po diverso, in maniera pi discorsiva, pi filosofica, pi intuitiva e quindi non in maniera scientifica, anche per un ovvio motivo, perch allepoca la scienza non era ancora nata. Ma andiamo oltre e proseguiamo con una seconda definizione e qui veramente stiamo cercando di definire quale sar il nostro

soggetto, il soggetto di queste 20 lezioni, cio che cosa la logica matematica. Se la logica la scienza del ragionamento, si pu immaginare per analogia che la logica matematica sar la scienza del ragionamento matematico. Ed ecco che allora qui il matematico interviene in una maniera diversa, non soltanto come nella prima definizione, come metodo di studio del ragionamento, ma anche come oggetto del ragionamento stesso, cio ci interesseranno non soltanto i ragionamenti in generale, anche perch questo tra laltro un campo enorme, vastissimo su quale poi ovviamente diremo anche qualcosa, per noi cercheremo di concentrarci, com tipico tra laltro del metodo scientifico di non fare grandi castelli, su un particolare aspetto del ragionamento, che il ragionamento matematico. Questo per tanti motivi, in parte anche storici, ma anche dovute al fatto che nella matematica si pensa, si sempre pensato fino dallantichit, fino dai tempi di Pitagora, che il ragionamento matematico sia forse la forma pi perfetta, pi astratta, pi sviluppata di ragionamento. Ed ecco che allora si va a studiare matematicamente il ragionamento che viene fatto nella matematica. Dunque la matematica interviene in due maniere contrapposte, in parte come oggetto dello studio ed in parte come metodo di studio. Quindi questo pi o meno quello che vorremmo fare. Allora adesso cerchiamo di avvicinare il nostro soggetto. Ovviamente, come vi ho gi detto, questa una lezione introduttiva, tutte le cose di cui parleremo questoggi, a cui

accenner questoggi, saranno riprese in lezioni, anzi dedicheremo a ciascuno degli argomenti di cui parler adesso e a ciascuno dei personaggi a cui accenner in seguito, una lezione speciale e poi naturalmente parleremo anche di altre cose, ma questa lezione introduttiva vuole essere un invito per lappunto, una specie di scheletro, per cercare di farvi vedere quali saranno gli argomenti da una parte e i personaggi dallaltra, di cui parleremo in queste lezioni. Vediamo pi da vicino quali sono appunto gli argomenti che ho indicati in questo modo, premetto che cercheremo sempre di usare dei titoli un pochettino anche fantasiosi, per cercare di attirare lattenzione, perch questo anche il modo di insegnare, allora dicevo le tre vie della logica: come si arriva a studiare la logica, perch si pensato in certi periodi storici di studiare la logica, cio di studiare in maniera scientifica e poi successivamente in maniera matematica il ragionamento?. Le tre vie che ho indicato sono: la dialettica, i paradossi e le dimostrazioni, su ciascuna delle quali dir adesso alcune parole e poi in seguito cominceremo gi dalla prossima lezione ad affrontare pi da vicino e pi in dettaglio. La prima via, come ho detto, la via della dialettica, che stata iniziata perlomeno in Occidente dalla Scuola greca dei sofisti e qui nella slide vediamo unimmagine di sofista. Sofista oggi un aggettivo non particolarmente piacevole, perch quando si d a qualcuno del sofista questo lo si fa in genere maniera negativa, significa che questo qualcuno sta facendo un

discorso capzioso, sta cercando di menare il can per laria, sta usando parole spesse volte senza significato, giocando pure sullequivoco e cos via. Ebbene i sofisti erano in parte anche questo, non soltanto questo. Ci furono grandi personaggi nella Scuola sofista, in particolare questi due che si chiamano Protagora e Gorgia. Qualcuno di voi li riconoscer, coloro che hanno fatto gli studi classici, perch sono i titoli di due famosi dialoghi di Platone, che appunto Platone dedic a questi due personaggi. Platone era ovviamente in contrapposizione con i sofisti e quando parleremo di Platone, perch a lui dedicheremo una lezione, vedremo meglio, pi da vicino, come mai cera questa contrapposizione. Ora i sofisti erano interessati in particolare allarte della parola, allarte del discorso e allora per cercare di catturare il discorso, per cercare di fare il discorso in una maniera pi incisiva possibile, ecco che i sofisti incominciarono anzitutto a studiare quali erano le regole che stavano dietro, che soggiacevano al discorso, per cercare di usarle ai propri fini. Su questa tradizione io non dir molto di pi, perch in realt questa una via che se ne va, noi diremo in matematica per la tangente, se ne va da unaltra parte e dico soltanto per concludere questa idea, questa prima via che approccia alla logica, che in realt la via della dialettica qualche cosa che viene usata ancora oggi ovunque; la si usa nei tribunali, la si usa nei parlamenti, la si usa nei media, in televisione, eccetera. E la via meno scientifica, ma quella che poi tutto sommato noi usiamo,

quando cerchiamo di convincere un avversario o un pubblico, qualcuno appunto che cerchiamo di convincere di qualche cosa, usando le arti del discorso e larte del discorso per antonomasia era per lappunto la dialettica e per usare larte del discorso bisogna conoscerne le regole. Questo il primo motivo per cui storicamente si cominciata a studiare la logica. Per come vi ho detto, questo un motivo che noi non tratteremo, perch una cosa pi filosofica, certamente meno matematica e meno scientifica. La seconda via invece, che la via dei paradossi, qualche cosa che veramente ha a che fare con il nucleo del nostro di discorso e infatti a questi paradossi, cio al paradosso del mentitore e al paradosso di Achille e la tartaruga che sono i due pi famosi paradossi della storia ai quali brevemente accenner fra un momento, dedicheremo per ciascuno unintera lezione, cio unintera lezione al paradosso del mentitore e unintera lezione al paradosso di Achille e la tartaruga, ma prima di parlare di queste paradossi vediamo meglio che

cosa sono i paradossi. Ebbene i paradossi sono dei ragionamenti che apparentemente sono corretti e che, per tutto sommato, dovrebbero essere sbagliati, perch le loro conclusioni sono per lappunto paradossali, vanno contro lopinione comune, paradoxa significa proprio questo. Doxa, qualcuno di voi si ricorder che c addirittura unazienda che fa inchieste, indagini su ci che la gente pensa, che si chiama per lappunto doxa e para significa oltre, quindi paradoxa significa oltre lopinione comune. Invero questi paradossi ebbero unorigine antichissima, non soltanto in Grecia, ma addirittura in Cina, lo vedremo meglio quando parleremo nelle due prossime lezioni di questi argomenti, cio dei due paradossi pi famosi, il paradosso del mentitore e il paradosso di Achille e la tartaruga. Qual il paradosso del mentitore? Molto semplicemente il paradosso del mentitore il paradosso di qualcuno che dice io sto mentendo. Come mai paradossale? Perch a prima vista questa unaffermazione che

potrebbe sembrare sensata e coerente, per se voi ci pensate bene, se andate a riflettere un momentino da vicino, uno che vi dica io sto mentendo, non si capisce bene se sta dicendo la verit o se sta dicendo il falso. Infatti, se supponiamo che sta dicendo la verit, allora quello che sta dicendo vero, per sta dicendo che sta mentendo, quindi se dice la verit dice il falso. Va bene, voi potrete dire, allora non dice la verit, dice il falso; beh, la storia perfettamente simmetrica. Se dice il falso, allora quello che sta dicendo, cio dice di mentire, non vero, vero il contrario, ma se non vero, ovviamente allora dice la verit. Quindi se supponiamo che, chi dice io sto mentendo, dica il vero, allora abbiamo dedotto che dice il falso e se invece supponiamo che dica il falso, abbiamo dedotto che dice il vero, perci siamo entrati in un circolo vizioso. Se la cosa vi sembrata un po veloce, un po da mal di testa, magari da farvi girare la testa, aspettate con pazienza la prossima lezione e la prossima lezione parleremo per lappunto del paradosso del mentitore, cercheremo di affrontarlo pi da vicino e quindi andremo a scavare non soltanto nella sua storia, ma cercheremo anche di vedere qual , o se c, una soluzione di questo paradosso. Il secondo paradosso invece, di cui parliamo oggi, il famoso paradosso di Achille e la tartaruga, che qui illustrato. La storiella forse tutti la conoscete, una gara tra Achille pi veloce e la tartaruga zampa lenta, cio i due simboli della velocit e della lentezza. Ora sembrerebbe una gara poco sensata a far correre Achille contro la tartaruga, quindi per dare alla tartaruga, almeno un minimo

di vantaggio, si permette alla tartaruga di partire un po davanti ad Achille. Quindi Achille parte in questo punto (v. grafico) e la tartaruga parte in questaltro. Scatta il cronometro, si sente lo sparo della pistola che d il via alla gara, ecco che tutti e due partono. Naturalmente la tartaruga fa quello che pu, cio si muove un pochettino e ad un certo punto percorre un certo percorso. Nel momento in cui Achille ha raggiunto il punto in cui partita la tartaruga, la tartaruga si mossa di una certa quantit di spazio. Benissimo, Achille continua la sua corsa molto veloce, percorre la quantit di spazio che la tartaruga aveva percorso nel tempo in cui lui aveva raggiunto il punto dinizio della gara della tartaruga, la tartaruga si a sua volta mossa di nuovo di un altro pezzettino di spazio. Achille percorre quel pezzo di spazio e cos via e il problema sta proprio nel cos via, perch sembra che a questo punto il gioco possa andare avanti allinfinito; dunque Achille non raggiunger mai la tartaruga perch ogni volta deve prima percorrere lo spazio che, anzitutto lo separa dal punto di partenza della gara della tartaruga, poi lo separa dal punto in cui la tartaruga arrivata mentre lui faceva il primo pezzo e cos via. Sembrerebbe, dunque, che Achille non possa mai raggiungere la tartaruga. C qualcosa di sbagliato, perch sappiamo tutti che se ci mettiamo a correre dietro una tartaruga prima o poi, anzi molto prima, la raggiungiamo; dove sta

lerrore, qual il problema, eccetera? Quindi vedete che ci sono effettivamente dei problemi dietro a queste cose, dietro a questi ragionamenti e la logica cerca anche di studiare, questa la seconda via, per lappunto la via dei paradossi, cerca di studiare quali sono i problemi che stanno dietro a questi tipi di ragionamenti, cerca di andar a vedere dove sta linghippo, come diremmo oggi, dove sta lerrore, se c un errore, qual il modo di riformularli, insomma cerca di analizzare queste cose. Quindi questa la seconda via a cui dedicheremo, come ho detto, due intere lezioni, le prossime due. Ma c una terza via, che invece quella che ci interessa pi da vicino, perch come vi ho detto prima stiamo facendo o cercheremo di fare, di avvicinarci pian piano alla logica matematica e dunque ci interessa la matematica, il ragionamento matematico e la terza via la cosiddetta via delle dimostrazioni. Come mai? Ma perch come forse qualcuno di voi sapr, agli inizi la matematica nata senza dimostrazioni; qualcuno intuiva

che cerano dei risultati che si potevano ottenere, li scriveva, per esempio il famoso papiro di Rhind, che riporta alcuni dei risultati egiziani che risalgono a 2000 anni a.C. e pi. Ebbene questi risultati venivano semplicemente scritti, trascritti senza nessuna giustificazione, senza nessun motivo per il quale noi avremmo dovuto credere. Ci fu un momento nella storia della Grecia, cio verso il 600 a.C. in cui i greci capirono che non si doveva pi fare cos, anche perch non cera modo di sapere se un risultato era giusto o sbagliato, a volte gli egiziani effettivamente intuivano il risultato corretto, altre volte invece si sbagliavano e intuivano, per modo di dire, quello sbagliato. Allora come si fa a decidere di fronte ad unintuizione, a quello che ci sembra vero, se questa cosa effettivamente vera oppure no? Bisogna dimostrare. Oggi per noi la cosa lapalissiana, lampante che per avere un teorema matematico bisogna avere una dimostrazione. Ebbene non stato sempre cos lampante e i greci inventarono questo nuovo modo di fare matematica; in particolare furono stimolati allo studio delle dimostrazioni da due famosi risultati che sono collegati fra di loro, anche a questo personaggio di cui parliamo adesso, cio Pitagora, a cui dedicheremo unintera lezione perch Pitagora il punto di partenza della filosofia occidentale, della scienza occidentale, della matematico occidentale, quindi veramente un personaggio in cui si racchiudono tantissime idee, tantissime cose che furono

scoperte per la prima volta in quel periodo e quindi torneremo a parlare, forse non con molta profondit, ma per unora intera di questo personaggio. Il teorema di Pitagora, il famoso teorema che tutti riconoscono, tutti conoscono, tutti ricordano, ebbene questo teorema di Pitagora, il fatto che, se si prende un triangolo rettangolo, si ha che il quadrato costruito sullipotenusa equivalente in area alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, un qualcosa che molte civilt intuirono, come i babilonesi, gli egiziani, i cinesi, gli indiani eccetera, ma un conto intuire, come dicevo prima e un conto dimostrare. La dimostrazione del teorema di Pitagora, perlomeno la prima dimostrazione che c pervenuta negli elementi di Euclide, una dimostrazione molto complicata. Ed ecco che allora sorge immediatamente il motivo, il bisogno di andare ad analizzare queste dimostrazioni, cercare di capire che cosa sta dietro alle dimostrazioni, quali sono i mezzi che fanno s che una dimostrazione sia corretta e la logica parla, si interessa precisamente di questo argomento. Il secondo risultato di cui

parleremo a fondo, quando affronteremo nella terza lezione largomento di Pitagora, la fa molta scoperta che, se voi prendete un quadrato e considerate la diagonale del quadrato, ebbene non c nessuna unit di misura che stia in una maniera intera, sia nel lato che nella diagonale. Questo viene detto, in altri modi, dicendo che la diagonale e il lato del quadrato sono

fra loro incommensurabili, cio non c nessuna misura comune, misura intesa nel senso di numeri interi ovviamente. Ebbene questo che oggi esprimiamo dicendo che la radice quadrata di 2, cio la diagonale del quadrato irrazionale per lappunto, non si pu scrivere come un rapporto di numeri interi, in maniera razionale, anche questo un qualche cosa che scoprirono i pitagorici, una scoperta veramente dovuta Pitagora o perlomeno alla sua scuola. Questa scoperta basata su una dimostrazione, non qualcosa che si veda ad occhio e questa dimostrazione, la dimostrazione che sta dietro alla irrazionalit della radice di 2, qualche cosa che era nuovo allepoca e forse il primo esempio di quello che viene chiamato dimostrazione per assurdo. Ed ecco quindi un nuovo motivo per cercare di capire che cosa sta dietro alle dimostrazioni, quali sono le leggi che regolano queste dimostrazioni e dunque una nuova via, un altro modo di arrivare a questa logica matematica. Quindi queste sono le tre figlie: la dialettica, i paradossi e le dimostrazioni. Sulla dialettica, come ho detto, non diremo altro, ma sui paradossi e sulle dimostrazioni invece diremo parecchio, perch cercheremo di andare a fondo. Che cosaltro faremo in queste lezioni? Ebbene oltre che a parlare di teoremi, di risultati, di pensieri, faremo anche un tentativo di affrontare largomento in una maniera pi umana o umanistica, se

cos vogliamo, cio cercando anche di parlare di coloro che questi pensieri hanno pensato, cio dei pensatori e in particolare faremo tutto una serie, anzi organizzeremo le nostre lezioni proprio sulle vite dei logici e quindi si potrebbe quasi dire che i simboli, il motto delle nostre lezioni potrebbe essere vite da logico, che non ovviamente un gioco di parole, come scritte da cani, ma vite da logico non cos brutto, appunto come tante altre. Praticamente questoggi io voglio soltanto farvi familiarizzare con le facce e i nomi di coloro dei quali parleremo, quindi andremo molto brevemente ad affrontarli o meglio a presentarli e poi ripeto, a ciascuno di questi dedicheremo una lezione per vedere esattamente quali sono stati i loro contributi.

ANTICHITA Platone Aristotele CrisippoCi sono stati tre periodi principali della storia della logica: lantichit, poi lera moderna, per cos dire e poi unera contemporanea. La logica oggi un qualche cosa che parte dalla matematica, una delle grandi aree della matematica moderna, ma non stato sempre stato cos, agli inizi dovete nascere ovviamente, poi svilupparsi, adesso ha raggiunto completa maturit. Quindi vedremo anche, cercheremo di affrontare in qualche modo le basi storiche, di vedere da dove sono nati e chi ha fatto nascere, chi stato il primo o chi sono stati primi a

pensare in termini logici. Ebbene, questa prima parte della storia della logica la storia dellantichit. I tre personaggi, coloro che hanno fatto di pi per la logica moderna sono appunto: Platone, Aristotele, Crisippo. Platone e Aristotele sono due personaggi sul quale non c bisogno di aggiungere molto, perch tutti certamente conoscerete perlomeno i nomi; sono i due pi famosi filosofi dellantichit, coloro che ancora con le loro teorie oggi in qualche modo informano la filosofia moderna. Crisippo meno noto, ovviamente su Crisippo faremo anche su di lui una lezione, ma forse sar pi una scoperta, mentre invece su Platone e Aristotele sar pi un dire qualche cosa che gi sapevamo o magari rivedere le cose che hanno fatto in maniera diversa, dal nostro punto di vista, dalla nostra angolazione. Cominciamo subito con Platone. Sotto Platone vedete iscritto Accademia, perch ovviamente questa era la scuola che Platone aveva fondato e credo che il pi grande risultato che Platone port. Platone ovviamente questo signore che voi vedete nella statua, mentre alla destra c una parte del dipinto famoso della scuola di Atene di Raffaello. Ebbene il regalo che Platone port alla logica, che fece alla logica, quello che oggi viene chiamato il principio di non contraddizione. Ho parlato poco fa dei sofisti, i sofisti non usavano questo principio di non contraddizione, non chiaro che non lo usassero perch non lo conoscevano o se invece lo conoscevano e facevano finta di non conoscerlo, cio facevano i finti tonti come si potrebbe dire. Il principio di

non contraddizione significa che non si pu impunemente dire una cosa e il suo contrario allo stesso tempo. Non si pu dire oggi piove e dire oggi non piove e poi pretendere che la gente creda a tutte le due cose, se ci stiamo riferendo allo stesso momento e allo stesso giorno. Ebbene, la prima formulazione del principio di non contraddizione per lappunto in alcuni dei dialoghi platonici dei quali parleremo. Quindi questo un grosso risultato, il primo tentativo di isolare una delle grandi leggi della logica. Aristotele, invece, viene considerato in realt il padre fondatore della logica moderna e se dobbiamo dire il nome del pi grande logico mai vissuto, ebbene questo forse veramente Aristotele e se invece dobbiamo dirne due, allora questi due sono Aristotele e Goedel, di cui parleremo fra poco, verso la fine di questa lezione. Qui di nuovo abbiamo Aristotele anche lui ritratto come Platone alla scuola di Atene, mentre qui alla sx c unaltra statua dedicata a lui. Qual stato lapporto fondamentale di Aristotele alla logica? Beh, stato lo studio dei quantificatori, cio lo studio delle leggi che regolano il funzionamento e luso di particelle come nessuno, qualcuno e tutti. Nessuno e tutti sono ovviamente contrapposti fra di loro, qualcuno sta a met, non nessuno n tutti. Ebbene, Aristotele fece uno studio dettagliato di

queste particelle che vengono chiamate quantificatori. I quantificatori solo una delle parti fondamentali della logica

moderna. Il terzo personaggio della logica antica, della logica greca, Crisippo. Platone aveva la sua Scuola che era lAccademia, Aristotele aveva la sua Scuola che era il Liceo, Crisippo aveva anche lui la sua scuola che era la Sto. Questi erano le tre grandi Scuole di Atene, cio lAccademia, il Liceo e la Sto e di ciascuna di queste parleremo. Qual stato il contributo invece di Crisippo? Ebbene, mentre Aristotele studi le regole delluso di questi quantificatori, Crisippo invece studi ci che oggi viene chiamata la logica proposizionale o meglio queste particelle linguistiche che sono quelle che servono a mettere insieme delle frasi semplici per costruirne di pi complicate, queste particelle vengono chiamate connettivi. Si chiamano connettivi perch connettono, mettono insieme per lappunto queste parti diverse. I connettivi che useremo e abuseremo anzi, verranno forse persino a noia, perch ne parleremo tantissimo e daltra parte sono le parti pi essenziali del discorso logico, sono (questa la prima volta che li sentiamo, ma non sar lultima) la negazione (il non), la congiunzione ( l e), la disgiunzione ( l o) e inoltre, il pi importante di tutti dal punto di vista matematico e dal punto di vista del ragionamento, la implicazione (il se allora). Un esempio con non: se voi avete una frase oggi piove, potete negarla, potete ottenere una frase che dice il contrario di questa, dicendo oggi non piove oppure

non vero che oggi piove. Un esempio con e: se voi avete due frasi: oggi piove ed io ho lombrello, potete metterle insieme dicendo: oggi piove e io ho lombrello, questa la congiunzione. Un esempio con o : poich la disgiunzione il connettivo che si usa quando si ha la possibilit di scegliere fra due cose, quando si ha unalternativa, perci oggi mangio una pastasciutta o una bistecca, questa lalternativa, la disgiunzione. Infine il se allora, come dicevo, il connettivo tipico dei ragionamenti matematici: se questo vero, allora anche questaltro vero, cio se lipotesi vera, allora anche la conclusione vera. Il se. allora per lappunto la congiunzione, la connessione,

appunto per questo si chiamano connettivi, la connessione tra lipotesi e la tesi, cio tra ci che si postula e ci che invece viene dimostrato. Quindi questi furono i grandi risultati della logica greca, a parte Platone che appunto fu praticamente un precursore, abbiamo da una parte Aristotele lo studio dei quantificatori, dallaltra parte Crisippo, con lo studio dei connettivi e su questo appunto, come vi ho detto, ci fermeremo a lungo. Veniamo pi da vicini allera moderna ed ecco che dopo lunghi secoli, naturalmente nella logica ci furono altri personaggi che si interessarono di logica nei secoli, in particolare durante la Scolastica, durante il Medioevo, ma di quelli parleremo poi in una delle lezioni che abbiamo chiamato interregno, appunto per far capire che era il passaggio dalla logica antica, dallera antica, allet moderna, ma oggi non il caso di vederli, stiamo soltanto citando i nomi e i risultati pi importanti. Quando veniamo allepoca moderna, ecco che qui abbiamo unaltra trinit e questa trinit costituita da Leibniz, Boole e Frege. Vediamo

appunto pi da vicino anzitutto le loro facce e poi cerchiamo di dire due parole su ci che fecero. Questa la faccia di Leibniz, naturalmente non pensate che questo signore avesse questi bei boccoli in testa, erano delle parrucche, ci sono anche delle foto di Leibniz senza parrucca, completamente calvo, ma forse sono cose meno piacevoli da vedere, quindi non le ho messe qua. Leibniz, come tutti sapete, stato un grandissimo e poi dovrebbero esserci dei puntini, perch stato tantissime cose: stato giurista, diplomatico, ambasciatore, filosofo, matematico e cos via e fra le tante cose che ha fatto un uomo cos versatile e cos multiforme, stato anche un grande logico. stato colui che verso il 1600, fine del 1600, ebbe la visione non in sogno, ma la visione filosofica, cio precorse i tempi e praticamente inform con il suo pensiero, con i suoi sogni quella che poi sarebbe diventata la logica moderna. Il suo sogno pi grande fu quello di avere, quello che appunto lui chiamava in latino la caracteristica universalis, cio di riuscire a costruire una lingua formale ovviamente, una lingua che fosse adatta a poter esprimere tutti i contenuti delle scienze, un qualche cosa che non fosse come la lingua naturale, che usiamo tutti i giorni, che ha le sue imperfezioni, che ha anche i suoi problemi, tipo le antinomie che abbiamo visto, come quella del mentitore, eccetera, ma una lingua costruita a tavolino in qualche modo e che fosse per formalmente perfetta. Ed ecco che

questo sogno, che allepoca era. soltanto un sogno, poi piano piano nel corso degli anni, dei decenni, perch praticamente questo cominci verso il 1850 e sono passati dunque 150 anni, questo sogno si concretizzato ed diventato praticamente quello che oggi noi potremo dire la lingua della logica

matematica, ma per rendere pi chiaro la cosa, oggi che stiamo appunto soltanto facendo soltanto lintroduzione a questo argomento, si potrebbero dire che il sogno di Leibniz oggi si concretizzato in quella che diventata la lingua dei calcolatori elettronici. Linformatica o meglio i programmi informatici sono precisamente versioni di quello che Leibniz sognava si potesse fare di questa caratteristica universale, questo linguaggio perfetto e puramente formale. Il prossimo personaggio invece quello che forse potremo considerare veramente il primo logico moderno. Con Leibniz, con questo suo sogno si era appunto nel 1676, mentre con Boole siamo nel 1849.

Ebbene, a met dell800, finalmente la logica matematica incomincia ad uscire dal bossolo, a trasformarsi in qualche cosa daltro e a prendere vita autonoma. Boole, questo signore di cui ci sono pochissime foto, soltanto questa anzi io conosco, ebbene questo signore introdusse quella che oggi addirittura diventata qualche cosa che si chiama con il suo cognome, cio la cosiddetta algebra booleana. Sulla algebra booleana di nuovo parleremo per un intera lezione, perch lalgebra booleana da una parte un uovo di colombo, cio unidea brillante che viene in mente soltanto a persone geniali, perch cos semplice che noi tutti ci passiamo vicino senza mai riuscire ad usarla. Ebbene, questa algebra booleana semplicemente lidea di usare lo zero e luno, cio i primi due numeri interi, come se fossero lanalogo, dal punto di vista matematico, di ci che nella logica, nel linguaggio, sono il vero e il falso. Luno corrisponde al vero, lo zero corrisponde al falso, la scoperta di Boole fu che le leggi logiche, che regolano il comportamento di vero e falso, sono praticamente le stesse leggi che regolano matematicamente o algebricamente il comportamento dello zero e delluno. Ed ecco che allora algebra booleana significa precisamente questo, cio comportarsi, lavorare, fare operazioni sullo zero e sulluno, come se in realt questi zero e uno stessero l ad indicare il vero e il falso. Ebbene questa una grande scoperta e fu veramente in qualche modo il punto finale, dico finale, dellevoluzione

della logica. Come mai il punto finale? Perch in realt con lalgebra booleana si poteva descrivere da una parte la logica aristotelica, il comportamento di quei quantificatori di cui abbiamo parlato prima, perlomeno nel modo in cui li usava Aristotele e dallaltra parte il comportamento dei connettivi come veniva usato da Crisippo, cio lalgebra booleana un unico mezzo che permette di parlare e di prendere sotto lo stesso tetto, due cose apparentemente diverse, come la logica aristotelica e la logica di Crisippo. Questo era in qualche modo la chiusura, il completamento, la fine di unepoca. Subito dopo ci si poteva fermare l, ma invece venne questo signore austero, che si chiama Frege, colui che veramente inizi la logica moderna, perch, come ho detto, Boole era pi che altro un completatore. La logica che Frege introdusse, per la prima volta fu qualche cosa che andava oltre la logica che avevano gi studiato i greci, in particolare Aristotele e Crisippo. Si chiama oggi logica predicativa ed la logica dei predicati, la logica delle relazioni, quello che veramente serve nella matematica, perch in matematica non si parla soltanto di cose tipo soggetto e predicato alle quali si interessava Aristotele, ma si parla di relazioni in cui c non soltanto un soggetto, ma ci possono essere pi soggetti, pi complementi anche, quindi una struttura molto pi complicata. Tanto per fare un esempio, la relazione duguaglianza o disuguaglianza fra numeri, ecco che coinvolge due numeri e non soltanto uno, la relazione di maggiore

oppure di minore e cosi via, sono relazioni che coinvolgono per lappunto due cose e non soltanto una e poi ce ne sono tante altre che ne coinvolgono pi di due addirittura. Senza una logica che permettesse di parlare di queste relazioni multiple, invece che univoche, unarie come quelle di Aristotele, ebbene senza una logica di questo genere il sogno di Leibniz di avere una lingua per le scienze non si sarebbe potuto concretizzare. Quindi a Frege, anche lui, dedicheremo un intera lezione. Poi finalmente arriviamo allera contemporanea, cio al 900, a coloro che, non sono forse pi vivi, ma di cui, in qualche modo, abbiamo la memoria ben viva. E questi personaggi sono Post e Wittgenstein, che sono due persone, non una sola, non un cognome doppio e Goedel e Turing. Questi sono veramente grandi nomi. Di questi ovviamente parleremo non soltanto una volta, ma pi di una volta, ma per ora appunto cerchiamo di dare un anteprima e di fare un trailer come nei film.

ERA CONTEMORANEA Post-Wittgenstein Goedel Turing POST (1920) Completezza della logica proposizionale Ebbene Post, nel 1920, scopre che la logica di Crisippo,la cosiddetta logica proposizionale era completa. Non si poteva andare oltre, lanalisi che aveva fatto Crisippo, bench lavesse fatta 2200 anni prima in realt era un analisi conclusiva. Boole laveva riformulata in termini algebrici, ma oltre Crisippo, se si rimaneva nellambito dei connettivi, non si poteva andare. Questo fu un grande risultato che fu scoperto non solo da Post, ma in qualche modo fu intravisto anche da Wittgenstein in quegli stessi anni, il 1921.Anche Wittgentein stato un famoso filosofo, oggi certamente pi famoso come filosofo soprattutto del linguaggio, che non come logico matema-tico, perch il suo contributo stato un pochettino minimale e marginale, ma qualche cosa rimane e rimangono in particolare queste tavole di verit, che sono dei mezzi di cui parleremo quando sar il momento, dei mezzi per cercare di capire qual il valore di verit, cio il vero e il falso di una proposizione composta, riducendola in base ai valori di verit delle proposizioni che la compongono, cio sapendo che se le proposizioni semplici che

costituiscono una proposizione composta sono vere o false, allora possiamo con questo mezzo delle tavole di verit dedurre se la proposizione intera vera o falsa, quindi qualche cosa di tecnicamente utile. Ma a questo punto veniamo veramente al secondo logico della storia, qualcuno dice addirittura il primo, comunque uno delle due grandi divinit di questo corso e non soltanto del corso, ma anche addirittura di questo soggetto, cio della logica matematica. Goedel che questo signore che vedete qui vestito con panama, con un vestito bianco e con questa aria piuttosto truce, fu uno dei pi grandi pensatori del 900, scrivo qui 1930-

31, perch Goedel fece tantissime cose e a lui dedicheremo pi di una lezione, perch non possibile appunto fare un corso di logica e poi trattarlo come tutti gli altri ovviamente, per i suoi due primi grandi risultati furono nel 1930 e 1931. Nel 30 dimostr la

completezza della logica predicativa, cio lanalogo di ciche Post aveva fatto per la logica proposizionale. Post aveva dimostrato che oltre Crisippo non si poteva andare, cio lanalisi di Crisippo era stata completa per quanto riguardava quei connettivi, ebbene Goedel dimostr che lanalisi di Frege per quanto riguarda invece la logica predicativa anchessa era stata completa, oltre Frege non si poteva andare, se si voleva rimanere allinterno di quellambito li. E poi invece nel 1931, Goedel dimostr il suo pi famoso teorema, il cosi detto teorema di incompletezza della aritmetica; mentre sia la logica proposizionale, che la logica predicativa sono complete e quindi in qualche modo noi siamo arrivati alla fine della storia della logica e quindi non c pi altro da aggiungere, a meno di non scoprire, inventare altre logiche nuove, ebbene invece in matematica le cose stanno diversamente. Il teorema di Goedel dice per lappunto che laritmetica incompleta, non nel senso che oggi non si sono ancora trovati tutti i suoi assiomi, tutte le sue propriet e dunque bisogna aspettare qualche altro genio che lo faccia, ma lo dice nel senso che qualunque sistema di assiomi per laritmetica sar sempre incompleto, laritmetica non si pu completare; cio mentre con la completezza della logica predicativa siamo arrivati alla fine della storia della logica, con lincompletezza dellaritmetica invece siamo arrivati di fronte ad un muro, abbiamo capito che noi come uomini abbiamo delle limitazioni nei confronti della matematica e questo il motivo per cui il risultato di Goedel cos

importante. Lultimo personaggio invece di cui parliamo questoggi, ma anche a lui dedicheremo una lezione e non sar lultimo di cui parleremo quando faremo le nostre 20 lezioni, ebbene questo signore si chiama Turing, che come vedete era uno sportivo, Turing correva poi con questo numero 01, che sta appunto a significare la logica dei computer e cos via; non a caso la logica dei computer, perch nel 1936 questo signore invent quella che allepoca fu chiamata e tuttora viene chiamata nei dipartimenti di matematica e di informatica la machina di Turing, che non un automobile, non una competizione per la General motors o per la Ford o per la Fiat, quello che oggi noi chiameremo semplicemente il computer. Lidea del computer venne precisamente ad un logico matematico, venne a questo sig. Turing, quando poi aveva tra laltro 24-25 anni, cos come Goedel, cio questi geni dimostrano i loro risultati quando sono molto giovani, ebbene gli venne, dicevo a Turing, lidea della machina del computer studiando i teoremi di Goedel, cercando di affrontare un problema diverso, che era appunto il problema della decibilit della logica predicativa. Ho detto prima che le tavole di verit di Wittgenstein sono qualche cosa che permette di decidere per le formule, per le proposizioni della logica proposizionale di Crisippo, se sono vere o false, c un metodo che permette di fare questa decisione. Ebbene ci che Turing dimostr che non c un metodo analogo per la logica, quindi bench la logica predicativa sia completa,

come ha dimostrato Goedel, in realt qualche problema ce lha gi e non c nessun metodo che permetta di decidere ci che vero o falso in generale per la logica predicativa. Ebbene mi sembra di aver dato pi o meno un idea di ci che sar questo corso e soprattutto di ci che la logica matematica, cio qualche cosa che ha a che fare con tre aree differenti, infatti se avete fatto attenzione, abbiamo parlato praticamente di tre aspetti molto diversi tra di loro, che sembrerebbero essere staccati a prima vista, che sono la filosofia anzi tutto, con Platone, Aristotele, Crisippo e cos via, poi abbiamo parlato di matematica, abbiamo visto

Boole, Frege e cos via, che facevano analisi matematica e poi siamo arrivati alla fine a parlare di machina di Turing, cio di computer, cio di informatica. Ebbene uno dei motivi, non il solo, ma uno dei motivi che rendono la logica matematica interessante proprio questo: il fatto che sia una materia che non soltanto serve, ma che sta in qualche modo nellintersezione di tre aree cos

diverse, da una parte la filosofia, dallaltra parte la matematica e dallaltra parte linformatica e allora la logica matematica pu essere interessante, per lappunto, per i filosofi, coloro che si interessano di filosofia, interessante per i matematici, perch parte della matematica e studia la matematica, studia il ragionamento matematico con metodi matematici ed interessante anche per gli infornatici perch linformatica nata precisamente da problematiche logiche, stata creata da uno dei logici ed una parte praticamente di quella che la logica matematica moderna. Quindi questi sono i grandi argomenti di cui parleremo nelle prossime 19 lezioni e vi do semplicemente larrivederci alle prossime lezioni, sperando di avervi convinto che la logica matematica un qualche cosa che vale la pena di conoscere, vale la pena di studiare.

LEZIONE 2: Il naso di PinocchioSono Piergiorgio Odifreddi e sono qui per incominciare finalmente il corso di logica matematica. Abbiamo avuto una lezione introduttiva, in cui abbiamo cercato di familiarizzarsi con alcuni dei problemi e delle nozioni della logica matematica e anche soprattutto con alcuni dei personaggi, ma finalmente siamo arrivati agli inizi del corso di lezioni e questo corso di lezioni ho pensato di organizzarlo sulla base dei personaggi, di alcuni dei quali abbiamo gi parlato, cio ogni lezione sar dedicata ad uno dei grandi logici del passato o a uno dei grandi problemi della logica del passato. Cominceremo ovviamente molto da lontano, verso il 500 600 a. C.,

parleremo di filosofia per qualche lezione, poi piano piano ci avvicineremo alla matematica, alla logica matematica come stata sviluppata a partire da Leibniz, Boole, Frege, Russell e cos via, tutti nomi alcuni dei quali avete gi sentito e finalmente poi concluderemo in bellezza, diciamo cos, il gran finale di questo corso con linformatica, perch ho gi detto appunto unaltra volta che logica matematica ha questo interesse, il fatto di essere nellintersezione di tre aree molto diverse fra di loro, che sono appunto quelle che ho appena citato, cio la filosofica, la matematica e linformatica, quindi uno strumento molto versatile, molto variegato che permette di essere utilizzato appunto in tanti campi differenti. Benissimo, incominceremo come ho detto molto da lontano e questoggi la nostra prima lezione di questo corso sar fatta su uno dei paradossi pi importanti, che qualcuno di voi avr gi capito, il paradosso del mentitore. Questa lezione, anzi tutte le lezioni saranno intitolate in una maniera un pochettino inventiva, per cercare di stimolare anche lattenzione. Il naso di Pinocchio ovviamente il simbolo della menzogna e quindi questoggi parleremo di menzogna, cercheremo di andare ad analizzare pi da vicino questo concetto di verit e di falsit e soprattutto lo faremo parlando per lappunto di uno dei paradossi pi famosi, il famoso paradosso di Epimenide, di questo signore raffigurato nella slide o

perlomeno uno che gli rassomigliava. Naturalmente quando si tratta di andare cos lontano nel tempo, il sesto secolo a. C., non mai chiaro di quali personaggi fossero queste raffigurazioni. Comunque era un greco del sesto secolo a. C., in realt un cretese, che un giorno ebbe la bella idea di dire questa frase i cretesi sono bugiardi. Intendeva dire tutti i cretesi sono sempre bugiardi, dicono sempre la falsit. Ebbene, che cosa pensate di una frase di questo genere detta da un cretese, che cosa significa? Pu essere vera una frase di questo genere? Ovviamente non pu essere vera, perch se vero che i cretesi sono dei bugiardi, il signor Epimenide viene da Creta, quindi un cretese e se essere dei bugiardi significa dire sempre la falsit, beh, insomma questo era semplicemente qualche cosa che non poteva essere vero. Allora abbiamo gi fatto un primo passo, abbiamo gi ottenuto un qualche risultato,

abbiamo scoperto che questa frase detta da Epimenide, non pu essere vera. Il problema per che la cosa si ferma qui, perch non c nessun motivo di credere che questa frase possa essere vera. Che cosa vuol dire che questa frase non pu essere vera? Vuol dire che non vero che tutti i cretesi dicono sempre il falso, il che significa che qualche cretese a volte dice la verit. Ora quel qualche cretese, non affatto detto che sia per forza Epimenide, colui che parlava e se anche fosse lui, poich qualche cretese dice a volte la verit, non affatto vero, non affatto detto che sia proprio questa la frase di cui si sta parlando. Quindi abbiamo una frase di fronte a noi che sembra problematica, ma semplicemente una frase falsa, che non pu essere vera, ma la cosa si ferma qui, non c ancora nessun paradosso. Il fatto che questa frase che in genere viene ripetuta, perch una frase molto famosa appunto, viene ripetuta come se fosse un paradosso, gi dice che forse ci sarebbe bisogno, per coloro che lo fanno, di seguire questo corso che appunto un corso di logica, che ci insegner pian piano a districarsi in questi rompicapo, a cercare di capire dove sono i problemi in questo caso. Benissimo, se non un paradosso questa frase, per abbastanza vicina ad un paradosso. Questaltra frase invece dovuta a un signore che si chiama Eubulide di Megara del quinto secolo a. C., il quale ovviamente di nuovo non lui nella raffigurazione, questo Pinocchio appunto, al cui naso abbiamo intitolato la nostra lezione;

ebbene Eubulide riformul questosservazione di Epimenide, che diceva tutti i cretesi mentono, ma io sono un cretese, perch cera qualche cosa di strano e la riformul dicendo semplicemente io sto mentendo, cio quello che sto dicendo in questo momento una menzogna. Allora andiamo a vedere pi da vicino se effettivamente questa frase di Eubulide ha dei problemi. Pu essere vera una frase di qualcuno che dice io sto mentendo?. Beh, ovviamente no, perch se fosse vera sarebbe vero che lui sta mentendo e dunque quello che sta dicendo dovrebbe essere falso; quindi certamente non pu essere vera, ma questo era gi il caso anche della frase di Epimenide. Vediamo adesso se questa frase pu essere falsa. Beh, se fosse falsa, allora sarebbe vero il contrario di quello che dite, ma sta dicendo io sto mentendo, dunque il contrario dovrebbe essere io sto dicendo la verit. Allora nemmeno falsa pu essere questa frase. Ed ecco che finalmente Eubulide un secolo o un secolo e mezzo dopo Epimenide, riusc a trasformare questa frase di Epimenide in un vero e proprio paradosso, a costruire una frase che a prima vista sembra innocua, per attenzione, c un qualche cosa di molto interessante, qui c un autoriferimento, si sta parlando di se stessi, anzi la frase sta dicendo qualche cosa su se stesso, sta dicendo di essere falsa, cio colui che parla sta dicendo qualche cosa su se stesso, sta dicendo che sta mentendo. Ebbene, abbiamo costruito una frase che non pu essere n

vera n falsa. Questo fu effettivamente un trauma, perch si pensava che la verit fosse un concetto universale, che le frasi appunto fossero tutte o vere o false, le frasi ovviamente ben poste, ben formate nel linguaggio e invece Epimenide e Eubulide scoprirono questo trucco, fecero vedere che la verit ha dei problemi e vedremo che ne ha parecchi. In questa lezione cercheremo di vedere varie versioni, varie metamorfosi di questo paradosso, per cercare di familiarizzarsi proprio con questa nozione di verit. Una delle prime versioni quella data dallo stoico Diogene Laerzio nel secondo secolo a. C., una storiella che parla di una mamma e di un coccodrillo. Eccolo qua il coccodrillo, questo non naturalmente la mamma, nella figura ci sono due coccodrilli. Ebbene la storiella la seguente: i coccodrilli, si sa sono cattivelli, a d un certo punto un coccodrillo rapisce il figlio di questa mamma e ad un certo punto le dice: te lo rid questo figlio, altrimenti me lo mangio, te lo rid se tu riesci a indovinare che cosa io far. La mamma gioca con il fuoco ovviamente e dice al coccodrillo: io credo che tu ti mangerai mio figlio. Ovviamente questa una riformulazione del paradosso del mentitore, perch se la mamma ha detto il vero, se ha indovinato che coccodrillo voleva mangiare il figlio, allora effettivamente il coccodrillo ha promesso che nel caso che la mamma indovinasse le avrebbe restituito il figlio. Quindi la madre, giocando con questo trucco, diciamo cos, inventato da Eubulide e Epimenide, riesce a salvare il bambino dalle fauci del coccodrillo, che come vedete qui erano gi ben aperte per papparsi il povero bambino.

Quindi questa una riformulazione in chiave, diciamo cos, scherzosa, storica del paradosso di Epimenide. Unaltra riformulazione, naturalmente facciamo salti, passi da gigante in questo corso, in cui stiamo imparando molto, la ritroviamo nel quattordicesimo secolo, anche perch le metamorfosi del paradosso di Epimenide, cio il paradosso del mentitore, sono infinite, non possiamo fare altro che parlarne un pochettino cos, dare un accenno a qualcuna di queste metamorfosi. Una di queste metamorfosi, una di queste forme, fu inventata dal famoso Buridano, dico famoso non come filosofo, ma perch tutti conoscono il cosiddetto asino di Buridano, che a un certo punto mor di fame perch si trovava alla stessa distanza da due mucchi di fieno e non sapeva quale scegliere di due e non

riusc a decidersi, ad andare da nessuna parte e cos mor. Ebbene, Buridano in realt non invent soltanto la storiella dellasino, ma era un logico, per lappunto, del quattordicesimo secolo, che formul una

versione molto interessante del paradosso di Epimenide, perch si era sempre pensato fin a quellepoca, durante la Scolastica, che i problemi del paradosso del mentitore, fossero per lappunto in questa autoreferenza, nel fatto che si sta parlando di qualche cosa dicendo io sto facendo qualche cosa, io sto mentendo e si pensava che il problema fosse per lappunto quello. Ebbene, Buridano fece vedere che il problema non era affatto quello, perch immagin una storiella in cui cera da una parte Socrate e dallaltra parte Platone due dei grandi filosofi che aprirono un pochettino la storia della filosofia occidentale, della filosofia greca. Ebbene, Buridano immagin il seguente dialogo fra i due, Socrate questo signore qua gi, che sta parlando appunto ai suoi discepoli e dice Platone dice il falso. Platone che cosa risponde? Platone qua gi, nel dipinto di Raffaello, la Scuola di Atene, Platone dice ovviamente che Socrate dice il falso. Allora abbiamo una situazione in cui il maestro dice che lallievo sta dicendo il falso e lallievo sta dicendo che invece il maestro dice il falso, cio lautoriferimento si semplicemente spezzato in due parti e non c pi quellautoriferimento diretto, diciamo cos, che cera invece nel paradosso del mentitore. Possiamo vedere questo autoriferimento pi da vicino, in una maniera un pochettino pi logica, forse un pochettino pi seria, in questa slide: la prima fase dice la frase seguente falsa. La seconda fase dice la fase precedente vera. La frase seguente falsa

La frase precedente vera Queste frasi, una qualunque di quelle frasi, vera o falsa o qual la situazione? Proviamo a vedere, cominciamo con la prima. Questa frase, se appunto la verit fosse qualche cosa che merita il nome del delegato, dovrebbe o essere vera o falsa. Cominciamo a supporre che sia vera: se la prima frase vera, quello che dice deve essere effettivamente quello che succede, cio la frase seguente deve devessere falsa.

Allora quello che dice la frase che segue non pu essere vero, poich la frase che segue dice la fase precedente vera, allora poich questa frase non pu essere vera, questo significa che la frase precedente deve essere falsa. Allora abbiamo supposto che la prima frase fosse vera, abbiamo dedotto che la seconda frase non pu essere vera, poich la seconda frase stava dicendo che la prima era vera, dunque abbiamo dedotto che la prima falsa, quindi non possibile che la prima frase sia vera, devessere allora falsa. Ora vediamo se vera: se la prima frase fosse falsa, sta dicendo che la frase seguente falsa e se questa non vera, allora la frase seguente deve essere vera. Andiamo a vedere che cosa dice la frase seguente; beh, la frase seguente dice: la precedente vera; abbiamo supposto che la prima frase fosse falsa, abbiamo dedotto che quello che diceva la seconda era vera, la seconda diceva che la prima era vera. Quindi qui notate, non c nessun autoriferimento, si sta soltanto parlando della frase seguente; se sopra ci fosse scritto la frase seguente falsa e sotto ci fosse scritto io sono il capo di governo, effettivamente sarebbe stata una situazione perfetta, perch io non sono capo di governo, quindi la frase seguente sarebbe effettivamente stata falsa e cos pure per questa frase qui la fase precedente vera, se sopra ci fosse stato scritto io sono professore di logica che sta facendo il corso adesso a Nettuno, insomma questa frase sarebbe stata vera, la frase precedente sarebbe stata vera. Queste due frasi di per s, staccate, possono benissimo essere vere e naturalmente

possono anche benissimo essere false, non c nessuna contraddizione in nessuna delle due, ma nel momento in cui le si mette insieme, ecco che succedono i pasticci, un po come a volte succedono nei matrimoni o nei fidanzamenti, che le persone singolarmente possono essere simpaticissime eccetera, quando poi le si mettono insieme succedono i pandemoni. Questo precisamente quello che succede in questo caso. Allora, abbiamo capito gi una cosa, che nel paradosso del mentitore, nel paradosso di Epimenide, di Eubulide, nel fatto di dire io sono falso e di trovare dei problemi, delle conseguenze non aspettate e non piacevoli in questa frase, ebbene il problema non sta nel fatto che ci si sta autoreferendo, non sta nel fatto di dire: bah, una frase che dice io sono falsa, insomma potrebbe non avere nessun significato, perch possibile spaccare questo autoreferenza, distruggere, diciamo cos, lautoreferenza, il circolo vizioso e separare la frase in due frasi differenti che hanno gli stessi problemi della frase precedente. Benissimo, quali sono le soluzioni che sono state proposte di questo paradosso? Naturalmente prima dei tempi moderni, perch la logica matematica fortunatamente ha fatto dei passi avanti e quindi arrivata a dei risultati molto concreti. Ebbene delle soluzioni che sono state proposte dai greci e dagli Scolastici soprattutto, perch queste sono le due scuole filosofiche che pi si sono interessate di questi argomenti, prima per

lappunto dei tempi moderni, la prima soluzione stata semplicemente quella di dire che le frasi paradossali erano cose senza senso, erano dei non sense, direbbero gli inglesi o senza

1. Non-senso 2. Uso e menzione 3. Linguaggio e metalinguaggio 4. Pi valori di veritsoluzioni del paradosso senso, come diremo noi in italiano, cio addirittura arrivarono a sostenere che la verit qualcosa di sottile, di evanescente, di sfuggente e che ci sono delle frasi e degli esempi, del tipo io non sono vero, io sto dicendo il falso, che sono per lappunto frasi che non possono essere ne vere ne false, ma per lunico motivo che non hanno nessun senso. Sono frasi che sembrano grammaticalmente corrette, sembrano fatte come le altre frasi e quindi dovrebbero a prima vista essere o vere o false, poi per c qualche cosa di nascosto, qualche germe che inficia la loro correttezza sintattica. C stato un tentativo differente di dire, bah bisogna stare attenti, perch qui si sta facendo una confusione tra quello che oggi noi chiameremo luso e la menzione, cio quando si dice che una frase vera, si sta parlando di un qualche cosa di diverso, si sta usando la frase, mentre invece la frase che dice di se stessa di non essere vera, non sta usando unaltra frase, perch lei stessa che lo sta dicendo e quindi c questo circolo vizioso e forse

dicevano gli scolastici potrebbe esserci la soluzione del paradosso in questa separazione fra queste due nozioni. Vedremo poi in seguito che, in realt, non qui il problema. Questa invece che una proposta Medioevale, una proposta Scolastica, pi vicina a quello che oggi noi diremo la vera soluzione del paradosso del mentitore, cio una distinzione tra linguaggio e meta-linguaggio. Qui bisogna che diciamo due parole su questi due concetti che sono veramente importanti: il linguaggio praticamente la lingua di cui si sta parlando e il metalinguaggio la lingua in cui noi parliamo del linguaggio. Il modo pi semplice di capire la differenza fra linguaggio e meta linguaggio supporre, per esempio, di stare imparando una lingua straniera, ad esempio linglese. Quando noi impariamo linglese, agli inizi ovviamente non cominciamo subito a parlare in inglese, si va a scuola e si comincia a dire, bah, linglese fatto cos, scritto in questo modo, ci sono queste regole

eccetera. Notate, stiamo imparando una lingua, che si chiama per lappunto il linguaggio dal p. di v. logico, ma ne stiamo parlando, la stiamo imparando in unaltra lingua che si chiama per lappunto il metalinguaggio. Nel caso dellesempio che ho appena fatto, cio di imparare una lingua straniera, la lingua straniera il linguaggio e litaliano in cui noi descriviamo la grammatica, la sintassi, la semantica eccetera, di questa lingua che non ancora conosciamo si chiama metalinguaggio, quindi questi due livelli. Ebbene, lidea di questa soluzione, di distinzione tra linguaggio e metalinguaggio appunto quella di dire: quando si dice che qualcosa vero o qualche cosa falso, si fa unaffermazione nel meta-linguaggio (italiano), mentre si sta parlando del linguaggio(inglese) e le frasi che dicono io non sono vera, fanno una confusione fra questi due livelli, perch mischiano i due livelli in uno solo. Dicono io non sono vera, ma io dovrei essere nel linguaggio

(inglese) e il fatto di dire vera, vuol dire che mi sto ponendo invece fuori dal linguaggio, mi sto ponendo nel metalinguaggio (italiano). Vedremo che questo precisamente uno dei tentativi di soluzione di Tarski. Un altro tentativo, a cui accenno soltanto, ma per dirvi che in realt la logica si sviluppata anche in direzioni differenti, quello di dire, bah, ci sono forse tanti valori di verit, il vero e il falso sono due prime approssimazioni, sono i pi importanti valori di verit che una frase pu avere, ma il fatto che ci siano delle antinomie, come quella appunto del mentitore, ci fa supporre che ci possono essere altri valori di verit, cio ci possono essere delle frasi che non possono essere ne vere e ne false e devono essere qualche cosa altro, cio questo anche un modo molto elegante di uscire dallimpasse che il paradosso del mentitore, ma pi in generale i paradossi provocano, dicendo appunto troppo restrittivo limitarsi a considerare soltanto verit e falsit, ci devono essere altri valori di verit e i paradossi sono precisamente delle frasi che hanno quegli altri valori di verit. Queste sono appunto alcune delle soluzioni, diciamo cos, classiche medioevali. Veniamo un po pi vicino a noi, questa una fotografia e questa la firma del famoso scrittore spagnolo Cervantes che scrisse per lappunto il Don Chisciote. Ebbene, in uno degli episodi del Don Chisciote, ad un certo punto Sancho Panza, che voi tutti ricorderete era il cavaliere, lo scudiero di Don Chisciote della Mancha, diventa governatore di una di una provincia della Spagna, il Barataria. Diventa governatore e come sempre succede ai governatori, gli si

presentano dei casi molto strani, in particolare un giorno arriva in tribunale un signore che dice: ad un certo punto ci siamo trovati, noi siamo dei militari, ci siamo trovati di fronte ad una situazione insostenibile perch siamo stati messi in origine di fronte ad un ponte, con lidea che possiamo far passare da questo ponte soltanto coloro che diconola verit e dobbiamo invece impiccare coloro che chiedono invece impiccare coloro che chiedono di passare il ponte che ci dicono il falso, quando ne chiediamo il motivo. Quindi in questo ponte possono passare i veritieri, coloro che dicono il vero, ma non possono passare i bugiardi, coloro che dicono il falso. Ebbene, succede dicono i militari, che un giorno arriva un signore, lo fermano, gli dicono: tu vuoi passare questo ponte, dici come mai vuoi passare questo ponte. Questo signore dice: sono venuto qui, voglio passare il ponte perch voglio farmi impiccare in base a questa legge ed ecco che di nuovo si riproduce il paradosso del mentitore. Se fosse vero che lui vuole farsi impiccare in base alla legge, starebbe dicendo il vero e dunque bisognerebbe farlo passare e viceversa. Allora Sancho Panza ha una sentenza molto salomonica. Dice, bah, evidentemente questo signore, una parte della frase che ha detto era vera, laltra parte era falsa, voi militari dovreste implicare la parte di questo signore che ha detto il falso e lasciare passare la parte di questo signore che invece ha detto il vero; naturalmente una soluzione un pochettino ironica, tipica appunto di questo romanzo, di questepoca. Bene, vediamo invece pi vicino a noi, perch in realt

stiamo facendo un corso di logica per lappunto e quindi vorremmo cercare di capire pi da vicino dove si situano i problemi. Ebbene, nel 1908 questo filosofo Grelling, non molto noto, noto soprattutto per questa riformulazione del paradosso del mentitore, scopr appunto che situazioni analoghe a quelle del paradosso del mentitore si trovano in tanti campi del sapere e in particolare si trovano addirittura anche nella linguistica, nella grammatica normale.

Grelling (1908) autologico: si riferisce a se stesso eterologico: non si riferisce a se stessoLui defin due aggettivi di cui non avete mai sentito parlare, perch appunto li ha definiti questo signor Grelling. Il primo aggettivo si chiama autologico e come dice la parola qualche cosa che si riferisce a se stesso. Quand che un aggettivo autologico? Quando si riferisce a se stesso. Per es. corto, beh, corto un aggettivo molto corto, quindi per lappunto un aggettivo autologico. Lungo, beh, lungo non pi lungo di corto, perch ha lo stesso numero di lettere, quindi certamente non si riferisce a se stesso e allora Grelling invent per questo tipo di aggettivi, come lungo, la parola eterologico, cio che non si riferisce a se stesso. Quindi ricordatevi autologico, un aggettivo che descrive una propriet che vera per se stessa e eterologico un aggettivo che descrive una propriet che invece non vera dellaggettivo stesso. Il problema che Grelling pose fu: eterologico come aggettivo

autologico o eterologico?

Eterologico : autologico? eterologico?Cio laggettivo eterologico, cio che non si riferisce a se stesso, si riferisce a se stesso oppure no? Ed chiaro che qui siamo di nuovo alle stesse solfe. Avrete capito che il paradosso del mentitore nasce sempre quando si tratta di parlare di un caso di vero e falso, in questo caso di riferirsi a se stesso oppure no. Si fa una frase oppure si costruisce un concetto, che anzitutto si riferisce a se stesso e che poi usano, nel caso della verit il falso e nel caso del riferirsi a se stesso usano leterologico, cio non riferirsi a se stesso. Potete fare come esercizio, se volete a casa, cercate di vedere se eterologico autologico o eterologico, ovviamente vi accorgerete che in tutti e due i casi non c possibilit di rispondere, perch se eterologico fosse autologico dovrebbe essere qualche cosa che si riferisce a se stesso e dunque dovrebbe appunto essere eterologico e dunque non riferirsi a se stesso e cos via. Quindi queste cose sembrano un po dei giochi di prestigio, dei giochi dequilibrio, ma fanno vedere come il paradosso del mentitore non ha niente a che vedere con la verit o con la falsit, si pu anche riformulare in un modo che appunto si riferisce soltanto alla grammatica. Andiamo avanti e qui vediamo un signore che stato uno dei pi grandi logici di questo secolo. Ho detto pi volte in altre edizioni che il pi grande logico del secolo e forse della storia stato questo Goedel, di cui

abbiamo gi accennato, ai cui teoremi abbiamo gi accennato, ma allo stesso livello o poco meno, diciamo cos, del livello di Goedel cera questo signore, Tarski, un logico polacco che emigr negli Stati Uniti e che nel 1936 fece uno dei grandi teoremi appunto della logica moderna,cio riusc a dare una definizione di verit. Di questa definizione di verit parleremo molto estesamente in una lezione che dedicheremo soltanto a Tarski, perch cercheremo di andare nei dettagli, di vedere com che

Tarski defin la verit, ma la cosa che cinteressa in questo momento da vicino che, questa definizione di verit, Tarski la diede ovviamente per i linguaggi formali, per i linguaggi della matematica, ma il grande teorema, il teorema importante di Tarski fu il seguente: il fatto che la verit, cos come lui la defin, non definibile nel linguaggio, ma soltanto nel metalinguaggio. Ricordate la distinzione che abbiamo fatto prima: il linguaggio quello nel quale parliamo (inglese) e il metalinguaggio il linguaggio nel quale parliamo del linguaggio (italiano), cio in qualche modo un livello superiore. Ebbene la definizione di verit di Tarski una definizione per la verit del linguaggio e nel caso del linguaggio della matematica, per esempio, dellaritmetica, Tarski diede una descrizione molto precisa, molto matematica, diciamo cos, senza assolutamente nessun problema filosofico.

La verit non definibile nel linguaggio, solo nel metalinguaggioPer il problema che, questa definizione di verit che viene data per il linguaggio, deve essere data nel metalinguaggio, cio in un linguaggio diverso; non possibile per una teoria matematica, che il linguaggio matematico sia in grado di dare la sua stessa definizione di verit. Come mai? Beh, non possibile proprio perch c il paradosso del mentitore, cio nel 1936 Tarski riscopre non il paradosso del mentitore, perch quello non era mai stato dimenticato,

ma scopre diciamo cos meglio, la possibilit di utilizzare il paradosso del mentitore allinterno della matematica. Trova una definizione di verit per il linguaggio e dimostra che, se questa definizione fosse esprimibile nel linguaggio stesso, allora sarebbe possibile derivare nel linguaggio il paradosso del mentitore e dunque ci sarebbe una contraddizione nella matematica; se noi invece supponiamo che la

matematica sia libera da contraddizioni, ossia quella che i logici chiamano consistente, ebbene in qualunque teoria consistente non possibile costruire nessun paradosso, in particolare il paradosso del mentitore e questo significa che non possibile dare la nozione di verit, la definizione di verit allinterno del metalinguaggio. Questa in realt una versione del teorema di Goedel, che dice che le teorie matematiche sono incomplete, sono limitate e questo tipo di limitazione che scopr Tarski proprio una limitazione che oggi chiameremo semantica. la limitazione del fatto di non poter parlare della propria verit allinterno del sistema. Quindi in pratica proprio la soluzione o perlomeno un uso moderno delle soluzioni medioevali a cui ho accennato poco fa, dicendo che appunto non si poteva pensare di risolvere il paradosso del mentitore, separando questi due livelli, cio il linguaggio e il metalinguaggio e dicendoio dico il falso

qualcosa che non si pu costruire, perch mi obbliga a stare nel linguaggio e dico il falso, mi obbliga invece a stare fuori, a stare nel metalinguaggio e queste due cose devono essere distinte, devono essere tenute separate. Il teorema di Tarski dimostra, per lappunto, che devono essere separate, perch esiste una definizione di verit, ma se questa definizione di verit del linguaggio fosse dentro il linguaggio ci sarebbe una contraddizione e allora deve stare fuori. Questo per appunto uno dei grandi risultati della logica moderna. Qui vediamo invece Bertrand Russell che fu insomma un famoso filosofo, come logico agli inizi del secolo sembrava che sarebbe stato destinato a diventare il pi importante, invece forse i suoi contributi non furono cos grandi, ma oggi ne parliamo per quanto riguarda il paradosso del mentitore, anche a lui dedicheremo una lezione molto pi in l, verso la fine del corso e quindi vedremo meglio quali sono stati i suoi contributi. Ebbene, Russell nel 1918 scopre questa riformulazione del paradosso del mentitore: consideriamo un barbiere in un villaggio che rade tutti e soli gli abitanti del villaggio che non si radono da soli, cio il villaggio piccolo, non c bisogno di pi di un barbiere comune, questo barbiere fa la barba a tutti gli abitanti del villaggio che non si fanno la barba da soli, ma soltanto a loro. Allora domanda che Russell pose : chi rade il barbiere? Ovviamente il barbiere non si pu radere da solo perch, per definizione, abbiamo appena detto che questo un barbiere, che fa la barba soltanto agli abitanti della

citt che non si fanno la barba da soli, quindi non se la pu fare lui. E allora non si rade, voi direte, eh, no, perch se lui non si rade, allora uno degli abitanti della citt che non si fanno la barba da soli, quindi deve andare dal barbiere, quindi deve

farsi la barba. Ed ecco che di nuovo, il solito trucco, il solito circolo vizioso viene scoperto in una forma molto diversa. Attenzione, questo non un paradosso, perch questo vuol soltanto dire che non c nessun barbiere di quel genere, non esiste un villaggio in cui ci sia un barbiere che rade tutti e soltanto gli abitanti della citt. Per possiamo avvicinarci un pochettino di pi e andare a scavare, diciamo cos meglio, sotto questo paradosso del mentitore nella forma del barbiere. Questa nuova riformulazione fu fatta nel 1947 da questo filosofo Reichenbach, un filosofo della scienza che non , ovviamente, questo signore, lavrete conosciuto, Kirk Douglas, il pap di Michel Douglas, che oggi forse pi famoso per i giovani. Questo un fotogramma di un

famoso film di Kubrick che si chiama orizzonti di gloria, un grande film antimilitarista degli anni 50, un bellissimo film, forse uno dei pi belli di Kubrick; ebbene, lo abbiamo messo qui soltanto perch Reichenbach diede una riformulazione del paradosso del mentitore nella forma di Russell del barbiere, parlando di barbieri della caserma. Che cos cambiato questa volta? E cambiato il fatto che quando si in caserma, qualcuno di voi avr fatto il militare, qualcuno di voi dovr farlo primo o poi, ebbene sapete tutti che in caserma, quando si danno gli ordini, agli ordini si deve obbedire e non si pu stare a questionare, a dire, mah, scusi il suo ordine non mi sembra un qualche cosa di logico, mi sembra contraddittorio, perch si finisce subito in galera e quindi bene non farlo. Allora la riformulazione data da Reichenbach del paradosso del barbiere, nella forma di Russell, la seguente: supponiamo di essere in caserma, supponiamo che questo signore con laria veramente burbera, stia dicendo a questo signore, che sempre un militare, tu devi radere tutti e soli i militari della caserma che non si radono da soli. Ora ci troviamo nella stessa situazione in cui ci eravamo trovati prima, parlando ovviamente di Russell, cio non sarebbe possibile per il militare radere tutti e soli i militari della caserma che non si radono da soli, perch c questo circolo vizioso, se lui non si rade, allora dovrebbe radersi e se invece si rade, allora non dovrebbe radersi. La differenza, quello che cambiato dal caso precedente, che il signore (qui appunto Kirk Douglas) ha dato un ordine e il militare non

pu rifiutarsi di obbedire; per lordine contraddittorio, quindi che cosa pu fare il povero militare? Ed ecco che stiamo scoprendo che lantinomia, diciamo cos, il paradosso del mentitore, che sembrava essere poi un giochetto di questi poveri greci, cretesi che dicevano tutti i cretesi mentono eccetera, in realt pu avere anche delle applicazioni nella vita quotidiana e in particolare possono esserci delle situazioni in cui qualcuno si trova, per lappunto, come questo povero soldato nella caserma, a dover ubbidire o a dover sottostare a degli ordini che sono contraddittori. Che cosa succede? Ebbene succedono delle cose purtroppo molto spiacevoli, perch come ci ha insegnato questo signore, vedete Gregory Bateson, uno dei grandi filosofi della fine della seconda met del secolo ventesimo, che ha spaziato in tanti campi, che ha scoperto che il paradosso del mentitore, sta alla base praticamente o i meccanismi che sottostanno al paradosso del mentitore, stanno alla base di alcune malattie mentali ed in particolare, guardate un po, c questa malattia che si chiama ebefrenia, forse pochi di voi la conoscono. L ebefrenia una fissazione sul linguaggio; molti di voi, io non posso dirlo perch stiamo registrando in televisione, ma molti di voi a volte avranno detto ai loro amici, ma vai, per esempio possiamo dare una versione edulcorata, ma vai a dormire; ebbene lebefrenico che ha questa malattia mentale, sente la frase del linguaggio, io gli dico vai a dormire e lui va a dormire, nel senso che non capisce che vai a dormire un modo cos, diciamo, obliquo di dirgli togliti dai

piedi. Crede che il linguaggio dica effettivamente quello che effettivamente il linguaggio dice in maniera aperta e c questa sensazione, cio lincapacit di capire che dietro il linguaggio, dietro il primo strato, dietro appunto laspetto linguistico, ci pu essere il metalinguaggio, ci pu essere un secondo significato e sentirsi dire vai a dormire, pu significare appunto semplicemente togliti dai piedi. C una malattia uguale e contraria che si chiama paranoia; la paranoia invece la fissazione sul metalinguaggio. Questa volta il paranoico invece cerca sempre un livello diverso delle cose che gli vengono dette e non riesce mai a capire che a volte le cose che gli vengono dette sono quelle che vengono dette; per esempio, se incontrate una signora o una signorina paranoica e le dite; oh, come sei bella questoggi, magari intendendolo, la signorina paranoica, ah, ho capito cosa vuoi dire, ecco mi stai dicendo che sono bella perch in realt hai visto che sono vecchia o cose del genere. Il paranoico fa questa cosa. Ed ecco che allora la distinzione fra linguaggio e meta-linguaggio che sembrava essere una distinzione innocua, praticamente, semplicemente linguistica e logica, in realt sta sotto per lappunto queste malattie e quindi si potrebbe dire un motto, in qualche modo sintetizzare il pensiero di Bateson in un motto, dicendo o si logici o si riesce a distinguere tra linguaggio e meta linguaggio o si patologici, cio si diventa dei malati mentali in qualche modo. Quindi lidea del paradosso del mentitore pu aiutare,

addirittura, secondo Bateson a superare queste malattie mentali, che non riescono a capire la differenza tra linguaggio e metalinguaggio e uno degli ordini che hanno reso famoso per lappunto Bateson nelle sue terapie con i malati mentali il seguente ordine: disobbedisci! Ora un malato che si trovi di fronte ad un ordine di questo genere, ma non soltanto malato, ma anche chiunque di noi, si troverebbe nei problemi. Come si fa a disobbedire, a obbedire ad un ordine che dice disobbedisci. Disobbedire significa non stare a seguire lordine che ti sto dicendo; se ti ordino per di disobbedire, allora se tu effettivamente mi disobbedisci, stai obbedendo e se invece obbedisci deve disobbedire e quindi c questo circolo vizioso. sembra, io non ho esperienza, fortunatamente di questi ambienti, per sembra che effettivamente questa terapia paradossale, questo tipo di ordini che cercano di rompere i circoli viziosi che si trovano a volte nelle malattie mentali, si possono effettivamente utilizzare per questo tipo di ordini, per lappunto, per spezzare la malattia e in qualche modo squilibrare lo squilibrato, cio per evitare che continui questa fissazione. Ebbene allora, abbiamo capito, credo che ci stiamo avvicinando per lo meno, alla comprensione del fatto che la verit e la menzogna non sono poi cose cos secondarie, non sono cose di cui si devono interessare soltanto i logici, soltanto i matematici o se volete, pi in generale, soltanto i filosofi; sono qualche cosa che hanno a che fare con la vita quotidiana. Ebbene, allora per finire, per arrivare pi vicini a noi, voglio farvi alcuni esempi di come effettivamente si

riesca anche nellarte, anche nella cultura, ad usare il paradosso del mentitore in maniera a volte abbastanza inaspettata. Noi non ce ne accorgiamo, ma una volta che noi siamo stati allertati, quindi forse anche voi dopo questa lezione, incomincerete a vedere che effettivamente verit e menzogna sono un pochettino ubique dappertutto, si trovano anche nella cultura pi in generale. Questo signore che molti di voi conosceranno, uno dei grandi scrittori di questo secolo, uno scrittore che ebbe dei grandi problemi a causa delle sue preferenze sessuali e del fatto che poi fin in galera, fin sotto processo ed Oscar Wilde. Ebbene, Oscar Wilde fece della menzogna addirittura una bandiera e una delle sue frasi celebri, Oscar Wilde era famoso per i suoi aforismi, una delle sue frasi pi celebri precisamente questa che la menzogna lo scopo dellarte. Ebbene, se voi ci pensate un momentino, effettivamente capite che larte in realt tutta fatta sulla menzogna. Quando voi guardate per esempio un dipinto o quando guardate anche soltanto una figura, una raffigurazione, una immagine, una fotografia, ebbene tutto questo menzogna. Qui si sta ponendo, sulla carta, diciamo cos, del

colore e questo colore, che una raffigurazione, dovrebbe in qualche modo indicare una persona, ecco la differenza fra il linguaggio e il metalinguaggio. Il linguaggio limmagine, la fotografia, il meta linguaggio il significato, Oscar Wilde stesso in questo caso. Ebbene, larte tutta basata su questo; pensate alla prospettiva per esempio, che un modo di distorcere le linee in maniera apposita, cos da far pensare, da far risultare limmagine che poi noi vediamo, come se fosse vera. Si mente per dire la verit, si disegnano le cose appositamente distorte in modo da farle apparire quasi

vere, di farle apparire proporzionali. Per esempio la famosa anamorfosi: voi andate a Roma a visitare la Cappella Sistina, ebbene ci che voi vedete dal basso della Cappella Sistina, queste meravigliose immagini di Michelangelo, vi appaiono in perfetta proporzione. Se avete visto alcuni dei filmati che sono stati fatti vedere quando vi era per esempio il restauro della basilica, ebbene se voi questi dipinti che stanno sulla volta della Cappella Sistina poteste vederli da vicino, vedreste che sono tutti distorti. Perch? Ma perch sono stati disegnati da Michelangelo per lappunto in modo distorto, cos che, coloro che li guardano dal di sotto, possono vederli come se fossero invece nelle proporzioni giuste. Quindi la menzogna effettivamente non soltanto una boutade, quello che diceva Wilde, cio la menzogna un po lo scopo, ma anche il linguaggio dellarte, cio larte parla attraverso queste menzogne. Un altro artista molto noto, questo signore dal sorriso molto simpatico, dalla risata simpatica che John Cage, il famoso musicista, famoso anche per alcune delle provocazioni pi grosse della musica, per esempio scrisse un pezzo per pianoforte che si chiamava 4 minuti e 33 secondi e questo pezzo in realt pi famoso come il silenzio, perch consisteva nel fatto di sedersi di fronte al pianoforte e non suonare nulla, non suonare nulla, perch Cage voleva farci capire che in realt il silenzio non esiste, quindi se unartista si pone di fronte ad un pianoforte e non suona assolutamente nulla, poi in realt si sentono lo stesso dei rumori, si sentono dei signori che tossiscono,

quelli che si muovono o magari luccellino che entrato dentro la sala da concerto e cos via, quindi lidea che il silenzio non c. Ma in parte Cage era anche lespressione di una poetica moderna, quella che lopera darte finita, che non c pi niente da dire. Ed una delle frasi pi famoso proprio questa non ho niente da dire e lo sto dicendo. Anche questa, una versione molto sottile del paradosso del mentitore, perch uno che non ha niente da dire dovrebbe star zitto e invece sta dicendo, per appunto di non aver niente da di e. Bene, siamo arrivati alla fine di questa nostra carrellata sul paradosso del mentitore e ritroviamo qua gi Pinocchio. Potremmo dire forse alla conclusione della nostra lezione che forse abbiamo capito che tutto menzogna. Per, attenzione, perch tutto menzogna una frase del tipo di quelle di Epimenide

tutti i cretesi mentono, perch se fosse vero che tutto menzogna, allora anche questa frase sarebbe vera e in particolare sarebbe falsa, perch tutto se falsa pu dire

che non menzogna, lei sarebbe falsa. Quindi non possibile che questa frase sia vera, allora deve essere falsa, ma se falsa allora vuol dire che non vero che tutto menzogna, vuol dire che ci sono alcune le verit. Quindi oggi abbiamo scoperto qualche cosa e questo per i logici certamente cimporta, perch abbiamo scoperto che ci sono delle verit e nel futuro cercheremo di avvicinarsi a queste verit, di scoprirne altre, comunque per questoggi abbiamo finito..

LEZIONE 3: Le gambe di AchilleSiete ormai stati introdotti nelle lezioni precedenti ad alcuni dei problemi della logica. La scorsa lezione, che stata la prima vera lezione di questo corso, abbiamo cercato di parlare di uno dei paradossi pi famosi, il paradosso del mentitore. Questoggi faremo una seconda lezione sui paradossi che, come ricorderete forse da alcune delle lezioni introduttive, sono stati uno dei motivi introduttori della logica, uno dei motivi che hanno spinto i logici filosofi ad interessarsi di questa materia, che per lappunto la logica, che poi sarebbe diventata la logica matematica. Se il paradosso del mentitore uno dei pi famosi paradossi della storia, il pi famoso di tutti, forse, quello di cui si vede qui il nome, cio Achille. Abbiamo intitolato come al solito la nostra lezione in maniera un po scherzosa, la scorsa volta era il naso di Pinocchio, per ricordare appunto la menzogna, che un po caratterizzata da Pinocchio e invece in questo caso siamo passati ad unaltra parte del corpo e questa volta le gambe, le gambe di Achille. Avete capito immediatamente che stiamo

cercando di parlare, stiamo cercando di introdurre, il discorso sul paradosso diZenone, i famosi paradossi di Zenone, uno dei quali, il pi famoso di tutti tra questi paradossi di Zenone, per lappunto quello che si chiama Achille e la tartaruga. Vediamo pi da vicino di cosa si tratta. Questo signore per lappunto Zenone o una statua che ricorda le fattezze di questo filosofo, che vissuto nel quinto secolo a. C. Scuola di Elea Vedete qui scritto sotto a Zenone, perch in realt Zenone non stato il fondatore di questa Scuola. Il vero fondatore della Scuola di Elea, la Scuola cosi detta Eleatica che si trovava vicino a Napoli, una delle grandi Scuole della Magna Grecia, era Parmenide. Parmenide aveva questa idea, che tutti forse ricorderanno dagli studi di filosofia, che per lui esisteva lessere e non il divenire. Il divenire era in qualche modo la filosofia di Eraclito e invece la filosofia di Parmenide era la filosofia dellessere, cio che tutto statico, niente succede, niente si muove e ci che noi pensiamo invece si muova, il movimento appunto, un illusione in qualche modo. E allora proprio per cercare di dare man forte al suo maestro Parmenide, Zenone il quale bisogna anche dire cos, in vena di aneddoto, non era soltanto discepolo, ma anche amante di Parmenide, quelli erano tempi un pochettino diversi e succedevano queste cose anche nelle scuole, ebbene Zenone cerc di inventare degli argomenti che poi sarebbero diventati quasi pi famosi addirittura degli argomenti del suo maestro Parmenide, a favore

dellessere. Questi argomenti Zenone li propose, questo era uno dei motivi per cui diventarono cos famosi, sotto form lle, lo abbiam a di paradossi. I paradossi sono delle storie o gi visto altre volte nella lezione s introduttiva e nella scorsa lezione, ono delle storielle che cercano di avere una morale nascosta; c un ragionamento che sembra corretto, per il sembra dovuta al fatto che in realt la conclusione paradossale, sembra quasi che non stia in piedi. Cerchiamo di vedere pi da vicino quali sono stati i paradossi per lappunto che Zenone ha introdotto nella filosofia. Sono tutti paradossi che si riferiscono al moto, perch come abbiamo appena ripetuto e appena ricordato, Parmenide era contrario a questa idea del moto. Lidea sua era che cera per lappunto questessere immobile; allora il primo paradosso di Zenone che ovviamente un paradosso, che non si pu partire. Come mai? Mah, supponete di essere in una certa posizione, in un certo punto della citt per esempio e di dover andare in un altra parte della citt.

Paradossi del moto: _non si pu partire _non si pu essere in viaggio _non si pu arrivarePotete partire? Evidentemente no, perch per partire questo significherebbe che dovette incominciare un viaggio che va dal punto di partenza al punto di arrivo, ma questo viaggio non si pu incominciare, perch prima di

andare dal punto di partenza al punto di arrivo dovete andare dal punto di partenza a met strada. Voi direte, va bene, questa met del mio viaggio, met del proposito che mi sono posto; per per arrivare dalla partenza a met della strada, dovete prima arrivare dalla partenza ad un quarto della strada e cos via ovviamente, perch questi paradossi si basano tutti su questo regresso allinfinito, su questo e cos via, su questi puntini che sono lasciati cos in sospensione. Allora, per andare dagli inizi alla fine, bisogna prima arrivare a met, bisogna prima arrivare ad un quarto, bisogna prima arrivare ad 1/8 e cos via, per distanze sempre pi piccole, il che significa che non si pu mai partire, perch bisognerebbe sempre percorrere una distanza ancora pi piccola di quella che si dice che serva per iniziare il viaggio. Bene, il secondo paradosso di Zenone che non si pu essere in viaggio. Questo il famoso paradosso della freccia. Come mai non si pu essere in viaggio? Ma perch, prendete per esempio una freccia che sta volando in cielo oppure unautomobile oggi, un aeroplano che sta volando nel cielo, le automobili oggi volano, in genere su autostrade ad una velocit che no n dovrebbe essere permessa, ebbene dicevo, se voi prendete una freccia o qualche cosa che si muova nello spazio e incominciate a fare delle fotografie di questa freccia, vedete che la freccia ferma, in qualunque momento del suo motto, in qualunque momento del suo viaggio la freccia sta ferma. E allora il paradosso : com possibile essere in viaggio, se il viaggio consiste di una serie infinita di momenti in ciascuno dei quali si sta fermi,

cio il paradosso sta appunto in questa paradossale commistione; da una parte il fatto che c un movimento, tutti sappiamo che effettivamente ci si muove da una parte allaltra e dallaltra parte invece c questa assurdit che sembra che il moto sia fatto invece di tanti istanti in ciascuno dei quali noi siamo fermi, cio il moto fatto di tante fermezze, per cos dire. Oggi chiaro che soprattutto questo secondo paradosso di Zenone poco convincente, perch noi siamo abituati, tutti noi abbiamo avuto forse delle cineprese e soprattutto quelle vecchie cineprese in cui si metteva una pellicola; oggi si fanno le cose diversamente, in maniera digitale, ma quando cera la pellicola, la pellicola era fatta di una serie di fotogrammi ed era proprio basata su questo trucco, cio in altre parole il cinematografo era una incarnazione del paradosso di Zenone, nel senso che si faceva una serie di fotogrammi, una serie di fotografie, ciascuna delle quali statiche, perch la

fotografia in qualche modo congela il movimento e poi

facendo percorrere, facendo vedere velocemente queste fotografie in successione una dietro laltra, si creava unillusione di movimento, ma proprio questo voleva dire sia Parmenide che Zenone, che il movimento un illusione, perch noi in realt siamo sempre fermi e ci sembra che sia noi che gli altri ci muoviamo, ma in realt se andiamo a vedere lessenza di questo movimento, se andiamo a vedere gli istanti di cui questo movimento si compone, ci accorgiamo che non siamo mai movimento. Quindi questo secondo paradosso dice che non soltanto non si pu partire, ma non si pu nemmeno essere in viaggio e il terzo simmetrico a questo qui ovviamente, cio non si pu nemmeno arrivare, come mai? Beh, largomento ovviamente simmetrico a quello per cui non si pu partire. Se dovete partire da un certo punto e arrivare ad una certa met, prima di arrivare a quella meta, dovete percorrere la prima met della strada, questo lo stesso inizio che abbiamo gia usato nel primo paradosso, quando siete a met della strada, dovete ancora percorrere la seconda met, ma prima di fare lintera seconda met, dovete fare la sua met, cio un quarto, poi dovete fare 1/8, poi dovete fare 1/16 e cos via e non arriverete mai alla vostra meta. Questo praticamente in sintesi, diciamo cos, il succo dei paradossi di Zenone sul moto. Il moto impossibile perch non possibile partire, non possibile arrivare e non possibile essere in moto e quindi insomma non ci pu assolutamente muoversi. Naturalmente, come ho detto, questi paradossi sono

convincenti fino ad un certo punto, perch coloro che non credono che la vita in generale e il movimento pi in particolare siano unillusione, magari qualcuno ci crede, ad esempio altre filosofie, altre culture per esempio quelle orientali, effettivamente sono pi vicine a questi tipi di atteggiamenti, ma noi che siamo occidentali, non crediamo che la vita sia una di unillusione, non crediamo che il movimento sia una unillusione e dunque prendiamo questi paradossi di Zenone o i paradossi pi in generale della scuola di Elea come delle contraddizioni. Ci devessere qualche cos