2002-2012 Единый государственный экзамен ЕГЭ

Единый государственный экзамен 2002 Математика 11 кл. (1 − 1 / 30)

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант

Инструкция по выполнению работы

На выполнение экзаменационной работы по математике дается 3 часа (180 минут). В работе 25 заданий. Они расположены по нарастанию трудности и распределены на 3 части.

Часть 1 содержит 13 более простых заданий по материалу курса "Ал-гебры и начал анализа". К каждому из них даны 4 варианта ответа, из которых только один верный.

Часть 2 содержит 9 более сложных заданий по материалу курса «Алгеб-ры и начал анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии девятилетней и средней школы. При их выполнении требуется за-писать только полученный ответ.

Часть 3 содержит 3 наиболее сложных задания, при выполнении которых требуется записать полное решение.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас оста-нется время, то можно вернуться к пропущенным заданиям.

Для получения отметки "3" достаточно выполнить верно любые 7 зада-ний из всей работы.

Для получения отметки "4" достаточно выполнить определенное число заданий из Частей 1 и 2.

Для получения отметки "5" необходимо выполнять задания из Частей 1,2 и 3, при этом не требуется решить все задания работы, но среди верно выпол-ненных Вами заданий должно быть хотя бы одно из Части 3.

За верное выполнение различных по сложности заданий дается один или более баллов. Сумма баллов, полученная Вами за все выполненные задания, выставляется в сертификат, который может быть использован при поступлении в вуз. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно большее количество баллов.

Приступайте к выполнению работы.

Желаем успеха!

© 2002 Министерство образования Российской Федерации Копирование и распространение без письменного разрешения Минобразования РФ не допускается


Часть 1

При выполнении заданий этой части укажите в бланке ответов цифру, которая обозначает выбранный Вами ответ, поставив знак « х » в соот-ветствующей клеточке бланка для каждого задания (А1-А13).

А1. Упростите выражение 3

341

22535 ⋅ .

1) 31

1211

35−

⋅ 2) 35121

⋅ 3) 31

125

35−−

⋅ 4) 31

125

35 ⋅



А2. Найдите значение выражения 31

32

31

31

32 у

уухх

ух+

++

−, если х = 27, у = 25.

1) 31

53− 2) 3 3) 9 4) 32

53+



А3. Вычислите: . 5log204,0log 22 +

1) 0 2) 3 3) – 1 4) log25



А4. Упростите выражение αα+α+π

+αα 2coscos)2

cos(2sinsin .

1) 0 2) 2cosα 3) cosα + sinα 4) cosα − sinα



А5. Укажите промежуток которому принадлежит корень уравнения

481 1х5,0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

.

1) [− 3; − 1) 2) [− 1; 1) 3) [1; 3) 4) [3; 5)



А6. Решите неравенство 1)x5,02(log 5,0 −≥− .

1) [0; 4) 2) (− ∞; 0] 3) (4; + ∞) 4) (4; 6]



А7. Найдите область определения функции 15у 3х2 −= − .

1) (1,5; + ∞) 2) [2; + ∞) 3) [1,5; + ∞) 4) [5; + ∞) А8. Функция у = р(х) задана графиком на отрезке [– 4; 2]. Найдите область ее значений.

0x

y

1

1

-1-1-4 2

y = p(x)

1) [− 4; 2]

2) [− 2; 0]

3) [− 2; 4]

4) [− 2; 1]



А9. Укажите график нечетной функции.

1)

0x

y

1

1

-1-1

2)

0 x

y

11-1

-1

3)

0x

y

1

1

-1-1

4)

x

y

1

1

-1-1

0



А10. На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1.

1)

0 11

y

xa

y=f(x)

-1

2)

01

1

y

xa

y=g(x)

-1

3)

0 1

1

y

xa

y=h(x)

-1

4)

011

y

xa

y=p(x) -1

-1



А11. Найдите значение производной функции х18ху −

= в точке 3х0 −= .

1) 2 2) 0 3) − 2 4) − 3



А12. Укажите первообразную функции xsin2)x(f −= .

1) F(x) = 2x – cosx

2) F(x) = x2 + cos x

3) F(x) = 2x + cosx

4) F(x) = 2 + cosx



А13. Найдите корень уравнения sin2x – 4cosx = 0 , принадлежащий отрезку [2π; 3π].

1) 3

7π 2)

25π

3)

49π

4)

613π



Часть 2

Ответом на каждое задание этой части будет некоторое число. Это чис-ло надо записать в бланк ответов рядом с номером задания (В1-В9), начи-ная с первой клеточки. Каждую цифру пишите в отдельной клеточке. Еди-ницы измерений писать не нужно. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо округлить до ближайшего целого числа.

В1. Найдите минимум функции f(x) = 31 x3 +

21

x2 – 21

x4 .



В2. Вычислите площадь фигуры, расположенной в первой координатной чет-

верти и ограниченной линиями y = 2 3 х , y = x.



В3. Сколько решений имеет уравнение ?0x1)xsinx(cos 222 =−−



В4. При каком наименьшем значении параметра а функция

xxx31f(x) 23 a+−= возрастает на всей числовой прямой?



В5. Пусть (x0; y0) – решение системы уравнений ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−

=−−

.1у4х

,0у2 2х

Найдите произведение x0 ⋅ y0.



В6. Найдите значение выражения )32(arcsinctg52 .



В7. Найдите наименьшее значение функции )x(4logg(x) 2

41

−=



В8. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в

него и описанной около него окружностей равны соответственно 2м и 5м.



В9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1BB1C1D1 АВ = 6 м, ВС = 8 м,

911,6ВВ1 = м. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой АС и содержащей прямую . 1ВА



Часть 3 Для ответов на задания этой части используйте специальный бланк. За-пишите сначала номер задания (С1 и т.д.), а затем запишите полное ре-шение. С1. Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значений

функции

f(x) = 2

23xcosxsinlog16161

++ .



С2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение

x3 + 5x2 + ax + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен – 2.



С3. При каком x ∈ {1, 2, 3, …, 98, 99} значение выражения

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

+2x

x1:22x

xx21:

2x21

x2x

ближе всего к 73?



Инструкция по проверке и оценке работ учащихся по математике

В экзаменационной работе используются три типа заданий. Задание Части

1 (с выбором ответа) считается выполненным верно, если в «Бланке ответов» отмечена цифра, которой обозначен верный ответ. Верный ответ в заданиях Части 2 (с кратким ответом) – некоторое число. Такое задание считается вы-полненным верно, если в «Бланке ответов» записано именно это число. Про-верка выполнения этих двух типов заданий осуществляется с помощью ком-пьютера. За каждое верно выполненное задание выставляется 1 балл.

Приведем перечень ответов к заданиям Частей 1 и 2 демонстрационного варианта.

Часть 1

Номер задания А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 А11 А12 А13Номер ответа 3 2 1 4 2 1 3 4 4 3 1 3 2

Часть 2

Номер задания В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 Верный ответ 0 2 4 1 2 5 – 1 24 80



Часть 3

Выполнение заданий Части 3 (с развернутым ответом) оценивается экс-пертной комиссией. На основе критериев, представленных в приведенной ниже таблице, за выполнение каждого задания выставляется от 0 до 4 баллов. Оценка в баллах

Критерии оценки выполнения заданий с развернутыми ответами.

4 Приведена верная, логически правильная последовательность шагов ре-шения. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены безоши-бочно. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, полу-чен верный ответ.

3 Приведена верная, логически правильная последовательность шагов ре-шения. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены безоши-бочно. Возможны 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях или преобра-зованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. При этом возможен неверный ответ.

2 Приведена верная, логически правильная последовательность шагов ре-шения. Обоснованы только некоторые ключевые моменты решения. Возможны негрубые ошибки в чертежах, рисунках, схемах, приведенных в решении. Возможны 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях или преобра-зованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. При этом возможен неверный ответ.

1 При верной последовательности хода решения отсутствуют некоторые этапы решения. Большинство ключевых моментов решения не обосновано. Возможны ошибки в чертежах, рисунках, схемах, приведенных в реше-нии. Возможны 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях или преобразованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода ре-шения. При этом возможен неверный ответ.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют указанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

Приведем варианты развернутых ответов к заданиям Части 3.



С1. Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству значе-ний функции

f(x) = 2

23xcosxsinlog16

161

++.

Р е ш е н и е.

Так как sinx + cosx = 2 sin(x+4π

), то множество значений этой суммы есть

отрезок [– 2 ; 2 ]. Значит, множество значений числителя дроби – это отрезок [2 2 ; 4 2 ], а для всей дроби – это отрезок [2;4]. Так как функция xlogy

161=

является монотонно убывающей и непрерывной, то множество значений дан-ной функции – это отрезок [16 2log16;4log

161

161 ]. Вычислив значения логарифмов,

получаем , что множеством значений функции f(x) является отрезок [– 8; – 4]. Этому отрезку принадлежат ровно пять целых чисел: – 8; – 7; – 6; – 5; – 4. Ответ: 5.



С2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение

x3 + 5x2 + ax + b = 0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен – 2.

Р е ш е н и е. 1) Подставим х = – 2 в левую часть уравнения. –8 + 20 – 2а + b = 0 ⇒ b = 2a – 12. 2) Так как х = – 2 является корнем, то в левой части уравнения можно вынести общий множитель x + 2. Производим тождественные преобразования, выде-ляя общий множитель (x + 2), x3 + 5x2 + ax + b = x3 + 2x2 + 3x2 + ax + (2a – 12) = x2(x + 2) + 3x(x + 2) – 6x + ax + (2a – 12) = x2(x + 2) + 3x(x + 2) + (a – 6)(x + 2) – 2(a – 6) + (2a – 12) = = (x2 + 3x + (a – 6))(x + 2). 3) По условию имеется еще два корня уравнения. Значит, дискриминант перво-го сомножителя положителен.

D = (–3)3 – 4(a – 6) = 33 – 4a > 0 ⇒ a < 8,25. 4) Подставим а = 8 в исходное уравнение

x3 + 5x2 + ax + b = x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x2 + 3x + 2)( х + 2) = (х + 1)(х + 2)2

Тогда уравнение имеет только два различных корня. Подставим а = 7 в исход-ное уравнение

x3 + 5x2 + ax + b = x3 + 5x2 + 7x + 2 = (x2 + 3x + 1)(х + 2) У первого сомножителя корни различны, так как дискриминант D = (–3)2 – 4 = 5 > 0 . Эти корни – иррациональные, так как иррационален 5 . Значит, у уравнения есть три различных корня. Ответ: 7.



С3. При каком x ∈ {1, 2, 3, …, 98, 99} значение выражения

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

+2x

x1:2

2xx

x2

1:2x

21

x2x

ближе всего к 73? Р е ш е н и е. После тождественных преобразований данного выражения, учитывая, что х принимает только натуральные значения, получаем

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−

+2x

x1:22x

xx21:

2x21

x2x =

=x2x

2xx)2x(x2)2x(

)2x(x)2x(xx)2x(

++

+⋅

++−+

+⋅

+

−+ =

=x2x

2x)x2x(

x)2x(2 ++

+⋅

−+

−+ =

= 2

)2x(xx1

2)x2x(2x

x2x2x ++

+=+++

=−+

+.

Оценим подкоренное выражение x(x + 2) сверху и снизу. Так как x2 < x(x + 2) < (x + 1)2, то

1 + 2

xx + <

2)2x(xx

1++

+ < 1 + 2

1xx ++

Значит, исходное выражение больше, чем 1 + x и меньше, чем 1 + x + 0,5. По-этому, при x = 72 значение этого выражения в интервале (73; 73,5). При х ≥ 73 все значения этого выражения больше 74, а при x ≤ 71 все значе-ния меньше 72,5. Ответ: 72.


Единый государственный экзамен 2003 Математика, 11 кл. (1 - 1 )

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант 2003 г.

Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240

минут). В работе 30 заданий. Они распределены на 3 части. Часть 1 содержит 16 заданий (А1 – А16) обязательного уровня по материа-

лу курса "Алгебра и начала анализа" 10-11 классов. К каждому из них даны 4 ва-рианта ответа, из которых только один верный. При выполнении задания в «бланке ответов» надо указать номер выбранного ответа.

Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В1 – В10) по материалу кур-са «Алгебра и начала анализа» 10 – 11 классов, а также различных разделов кур-сов алгебры и геометрии основной и средней школы. При их выполнении в «бланке ответов» надо записать только полученный ответ.

Часть 3 содержит 3 самых сложных алгебраических задания (С1, С2, С4) и одно – геометрическое (С3), при выполнении которых требуется записать пол-ное решение.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для эко-номии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и пе-реходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас останется время, то можно вернуться к пропущенным заданиям.

Для получения отметки "3" достаточно верно выполнить любые 8 заданий из Части 1 или из всей работы.

Для получения отметки "4" достаточно верно выполнить определенное число заданий из Частей 1 и 2. Для получения отметки «4» недостаточно верно выполнить даже все задания (А1 – А16) только Части 1.

Для получения отметки "5" необходимо выполнить определенное число заданий из Частей 1, 2 и 3. Не требуется решить все задания работы, но среди верно выполненных Вами заданий должно быть хотя бы одно из Части 3. При этом для получения отметки «5» недостаточно верно выполнить даже все зада-ния (С1 – С4) только Части 3.

За верное выполнение различных по сложности заданий дается один или более баллов. Баллы, полученные Вами за все выполненные задания, суммиру-ются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно большее количество баллов.

Желаем вам успеха! © 2002 Министерство образования Российской Федерации

Копирование и распространение без письменного разрешения Минобразования РФ не допускается


Часть 1

При выполнении заданий этой части укажите в бланке ответов циф-ру, которая обозначает выбранный Вами ответ, поставив знак «×» в соответствующей клеточке бланка для каждого задания А1-А16. Найдите значение выражения

6 при 2cos2

2 cos22sin2 22 π

=αα+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−π

+α .

A1

1) 0 2) 32 + 3) 3 4) 32 −



Упростите выражение 3

213

21

9−

⋅

mmm

. A2

1) 79m 2) m9 3) 9 4) 6

9m



Сократите дробь 3 23 2

33

yx

yx

−

+. A3

1) 33 yx − 2) 33

1yx −

3) yx −1

4) yx +



Найдите значение 5. log если , )9(log 33 =bb A4

1) – 8 2) 10 3) 7 4) 25



Решите уравнение 23

2cos =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +π

x . A5

1) ( ) Znnn ∈+− − ,ππ6

1 1 2) Znn ∈+± ,ππ 23

3) ( ) Znnn ∈+− − ,ππ3

1 1 4) ( ) Znnn ∈+− ,ππ3

1



© 2003 Министерство образования Российской Федерации

)Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

. ( ) ( xx 3log1log 22 =+A6

1) ( )1 ; −∞− 2) ( )0 ;1− 3) [ ]0 ;1− 4) ( )∞+ ;0



A7

Решите неравенство 015 32 ≥−− х .

1) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞−

32

; 2) ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ ∞−

32

; 3) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞+ ;

32

4) ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞+ ;32



Решите неравенство 02

)3(≥

−+x

xx. A8

1) ( ]3;−∞− ( )∞+∪ ;2 2) [ )2;3− 3) ( )3;−∞− [ )2;0∪ 4) ( ]3; −∞− [ )2;0∪



Укажите промежуток, которому принадлежат нули функции

xxxf −−= 234)( . A9

1) [-1; 1) 2) [ 2;1 ] 3) ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡− 1;

34 4) ( 2;2 ]



Функция у = f(x) задана на промежутке [–6; 4]. Укажите промежуток, ко-торому принадлежат все точки экстремума.

A10

0 4 x

y

– 6

y=f(x) 1) [– 6; 0] 2) [0; 4] 3) [– 2; 3] 4) [– 3; 1]



Найдите область определения функции ( )2

3,0log xxy −= . A11

1) [ ]1 ;0 2) ( )1 ;0 3) );1()0;( ∞+∪−∞ 4) ( ] [ )∞+∪∞− ;10 ;



Найдите множество значений функции 2sin += xу . A12

1) [– 1; 1] 2) [0; 2] 3) [1; 3] 4) [2; 3]



Укажите график функции, заданной формулой . ху 5,0=A13


1)

0

y

1 x1

2)

0

y

1 x

1

3) 4)

x11

y

0x1

1

y

0



A14


1Найдите значение производной функции в точке . xexy ⋅= 0 =х 1) 2e 2) e 3) 1 + e 4) 2 + e



Для функции xу cos2= найдите первообразную, график которой прохо-

дит через точку М ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π 24;

2.

A15

1) 24sin2 += xY 2) 22sin2 += xY 3) 26sin2 +−= xY 4) 22cos2 += xY



При движении тела по прямой расстояние S ( в метрах) от начальной точ-

ки движения изменяется по закону S(t) =

A16

13

23

−+− ttt

(t – время движения

в секундах). Найдите скорость (м/с) тела через 4 секунды после начала движения.

1) 1,75 2) 7,5 3) 3 4) 9



Часть 2 Ответом на каждое задание этой части будет некоторое число. Это число надо записать в бланк ответов рядом с номером задания (В1 - В10), начиная с первой клеточки. Каждую цифру и знак минус отрицательного числа пишите в отдельной клеточке. Единицы измерений писать не нужно. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо округлить до ближайшего целого числа.

В1

Пусть (х0; у0) - решение системы ⎪⎩

⎪⎨⎧

− 325у

.=+

=++−.011

,410 2

хухх

Найдите произведение 00 ух ⋅


Единый государственный экзамен 2003 Математика, 11 кл.


(1 - 19 )

Функция у = f (x) задана на отрезке [a; b]. На рисунке изображен график

В2

0 ab

x

y

y = f ′(x)ее производной у = f ′(x). Исследуйте на монотонность функцию у = f (x). В ответе укажите количество промежутков, на которых функция возрастает.


Найдите значение выражения ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ππ 3

2

2log ba , если ,3log =π a 5log =π b . В3



В4

Найдите наименьшее значение функции 3 7sin2coscos2sin −+= xxxxy .



Пусть 0x – наименьший положительный корень уравнения В5

.02cossin5cos2 =+⋅− xxx Найдите 0tgx .



При каком значении a функция 22

2 7

x

ax

y+

= имеет максимум при ?4=x В6



Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала равна первоначальной?

В7

(Знак % в ответе не пишите).




2Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288 м . Приобретая опыт, студенты в каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2м больше, чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобится еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 коробки хватает на 1,2 м пола, а для замены некачественных плиток понадобится 3 коробки?

2

2

В8



Дана призма АВСDА1В1С1D1, в основании которой лежит квадрат, а боко-вые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Отрезок D1A перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрез-ка, если площадь боковой поверхности призмы равна 6 ( )23 + .

В9



В10

Площадь треугольника АВС равна 20 3 . Найдите АС, если сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 5.



Часть 3

Для записи ответов на задания этой части (С1 – С4) используйте спе-циальный бланк. Запишите сначала номер задания (С1 и т.д.), а затем полное решение.

С1

Решите уравнение .33

22

3log5

6log2 1212 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

xxxx



С2

При каких значениях параметра n уравнение 110201015 +⋅−=−⋅ xx nn не имеет корней?



С3

Основание пирамиды МАВСD – ромб АВСD, в котором ∠А = 60°. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны. Плоскость α , параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту МО пи-рамиды в точке Р так, что 3:2РО:МР = . В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью . Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен

α39π .



Найдите все положительные значения параметра a, при которых в области определения функции

С4

( ) 5,02 −+− axx a= ay есть двузначные натуральные числа, но нет ни одного трехзначного натурального числа.



Ответы к заданиям Части 1 Задание А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 А8 А9 А10 Номер ответа 3 1 2 3 3 4 2 4 2 4

Задание А11 А12 А13 А14 А15 А16 Номер ответа 2 3 4 1 2 4

Ответы к заданиям Части 2 Задание В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 Ответ 20 2 7 -2 1 8 20 124 3 14



Ответы к заданиям Части 3 Задание С1 С2 С3 С4 Ответ 6; 11 [–20; –1,5] 250 ],;,( 98080 За выполнение каждого задания Части 3 можно получить от 0 до 4 баллов. Ниже в таблице приведены общие критерии оценки выполнения математических зада-ний с развернутыми ответами. Оценка в баллах

Общие критерии оценки выполнения математических заданий с развернутыми ответами

4 Приведена верная последовательность всех шагов решения. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены без-ошибочно. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен вер-ный ответ.

3 Приведена верная последовательность всех шагов решения. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены без-ошибочно. Возможны 1 описка и/или негрубая ошибка в вычислениях или преоб-разованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки возможен неверный ответ.

2 Приведена в целом верная последовательность шагов решения. Обоснованы не все ключевые моменты решения. Возможны негрубые ошибки в чертежах, рисунках, схемах, приведен-ных в решении. Возможны 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях или преоб-разованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. При этом возможен неверный ответ.

1 Общая идея, способ решения верные, но не выполнены некоторые эта-пы решения или решение не завершено. Большинство ключевых моментов не обосновано или имеются невер-ные обоснования. Возможны ошибки в чертежах, схемах, приведенных в решении. Имеются негрубые ошибки в вычислениях и/или преобразованиях. В результате этого возможен неверный ответ.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным кри-териям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.


Единый государственный экзамен, 2004 г. Математика, 11 кл. (2004 - 1 )

«УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Департамента

общего и дошкольного образования Минобразования России

_______________________________ А.В.Баранников

«_______» ________________________ 2003 г.

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Демонстрационный вариант 2004 г.


На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин).

В работе 27 заданий. Они распределены на 3 части. Часть 1 содержит 14 заданий (А1 – А14) обязательного уровня по

материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому из них даны 4 варианта ответа, из которых только один верный.

Часть 2 содержит 9 более сложных заданий (В1 – В9) по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы.

Часть 3 содержит 4 самых сложных задания, три – алгебраических (С1, С2, С4) и одно – геометрическое (С3), при их выполнении требуется записать полное решение.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у вас останется время, то можно вернуться к пропущенным заданиям.

За выполнение работы выставляются две оценки: аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов выставляется по пятибалльной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение четырех заданий (В7, В8, В9, С3). В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой.

Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе баллов, полученных за выполнение всех заданий работы.

За верное выполнение различных по сложности заданий дается один или более баллов. Баллы, полученные вами за все выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать как можно большее количество баллов.

При выполнении работы вы можете пользоваться справочным материалом, который приведен ниже.

© 2004 Министерство образования Российской Федерации Желаем успеха!

Копирование и распространение без письменного разрешения Минобразования России не допускается


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

0 6π

4π

3π

2π

sinα 0 21

22

23 1

cosα 1 23

22

21 0

tgα 0 33 1 3

не существует

Формулы сложения: ( ) yxyxyx sincoscossinsin ⋅+⋅=+

( ) yxyxyx sinsincoscoscos ⋅−⋅=+

Формула перехода к новому основанию:

a

xx

c

ca log

loglog = ,

( xca ,, – положительные числа, 1,1 ≠≠ ca )

Производная сложной функции: ( )( ) ( bkxfkbkxf +′= )′+

Формулы площади треугольника:

( ) rcbaS ++=21

RabcS4

=

( – стороны треугольника, cba ,, r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности)

Площадь боковой поверхности конуса:

lRS π= Объем конуса:

HRV 231π=

( R – радиус основания, l – длина образующей, H – высота)

Площадь сферы:

24 RS π= .

Объем шара: 3

34 RV π= .

© 2004 Министерство образования Российской Федерации Копирование и распространение без письменного разрешения Минобразования России не допускается


ЧАСТЬ 1

При выполнении заданий части 1 в бланке ответов №1 под номером выполняемого вами задания (А1 – А14) поставьте знак «×» в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

Вычислите: 25,02523

− . A1

1) 37,25 2) 14,75 3) 124,75 4) 26,25



Упростите выражение 6sin3cos3 22 −+ xx . A2

1) 1 2) – 5 3) 3 4) – 3



A3

Упростите выражение 4 8625m .

1) 225m 2) 25m 3) 225m− 4) 25m−



A4

Найдите значение выражения . 53,02log 3,0 −

1) – 4,91 2) – 4,7 3) – 4 4) – 3



Укажите промежуток, содержащий корень уравнения . 497 65 =+хA5

1) )1;4[ −− 2) ]0;1[− 3) (0; 2) 4) ]9;5[



A6

Какому промежутку принадлежит корень уравнения

? 5log3log)8(log 222 +=+x

1) (−8; −5] 2) (−1; 3) 3) (3; 5) 4) [5; 8]



Укажите график функции, возрастающей на отрезке [−3; 2]. A7

1)

1

y

0 x1

2)

3)

1

y

0 x 1

4)

1

y

0 x 1

1

y

0 x 1



Укажите множество решений неравенства ( )( ) 06

232≤

−+−

хxx . A8

1) )6;5,1[]2;( ∪−−∞ 2) )6;2[]5,1;( ∪−−∞

3) )6;3[]2;( ∪−−∞ 4) );6(]5,1;2[ ∞+∪−



Вычислите значение производной функции у = sin x – 2х в точке х0 = 0. A9

1) 1 2) 0 3) –3 4) –1



A10

Найдите область определения функции 6 7,0log1 xy −= .

1) [0,7; +∞) 2) (0; 0,7] 3) (–∞; 0,7] 4) (0,7; +∞)



A11

Найдите множество значений функции у = 6х –12. 1) (0; +∞) 2) (–12; +∞) 3) [–12; +∞) 4) (–∞; – 12)



Решите уравнение 212cos −=x . A12

1) ( ) Znnn ∈π+π

− ,3

1 2) Znn ∈π+π

± ,3

3) Znn ∈π+π ,3

4) Znn ∈π+π

± ,23



A13


fy =На рисунке изображен график функции

. Какому из следующих промежутков принадлежит корень уравнения

( )x( ) 4=xf ?

x

y

0 1

1

1) (– 6; –4) 2) (5; 7)

3) (– 2; 0) 4) (0; 2)



A14


2хЧерез точку графика функции у = ех – с абсциссой х0 = 1 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

1) e – 2 2) – 1 3) e – 1 4) – 2



ЧАСТЬ 2 Ответом на каждое задание этой части должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера задания (В1 – В9), начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке строго по образцу из верхней части бланка. Единицы измерений писать не нужно.

Найдите значение выражения ( )°°−°°° 50sin65cos65sin50cos15cos . В1



Найдите сумму корней уравнения 4 185)273( 2922 +−− xх = 0. В2




8y =Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями ,6 2xx −21

=x ,

0,1 == yx

В3




( )xfy =

x

y

0 1

1

y = f ′(x) Функция определена на промежутке (–3; 7). График ее производной изображен на рисунке. Укажите число точек минимума функции ( )xfy = на промежутке (–3; 7).

В4



Найдите наибольшее значение функции ххy32

40

+= на промежутке [1; 7]. В5



В6

Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции у = )32ln( −− xх .

.



Планируя выпуск нового электронного прибора, экономисты предприятия определили, что в первый месяц может быть изготовлено 200 приборов. Далее предполагалось ежемесячно увеличивать выпуск на 20 изделий. За сколько месяцев предприятие сможет изготовить по этому плану 11000 приборов?

* В7



Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 45°, а площадь боковой поверхности равна

* В8 236 . Найдите объем

пирамиды.



* В9

В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 324 , вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.



ЧАСТЬ 3

Для записи ответов на задания этой части (С1 – С4) используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер задания (С1 и т.д.), а затем полное решение.

Решите систему уравнений ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−−

=+−

.0)8(log)5,13(log5,0

,0)132(log

42

9,0

xxy

xy С1



С2

Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.



* С3

Сфера радиуса 2 касается плоскости в точке А. В этой же плоскости лежит основание конуса. Прямая, проходящая через центр основания конуса (точку С) и точку сферы, диаметрально противоположную точке А, проходит через точку М. Точка М является точкой касания сферы и конуса (их единственная общая точка). Найдите высоту конуса, если АC = 1.



С4


aНайдите все значения параметра , при которых множество решений неравенства )11)(1()2( + − −≤− xaxx содержит все члены некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаменателем.



Ответы к заданиям демонстрационного варианта по математике.

Часть 1

№ задания Ответ № задания Ответ А1 3 А8 1 А2 4 А9 4 А3 2 А10 1 А4 4 А11 2 А5 2 А12 2 А6 4 А13 2 А7 3 А14 1

Часть 2

№ задания Ответ В1 0,25 В2 0,4 В3 1,25 В4 2 В5 8 В6 12 В7 25 B8 36 B9 3

Часть 3

№ задания Ответ С1 (0,5; 0,75) С2 22/3 С3 4/15 С4 ]7,0;( ∞ −




ОБЩИЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ

Решения заданий С1 – С4 Части 3 (с развернутым ответом) оценивается экспертной комиссией. На основе критериев, представленных в приведенной ниже таблице, за выполнение каждого задания в зависимости от полноты и правильности данного учащимся ответа выставляется от 0 до 4 баллов.

Баллы Общие критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом

4 Приведена верная последовательность всех шагов решения.1 Верно обоснованы все моменты решения.2

Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены безошибочно. Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.

3 Приведена верная последовательность всех шагов решения. Верно обоснованы все ключевые моменты решения3.

Необходимые для решения чертежи, рисунки, схемы выполнены безошибочно. Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате описки или ошибки возможен неверный ответ.

2 Приведена в целом верная, но, возможна, неполная последовательность шагов решения и/или обоснована только часть ключевых моментов решения.4

При этом допустимы негрубые ошибки в чертежах, рисунках, схемах, приведенных в решении, одна-две негрубые ошибки или описки в вычислениях или преобразованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок возможен неверный ответ.

1 Общая идея, способ решения верные, но не выполнены некоторые промежуточные этапы решения или решение не завершено5. Большинство ключевых моментов не обосновано или имеются неверные обоснования. При этом допустимы негрубые ошибки в чертежах, рисунках, схемах, приведенных в решении, негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

1 В критериях, разработанных для оценки решения конкретного задания, перечисляются эти шаги решения. 2 В критериях, разработанных для оценки решения конкретного задания, перечисляются эти моменты решения. 3 В критериях, разработанных для оценки решения конкретного задания, перечисляются все ключевые моменты решения.

4 В критериях, разработанных для оценки решения конкретного задания, перечисляются эти ключевые моменты решения.

5 В критериях, разработанных для оценки решения конкретного задания, указываются те действия, которые должен выполнить ученик, чтобы судить о том, что он использовал правильный способ решения.



Отметим, что приведенная шкала оценок в 0, 1, 2, 3, 4 балла не является равномерной, т.е. утверждения типа «3 балла ставится, если задача решена на 75%, 2 балла ставится за наполовину решенную задачу,…» являются ошибочными. Решение, оцениваемое 3 баллами, существенно ближе к идеальному, четырехбалльному решению: оно отличается от него лишь наличием неточностей. В свою очередь, оценка «2 балла» ближе к оценке «3 балла», нежели к оценке «1 балл».

Единый государственный экзамен, 2005 г. Математика, 11 класс.

© 2005 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

(стр. 1)

Внимание! Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта КИМ по математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0 (см. Примечание в конце файла).

«УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы

по надзору в сфере образования и науки

В.А. Болотов

«__24__»_____ноября_______2004г.




На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин). В работе 26 заданий. Они распределены на 3 части.

Часть 1 содержит 13 заданий (А1 – А10 и В1 – В3) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому заданию А1 – А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 – В3 надо дать краткий ответ.

Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4 – В11, С1, С2) по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4 – В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 – записать решение.

Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два – алгебраических (С3, С5) и одно – геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение.


Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе первичных баллов, полученных за выполнение всех заданий работы.

Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.




(стр. 2)

ЧАСТЬ 1

При выполнении заданий А1 – А10 в бланке ответов №1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.



(стр. 3)

Вычислите: 198115 41

−⋅− . A1

1) – 154 2) 116 3) – 64 4) 26



(стр. 4)

Упростите выражение 3 43 2 525 bb ⋅ . A2

1) 25b 2) b25 3) 3 25b 4) b5



(стр. 5)

A3 Найдите значение выражения , если b5log .9log 3

5 =b 1) 27 2) 6 3) 3 4) 12



(стр. 6)

Найдите tg , если cos =α α5

1 и .02

<<− απ A4

1) 0,5 2) 2 3) – 0,5 4) – 2



(стр. 7)

На одном из рисунков изображен график функции xy 3log= . A5

Укажите этот рисунок.

1)

x

y

0 1

1

2)

x

y

0 1

1

3)

x

y

0 1

1

4)

x

y

0 1

1



(стр. 8)

A6 Найдите производную функции . 23xey x +=

1) xxey x 61 +=′ −

2) 3xey x +=′

3) 25xey x +=′

4) xey x 6+=′



(стр. 9)

Какое из следующих чисел входит в множество значений функции ? 42 += ху

A7

1) 5 2) 2 3) 3 4) 4



(стр. 10)

Решите неравенство ( )( )

04

342≥

++−

ххх

. A8

1) [ )∞+∪⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− ;2

43;4

2) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∪−∞− 2;

434;

3) [ )∞+∪⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −− ;2

43;4

4) [ )∞+∪⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −∞− ;2

43;



(стр. 11)

A9 Решите уравнение .0

22sin =−x

1)

Znn ∈π+π ,24

2)

( ) Znnn ∈π+π

− ,4

1

3)

Znn ∈π+π ,4

4) Znn ∈π+π

± ,24



(стр. 12)

A10

Укажите область определения функции xy lg3 −= . 1) ]3;0( 2) ]1000;0( 3) ]1000;3( 4) );1000[ ∞+



(стр. 13)

Ответом на задания В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.



(стр. 14)

B1 Решите уравнение . 813 54 =+x



(стр. 15)

Решите уравнение 22 9 5x x x- - +B2

3= .



(стр. 16)

B3 Точка движется по координатной прямой согласно закону ,

где 2)( 2 ++= tttx

)(tx – координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 5?



(стр. 17)

ЧАСТЬ 2

Вычислите: . 7lg7lg52 522log125log6 ⋅+⋅⋅B4



(стр. 18)

Функция у = f(x) определена на промежутке (– 6; 4). График ее производной изображен на рисунке. Укажите точку минимума функции у = f(x) на этом промежутке. х

у

0 1

у = f ′(x)

– 6 4

1

B5



(стр. 19)

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и 4;1;12 ==+= ххху 0у = .

B6



(стр. 20)

B7 Найдите значение выражения 4 44 4( 3) ( 7,5)x x− + − при 10x = .



(стр. 21)

Найдите наибольшее целое значение функции 23sin4sin3cos4cos325 −+⋅= xxxxy .

B8



(стр. 22)

Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2 р.?

*B9

Е

диный государственный экзамен, 2005 г. Математика, 11 класс.


(стр. 23)

Концы отрезка ВС лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка ВС равна 214 , а угол между прямой ВС и плоскостью основания цилиндра равен 45º. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей лоскостью, проходящей через точки В и С.

*B10

п



(стр. 24)

В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 3 2 , ВС = 10, ∠МАС = 45°.

*B11

Единый

государственный экзамен, 2005 г. Математика, 11 класс.


(стр. 25)

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.



(стр. 26)

Решите уравнение xxx cossinsin ⋅= . C1



(стр. 27)

C2 Найдите нули функции 2 2 3ln ( 3 9) 8 8y x x x x= - - + - - .



(стр. 28)

ЧАСТЬ 3

Для записи ответов на задания (С3 – С5) используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.



(стр. 29)

Решите систему уравнений

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅=+

+−−=−−++−

−−−− .55262525

,2215552

1110

5252 xyxy

xyxy

xy

C3



(стр. 30)

Дана правильная призма АВСА1В1С1, где АА1, ВВ1 и СС1 – боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА1, пересекает ребро А1С1 в точке М и касается плоскости основания АВС и плоскости СВВ1. Известно, что АВ = 12, А1М : МС1 = 3 : 1. Найдите площадь боковой оверхности призмы.

*C4

п



(стр. 31)

C5 Известно, что уравнение имеет хотя бы один

корень. Найдите все значения параметра 01)3()32( 2 =++++ xpxp

p , при которых число различных корней этого уравнения равно числу различных корней

уравнения 33

121

12+−

=−+

xpx .



(стр. 32)


Ответы к заданиям с выбором ответа

№ задания Ответ № задания Ответ

А1 3 А6 4 А2 1 А7 1 А3 3 А8 3 А4 4 А9 2 А5 2 А10 2



(стр. 33)

Ответы к заданиям с кратким ответом

№ задания Ответ

В1 – 0,25 В2 4 В3 2 В4 25 В5 2 В6 24 В7 4,5 B8 8 B9 20,2 В10 24 В11 21



(стр. 34)

Ответы к заданиям с развернутым ответом


С1 Ζ∈π nn, С2 – 2 С3 ( )2,4; 7− С4 324 3 С5 – 1,5; – 1



(стр. 35)

Инструкция по оценке работ учащихся по математике

Первые 10 заданий А1–А10 – с выбором ответа из 4 предложенных вариантов, следующие 11 заданий В1–В11 – с кратким ответом в виде целого числа или числа, записанного в виде десятичной дроби. Задание с выбором ответа (А1–А10) считается выполненным верно, если указан номер, которым обозначен верный ответ. Задание с кратким ответом (В1–В11) считается выполненным верно, если указано число, которое является верным ответом на данное задание. За верное выполнение заданий с выбором ответа и с кратким ответом выставляется 1 балл. В работу включены 5 заданий с развернутым ответом С1 – С5, при выполнении которых требуется записать полное решение. Эти задания существенно различаются по уровню сложности. Два первых задания (С1 и С2) – повышенного уровня сложности, остальные три (С3 – С5) – высокого уровня сложности. Выполнение этих заданий оценивается экспертами. В зависимости от полноты и правильности ответа за выполнение заданий С1 и С2 выставляется от 0 до 2 баллов, за выполнение заданий С3 – С5 – от 0 до 4 баллов. Критерии оценки выполнения заданий повышенного уровня (С1 и С2) отличаются от критериев оценки заданий высокого уровня сложности. Они не требуют от учащихся обосновывать приведенные ими решения. Это объясняется тем, что задачи С1 и С2 не являются совершенно новыми для учащихся, как это характерно для более сложных заданий С3 – С5. При решении задач С1 и С2 нужно, например, выделить несколько случаев, подлежащих рассмотрению (см. далее задание С1), или выбрать правильный порядок соответствующих преобразований и вычислений (см. задание С2). При этом в каждом из этих случаев надо применить стандартный способ решения, процедура которого достаточно отработана и, по-нашему мнению, не нуждается в приведении обоснований. Поэтому конкретизированные критерии оценки выполнения этих заданий фиксируют только правильность выделенных шагов решения, но не включают требования к их обоснованию.

Далее для каждой задачи С1 – С5 приводится один из возможных вариантов решения, который может быть представлен в работах учащихся, и даются рекомендации по оценке ответов учащихся, выбравших приведенный способ решения.

Подчеркнем, что приведенные записи решений не являются эталонами выполнения работы, которым обязаны следовать учащиеся.



(стр. 36)

ЗАДАНИЕ С1 Решите уравнение sin sin cosx x x= Ч . Решение:

1) Пусть sin 0x і , тогда

Отсюда

( )sin sin cos 0, sin 1 cos 0, sin 0 или 1 cos 0,, или 2 , .

x x x x x x xх п n Z x n n Zp p

- Ч = - = = - == О = О

,х n n Zp= О . 2) Пусть sin 0x < , тогда

( )sin sin cos 0; sin 1 cos 0; 1 cos 0; cos 1,x x x x x x x+ Ч = + = + = = -тогда sin 0,x = что противоречит рассматриваемому случаю sin 0x < .

Ответ: ,n n Zp О

Баллы Критерии оценки выполнения задания С1

2 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) рассмотрение случая sin 0x і и решение соответствующего уравнения, 2) рассмотрение случая sin 0x < и решение соответствующего уравнения. Все тождественные преобразования выполнены верно. Получен верный ответ.

1 Приведена верная последовательность выделенных шагов решения. При решении одного из уравнений допущена одна описка или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой описки или ошибки возможен неверный ответ.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла.



(стр. 37)

ЗАДАНИЕ С2

Найдите нули функции ( )2 3ln 3 9 8 8y x x x x= - - + - - . Решение:

1) Нули функции – это значения x , при которых . 0y =

( )2 2ln 3 9 0x x- - і и 3 8 8x x- - і 0 , значит, их сумма равна 0,

если каждое слагаемое обращается в нуль.

2) ( )2

3

ln 3 9 0,

8 8 0 .

x x

x x

мп - - =ппнпп - - =по

3) ( )2 2 2ln 3 9 0 3 9 1 3 10 0x x x x x x- - = Ы - - = Ы - - = ;

. 1 22, 5x x= - =4) Проверим, являются ли числа – 2 и 5 корнями второго уравнения

системы: ( ) ( )32 8 2 8- - Ч- - = 0

0

, верное равенство, значит, – 2 – корень; 35 8 5 8- Ч - № , значит, 5 – не является корнем 2-го уравнения.

Ответ: – 2. Замечания 1. В записи решения возможно отсутствие знака равносильности. 2. Возможны разные способы решения, например, можно решить оба уравнения, а затем сравнить корни. Баллы Критерии оценки выполнения задания С2

2

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) оценивание значений выражений, входящих в формулу,

задающую функцию; 2) получение системы двух уравнений; 3) решение одного уравнения; 4) проверяется, являются ли найденные корни уравнения

решением системы. Все тождественные преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

1

Приведена верная последовательность 2 – 4 выделенных шагов решения. Допускается отсутствие шага 1 решения и/или при решении уравнения допущена одна описка или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки получен неверный ответ.




(стр. 38)

ЗАДАНИЕ С3

Решите систему уравнений: 2 5 2 5

10 11 5 15 22,2 5

25 25 26 5 5 .y x y x

y x y xy x

- - - -

м- + +пп = - - +пп - -нппп + = Ч Чпо

Решение: 1) Решим уравнение : 2 5 2 525 25 26 5 5y x y x- - - -+ = Ч Ч

( )22 5 2 55 26 5y x y x- - - -- Ч + =25 0

0 x

2

.

Пусть . Тогда уравнение примет вид , значит, .

2 55 y xt - -= 2 26 25 0t t- + =

1 21; 25t t= =

2) Если , то , . Но, – знаменатель первого уравнения, следовательно, равенство нулю невозможно.

1t = 2 5 05 5y x- - = 2 5y x- - = 2 5y- -

Если , то , , 25t = 2 5 25 5y x- - = 2 5y x- - =2 5

2xy += - .

3) Подставим 2 5

2xy += - в первое уравнение системы. Получим:

2 5 10 11 2 52 5 152 2

2 5 ;2

x x x x

xy

м +пп + +п +п = Ч - +ппнпп +п = -пппо

22,

25 24 5 54 ,4 2

2 5 ;2

x x

xy

м + - +пп =пппнп +п = -пппо

35 84,2 5 ;

2

xxy

м =пппн +п = -ппо

2,4,7.

xy

м =ппнп = -по

Так как преобразования равносильные, то проверку подстановкой можно не проводить. Ответ: ( ) 2,4; 7- . Замечания 1) Проверку подстановкой при наличии ссылки на равносильность

преобразований не следует считать недочетом. 2) Возможно решение и без введения новой переменной. 3) При решении квадратного уравнения запись дискриминанта и формулы

корней квадратного уравнения не обязательна.



(стр. 39)


4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) сведение второго уравнения системы к квадратному уравнению относительно t и его решение; 2) проверка «пригодности» корня , выражение через 1t = y x в случае ; 25t =3) решение системы, в котором приведены необходимые преобразования. Обоснованы моменты решения: а) в п.2 имеется ссылка на знаменатель первого уравнения; б) в п.3 имеется ссылка на равносильность преобразований (словесная или с помощью знака

). ЫВсе преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

3

Приведена верная последовательность всех шагов решения. Обоснован ключевой момент а). Допустима описка, в результате которой может быть получен неверный ответ (например, в записи самого ответа пропущен минус).

2

Приведена верная последовательность всех шагов решения. При этом получено и верно решено уравнение , значение исключено.

2 26 25 0t t- + =1t =

Обоснован ключевой момент а). Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки или описки в вычислениях в шаге 3, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.

1

Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено: получено и верно решено уравнение . Допускается, что значение не исключено, а в случае t =25 составлена правильная система уравнений, но ее решение не завершено.

2 26 25 0t t- + =1t =

Обоснования ключевых моментов отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.



(стр. 40)

ЗАДАНИЕ С4

Дана правильная призма АВСА1В1С1, где АА1, ВВ1 и СС1 – боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре АА1, пересекает ребро А1С1 в точке М и касается плоскости основания АВС и плоскости СВВ1. Известно, что АВ = 12, А1М : МС1 = 3 : 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение:

1) Так как призма правильная, то прямая АА1⊥АВС. По условию центр О сферы лежит на ребре АА1 и поэтому, по свойству плоскости, касательной к сфере, сфера с центром в точке О касается плоскости АВС в точке А. Значит, OA – радиус сферы.

А1 В1

С

А

С1

В

О

М

Т

L

L1

2) Пусть L и L1 – середины ребер ВС и В1С1 соответственно. Так как треугольник АВС – правильный, то AL BC^ . А так как 1AA B^ C

1

, то , т.е. плоскости

СВВ1BC AA L^

1 и АLL1 перпендикулярны. Пусть Т – точка касания сферы с плоскостью СВВ1. Тогда ОТ – радиус сферы, , значит,

ОТ лежит в плоскости АLL1OT CBB^

1. Тогда , а так как ||OT AL 1 ||AA LL , то

. Отсюда OT AL=12 3 6 3

2OT OA AL= = = = как высота

правильного треугольника, со стороной 12. 3) Точка М лежит на сфере. Поэтому 6 3OM OT= = . По условию

134

MA A= B . Тогда 13 12 94

MA = Ч = . Из прямоугольного

треугольника ОМА1 находим 2 2

1 1 108 81 3 3OA OM MA= - = - = . Отсюда находим высоту

призмы: 1 6 3 3 3 9 3h AO OA= + = + = . 4) Площадь S боковой поверхности призмы найдем по формуле

. Отсюда 3S AB= Чh 3 12 9 3 324 3S = Ч Ч = . Ответ: 324 3 .



(стр. 41)

Решение, оцениваемое 3 баллами

1) А – точка касания сферы с плоскостью АВС, – радиус сферы.

OA R=

2) Пусть . Тогда ОТ– радиус сферы, и 1OT CBB^ 3 6 32

ABOT = = .

3) 13 3 12 94 4

MA AB= = Ч = .

( )22 2 21 1 6 3 9 3 3OA OM MA= - = - = . Отсюда высота

призмы 9 3h = . 4) Площадь S боковой поверхности призмы найдем по формуле

. Отсюда 3S AB= Чh 3 12 9 3 324 3S = Ч Ч = . Решение, оцениваемое 2 баллами

1) Точка О – центр, а Т– точка касания сферы с СВВ1 и

2) OT = OA = AL = 12 3 6 3.2

=

3) 13 3 12 94 4

MA AB= = Ч = ;

( )22 2 21 1 6 3 9 3 21.OA OM MA= - = - = *

1h AO OA= + = 6 3 3 21+ . 4) Площадь S боковой поверхности призмы найдем по формуле

. Отсюда 3S AB= Чh 3 12 (6 3 3 21) 36(6 3 3 21).S = Ч Ч + = + * Допущена негрубая ошибка в вычислениях. Замечание Считается недочетом, если точные значения искомых величин заменены приближенными, например, записано, что OT 10,4.»



(стр. 42)

Баллы Критерии оценки выполнения задания C4

4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) установлено положение точки касания сферы с плоскостью основания; 2) установлено положение точки касания сферы с боковой гранью; 3) найдено соотношение между ребром основания призмы и радиусом сферы; 4) найдена высота призмы; 5) вычислена площадь боковой поверхности призмы. Использованы верные формулы при нахождении искомых величин. Верно обоснованы все ключевые моменты решения: а) положение точки касания сферы с плоскостью основания; б) положение точки касания с боковой гранью. Проведены верные вычисления. Получен верный ответ.

3

Имеются все шаги 1) – 4) решения. Использованы верные формулы. Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а), б) решения. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях1, но не грубые ошибки. Допустима описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.

2

Имеются шаги 2) – 4) решения. Использованы верные формулы. Утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустима описка и/или негрубая ошибка в вычислениях или рассуждениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ. Ход решения правильный, но решение не завершено. Верно найдено соотношение между радиусом сферы и ребром основания призмы, то есть в вычислениях и рассуждениях верно использовано положение центра сферы.

1 Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обоснованиях. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или рассуждениях, не влияющие на правильность хода решения.

0

Все случаи решения, которые не соответствуют выше указанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

1 Неточностью в обоснованиях являются замена свойства на определение или признак или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.



(стр. 43)ЗАДАНИЕ С5

Известно, что уравнение имеет хотя бы один корень. Найдите все значения параметра

2(2 3) ( 3) 1 0p x p x+ + + + =p , при которых число

различных корней этого уравнения равно числу различных корней

уравнения 2 1 121 3 3

xp x

+ =- - +

.

Решение: 1) Если , , то первое уравнение – линейное: 2 3p + = 0 1,5p = -

1,5 1 0x + = . У него один корень 2 / 3x = - . 2) Если , то первое уравнение – квадратное. Найдем его

дискриминант: 2 3p + №0

1)

))

2 2( 3) 4(2 3) 2 3 ( 3)(D p p p p p p= + - + = - - = - + . Если , то .

1 3p- < <0D <

Значит, уравнение имеет корни только при . Причем, при и – корень один, а при – два корня.

( ; 1] [3;pО - Ґ - И + Ґ1p = - 3p = ( ; 1) (3;pО - Ґ - И + Ґ

3) Пусть 23, 3t x x t= - = + . Тогда при второе уравнение примет вид

21p №

2( 3)(2( 3) 1) 21t t p+ + + = - 3 22 6 7 0t t t p+ + + =

)

0

, . Исследуем функцию

. Найдем производную . 3 2( ) 2 6 7y t t t t p= + + + 2' 6 12 7y t t= + +

4) Так как , то возрастает на всей числовой прямой . Поэтому уравнение или не имеет корней, или имеет только один корень. Первый случай невозможен по условию задачи. Значит, (см. 1) и 2)) или , или , или .

2' 6( 1) 1 0y t= + + > ( )y y t=( ;- Ґ + Ґ ( ) 0y t =

1p = -3p = 1,5p = -

5) Если , то получаем уравнение . По условию

3p = 3 22 6 7 3t t t+ + + =3 0t x= - і , и так как возрастает, то

. Значит, неотрицательных корней у уравнения

нет.

( )y y t=( ) (0) 3y t yі =3 22 6 7 3t t t+ + + = 0

0

1

0

Если , то получаем уравнение . Так как

, и функция непрерывна,

то уравнение имеет корень на промежутке (0 .

1p = - 3 22 6 7 1t t t+ + - =

(0) 1 0y = - < (1) 14 0y = > 3 22 6 7y t t t= + + -3 22 6 7 1t t t+ + - = ; 1)



(стр. 44)

1,5

0

Если , то получаем уравнение

. Так как , то так же, как и в случае , уравнение имеет корень на промежутке (0 .

p = -3 22 6 7 1,5t t t+ + - = (0) 1,5 0y = - <

1p = - ; 1)Ответ: ; . 1,5- 1- Замечание. В шагах 4) и 5) допустима ссылка (без доказательства) на наличие у кубической функции хотя бы одного корня.


4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) разбор случая , нахождение числа корней; 2 3p + = 0

02) разбор случая , нахождение числа корней полученного квадратного уравнения;

2 3p + №

3) замена переменной 3 0t x= - і во втором уравнении, составление соответствующей функции , вычисление производной;

( )y y t=

4) исследование функции на монотонность, отбор значений параметра или ;

( )y y t=1p = - 3p =

5) нахождение числа корней второго уравнения при отобранных значениях p . Обоснованы все моменты решения: а) в шаге 3) имеется ссылка на неравенство ; 21p №б) в шаге 4) при определении знака производной есть ссылка на выделение полного квадрата (или отрицательность дискриминанта);в) в шаге 4) при определении числа корней есть ссылка на монотонность; г) в шаге 5) имеется ссылка на условие ; 0t ід) в шаге 5) имеется ссылка на непрерывность . ( )y y t=Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

3

Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допускается, что в шаге 2) после равенства вместо словесного обоснования применен метод интервалов. В шаге 5) допустима лишь краткая ссылка на то, что при решение аналогично рассмотренному в случае

( 3)( 1D p p= - + )

1,5p = -1.p = -

Обоснованы ключевые моменты б), в), г). Допустима 1 описка, и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 5), в результате которых может быть получен неверный ответ.



(стр. 45)

2

Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Выполнены шаги 2) – 5) решения. Обоснованы ключевые моменты б) и г). Допускается отсутствие шага 1), Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки или описки в вычислениях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения, в результате чего может быть получен неверный ответ. Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Полностью выполнены шаги 2) и 3) решения и верно определен знак производной (часть шага 4). Допустимо, что отбор значений , или , или не произведен. Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено.

1p = - 3p = 1,5p = -

Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.

1

Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла. 0

Примечание Данное программное обеспечение можно скачать из интернета по указанным адресам.



(стр. 46)

Сайт программы http://www.dessci.com/en/Прямой линк (30 дней бесплатно) http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe

http://www.dessci.com/en/

http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe

«УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере

образования и науки

«СОГЛАСОВАНО» Председатель Научно-

методического совета ФИПИ по математике


Демонстрационный вариант КИМ 2006 г.

подготовлен Федеральным государственным научным учреждением

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Директор ФИПИ

А.Г. Ершов

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.

© Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

(стр. 2)

ВНИМАНИЕ!

При ознакомлении с Демонстрационным вариантом КИМ – 2006,

следует иметь в виду, что задания, включенные в демонстрационный вариант, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью всех вариантов КИМ в 2006 году. Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться в КИМ – 2006 приведен в кодификаторе, помещенном на данном сайте.

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить правильное представление о структуре будущих КИМ, числе, форме, уровне сложности заданий базового, повышенного и высокого уровня. Приведенные критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом, включенных в этот вариант, позволят составить правильное представление о требованиях к полноте и правильности записи решения заданий повышенного уровня (С1 и С2) и заданий высокого уровня (С3 – С5).

Эти сведения позволят выпускникам выработать стратегию подготовки и сдачи ЕГЭ в соответствии с целями, которые они ставят перед собой.

Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта КИМ по математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0 (см. Примечание в конце файла).



(стр. 3)




На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий.






Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий вы сможете вернуться, если у вас останется время.




(стр. 4) ЧАСТЬ 1

При выполнении заданий А1 – А10 в бланке ответов №1 под номером выполняемого задания поставьте знак "×" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

Вычислите: 4 48 27⋅ . A1

1) 36 2) 18 3) 6 4) 12

Представьте в виде степени выражение 2 43 35 5⋅ . A2

1) 8925 2)

895 3) 225 4) 25

Найдите значение выражения 2log 101 22⋅ . A3

1) 10 2) 5 3)

2log 10 4) 20 Укажите множество значений функции, график которой изображен на рисунке.

A4

3

x

y

–3 –2

–4

1 2 4 5

7

–3

–1

2

0

1) [ )3; 7− 2) [ ] [3; 2 2; 5− − ∪ ] 3) [ ]4; 3− 4) [ ) ( ]4; 1 1; 3− − ∪ −

Найдите область определения функции ( ) ( )20,5log 2f x x= −A5

x .

1) ( )0; 2 2) ( ) ( ); 0 2;− ∞ ∪ + ∞ 3) [ ]0; 2 4) ( ] [ ); 0 2;− ∞ ∪ + ∞



(стр. 5)

A6

Укажите наибольшее значение функции 1 cos3y x= − . 1) 1 2) 2 3) 0 4) 4

A7

0 1 x

y

y = f (x)

y = g (x)

1

На рисунке изображены графики функций y = f (x) и y = g (x), заданных на промежутке

. Найдите все значения х, для которых выполняется неравенство f (x) ≤ g (x). [ 3; 6− ]

1) [ ] [ ]3; 1 1; 6− − ∪ 2) [ ]1; 1− 3) [ ] [3; 2 2; 6− − ∪ ] 4) [ ]2; 2−

Решите уравнение 1siA8 n3

2x = .

1) ( 1) ,9 3

n n n Zπ π− ⋅ + ∈

2) 2 ,18 3

n n Zπ π± + ∈

3) ( 1) ,18 3

n n n Zπ π− ⋅ + ∈

4) 2 ,9 3

n n Zπ π± + ∈

Решите неравенство ( )3 71 0,045

х−A9 >

)

.

1) ( ; 3− ∞ 2) ( )5;3

−∞ 3) (3; )+ ∞ 4) ( )5;3

−∞ −

A10 Укажите абсциссу точки графика функции 2( ) 5 4f x x x= + − , в которой

угловой коэффициент касательной равен нулю. 1) 0 2) 2 3) – 2 4) 5



(стр. 6)

Ответом на задания В1–В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Найдите значение выражения ( )( )

3sin2

2cos

π + α

π −α, если 7

4πα = . B1

B2

Решите уравнение 2 37 1.х x+ = + Решите уравнение

1,6 1,6 1,6log (5 8) log 3 log 7x + − = . B3

ЧАСТЬ 2

Вычислите: ( )6

3 3 113,4 25 5 1,6 5 25−

+ . B4

х

у

0

11

у = f ′(x)

–37

B5

Функция ( )y f x= определена на промежутке (– 3; 7). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку 0x , в которой функция

принимает наибольшее значение.

( )y f x=

Найдите наибольшее значение функции на отрезке 2 332,7 x xy e − −= ⋅ 4

[ ]1;3 . B6

Решите уравнение 10,2 35 5x x+ = + . В ответе запишите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

B7



(стр. 7) Нечетная функция ( ) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции

y f x=

( ) ( )( )( )2 1 2 3g x x x x x= + − − . Сколько корней имеет уравнение ( ) 0f x = ?

B8

По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в 50 000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

*B9

Основанием прямой призмы ABCDA1BB1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6 5 и 12 5 . Высота призмы равна 8. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины ребер AD и СD. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения.

*B10

*B11 Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции,

если ее большее основание АD равно 15, синус угла ВАС равен 13

, синус

угла АВD равен 59

.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. Решите уравнение 4 cos ctg 4 ctg sin 0x x x x+ + = . C1

При каких значениях х соответственные значения функций 2( ) logf x x= и

будут отличаться меньше, чем на 1? 2( ) log (3 )g x x= −

C2



(стр. 8)

ЧАСТЬ 3

Для записи ответов на задания (С3-С5) используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

Для монтажа оборудования необходима подставка объёмом 1296 дм3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а её задняя стенка – в стену цеха. Для соединения подставки по рёбрам, не вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.

C3

Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в котором

, АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости АВС и равно 4. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFВ и AFС. Найдите объем пирамиды A .

ABC 90∠ =*C4

°

MLC

C5 Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию.

Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями

неравенства ( )0,5 1 411log log 08x

xx−− ≥−

, а остальные

не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2006 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс


(стр. 9)



№ задания Ответ № задания Ответ А1 3 А6 2 А2 4 А7 2 А3 2 А8 3 А4 3 А9 1 А5 1 А10 2


№ задания Ответ В1 – 1,5 В2 6 В3 2,6 В4 0,2 В5 1 В6 2,7 В7 – 2 B8 5 B9 16550 В10 0,6 В11 12



С1 ( )1arccos 2 ,3

k k Z± π − + π ∈

С2 (1; 2) С3 12 дм, 12 дм и 9 дм

С4 12841

С5 ( )2; 2,5



(стр. 10)

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЁРНУТЫМ

ОТВЕТОМ

Решите уравнение 4 cos ctg 4 ctg sin 0x x x x+ + = . C1

Решение.

( )

2 2 24cos 4cos sin 3cos 4cos 11) 0, 0.sin sin

sin 01 1cos 12) cos arccos 2 , .3 31cos

3

x x x x xx x

xx x x kx

+ + + += =

≠⎧⎪⎪ = −⎡ ⇔ = − ⇔ = ± π − + π ∈⎨⎢⎪ = −⎢⎪⎣⎩

k Z

Ответ: ( )1arccos 2 , .3

k k Z± π − + π ∈


2

Приведена верная последовательность шагов решения: 1) представление левой части уравнения в виде дроби; 2) решение полученного уравнения. Все преобразования и вычисления проведены правильно, получен верный ответ.

1

Приведена верная последовательность всех шагов решения. При решении уравнения в шаге 2) допущена описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой описки и/или ошибки может быть получен неверный ответ.

0 Все случаи решения, не соответствующие указанным выше критериям выставления оценок в 1 или 2 балла.



(стр. 11)

C2

При каких значениях х соответственные значения функций 2( ) logf x x= и

будут отличаться меньше, чем на 1? 2( ) log (3 )g x x= −

Решение.

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

1) log 3 log 1.

32) log 3 1 log log 3 1 3 22

13 2 12 4 1 2.

2

x x

xx x x x x

xx x x x

x

− − <

−− − < < − + ⇔ < < − ⋅ ⇔

>⎧− < < − ⇔ ⇔ < <⎨ <⎩

Ответ: ( )1;2 . Баллы Критерии оценки выполнения задания С2

2

Приведена верная последовательность шагов решения: 1) составление неравенства, содержащего модуль; 2) решение неравенства. Все преобразования и вычисления проведены правильно, получен верный ответ.

1

Приведена верная последовательность шагов решения. При решении неравенства в шаге 2) допущена описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой описки и/или ошибки может быть получен неверный ответ.




(стр. 12)

Для монтажа оборудования необходима подставка объемом 1296 дм3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а ее задняя стенка – в стену цеха. Для соединения подставки по ребрам, не вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.

C3

Решение. 1) В основании подставки лежит квадрат. Пусть x – длина его стороны, а –

высота подставки. Тогда ее объем равен

y2x y и , т.е. 2 1296x y = 2

1296yx

= .

2) Сварить надо 3 ребра верхнего основания и 2 ребра грани, параллельной стене. Значит, общая длина сварки равна 3 2L x y+ , т.е.

( ) 212963 2L x x

x= + ⋅ , 0x > .

3) Найдем производную ( )' 3

2 3 33( 1728)2592 5184' 3 3 xL x x

x x x−⎛ ⎞= + = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Поэтому ( ) 3 3 3' 0 1728 0 12 12L x x x x= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = , т.е. функция ( )L x при 0x > имеет единственную критическую точку 12x = .

4) Если 0 12x< < , то 30 1728x< < и ( )'L x 0< . Если 12x > , то 3 1728x > и . Значит, ( )'L x > 0 12x = является точкой минимума и . Тогда

высота подставки равна наим (12)L L=

21296 1296 9

144y

x= = = .

Ответ: 12 дм, 12 дм и 9 дм. Замечание. Возможно, но маловероятно решение без производных. Для этого используем неравенство 33a b c abc+ + ≥ ⋅ о среднем арифметическом и среднем геометрическом для трех неотрицательных чисел.

( ) ( )( ) 3 332 2 2

1296 3 3 2592 3 3 25923 2 3 3 3 216 54.2 2 2 2

L x x x x x xx x x

⎛ ⎞= + ⋅ = + + ≥ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

При этом равенство достигается, только если все три слагаемых равны между

собой, т.е. 23 12962 ,2

x x 12.x

= ⋅ =



(стр. 13)


4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) определение формы подставки, выражение ее высоты через длину стороны основания; 2) выражение общей длины сварки через длину стороны основания; 3) вычисление производной и нахождение критической точки функции длины сварки; 4) проверка того, что найденная критическая точка является точкой минимума. Обоснованы все моменты решения: а) в шаге 2) перечислены ребра, которые надо сваривать; б) в шаге 3) явно указано, что имеется единственная критическая точка; в) в шаге 4) изменение знаков производной обосновано или неравенствами, или подстановкой значений, или ссылкой на характер монотонности кубической функции. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

3

Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 1) допустимо наличие лишь формулы , в шаге 2) допустимо наличие только равенства

2 1296x y =3 2L x y= + . Обоснованы

ключевые моменты б) и в). Допустима 1 описка, и/или негрубая вычислительная ошибка в шагах 3), 4), не влияющая на правильность дальнейшего хода решения. Возможен неверный ответ (например, указано верное наименьшее значение длины сварки, а не размеров подставки).

2

Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнены шаги 1) – 3). Обоснован ключевой момент б). Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки или описки в вычислениях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате может быть получен неверный ответ.

1

Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Верно выполнены шаги 1) и 2), т.е. текстовая задача верно сведена к своей математической модели – исследованию функции. Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Обоснования ключевых моментов отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.



(стр. 14)

C4 Основанием пирамиды FABC является треугольник АВС, в котором

, АВ = 3, ВС = 4. Ребро AF перпендикулярно плоскости АВС и равно 4. Отрезки АМ и AL являются соответственно высотами треугольников AFB и AFC. Найдите объем пирамиды .

ABC 90∠ = °

AMLC Решение. 1) Объем пирамиды вычислим по формуле AMLC

AMLC CLM1V S3

= h

AMLCh A

, где h – высота пирамиды. По

условию FA⊥АВС. Значит, FA⊥ВС. Но AB ⊥ BC, следовательно, ВС⊥ABF и поэтому AM⊥BC. Значит, АМ – высота пирамиды , опущенная на плоскость грани CLM, т.е. M= . Из прямоугольного треугольника ABF:

AB AF 3 4 12hBF 5 5⋅ ⋅

= = = .

C

А

B

FL

M

2) Треугольники CLM и CFM имеют общую высоту, проведенную из

вершины М. Поэтому CLM

CFM

S CLS C

=F

. Аналогично, CFM

CFB

S FMS B

=F

. Следовательно,

CLM

CFB

S CL FMS CF B

⋅=

⋅ F. Отсюда CLM CFB

CL FMS S⋅CF BF

= ⋅⋅

.

3) Отрезки CF и CL, BF и FM найдем соответственно из прямоугольных

треугольников ACF и ABF. Имеем 2 2CF= AF +AC 41= , 2AC 25CL=

FC 41= ,

2 2BF= AB +AF 5= , 2AF 16FM=

BF 5= .

4) Поскольку ВС⊥ABF, то ВС⊥BF. Поэтому площадь треугольника CFB

найдем по формуле CFBFB BCS 10

2⋅

= = .

Вычислим площадь основания пирамиды AMLC:

CLM CFBCL FM 25 16 1 1 160S S .

Искомый объем

10CF BF 5 5 4141 41

⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅

AMLC1 160 12 128V3 41 5 41

= ⋅ ⋅ = .

Ответ: 128 . 41



(стр. 15)


4

Приведена верная последовательность шагов решения: 1) вычислена высота пирамиды; 2) выражена через ; CLMS CFBS3) вычислены отрезки CF, CL, BF, FM ; 4) вычислен искомый объем пирамиды . AMLCВерно обоснованы ключевые моменты решения: а) перпендикулярность отрезка АМ плоскости BCF; б) способ вычисления площади основания пирамиды . AMLCВсе преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

3

Приведены все шаги решения 1) – 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях1, но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.

2

Приведены шаги решения 2) – 4). Утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.

1

Ход решения правильный, но решение не завершено. На чертеже явно обозначено (в соответствующих треугольниках обозначены углы, равные 900) или описано словами, что АМ высота пирамиды, и вычислена ее длина. Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в преобразованиях и вычислениях, не влияющие на правильность хода решения.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.

1 Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак, или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.



(стр. 16)

Второй способ. 1) Объем пирамиды вычислим по формуле AMLC

AMLC ALC M1V S3

= h , где - расстояние от вершины M до

плоскости . Так как FAМh

FAC AC⊥ и AL FC⊥ , то 2 2

FAC4 3 4AF ACS 10

C

А

B

FL

M

hB

hM

K

P

2 2⋅ +⋅= = = и AF AC 20AL=

FC 41⋅ . =

Следовательно, 400 25LC 2541 41

= − = и ALCAL LC 250S

2 41⋅= =

CF

.

2) Проведем высоту прямоугольного треугольника ABC, . Так как

, то Bh Bh A⊥

AF ABC⊥ Bh A⊥ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости

. Поэтому - расстояние от вершины B до плоскости . Bh FA⊥ C Bh FAC

3) Итак, BAB BC 12h

AC 5⋅= = . Перпендикуляры BK и MP, опущенные на

плоскость из точек и , параллельны между собой и лежат в плоскости, содержащей прямую . Поэтому треугольники FBK и FMP

подобны. Отсюда

FAC B MBF

B

M

hBF BKMF MP h

= = . Поэтому M12 MFh =5 BF⋅ .

4) Из прямоугольного треугольника : FAB 2 2BF 3 4 5= + = и AF AB 12AM=

BF 5⋅

= . Из прямоугольного треугольника FAM:

144 16MF 1625 5

= − = . Следовательно, M12 16h5 5 5

= ⋅⋅

и

AMLC1 12 16 250 4 16 2 128V3 125 41 41 41

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = = .

Ответ: 128 . 41



(стр. 17)


4

Приведена верная последовательность шагов решения: 1) вычислена площадь основания АLС пирамиды ; MALC2) построена высота пирамиды; Bh3) вычислена и найдено соотношение между высотами и ; 4) вычислен искомый объем пирамиды.

Bh Bh Mh

Верно обоснованы ключевые моменты решения: а) в шаге 2) при построении имеется ссылка на признак перпендикулярности прямой и плоскости;

Bh

б) в шаге 3) обосновано подобие треугольников. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

3

Приведены все шаги решения 1) – 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях2, но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.

2

Приведены шаги решения 1), 3), 4). Утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.

1

Ход решения правильный, но решение не завершено. Имеется шаг 3) решения, вычислена . BhПриведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в преобразованиях и вычислениях, не влияющие на правильность хода решения.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.




(стр. 18)

C5 Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию.

Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями

неравенства ( )0,5 1 411log log 08x

xx−− ≥−

, а остальные не являются решениями

этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий.

Решение.

1) По условию 411log 08

xx− > ⇔−

11 11 31 1 0 08 8 8

x x 8xx x x− −> ⇔ − < ⇔ < ⇔ <− − −

.

Если 115,0 >−x , 4>x , то ( )0,5 1 411log log 08x

xx−− ≥ ⇔−

18

11log4 ≥−−

⇔xx 4

811

≥−−

⇔xx

⇔ 8708

)7(308

114 <≤⇔≤−−

⇔≤−−

− xxx

xx .

Если 115,00 <−< x , 42 << x , то 8<x и 0811log4 >−−

xx . Кроме того, так как

7<x , то 43( 7) 110. Таким образом, log 1

8 8− −≥ ≤− −

x xx x

. Значит,

08

11loglog 415,0 ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

− xx

x . Следовательно, все числа в интервале 42 << x

являются решениями исходного неравенства. Объединяя найденные множества решений, получаем ответ: ( . 2; 4) [7; 8)∪2) Пусть и – первый член и разность прогрессии. Если и 3 лежат в одном и том же из двух промежутков и , то в нем лежит и

. Но тогда третий член прогрессии также будет решением заданного неравенства. Противоречие. Значит,

a d a d+ a d+(2; 4) [7; 8)

2a + d

42 4 2 7 3 8a a d a d a d a d< < + < ≤ + < ≤ + < ≤ + . 3) Требуется найти все значения 2 4a< < , при которых эта система неравенств имеет решения относительно . Выпишем четыре неравенства относительно : d d

4 7 7 8 80 4 , , ,2 2 3 3 4

a a a a ad a d d− − − − −< < − ≤ < ≤ < ≤ d

4y a

.

Систему этих линейных неравенств решим графическим способом. Построим прямые 1

1

a

y

2

1 2 4 3

3

4

5 6

0

1

2

3 = − ,

27

2ay −= , 3

83

ay −= , 47

3ay −= ,

54

2ay −= , 6

84

ay −= .



(стр. 19)

На интервале прямая лежит ниже прямых и , а

прямая лежит выше прямых и ,

(2;4) 1y 2 3y y

4y 5y 6y 4) Поэтому достаточно найти все значения 2 4a< < , при которых решения имеет только одно неравенство 4y d y1≤ < . Прямые и пересекаются в

точке ( и

1y 4y

2,5; 1,5) 4 17 4 2

3ay y a a ,5−< ⇔ < − ⇔ < .

Ответ: (2 . ; 2,5)



(стр. 20)


4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) нахождение множества решений логарифмического неравенства; 2) запись условия задачи в виде неравенств относительно и ; a d3) рассмотрение системы четырех двойных неравенств относительно ; d4) сведение к случаю одного двойного неравенства, его решение. Обоснованы все моменты решения: а) в шаге 1) преобразования обоснованы или ссылками на свойства логарифмов, или явными указаниями на равносильность этих преобразований; б) в шаге 2) принадлежность (2; 4)a d+ ∈ и 3 [7; 8a d )+ ∈ обоснована ссылкой на то, что – не решение логарифмического уравнения; da 2+в) шаг 3) обоснован или верным построением графиков прямых, или алгебраической проверкой расположения прямых на интервале ; (2; 4)г) в шаге 4) имеется ссылка на достаточность рассмотрения только одного двойного неравенства; явно приведено решение неравенства

. 14 yy <

Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

3

Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 4) допустимо выписывание ответа со ссылкой только на графики. Обоснованы ключевые моменты а), б), в). Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 4) в результате чего может быть получен неверный ответ.

2

Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнены шаги 1) и 2) решения, верно составлены все линейные неравенства относительно . Обоснованы ключевые моменты а) и б).

d

Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки в вычислениях или построениях графиков, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате может быть получен неверный ответ.

1

Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Верно выполнен шаг 1) решения. Обоснован ключевой момент а). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено, а обоснования ключевых моментов б) – г) отсутствуют. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ




(стр. 21)

Примечание

Данное программное обеспечение можно скачать из интернета по указанным адресам. Сайт программы http://www.dessci.com/en/Прямой линк (30 дней бесплатно) http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe



«УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере

образования и науки







Демонстрационный вариант 2007 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс.


(2007 - 2)


Пояснения к демонстрационному варианту

При ознакомлении с Демонстрационным вариантом 2007 года

следует иметь в виду, что задания, включенные в демонстрационный вариант, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2007 году. Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться на едином государственном экзамене 2007 года, приведен в кодификаторе, помещенном на сайтах www.ege.edu.ru и www.fipi.ru .

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, числе, форме, уровне сложности заданий: базовом, повышенном и высоком. Приведенные критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом (тип «С»), включенные в этот вариант, позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развернутого ответа.


Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта по математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0 (см. Примечание в конце файла).



(2007 - 3)




На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий.

Часть 1 содержит 13 заданий (А1 – А10, В1 – В3) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому заданию А1 – А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 – В3 надо дать краткий ответ.





Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий вы сможете вернуться, если у вас останется время.




(2007 - 4)

ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 – А10 в бланке ответов №1 под номером выполняемого задания поставьте знак "×" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

Найдите значение выражения 6 44 4p p−⋅ при 14

p = .

1) 1 2) 2 3) 32 4) 4

Упростите выражение 3

354 16

250⋅ .

1) 1,2 2) 36 25⋅ 3) 2,4 4) 3 2

Найдите значение выражения ( )4log 64 ,c если 4log 3,5.c = −

1) – 6,5 2) – 0,5 3) – 10,5 4) – 67,5

На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок.

1)

0

y

x

2)

0

y

x

3)

x

y

0

4)

x

y

0

A1

A2

A3

A4



(2007 - 5)

0 1 x

y y = f (x)

y = g (x)

1

Найдите производную функции ( 3)cosy x x= − .

1) cos ( 3)sinу x x x′= + − 2) ( 3)sin cosу x x x′ = − − 3) cos ( 3)sinу x x x′ = − − 4) sinу x′ = −

Укажите множество значений функции 2 5.xy = +

1) (5; + ∞) 2) (0; + ∞) 3) (– ∞; + ∞) 4) (7; + ∞)

На рисунке изображены графики функций = ( ) y f x и = ( )y g x , заданных на промежутке

[– 3; 6]. Укажите множество всех значений х, для которых выполняется неравенство f (x) ≥ g (x).

1) [– 1; 5]

2) [– 3; – 2] ∪ [4; 6]

3) [– 3; – 1] ∪ [5; 6]

4) [– 2; 4]

Найдите область определения функции ( ) 425

3f x

x=

−.

1) [ ) ( )0; 3 3;∪ + ∞

2) [ )0; + ∞

3) [ ) ( )0; 81 81;∪ + ∞

4) ( ) ( ); 81 81;− ∞ ∪ + ∞

A5

A6

A7

A8



(2007 - 6)

Решите неравенство ( ) ( )1 12 2

log 7 21 log 6x x− > .

1) ( ); 21− ∞ 2) ( )3; 21 3) ( )3; + ∞ 4) ( )21; + ∞

Решите уравнение ( )2cos 1 04

xπ − = .

1) 4 83

n± + , n Z∈

2) 4 83

n+ , n Z∈

3) 2 43

n± + , n Z∈

4) 2 43

n+ , n Z∈

Ответом к заданиям В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Решите уравнение 5log7 5 21

xx⋅ = + .

Найдите значение выражения ( ) ( )5 sin cos ,2ππ + α + + α если sin 0,5.α =

Решите уравнение 2 1 4 1 0x x x− − − = . (Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму всех его корней).

A9

A10

B1

B2

B3



(2007 - 7)

ЧАСТЬ 2

Найдите значение выражения 2x y− , если ( );x y является

решением системы уравнений 1

7 2 6 2

2 3 43.

x

x

y

y+

⎧ ⋅ + =⎪⎨

− =⎪⎩

Функция ( )y f x= определена на промежутке ( 4;5)− . На рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции ( )y f x= ,

которые наклонены под углом в 45o к положительному направлению оси абсцисс.

Найдите значение выражения 2 1 2 1x x x x− − + + − при 1,2007.x =

Найдите наименьший корень уравнения ( )23 3log 1 log 1 6x x+ + + = .

Периодическая функция ( )y f x= определена для всех действительных чисел. Её период равен 2 и ( )1 5f = . Найдите значение выражения

( ) ( )3 7 4 3f f− − .

Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 рублей. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

Высота правильной четырехугольной призмы 1 1 1 1ABCDA B C D равна 8, а

сторона основания равна 6 2 . Найдите расстояние от вершины A до плоскости 1A BD .

B4

B5

B6

B7

B8

*B9

*B10

y = f ′(x)

0 1

1

x

y



(2007 - 8)

Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК. Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

Найдите значение функции ( )( )

3

0,13lg log 5510

x x xxf x−

− ++= в точке

максимума. Решите уравнение sin 2 tg 1 3sinx x x⋅ + = .

ЧАСТЬ 3


Найдите все значения x , которые удовлетворяют неравенству ( ) 22 1a x− <( )1 3a x a+ + при любом значении параметра a , принадлежащем промежутку ( )1;2 .

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной 2 7 . Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса.

Найдите количество всех решений системы уравнений

2 3

232

(1 ) 0102 5log (0,125 ) 7.

log 2y

y x x

x yx

⎧ − + =⎪⎨ − = −⎪⎩

*B11

C1

C2

C3

*C4

C5



(2007 - 9)



№ задания Ответ № задания Ответ

А1 2 А6 1 А2 3 А7 4 А3 2 А8 3 А4 4 А9 2 А5 3 А10 1



В1 3,5 В2 – 3 В3 3 В4 17 В5 3 В6 2 В7 – 10 B8 – 5 B9 1240 В10 4,8 В11 10



С1 2

С2 ( )1 ,6

n n n Zπ− ⋅ +π ∈

С3 (– 1; 2] С4 1 С5 2



(2007 - 10)

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ И ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЁРНУТЫМ ОТВЕТОМ

Внимание! При выставлении баллов за выполнение задания в «Протокол проверки ответов на задания бланка № 2» следует иметь в виду, что если ответ отсутствует (нет никаких записей, свидетельствующих о том, что экзаменуемый приступал к выполнению задания), то в протокол проставляется «Х», а не «0» .

Найдите значение функции ( )( )

3

0,13lg log 5510

x x xxf x−

− ++= в точке

максимума. Решение: 1. Найдем область определения функции f :

3 3 ( 3)( 3) 00

55 05 0

x x x x xx

xx

⎧ − ⎧ − + >⎪ > ⇔+⎨ ⎨+ >⎩⎪ + >⎩

.

– х

+

– 3 – 5 0 3

– +

( 3; 0) ( 3; )x∈ − ∪ ∞

Упростим формулу, задающую функцию:

( )3

33lg lg 5 lg( 3 ) 35( ) 10 10 3x x x x xxf x x x

−+ + −+= = = − .

2. 3( ) 3 ,f x x x x= − ∈ ( 3; 0) ( 3; )− ∪ ∞ . 2( ) 3 3f x x′ = − , 2( ) 3( 1)f x x′ = − .

( ) 0f x′ = при 1x = − ( х = 1 не принадлежит области определения функции f ).

х– 3 – 1 0 3

( )f x′

f (х)

+ + 1 –

1x = − - точка максимума и ( 1) 2f − =

Ответ: 2.

C1



(2007 - 11)


2

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) найдена область определения и упрощена формула, задающая функцию; 2) найдена точка максимума и значение функции в этой точке. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

1 Приведена верная последовательность всех шагов решения, но в шаге 2 допущена одна описка и/или вычислительная ошибка, не влияющая на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.


Решите уравнение sin 2 tg 1 3sinx x x⋅ + = Решение:

1) sinsin 2 tg 1 3sin 2sin cos 3sin 1 0cos

xx x x x x xx

⋅ + = ⇔ ⋅ − + = ⇔

22sin 3sin 1 0cos 0.

x xx

⎧ − + =⇔ ⎨≠⎩

2) 22sin 3sin 1 0x x− + = ; sin 1x = или sin 0,5x = .

а) sin 1x = , тогда cos 0x = , значит, 2 ,2

k k Zπ + π ∈ не являются

решениями исходного уравнения.

б) sin 0,5x = , тогда cos 0x ≠ и ( )1 ,6

nx n n Zπ= − + π ∈ .

Ответ: ( )1 ,6

n n n Zπ− + π ∈ .

C2



(2007 - 12)


2

Приведена верная последовательность шагов решения:1) уравнение сведено к равносильной системе, состоящей из квадратного уравнения относительно sin x и неравенства cos 0x≠ ; 2) решено уравнение и произведен отбор корней, удовлетворяющих условию cos 0.x≠ 1 Все преобразования и вычисления выполнены верно, получен верный ответ.

1

Приведена верная последовательность всех шагов решения, в шаге 2 допущена вычислительная ошибка или описка. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.


Найдите все значения x , которые удовлетворяют неравенству ( ) 22 1a x− < ( )1 3a x a+ + при любом значении параметра a , принадлежащем промежутку ( )1;2 . Решение:

1) Неравенство приводится к виду 2 2(2 3) ( ) 0x x a x x− − + − − < , в котором левая часть, рассматриваемая как функция от a , есть линейная функция ( ) ( )2 2( ) 2 3f a x x a x x= − − + − − с

коэффициентами, зависящими от x . В задаче требуется найти все значения x , при каждом из которых эта функция отрицательна для всех ( )1; 2a∈ .

2) Для отрицательности линейной функции f на промежутке (1; 2) необходимо, чтобы она была отрицательна или равна нулю при каждом из двух значений 1a = и 2a = , т.е. выполнялась система

(1) 0(2) 0

ff

≤⎧⎨ ≤⎩

;

2

2

(1) 0 2 3 0 ( 3)( 1) 01 2

(2) 0 ( 2)( 1) 03 3 6 0

f x x x xx

f x xx x

⎧≤ − − ≤ − + ≤⎧ ⎧⎪⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤⎨ ⎨ ⎨≤ − + ≤⎩ ⎩− − ≤⎪⎩.

1 Примечание. Для получения 1 балла в решении должно быть указано в любой форме, что учтено условие cos 0.x≠

C3



(2007 - 13)

3) Для выполнения требования задачи функция f не должна равняться нулю при обоих значениях 1a = и 2a = одновременно, т. е.

не выполняется система (1) 0(2) 0

ff

=⎧⎨ =⎩

;

(1) 0 ( 3)( 1) 01

(2) 0 ( 2)( 1) 0f x x

xf x x

= − + =⎧ ⎧⇔ ⇔ = −⎨ ⎨= − + =⎩ ⎩.

4) Выполнения двух полученных условий уже достаточно для отрицательности ( )f a на данном промежутке. Таким образом,

искомые значения x — это решения системы 1 2

1 2.1

xx

x− ≤ ≤⎧ ⇔ − < ≤⎨ ≠ −⎩

Ответ: ( ]1; 2− .


4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) задача сведена к требованию отрицательности линейной функции на данном интервале; 2) получено первое необходимое условие на переменную x и решена соответствующая система; 3) получено второе необходимое условие на переменную x и решена соответствующая система; 4) имеется вывод о том, что выполнение сразу двух указанных необходимых условий уже достаточно. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

3

Приведена верная последовательность шагов 2) — 4) решения, а шаг 1) либо отсутствует, либо логически неверен. Получен верный ответ. Допустима описка, в результате которой возможен неверный ответ.

2 Верно выполнен только шаг 2) решения, а остальные шаги или отсутствуют, или сделаны с ошибкой.

1 Выполнен только шаг 2) решения, но в нем нестрогие неравенства заменены строгими. Остальные шаги решения или отсутствуют, или сделаны с ошибкой.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 – 4 балла.

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной 2 7 . Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса.

*C4



(2007 - 14)

Решение: 1) Пусть пирамида FABC – данная правильная пирамида, FO – ее высота, тогда точка O – центр треугольника АВС. Пусть CD – медиана треугольника АВС, тогда O CD∈ и : 2 :1CO OD = . Треугольник FAB равнобедренный и точка D – середина АВ, значит, FD – медиана, высота и биссектриса треугольника FAB. Пусть основание конуса вписано в треугольник FAB. Тогда центр основания конуса (точка Р) является точкой пересечения биссектрис треугольника FAB. Следовательно, ОP – высота конуса, РD – радиус основания, а OD – образующая конуса. Тогда OP FD⊥ . 2) Пусть РТ⊥FA. Тогда РТ=PD как радиусы окружности, вписанной в треугольник FAB. Прямоугольные треугольники FDA и FTP подобны

(имеют общий угол при вершине F). Следовательно, FA ADFP PT

= или

FA FPAD PD

= , так как РТ=PD. Отсюда FA AD FP PDAD PD+ += ,

т.е. AD FDPDFA AD

⋅=+

. Вычислим PD другим способом. Прямоугольные

треугольники FOD и OPD подобны, так как имеют общий угол D.

Поэтому PD ODOD FD

= и 2ODPD

FD= . Итак, AD FD

FA AD⋅ =+

2ODFD

(1).

3) По условию АВ=2 7 . Пусть AF=b и PD = r. Из треугольника FAD

получаем ( )22 27 7FD b b= − = − , а из треугольника ABC получаем

21CD = , 1 1 213 3

OD СD= = . Подставим найденные величины в

равенство (1): 2

27 7 7

7 3 7

bb b

⋅ − =+ −

. Отсюда получаем:

( )3 7 7b − = . Следовательно, 4 73

b = и 2

77 3 1

16 73 7 79

rb

= = =⋅− −

.

Ответ: 1.

F

T P BC

O D

A



(2007 - 15)


4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) установлено, что центр основания конуса – точка пересечения биссектрис боковой грани пирамиды; 2) получены два соотношения для вычисления радиуса основания конуса; 3) выполнены преобразования и вычисления, необходимые для нахождения радиуса основания конуса. Имеются верные обоснования всех ключевых моментов решения: а) положения центра основания конуса; б) соотношения между отрезками FA, AD, FD и FP, а также между отрезками OD, PD и FD. Все преобразования и вычисления выполнены правильно. Получен верный ответ.

3

Приведена верная последовательность всех шагов решения. Явно описано положение центра основания конуса. Верно найдены соотношения между отрезками, необходимые для решения задачи. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обосновании ключевых моментов. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустима одна описка и/или негрубая ошибка в преобразованиях или вычислениях, не влияющая на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.

2

Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обоснованиях ключевых моментов решения. Верно найдены соотношения между отрезками, необходимые для решения задачи. Допустимы одна-две негрубые ошибки и/или описки в преобразованиях и/или вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.

1

Общая идея и способ решения верные, но, возможно, решение не завершено. При этом верно найдено соотношение между отрезками FA, AD, FD и FP. Ключевые моменты решения не обоснованы или имеются неверные обоснования. Допустимы одна-две негрубые ошибки и/или описки в преобразованиях и/или вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.



(2007 - 16)

Найдите количество всех решений системы уравнений 2 3

232

(1 ) 0102 5log (0,125 ) 7.

log 2y

y x x

x yx

⎧ − + =⎪⎨ − = −⎪⎩

Решение: 1) По условию 0x ≠ , а 0, 1y y> ≠ . Тогда второе уравнение системы

равносильно следующим уравнениям: 22 2

102 log log (0,125 ) 7x y yx

− ⋅ = − ,

2 2102 log 2log 3 7x y yx

− ⋅ = − − , 22

5loglog 5

yx y

x− = − ,

22 2(5 log ) 5log 0x y x y+ − − = , 2( 5)( log ) 0x x y+ − = .

Если 5x = − , то первое уравнение системы имеет вид 36 125 0, 125/36 0y y⋅ − = = > . Значит, ( 5; 125/36)− – решение системы.

2) Если 5x ≠ − , то 2logx y= , 2 xy = и первое уравнение системы имеет

вид 2 32 (1 ) 0x x x− + = . Если 0x > , то 3 0x > и 2 32 (1 ) 0x x x− + > , т.е. положительных корней нет. Если 0x < , то 1 0x− ≠ и 3 22 (1 )x x x −= − ⋅ − . (*)

3) Рассмотрим функции 2 xy = и ( )3 21y x x −= − ⋅ − .

Функция 2 xy = возрастает ( 2 1> ).

Исследуем функцию 3 2(1 ) , 0y x x x−= − ⋅ − < :

'y 2 2 3 33 (1 ) ( 2)(1 ) ( 1)x x x x− −= − − − − − − = 2 3(1 ) (3(1 ) 2 )x x x x−= − − − + = 2 3(1 ) (3 ) 0x x x−− − − < ,

т.к. 2 30, 3 0, (1 ) 0x x x −> − > − > . Значит, эта функция убывает при 0x < .

4) Если 3x = − , то 2 1x < < 3 2(1 )x x −− ⋅ − . Если же

0,5x = − , то 122

x = , 3 2 1 9 1(1 ) :8 4 18

x x −− ⋅ − = = и

2 x > 3 2(1 )x x −− ⋅ − .Так как обе функции изменяются непрерывно, то имеется единственный корень 0x

уравнения (*), 0 03 0,5; 5x x− < < − ≠ − . Поэтому

исходная система имеет ровно два решения 00( ; 2 )

xx и ( 5; 125/36)− .

Ответ: 2.

C5

0,5−3−

у

х

у= 2 x



(2007 - 17)


4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) преобразование второго уравнения системы к виду

2( 5)( log ) 0x x y+ − = ; нахождение решения ( 5; 125/36)− системы; 2) сведение системы к уравнению относительно x ; проверка того, что при 0x > оно не имеет корней; 3) сравнение характера монотонности обеих частей уравнения (*); 4) проверка того, что уравнение (*) имеет хотя бы один корень. Обоснованы все моменты решения: а) приведена ОДЗ данной системы уравнений; б) в шаге 1) есть ссылка (словесная или знаком ⇔ ) на равносильность; в) в шаге 2) есть явная ссылка на положительность 2 32 (1 )x x x− + при 0x > ; г) в шаге 4) указаны значения аргумента, в которых левая часть уравнения (*) больше (меньше) его правой части; д) наличие корня обосновано или эскизами графиков, или же явной словесной ссылкой на непрерывность. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

3

Приведена верная последовательность шагов 1) – 4) решения. Обоснованы ключевые моменты а), б), в). Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов г) и д). Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 4).

2

Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнены шаги 1) и 2) решения: составлено уравнение (*). Допускается отсутствие одного из шагов 3) или 4) при частичном выполнении другого шага решения. Обоснованы ключевые моменты б) и в). Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено. Допустимы 1 – 2 негрубые ошибки в вычислениях или построениях графиков, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения.

1

Общая идея, ход решения верны, но решение, возможно, не завершено. Верно выполнен шаг 1) решения: найдено решение ( 5; 125/36)−

системы. В шаге 2) уравнение 2 32 (1 ) 0x x x− + = относительно x составлено, но его исследование не завершено. Обоснован ключевой момент б). Допустимо, что решение не завершено, а обоснования других ключевых моментов отсутствуют.



(2007 - 18)

Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях.



Данное программное обеспечение можно скачать из интернета по указанным адресам. Сайт программы http://www.dessci.com/en/ Прямой линк (30 дней бесплатно) http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe

«УТВЕРЖДАЮ» Руководитель Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки









(2008 - 2 )



При ознакомлении с Демонстрационным вариантом 2008 года следует

иметь в виду, что задания, включенные в демонстрационный вариант, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2008 году. Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться на едином государственном экзамене 2008 года, приведен в кодификаторе, помещенном на сайтах www.ege.edu.ru и www.fipi.ru .

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, числе, форме, уровне сложности заданий: базовом, повышенном и высоком. Приведенные критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом (тип «С»), включенные в этот вариант, позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развернутого ответа.


Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта по математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0 (см. Примечание в конце файла).

http://www.ege.edu.ru/

http://www.fipi.ru/



(2008 - 3 )














(2008 - 4 )

ЧАСТЬ 1

При выполнении заданий А1 – А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "×" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

Выполните действия 33 1

7 76 4с с⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. A1

1) 3770с 2)

6770с 3)

6710с 4)

3710с

Найдите значение выражения log 534 3⋅ . A2

1) 3log 20 2) 625 3) 312 log 5 4) 20

Вычислите: 3

3189

3 7. A3

1) 1 2) 13

3) 9 4) 27



(2008 - 5 )

На одном из рисунков изображен график чётной функции.

A4 Укажите этот рисунок. 1)

0

1

1 x

y

2)

0

1

1 x

y

3)

0

1 1

x

y

4)

0

1

1 x

y

Найдите производную функции 6 4sin .y x x= −A5

1) 56 4cosy x′ = + x

x

2) 56 4cosy x′ = −

3) 7

4cos7xy x′ = +

4) 5 4cosy x′ = − x Найдите множество значений функции

2,51,5 logу x= + . A6 1) ( );− ∞ + ∞ 2) ( )0; + ∞ 3) ( )1,5; + ∞ 4) ( ); 1,5− ∞



(2008 - 6 )

Решите уравнение cos 2 1.x =

A7

1) π π ,4

n n Z+ ∈

2) π ,n n Z∈

3) π ,2n n Z∈

4) π π ,4 2

n n Z+ ∈

Решите неравенство 1

7

log ( 3) 1.x + > − A8

1) ( ); 7− ∞ 2) ( ); 4− ∞ 3) ( )3; 4− 4) ( )3; 7−

На рисунке изображены графики функций

и заданных на промежутке . Укажите те значения х, для которых

выполняется неравенство

= ( ) y f x = ( ),y g x[ 3; 6−

0 1 x

y y = f (x)

y = g (x)

1

A9

]( ) ( )f x g x≥ .

1) [ ]1; 2−

2) [ ] [3; 3 5; 6− ∪ ]

3) [ ]3; 2−

4) [ ] [ ]3; 1 2; 6− − ∪



(2008 - 7 )

Найдите область определения функции y = ( ) 5 4 11273

x−− . A10

1) (0,5; + ∞) 2) (– ∞; 0,5] 3) [0,5; + ∞) 4) [2; + ∞) Ответом на задания В1 – В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. Найдите значение выражения 23 sin 7 cos2α − α

8

, если cos 0,1.α = −B1

Решите уравнение . 17 5 7 9x x+ − ⋅ =B2

B3 Решите уравнение 22 6x x x− − = − .

ЧАСТЬ 2

B4 Вычислите значение выражения

2 2 25log sin log sin log sin

12 6 12π π π

+ + .

B5 Прямая, проходящая через начало координат, является касательной к графику функции ( )y f x= в точке ( )7; 14A − . Найдите ( )7f ′ − . Найдите количество целочисленных решений неравенства 26 5 0x x− − ≥ ,

удовлетворяющих условию 21 tg4xπ+ >0 .

B6



(2008 - 8 )

Решите уравнение ( )( )2 5 525 20 6 2 cos 2 cos .4 4π π− + = − +x xx x (Если

уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите сумму всех его корней).

B7

B8

Функция ( ) определена на всей числовой прямой и является четной периодической функцией с периодом, равным 6. На отрезке функция задана формулой

y f x=[0;3]

2( ) 2 2f x x= + − x . Определите количество нулей этой функции на отрезке [ ] . 5;4−

*B9 В комиссионном магазине цена товара, выставленного на продажу,

ежемесячно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей

цены. Определите, на сколько процентов каждый месяц уменьшалась цена

магнитофона, если, выставленный на продажу за 4000 рублей, после двух

снижений он был продан за 2250 рублей.

Основание прямой треугольной призмы – правильный

треугольник АВС, сторона которого равна 1 1 1ABCA B C

8 3 . На ребре отмечена точка

P так, что Найдите тангенс угла между плоскостями AВС и

ACP, если расстояние между прямыми BC и равно 16.

1BB

1BP : PB 3:5.=

1 1A C

*B10

Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 32 3 . Найдите радиус

окружности, вписанной в треугольник МРК, если точки М, Р и К − середины

сторон AB, CD, EF соответственно.

*B11



(2008 - 9 )

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. C1 Найдите наибольшее значение функции

( ) 2 2 31 2 1 3 2f x x x x= − − + − + − x .

Решите уравнение ( ) ( )2

423 4

2

1log 9 16 2log 3 4x

xx−

− = +−

. C2

ЧАСТЬ 3


Найдите все значения a , для которых при каждом x из промежутка

значение выражения ( ]3; 1− − 4 28C3

2x x− − не равно значению выражения

. 2ax

*C4

Отрезок PN – диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если T – середина ребра ML. Решите уравнение ( ( )) (3 ( )) 30f g x g f x+ + = , если известно, что

4( ) 0,5 4 5f x x x= −

C5

+ и 25, 4

( ) 92 ,5

x

xg x

x 4x

≥⎧⎪= ⎨ + <⎪⎩ −.



(2008 - 10 )





№ задания Ответ В1 2,9 В2 2 В3 −2 В4 −3 В5 −2 В6 6 В7 0,4 B8 4 B9 25 В10 0,5 В11 24


№ задания Ответ С1 2 С2 0,5±

С3 ( ) 7; 9 ;9

⎡ ⎞− ∞ − ∪ + ∞⎟⎢⎣ ⎠

С4 16

С5 −1



(2008 - 11 )


C1 Найдите наибольшее значение функции

( ) 2 2 31 2 1 3 2f x x x x= − − + − + − x . Решение:

1) Функция f определена только при 1 1x− ≤ ≤ . При этих значениях х 21 1x− ≤ , и поэтому 21 2 0x− − < . Следовательно,

( ) 2 2 3 2 31 2 1 3 3f x x x x x x x= − − + − + − = − +2 2

2

.

2) Найдем наибольшее значение функции ( ) 3 23f x x x= − + на отрезке

1 1x− ≤ ≤ . ( ) 23 6f x x x′ = − ( ) 2 0;0 3 6 0

2.x

f x x xx

=⎡′ = ⇔ − = ⇔ ⎢ =⎣2; Но x =

не лежит на отрезке 1 1x− ≤ ≤ . Сравним числа ( )1 2f − = − , ( )0 2f = и ( )1f = 0 . Наибольшее из них 2. Значит, ( )

1 1max 2

xf x

− ≤ ≤= .

Ответ: 2. Баллы Критерии оценки выполнения задания С1

2

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) найдена область определения функции и упрощена формула, задающая функцию; 2) найдено наибольшее значение функции. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

1

Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущены описка и/или вычислительная ошибка в шаге 2), не влияющие на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ.




(2008 - 12 )

C2 Решите уравнение ( ) ( )2

423 4

2

1log 9 16 2log 3 4x

xx−

− = +−

.

Решение:

( ) ( )

( )

( )

2 2

2

2

2

3 4 3 4

4 223 4

22

22 2

3 4

1 log 3 4 2 log 211)log 9 16 2 3 4 0 .

log 3 43 4 1

3 4 1log 1 3 4 2 3 42 23 3 32) .

2 2 22 2 2

2 2 2

x x

x

x

x

x xx

x

x xx x

x x x x

x x x

− −

−

−

⎧ + + = +⎪⎪− = + ⇔ − >⎨

− ⎪ − ≠⎪⎩⎧ + ⎧⎧= =+ = −⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪< ⇔ < ⇔ < ⇔ = ±⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪≠ ≠ ≠⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩⎩

12

Ответ: 12

±


2 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) уравнение сведено к равносильной ему системе, состоящей

из уравнения и двух неравенств; 2) решена полученная система.

Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

1 Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена вычислительная ошибка или описка в шаге 2), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ.




(2008 - 13 )

Найдите все значения , для которых при каждом a x из промежутка ( ]3; 1− −

значение выражения 4 28C3

2x x− − не равно значению выражения . 2ax Решение: 1) Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие

4 2 28 2 ( )x x ax f t− − ≠ ⇔ ≠ 0 , где 2t x= и 2( ) ( 8) 2f t t a t= − + − . Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение ( ) 0f t = не имело корней на

промежутке ) [ )2 2( 1) ;( 3) 1;9⎡ − − =⎣ .

2) График функции ( )y f t= (относительно переменной t ∈R ) есть парабола, изображенная на рисунке: ее ветви направлены вверх, а точка пересечения с осью ординат лежит ниже оси абсцисс (так как (0) 2f = − ). Поэтому квадратный трехчлен ( )f t имеет два корня и . Если 1 0t < 2 0t > 20 t t< < , то

( ) 0f t < , а если , то 2t t> ( ) 0f t > , поэтому уравнение ( ) 0f t = имеет корень на

промежутке [ )1;9 тогда и только тогда, когда 1 9 . 2(1) 0(9) 0

ft

f≤⎧≤ < ⇔ ⎨ >⎩

3) Решим полученную систему: 2

2

1 ( 8) 2 0 7999 9( 8) 2 0

aa

a

⎧ − + − ≤⎪ ⇔ − ≤ <− + − >⎪⎩

⎨ .

Итак, уравнение ( ) 0f t = не имеет корней на промежутке [ )1;9 для всех

остальных значений , т. е. тогда и только тогда, когда 9a или a < − 79

a . ≥

Ответ: , 9a <− 79

a ≥ .

Замечание: в работах выпускников в шаге 2) могут отсутствовать словесные описания, а корни квадратного трехчлена ( )f t могут быть вычислены. Баллы Критерии оценки выполнения задания C3

4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) задача сведена к исследованию корней квадратного уравнения

( ) 0f t = на соответствующем промежутке; 2) показано (возможно, только с помощью рисунка), что

квадратный трехчлен ( )f t имеет два корня разного знака, и получены два условия на параметр , система которых a

91 2t t

y

-2

1t

( )y f t=



(2008 - 14 )

необходима и достаточна для того, чтобы квадратное уравнение ( ) 0f t = имело корень на соответствующем промежутке;

3) полученные неравенства решены и найдены оба множества, составляющие искомое множество значений параметра . a

Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

3

Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допускается, что не показано (ни словесно, ни с помощью рисунка), что квадратный трехчлен ( )f t имеет два корня разного знака. В шаге 2, возможно, содержатся неточности, состоящие в том, что строгие (нестрогие) неравенства заменены нестрогими (строгими). Ответ получен и либо верен, либо отличается от верного из-за допущенных в шаге 2 неточностей.

2

Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 2 получены неравенства на параметр а, система которых необходима и достаточна для того, чтобы квадратное уравнение

( ) 0f t = имело корень на соответствующем промежутке. Возможно, что при этом допущены неточности, состоящие в том, что строгие (нестрогие) неравенства заменены нестрогими (строгими). В шаге 3 найдено (возможно, неверно из-за допущенных в шаге 2 неточностей): • либо множество значений параметра а, при которых квадратное

уравнение ( ) 0f t = имеет корень на соответствующем промежутке,

• либо хотя бы одно из двух множеств, составляющих искомое множество значений параметра а.

1

Приведены шаги 1 и 2 решения, а шаг 3 отсутствует, содержит ошибки или не доведен до конца. В шаге 2 получено хотя бы одно из неравенств на параметр а, необходимое для того, чтобы квадратное уравнение ( ) 0f t = имело корень на соответствующем промежутке, при этом в нем, возможно, строгое (нестрогое) неравенство заменено нестрогим (строгим).

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 – 4 балла.



(2008 - 15 )

Отрезок PN – диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если T – середина ребра ML.

*C4

Решение 1) Пусть О – центр сферы, а R – ее радиус. Тогда

как диаметр сферы. Поскольку точки M и L лежат на сфере, то OP = OL = ON = OM = R. Сечения сферы плоскостями PLN и PMN – окружности радиуса R, описанные вокруг треугольников PLN и PMN, причем ∠PMN =∠PLN = 90

PN = 2R

0 как вписанные углы, опирающиеся на диаметр PN. 2) Пусть H – высота пирамиды PNML, опущенная из вершины M, и h – высота треугольника PLN, проведенная к стороне PN. Поскольку точка M лежит на сфере, а плоскость PLN содержит центр сферы, то H R , причем H R , если ≤ = MO PNL⊥ . Аналогично, поскольку точка L лежит на сфере, то h R , причем h R≤ = , если LO PN⊥ . Отсюда для объема пирамиды PNML имеем

3

PNML1 1 1 1V S H = PN h H 2R R RPNL3 3 2 6

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ⋅ ⋅ ⋅ =

M

L P

N O

T K

R3

. При этом

3

PNMLRV =3

, только если . Таким образом, пирамида PNML имеет

наибольший объем, если треугольники PLN и PMN – прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.

H = h = R

3) Поскольку M , то MOO PLN⊥ OL⊥ . Но PN OL⊥ и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости PMN OL⊥ . Пусть K – середина МО. Проведем KТ – среднюю линию треугольника OLM. Тогда . Значит,

и поэтому KN – проекция NT на плоскость PMN и ∠TNK – угол между прямой NT и плоскостью PMN. Пусть ∠TNK = α.

KT||OLKT PMN⊥

4) По свойству средней линии . Так как треугольники LON, LOM, NOM равны по двум катетам, то треугольник MNL – правильный со стороной

KT = 0,5OL = 0,5R

LN = ON 2 = R 2 . NT – высота треугольника MNL, значит, NL 3 R 6NT = =

2 2. Отсюда KT R/2 1sin . α = = =

NT R 6/2 6Ответ: 1

6.



(2008 - 16 )


4

Приведена верная последовательность шагов решения: 1) установлено, что треугольники PLN и PMN – прямоугольные; 2) установлено, что в пирамиде PMNL, имеющей наибольший объем и вписанной в данную сферу, треугольники PLN и PMN – равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях; 3) построен угол между прямой NT и плоскостью PMN; 4) вычислен синус угла между прямой NT и плоскостью PMN. Обоснованы ключевые моменты решения: а) вид пирамиды, имеющей наибольший объем, вписанной в данную сферу; б) построение угла между прямой NT и плоскостью PMN. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

3

Приведены все шаги решения 1) – 4). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения: явно описан вид искомой пирамиды и построен искомый угол. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях1, но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.

2

Приведены шаги решения 2) – 4). Допустимо отсутствие утверждений, составляющих ключевые моменты а) и б) решения. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Получена искомая величина синуса угла между прямой NT и плоскостью PMN. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.

1

Ход решения правильный, но решение не завершено: имеется шаг 2) решения, который описан словесно или ясно отражен и виден на чертеже (в соответствующих треугольниках обозначены углы, равные 900, и равные стороны). Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок.

0 Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок 1 – 4 баллов.




(2008 - 17 )

Решите уравнение ( ( )) (3 ( )) 30f g x g f x+ + = , если известно, что

4( ) 0,5 4 5f x x x= −

C5

+ и 25, 4

( ) 92 ,5

x

xg x

x 4x

≥⎧⎪= ⎨ + <⎪⎩ −.

Решение:

1) Так как , то ( ) '4 3'( ) 0,5 4 5 2 4f x x x x= − + = − 3 2x = - единственная

критическая точка. Если 3 2x < , то '( ) 0f x < , а если 3 2x > , то '( ) 0f x > .

Значит, 3 2x = - точка минимума. Поэтому ( )3 32 5 3 2наимf f= = − ⋅ .

2) Так как 35 3 2 1− ⋅ > ⇔ 34 3 2 64 27 2> ⋅ ⇔ > ⋅ , то .

Значит,

1наимf >

3 ( ) 4f x+ > для всех x и поэтому (3 ( )) 25g f x+ = для всех x . Получаем уравнение

( ( )) 25 30f g x + = ⇔

4 ( ) 0( ( )) 5 0,5( ( )) 4 ( ) 5 5 .

( ) 2g x

f g x g x g xg x

=⎡⇔ = ⇔ − + = ⇔ ⎢ =⎣Так как для всех ( ) 0g x > x , то уравнение ( ) 0g x = корней не имеет. 3) Решим уравнение ( ) 2g x = . Если 4x ≥ , то ( ) 25g x = и корней нет. Если

4x < , то 9( ) 25

xg xx

= +−

. Так как ( ) '

29 9'( ) 2 2 ln 2 0

5 (5 )x xg x

x x= + = +

− −>

)

,

то на промежутке ( ; функция возрастает. Значит, уравнение 4−∞ g ( ) 2g x = имеет не более одного корня, а один корень находится и проверяется

подстановкой: если 1x = − , то 92 0,5 1,5

x 5 2x

+ = + =−

.

Ответ: . 1− Замечания. 1) В шаге 1) можно обойтись и без производной: 40,5 4 5 1x x− + > ⇔

4 4 2 28 8 0 4 4 4 8 4 0x x x x x x⇔ − + > ⇔ − + + − + > ⇔ 2 2 2( 2) 4( 1)x x− + − > 0

)

,

где последнее неравенство верно, так как и не обращаются в ноль одновременно.

2 2( 2x − 24( 1)x −

2) Аналогично, в шаге 3) проверку неравенства можно заменить ссылкой на то, что ( ) есть сумма двух возрастающих функций.

'( ) 0g x >g x



(2008 - 18 )

Баллы Критерии оценки выполнения задания С5 Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) исследование функции f ; 2) сведение исходной задачи к уравнению ( ( )) 5f g x = , его решение; проверка того, что уравнение ( ) 0g x = не имеет корней; 3) решение уравнения ( ) 2g x = . Обоснованы все моменты решения: а) нахождение обосновано исследованием знака производной; наимf

б) неравенство обосновано проверкой неравенства 1наимf >35 3 2 1− ⋅ > ;

в) отсутствие корней уравнения обосновано положительностью функции ;

( ) 0g x =g

г) единственность корня 1x = − обоснована проверкой возрастания функции при g

4

4x < . Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

3 Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 3) допустима лишь констатация возрастания без ее проверки. Обоснованы ключевые моменты а), б).

g

Допустима 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в одном из шагов 2) или 3), в результате чего может быть получен неверный ответ.

2 Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Выполнены верно шаги 1) и 2): задача сведена к решению уравнения . Обоснован

ключевой момент а). Допустимо, что неравенство

( ) 2g x =35 3 2 1− ⋅ >

приведено без проверки. Допустимо, что дальнейшее исследование уравнения не завершено.

Допустимы 1-2 негрубые ошибки или описки в вычислениях в шаге 3), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате решение может быть не завершено.

1 Ход решения верный. Выполнен верно шаг 1): найдена точка минимума и наименьшее значение функции f . Обоснован ключевой момент а).

Допустимо, что дальнейшее выполнение не завершено, а остальные ключевые моменты не обоснованы.




(2008 - 19 )


Данное программное обеспечение можно скачать из интернета по указанным адресам: Сайт программы http://www.dessci.com/en/Прямая ссылка (30 дней бесплатно) http://www.dessci.com/en/dl/MathType52Setup.exe



«УТВЕРЖДАЮ» Директор Федерального института

педагогических измерений





Демонстрационный вариант ЕГЭ 2009 г. МАТЕМАТИКА, 11 КЛАСС.


(2009 - 2 )



При ознакомлении с Демонстрационным вариантом 2009 года следует иметь в виду, что задания, включённые в демонстрационный вариант, не отражают всех вопросов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2009 году. Полный перечень вопросов, которые могут контролироваться на едином государственном экзамене 2009 года, приведен в кодификаторе, помещенном на сайте www.fipi.ru .

Назначение демонстрационного варианта заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику ЕГЭ и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, количестве заданий, их форме, уровне сложности: базовом, повышенном и высоком.

К каждому заданию с развернутым ответом (тип С), включенному в демонстрационный вариант, дается только одно из возможных решений. Приведённые критерии оценки этих решений позволят составить представление о требованиях к полноте и правильности записи развёрнутого ответа.


Для правильной распечатки файла демонстрационного варианта по

математике необходимо установить на компьютере программное обеспечение MathType версии не ниже 5.0.

http://www.fipi.ru/



(2009 - 3 )





Часть 1 содержит 13 заданий (А1–А10 и В1–В3) базового уровня по материалу курса математики. К каждому заданию А1–А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1–В3 надо дать краткий ответ.

Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4–В11, С1, С2) по материалу курса математики. К заданиям В4–В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 – записать решение.






(2009 - 4 )

ЧАСТЬ 1

При выполнении заданий А1–А10 в бланке ответов №1 под номером выполняемого задания поставьте знак "×" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

A1 Упростите выражение

1,4

0,71010

.

1) 0,7 2) 2 3) 0,710 4) 210

A2

Вычислите: 3 0,064 27.⋅

1) 0,36 2) 3,4 3) 1,2 4) 0,012

A3

Вычислите: 2 2log 400 log 25− .

1) 8 2) 2 3) 3 4) 4

A4

На одном из рисунков изображен график функции Укажите

мер этого рисунка. 2log .y = x

но

1)

у

х 1

1

0

2)

y

1

1 0 х

3)

y

1

1 0 х

4)

у

х 1

1

0



(2009 - 5 )

A5 Найдите производную функции . ( ) 24= −xh x e x

1) ( ) 343

′ = −xh x e x

( ) 8′ = −xh x e x 2)

( ) 2′ = −xh x e x 3)

( ) 4′ = −xh x e x 4)

A6

Найдите множество значений функции 3 cos .y x=

1) ( );− ∞ + ∞ 2) [ ]3; 3− 3) [ ]1; 1− 4) [ ]0; 3

A7

На рисунке показано изменение уровня воды водохранилища в течение 12 часов во время паводка. Как только уровень воды превысил отметку 10 метров, через сливные отверстия в плотине начали сбрасывать воду до того момента, пока её уровень понизился до отметки 10 метров. Определите, сколько часов длился сброс воды.

1) 10 2) 2 3) 6 4)

Время, ч

0 2 4

Уровень воды, м

6 8 10 12

5

10

15

4

A8 Решите неравенство 6 18 0.

7x

x+ ≤

1) [ ) ( )3; 0 0;− ∪ + ∞

[ )3; 0− 2)

[ )3;− + ∞ 3)

( ] ( ); 3 0;− ∞ − ∪ + ∞ 4)



(2009 - 6 )

A9 Решите уравнение 2cos 0.

2x − =

1)

( ) π1 π ,4

n n n Z− + ∈

2)

π 2π ,4

n n Z± + ∈

3)

π 2π ,4

n n Z+ ∈

π π ,4

n n Z± + ∈ 4)

A10 Решите неравенство 6 114 16.x + ≥

1)

( ]; 1,5− ∞ −

2)

[ )1,5;− + ∞

3) )5;3

⎡− + ∞⎢⎣

4) ( 5;3⎤− ∞ − ⎥⎦

Ответом на задания В1–В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

B1 Найдите c , если osα 4sin

5α = , и 0

2π< α < .

B2

На рисунке изображён график функции у = f(х) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0.

1

1

у

0 х х 0



(2009 - 7 )

B3

Для оклейки стен ванной комнаты (см. рисунок) нужно приобрести керамическую плитку, причем плитка покупается с запасом в 10% от оклеиваемой площади. Ширина двери равна 0,75 м, высота – 2 м. Цена плитки 300 р. за 1 м2. Определите стоимость плитки, если стены решено оклеить полностью, от пола до потолка.

2 м

2,5 м

1,9 м

ЧАСТЬ 2

B4 Решите уравнение ( )5 20 5 125 0

xx + ⋅ − = . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их произведение.)

B5

Функция у = f (x) определена на промежутке (– 2; 7). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции у = f (x) на промежутке ( )2; 7− .

7 x

yy = f ′(x)

1

1

0–2

B6 Вычислите значение выражения 6log 5 lg 86 100+ .

B7

Функция ( ) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой функции при

=y f x

2 1− ≤ ≤x . Найдите значение выражения ( 1) (9)

( 2)− ⋅

−f f

f.

x

y

0 1

1

B8

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение a5x a+ − = 2 имеет ровно 3 корня.

(Если значений более одного, то в бланке ответов запишите их сумму.)

a



(2009 - 8 )

B9

Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 6 : 7 : 10. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 10% и из второй – тоже на 10%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?

B10

Концы отрезка MK лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Угол между прямой MK и плоскостью основания цилиндра равен , 30°

= 8MK , площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите периметр осевого сечения цилиндра.

40π

B11 Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9, а радиус вписанной в нее

окружности равен 4. Найдите большее основание трапеции.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем – решение.

C1

Найдите наименьшее значение функции

22( )

16хf x

х=

+ при 5,5 2,5x − ≤ .

C2

Найдите все значения х, при каждом из которых выражения

sin 2tg

xx

и 4 42 sin 2 cos

2tg

2x x

x

− принимают равные значения.



(2009 - 9 )

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания С3–С5 используйте бланк ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем – обоснованное решение.

C3

Найдите все значения 1x > , при каждом из которых наибольшее из двух чисел и больше 5. 2log 2log 32 2xa x= + − x

:3

2 2241 logb = −

C4

Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания АВС пирамиды. Точка М лежит на ребре AB так, что : 1AM MB = . Точка Т лежит на прямой AF и равноудалена от точек

М и B. Объем пирамиды TВCM равен 564

. Найдите радиус сферы,

описанной около пирамиды FABC.

C5

Найдите все значения параметра p , при каждом из которых уравнение

0,4 0,2 3(1,5 7) 32 (29 154) 0,125 11 41 0x

xp p−+− ⋅ + − ⋅ + − =p имеет ровно

различных корней.

210 24p p− −



(2009 - 10 )

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ДЕМОНСТРАЦИОННОГО ВАРИАНТА ПО МАТЕМАТИКЕ




№ задания Ответ В1 0,6 В2 -1,5 В3 5940 В4 2 В5 2 В6 13 В7 – 0,5 B8 7 B9 13 В10 28 В11 12


№ задания Ответ С1 0,2

( ) 11 ,4

n n n+ π− ⋅ + π ∈Z С2

1 8, 32x x< < > С3 13

С4

С5 6



(2009 - 11 )


C1 Найдите наименьшее значение функции

22( )

16хf x

х=

+ при 5,5 2,5x − ≤ .

Решение: 1) 5,5 2,5 2,5 5,5 2,5 3 8x x− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤x .

2) ( )

( ) ( )

2 2

2 22 2

2 16 2 2 16( ) 216 16

х х х хf xх х

+ − ⋅ −′ = = ⋅+ +

.

( ) 0f x′ = при 4x = , при 4x = − . [ ]4 3;8− ∉ .

6(3) 0,2425

f = = , 8(4) 0,2532

f = = , 16(8) 0,280

f = = .

Наименьшее значение функции ( )y f x= на отрезке [ ]3;8 равно . 0,2 Ответ: 0,2.


2

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) определен промежуток, на котором требуется найти наименьшее значение функции; 2) найдено наименьшее значение функции. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

1

Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущены описка и/или вычислительная ошибка в шаге 2), не влияющие на дальнейший ход решения. В результате этой описки или ошибки может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла. 0



(2009 - 12 )

C2 Найдите все значения х, при каждом из которых выражения

sin 2tg

xx

и 4 42 sin 2 cos

2tg

2x x

x

− принимают равные значения.

Решение:

( )

( )( )

4 4 4 4

1

2 sin 2 cos sin 2 2 sin 2 cossin 2 2 2 2 21) 0.tg tg tg

2 sin 2 cos2 sin cos 2 cos2) 0 0tg tg

2 sin 2 cos 0 2 sin 2 0cos 0 cos 0 1 , .

4sin 0 sin 0

n

x x x xxxx x x

x xx x xx x

x x xx x x n nx x

+

− − += ⇔ =

++ = ⇔ = ⇔

⎧ + = ⎧ + =⎪⎪ ⎪ π≠ ⇔ ≠ ⇔ = − ⋅ + π ∈⎨ ⎨⎪ ⎪≠ ≠⎩⎪⎩

Z

Ответ: ( ) 11 ,4

n n n+ π− ⋅ + π ∈Z .


2

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) составлено уравнение по условию задачи; 2) найдены корни полученного уравнения. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

1

Приведена верная последовательность всех шагов решения. Допущена вычислительная ошибка или описка в шаге 2), не влияющая на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла. 0



(2009 - 13 )

C3 Найдите все значения 1x > , при каждом из которых наибольшее из двух чисел и больше 5.

2log 2log 32 2xa x= + − x2 2241 logb = −

Решение: Так как 1x > , то . 2log 0x >

1) 22 2

22

log loglog log 32 2

log7 10

5 2 5x

x xx

xa

+−

−> ⇔ + > ⇔ > ⇔0

( ) ( ) 22 2

2

log 5log 2 log 5 0

log 2.

xx x

x

>⎡⇔ − ⋅ − > ⇔ ⎢

<⎢⎣

2) . 2 2 2 22 2 25 41 log 5 4log 36 log 9 logb x x x> ⇔ − > ⇔ < ⇔ < ⇔ <2 3x

28.x <

3) Наибольшее из чисел и больше 5 тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них больше 5, т.е. когда

a b

2

2

log 55 35 log 3

xa xb x

>⎡> >⎡ ⎡⇔ ⇔⎢⎢ ⎢> <⎣ ⎣⎢⎣

Ответ: 1 8, 32x x< < > . Баллы Критерии оценки выполнения задания С3

4

Приведено верное решение, содержащее в каком-либо порядке и виде следующие шаги: 1) решение первого неравенства; 2) решение второго неравенства; 3) составление совокупности указанных двух неравенств и ее решение. Получен верный ответ.

3

Приведено логически верное решение, содержащее шаги 1), 2) и 3). Получен ответ. Допустимы вычислительные ошибки, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок возможен неверный ответ.

2 Верно выполнены шаги 1) и 2) решения, а шаг 3) либо отсутствует, либо не доведен до конца, либо выполнен неверно. Ответ не получен или неверен.

1

Верно выполнен один из шагов 1) или 2) решения, а остальные шаги либо отсутствуют, либо не доведены до конца, либо выполнены неверно. Ответ не получен или неверен. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1–4 балла. 0



(2009 - 14 )

: 3

C4 Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания АВС пирамиды. Точка М лежит на ребре AB так, что : 1AM MB = . Точка Т лежит на прямой AF и равноудалена от точек

М и B. Объем пирамиды TВCM равен 564

. Найдите радиус сферы,

описанной около пирамиды FABC.

Решение: 1) Пусть O – центр сферы радиуса R,

описанной около пирамиды FABC. Так как OA , а О ∈ АВС, то точка О является также центром окружности радиуса R, описанной около треугольника АВС. Треугольник АВС – правильный, следовательно, О – точка пересечения медиан треугольника АВС,

OB OC OF R= = = =

AB R 3= . A M N P B

T

F

C

O H

L

2) FABC – правильная пирамида, поэтому FO – высота пирамиды и AFO ⊥ ABC. По условию T∈AF и TM TB= . Опустим из точки T перпендикуляр TН на прямую АO. Так как AFO ⊥ ABC, то TH ⊥ ABC, и следовательно, ТН – высота пирамиды TВCM, а отрезки НМ и HB – проекции равных наклонных TМ и TB. Значит, , и поэтому треугольник ВНМ – равнобедренный, а его высота НР является медианой, то есть

HM HB=

PM PB= .

3) Объем V пирамиды TВCM, равный BCM1 TH S3

⋅ , выразим через R. Из

условия AM 1MB 3

= имеем 1 RAM AB4 4

= =3 , 3R 3MB

4= ,

3R 3MP8

= . Отсюда 5R 3AP8

= . В прямоугольном треугольнике

АРН угол А равен , следовательно, 30 AP 5RAHcos30 4

= = . Так как

, то прямоугольный треугольник AOF – равнобедренный, поэтому в прямоугольном треугольнике АТН угол А равен , следовательно, . Медиана CN правильного треугольника АВС является его высотой. Поэтому CN – высота треугольника ВСМ. Следовательно, площадь треугольника ВСМ можно найти по формуле

. Имеем

OA OF=45

AH TH=

BCMS 0,5CN B= ⋅ M 3 3CN CO2 2

= =R и

2

BCM9R 3S

16= . Отсюда



(2009 - 15 )2 31 5R 9R 3 15R 3V

3 4 16 64= ⋅ ⋅ = . По условию

3 3 564 64

=15R ,

откуда 3 1R3 3

= и 1R3

= .

Ответ: 13

.


4

Приведена верная последовательность шагов решения: 1) установлено, что центром сферы, описанной около пирамиды FABC, является точка пересечения медиан треугольника АBС; 2) установлено положение основания Н высоты TH пирамиды TBCM; 3) площадь основания, высота и объем пирамиды TBCM выражены через радиус R сферы, описанной около пирамиды FABC, вычислена искомая величина R. Верно обоснованы ключевые моменты решения: а) центр сферы, описанной около пирамиды FABC, – точка пересечения медиан основания пирамиды; б) основание H высоты TH пирамиды TBCM лежит на прямой АО, содержащей медиану треугольника АBС. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.

3

Приведены все шаги решения 1) – 3). Приведены утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения. Допустимы отсутствие обоснований ключевых моментов решения или неточности в обоснованиях1, но не грубые ошибки. Допустимы одна описка и/или негрубая ошибка в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этой описки и/или ошибки возможен неверный ответ.

2

Приведены шаги решения 1) – 3). Утверждения, составляющие ключевые моменты а) и б) решения, либо оба отсутствуют, либо приведено только одно из них. Но сами ключевые моменты использованы в решении. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы описки и/или негрубые ошибки в вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этого возможен неверный ответ.

1 Ход решения правильный, но решение не завершено: указано положение центра описанной сферы (описано словесно либо отражено на чертеже). Найдены некоторые числовые

1 Неточностью в обоснованиях является замена свойства на определение или на признак или наоборот, а также неверные названия теорем или формул.



(2009 - 16 )

характеристики пирамид, например, длина отрезка АР выражена через радиус R сферы, описанной около пирамиды FABC. Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в преобразованиях и вычислениях, не влияющие на правильность хода решения. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления 1 – 4 баллов. 0

C5

Найдите все значения параметра p , при каждом из которых уравнение

0,4 0,2 3(1,5 7) 32 (29 154) 0,125 11 41 0x

xp p−+− ⋅ + − ⋅ + − =p имеет ровно

210 24p p− − различных корней.

Решение:

1) Так как 0,4 0,2 5 0,4 0,2 2 132 (2 ) 2 2 4x x x x⋅+ + += = = , 33 3125 (2 ) 2x x

x0,− −

−= =

=

0

,

то . (3 14)4 (29 154)2 11 41 0x xp p p− + − + −

Пусть . Тогда получаем квадратное уравнение относительно с параметром

2 xt = > tp :

2(3 14) (29 154) 11 41 0p t p t p− + − + − = . (*)

Значит, число различных корней исходного уравнения не больше 2 . n 2) Если 2 , то по условию n = 210 24 2p p− − = , , что невозможно, т.к. . Остаются случаи

2 10 26 0p p− + =4 0D = − < 1n = и . 0n =

Если 1n = , то 2 210 24 1, 10 25 0, 5p p p p p− − = − + = = . Тогда

уравнение (*) примет вид 21 29 14 0, 2, 7t t t t− + = = = . Так как 2 xt = , то

. Поэтому 21 1,x = 2 log 7x = 2 n = . Противоречие с равенством . 1n =

3) Если 0 , то n = 2 21 210 24 0, 10 24 0, 4, 6p p p p p p− − = − + = = = .

Пусть 4p = . Тогда уравнение (*) примет вид 22 38 3t t 0− − + = . Ветви параболы направлены вниз, ось она пересекает выше точки . Поэтому уравнение (*) имеет ровно один положительный корень и

исходное уравнение имеет ровно один корень

Oy (0; 0)

0t

2 0logx t= . Значит, 1n = .

Противоречие с равенством 0n = . Пусть 6p = . Тогда уравнение (*) примет вид

Так как 2 024 20 25 0, 2,5t t t+ + = = − . xt = > , то исходное уравнение не имеет корней. Значит, 6p = удовлетворяет условию задачи.



(2009 - 17 )

Ответ: 6 . ЗАМЕЧАНИЯ. А) В шаге 2) не обязательно явно указывать 2 корня исходного уравнения. Допустимо использование только положительности корней уравнения (*). Б) В шагах 2) – 3) можно не объяснять, как найдены корни квадратного уравнения. В) В шаге 3) можно явно решить квадратное уравнение относительно и указать его положительный корень.

t


4

Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) тождественные преобразования показательных выражений и оценка 2 числа корней исходного уравнения; n ≤2) разбор случаев 2n = и n = 1; 3) разбор случая 0n = , проверка того, что р = 6 удовлетворяет условию. Обоснованы все моменты решения: а) в шаге 2) явно указаны два корня исходного уравнения или же их существование объяснено ссылкой на неравенство t > 0; б) в шаге 2) разбор случаев 2n = и n = 1 обоснован свойствами квадратичной функции и/или явным указанием её нулей; в) в шаге 3) имеется ссылка на условие t > 0. Все преобразования и вычисления верны. Получен верный ответ.

3

Приведена верная последовательность всех шагов решения. В шаге 3) допустимо отсутствие обоснования в). Обоснованы ключевые моменты а) и б). Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка в шаге 3), не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате может быть получен неверный ответ.

2

Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения. Верно выполнен шаг 1). В шаге 2) верно исследован только один из случаев n = 2 или n = 1. При их рассмотрении обоснован хотя бы один из ключевых моментов а), б). Допустимо, что решение не завершено.

1

Общая идея, ход решения верны. Верно выполнен шаг 1): исходное уравнение сведено к квадратному относительно новой переменной. Получена оценка 2n ≤ числа корней исходного уравнения. Допустимо, что решение не завершено. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла. 0

1

(с) Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации

Разрешается свободное распространение данного материала в неизменном виде


контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2010 года

по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2010 года разрабо-

тан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и

науки Российской Федерации.

Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать

представление о структуре будущих контрольных измерительных мате-

риалах, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания Де-

монстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, кото-

рые могут быть включены в контрольно-измерительные материалы в 2010

году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень

вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по ма-

тематике для составления контрольных измерительным материалов ЕГЭ

2010 г.

Правильное решение каждого из заданий В1-В12 части 1 экзамена-

ционной работы оценивается 1 баллом. Полное правильное решение каж-

дого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами С5 и

С6 – 4 баллами. Максимальный балл за выполнение всей работы – 30.

Предполагается, что верное выполнение не менее пяти заданий эк-

заменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, под-

тверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных

программ общего (полного) среднего образования. Конкретное значение

минимального тестового балла, подтверждающего освоение выпускником

основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего

образования, определяется Федеральной службой по надзору в сфере об-

разования и науки Российской Федерации в установленном порядке.

К каждому заданию с развернутым ответом, включенному в демон-

страционный вариант, дается одно-два возможных решения. Приведен-

ные критерии оценивания позволяют составить представление о требова-

ниях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант

контрольных измерительных материалов и система оценивания, специ-

фикация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к

ЕГЭ по математике.

2




Демонстрационный вариант

контрольных измерительных материалов 2010 года


На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4

часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий.

Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1–В12) базового

уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются вы-

полненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа

или конечной десятичной дроби.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу

курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и

ответ.

Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не

удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению

пропущенных заданий можно вернуться, если у вас останется время.


3



Часть 1

Ответом на задания В1-В12 должно быть целое число или конечная де-

сятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов №1 справа

от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую

цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответ-

ствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать

не нужно.

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов

можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на

20%?

На графике показано

изменение температу-

ры воздуха на про-

тяжении трех суток.

На оси абсцисс отме-

чается время суток в

часах, на оси ординат –

значение температуры

в градусах. Определи-

те по графику наиболь-

шую температуру воз-

духа 15 августа.

Найдите корень уравнения 23 27x .

В треугольнике ABC угол C равен 90о,

5AB , cos 0,8A . Найдите BC .

B1

В2

B3

B4

4



Строительная фирма планирует купить 70 3м пеноблоков у одного из

трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице.

Сколько рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с достав-

кой?

Поставщик Стоимость пеноблоков

(руб. за 1 м3 )

Стоимость

доставки

(руб.)

Дополнительные

условия доставки

1 2600 10000

2 2800 8000

При заказе товара на

сумму свыше 150000

рублей доставка бес-

платная.

3 2700 8000

При заказе товара на

сумму свыше 200000

рублей доставка бес-

платная.

Найдите площадь четырехугольника, изобра-

женного на клетчатой бумаге с размером

клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте

в квадратных сантиметрах.

Найдите значение выражения 2 2

1log 200 log

25 .

На рисунке изображен график функции

y f x и касательная к этому графику

в точке с абсциссой, равной 3. Найдите

значение производной этой функции в

точке 3x .

B5

B6

B7

B8

5



Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три

раза больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у первого. Най-

дите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на кото-

рой он находится, описывается формулой 25 18h t t t (h – высота в

метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите,

сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

Найдите наибольшее значение функции

32cos 3

3y x x

на отрезке 0;

2

.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколь-

ко дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за

два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?

Часть 2

Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк

ответов №2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а за-

тем полное обоснованное решение и ответ.


2 23 3 1 7,

2 2 sin .

x x x x

y x

Сторона основания правильной треугольной призмы 1 1 1ABCA BC равна 2 ,

а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью

1A BC и плоскостью основания призмы.

Решите неравенство 22 2

3 3

1log 9 log 3 2

16x xx x .

На стороне BA угла ABC , равного 30

, взята такая точка D, что 2AD и

1BD . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и ка-

сающейся прямой BC.

B9

B10

B11

B12

C1

С2

С3

С4

6



Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

4 3 9 1x x x a x

имеет хотя бы один корень.

Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чи-

сел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к деся-

тичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную за-

пись числа b, то получится десятичная запись числа, равного b

a.

С5

С6

7



Система оценивания демонстрационного варианта

контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ

Ответы к заданиям части 1

Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 бал-

лом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуе-

мый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дро-

би.


В1 5

В2 14

В3 5

В4 3

В5 192000

В6 18

В7 3

В8 2

В9 9

В10 2,4

В11 1

В12 20



С1 2, 1 , .

4

nx y n n Z

С2 30

С3 –1

С4 1 или 7

С5 8 6a

С6 2, 5a b

8



Решения и критерии оценивания заданий части 2

Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности

ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развернутым отве-

том: решение должно быть математически грамотным, полным, все воз-

можные случаи должны быть рассмотрены, из него должен быть понятен

ход рассуждений учащегося. Методы решения, формы его записи и фор-

мы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснован-

но получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов.

Эксперты проверяют математическое содержание представленного

решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие тре-

бования к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех воз-

можных ситуаций.

Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0

баллов.

При выполнении задания экзаменуемый может использовать без до-

казательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в

учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учеб-

ников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и

науки Российской Федерации.


2 23 3 1 7,

2 2 sin .

x x x x

y x

Решение.

1. Сделаем замену 2 3 1x x t . Тогда 2 23 1x x t . Теперь первое

уравнение системы можно привести к виду: 2 6 0.t t

Корни: 2t или 3t .

Получаем: 2 3 1 2x x или 2 3 1 3x x .

Первое из этих уравнений не имеет корней. Решим второе: 2 3 10 0;x x

5x или 2x .

2. При каждом из найденных значений x решим второе уравнение систе-

мы.

а) Если 5x , то 5

sin2 2

y .

С1

9



Поскольку 2 2 8 , 8 5 , получаем, что 5

12 2

. Значит, уравнение

5sin

2 2y не имеет решений, поскольку его правая часть меньше 1 .

б) Если 2x , то 1

sin2

y ; 1 ,4

ny n n Z

.

Ответ: 2, 1 , .4

nx y n n Z

Возможны другие формы записи ответа. Например:

А) 3

2, 2 или 2 , 0, 1, 2,...;4 4

x y n y n n

Б)

2,

1 , 0, 1, 2,...4

n

x

y n n

В) 3

2; 2 , 2; 2 ,4 4

n n n Z

.

Баллы Критерии оценивания выполнения задания С1

2 В представленном решении обоснованно получен верный ответ.

1 Верно решено первое уравнение, но система решена неверно.

0 Решение неверно или отсутствует.

2 Максимальный балл

Сторона основания правильной треугольной призмы 1 1 1ABCA BC равна

2 , а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоско-

стью 1A BC и плоскостью основания призмы.

Решение. Обозначим H середину ребра BC (см. рисунок). Так как тре-

угольник ABC равносторонний, а треугольник 1A BC – равнобедренный,

отрезки AH и 1A H перпендикулярны BC . Следовательно, 1A HA – ли-

нейный угол двугранного угла с гранями BCA и 1BCA .

С2

10



Из треугольника 1A AB найдем:

1 1AA .

Из треугольника AHB найдем: 3AH .

Из треугольника 1HAA найдем:

11

1tg .

3

AAA HA

AH

Искомый угол равен 30 .

Ответ: 30 .

Возможны другие формы записи ответа. Например,

А) 6

;

Б) 6

рад.

В) 1

arctg3

и т.п.

Возможны другие решения. Например, решение задачи с использовани-

ем векторов или метода координат.


2 Получен и обоснован верный ответ.

1 Построен или описан линейный угол искомого угла или угол между

перпендикулярами к плоскостям 1A BC и ABC , но получен неверный

ответ или решение не закончено.

0 Решение неверно или отсутствует.


Решите неравенство 22 2

3 3

1log 9 log 3 2

16x xx x .

Решение.

Преобразуем неравенство:

2

3 3

1log 3 3 log 3 2

4x xx x x .

С3

11



Найдем, при каких значениях x левая часть неравенства имеет смысл: 29 0,

3 0,

3 1,

3 0;

x

x

x

x

3 3 0,

3,

2,

3.

x x

x

x

x

Получаем: 3 2x или 2 3x .

Значит, 3 3x x при всех допустимых значениях x . Поэтому

2

3 3 3

1log 3 log 3 log 3 2

4x x xx x x ;

2

3 3

1log 3 1 log 3 2

4x xx x .

Сделаем замену 3log 3x x y . Получаем:

211

4y y ; 2 4 4 0y y ;

22 0y ; 2y .

Таким образом, 3log 3 2x x , откуда 2

3 3x x ; 2 7 6 0x x .

Корни уравнения: 6 и 1 . Условию 3 2x или 2 3x удовле-

творяет только 1x .

Ответ: 1 .

Замечание. Можно не находить область допустимых значений x , а прий-

ти к соотношению 3 3x x другим способом. Тогда решение будет

немного короче.


2

3 3

1log 3 3 log 3 2

4x xx x x .

Заметим, что 3 0x и 3 3 0x x . Значит, 3 0x .

Поэтому 3 3x x . Получаем:

2

3 3

1log 3 1 log 3 2

4x xx x .

Сделаем замену 3log 3x x y . Получаем:

211

4y y ; 2 4 4 0y y ;

22 0y ; 2y .

12



Таким образом,

3log 3 2x x ;

2

3 3 ,

3 0,

3 1;

x x

x

x

2 7 6 0,

3,

2;

x x

x

x

1,

6,

3,

2;

x

x

x

x

1x .

Ответ: 1 .



2 При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая

на правильную последовательность рассуждений, и, возможно, при-

ведшая к неверному ответу.

1 Получен ответ, содержащий наряду с правильным постороннее реше-

ние.

0 Решение не закончено или получен неверный ответ (кроме тех случа-

ев, в которых выставляется 1–2 балла; см. выше).


На стороне BA угла ABC , равного 30

, взята такая точка D, что 2AD и

1BD . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и ка-

сающейся прямой BC.

Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному пер-

пендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – осно-

вание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку

пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а).

Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA,

OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой

AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой

BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и 30B

находим, что PE = 2 3

3. Так как OA = R и 1AP , получаем:

2 1OP R и, следовательно, 2 2 31

3OE R .

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором 60E , нахо-

дим:

23 31 1

2 2R OQ OE R .

С4

13



В результате получаем уравнение для R:

231 1

2R R .

Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные чле-

ны. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня

R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка

Р (см. рисунок б).

Ответ: 1 или 7.

Другое решение. Пусть точка Q касания окружности с прямой BC ле-

жит на луче BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

2 1 2 1 3BQ BA BD BD DA BD ,

откуда 3BQ .

Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC , прове-

денного через точку Q . Из прямоугольного треугольника BQO находим:

2cos30

BQBO

, тогда 1AO OD и

11

2OQ BO .

Таким образом, точка O удалена от точек A , D и Q на одно и то же рас-

стояние, равное 1. Следовательно, O – центр искомой окружности, а ее

радиус равен 1.

Пусть теперь точка 1Q касания окружности с прямой BC лежит на

продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через

точку 1Q перпендикулярно BC , пересекает прямую AB в точке H , а ок-

ружность вторично – в точке T . Тогда

14



1 1

11

3, 30 ,

12, 1.

cos30 2

BQ BA BD HBQ ABC

BQBH HQ BH

Если R – радиус окружности, то 1 2Q T R . По теореме о двух се-

кущих 1HQ HT HA HD , то есть 1 1 2 2 3 3R , откуда находим,

что 7R .


Возможны другие формы записи ответа. Например,

А) 1, 7;

Б) радиус окружности равен 7 или 1.

15




3 В представленном решении верно найдены оба возможных значения

радиуса.

2 Рассмотрены оба случая расположения окружности, но верно найден

только один радиус.

1 Рассмотрен только один случай расположения окружности и верно

найден ее радиус.

0 Оба радиуса найдены неверно или не найдены.


Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

4 3 9 1x x x a x

имеет хотя бы один корень.

Решение.

Запишем уравнение в виде 9 1 4 3 0x x x x a . Функция

9 1 4 3f x x x x x a непрерывна и

1) неограниченно возрастает при 1x , так как при любом раскрытии

модулей имеем

9 9 4 3f x x x x x a kx m ,

где 9 4 4 1 0k ;

2) убывает при 1x , так как при любом раскрытии модулей имеем

9 9 4 3f x x x x x a kx m ,

где 9 4 4 9 0k .

Следовательно, наименьшее значение функция f принимает при

1x , и уравнение 0f x будет иметь корень тогда и только тогда, ко-

гда 1 0f .

Решим это неравенство:

3 1 4a ;

4 1 3 4a ;

1 7a ;

7 1 7a ;

8 6a .

Ответ: 8 6a .


А) 8;6 ;

Б) 8; 6a .

С5

16





3 Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован: например, не

указано явно необходимое и достаточное условие существования кор-

ня, или то, что функция принимает все значения из промежутка

1 ;f , или решение содержит вычислительную ошибку.

2 Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля, в результате

чего получена часть верного ответа (возможно, другие случаи не рас-

смотрены или при их рассмотрении допущены ошибки).

1 Верно рассмотрены отдельные случаи раскрытия модуля, но не найде-

на никакая часть верного ответа.

0 Решение не содержит ни одного верно рассмотренного случая раскры-

тия модуля.


Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чи-

сел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к деся-

тичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную за-

пись числа b, то получится десятичная запись числа, равного b

a.

Решение. Пусть десятичная запись числа b состоит из n цифр. Тогда по

условию задачи можно записать равенство

10n

b ba

a , поэтому 210n b a ab . (1)

Из этого уравнения следует, что 2b a a . Так как числа a и b взаимно

простые, числа 2b a и ab тоже взаимно простые. (Действительно, пусть

p – общий простой делитель этих чисел. Тогда если p делитель a , то p

будет делителем b . Если же p – делитель b , то p будет делителем 2a ,

значит, p – делитель a . Противоречие.)

Поэтому 2 1b a и, следовательно, 10nab . Последнее равенство

при взаимно простых a и b возможно только в двух случаях:

1) 10nb , 1a , но в этом случае не выполняется равенство 2 1b a .

2) b = 5n, a = 2

n. В этом случае равенство b – a

2 = 1 принимает вид

5 4 1n n , откуда 5 1

14 4

n n

.

Функция 5

4

n

f n

возрастает, а функция 1

14

n

g n

убывает. По-

этому уравнение ( ) ( )f n g n имеет не более одного корня, и так как

(1) (1)f g , единственным корнем уравнения является 1n .

С6

17



Ответ: 2, 5a b .


А) 2;5 ;

Б) 5

2,52 ;

В) 2,

5.

a

b



3 Получена система необходимых и достаточных условий на пару иско-

мых чисел и найдено ее решение, но недостаточно обоснована его

единственность.

2 Составлено верное уравнение в натуральных числах, из которого сде-

ланы какие-либо существенные выводы для нахождения искомой пары

чисел, уравнение до конца не решено, но верный ответ приведен.

1 Составлено, но не решено верное уравнение в натуральных числах,

верный ответ приведен.

0 Ответ не найден, или ответ неверен, или в решении отсутствует верное

уравнение в натуральных числах.


Демонстрационный вариант ЕГЭ 2011 г. МАТЕМАТИКА, 11 класс. (2011 - 1 / 18)

© 2011 Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки РФ


Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого

государственного экзамена 2011 года по математике





Пояснения к демонстрационному варианту контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2011 года


Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2011 года разработан

по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.

Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалах, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания Демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольно-измерительные материалы в 2011 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и содержания.

Правильное решение каждого из заданий В1-В12 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Полное правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный балл за выполнение всей работы – 30.

Предполагается, что верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования. Конкретное значение минимального тестового балла, подтверждающего освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования определяется Рособрнадзором в установленном порядке.

К каждому заданию с развернутым ответом, включенному в демонстрационный вариант, дается одно-два возможных решения. Приведенные критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демоверсия, критерии оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.





контрольных измерительных материалов для проведения в 2011 году единого государственного экзамена



На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий.

Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1–В12) базового уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и записать ответ.





Часть 1

Ответом к заданиям этой части (В1-В12) является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов №1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки, без пробелов. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерения писать не нужно. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат – значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа.

t, час

T °C

00:00

13 августа 14 августа 15 августа

6:0012:00

18:000:00

6:0012:00

18:000:00

6:000:00

6:0012:00

18:00

123456789101112131415161718

Найдите корень уравнения 23 27x− = .

B1

В2

B3



В треугольнике ABC угол C равен 90о, 5AB = , cos 0,8A = . Найдите BC .

Строительная фирма планирует купить 70 3м пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешевую покупку с доставкой?

Поставщик Стоимость пеноблоков


Стоимость доставки

(руб. за весь заказ)

Дополнительные условия доставки

1 2600 10000

2 2800 8000

При заказе товара на сумму свыше 150000 рублей доставка бесплатная.

3 2700 8000

При заказе товара на сумму свыше 200000 рублей доставка бесплатная.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдите значение выражения 2 2

1log 200 log

25+ .

B4

B5

B6

B7

B

A C



На рисунке изображен график функции ( )y f x= и касательная к этому

графику в точке с абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке 3x = .

3

Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой ( ) 25 18h t t t= − + (h – высота в метрах,

t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров. Найдите наибольшее значение функции

32cos 3

3y x x

π= + − на отрезке 0;

2

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня?

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

B8

B9

B10

B11

B12



Часть 2 Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Решите уравнение

26cos cos 20

sin

x x

x

− −=

−.

Сторона основания правильной треугольной призмы 1 1 1ABCA B C равна 2 , а

диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью 1A BC и плоскостью основания призмы.


1log 9 log 3 2

16x xx x+ +− − − ≥ .

На стороне BA угла ABC , равного 30 , взята такая точка D, что 2AD = и 1BD = . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и

касающейся прямой BC. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

( )4

2 2

1 2 ,

4

a x y x

x y

⎧ + = + −⎪⎨⎪ + =⎩

имеет единственное решение. Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b,

то получится десятичная запись числа, равного b

a.

C1

С2

С3

С4

С5

С6





Система оценивания экзаменационной работы по математике


Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1 баллом. Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.


В1 5 В2 14 В3 5 В4 3 В5 192000 В6 18 В7 3 В8 2 В9 9 В10 2,4 В11 1 В12 20



С1 2 22 , arccos 2 , .

3 3n n n Z

π π π− + − + ∈

С2 30° С3 –1 С4 1 или 7 С5 4a = С6 2, 5a b= =




Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальный балл.

Эксперты проверяют математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов. Однако они не исчерпывают всех возможных ситуаций.

Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

При выполнении задания экзаменуемый может использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации. Решите уравнение

26cos cos 20

sin

x x

x

− −=

−.

Решение. 1. Уравнение равносильно системе

26cos cos 2 0,

sin 0.

x x

x

⎧ − − =⎨− >⎩

Из неравенства получаем, что sin 0x < . В уравнении сделаем замену cos x t= и решим уравнение

26 2 0t t− − = . 1

2t = − или

2

3t = .

Равенствам 1

cos2

x = − и 2

cos3

x =

на тригонометрической окружности соответствуют четыре точки (см. рисунок). Две из них, находящиеся в верхней полуплоскости, не удовлетворяют условию sin 0x < .

С1

0

12

2

arccos

–arccos

3

23

23



Получаем решения: 2

23

x nπ π= − + и

2arccos 2

3x nπ= − + , где n Z∈ .

Ответ: 2 2

2 , arccos 2 , .3 3

n n n Zπ π π− + − + ∈

Баллы Критерии оценивания выполнения задания С1 2 Обоснованно получен правильный ответ. 1 Верно найдены нули числителя, но или не произведен отбор

найденных решений, или допущены ошибки в отборе. 0 Решение не соответствует ни одному из критериев,

перечисленных выше.

Сторона основания правильной треугольной призмы 1 1 1ABCA B C равна 2 ,



Решение. Обозначим H середину ребра BC (см. рисунок). Так как треугольник ABC равносторонний, а треугольник

1A BC – равнобедренный, отрезки AH и

1A H перпендикулярны BC . Следовательно, 1A HA∠ – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и 1BCA . Из треугольника 1A AB найдем: 1 1AA = .

Из треугольника AHB найдем: 3AH = . Из треугольника 1HAA найдем:

11

1tg .

3

AAA HA

AH∠ = =

Искомый угол равен 30° .

Ответ: 30° .

Возможны другие решения. Например, решение задачи с использованием векторов или метода координат.

Баллы Критерии оценивания выполнения задания С2 2 Обоснованно получен правильный ответ. 1 Способ нахождения искомого угла правильный, но получен

неверный ответ или решение не закончено. 0 Решение не соответствует ни одному из критериев,


С2

B1

A1

C1

C

A

H B




1log 9 log 3 2

16x xx x+ +− − − ≥ .

Решение. Найдем, при каких значениях x левая часть неравенства имеет смысл:

29 0,

3 0,

3 1,

3 0;

x

x

x

x

⎧ − >⎪ + >⎪⎨

+ ≠⎪⎪ − ≠⎩

( )( )3 3 0,

3,

2,

3.

x x

x

x

x

⎧ − + >⎪

> −⎪⎨

≠ −⎪⎪ ≠⎩

Значит: 3 2x− < < − или 2 3x− < < . Поэтому

( ) ( ) ( )23 3 3

1log 3 log 3 log 3 2

4x x xx x x+ + +− + + − − ≥ ;

( ) ( )23 3

1log 3 1 log 3 2

4x xx x+ +− + − − ≥ .

Сделаем замену ( )3log 3x x y+ − = . Получаем:

211

4y y− ≥ ; 2 4 4 0y y− + ≤ ; ( )2

2 0y − ≤ ; 2y = .

Таким образом, ( )3log 3 2x x+ − = , откуда ( )23 3x x+ = − ; 2 7 6 0x x+ + = .

Корни уравнения: 6− и 1− . Условию 3 2x− < < − или 2 3x− < < удовлетворяет только 1x = − . Ответ: 1− . Решение 2. Можно не находить область допустимых значений x , а прийти к соотношению 3 3x x− = − другим способом. Тогда решение будет немного

короче.


( )( )( ) 23 3

1log 3 3 log 3 2

4x xx x x+ +− + − − ≥ .

Заметим, что 3 0x + > и ( )( )3 3 0x x− + > . Значит, 3 0x− > .

Поэтому 3 3x x− = − . Получаем:

( ) ( )23 3

1log 3 1 log 3 2

4x xx x+ +− + − − ≥ .

С3



Сделаем замену ( )3log 3x x y+ − = . Получаем:

211

4y y− ≥ ; 2 4 4 0y y− + ≤ ; ( )2

2 0y − ≤ ; 2y = .

Таким образом,

( )3log 3 2x x+ − = ;

( ) ( )23 3 ,

3 0,

3 1;

x x

x

x

⎧ + = −⎪⎪ + >⎨⎪ + ≠⎪⎩

2 7 6 0,

3,

2;

x x

x

x

⎧ + + =⎪ > −⎨⎪ ≠ −⎩

1,

6,

3,

2;

x

x

x

x

= −⎧⎡⎪⎢ = −⎣⎪⎪ > −⎨⎪ ≠ −⎪⎪⎩

1x = − .

Ответ: 1− . Баллы Критерии оценивания выполнения задания С3

3 Обоснованно получен правильный ответ. 2 Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного

только конечным числом значений x. 1 Ответ неверен, но решение содержит переход от исходного

неравенства к верной системе рациональных неравенств. 0 Решение не соответствует ни одному из критериев,


На стороне BA угла ABC , равного 30 , взята такая точка D, что 2AD = и 1BD = . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и

касающейся прямой BC. Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и 30B∠ = °


3. Так как OA = R и 1AP = , получаем: 2 1OP R= − и,

следовательно, 2 2 31

3OE R= − + .

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором 60E∠ = ° , находим:

С4



23 31 1

2 2R OQ OE R= = = − + .

В результате получаем уравнение для R:

231 1

2R R− = − .

Возведем в квадрат обе части этого уравнения и приведем подобные члены. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см. рисунок б).

Ответ: 1 или 7. Решение 2. Пусть точка Q касания окружности с прямой BC лежит на луче BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

( ) ( )2 1 2 1 3BQ BA BD BD DA BD= ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = ,

откуда 3BQ = . Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC , проведенного через точку Q . Из прямоугольного треугольника BQO находим:

2cos30

BQBO = =

°, тогда 1AO OD= = и

11

2OQ BO= = .

Таким образом, точка O удалена от точек A , D и Q на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, O – центр искомой окружности, а ее радиус равен 1.

Пусть теперь точка 1Q касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через



точку 1Q перпендикулярно BC , пересекает прямую AB в точке H , а окружность вторично – в точке T . Тогда

1 1

11

3, 30 ,

12, 1.

cos30 2

BQ BA BD HBQ ABC

BQBH HQ BH

= ⋅ = ∠ = ∠ = °

= = = =°

Если R – радиус окружности, то 1 2Q T R= . По теореме о двух секущих

1HQ HT HA HD⋅ = ⋅ , то есть ( ) ( )1 1 2 2 3 3R⋅ + = + ⋅ , откуда находим, что 7R = .




Баллы Критерии оценивания выполнения задания С4 3 Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации

и обоснованно получен правильный ответ. 2 Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая

конфигурация, в которой обоснованно получено правильное значение искомой величины.

1 Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неверное из-за арифметической ошибки.

0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Найдите все значения a, при каждом из которых система

( )4

2 2

1 2 ,

4

a x y x

x y

⎧ + = + −⎪⎨⎪ + =⎩

имеет единственное решение.

Решение. Пусть система имеет решение ( );x y . Если 0x ≠ , то система имеет

второе решение ( );x y− . Значит, решение может быть единственным, только

при 0x = . Подставим 0x = в первое уравнение: 2y a= − . Пара ( )0; 2a − должна

удовлетворять второму уравнению:

( )22 4a − = , откуда 0a = или 4a = .

Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение. Первый случай: 0a = . Система принимает вид

2 2

| | 2,

4

y x

x y

= −⎧⎨

+ =⎩

Графиком функции 2y x= −

является угол, который имеет с окружностью 2 2 1x y+ = три общие точки (см. рисунок). Значит, при 0a = система имеет три решения.

С5

y

0–2

–2

2 x

y=|x|–2

x2+y2=4



Второй случай. 4a = . Система принимает вид 4

2 2

4 2,

4.

y x x

x y

⎧ = + +⎪⎨

+ =⎪⎩

Из первого уравнения следует, что при 0x ≠ 2y > , а из второго

уравнения при 0x ≠ получаем, что 2y < . Следовательно, при 0x ≠ система

решений не имеет. Значит, при 4a = есть только одно решение 0, 2x y= = . Ответ: 4a = .


4 Обоснованно получен правильный ответ. 3 Ответ получен, решение в целом верное, но либо

недостаточно обоснованное, либо содержит вычислительные погрешности, в результате которых ответ может быть неверным.

2 Верно получены необходимые условия на значения a , однако в проверке достаточных условий допущены ошибки.

1 Получены только необходимые условия на значения a . 0 Решение не соответствует ни одному из критериев,


Найдите все такие пары взаимно простых натуральных чисел (то есть чисел, наибольший общий делитель которых равен 1) a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b,

то получится десятичная запись числа, равного ba

.

Решение. Пусть десятичная запись числа b состоит из n цифр. Тогда по условию задачи можно записать равенство

10n

b ba

a= + , поэтому ( )210n b a ab− = .

Из этого уравнения следует, что 2b a a> ≥ . Так как числа a и b взаимно простые, числа 2b a− и ab тоже взаимно простые. (Действительно, пусть p – общий простой делитель этих чисел. Тогда если p делитель a , то p будет

делителем b . Если же p – делитель b , то p будет делителем 2a , значит, p – делитель a . Противоречие.)

Поэтому 2 1b a− = и, следовательно, 10nab = . Последнее равенство при взаимно простых a и b возможно только в двух случаях:

1) 10nb = , 1a = , но в этом случае не выполняется равенство 2 1b a− = . 2) b = 5n, a = 2n. В этом случае равенство b – a2 = 1 принимает вид

С6



5 4 1n n− = , откуда 5 1

14 4

n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Функция ( ) 5

4

n

f n ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

возрастает, а функция ( ) 11

4

n

g n ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

убывает.

Поэтому уравнение ( ) ( )f n g n= имеет не более одного корня, и так как (1) (1)f g= , единственным корнем уравнения является 1n = .

Ответ: 2, 5a b= = .

Возможны другие формы записи ответа. Например: А) ( )2;5 ;

Б) 5

2,52= ;

В) 2,

5.

a

b

=⎧⎨ =⎩


4 Обоснованно получен правильный ответ. 3 Получена система необходимых и достаточных условий на

пару искомых чисел и найдено ее решение, но недостаточно обоснована его единственность.

2 Составлено верное уравнение в натуральных числах, из которого сделаны существенные выводы для нахождения искомой пары чисел, уравнение до конца не решено, но верный ответ приведен.

1 Составлено, но не решено верное уравнение в натуральных числах, верный ответ приведен.

0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.


Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого

государственного экзамена 2012 года по математике






контрольных измерительных материалов для ЕГЭ 2012 года по МАТЕМАТИКЕ

Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике 2012 года разработан по заданию Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки Российской Федерации.

Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалов, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Задания демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольные измерительные материалы в 2012 году. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов – в кодификаторах требований и элементов содержания по математике для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2012 года.

Правильное решение каждого из заданий В1–В14 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом. Правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 – 3 баллами, С5 и С6 – 4 баллами. Максимальный первичный балл за выполнение всей работы – 32.

Верное выполнение не менее пяти заданий экзаменационной работы отвечает минимальному уровню подготовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.

К каждому заданию с развёрнутым ответом, включённому в демонстрационный вариант, даётся возможное решение. Приведённые критерии оценивания позволяют составить представление о требованиях к полноте и правильности решений. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов, система оценивания, спецификация и кодификаторы помогут выработать стратегию подготовки к ЕГЭ по математике.





контрольных измерительных материалов 2012 года


На выполнение экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 мин.). Работа состоит из двух частей и содержит 20 заданий.

Часть 1 содержит 14 заданий с кратким ответом (В1–В14) базового уровня по материалу курса математики. Ответом является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и ответ.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручки.

При выполнении заданий Вы можете пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценке работы.

Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.




Часть 1

Ответом на задания В1–В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%? На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.

январь

февраль

март

апрель

май

июнь

июль

август

сентябрь

октябрь

ноябрь

декабрь

5

10

15

20

0

– 5

– 10 Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

B1

В2

B3

1см



Строительная фирма планирует купить 70 3м пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой? Постав-щик

Стоимость пеноблоков


Стоимость доставки

(руб.)

Дополнительные условия доставки

А 2 600 10 000 Нет

Б 2 800 8 000

При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная

В 2 700 8 000

При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная

Найдите корень уравнения 3log ( 3) 2x − = . Треугольник ABC вписан в окружность с центром O . Найдите угол BOC , если угол BAC равен 32° . Найдите sinα , если cos 0,6α = и 2απ < < π .

На рисунке изображён график дифференцируемой функции ( )y f x= . На

оси абсцисс отмечены девять точек: 1 2 3 9, , , ..., x x x x . Среди этих точек

найдите все точки, в которых производная функции ( )f x отрицательна.

В ответе укажите количество найденных точек.

y

xx x x x x x x

x

0

x

1 2 3 4 7 8 9

65

y f (x)=

B4

B5

B6

B7

B8



Диагональ AC основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды SO равна 4. Найдите длину бокового ребра SB .

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах. Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³). Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой ( ) 25 18h t t t= − + , где h –

высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров.

Весной катер идёт против течения реки в 2

13

раза медленнее, чем по

течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом

катер идёт против течения в 1

12

раза медленнее, чем по течению. Найдите

скорость течения весной (в км/ч). Найдите наибольшее значение функции

3π2cos 3

3y x x= + − на отрезке

π0;

2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

B9

B10

B11

B12

B13

B14



Часть 2

Для записи решений и ответов на задания С1–С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ.

а) Решите уравнение π

cos2 1 cos2

x x⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠.




Решите систему неравенств ( )23 3

4 9 2 22,

1log 2 1 log .

2

x x

xx x

x

⎧ ≤ ⋅ +⎪⎨ +

− − ≤ +⎪ −⎩

На стороне BA угла ABC , равного 30 , взята такая точка D, что 2AD = и

1BD = . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции 2( ) 2 | 8 7 |f x ax x x= + − + больше 1.

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3− , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8− . а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

C1

С2

С3

С4

C5

C6





Система оценивания демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ


Каждое правильно выполненное задание части 1 оценивается 1

баллом. Задания части 1 считаются выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Задание Ответ

В1 5 В2 5 В3 18 В4 192 000 В5 12 В6 64 В7 –0,8 В8 3 В9 5 В10 0,92 В11 9 В12 2,4 В13 5 В14 1


Задание Ответ

С1 а) πn ,

π( 1) π

6k k− + , , .n k∈ ∈

б) 11π 7π

2π, ,6 6

− − −

С2 30° С3 ( ]22; log 11

С4 1 или 7 С5 1

; 4 62

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

С6 а) 44; б) отрицательных; в) 17




Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий части 2 зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.

При выполнении задания можно использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.



а) Решите уравнение π

cos2 1 cos2

x x⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠.

Решение.

а) Так как 2cos2 1 2sinx x= − , π

cos sin2

x x⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

, то 21 2sin 1 sin ,x x− = −

22sin sin 0,x x− = 1

sin sin 02

x x⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Корни уравнения: ,x nπ= π( 1) π

6kx k= − + , , .n k∈ ∈

б) Корни уравнения sin 0x = изображаются точками A и B , а

корни уравнения 1

sin2

x = —

точками C и D , промежуток 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠изображается жирной

дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня

уравнения: 2π− , π 11π

2π6 6

− + = − и

π 7ππ

6 6− − = − .

Ответ: а) πn , π

( 1) π6

k k− + , , .n k∈ ∈

б) 11π 7π

2π, ,6 6

− − − .

Другие решения пункта б).

б) Корни, принадлежащие промежутку 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠, отберем по графику

siny x= . Прямая 0y = (ось Ox ) пересекает график в единственной точке

( )2π;0− , абсцисса которой принадлежит промежутку 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠.

С1

2π−

76π−

π−

116π−

52π−

A

С D

B



Прямая 1

2y = пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых

принадлежат 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠ (см. рис.). Так как период функции siny x=

равен 2π , то эти абсциссы равны, соответственно, π 11π

2π6 6− = − и

5π 7π2π

6 6− = − .

В промежутке 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠ содержатся три корня:

11π 7π2π, ,

6 6− − − .

б) Пусть π ,x n n= ∈ . Подставляя ... 3, 2, 1, 0, 1, 2, ...n = − − − , получаем

... 3π, 2π, π, 0, π, 2π, ...x = − − − . Промежутку 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠ принадлежит

только 2πx = − .

Пусть π

( 1) π ,6

kx k k= − + ∈ . Подставляя ... 3, 2, 1, 0, 1, 2, ...k = − − − ,

получаем: 1 1 1 π 1 1

... 3 π, 2 π, 1 π, , 1 π, 2 π, ...6 6 6 6 6 6

x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Промежутку 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠ принадлежат только

11π 7π,

6 6x x= − = − .


; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠ принадлежат корни:

11π 7π2π, ,

6 6− − − .

б) Отберем корни, принадлежащие промежутку 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠.

Пусть π , .x n n= ∈ Тогда 5π 5

π π 1 22 2

n n n− ≤ < − ⇔ − ≤ ≤ − ⇔ = − .

Корень, принадлежащий промежутку 5π

; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠: 2πx = − .

Пустьπ

2π ,6

x n n= + ∈ .



Тогда 5π π 4 7

2π π 12 6 3 12

n n n− ≤ + < − ⇔ − < ≤ − ⇔ = − .


; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠:

11π

6x = − .

Пусть5π

2π ,6

x n n= + ∈ .

Тогда 5π 5π 5 11

2π π 12 6 3 12

n n n− ≤ + < − ⇔ − ≤ < − ⇔ = − .


; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠:

7π

6x = − .


; π2

⎡ ⎞− − ⎟⎢⎣ ⎠ принадлежат корни:

11π 7π2π, ,

6 6− − − .

Содержание критерия Баллы Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б) 2 Обоснованно получен верный ответ в п. а), но обоснование отбора корней в п. б) не приведено или задача в п. а) обоснованно сведена к исследованию простейших тригонометрических уравнений без предъявления верного ответа, а в п. б) приведен обоснованный отбор корней

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл 2




Решение. Обозначим H середину ребра BC (см. рисунок). Так как треугольник

ABC равносторонний, а треугольник 1A BC – равнобедренный, отрезки AH и 1A H перпендикулярны BC . Следовательно, 1A HA∠ – линейный угол двугранного угла с гранями BCA и 1BCA .

Из треугольника 1A AB найдём: 1 1AA = .

Из треугольника AHB найдём: 3AH = . Из треугольника 1HAA найдём:

11

1tg .

3

AAA HA

AH∠ = =

Искомый угол равен 30° .

Ответ: 30° .

С2




А) π

6;

Б) π

6 рад.

В) 1

arctg3

и т.п.

Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат.

Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ, или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано

1


0


Решите систему неравенств ( )23 3

4 9 2 22,

1log 2 1 log .

2

x x

xx x

x

⎧ ≤ ⋅ +⎪⎨ +

− − ≤ +⎪ −⎩

Решение.

1. Неравенство 4 9 2 22x x≤ ⋅ + запишем в виде ( )22 9 2 22 0x x− ⋅ − ≤ .

Относительно 2xt = неравенство имеет вид: 2 9 22 0t t− − ≤ , откуда получаем: ( )( )2 11 0t t+ − ≤ , 2 11t− ≤ ≤ .

Значит, 2 2 11x− ≤ ≤ , 2log 11x ≤ .

2. Второе неравенство системы определено при ( )( )1 2 0,

10,

2

x x

x

x

+ − >⎧⎪⎨ +

>⎪ −⎩

то есть при 1x < − и 2x > . При допустимых значениях переменной получаем:

( )23 3

1log 2 1 log

2

xx x

x

+− − ≤ +

−, ( )( )( )3 3

1log 1 2 log 1

2

xx x

x

++ − − ≤

−,

( )23log 2 1x − ≤ , ( )22 3x − ≤ , 2 3 2 3x− ≤ ≤ + .

С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 2 2 3x< ≤ + .

С3



3. Сравним 2log 11 и 2 3+ . Так как 3 2,25 1,5> = , то

( ) ( ) ( )2 2 2 22 3 3,5 log 8 2 log 8 1,4 log 11,2 log 11+ > = ⋅ > ⋅ = > ,

следовательно, 2log 11 2 3< + .

Решение системы неравенств: ( ]22; log 11 .

Ответ: ( ]22; log 11 .

Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 3 Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но не проведено обоснованного сравнения значений конечных точек найденных промежутков

2

Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ

1


0

Максимальный балл 3 Комментарий. Если обоснованно получены оба ответа: 2log 11x ≤ и

2 2 3x< ≤ + , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что

2log 11 2 3< + , то такое решение оценивается в 2 балла. На стороне BA угла ABC , равного 30 , взята такая точка D, что 2AD = и

1BD = . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC. Решение.

Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A.

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и 30B∠ = °


3.

Так как OA = R и 1AP = , получаем: 2 1OP R= − , следовательно,

2 2 31

3OE R= − + .

С4



Из прямоугольного треугольника OQE, в котором 60E∠ = ° , находим:

23 31 1

2 2R OQ OE R= = = − + .

В результате получаем уравнение:

231 1

2R R− = − .

Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня: R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см. рисунок б).

Ответ: 1 или 7. Другое решение.

Пусть точка Q касания окружности с прямой BC лежит на луче BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

( ) ( )2 1 2 1 3BQ BA BD BD DA BD= ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = ,

откуда 3BQ = . Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC ,

проведённого через точку Q . Из прямоугольного треугольника BQO находим:

2cos30

BQBO = =

°, тогда 1AO OD= = и

11

2OQ BO= = .

Таким образом, точка O удалена от точек A , D и Q на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, O – центр искомой окружности, а её радиус равен 1.



Пусть теперь точка Q касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку Q перпендикулярно BC , пересекает прямую AB в точке H , а окружность вторично – в точке T . Тогда

1

3, 30 ,

12, 1.

cos30 2

BQ BA BD HBQ ABC

BQBH HQ BH

= ⋅ = ∠ = ∠ = °

= = = =°

Если R – радиус окружности, то 2QT R= . По теореме о двух

секущих HQ HT HA HD⋅ = ⋅ , то есть ( ) ( )1 1 2 2 3 3R⋅ + = + ⋅ , откуда

находим, что 7R = .





А) 1, 7; Б) радиус окружности равен 7 или 1.

Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 3 Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок

2

Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки

1


0


Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции 2( ) 2 | 8 7 |f x ax x x= + − + больше 1.

Решение. 1. Функция f имеет вид:

a) при 2 8 7 0x x− + ≥ : 2( ) 2( 4) 7f x x a x= + − + , а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии

4x a= − ; б) при 2 8 7 0x x− + < : 2( ) (2 8) 7f x x a x= − + + − , а её график есть часть

параболы с ветвями, направленными вниз. Все возможные виды графика функции ( )f x показаны на рисунках:

Рис. 1

Рис. 2

С5



Рис. 3

Рис. 4

2. Наименьшее значение функция ( )f x может принять только в точках 1x = или 7x = , а если 4 [1; 7]a− ∉ – то в точке 4x a= − .

3. Наименьшее значение функции f больше 1 тогда и только тогда, когда

(1) 1,

(7) 1,

(4 ) 1

f

f

f a

⎧ >>− >

⎪⎨⎪⎩

⇔ 2

2 1,

14 1,

2 (4 ) | 9 | 1

a

a

a a a

>⎧

>

− + − >

⎪⎨⎪⎩

⇔

2 2

1,

21

,14

2 8 1 | 9 | 0

a

a

a a a

>

>

− + − − <

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⇔

⇔

2

2

3,

8 10 0

13,

2

3 8 8 0

a

a a

a

a a

≥

− + <

< <

−

⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩

⎡⎢⎢

⎣ − <

⎢⎢⎢⎢

⇔

3,

4 6 4 6

13,

2

4 40 4 40

3 3

a

a

a

a

≥

− < < +

< <

− +

⎡⎧⎪⎢⎨⎪⎢⎩⎢⎧⎢⎪⎪⎢⎨⎢⎪⎪⎣

<⎩

<⎢⎢

⇔

⇔ 3 4 6

13

2

a

a

≤ < +

< <

⎡⎢⎢⎢⎣

⇔ 1

4 62

a< < + .

Ответ: 1

; 4 6 .2

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠



Содержание критерия Баллы Обоснованно получен правильный ответ 4 Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки

3

Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна

2

Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом

1


0

Максимальный балл 4 На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3− , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8− . а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

( )4 8 0 3k l m k l m− + ⋅ = − + + .

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k l m+ + — количество целых чисел — делится на 4. По условию 40 48k l m< + + < , поэтому 44k l m+ + = . Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство ( )4 8 3k l k l m− = − + + к виду 5 7 3l k m= + . Так

как 0m ≥ , получаем, что 5 7l k≥ , откуда l k> . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

воценка) Подставим 44k l m+ + = в правую часть равенства ( )4 8 3k l k l m− = − + + : 4 8 132k l− = − , откуда 2 33k l= − . Так как

44k l+ ≤ , получаем: 3 33 44,l − ≤ 3 77,l ≤ 25,l ≤ 2 33 17;k l= − ≤ то есть положительных чисел не более 17.

впример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число 8− и два

С6



раза написан 0. Тогда 4 17 8 25 68 200

344 44

⋅ − ⋅ −= = − , указанный набор

удовлетворяет всем условиям задачи. Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Содержание критерия БаллыВерно выполнены: а), б), впример), воценка) 4 Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), впример), воценка) 3 Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), впример), воценка) 2 Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), впример), воценка) 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0


Documents

2002-2012 Единый государственный экзамен ЕГЭ