2009台南市市長盃國民中學數學能力競賽第二階段試題分析

•左太政 / 國立高雄師範大學數學系

•第一部分（第 1 題到第 20題每題 3分，共 60分）

1.在一個三位數的百位數之前與個位數之後皆加一個數字 6 ，結果新數比原數多 64110，試求原三位數。　 (A) 123 (B) 246 (C) 456 (D) 567

•( 參考解答 ) 設此三位數為 x ， 則新的五位數＝ 60000＋ x ． 10＋ 6 所以 60000＋ 10x ＋ 6 － x ＝64110 ∴ x ＝ 456

答案為 (C)

2.傑克老師把某一班寒假到校掃地的學生分組分派工作。若每 5 人一組，則餘 4 人，每 6 人一組，則餘 3 人，若此班學生的女生共 21人，則這一班男生至少有多少人？  (A) 21人 (B) 20人 (C) 19人 (D) 18 人( 參考解答 )Ans: D• 設全班m 人，則 m ＝ 5x＋ 4 ，且 m ＝ 6y＋ 3 ， 其中 x,y皆為正整數， 由題意知　　 5x＋ 4 ＝ 6y＋ 35x＝ 6y－ 1

(1) 若 y ＝ 1 時 x ＝ 1 （不含）

(2) y＝ 2, 3, 4, 5皆不含(3) y=6時， x ＝ 6 ＋ 1 ＝ 7 為最小的解

∴ m ＝ 39， 39－ 21＝ 18表示男生最少 18人

另解• 設男生人數為 x 人，由題意知， 21+x-4為 5 的倍數，且 21＋ x-3為 6 的倍數，即 x+17為 5 的倍數，且 x+18為 6 的倍數，若 x=3,8,13，不合。若 x=18，符合題意。

3. 如右圖一，為一個邊長為 3 的正方形，且每一個小方格也都是正方形；試求： 之值。  (A) (B) (C) (D)

• Ans:(D)

由圖形觀察得知 正好是故

圖一

4321

o135 o150o165 o180

1 45 3, 2 4 90

1 2 3 4 180

另解

圖一

4. 試求 :

(A) 1002 (B) 1003 (C) 1004 (D) 1005

• Ans:(C)

2 5 2 4 7 2 6 9 2 2004 2007 2 2006 2009 2

1 4 2 3 6 2 5 8 2 2003 2006 2 2005 2008 2

2 5 2 4 7 2 6 9 2 2004 2007 2 2006 2009 2

1 4 2 3 6 2 5 8 2 2003 2006 2 2005 2008 2

2 5 2 4 7 2 6 9 2 2006 2009 2

1 4 2 3 6 2 5 8 2 2005 2008 2

2 3 4 10041004

1 2 3 1003

5.若 、 都是整數，已知 x 的一元二次方程式 的相異兩根都是質數，試求 之值。

(A) 300 (B) 301 (C) 302 (D) 303

Ans:B

a b2 2009 0ax bx

5a b

• ( 參考解答 ) 假設 為 的相異兩質數根。

      

所以兩根 為 7,41

故

, 2 2009 0ax bx

22009 7 41

b

a

a a

7,a

,

7 48 336b a

5 35 306 301a b

6.已知標準身材的定義是 = ，

此值稱為黃金比值，現有一女生身高 152公分，肚臍高度 92公分的女孩，欲藉穿高跟鞋來提高肚臍高度以滿足標準身材的定義，試問：該女生穿多少公分（取最近的整數）的高跟鞋較恰當？

( 參考數值： ) (A)3公分 (B)4公分 (C) 5公分 (D) 6公分

身高肚臍高度

肚臍高度肚臍距頭頂距離

2 1.414, 3 1.732, 5 2.236

Ans:C

•設鞋高 x 公分，∴

x ≒ － 62＋ 30 ≒-62+67.08=5.08

∴x 約為 5

2 124 656 0x x

92 60

152 92

x

x x

2( 62) 4500x 5

7. 將一個圓周 12等份得到 12個等分點，依序標為 ；現在連接 跟

線段，再連接 跟 線段，最後連接 跟 以及 跟 兩直線交於圓外一點 ；

若 ，試求 的長度是多少？ (A) (B) (C) 10 (D) 15

Ans: (C)

12321 ,,,, AAAA 1A 7A

5A 9A 5A 7A

1A 9A P3595 AA PA7

32

15310

( 參考解答) 利用         直角三角形性質 如圖所示：          將圓 12等份，所以每一等分的弧的度數都是 30度，且所以                        （圓周角相等）因此 ＝圓的直徑。又  且          ，在直角三角形     及     中，所以

因此

12321 ,,,, AAAA

9 1 7 1 7 9 5 7 30oA A A APA A A A

9571 AAAA 717 AAPA

3595 AA

2

5,

2

15,3

2

5719 QAQAQA

102

5

2

1571717 QAQAAAPA A8

P

A11

A12

A9 A10

A7

A4

A1

A2

A3

A5

A6

2 8 1 9//A A A A

Q

30 60 90

7 8A QA 1 9AQA

8. 已知 均是質數，若 也是一個質數，試求 之值。

(A) 7 (B) 11 (C) 13 (D) 17

Ans:(B)

又 都是質數         為一奇一偶，即 因此

yx, 22 23 yxyxp p

))(3(23 22 yxyxyxyxp yx, 1 yx

2,3 yx

2 23 2 (3 )( )

3 3 2 11

p x xy y x y x y

,x y

9. 假設 ，試求 之值。

(A)36 (B) 37 (C) 45 (D) 49

Ans:(C)

3,2122 abba2)(

b

a

a

b

454)3

21(4)(4)()( 22

2222

ab

ab

b

a

a

b

b

a

a

b

b

a

a

b

10.從 4 個不同的正整數中，任意取出 3個相異數，並計算其乘積之後，發現其乘積分別為 ,98以及 2009，

試求 兩數乘積之最小值。  (A) 329470 (B) 329472

(C) 329474 (D) 329476

• Ans:(D)

• 提示：將此四數 ,98以及 2009 相乘，即為原來四個整數的三次方。

,a b,a b

,a b

10.從 4 個不同的正整數中，任意取出 3 個相異數，並計算其乘積之後，發現其乘積分別為 ,98以及 2009，試求 兩數乘

積之最小值 (A) 329470 (B) 329472

(C) 329474 (D) 329476• Ans:(D)依題意可知： 為立方數

兩數乘積之最小值為

,a b ,a b

98 2009a b

498 2009 2 7 41a b a b

2 2 22 7 41 329476

,a b

11.某一軟體程式被設計用來搜尋整數，並計算共掃瞄了多少個數字，現在依序出現 1、 2 、 3 、 4 、 5 、 6……等整數，若此軟體共掃瞄了「 2897」個數字數，試求最後掃瞄的數是多少？

(A) 1004 (B) 1003 (C) 1002 (D) 1001

• Ans:(D)  先確定幾位數。 1×9＋ 2×90＋ 3×900＝ 2889

2897－ 2889＝ 8 ，因 1000及 1001共有 8 個數字，故最後掃瞄的數是 1001 。

12. 102009－ 91 計算後得一整數，試求此整數所有數字和。　

(A)18081 (B) 18072 (C) 18063

(D) 18056

Ans:(B) 可考慮用歸納法，尋找規律性。  例 103－ 91＝ 909， 104－ 91＝ 9909105－ 91＝ 99909 ∴ 102009－ 91 ＝ 999…909共 2008個 9 ∴ 2008× 9 ＝ 18072

13. 已知民國 98年 12月 12 日是星期六，試問經過了 天之後是星期幾？

　 (A) 六 (B) 日 (C) 一 (D) 三

Ans: ∵ 2009÷7＝ 287…. 餘數 0 ∴是星期六 Ans： (A)  

2000 2009

200920092009.......2009 共 個

14.如圖，已知 中， ，且 ，

試問 的長度之值為下列哪一個選項？  

(A) (B) (C) (D)

Ans:(C) 如果是高中，可用餘弦定理。

ABC 20, 18AB AC 2BAC ABC

BC

A

B C

4 19 5 19 6 19 7 19

• ( 參考解答 ) 延長 到 ，使 ，並連接 ，

BA D AD AC

CD ~ BCD CAD

38 6 19

18 BC BD BC

BCCA CD BC

k

D

A

B C

15.已知 為兩數且滿足以下關係： 互為相反數，試求

之值。(A) -3 (B) 9 (C) 45 (D) 59

Ans: B

互為相反數，故

,x n 23 , 2x n

3

3

1

3

13 312 nnn xxxx

23 , 2x n 3, 2x n

2 1 3 2 3 3 21 1 1 13 3 3 3 3 (3 3 3)

3 3 3 3

36 27 9

n n nx x x x

16. 已知連續 2009個正整數之和為一個完全平方數，試求這 2009個正整數中，最小的數為多少？

(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21

• Ans:(D)

假設最小之正整數為 依題意可知： ， 為整數 取

a 2

2009 20082009 1004 7 41 1004

2

a aa a

21004 41a k k21004=41 5 1025a 5k

21a

• 17. 如右圖所示，已知 ， 為直徑， ， O 為圓心，若 面積

為 平方公分，試求 面積。　

(A) (B) (C) (D)

• Ans:(A)

BH AC

AOC H

B

A

ACOH CH BCH

ABC6 3

24 3 12 3 30 336 3

HC

AO

B

1 1 1 1

2 2 2 4

4 6 3 24 3

BCH BOC ABC ABC

ABC

• ( 另解 ) 如圖連 ∴△ BOH為 30-60-90 的三角形　　

平方公分

, ,OB AB BC

2BO OH1

6 32

13 6 3

2

BOH BCH BH OH

OH OH

2 3OH

3 6,BH OH 4 8 3AC OH

1 18 3 6 24 3

2 2ABC AC BH

• 18. 四個小朋友參加了尋找復活節彩蛋活動，活動結束時，四人總共找到四十五顆巧克力蛋，但每人找到的數量不一。若第一位小朋友多找到兩顆，第二位少找到兩顆，第三位多找到一倍，第四位少找到一半，四人找到的巧克力彩蛋就會一樣多。請問，這四位小朋友中找到最多巧克力蛋跟最少巧克力蛋的小朋友相差多少顆？

(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15

• Ans:(D) 

假設四位小朋友分別找到 顆巧克力蛋依題意： 則 因此，我們可以得到一個一元一次方程式：

得 所以，第一個小朋友找到 顆 第二個小朋友找到 顆 第三個小朋友找到 5 顆 第四個小朋友找到 顆 最多與最少相差了 20-5=15顆

dcba ,,,dcba

2

1222

2 2, 2 2, 4a c b c d c

454)22()22( cccc 5c8252

12252

2054

19.試求 的餘數。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6• Ans： (B) 方法有二種：1.尋找規律性2.同餘數的概念

98(3 98) 11

19.試求 的餘數。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6• 尋找規律性：  ∵ ……3， …… 9

的餘數規律為 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4, 1….

所以 餘數 5， 又 98÷11餘數 10∴ 的餘數為 15÷11＝ 1…4

98(3 98) 11

13 11 0 23 11 0 3 11n

983 1198(3 98) 11

同餘數的概念

• 又 所以

又• 故 的餘數為 4 。

1 2 3

4 5 6

3 3(mod11),3 9(mod11),3 5(mod11),

3 4(mod11),3 1(mod11),3 3(mod11),

98 5 19 3 98 19 5 3 5 19 3 19 3 33 3 (3 ) 3 1 3 3 5(mod11),

98 11 8 10 (10 5) 11 1 4 98(3 98) 11

20.設 均不為 0 ，試求 的所有可能值有幾種？

（ A ） 1 （ B ） 2 （ C ） 3 （ D ） 4

• Ans： (D) 1+1+1=3, 1+1-1=1, 1-1-1=-1, -1+1+1=1,-1-1+1=-1, -1-1-1=-3,共有 4 種不同的值。

, ,a b c2c

c

b

b

a

a

• 21.如圖三，有一個正方形內接一個邊長為3、4、5的 ，試問此正方形的面積為多少？ (A) (B) 16 (C) 18 (D)

Ans: D 利用相似形

AMN

A B

CD M

N3

4

5

圖三

256

17

512

17

(參考解法)

令

正方形面積=

A B

CD M

N3

4

5

圖三

4

3

AD AMADM MCN

CM MN

,AD x3 3

4 4CM AD x

1

4DM x

2 2 2 21 2564 ( )

4 17x x x

2 256

17x

22. 假設 為大於 1911 的正整數，試求 可使

為整數之 有幾項？

(A) 1項 (B) 2項 (C) 3項 (D) 4項

• Ans： (A)

n

1911

2009

n

n

n

22. 假設 為大於 1911 的正整數，試求 可使 為整數之 有幾項？

(A) 1項 (B) 2項 (C) 3項 (D) 4項

• 假設               

為正整數，          故共有 1項

n 1911

2009

n

n

n

2 1911 1911 0

2009 2009

n nk k

n n

2 2981 98 1 2009

2009k k n

n

2 1 1, 2, 7, 14, 49, 98k

k 1 1960k n

23.若

試求 的數字中，1 共出現多少次？　(A) 2008 (B) 2007 (C) 2006 (D) 2005

• Ans： (B)

2009

9 99 999 ...... 999.......9m 共 個

m

23. 若 ，

試求 的數字中， 1 共出現多少次？　(A) 2008 (B) 2007 (C) 2006 (D) 2005

“∴ 1”有 2005＋ 2＝ 2007

2009

9 99 999 ...... 999.......9m 共 個

m

2009

2 3 2009

2 3 2009

2009

2005 2005

9 99 999 ... 999.......9

(10 1) (10 1) (10 1) (10 1)

10 10 10 10 2009 111.......10 2009

111.......100000 11110 2009 111.......100000 91

m

共 個

共 個

共 個 共 個

01

24.若 2009減去全部的 ，再減去剩下的 ，再減去剩下的 ，……，依此類推，直到最後減去剩下的 ，試求最後化簡之值。

(A) 1 (B) 0 (C) (D) • Ans： (A)

1

2

1

31

4 1

2009

1

2009

1

2010

1 2 3 20082009 ... 1

2 3 4 2009

25. 為三個相異質數，若 為 6的倍數，且 ，試求 之值。

(A) 66 (B) 6 (C) 26 (D) 36

Ans： (A)提示：利用奇偶數性質

a b c a b c 472abc b c a b c

25. 為三個相異質數，若 為 6的倍數，且 ，試求 之值。

(A) 66 (B) 6 (C) 26 (D) 36

為偶數 且 皆為質數 故 必為 2

所以滿足條件的 有 3 組解 (2,13,17)、(2,7,31)、 (2,3,67)

但 為 6 的倍數 故 (2,3,67)為唯一解 故

a b c a b c 472abc b c a b c

a b c a b c a

3

2 472 4 2 2 944

(2 1)(2 1) 945 945 3 5 7 ,

bc b c bc b c

b c b c

而 且 皆為質數

( , , )a b c

a b c

66a b c

26.將 26個大寫英文字母 A,B,C,D,……,Z，依以下規則排列： A,B,C,…,Z,A,B,C,…,Z,A,B,……，形成 2009項的有序排列。今按照以下之規則作刪去的動作：第一次刪去奇數位置的字母；第二次刪去第一次所剩下之奇數位置之字母; 第三次再刪去第二次所剩下之奇數位置之字母 ; 如此下去，試問：最後所剩下的字母為何？

(A) I (B) J (C) K (D) L

• Ans:(B)• 提示：尋找規律性，可用正整數 1,2,3,…,2009來觀察

其規律。 

•第一次刪去後，所剩下的為原數列之 2 的倍 數的位置的字母，

第二次刪去後，所剩下的為原數列之 4 的倍數的位置的字母，依此類推：當刪去第十次時，所剩下的為原數列之 1024的倍數的位置的字母，

故只剩下第 1024位置的字母為 J 。1024 26 39 10

• 27.已知 是一個小於 2009的正整數，若 可以寫成兩個連續正整數的和且可以寫成三個連續正整數的和，試問滿足條件的 值共有多少個？ 

• (A) 333 (B) 334 (C) 335 (D) 336

Ans:(B)

m

mm

• 27.已知 是一個小於 2009的正整數，若 可以寫成兩個連續正整數的和且可以寫成三個連續正整數的和，試問滿足條件的 值共有多少個？ 

• (A) 333 (B) 334 (C) 335 (D) 336

Ans:(B)• 由題意知： 且

因此，我們可以假設 則 得 因此小於 2009的所有值共有 個。

m

mm

12)1( kkkm

33)2()1( kkkkm

36 km 1 6 3 2009k 1 334k

334

28. 有一個正三角形牧場，牧場裡長滿了青草，牧場四周以柵欄圍起。牧場主人養了一隻名貴羊，牧場裡一半的青草是餵牠的，另一半要當作牧草賣，於是想用一條繩子一端綁在羊身上，另一端綁在三角形的其中一個頂點，此時羊恰只能吃到牧場一半的青草，若此牧場周長與繩長比值為 ，試求 之值

(A) (B) (C) (D)

Ans: A

m 2m

4 3 4

9

4 3

9

4

9

( 參考解法 ) 設繩長為 r ，牧場邊長為 ，所以扇型面積 = 正三角形面積的一半

l

2

2 2

22

2

1 1 1 3( )

6 2 2 2

1 3

6 8

3 9) 4 3

r l l

r l

l l

r r

周長與繩長比值的平方=(

29.傑克把稜長為 4 的正立方體分割為 22個稜長為整數的小正立方體，試問稜長為 1 的小正立方體的個數有幾個？

(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18• Ans: (C)。• 若有一個稜長為 3 的正立方體，其餘均為稜長為 1的正立方體，這種切割會產生共 38個大小不一的正立方體，和已知不合，故切割之正立方體的稜長最多為 2 。

假設稜長為 2 的有 個，稜長為 1 的有 個 

x y8 64

6, 1622

x yx y

x y

30. 假設 為任意的三個數，在下列三個 的一元二次方程式中，可以確定有解的方程式有幾個。

方程式 1 ： 方程式 2 ： 方程式 3 ： (A) 0個 (B) 1個 (C) 2個 (D) 3個

Ans:(B)

cba ,,

0)()(2 cbxbax

0)()(2 acxcbx

0)()(2 baxacx

( 參考解答 ) 由方程式的判別式知：方程式 1 ：判別式＝ 方程式 2 ：判別式＝方程式 3 ：判別式＝ 取 方程式 1 ：判別式＝

方程式 2 ：判別式＝ 方程式 3 ：判別式＝ 所以可以確定有解的方程式有 1 個。

2( ) 4( )a b b c )(4)( 2 accb

2( ) 4( )c a a b

2 1 4( ) 4( ) 0

4 3a b b c

2 1 10( ) 4( ) 0,

9 3b c c a

2 25( ) 4( ) 2 0.

36c a a b

1 1 5, ,

2 3 6a b b c c a

2009台南市市長盃國民中學數學能力競賽第三階段試題分析

•左太政 / 國立高雄師範大學數學系

•第一部分、填充題  （共 6 題，每題各 8 分）

1. 有下面三組數，第一組： ； 第二組： ；

第三組： 今從每組任取一數來，把所取出的三數相乘，試求所有乘積的總和。

• Ans:7200 ，分配律的應用

4.7 ,3

22 ,

5

32 ,12 ,

3

15

5 ,10

11 ,3 ,

10

9

6 ,24

1912 ,

6

54 ,

8

3

( 參考解答 ) 利用：

由題意知1 3 2 9 1

(5 12 2 2 7.4) ( 3 1 5)3 5 3 10 103 5 19

( 4 12 6) 30 10 24 72008 6 24

( )( )ac ad bc bd a b c d

2.甲、乙兩校原來各有學生若干名。若甲校的學生轉出 90名學生到乙校，則新的乙校學生人數變為新的甲校學生人數的 2 倍；若由乙校轉出若干學生到甲校，則新的甲校學生人數變為新的乙校學生人數的 6倍，試問甲校原來的學生人數最少有多少名？

Ans:153

• ( 參考解答 ) 假設甲校原來有學生 名，乙校學生原 有 名，依題意可知： 再假設乙校轉入 名學生到甲校，則甲校學生人數為乙校人數的 6 倍，即

代入

經檢驗可知：最小可知為 153

ab 2 90 90a b

x + 6a x b x

2 90 90 2 270a b b a + 6 a x b x 11 7 1620a x

4 111 1620232

7 7

aax a

•另解

•所以 的最小值為 9,故 的最小值為153

11 311| 7 1620 11| 7 3 6

7

kx x x k

x a

3.已知 為直角三角形，其中 。若 為斜邊 的兩點，且滿足以下長度關係：

的長度為3 ， 的長度為4 ，試求 斜邊 之長度。

Ans:

ABC 90C

,D E AB

: 1: 3, : 3 :1,AD DB AE EB

CD CE

AB

2 10

D ,DF DG, ,BC AC AC F BC G

E , ,EI EH , ,BC AC AC

I BC H

,AC x BC y G

F

D EA

C

B

1,

4

AD AFADF ABC

BC AC

1 3

4 4AF AC CF x

• ( 參考解答 ) 過 點作 分別平行 於 交 於 ，交 於

過 作 分別平行於 交 於 ，交 於 ，   假設

在直角 中，

CDF2 2

39,

4 4

yx

因為

在直角 中，

2 2

2 2

2 2

39

4 4 40

316

4 4

40 2 10

yx

x yx y

AB

I

H

EDA

C

B

3,

4

BG BDBDG BAC

BC BA

3 1,

4 4BG y CG y

CEH2 2

1 39,

4 4x y

4. 如右圖一，正三角形 內接於半徑為 的圓，且 是 中點，

試求三角形 的面積。

Ans: 圖一

A

MD

B

C

E

ABC 3M DE

BCM

8, 6AD AE

3 3

• ( 參考解答 ) 令 為 中 的高，利用 則

為正三角形，

圖一

A

MD

B

C

E1 16 4 3 12 3

2 2DADE AE h

3 C AE

//

1

21

3 34

AC

CM AD

BMC AMC AME

ADE

為 中點

面 積

Dh ABC BC

60 ,CAB 4 3,Dh

ABC( 6)AE

5.試求

之值。

Ans:

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 2 2 3 3 4 2008 2009S

20082008

2009

( 參考解答 ) 可由第一項起化簡來尋找規律，或

2 22 2

2 22 2

2 2 22

22

1 11 11

1 1

[ 1 ] 2 1 1 1 1 1 1 11 1

1 1 11

n n n n

n n n n

n n n n n n

n n n n n nn n

21 1 1 1

1 11 1n n n n

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1

1 2 2 3 3 4 2008 2009

1 20082008 1 2008

2009 2009

S

6. 假設 n 是正整數，如果包含 2012 在內的連續 2n+1 個正整數中，前 n+1 個數的平方和等於後 n 個數的平方和，試求 n 之值。

Ans: 31

• ( 參考解答 ) 假設此 2n+1 個數分別為 依題意可知：

經展開整理後可知：

又依題意可知：即 故得

, 1, 2, , 2 ,m m m m n

2 2 22

2 2 2

1 2 ......

1 2 .... 2

m m m m n

m n m n m n

2 2 3 2 2 2 4 4 3 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) 2

m mn n n m mn n n n n

m n n n m n n

2012 2m m n 2 22 2012 2 3n n n n

31n

•第二部分、計算題 ( 共 4 題，每大題各 13分 )

1.如下圖二，若 ，且 ，若梯形 面積為梯形 面積的 3 倍，試求 之長度。　

• Ans:

// //AB EF CD 2, 4AB CD ABCD EFCDEF

2 3 2

4

F

A B

D C

E

• ( 參考解答 ) 延長線段 ，交於一點 ，如圖所示。過點 作 交 於點 ，                    且令

又梯形 面積為梯形 面積的 3 倍，

故 ( 另解 : 作 )

,AD BC IB BH CD CD H

IAB IEF IDC AB IJ

CD IL AB IJ

EF IK

, ,EF x BH h 2

4

2( 1)2

IJIJ BH h

IL

IJ h xBG h

x IK h BG

ABCD EFCD

2

1 1 3(2 4) 3 (2 ) (2 ) ( 1)

2 2 2 2

2 (2 )( 1) ( 2)( 2) 4 8 2 32

xh x BG x h

xx x x x x

2 3EF

2 B

4

K

L

J

G

H

FE

A

D

I

C

//BM AD

2.設 P 是正六邊形 內部的任一點，證明

面積和 = 面積和。

ABCDEF

PEFPCDPAB ,,

PDEPBCPFA ,,

• ( 參考解答 )延長 分別交於三點 如圖所示，在正六邊形 中，所以 為正三角形 因此

DEBCAF ,, ',',' CBA

ABCDEF ''' CBA

1 1' ' , ' ' ,

3 31

' '3

BCP A B P DEP B C P

AFP A C P

1 1' ' ' ' ' '

3 31

' ' '3

PBC PDE PAF A B P B C P A C P

A B C

DE

C

B

F

A

P

'A

'B 'C

'AB

C

D E

FP

1' ',

3BC A C

欲證 :只需證明

故 的面積和 = 的面積和

'''3

1CBAPEFPCDPAB

PEFPCDPAB ,,

PDEPBCPFA ,,D

E

C

B

F

A

P

'A

'B 'C

'AB

C

D E

FP

1' ' ' ' ' '

3A AB CC D EB F A B C

1' ' ' ' ' '

9A AB CC D EB F A B C

1' ' '

3PAB PCD PEF A B C

3.如右圖二，假設 為 的邊 上的一點，作 交 於 ，

作 交 於 ， 已知 的面積分別為 3,2 ，試求四邊形 的面積。

Ans:

D ABABC//DE BC AC E

//DF AC BC F

,ADE DBF DECF

E

F

A

B C

D2 6

• ( 參考解答 ) 假設四邊形 之面積為

另一方面，

DECF x

// , //DE BC DF AC

E

F

A

B C

D

2 2

'1

1 1, ' ' ,

2 2

DE hADE ABC k

hBC

DE kBC h kh ADE DE h k BC h k ABC

23 (5 ).k x

2 6DECF x 的面積

E

F

A

B C

D

2

' ' 11 1

' ' '1 1

( ) ( ) (1 )

1 1( ') (1 ) (1 ) (1 ) ,

2 2

DE h BC DE h h hADE DBF

h h h h kBF DEk k

BF DE kBC k BCk k

DBF BF h h k BC h k k ABC

22 (1 ) (5 ).k x 23 (5 ),k x 2

22

22

2 (1 ) 3

3 5 2 63

5 5 2 6 2 6

kk

k

x xk

4. 為六位數， 則只知全部的數字都是 4 ，若 能被 整除，試問 至少有多少個 4 ？

Ans:16

a

333333, 444 4,a b b

a

bb

( 參考解答 ) 令

1.若 則 不可能整除

2.若 則 不可能整除

3.若 則

n

= 444 444 6.b n 個

6,n 333333 3 111111a

4444444 4 111111.b

12,n 333333 3 111111a

6 6

12

4= 444 444 4 [ 10 ] [10 1]

3 3 3

a a ab

個

18,n12 6 12 6

18

4= 444 444 4 [ 10 10 ] [10 10 1]

3 3 3 3

a a a ab

個

12 6

12 6

(10 10 1) 3

[10 10 1]4

3

b a

b a

是 的倍數

能被 所整除

創意單元：綁鞋帶方式•教學單元：平方根教學目標：理解勾股定理的應用

及鏡射概念

類題 :

思考題：已知正方形邊長為 1 ，試求圖形 EFMN 的面積。

F

E

M

N

CB

A D

參考解法

F

E

M

N

CB

A D

3. 如右圖一，為一個邊長為 3 的正方形，且每一個小方格也都是正方形；試求： 之值。  (A) (B) (C) (D)

• Ans:(D)

由圖形觀察得知 正好是故

圖一

4321

o135 o150o165 o180

1 45 3, 2 4 90

1 2 3 4 180

從一道數學題目談起

• 如圖，試求 的度數。

參考解答一 (利用三角函數 )

1 1tan , tan

2 3

1 1tan tan 2 3tan( ) 1

1 11 tan tan 1 .2 3

4

90

參考解答二 : 圖解法 (Proof Without Words)