М И Н И С Т Е Р С Т В О Н А О Б Р А З О В А Н И Е Т О И Н А У К А Т А

ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО

МАТЕМАТИКА

19 май 2009 г. – Вариант 1

УВАЖАЕМИ ЗРЕЛОСТНИЦИ,

Тестът съдържа 28 задачи по математика от два вида:

• 20 задачи със структуриран отговор с четири възможни отговора, от които само един е верен;

• 8 задачи със свободен отговор. Първите 20 задачи (от 1. до 20. включително) в теста са от затворен тип с четири

възможни отговора, обозначени с главни букви от А до Г, от които само един е верен.

Отговорите на тези задачи отбелязвайте със син/черен цвят на химикалката в листа за

отговори, а не върху тестовата книжка. Отбелязвайте верния отговор със знака Х в кръгчето с буквата на съответния отговор. Например:

Ако след това прецените, че първоначалният отговор не е верен и искате да го

поправите, запълнете кръгчето с грешния отговор и отбележете буквата на друг отговор,

който приемате за верен. Например:

За всяка задача трябва да е отбелязан не повече от един действителен отговор. Като

действителен отговор на съответната задача се приема само този, чиято буква е

отбелязана със знака Х .

Отговорите на задачите със свободен отговор (от 21. до 28. вкл.) запишете в

предоставения свитък за свободните отговори, като за задачи от 26. до 28. вкл. запишете

пълнете решения с необходимите обосновки.

ПОЖЕЛАВАМЕ ВИ УСПЕШНА РАБОТА!

А Б В Г

А Б В Г

Отговорите на задачите от 1. до 20 вкл. отбелязвайте в листа за отговори!

1. Дадени са безкрайните десетични периодични дроби и ( )0, 15P = ( )0, 151Q = .

Вярно е, че:

А) Б) В) P Q> P Q< P Q= Г) и не могат да се сравнят P Q

2. Стойността на израза ( ) ( )2 25 4 3 3 2P = − + − е:

А) 12 8 3− Б) 2 В) 2 4 3+ Г) 12 4 3−

3. Допустимите стойности за израза (2

1 3 : 22 1 1

x xx x

⎛ ⎞ )+ +⎜ ⎟− −⎝ ⎠ са:

А) Б) В) 0,5; 1x ≠ 0,5; 1x ≠ ± 0,5; 1; 2x ≠ ± Г) 0,5; 1, 2x ≠ ± −

4. Ако 1x и 2x са корените на уравнението 2 20 0x x− − = , 3x и 4x са корените на

уравнението , то е вярно, че: 21 20 0x x− − =

А) 1 2 3 4. .x x x x= Б) 3 41 2

1.

x xx x

= +

В) Г) 1 2 3 4. . . 1x x x x = − 1 2 3 4. .x x x x= −

5. Колко общи точки имат графиките на функциите ( ) 232 +−= xxxf и ? ( ) 652 −+= xxxg

А) Б) 1 В) 2 Г) 3 0

6. Корените на уравнението 1 5x x− = + са: А) и Б) В) 3− 8− 8− 3− Г) няма реални корени

7. Стойността на израза 3 5

1log 27 lg log 1100− − е равна на:

А) 0 Б) 1 В) 4 Г) 5

8. Решенията на неравенството 2

1 11x<

+ са:

А) )2;2(−∈x Б) );2()2;( +∞∪−−∞∈x

В) Г) );0()0;( +∞∪−∞∈x );( +∞−∞∈x

Вариант 1

9. На чертежа е построена единичната окръжност и

права p , която се допира до окръжността в точка с

абсциса 1. Еднoто рамо на ъгъл

A B

C

P Q

α пресича правата

p в точка M , както е показано. За ъгъл α

ординатата на точка M е стойността на

функцията:

А) синус Б) косинус

В) тангенс Г) котангенс

10. Дадена е окръжност и точки ( , 2k O r cm= ) A и B от окръжността, такива че

дължината на дъгата е 2, . Мярката на острия AB 5 cm AOB∠ е:

А) Б) В) Г) 2, 0,25 rad 1,25 rad 2 rad 5 rad

11. За геометричната прогресия е известно, че 1 2 6, ,...,a a a 3 4. 3a a = − . Произведението е равно на: 1 2 3 4 5 6. . . . .a a a a a a А) 27 Б) 9 В) 9− Г) − 27 12. Нека е множество от 100 рационални числа и 1Q x е случайно избрано число от

. Вероятността числото 1Q ( )21q да е ирационално, е: x= +

А) Б) 0 12

В) Г) невъзможно да се определи 1

13. На чертежа и Ако : 2AP PC = : 3 || .PQ AB 15AB = , cm

то дължината на PQ е:

А) 6 Б) 9 cm cm

В) 10 Г) 21,5 cm cm

14. На чертежа ABCΔ е правоъгълен и

равнобедрен, е ъглополовящата на AL CAB∠ , а

и са лицата на построените квадрати. Вярно

е, че:

1,S S2

2

3S

А) Б) 12S S< 1 22S S>

В) 33 22

S ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

2S 3 Г) 1 2S S S+ >

α x1

1 y

M

p

B

S1

C A

L

S2

S3

Вариант 1

15. Ако за четириъгълника ABCD на чертежа е дадено ,

А B

C

D

че и то НЕ Е вярно, че : : 3AOD DOCS S = : 4,1 : 1:DO DB =

A B

CD

OА) Б) ||DC AB AOD OBCS S= В) Г) : 3AOB DOCS S = :1 : 3: 1DOC BCOS S = 16. Лицето на равнобедрен триъгълник с дължини на бедрото и на основата съответно и е: 5 cm 2 cmА) 2 6 2cm Б) 4 6 2cm В) 12 Г) 2cm 2 3 2cm

17. Ако най-голямата страна в разностранния ABC е , където R е радиусът на описаната окръжност, то мярката на вътрешния ъгъл при върха е:

AB R=C

А) Б) 150 В) Г) 1 30 60 20 18. Триъгълникът АВС на чертежа е равностранен с дължина на страната 19 c и . Дължината на хордата CD е: m 5AD = cmА) Б) 20 cm 20 3 cm В) Г) 21 cm 21 3 cm

B

C

A

G

G'

M

19. Точката G е медицентърът на , точката

ABCI

G е симетричната на G относно средата M на страната . Ако AB 4IBMG

S = , то е: ABCSА) 12 Б) 24 В) 28 Г) 36

20. Равнобедрен трапец с основи 50AB = cm и CD 10= cm , и бедро има височина:

29AD = cm

А) Б) 21 В) 30 Г) 20 cm cm cm 41 cm

Вариант 1

Вариант 1

О оворите на задачите от 21. до 25. вкл. запишете в свитъка за свободните отговори!тг

21. Стойността на израза

1 152 2

12

x x

yA

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

е по-голяма от 6.

Запишете по-голямото oт числата x и y .

при

3. Намерете стойността на израза tg15º+cotg15º.

4. Даден е равнобедрен

22. В банка била вложена сума пари, годишна сложна лихва 3%. След три години сумата нараснала на 21 854 лева и 54 стотинки. Каква сума в лева е била вложена първоначално? 2

ABC с бедра 5AC BC= =саната около

cm

2 и основа .

5. Намерете броя на мобилните телефонни номера от вида а

8AB =жност

cm. Намерете дължината на р а на опи ABC окръ

адиус

2 0887 ab∗∗∗∗ , последните две цифри н които образуват двуцифрено число ab , което квадрат, а двуцифреното число, записано със същите цифри, н в обратен ред, е просто число.

е точено

ълните решения с необходимите обосновки на задачите от26. до 28. вкл. запишете в Псвитъка за свободните отговори!

21 42

xx x

+ + =+

26. Решете уравнението .

7. Иван има в джоба си 2 монети по 10 ст., 4 монети по 20 ст., 4 монети по 50 ст.

8. В медианата и ъглополовящата

2и 2 монети по 1 лв. Той изважда едновременно три монети по случаен начин. Каква е вероятността трите монети да са на обща стойност 1,20 лв?

ABCΔ AM BL

ABCΔ

2 са перпендикулярни и имат

една и дължина, ра а 4. Да се намери P . съща вна н

ФОРМУЛИ

Квадратно уравнение

2 0ax bx c+ + = 2

1,24

2b b acx

a− ± −

= 21 2( )(ax bx c a x x x x+ + = − − )

Формули на Виет 1 2bx xa

+ = − 1 2cx xa

=

Квадратна функция

Графиката на 2y ax bx c= + + , е парабола с връх точката 0a ≠ ( ;2 4b Da a

− − )

Корен. Степен и логаритъм

2 2k ka = a 2 1 2 1k ka+ + = a ; при k∈ m

n m na a= nk nmk ma a= n k nka = ab

; при , , и 0a > 2n ≥ 2k ≥ , ,n m k∈ loga b x= ⇔ xa b= log x

a a x= loga ba = ; при 0, 0, 1b a a> > ≠

Комбинаторика Брой на пермутациите на елемента: n ( )1.2.3... 1 !nP n n n= − =

Брой на вариациите на n елемента -ти клас: k ( ) ( ). 1 ... 1knV n n n k= − − +

Брой на комбинациите на n елемента -ти клас: k ( ) ( ). 1 ... 11.2.3...( 1)

kk nn

k

n n n kVCP k k

− − += =

−

Вероятност ( ) брой наблагоприятнитеслучаиP A

брой навъзможнитеслучаи= 0 ( )P A 1≤ ≤

Прогресии

Аритметична прогресия: ( )1 1na a n d= + −( )11 2 1

2 2n

n

a n da aS n+ −+ n= ⋅ = ⋅

Геометрична прогресия: 11.

nna a q −= 1

11

1 1

nn

na q a qS a

q q− −

= = ⋅− −

Формула за сложна лихва: . . 1100

nn

npK K q K ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Зависимости в триъгълник

Правоъгълен триъгълник: 2 2c a b= + 2 1 12 2 cS ab ch= = a b b 2

1a= c c21=

21 1.ch a b=

2a br = c+ − sin a

cα = cos b

cα = tg a

bα = cotg b

aα =

Произволен триъгълник: 2 2 2 2 cosa b c bc α= + − b a2 2 2 2 cosc ac β= + − 2 2 2 2 cosc a b ab γ= + − 2

sin sin sina b c Rα β γ= = =

Формула за медиана: ( )2 2 2 21 2 24am b c= + − a ( )2 2 21 2 2

4bm a c= + − 2b

( )2 2 21 2 24cm a b= + − 2c

Формула за ъглополовяща: a nb m= 2

cl ab nm= −

Формули за лице

Триъгълник: 12 cS c= h 1 sin

2S ab γ= ( )( )( )S p p a p b p c= − − −

S pr= 4abcS

R=

Успоредник: aS ah= sinS ab α=

Четириъгълник: 1 21 sin2

S d d ϕ=

Описан многоъгълник: S pr=

Тригонометрични функции

0α 00 030 045 060 090

α rad 0 6π

4π

3π

2π

sinα 0 12

22

32

1

cosα 1 32

22

12

0

tgα 0 33

1 3 –

cotgα – 3 1 33

0

α− 090 α− 090 α+ 0180 α− sin sinα− cosα cosα sinα cos cosα sinα sinα− cosα− tg tgα− cotgα cotgα− tgα−

cotg cotgα− tgα tgα− cotgα−

( )sin sin cos cos sinα β α β α± = ± β ( )cos cos cos sin sinα β α β α± = ∓ β

( ) tg tgtg1 tg tgα βα βα β±

± =∓

( ) cotg cotg 1cotgcotg cotg

α βα ββ α

± =±

∓

sin 2 2sin cosα α α= 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin2α α α α= − = − = − α

2

2tgtg21 tg

ααα

=−

2cotg 1cotg2

2cotgααα−

= ( )2 1sin 1 cos 22

α α= − ( )2 1cos 1 cos 22

α α= +

sin sin 2sin cos2 2

α β αα β + −+ =

β sin sin 2sin cos2 2

α β αα β β− +− =

cos cos 2cos cos2 2

α β αα β + −+ =

β cos cos 2sin sin2 2

α β αα β + −− = −

β

( ) (( )1sin sin cos cos2

)α β α β α= − − + β ( ) (( )1cos cos cos cos2

)α β α β α= − + + β

( ) (( )1sin cos sin sin2

)α β α β α= + + − β

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА

ДЪРЖАВЕН ЗРЕЛОСТЕН ИЗПИТ ПО

Учебен предмет – математика май 2009 г.

ВАРИАНТ № 1

Ключ с верните отговори

Въпроси с изборен отговор

Въпрос №

Верен отговор Брой точки

Въпрос №

Верен отговор Брой точки

1. А

2 26. 1,221 33

x = − ± 15

2. Б 2 27. 26 13

220 110P = = 15

3. Г 2 28. ( )3 5 13ABCP∆ = + 15

4. Б 2 5. Б 2 6. В 2 7. Г 2 8. В 2 9. В 2

10. Б 2 11. Г 2 12. А 2 13. Б 2 14. В 2 15. В 2 16. А 2 17. Б 2 18. В 2 19. Б 2 20. Б 2 21. y 3 22. 20000 3

23. 4 3

24. 146

3

25. 410 3

Въпроси с решения 26. КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 26

1. Записваме уравнението така 2 42

x xx x+

+ =+

.

Определяме множеството от допустими стойности :

( ) ( )2 0 ; 2 0;x xx+

> ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ ( 2 т.)

2. Повдигаме двете страни на уравнението на втора степен и получаваме 2 22 . 16

2 2x x x x

x x x x+ +

+ + =+ +

( 3 т.)

3. ⇔ ( )( )

2 222 16

2x xx x+ +

+ =+

( 2 т.)

4. ⇔( )

22 4 4 142

x xx x+ +

=+

⇔ 2 22 4 4 14 28x x x x+ + = + ( 2 т.)

5. ⇔ 212 24 4 0x x+ − = ⇔ 23 6 1 0x x+ − = ( 2 т.)

6. Корените на последното уравнение са 1,221 33

x = − ± , ( 2 т.)

7. Съобразяване, че извършените преобразувания са еквивалентни ( 1 т.)

и че ( ) ( )21 3 ; 2 0;3

− ± ∈ −∞ − ∪ +∞ . ( 1 т.)

*Забележка: Ако вместо етап 1. и 7. е направена директна проверка,

че 1,221 33

x = − ± са решения на даденото уравнение ( 4 т.)

Второ решение:

1. Полагане 2x tx+

= ( 2 т.)

2. Допустими стойности за t : 0t > ( 1 т.)

3. Получаване на уравнението 1 4tt

+ = (1 т.)

4. Намиране на 1,2 2 3t = ± ( 2 т) 5. Установяване, че 1 20, 0t t> > ( 2 т.)

6. Заместване 2 2 3xx+

= + и 2 2 3xx+

= − ( 1 т.)

7. Намиране решението на първото уравнение 1 2 3 333 2 3

x −= =

+ ( 3 т.)

8. Намиране решението на второто уравнение 1 2 3 333 2 3

x − −= =

− ( 3 т.)

КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 27 Като се има пред вид с какви монети разполагаме, от три монети обща сума 1,20 лв. може да се получи по два начина – 1 монета по 1 лв. и 2 по 10 ст. или 2 монети по 50 ст. и 1 монета по 20 ст. (3 т.)

Броят на възможните тройки монети е 312

12.11.10 2202.3C = = . (2 т.)

1 монета по 1 лв. може да бъде избрана по 12 2C = начина и 2 по 10 ст. по 2

2 1C = начин (2 т.).

Следователно 1 монета по 1 лв. и 2 по 10 ст. могат да бъдат избрани по 1 22 2. 2.1 2C C = =

начина. (2 т.)

Две монети по 50 ст. могат да бъдат избрани по 24

4.3 62C = = начина и 1 монета от 20 ст.

може да бъде избрана по 14 4C = начина. (2 т.)

Следователно 2 монети по 50 ст. и 1 монета по 20 ст. могат да бъдат избрани по 2 14 4. 6.4 24C C = = начина. (2 т.)

Общият брой на благоприятните изходи е 2 24 26+ = и търсената вероятност Р е 26 13

220 110P = = . (2 т.)

КРИТЕРИИ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧА 28 • доказване, че ABM∆ е равнобедрен ( 2 т.)

• изразяване на 2BC AB x= = ( 1 т.)

• изразяване на 2 2CL AL y= = ( 2 т.)

• получаване на уравнение от ъглополовящата 2 216 2 2x y= − ( 3 т.)

• получаване на уравнение от медианата 2 264 18 2y x= − (3 т. )

• решаване на системата и получаване на 13x = , 5y = ( 3 т.)

• определяне на периметъра на триъгълника ( )3 5 13ABCP∆ = + (1 т.)