8/4/2019 2010-06-12

1/1

CALCULO AVANZADO UCAParcial 12/06/2010 TEMA 1

Apellido y Nombres: Comision:

Carrera: Registro:

1. Sean f(x, y) = (x2 + y3, x y + xy, xy2) y g : R3 R diferenciable tal que gx

(0, 1, 1) = 2 ,

g

y(0, 1, 1) = 1 y la derivada direccional en (0, 1, 1) respecto al vector (1/2, 0,

3/2) vale (13) .

a) Calcule la derivada direccional de (g f) respecto del vector (3/5, 4/5) en el punto (1,1) .

b) Calcule, mediante una aproximacion lineal, (g f)(0.99, 1.05) sabiendo que g(0, 1, 1) = 3 .

2. Sea F: R3 R de clase C1 tal que F(4, 3, 1) = 0 y F(4, 3, 1) = (2, 0, 3) . Halle una ecuaciondel plano tangente a la superficie definida por la ecuaci on

F(3x 2y2 z, x y + 2z, exyz) = 0

en el punto (0, 1, 2) . Halle tambien una ecuacion de la recta normal a la superficie en el mismo punto.

3. Sea F(x, y) =(

2y 3 x2 , 5x y arctg(y4)) .Calcule la integral de F a lo largo de la curva 9x2 + 4y2 = 36, y 0 orientada desde el punto(2, 0) al (2, 0) .

4. Sea f(x, y) = 9 x2 .a) Calcule el volumen del solido acotado del primer octante limitado por el grafico de f y el plano

y = x .

b) Calcule el area de la parte del grafico de f que pertenece al solido del inciso anterior.

5. Sea S la superficie definida por z 1 = x2 + y2 , z 5 .

a) Sea f(x,y ,z) = 3z 3 . Calcule la integral de f sobre S.b) Calcule el flujo de F(x,y ,z) = (y2 + z, xy

z2, x + y + 2z) a traves de S, si S esta orientada

con vectores normales apuntando hacia abajo.

6. a) Defina funcion diferenciable en (x0, y0) en el caso f : R2 R .

b) Defina integral a lo largo de una curva de un campo vectorial.

c) Defina campo vectorial conservativo y enuncie una propiedad que sea equivalente.

Justificar todos los pasos utilizadosPara aprobar hay que tener, por lo menos, 4 items BIEN de los ocho correspondientes a los primeros

cinco ejercicios y 1 BIEN del sexto ejercicio.