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CALCULO AVANZADO UCARecuperatorio 3/7/2010 TEMA 1

Apellido y Nombres: Comision:

Carrera: Registro:

1. Sea g : R2 R diferenciable tal que el plano tangente al grafico de g en el punto (3, 0, g(3, 0)) esz = 2x + y 7 . Sea f(x, y) = xg(x, y) + x2 sen(xy) .

a) Calculef

u(3, 0) con u =

(1

2, 1

2

).

b) Si g(3, 0) = 2 , calcule mediante una aproximacion lineal conveniente, f(2.95, 0.07)

2. Sea f(x , y , z) = (x y + z)2 + (x + 2y)2 3z2 + x .

a) Halle la derivada direccional maxima de f en el punto (0, 1, 1) En que direccion se alcanza estaderivada?

b) Halle el plano tangente y la recta normal a la superficie de nivel de f que pasa por el punto(0, 1, 1) .

3. Sea C una curva suave simple, contenida en el semiplano y 0 , que une los puntos (3, 0) y (4, 0) .Si el area de la region encerrada por la curva C y el eje x es 5 , calcule

C

F.ds con F el campo

vectorial F(x, y) = (3y + 2xy + x, x + x2) .

4. a) Sea W R2 el subconjunto W : (x + 1)2+ (y2)2 3 , x 1 , y 2 . Calcule W

x dxdy .

b) Calcule el volumen del solido acotado V limitado por las superficies z = 0 , z = 1 + x + y ,

y = x2 , x = 1 , y = 0 .

5. Sean F(x , y , z) = (x + eyz , z2 + x2, z2 + xy) y W el solido limitado por z =

2 x2 y2 yz = x2 + y2 . Calcular el flujo de F a traves de W Que orientacion hay que tomar en W paraque el flujo sea negativo?

6. a) Defina integral de un campo escalar a lo largo de una curva.

b) Defina integral de un campo vectorial sobre una superficie.

c) Enuncie el teorema de Green.

Justificar todos los pasos utilizadosPara aprobar hay que tener, por lo menos, 4 items BIEN de los ocho correspondientes a los primeros

cinco ejercicios y 1 BIEN del sexto ejercicio.