2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito

GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 6a série/7º ano – Volume 3

1

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

A NOÇÃO DE PROPORCIONALIDADE

Páginas 3 - 5

1.

a) A previsão é consistente, pois pode haver proporcionalidade entre o número de

paredes e o tempo gasto para pintá-las.

b) Apesar de os números do problema apresentarem proporcionalidade, a situação

não permite uma previsão confiável, pois o rendimento de um time não é constante

ao longo de um jogo, existindo uma série de outros fatores que influenciam o número

de gols.

c) A previsão é consistente, pois o tempo de vazão depende do volume de água a

ser escoado. Supõe-se, neste caso, que a velocidade de vazão não varie

significativamente, podendo ser considerada constante.

d) A previsão está errada, pois, mantida a velocidade, o trem deveria percorrer

180 quilômetros. Neste caso, a distância percorrida é diretamente proporcional ao

tempo de viagem.

e) Neste caso, a previsão pode estar correta, pois o valor a ser cobrado pode ser

proporcional ao número de horas que o carro ficará estacionado.

2.

a) Não. De fato, quando a idade de uma pessoa dobra − digamos, passa de 2 a 4

anos −, não é verdade que sua altura também dobra. Se houvesse proporcionalidade

direta, imagine a altura de uma pessoa aos 40 anos.

b) Sim. O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro depende da

quantidade de litros abastecida. Se para abastecer com 10 litros gastam-se R$ 25,00,

o valor para abastecer com o triplo de litros (30 litros) será três vezes maior

(R$ 75,00).

c) Não. A massa de uma pessoa não é diretamente proporcional à sua idade.


2

d) Sim. O perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes o seu lado. Se o lado

aumenta, o perímetro aumenta proporcionalmente. O perímetro de um quadrado é

diretamente proporcional ao seu lado, sendo a constante de proporcionalidade igual

a 4.

e) Sim. Um automóvel que desenvolve uma velocidade média de 60 km/h vai

percorrer 60 quilômetros em 1 hora. Se dobrarmos a velocidade, a distância

percorrida dobrará, na mesma proporção.

3.

a) Não. Dificilmente o professor conseguirá manter o mesmo ritmo de trabalho

durante 30 horas.

b) Não. Mesmo para um atleta, seria impossível manter esse ritmo de corrida por

tanto tempo.

c) Não. O fato de ela ter lido três livros na semana anterior não garante que ela vá

manter o mesmo ritmo de leitura ao longo do ano. Isso depende de outras variáveis,

como tamanho do livro, disponibilidade de tempo e dinheiro, disposição, etc.

Página 5

4.

a) O aumento salarial dado não foi proporcional aos salários, pois embora ele tenha

sido o mesmo para os dois funcionários em termos absolutos (R$ 200,00), em termos

relativos eles foram diferentes. Os R$ 200,00 de aumento representam metade do

salário de João, enquanto para Antônio esse acréscimo representa apenas um quinto

de seu salário. A variação para João foi de 600 ÷ 400 = 1,5 (50%), e para Antônio,

1 200 ÷ 1 000 = 1,2 (20%).

b) A redução no preço dos dois produtos foi diretamente proporcional aos preços

originais. A variação no preço do computador foi de 750 ÷ 1 000 = 0,75, e na

impressora, de 300 ÷ 400 = 0,75. Ou seja, ambas foram multiplicadas pelo mesmo

fator.


3

Página 6

5.

a)

• O tempo gasto é inversamente proporcional ao número de pintores.

• O tempo gasto é diretamente proporcional ao número de paredes.

Observação: se o número de pintores dobrar, o tempo gasto para pintar uma parede

será a metade, etc., ou seja, quanto maior o número de pintores, menor será o tempo

gasto para pintar uma parede. O tempo gasto é inversamente proporcional ao número

de pintores. Contudo, se o número de paredes dobrar, também dobrará o tempo

necessário para concluir o serviço. Portanto, o tempo gasto é diretamente

proporcional ao número de paredes.

b)

• A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade.

• O tempo gasto é inversamente proporcional à velocidade.

Observação: dobrando a velocidade, o automóvel percorrerá o dobro da distância no

mesmo tempo. A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade. Por

outro lado, se a velocidade média for a metade, o tempo gasto para percorrer a

mesma distância dobrará. O tempo gasto é inversamente proporcional à velocidade.

Página 7

6. Observação: há outras soluções para os duplex.

TTIIAA PPOORR LLIISSOO PPOOEETTAA

TUA PAR PISO PONTA

MAR PESO PONTO

PESA TONTO

TANTO

LLUUAA MMAALL PPEENNAA TTAANNGGOO


4

Páginas 9 - 10

7.

8.

Resposta: o menor preço pesquisado foi de R$ 1,00, como mostra a tabela.

Observação: neste caso, os alunos deverão perceber que, quanto maior o preço,

menor a quantidade de bolas que se pode comprar com a mesma quantia em dinheiro.

Portanto, a variação entre as grandezas é inversamente proporcional, pois o que se

mantém constante não é a razão, mas o produto entre elas.

6 . 24 = 12 . 12 = 4 . 36 = 2 . 72 = 24 . 6 = 1 . 144 = 72 . 2 = 144.


5

9.

a) Fixando-se o tempo de trabalho, a produção de cabos é diretamente proporcional

ao número de operários.

Fixando-se a quantidade de cabos, o tempo de produção é inversamente proporcional

ao número de operários.

Fixando-se o número de operários, a quantidade de cabos é diretamente proporcional

ao tempo de produção.

b)

PPrroodduuççããoo ddee ccaabbooss ((mm))

NNúúmmeerroo ddee ooppeerráárriiooss

TTeemmppoo ddee pprroodduuççããoo ((ddiiaass))

1 000 24 6

2 000 24 12

2 000 48 6

500 12 6

500 24 3

500 6 12

250 3 12

125 3 6

1 250 30 6

1 250 10 18

Resposta: serão necessários 18 dias.

Observação: professor, comente com os alunos que, em cada linha, há uma grandeza

que permanece constante, enquanto as demais variam, de forma direta ou

inversamente proporcional. Na segunda linha, considerando o mesmo número de

operários, para produzir o dobro da metragem de cabos será necessário o dobro do

tempo, uma vez que se tratam de grandezas diretamente proporcionais.


6

Página 11

10.

a) A produção de pias é diretamente proporcional ao número de funcionários.

O tempo de produção é inversamente proporcional ao número de funcionários.

O tempo de produção é diretamente proporcional ao número de pias a ser produzidas.

A produção de pias é diretamente proporcional ao número de horas trabalhadas por

dia.

O número de funcionários é inversamente proporcional ao número de horas

trabalhadas.

O tempo de produção é inversamente proporcional ao número de horas trabalhadas.

b) Um possível caminho é o seguinte:

PPrroodduuççããoo ddee ppiiaass

NNúúmmeerroo ddee ffuunncciioonnáárriiooss

TTeemmppoo ddee pprroodduuççããoo ((ddiiaass))

NNúúmmeerroo ddee hhoorraass ttrraabbaallhhaaddaass ppoorr ddiiaa

180 15 12 10

180 15 60 2

180 15 15 8

180 5 45 8

180 25 9 8

540 25 27 8

Resposta: serão necessários 27 dias de produção.


7


RAZÃO E PROPORÇÃO

Páginas 13 - 15

1. Resposta em aberto. Muitas interpretações deverão surgir, uma vez que esse conceito

está extremamente disseminado em nossa língua e assume inúmeros significados, de

acordo com os contextos em que aparece. Neste primeiro momento, pode ser que o

conceito matemático de razão não apareça nas respostas dos alunos.

2. Professor, utilize o dicionário disponível em sua escola.

3. Deve-se enfatizar o fato de que a palavra “razão” adquire um significado específico

no âmbito da Matemática. Ela representa a relação existente entre dois números a e b

é apresentada na forma b

a e b ≠ 0. Assim, se a razão

b

a é igual a c, isso significa que

a = b . c. É importante diferenciar o conceito de razão do de fração. A fração é uma

forma de expressar a razão entre dois números inteiros. Assim, toda fração é também

uma razão, mas nem toda razão pode ser expressa como uma fração. É bom lembrar

que os números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, e o número ,

que é irracional, representa a razão entre o comprimento da circunferência e seu

diâmetro.

4.

a) A razão 3 : 150 tem como resultado 0,02 (2 centésimos). Em porcentagem, a

razão é 2%.

b) A razão 24 : 40 tem como resultado 0,6 (6 décimos), que equivale a 0,60

(60 centésimos), ou seja, 60%.

c) A razão 4 : 50 tem como resultado 0,08 (8 centésimos), ou seja, 8%.


8

d) A razão 9 : 125 tem como resultado 0,072 (7 centésimos e 2 milésimos), ou seja,

7,2 %.

e) A razão 165 : 300 tem como resultado 0,55 (55 centésimos), ou seja, 55%.

5. Resposta em aberto. De um modo geral, escala é a razão entre a medida de um objeto

representado em um desenho e a medida correspondente ao objeto real. É importante

que se destaque que a escala é um tipo especial de razão matemática. No caso dos

mapas, por exemplo, a escala é a razão entre a medida de uma região representada

em um desenho e a medida correspondente à região real. Geralmente, um mapa traz

essa informação para facilitar a transposição da medida do desenho para a medida do

real. Um mapa construído na escala 1 : 100 000 indica que cada unidade de

comprimento no desenho é, na realidade, cem mil vezes maior.

6.

a) A distância entre Brasília e Rio de Janeiro no mapa é de aproximadamente 4 cm.

Como cada centímetro no desenho corresponde a 30 milhões de centímetros na

realidade, então 4 cm corresponderão a 120 milhões de centímetros. Convertendo

para quilômetros, obtemos o resultado de 1 200 quilômetros, que é muito próximo ao

valor real (1 148 km).

b) A distância entre Florianópolis e Brasília no mapa é de aproximadamente 5,5

cm. Como cada centímetro no desenho corresponde a 30 milhões de centímetros na

realidade, então 5,5 cm corresponderão a 165 milhões de centímetros. Convertendo

para quilômetros, obtemos o resultado de 1 650 quilômetros, que é muito próximo ao

valor real (1 673 km).

Observações: professor, você pode discutir com os alunos o fato de que as diferenças

observadas devem-se, provavelmente, a aproximações e erros de medida ou à

imprecisão do desenho. Outro aspecto a ser considerado na leitura de mapas de

regiões da Terra é que eles retratam a transposição de uma superfície esférica para

uma superfície plana. Assim, algum tipo de imprecisão é inerente a qualquer mapa da

superfície terrestre, dependendo do tipo de projeção usada para transpor as

informações da esfera para o plano. Duas são as possibilidades: se quisermos

preservar os ângulos, as distâncias são alteradas; se quisermos preservar as

distâncias, os ângulos é que são alterados.


9

Assim, para os pilotos de aviões e navios, o importante é preservar o ângulo,

perdendo-se a precisão nas medidas de distância. Em alguns tipos de projeção, a

forma é preservada localmente, facilitando a interpretação das distâncias em escala.

Páginas 15 - 16

7.

a) A velocidade média é a razão entre o deslocamento − de 530 km − e o intervalo

de tempo para efetuá-lo, ou seja, 6 horas. Portanto, a velocidade média nesse caso é

de aproximadamente 88 km/h.

b) Se o coração dessa pessoa bate 12 vezes a cada 10 segundos, em 1 segundo ele

baterá 1,2 vez e, em 60 segundos, 72 vezes. Portanto, a pulsação é de 72 batimentos

por minuto.

c) Como 12 megabytes é igual a 12 000 quilobytes, então a velocidade de

transmissão será igual a 12 000 ÷ 30 = 400 kbps, ou seja, 400 quilobytes por

segundo.

Página 16

8. Densidade de um material é a quantidade de massa existente em cada unidade de

seu volume. Ou seja, é a razão entre a massa e o volume de um corpo. A unidade

mais usada para expressar a densidade de um material é o grama por centímetro

cúbico (g/cm3). Por exemplo, a densidade da água é de 1 grama por centímetro

cúbico (g/cm3).

De modo análogo, a densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes

que vivem em uma região e sua área.


10

Páginas 16 - 17

9.

a) A densidade dessa substância é de aproximadamente 0,67 g/cm3.

b) A densidade demográfica do Estado de São Paulo em 2007 era de,

aproximadamente, 164 habitantes por quilômetro quadrado.

10.

a) O PIB per capita brasileiro foi de aproximadamente US$ 5 727,00 por habitante.

b) O PIB per capita indiano em 2006 foi de aproximadamente US$ 785,00 por

habitante.

11. Resposta em aberto. Observação: professor, você poderá orientar um debate sobre a

questão, trazendo algumas informações sobre o significado dessa razão matemática.

Comente que a medida do PIB per capita representa uma média, não retratando de

fato a condição econômica da maioria da população de um país. Certamente não é

real o fato de que cada brasileiro participe da produção nacional anual com o

equivalente a US$ 5 727,00, ou, expresso em reais de 2006, o equivalente a R$

12 490,00. Isso se deve ao fato de que existe uma desigualdade de renda no país,

onde uma minoria da população concentra a maior parte da renda, e essa minoria

responde por uma parcela proporcionalmente bem menor. Existem outros parâmetros

para avaliar a condição socioeconômica de uma população, como o Índice de

Desenvolvimento Humano (IDH), a taxa de analfabetismo, a expectativa de vida, etc.

Páginas 18 - 19

12.

a) O número total de possibilidades no lançamento de um dado é 6. O número de

ocorrências de número par são 3 (2, 4 ou 6). Portanto, a probabilidade de obter um

número par é de 3 em 6, ou 0,5, ou 50%.


11

Já o número de ocorrências de números maiores que 4 são 2 (5 ou 6). Portanto, a

probabilidade desse evento é de 2 em 6, ou 0,333... ou 33,3 %.

b) O espaço amostral do lançamento de duas moedas é: cara-cara; cara-coroa;

coroa-cara; coroa-coroa (4 possibilidades). A probabilidade de obter duas coroas é de

uma em quatro, ou 0,25, ou 25%.

c) A probabilidade de retirar uma bola vermelha é de 3 em 7, ou 0,429, ou 42,9%.

A probabilidade de retirar uma bola preta é de 4 em 7, ou 0,571, ou 57,1%.

d) A probabilidade de retirar uma carta de copas é de 13 em 52, ou 0,25, ou 25%.

Existem 4 valetes no baralho, um de cada naipe. Portanto, a probabilidade de obter

um valete é de 4 em 52, ou 0,077, ou 7,7%.

Páginas 19 - 21

13.

a)

NNúúmmeerroo ddee bboollaass

VVaalloorr ppaaggoo eemm rreeaaiiss ((RR$$))

RRaazzããoo

((pprreeççoo ppoorr bboollaa))

5 100 100 ÷ 5 = 20

7 140 140 ÷ 7 = 20

Resposta: a razão obtida foi de R$ 20,00 por bola. Há proporcionalidade direta,

pois a razão de proporcionalidade permaneceu constante.

b)

DDiissttâânncciiaa ppeerrccoorrrriiddaa eemm kkmm

TTeemmppoo eemm hhoorraass

RRaazzããoo ((vveelloocciiddaaddee))

120 1,5 120 ÷ 1,5 = 80

160 2 160 ÷ 2 = 80

Resposta: a velocidade média nos dois períodos foi de 80 km/h. Há

proporcionalidade direta, pois a razão de proporcionalidade permaneceu

constante.


12

c)

NNúúmmeerroo ddee rroollooss VVaalloorr ppaaggoo eemm

rreeaaiiss ((RR$$)) RRaazzããoo

((pprreeççoo ppoorr rroolloo))

4 3 3 ÷ 4 = 0,75

12 8 8 ÷ 12 = 0,67

Resposta: neste caso, não há proporcionalidade, pois a razão obtida em cada

situação foi diferente: R$ 0,75 por rolo para 4 rolos, e R$ 0,67 por rolo para 12

rolos.

d)

BBoollaass ddee ssoorrvveettee NNúúmmeerroo ddee xxííccaarraass

ddee lleeiittee RRaazzããoo

((bboollaass ppoorr xxííccaarraa))

3 2,5 3 ÷ 2,5 = 1,2

7 4 7 ÷ 4 = 1,75

Resposta: neste item, precisamos fazer a conversão para uma unidade de volume

comum. Como 1 xícara equivale a 250 ml, então:

1 litro = 1 000 ml = 4 . 250 ml = 4 xícaras. Não há proporcionalidade no

aumento da receita, pois a razão aumentou de 1,2 bola por xícara para 1,75

bola por xícara.

e)

QQuuaannttiiddaaddee ddee ddóóllaarreess

VVaalloorr eemm rreeaaiiss ((RR$$))

RRaazzããoo

((rreeaaiiss ppoorr ddóóllaarr))

20 36 36 ÷ 20 = 1,80

50 90 90 ÷ 50 = 1,80

Resposta: sim, há proporcionalidade, pois o preço do dólar foi o mesmo nas duas

situações, ou seja, R$ 1,80 por dólar.


13

Páginas 23 - 24

14. Nesta atividade, o aluno deverá usar a competência leitora para interpretar

corretamente as frases do texto original. Por exemplo, a frase “a maior largura dos

ombros contém em si própria a quarta parte do homem” significa que a razão entre a

largura dos ombros e a altura do homem é de 1 para 4, ou seja, 4

1= 0,25 = 25%.

RRaazzããoo eennttrree FFrraaççããoo DDeecciimmaall %%

Longitude dos braços e altura 1

1 1,0 100

Altura da cabeça e altura 8

1 0,125 12,5

Largura dos ombros e altura 4

1 0,25 25,0

Distância do cotovelo às axilas e altura 8

1 0,125 12,5

Comprimento da mão e altura 10

1 0,1 10,0

Comprimento do pé e altura 7

1 0,143 14,3

Distância do queixo ao nariz e face 3

1 0,333... 33,3

Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e face 3

1 0,333... 33,3

15. Medidas aproximadas:

Altura do homem: 10,3 cm. Longitude dos braços 10,4 cm.

Altura da cabeça: 1,3 cm. Largura dos ombros: 2,7 cm.

Do cotovelo às axilas: 1,3 cm. Comprimento da mão: 1,1 cm.

Comprimento do pé: 1,5 cm. Altura da face (do queixo à raiz dos cabelos): 1,1

cm.

Do queixo ao nariz: 0,3 cm. Da sobrancelha à raiz dos cabelos: 0,3 cm.


14

Observação: as medidas têm valores aproximados.

RRaazzããoo eennttrree %%

Longitude dos braços e altura 100 %

Altura da cabeça e altura 12,6%

Largura dos ombros e altura 26,2%

Distância do cotovelo às axilas e altura 12,6%

Comprimento da mão e altura 10,7%

Comprimento do pé e altura 14,6%

Distância do queixo ao nariz e altura da face 27,3%

Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e altura da face 27,3%

Página 24

16. Se as medidas forem realizadas com precisão, é provável que as razões obtidas

pelos alunos fiquem muito próximas das descritas na atividade 4. Talvez seja

necessário orientar os alunos na identificação de determinadas distâncias entre partes

do corpo, como entre o cotovelo e as axilas. O desenho traz marcas que ajudam a

perceber o início e o fim de cada membro. É importante diferenciar o tamanho da

cabeça do tamanho da face.


15


RAZÕES NA GEOMETRIA

Páginas 26 - 28

1.

a) Por meio da malha quadriculada, pode-se perceber que as dimensões da caravela

original ocupam 6 quadrados horizontais e 6 quadrados verticais.

b) A figura IV é a ampliação proporcional da figura da caravela original.

c) A razão de ampliação da figura original foi de 8 para 6, ou aproximadamente

1,33.

2. Os desenhos obtidos devem ser os seguintes:


16

Observação: Os valores da tabela são aproximados.

a) Sim. No quadrado Q3, com medida de lado duplicada em relação ao quadrado

Q2, a medida da diagonal também duplica, passando de 4,2 cm para 8,4 cm.

b) A medida da diagonal também triplica, passando de 2,8 cm para 8,4 cm.

c) Sim, pois em todos os casos a razão entre a diagonal e o lado se aproxima de 1,4.

É possível que alguns alunos obtenham valores um pouco diferentes de 1,4 para as

razões. Deve-se discutir com eles que isso se deve ou às imprecisões do desenho ou

aos erros de medida.

d) Este item pode ser resolvido por meio de estimativas ou por calculadora. O

importante é mostrar aos alunos que essa razão é constante para qualquer quadrado e

que o valor da razão de proporcionalidade obtido (1,4) é, na verdade, uma

aproximação do valor da raiz quadrada de 2 414,12 . Esse resultado será

demonstrado nas séries seguintes, por ocasião do estudo do teorema de Pitágoras e

dos números irracionais.

Página 28

3.

QQuuaaddrraaddoo LLaaddoo l

((ccmm))

PPeerríímmeettrroo PP

((ccmm)) ÁÁrreeaa AA ((ccmm22)) RRaazzããoo

l

P RRaazzããoo

l

A

QQ11 2 8 4 4 2

QQ22 3 12 9 4 3

QQ33 6 24 36 4 6

Observação: Os valores da tabela são aproximados.

QQuuaaddrraaddoo LLaaddoo l

((ccmm)) DDiiaaggoonnaall dd ((ccmm)) RRaazzããoo

l

d

Q1 2 2,8 1,4

Q2 3 4,2 1,4

Q3 6 8,4 1,4


17

a) Sim, pois aumentando o lado, o perímetro aumentará na mesma proporção. A

razão perímetro/lado é constante e igual a 4.

b) Não, pois aumentando o lado, a área não aumentará na mesma proporção. A

razão área/lado não é constante.

c) Quando dobramos o lado do quadrado (de 3 cm para 6 cm, por exemplo), a área

aumenta em quatro vezes (de 9 cm2 para 36 cm2).

d) Quando triplicamos o lado do quadrado (de 2 cm para 6 cm, por exemplo), a

área aumenta nove vezes (de 4 cm2 para 36 cm2).

Página 29

4.

a)

Observação: Os valores da tabela são

aproximados.

b) Não, o cateto oposto ao ângulo de 60º é aproximadamente 3 vezes maior que o

cateto oposto ao ângulo de 30º.

c) Para o ângulo de 90º não é possível construir um cateto oposto, pois as retas

seriam paralelas.

d) Não, pela tabela é possível verificar que os ângulos não são diretamente

proporcionais aos catetos opostos.

ÂÂnngguullooss CCaatteettooss ((ccmm))

15º 1,7

30º 3,8

60º 11,3


18

Atividade para investigação!

Páginas 31 - 32

5.

a) Sim. Se os objetos tiverem tamanhos diferentes, as medidas serão diferentes.

b) Não. Os alunos devem notar que, embora haja diferenças, o valor da razão

converge para próximo de 3.

c) A média obtida deve estar próxima de 3,1.

d) O resultado vai depender das medidas realizadas pelos alunos. É natural que haja

imprecisões, principalmente na medida da circunferência dos objetos. A

irregularidade dos objetos escolhidos também pode alterar, para cima ou para baixo,

o resultado das razões obtidas.

Páginas 32 - 33

6.

P1 = 6,3 cm

P2 = 12,6 cm

P3 = 18,9 cm


19

a) A resposta a esta questão está na tabela anterior.

b) O comprimento também dobra, passando de 6,3 cm para aproximadamente

12,6 cm.

c) O comprimento também triplica, passando de 6,3 cm para aproximadamente

18,9 cm.

d) Sim, pois quando aumentamos o diâmetro o comprimento aumenta na mesma

proporção. Além disso, a razão entre o comprimento e o diâmetro permanece

constante.

Página 34

7.

a) O diâmetro da pista circular mede 2 km. Então, o comprimento da pista é

3,1 . 2 = 6,2 km.

b) Se o diâmetro da circunferência vale 10 cm, o comprimento será igual a

3,1 . 10 = 31 cm.

c) Neste caso, temos o comprimento e precisamos achar o diâmetro. Então, basta

dividirmos o comprimento de 62 cm por 3,1, obtendo 20 cm, que é o diâmetro da lata

cilíndrica.

d) A medida do raio da roda é aproximadamente a medida do aro mais a espessura

do pneu (40 cm + 3 cm = 43 cm). Como o diâmetro é o dobro do raio, então ele vale

86 cm. O comprimento da roda é igual a 3,1 . 86 = 266,6 cm. Como a cada pedalada

a bicicleta percorre a distância equivalente ao comprimento da roda, em 10 pedaladas

a bicicleta percorrerá 10 . 266,6 cm = 2 666 cm ou 26, 6 metros.

CCiirrccuunnffeerrêênncciiaa CCoommpprriimmeennttoo CC

((ccmm)) DDiiââmmeettrroo DD

((ccmm)) RRaazzããoo

D

C

CC11 6,3 2 3,1

CC22 12,6 4 3,1

CC33 18,9 6 3,1


20

Páginas 37 - 39

8. (a), (b) e (c).

RReettâânngguulloo LLaaddoo mmaaiioorr ((ccmm)) LLaaddoo mmeennoorr ((ccmm)) RRaazzããoo

11ºº 6,7 4,1 1,63

22ºº 4,1 2,6 1,57

33ºº 2,6 1,6 1,62

44ºº 1,6 1,0 1,60

MMééddiiaa 1,60

d) A média deve se aproximar do valor da razão áurea, podendo ser um pouco

maior ou menor em razão das imprecisões do desenho e das medidas.

9.


21


GRÁFICOS DE SETORES E PROPORCIONALIDADE

Páginas 40 - 43

1.

a)

ÂÂnngguulloo cceennttrraall MMeeddiiddaa ddooss aarrccooss ((ccmm))

30º 2

45º 3

90º 6

150º 10

b) Sim, pois quando duplicamos um ângulo (de 45º para 90º) o arco correspondente

também dobra (de 3 cm para 6 cm). Além disso, a razão ângulo/arco é constante e

igual a 15.

c) Fazendo o cálculo proporcional, obtém-se, aproximadamente, 3,7 cm para a

medida do arco de 55º.

d) O ângulo central correspondente é de 112,5º.

2.

a) Considerando que, em 12 horas, o ponteiro das horas faz um giro completo

(360º), em 1 hora ele fará 12

1 de 360º, ou seja, 30º.

b) O ponteiro dos minutos se deslocou 360º, voltando, portanto, ao ponto inicial.


22

c)

d)

HHoorráárriioo TTeemmppoo

ddeeccoorrrriiddoo

ÂÂnngguulloo eemm rreellaaççããoo ààss 1122 hhoorraass

PPoonntteeiirroo ddaass hhoorraass PPoonntteeiirroo ddooss mmiinnuuttooss

1:00 60 minutos 30º 0o ou 360º

12:30 30 minutos 15º 180º

12:10 10 minutos 5º 60º

2:00 120 minutos 60º 0o ou 720º

2:30 150 minutos 75º 180º ou 900º

Os valores podem ser obtidos por meio de proporcionalidade direta. Enquanto o

ponteiro das horas se desloca 360º a cada 12 horas, o ponteiro dos minutos desloca-

se 360º a cada hora, ou 60 minutos. Em relação ao ponteiro dos minutos, a resposta

pode contemplar a posição estática (apenas o ângulo em relação à origem) ou o

deslocamento, que inclui o número de voltas. Por exemplo, no caso das duas 2 horas,

I. 12:30

II. 12:10

III. 2:00

IV. 2:30

3

12

9

6

1

5

2

11

10

8

7

4

3

12

9

6

1

5

2

11

10

8

7

4

3

12

9

6

1

5

2

11

10

8

7

4

3

12

9

6

1

5

2

11

10

8

7

4


23

o ponteiro faz um ângulo de 0o com a origem, mas houve um deslocamento de 2

voltas completas, ou seja, 720º.

e) Resposta: 6º e 0,5º. Se em 60 minutos o ponteiro das horas se desloca 30º, então

em 1 minuto ele se deslocará 0,5º. Já o ponteiro dos minutos, em 60 minutos se

desloca 360º, portanto, em 1 minuto ele se deslocará 6º.

Páginas 43 - 44

3.

a) 4:30

Ponteiro das horas: 135º

Ponteiro dos minutos: 180º

b) 3:20


Ponteiro dos minutos:120º

c) 1:40



d) 5:15

Ponteiro das horas: 157,5º


3

12

9

6

1

5

2

11

10

8

7

4

3

12

9

6

1

5

2

11

10

8

7

4

3

12

9

6

1

5

2

11

10

8

7

4

3

12

9

6

1

5

2

11

10

8

7

4


24

Páginas 44 - 46

4.

a)

EEssppoorrttee pprraattiiccaaddoo NNúúmmeerroo ddee ppeessssooaass %% eemm rreellaaççããoo aaoo ttoottaall

Futebol 210 50

Vôlei 105 25

Basquete 63 15

Corrida 42 10

Total 420 100

b) O Gráfico 3. Pode-se observar na tabela que o futebol responde por 50% da

preferência, o que corresponde a meia circunferência, ou 180º. O vôlei é escolhido

por 25%, ou seja, um quarto da circunferência, ou 90º. O único gráfico que possui

esses dois setores circulares (180º e 90º) é o Gráfico 3.

c) O azul corresponde ao futebol; o violeta, ao vôlei; o creme, ao basquete; e o azul

claro, à corrida.

5. (a), (b) e (c).

LLooccaall ÂÂnngguulloo cceennttrraall %% NNúúmmeerroo ddee ppeessssooaass

Praia 144º 40,0 32

Montanha 108º 30,0 24

Cidades históricas 72º 20,0 16

Outros 36º 10,0 8

Total 360º 100,0 80


25

6.

a)

PPrrooggrraammaa pprreeffeerriiddoo %% ÂÂnngguulloo cceennttrraall

Cinema 37,5 135º

Música 25,0 90º

Teatro 16,7 60º

Dança 12,5 45º

Outros 8,3 30º

Total 100,0 360º

Observação: Os valores da tabela estão aproximados.

b) Como cada setor corresponde a 15º, então cinema (135º) ocupará 9 setores;

música (90º) ocupará 6 setores; teatro (60º), 4 setores; dança (45º), 3 setores e outros

(30º), 2 setores.

Cinema

Música

Teatro

Dança

Outros


26

Página 47

7.

a)

NNaacciioonnaalliiddaaddee %% ÂÂnngguulloo cceennttrraall

Brasileiros 45 162º

Argentinos 25 90º

Chilenos 20 72º

Outros 10 36º

Total 100 360º

b)

Documents

2010 volume3 cadernodoaluno_matematica_ensinofundamentalii_6aserie_gabarito