Upload
stoyan-bordjukov
View
221
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Â
Citation preview
1
Решения на задачите от кандидатстудентския изпит по математика в ЮЗУ ”Н.Рилски”
Вариант 3 (10 април 2011)
Задача 1. Да се реши уравнението
2 2 2 7 .2 2 2 12
x xx x
Решение. ДМ за x : 1 0 ( 1)( 2) 02
x x xx
, откъдето следва, че
( , 2) ( 1, )x .
Полагаме 2 22
x ux
. ДМ за u : 0u .
Получаваме уравнението 1 712
uu
или 212 7 12 0u u , което има корени
143
u и 234
u . Коренът 2u на ДМ.
От 143
u намираме, че 2 2 4 2 2 162 3 2 9
x xx x
, откъдето получаваме 7x .
Тъй като 7 принадлежи на ДМ за x , то 7x е решение на задачата..
Отговор: 7x .
Задача 2. Да се реши системата уравнения
17 .2 4
3.
x y
y x
Решение. Заместваме 3y x от второто уравнение в първото и получаваме
1 37 .2 4x x или 1 17 .2 .4 4x x , откъдето следва, че 114 1x . Това равенство е изпълнено само при 1 0x . Следователно 1x . От 3y x получаваме 2y . Следователно двойката ( 1, 2)x y е единствено решение на системата.
Отговор: ( 1, 2)x y Задача 3. В ABC с 2 2 AC cm и 4 2 BC cm отсечката CL е
ъглополовяща. Ако O е центърът на описаната окръжност около ABC и
90OLC , да се намери дължината на страната AB на триъгълника.
2
Решение. Нека лъча CL пресича описаната около триъгълника окръжност в
точка M (Фиг.1). Триъгълникът COM е равнобедрен и следователно неговата
височина OL е и негова медиана. Следователно CL ML l .
Нека означим AL x и BL y . Тогава от . .CLML AL BL имаме 2 .l x y От
2 . .CL CACB AL BL намираме, че 2 16 .l x y .
От системата уравнения
2
2
16
.
l xy
l xy
като елиминираме l , получаваме 8xy .
От друга страна 2 2 124 2
x ALy BL .
Системата
8
1 .2
xy
xy
има решение 2, 4x y . Следователно 6AB x y .
Отговор. 6 AB cm .
Задача 4. Основата ABC на триъгълната пирамида ABCM е правоъгълен
триъгълник с 90C и : 3 : 4AC BC . Околните ръбове на пирамидата имат
дължина l и образуват с равнината на основата ъгъл 45 . Да се намери обемът на
пирамидата.
O
L
A B
C
M
.1Фиг
3
Решение. Тъй като околните ръбове на пирамидата са равни, то ортогоналната
проекция O на върха M на пирамидата в равнината ABC е център на описаната
окръжност около основата. Но ABC е правоъгълен и следователно O е средата на
хипотенузата AB на триъгълника (Фиг.2).
Триъгълниците , MOA MOB и AMB са равнобедрени правоъгълни и
следователно 2AB l , 2lMO .
Ако използваме за ABC стандартните означения: , , AB c BC a AC b ,
имаме 2c l , 34
b a и от Питагоровата теорема получаваме 4 25
a l и
3 3 24 5
b a l .
Тогава обемът на пирамидата е 31 1 1 2 2. . . .3 3 2 25ABCV S MO abMO l .
A
O
B
C
M
Фиг.2