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Modelo RL
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Modelo de Regresión Múltiple
Regresión Lineal Múltiple
2
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Las hipótesis del modelo:
1. Las variables se miden sin error y los parámetros son lineal.
2. Se especifica la siguiente ecuación:
ó:
X fija (no aleatoria)
r(X) = k+1 < n
E(t) = 0
;...11 tktktt xxy nt ,...,1
xy
3. Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero. 4. V(t) = 2 constante e independiente de "t" (homocedasticidad) 5. Cov.(t, ) = 0 t (Ausencia de autocorrelación entre los errores) 6. Los parámetros "" y "s" no tienen restricciones a priori 7. t ~ N
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Resultado:
– Bajo supuestos 1, 2 y 5, los E.M.C. de , 1, ...,k son lineales en
"y" e insesgados
• Los E.M.C.
– Dentro del modelo general, consideremos una ecuación más simple
con dos variables independientes:
tttt xxy 2211
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Definimos la ecuación estimada como
tt
E
t xxy 2211ˆˆˆ
• Se define:
2
22
1
1121 )ˆˆˆ()ˆ,ˆ,ˆ( t
n
t
tt xxyS
• Los E.M.C. surgen de minimizar la expresión anterior con
respecto a los coeficientes de regresión estimados:
)ˆ,ˆ,ˆ(mín 21 S
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
0)1)(ˆˆˆ(20ˆ
2211
ttt xxy
S
)1(
0))(ˆˆˆ(20ˆ 12211
1
tttt xxxy
S
)2(
0))(ˆˆˆ(20ˆ 22211
2
tttt xxxy
S
)3(
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• La ecuación (1) se puede escribir:
ttt xxny 2211ˆˆˆ
2211ˆˆˆ xxy
2211ˆˆˆ xxy
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• La ecuación (2) se puede arreglar como:
tttttt xxxxxy 212
2
1111ˆˆˆ
ttttt xxxxnxxyxy 212
2
11122111ˆˆ]ˆˆ[
][ˆ][ˆ 21212
2
1
2
1111 xxnxxxnxyxnxy ttttt
1221111ˆˆ SSS y )'2(
2221212ˆˆ SSS y )'3(
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Alternativamente:
y
y
S
S
SS
SS
2
1
2
1
2212
1211
ˆ
ˆ
xyxx SS
xyxx SS 1
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Bondad de ajuste. Sea:
ttt xy
t
E
t xy ˆˆ
xy ˆˆ
xx
xy
S
S
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
n
t
tt xyRCS1
2)ˆˆ(...
]1[... 2
xyyy rSRCS
0 rxy2 1 (Coeficiente de determinación lineal simple)
• Este concepto se puede extender al modelo de regresión múltiple:
2
...21 kxxxyR
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Estimador insesgado para “σ2”:
1
...ˆ 2
kn
RCS
• Resultado:
– Bajo supuestos 1 al 5, los E.M.C. son de varianza mínima
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Resultado:
– Bajo supuestos 1 al 6:
)SσN(β -
xx
12,~ˆ
kkkk
k
k
xx
ccc
ccc
ccc
CS
21
22221
11211
2212
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Test de hipótesis:
– Cada coeficiente “βi” en forma individual:
H0: βi = βi0 v/s H1: βi βi0
– Se calcula:
)1(~ˆ
ˆ
ˆ 0
ˆ
00
knt
Sct
Hiy
ii
iic
i
Si:
1
2/1
1
2/1
kn
c
kn ttt
Rechazo H0
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Los coeficientes “βi” en conjunto:
0:/
0
0
0
: 1
2
1
0
HsvH
k
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Se define
]1[..... 2RSRSRCS yy
yySRRCS ....
k
kn
R
R
knRSRCS
kRSRCSRRCSFc
1
1)1/(.....
/.)........(2
2
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Coeficiente de determinación corregido por grados de libertad:
)1(1
11 22 R
kn
nR
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
• Predicción
– Predicción puntual
– Intervalo para la predicción
Estimación y Predicción en Modelos de Regresión
Múltiple
Modelo Clásico de Regresión Lineal: Supuestos MCO
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Modelo Clásico de Regresión Lineal: Supuestos MCO
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Modelo Clásico de Regresión Lineal: Supuestos MCO
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Modelo Clásico de Regresión Lineal: Supuestos MCO
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Modelo Clásico de Regresión Lineal: Supuestos MCO
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Modelo Clásico de Regresión Lineal: Supuestos MCO
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Regresión Lineal : Prueba de Hipótesis
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Homocedasticidad
Una hipótesis estadística es un enunciado sobre los valores que pueden
tomar algunos parámetros en la población hipotética de la cual se toma
la muestra.
Lo que se busca con las pruebas de hipótesis es conocer si un valor del
BETA (estimado) puntual es compatible con la Hipótesis planteada.
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Regresión lineal múltiple: Prueba de hipótesis
Prueba de Hipótesis en Regresión Múltiple:
1. Prueba de Hipótesis de Coeficientes individuales de regresión
parcial.
2. Prueba de significación global.
En este caso se examinará la hipótesis
nula
H1: no todos los coeficientes son simultáneamente cero.
28
Regresión lineal múltiple: Prueba de hipótesis
Prueba de Hipótesis de significación global:
En este caso se examinará la hipótesis
nula
Al probar la significancia de los parámetros individuales,
no es argumento para probar Hipótesis conjunta.
Prueba F: Los cálculos para este contraste particular se
presentan en tabla de análisis de varianza.
Regla de decisión:
Sí valor F_calculado > valor F_crítico, al nivel de
significancia (α),
Rechazar Ho, de lo contrario aceptar.
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Regresión lineal múltiple: Prueba de hipótesis
Prueba de Hipótesis de significación global:
Expresiones para realizar esta prueba son:
F = [SEC /(k-1)]/[SRC / (n-1)] Tabla ANOVA
Fα (k-1, n-k) valor crítico de F, de Tabla.
Aplicación del Modelo de Regresión Múltiple
Ejercicio:
Modelamiento Econométrico de Costos
Datos
Resultado Computacional
Dependent Variable: LOG(CNC) Method: Least Squares Date: 03/20/06 Time: 12:09 Sample: 1977 2006 Included observations: 30
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 6.263346 0.196383 31.89356 0.0000 LOG(PROD) -0.363894 0.035896 -10.13746 0.0000 LOG(LEY) -0.755567 0.200462 -3.769128 0.0008
R-squared 0.791942 Mean dependent var 4.332659 Adjusted R-squared 0.776531 S.D. dependent var 0.209463 S.E. of regression 0.099019 Akaike info criterion -1.692379 Sum squared resid 0.264726 Schwarz criterion -1.552260 Log likelihood 28.38569 F-statistic 51.38585 Durbin-Watson stat 1.061546 Prob(F-statistic) 0.000000
Valores Efectivos y Ajustados
Correlogram of Residuals
Correlogram of Residuals Squared
Histogram. Normality Test
BOOTSTRAP
Herramienta que permite sacar conclusiones más robustas sobre
los errores estándares e intervalos de confianza en varios análisis
dentro del programa.
También puede ser usado para construir test de hipótesis.
modelos generados sean
estables y fiables.
método BCa.
BOOTSTRAP
CASO: MODELO REGRESIÓN LINEAL
1.- Planteamiento del fenómeno o tema. Una empresa de bienes
raíces, está analizando la información que debe entregar a los
compradores de sus casas que ofrece. La pregunta que se debe
responder: ¿Cuánto deben pagar por calefacción en meses de
invierno?
Antecedentes del problema:
Se consideran 4 variables para pronosticar el Costo de Calefacción
(variable dependiente):
X1 : Temperatura exterior mínima diaria promedio;
X2 : Número de pulgadas de aislante en la casa;
X3 : Número de ventanas de la casa;
X4 : Antigüedad (edad) del calefactor.
Se realizó un estudio para obtener los datos de una muestra de 50 casas en distintas
partes del país.
CASO: MODELO REGRESIÓN LINEAL
2. Planteamiento de la teoría o de la hipótesis.
a.- Hacer los Diagramas de Dispersión: para comprender las
relaciones de la variable dependiente con cada una de las variables
independientes.
Revisar el Coeficiente de determinación o medida de bondad de
ajuste.
b.- Calcular la Matriz de Correlación: muestra los coeficientes
simples de la correlación entre todas las variables.
CASO: MODELO REGRESIÓN LINEAL
Interesa saber cuál variable independiente tiene la mayor
correlación con la variable dependiente.
Verificar si existe multicolinealidad, esto es, cuando las variables
Independientes, están correlacionadas entre sí.
Pueden distorsionar el Error Estándar de Estimación y se puede
llegar a conclusiones incorrectas referente a que variables.
Son significativas y cuáles no.
REGLA: correlaciones entre variables independientes
menores a 0.70 o -0.70, no ocasionan problemas.
CASO: MODELO REGRESIÓN LINEAL
Prueba global: determinar validez del Modelo de Regresión
Múltiple. Probar capacidad de las variables independientes,
para explicar el comportamiento de la variable dependiente.
Investigar si todas las variables independientes tienen
coeficientes de regresión iguales a cero.
¿Puede la cantidad de variación explicada, R2, ocurrir al
azar?
y H1 : No todas las βi son cero.
Si H0 es Verdadera, los coeficientes regresión son todos cero,
y no son de utilidad al pronóstico de la variable dependiente.
CASO: MODELO REGRESIÓN LINEAL
Se aplica prueba F de Nivel de Significación alfa = 0,05.
Si F calculado (Tabla Anova) es > Valor Crítico para F,
se RECHAZA H0 y se ACEPTA H1.
Modelo
Coeficientes no estandarizados
Coeficientes
estandarizados
t Sig. B Error típ. Beta 1 (Constante)
379,245 42,924 8,835 ,000
T_exterior X1 -4,363 ,478 -,700 -9,120 ,000
Pulg_Aislacion X2 -14,325 2,839 -,328 -5,045 ,000
N_Ventanas X3 3,526 2,493 ,097 1,414 ,164
Edad_Calefactor X4 6,422 2,393 ,196 2,684 ,010
MODELO REGRESIÓN LINEAL: Curvilínea
MODELO REGRESIÓN LINEAL: Curvilínea
MODELO REGRESIÓN LINEAL: Curvilínea
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