Universidad Andrés Bello. Facultad de Ciencias Exactas.

Departamento de Matemáticas. Campus Casona de Las Condes.

FMS 276. Inferencia Estadística. Primer Semestre 2012

PAUTA PRUEBA SOLEMNE N° 2

1. Un nuevo tipo de tubo eléctrico tiene una duración la cual se puede considerar como una

variable aleatoria continua Y con función de probabilidad de la forma:

0;2

);(3

2

yey

Yf

y

con:

23)(3)( YVarYE

a. Demuestre que el estimador de máxima verosimilitud para el parámetro es

3ˆ

Y

= 𝑦2

2𝑛𝛽3𝑛𝑒−1𝛽

𝑦

= −𝑛 ln 2 − 3𝑛 ln 𝛽 + 𝑙𝑛 𝑦2 − 𝑦

𝛽

= −3𝑛

𝛽+

𝑦

𝛽2

𝛽 = 𝑦

3

b. Estudiar la consistencia del estimador del inciso anterior.

lim𝑛→∞

𝐸 𝛽

lim𝑛→∞

𝐸 𝑦

3

lim𝑛→∞

𝐸(𝑦)

3

lim𝑛→∞

3𝛽

3= 𝛽

lim𝑛→∞

𝑉 𝛽

lim𝑛→∞

𝑉 𝑦

3

lim𝑛→∞

𝑉(𝑦)

3𝑛

lim𝑛→∞

3𝛽2

3𝑛= 0

Por lo tanto si es consistente

c. Se probaron 32 tubos obteniéndose una duración promedio de 1950 horas. Haga

una estimación para determinar ))(( 2YE

n = 32

𝑦 = 1950

𝐸 𝑦 2 = 𝑉 𝑦 + 𝐸2 𝑦

𝐸 𝑦 2 =𝑉 𝑦

𝑛 + 𝐸2 𝑦

𝐸 𝑦 2 =3𝛽2

𝑛 + 9𝛽2

𝐸 𝑦 2 =3𝑦 2

9𝑛 +

9𝑦 2

9=

19502

3 ∗ 32+ 19502 = 3842109,375

2. El consumo en kilos de cierto tipo de suplementos alimenticios mensual es una variable

aleatoria, con la siguiente función de densidad de probabilidad

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𝑓 𝑐, 𝜃 =𝜃2𝜃

𝑐𝜃+1 ; 𝑐 ≥ 2

a. Encuentre un estimador máximo verosímil para 𝜃.

𝜃𝑛 ∗ 2𝜃𝑛

𝑐𝜃+1

𝑛 ln 𝜃 + 𝑛𝜃 ln 2 − 𝜃 + 1 ln 𝑐

𝑛

𝜃+ 𝑛 ln 2 − ln 𝑐

𝜃 = 𝑛

ln 𝑐 − 𝑛 ln 2

b. Para analizar el consumo en kilos del suplemento alimenticio se ha tomado una

muestra correspondiente a 9 individuos que lo utilizan habitualmente

2.9 3.5 2.8 5.3 10.2 4.5 3.7 4.2 4.7

Encuentre una estimación del consumo mensual.

𝜃 = 9

ln 2,9 ∗ 3,5 ∗ 2,8 ∗ 5,3 ∗ 10,2 ∗ 4,5 ∗ 3,7 ∗ 4,2 ∗ 4,7 − 9 ln 2

= 1,3055

c. Calcule la probabilidad que el consumo del suplemento alimenticio sea inferior a

los 5 kilos. Utilice la estimación obtenida de la muestra.

𝑃 𝑥 < 5 = 1,3055 ∗ 21,3055

𝑐2,3055

5

2

𝑑𝑐

= 21,3055 ∗ 1

21,3055−

1

51,3055

= 0,6979

3. Sea 𝑥1 , 𝑥3 ,𝑥3 una muestra aleatoria de una población con media y desviación típica .

Considere dos estimadores puntuales

1

= 𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3

6

2=

𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3

6

a. ¿Son estimadores insesgados?

𝐸 𝜇1 = 𝐸 𝑥1 + 2𝐸 𝑥2 + 3𝐸 𝑥3

6

𝐸 𝜇1 = 𝜇 + 2𝜇 + 3𝜇

6= 𝜇

𝐸 𝜇2 = 𝐸 𝑥1 + 4𝐸 𝑥2 + 𝐸 𝑥3

6

𝐸 𝜇2 = 𝜇 + 4𝜇 + 𝜇

6= 𝜇

Es insesgado Es insesgado

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b. ¿Cuál de los dos estimadores es más eficiente?

𝑉 𝜇1 = 𝑉 𝑥1 + 4𝑉 𝑥2 + 9𝑉 𝑥3

36

𝑉 𝜇1 = 𝜎2 + 4𝜎2 + 9𝜎2

36=

14

36𝜎2

𝑉 𝜇2 = 𝑉 𝑥1 + 16𝑉 𝑥2 + 𝑉 𝑥3

36

𝑉 𝜇2 = 𝜎2 + 16𝜎2 + 𝜎2

36=

18

36𝜎2

Es el estimador más eficiente por tener

menor varianza