20120513 repeatsinsymbolicsequences shur_lecture05-06

Ëåêöèè 5, 6: Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà?À. Ì. ØóðÈíñòèòóò ìàòåìàòèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê ÓðÔÓÀ. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 1 / 32

Êàê ñðàâíèâàþò ìíîæåñòâàÅñëè äàíû äâà ìíîæåñòâà, â îäíîì èç êîòîðûõ ïÿòü ýëåìåíòîâ, à â äðóãîìäåñÿòü � ìû ëåãêî îïðåäåëèì, êàêîå èç ìíîæåñòâ áîëüøå.Åñëè äàíû äâà ìíîæåñòâà, îäíî èç êîòîðûõ êîíå÷íî, à äðóãîå � áåñêîíå÷íî,çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ åùå ïðîùå.À åñëè äàíû äâà áåñêîíå÷íûõ, ïóñòü äàæå ñ÷åòíûõ, ìíîæåñòâà?Òåîðèÿ ìíîæåñòâ ãîâîðèò, ÷òî îíè ðàâíû, íî òàê ëè ýòî ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êèçðåíèÿ? Ñêîðåå íåò: ââèäó îãðàíè÷åííîñòè ðåñóðñîâ, íàì äîñòóïíû íå âñå ýëåìåíòûáåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà, à òîëüêî òå, ¾îïèñàíèÿ¿ êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþòðåñóðñíûì îãðàíè÷åíèÿì:íàïðèìåð, ìû ìîæåì ïðîèçâîäèòü äåéñòâèÿ íå ñ ëþáûìè öåëûìè ÷èñëàìè, àòîëüêî ñ òåìè, êîòîðûå ïîìåùàþòñÿ â âûáðàííûé òèï äàííûõ ÂËßÏ.Òàêèõ ýëåìåíòîâ êîíå÷íîå ÷èñëî, à çíà÷èò, ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íûõ ìíîæåñòâ â¾ïðàêòè÷åñêîì¿ ñìûñëå ñâîäèòñÿ ê ñðàâíåíèþ êîíå÷íûõ: òî ìíîæåñòâî, â êîòîðîìáîëüøå äîñòóïíûõ ýëåìåíòîâ, è ÿâëÿåòñÿ á�îëüøèì. Âñå ñêàçàííîå, ðàçóìååòñÿ,ìîæíî îòíåñòè ê ìíîæåñòâàì ñëîâ.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 2 / 32




ßçûêè è êîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòüÎïðåäåëåíèåÔîðìàëüíûì ÿçûêîì (èëè ÿçûêîì) íàä àë�àâèòîì Σ íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîåìíîæåñòâî ñëîâ íàä Σ. Êîìáèíàòîðíîé ñëîæíîñòüþ ÿçûêà L ⊆ Σ∗ íàçûâàåòñÿ�óíêöèÿ CL(n) : N0 → N0, âîçâðàùàþùàÿ ÷èñëî ñëîâ çàäàííîé äëèíû â ÿçûêå.Ñðàâíåíèå ¾ðàçìåðîâ¿ äâóõ ÿçûêîâ � ýòî ñðàâíåíèå èõ êîìáèíàòîðíûõñëîæíîñòåé, ïðè÷åì îáû÷íî â àñèìïòîòè÷åñêîì ñìûñëå:ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ÿçûê L1 ¾áîãà÷å¿ ÿçûêà L2, åñëè äëÿ âñåõ áîëüøèõ nCL1 (n) > CL2(n).Ïîíÿòèå êîìáèíàòîðíîé ñëîæíîñòè ïðèìåíèìî ê ëþáîìó ÿçûêó, íî åãî îñìûñëåííîðàññìàòðèâàòü ìîæíî òîëüêî äëÿ òåõ ÿçûêîâ, äëÿ êîòîðûõ ðàçðåøèìà ïðîáëåìàâõîæäåíèÿ: ïî çàäàííîìó ñëîâó îïðåäåëèòü, ïðèíàäëåæèò ëè îíî ÿçûêó (òàêèåÿçûêè íàçûâàþòñÿ ðåêóðñèâíûìè).×åì îïðåäåëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå êîìáèíàòîðíîé ñëîæíîñòè?Îñíîâíûì ïàðàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ èíäåêñ ðîñòà:Gr(L) = Gr(CL) = limn→∞

(CL(n))1/n.(Ñïðàâà íóæíî áðàòü èìåííî âåðõíèé ïðåäåë, ïîòîìó ÷òî ïðåäåë ìîæåò íåñóùåñòâîâàòü: íàïðèìåð, â ïðàâèëüíîì ñêîáî÷íîì ÿçûêå âñå ñëîâà èìåþò ÷åòíóþäëèíó, è êîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòü îò ëþáîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà ðàâíà 0.)À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 3 / 32

ßçûêè è êîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòüÎïðåäåëåíèåÔîðìàëüíûì ÿçûêîì (èëè ÿçûêîì) íàä àë�àâèòîì Σ íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîëüíîåìíîæåñòâî ñëîâ íàä Σ. Êîìáèíàòîðíîé ñëîæíîñòüþ ÿçûêà L ⊆ Σ∗ íàçûâàåòñÿ�óíêöèÿ CL(n) : N0 → N0, âîçâðàùàþùàÿ ÷èñëî ñëîâ çàäàííîé äëèíû â ÿçûêå.Ñðàâíåíèå ¾ðàçìåðîâ¿ äâóõ ÿçûêîâ � ýòî ñðàâíåíèå èõ êîìáèíàòîðíûõñëîæíîñòåé, ïðè÷åì îáû÷íî â àñèìïòîòè÷åñêîì ñìûñëå:ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ÿçûê L1 ¾áîãà÷å¿ ÿçûêà L2, åñëè äëÿ âñåõ áîëüøèõ nCL1 (n) > CL2(n).Ïîíÿòèå êîìáèíàòîðíîé ñëîæíîñòè ïðèìåíèìî ê ëþáîìó ÿçûêó, íî åãî îñìûñëåííîðàññìàòðèâàòü ìîæíî òîëüêî äëÿ òåõ ÿçûêîâ, äëÿ êîòîðûõ ðàçðåøèìà ïðîáëåìàâõîæäåíèÿ: ïî çàäàííîìó ñëîâó îïðåäåëèòü, ïðèíàäëåæèò ëè îíî ÿçûêó (òàêèåÿçûêè íàçûâàþòñÿ ðåêóðñèâíûìè).×åì îïðåäåëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå êîìáèíàòîðíîé ñëîæíîñòè?Îñíîâíûì ïàðàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ èíäåêñ ðîñòà:Gr(L) = Gr(CL) = limn→∞

(CL(n))1/n.(Ñïðàâà íóæíî áðàòü èìåííî âåðõíèé ïðåäåë, ïîòîìó ÷òî ïðåäåë ìîæåò íåñóùåñòâîâàòü: íàïðèìåð, â ïðàâèëüíîì ñêîáî÷íîì ÿçûêå âñå ñëîâà èìåþò ÷åòíóþäëèíó, è êîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòü îò ëþáîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà ðàâíà 0.)À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 3 / 32

Áîëüøèå è ìàëåíüêèå ÿçûêèÂ çàâèñèìîñòè îò èíäåêñà ðîñòà, ÿçûêè ìîæíî ðàçáèòü íà 3 ãðóïïû:áîëüøèå (ýêñïîíåíöèàëüíûå), Gr(L) > 1;ìàëåíüêèå (ñóáýêñïîíåíöèàëüíûå, â òîì ÷èñëå ïîëèíîìèàëüíûå), Gr(L) = 1;êîíå÷íûå (âûðîæäåííûå), Gr(L) = 0.Îñíîâíàÿ çàäà÷à î êîëè÷åñòâåííûõ õàðàêòåðèñòèêàõ ÿçûêà:äëÿ áîëüøèõ ÿçûêîâ � âû÷èñëèòü èíäåêñ ðîñòà ñ ìàêñèìàëüíîé äîñòóïíîéòî÷íîñòüþ (íàïðèìåð, ÷òîáû óìåòü îïðåäåëÿòü, êàêîé èç äâóõ ÿçûêîâ áîëüøå);äëÿ ìàëåíüêèõ ÿçûêîâ � âû÷èñëèòü ¾âòîðè÷íûé¿ ïàðàìåòð ðîñòà (íàïðèìåð,ñòåïåíü ïîëèíîìà) ñ ìàêñèìàëüíîé äîñòóïíîé òî÷íîñòüþ (äëÿ òåõ æå öåëåé);âûðîæäåííûå ÿçûêè íàñ íå èíòåðåñóþò íà÷èíàÿ ñ òîãî ìîìåíòà, êàêâûðîæäåííîñòü äîêàçàíà.Íàøà öåëü � óçíàòü êàê ìîæíî áîëüøå î ñëîæíîñòè áåñïîâòîðíûõ ÿçûêîâ. Äëÿýòîãî ïðèäåòñÿ çàéòè èçäàëåêà, íà÷àâ ñ ðåãóëÿðíûõ ÿçûêîâ.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 4 / 32

Áîëüøèå è ìàëåíüêèå ÿçûêèÂ çàâèñèìîñòè îò èíäåêñà ðîñòà, ÿçûêè ìîæíî ðàçáèòü íà 3 ãðóïïû:áîëüøèå (ýêñïîíåíöèàëüíûå), Gr(L) > 1;ìàëåíüêèå (ñóáýêñïîíåíöèàëüíûå, â òîì ÷èñëå ïîëèíîìèàëüíûå), Gr(L) = 1;êîíå÷íûå (âûðîæäåííûå), Gr(L) = 0.Îñíîâíàÿ çàäà÷à î êîëè÷åñòâåííûõ õàðàêòåðèñòèêàõ ÿçûêà:äëÿ áîëüøèõ ÿçûêîâ � âû÷èñëèòü èíäåêñ ðîñòà ñ ìàêñèìàëüíîé äîñòóïíîéòî÷íîñòüþ (íàïðèìåð, ÷òîáû óìåòü îïðåäåëÿòü, êàêîé èç äâóõ ÿçûêîâ áîëüøå);äëÿ ìàëåíüêèõ ÿçûêîâ � âû÷èñëèòü ¾âòîðè÷íûé¿ ïàðàìåòð ðîñòà (íàïðèìåð,ñòåïåíü ïîëèíîìà) ñ ìàêñèìàëüíîé äîñòóïíîé òî÷íîñòüþ (äëÿ òåõ æå öåëåé);âûðîæäåííûå ÿçûêè íàñ íå èíòåðåñóþò íà÷èíàÿ ñ òîãî ìîìåíòà, êàêâûðîæäåííîñòü äîêàçàíà.Íàøà öåëü � óçíàòü êàê ìîæíî áîëüøå î ñëîæíîñòè áåñïîâòîðíûõ ÿçûêîâ. Äëÿýòîãî ïðèäåòñÿ çàéòè èçäàëåêà, íà÷àâ ñ ðåãóëÿðíûõ ÿçûêîâ.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 4 / 32

Ëèðè÷åñêîå îòñòóïëåíèå: Ìàðñòîí ÌîðñÌàðñòîí Ìîðñ (1892-1977) � àìåðèêàíåö, äè�-�åðåíöèàëüíûé ãåîìåòð è òîïîëîã. Ïðèäóìàë¾Òåîðèþ Ìîðñà¿ â òîïîëîãèè.Âìåñòå ñî ñâîèì ó÷åíèêîì Õýäëóíäîì âïåðâûå èññëåäîâàë êîìáèíàòîðíóþñëîæíîñòü (â ÷àñòíîì ñëó÷àå � êàê ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïîäñëîâ �èêñèðîâàííîéäëèíû â áåñêîíå÷íîì ñëîâå). Ñ�îðìóëèðîâàë íà ÿçûêå ñëîæíîñòè êðèòåðèéïåðèîäè÷íîñòè ω-ñëîâà (1938) è êðèòåðèé äëÿ ñëîâ Øòóðìà (1940).

À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 5 / 32

Ëèðè÷åñêîå îòñòóïëåíèå: Ìàðñòîí ÌîðñÌàðñòîí Ìîðñ (1892-1977) � àìåðèêàíåö, äè�-�åðåíöèàëüíûé ãåîìåòð è òîïîëîã. Ïðèäóìàë¾Òåîðèþ Ìîðñà¿ â òîïîëîãèè.Âìåñòå ñî ñâîèì ó÷åíèêîì Õýäëóíäîì âïåðâûå èññëåäîâàë êîìáèíàòîðíóþñëîæíîñòü (â ÷àñòíîì ñëó÷àå � êàê ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ïîäñëîâ �èêñèðîâàííîéäëèíû â áåñêîíå÷íîì ñëîâå). Ñ�îðìóëèðîâàë íà ÿçûêå ñëîæíîñòè êðèòåðèéïåðèîäè÷íîñòè ω-ñëîâà (1938) è êðèòåðèé äëÿ ñëîâ Øòóðìà (1940).


Ìàðøðóòû â ãðà�å è ñëîâà â ðåãóëÿðíîì ÿçûêåÏóñòü ðåãóëÿðíûé ÿçûê L çàäàí äåòåðìèíèðîâàííûì êîíå÷íûì àâòîìàòîì A.Íà ÄÊÀ ìû ñìîòðèì êàê íà îðãðà�, ðåáðà êîòîðîãî ïîìå÷åíû áóêâàìè, àâåðøèíû ìîãóò èìåòü ìåòêè ¾íà÷àëüíàÿ¿ (óíèêàëüíàÿ ìåòêà) è¾òåðìèíàëüíàÿ¿ (íåóíèêàëüíàÿ ìåòêà).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî CL(n) åñòü ÷èñëî ìàðøðóòîâ â àâòîìàòå A, âåäóùèõ èçíà÷àëüíîé âåðøèíû â òåðìèíàëüíóþ. ×åìó ðàâíî ÷èñëî ìàðøðóòîâ ìåæäóâåðøèíàìè îðãðà�à?Çàìå÷àíèå î ÷èñëå ìàðøðóòîâÏóñòü çàäàí îðãðà� G ñ ìàòðèöåé ñìåæíîñòè M. ×èñëî Puv (n) ìàðøðóòîâ äëèíû nèç âåðøèíû u â âåðøèíó v ðàâíî Mn[u, v ].Èìååì Puv (1) = M[u, v ] ïî îïðåäåëåíèþ ìàòðèöû ñìåæíîñòè èPuv (n+1) =∑w Puw (n)Pwv (1), ãäå ñóììèðîâàíèå èäåò ïî âñåì âåðøèíàì îðãðà�à.Çàìå÷àíèå ñëåäóåò îòñþäà ïî èíäóêöèè.Äëÿ ðàçíûõ ïàð (u, v) âåðøèí îäíîãî è òîãî æå ãðà�à ÷èñëî ìàðøðóòîâ ìîæåòâåñòè ñåáÿ ñîâåðøåííî ïî-ðàçíîìó. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ÷èñëà ìàðøðóòîâîïðåäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðîé è âçàèìíûì ðàñïîëîæåíèåì êîìïîíåíò ñèëüíîé ñâÿçíîñòèãðà�à.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 6 / 32



Íåîòðèöàòåëüíûå ìàòðèöûÑëåäóþùàÿ îñíîâîïîëàãàþùàÿ òåîðåìà âåðíà äëÿ âñåõ íåîòðèöàòåëüíûõ ìàòðèö;÷òîáû íå ââîäèòü äîïîëíèòåëüíûå ïîíÿòèÿ, ñ�îðìóëèðóåì åå òîëüêî äëÿ ìàòðèöñìåæíîñòè (è òîëüêî òå ïóíêòû, êîòîðûå íàì íóæíû).Òåîðåìà (Ïåððîí 1907, Ôðîáåíèóñ 1912)Ïóñòü M � ìàòðèöà ñìåæíîñòè íåêîòîðîãî îðãðà�à G .1 Ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ r ìàòðèöû M ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ÷èñëîì M (÷èñëîÔðîáåíèóñà);2 ñîáñòâåííîìó ÷èñëó r ñîîòâåòñòâóåò íåîòðèöàòåëüíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð;3 åñëè G ñèëüíî ñâÿçåí, òî r èìååò êðàòíîñòü 1, è åìó ñîîòâåòñòâóåòïîëîæèòåëüíûé ñîáñòâåííûé âåêòîð;4 åñëè äëèíû öèêëîâ â êàæäîé êîìïîíåíòå ñèëüíîé ñâÿçíîñòè G âçàèìíî ïðîñòûâ ñîâîêóïíîñòè, òî r ñòðîãî áîëüøå ïî ìîäóëþ îñòàëüíûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåëìàòðèöû M.Òåîðåìà Ïåððîíà-Ôðîáåíèóñà ïðèìåíÿåòñÿ, ïîìèìî òåîðèè ãðà�îâ, ê ìàðêîâñêèìïðîöåññàì, ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêå, äåìîãðà�èè è ïîñòðîåíèþ ïîèñêîâûõñèñòåì.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 7 / 32

×èñëî ìàðøðóòîâ è èíäåêñ îðãðà�àÎïðåäåëåíèå×èñëî Ôðîáåíèóñà ìàòðèöû ñìåæíîñòè îðãðà�à G íàçûâàåòñÿ èíäåêñîì îðãðà�à èîáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Ind(G ).Ëåììà î ðîñòå ÷èñëà ìàðøðóòîâÏóñòü P(n) =∑u,v Puv (n) � ÷èñëî âñåõ ìàðøðóòîâ äëèíû n â îðãðà�å G . ÒîãäàGr(P) = Ind(G ).Ïî çàìå÷àíèþ î ÷èñëå ìàðøðóòîâ, P(n) = ‖Mn‖, ãäå ‖ · ‖ � íîðìà ìàòðèöû,âû÷èñëÿåìàÿ êàê ñóììà âñåõ ýëåìåíòîâ. Èç àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî Gr(‖Mn‖) = r ,ãäå r � ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ìàòðèöû M. Ïðèìåíÿÿ ïóíêò 1 òåîðåìûÏåððîíà-Ôðîáåíèóñà, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå.Ïîñêîëüêó P(n) � ýòî êîíå÷íàÿ ñóììà, íåêîòîðûå èç �óíêöèé Puv (n) òàêæåèìåþò èíäåêñ ðîñòà Ind(G ).À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 8 / 32

Èíäåêñ ðîñòà ðåãóëÿðíîãî ÿçûêàÎïðåäåëåíèåÊîíå÷íûé àâòîìàò íàçûâàåòñÿ ïëîòíûì, åñëè ëþáàÿ åãî âåðøèíà ïðèíàäëåæèòíåêîòîðîìó ìàðøðóòó èç íà÷àëüíîé âåðøèíû â òåðìèíàëüíóþ.Òåîðåìà îá èíäåêñå ðîñòà (�îëüêëîð)Ïóñòü A � ïëîòíûé ÄÊÀ, ðàñïîçíàþùèé ÿçûê L. Òîãäà Gr(L) = Ind(A).Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì íàáëþäåíèè:(∗) ïóñòü u, v ,w � òðè âåðøèíû îðãðà�à òàêèå, ÷òî èç u äîñòèæèìà v , à èç väîñòèæèìà w ; òîãäà Gr(Puw ) > Gr(Puv ),Gr(Pvw ).Â ñàìîì äåëå, åñëè i � äëèíà êðàò÷àéøåãî (u, v)-ìàðøðóòà, òî äëÿ ëþáîãî nPuw (n+i) > Pvw (n), à çíà÷èò, ñòðîãîå íåðàâåíñòâî Gr(Puw ) < Gr(Pvw ) âûïîëíÿòüñÿíå ìîæåò. Ïîñêîëüêó ëþáàÿ âåðøèíà àâòîìàòà äîñòèæèìà èç íà÷àëüíîé âåðøèíû, èèç ëþáîé âåðøèíû äîñòèæèìà òåðìèíàëüíàÿ, ïðè ïîìîùè (∗) ìîæíîìàæîðèðîâàòü èíäåêñ ðîñòà êàæäîé �óíêöèè Puv èíäåêñîì ðîñòà îäíîé èç �óíêöèéPst , ãäå s � íà÷àëüíàÿ, à t � òåðìèíàëüíàÿ âåðøèíà.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 9 / 32

Çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà ðîñòàÈòàê, çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà ðîñòà ðåãóëÿðíîãî ÿçûêà ñâåäåíà ê çàäà÷åâû÷èñëåíèÿ ÷èñëà Ôðîáåíèóñà äëÿ öåëî÷èñëåííîé íåîòðèöàòåëüíîé ìàòðèöû.Ïîäâîäíûé êàìåíü: ÷èñëî Ôðîáåíèóñà ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîìíîãî÷ëåíà; êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè âûøå 4 â îáùåì ñëó÷àå íåâû÷èñëÿþòñÿ òî÷íî.Çíà÷èò, ïðèäåòñÿ èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåííûå ìåòîäû. Â äàëüíåéøåì, ãîâîðÿ, ÷òî¾àëãîðèòì âû÷èñëÿåò ÷èñëî Ôðîáåíèóñà¿, ìû èìååì â âèäó, ÷òî îí âîçâðàùàåòïðèáëèæåíèå ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ (àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ).Òîò �àêò, ÷òî ÷èñëî Ôðîáåíèóñà ðàâíî íóëþ èëè åäèíèöå, íóæíî óìåòüóñòàíàâëèâàòü òî÷íî. Ê ñ÷àñòüþ, ýòî ëåãêî ñäåëàòü áåç âñÿêèõ ìàòðè÷íûõâû÷èñëåíèé, çà ëèíåéíîå îò ðàçìåðà àâòîìàòà âðåìÿ.Òåîðåìà (Øóð, 2004)Ïóñòü A � ïðîèçâîëüíûé ïëîòíûé ÄÊÀ, ðàñïîçíàþùèé çàäàííûé ÿçûê L.1. L êîíå÷åí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A àöèêëè÷åí.2. L ñóáýêñïîíåíöèàëåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íèêàêèå äâà öèêëà â A íåèìåþò îáùèõ âåðøèí. Â ýòîì ñëó÷àå CL(n) = Θ(nm−1), ãäå m � ìàêñèìàëüíîå÷èñëî öèêëîâ, ïåðåñåêàåìûõ ìàðøðóòîì â ãðà�å.Äîêàçàòåëüñòâî: óïðàæíåíèå.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 10 / 32

Çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà ðîñòàÈòàê, çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà ðîñòà ðåãóëÿðíîãî ÿçûêà ñâåäåíà ê çàäà÷åâû÷èñëåíèÿ ÷èñëà Ôðîáåíèóñà äëÿ öåëî÷èñëåííîé íåîòðèöàòåëüíîé ìàòðèöû.Ïîäâîäíûé êàìåíü: ÷èñëî Ôðîáåíèóñà ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîìíîãî÷ëåíà; êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè âûøå 4 â îáùåì ñëó÷àå íåâû÷èñëÿþòñÿ òî÷íî.Çíà÷èò, ïðèäåòñÿ èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåííûå ìåòîäû. Â äàëüíåéøåì, ãîâîðÿ, ÷òî¾àëãîðèòì âû÷èñëÿåò ÷èñëî Ôðîáåíèóñà¿, ìû èìååì â âèäó, ÷òî îí âîçâðàùàåòïðèáëèæåíèå ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ (àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ).Òîò �àêò, ÷òî ÷èñëî Ôðîáåíèóñà ðàâíî íóëþ èëè åäèíèöå, íóæíî óìåòüóñòàíàâëèâàòü òî÷íî. Ê ñ÷àñòüþ, ýòî ëåãêî ñäåëàòü áåç âñÿêèõ ìàòðè÷íûõâû÷èñëåíèé, çà ëèíåéíîå îò ðàçìåðà àâòîìàòà âðåìÿ.Òåîðåìà (Øóð, 2004)Ïóñòü A � ïðîèçâîëüíûé ïëîòíûé ÄÊÀ, ðàñïîçíàþùèé çàäàííûé ÿçûê L.1. L êîíå÷åí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A àöèêëè÷åí.2. L ñóáýêñïîíåíöèàëåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íèêàêèå äâà öèêëà â A íåèìåþò îáùèõ âåðøèí. Â ýòîì ñëó÷àå CL(n) = Θ(nm−1), ãäå m � ìàêñèìàëüíîå÷èñëî öèêëîâ, ïåðåñåêàåìûõ ìàðøðóòîì â ãðà�å.Äîêàçàòåëüñòâî: óïðàæíåíèå.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 10 / 32

Ëèðè÷åñêîå îòñòóïëåíèå: Àðòî ÑàëîìààÀðòî Ñàëîìàà (ð. 1934) � �èíí, îñíîâîïîëîæíèêòåîðèè �îðìàëüíûõ ÿçûêîâ è àâòîìàòîâ â Åâðîïå.Íàïèñàë îêîëî 400 ñòàòåé è 46 êíèã, â òîì ÷èñ-ëå ¾Êðèïòîãðà�èÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì¿, ¾ÄÍÊ-êîìïüþòåð¿, à òàêæå ¾Òåîðåòèêî-àâòîìàòíûå àñïåê-òû �îðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ¿, îòêóäà ìîæíîïî÷åðïíóòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà (Ñàëîìàà, Ñîèòòîëà, 1978)Äëÿ ëþáîãî ðåãóëÿðíîãî ÿçûêà L ñóùåñòâóþò íàòóðàëüíûå ÷èñëà ℓ è r òàêèå, ÷òîäëÿ ëþáîãî j = 0, . . . , r−1 è ëþáîãî n > ℓ, òàêîãî ÷òî n mod r = j , âåðíî ðàâåíñòâîCL(n) = pj (n)αnj +

∑ pji (n)αnji ,ãäå ÷èñëî ñëàãàåìûõ êîíå÷íî, αj > 0 è αji � íåêîòîðûå àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà,αj > max |αji |, à âñå pj è pji � íåíóëåâûå ìíîãî÷ëåíû ñ àëãåáðàè÷åñêèìèêîý��èöèåíòàìè, ïðè÷åì êîý��èöèåíòû ìíîãî÷ëåíîâ pj � âåùåñòâåííûå.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 11 / 32

Ëèðè÷åñêîå îòñòóïëåíèå: Àðòî ÑàëîìààÀðòî Ñàëîìàà (ð. 1934) � �èíí, îñíîâîïîëîæíèêòåîðèè �îðìàëüíûõ ÿçûêîâ è àâòîìàòîâ â Åâðîïå.Íàïèñàë îêîëî 400 ñòàòåé è 46 êíèã, â òîì ÷èñ-ëå ¾Êðèïòîãðà�èÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì¿, ¾ÄÍÊ-êîìïüþòåð¿, à òàêæå ¾Òåîðåòèêî-àâòîìàòíûå àñïåê-òû �îðìàëüíûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ¿, îòêóäà ìîæíîïî÷åðïíóòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà (Ñàëîìàà, Ñîèòòîëà, 1978)Äëÿ ëþáîãî ðåãóëÿðíîãî ÿçûêà L ñóùåñòâóþò íàòóðàëüíûå ÷èñëà ℓ è r òàêèå, ÷òîäëÿ ëþáîãî j = 0, . . . , r−1 è ëþáîãî n > ℓ, òàêîãî ÷òî n mod r = j , âåðíî ðàâåíñòâîCL(n) = pj (n)αnj +

∑ pji (n)αnji ,ãäå ÷èñëî ñëàãàåìûõ êîíå÷íî, αj > 0 è αji � íåêîòîðûå àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà,αj > max |αji |, à âñå pj è pji � íåíóëåâûå ìíîãî÷ëåíû ñ àëãåáðàè÷åñêèìèêîý��èöèåíòàìè, ïðè÷åì êîý��èöèåíòû ìíîãî÷ëåíîâ pj � âåùåñòâåííûå.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 11 / 32

Ïðîáëåìà ïîèñêà ÷èñëà ÔðîáåíèóñàÒåîðåìà Ñàëîìàà-Ñîèòòîëû ãîâîðèò î òîì, êàê óñòðîåíà êîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòü,íî íå äàåò ðåöåïòîâ òîãî, êàê ñ÷èòàòü èíäåêñ ðîñòà, íå ãîâîðÿ óæå îá îñòàëüíûõïàðàìåòðàõ. Ïîïðîáóåì ýòî âîñïîëíèòü.Åñòåñòâåííûé ìåòîä � íàéòè ïî ìàòðèöå õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èíàéòè åãî íàèáîëüøèé êîðåíü èòåðàòèâíûì ìåòîäîì;ïðîäâèíóòûå àëãîðèòìû ïîçâîëÿþò ñäåëàòü ýòî çà âðåìÿ Θ(N3) è ïðîñòðàíñòâîΘ(N2), ãäå N � ðàçìåð ìàòðèöû;íà ñàìîì äåëå âñå åùå õóæå: êîý��èöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòóò ñ ðîñòîì N, ò.å. õðàíåíèå êàæäîãî êîý��èöèåíòàòðåáóåò ëèíåéíîé à íå êîíñòàíòíîé, ïàìÿòè, à âûïîëíåíèå îäíîé îïåðàöèè �ëèíåéíîãî âðåìåíè;â èòîãå ïîëó÷àåì âðåìÿ Θ(N4) è ïðîñòðàíñòâî Θ(N3).Ïëîõî: â ïàìÿòü âëåçàþò î÷åíü áîëüøèå àâòîìàòû (àâòîìàò íà N âåðøèí òðåáóåòïàìÿòè Θ(N · |Σ|)), à âû÷èñëèòü èíäåêñ ðîñòà ÿçûêà ïî íèì íå ìîæåì.Âûõîä:íèêàêèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ � ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèåñîáñòâåííîãî ÷èñëà íàïðÿìóþ;íèêàêèõ ìàòðèö � òîëüêî âåêòîðû.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 12 / 32

Ïðîáëåìà ïîèñêà ÷èñëà ÔðîáåíèóñàÒåîðåìà Ñàëîìàà-Ñîèòòîëû ãîâîðèò î òîì, êàê óñòðîåíà êîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòü,íî íå äàåò ðåöåïòîâ òîãî, êàê ñ÷èòàòü èíäåêñ ðîñòà, íå ãîâîðÿ óæå îá îñòàëüíûõïàðàìåòðàõ. Ïîïðîáóåì ýòî âîñïîëíèòü.Åñòåñòâåííûé ìåòîä � íàéòè ïî ìàòðèöå õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èíàéòè åãî íàèáîëüøèé êîðåíü èòåðàòèâíûì ìåòîäîì;ïðîäâèíóòûå àëãîðèòìû ïîçâîëÿþò ñäåëàòü ýòî çà âðåìÿ Θ(N3) è ïðîñòðàíñòâîΘ(N2), ãäå N � ðàçìåð ìàòðèöû;íà ñàìîì äåëå âñå åùå õóæå: êîý��èöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíàýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòóò ñ ðîñòîì N, ò.å. õðàíåíèå êàæäîãî êîý��èöèåíòàòðåáóåò ëèíåéíîé à íå êîíñòàíòíîé, ïàìÿòè, à âûïîëíåíèå îäíîé îïåðàöèè �ëèíåéíîãî âðåìåíè;â èòîãå ïîëó÷àåì âðåìÿ Θ(N4) è ïðîñòðàíñòâî Θ(N3).Ïëîõî: â ïàìÿòü âëåçàþò î÷åíü áîëüøèå àâòîìàòû (àâòîìàò íà N âåðøèí òðåáóåòïàìÿòè Θ(N · |Σ|)), à âû÷èñëèòü èíäåêñ ðîñòà ÿçûêà ïî íèì íå ìîæåì.Âûõîä:íèêàêèõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ � ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèåñîáñòâåííîãî ÷èñëà íàïðÿìóþ;íèêàêèõ ìàòðèö � òîëüêî âåêòîðû.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 12 / 32

Âû÷èñëåíèå ÷èñëà Ôðîáåíèóñà ìåòîäîì ïðîñòîé èòåðàöèèÌåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè âû÷èñëÿåò ìàêñèìàëüíîå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîå ÷èñëî rìàòðèöû M è ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð:áåðåì îò �îíàðÿ íåíóëåâîé âåêòîð ~x ;áåðåì áîëüøîå ÷èñëî n, âû÷èñëÿåì âåêòîð Mn~x è îáúÿâëÿåì åãî ñîáñòâåííûì;ñîáñòâåííîå ÷èñëî âû÷èñëÿåì êàê îòíîøåíèå íîðì âåêòîðîâ Mn~x è Mn−1~x .Ïî÷åìó ýòî ðàáîòàåò?Ïóñòü ~x = x1~e1, . . . , xN~eN ðàçëîæåí ïî æîðäàíîâó áàçèñó, ïðè÷åì ~e1ñîîòâåòñòâóåò ÷èñëó Ôðîáåíèóñà. Òîãäà ïðè êàæäîì óìíîæåíèè íà M ïåðâàÿêîîðäèíàòà ~x óâåëè÷èâàåòñÿ â r ðàç, à îñòàëüíûå � â ìåíüøåå ÷èñëî ðàç.Ïîýòîìó ÷åðåç äîñòàòî÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé âñå êîý��èöèåíòû ñòàíóòïðåíåáðåæèòåëüíî ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì, ò.å. Mn~x áóäåò ïî÷òèïàðàëëåëåí ~e1.Â ÷åì ïîäâîõ? Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè ìîæåòíå ñõîäèòüñÿ âîîáùå;ñõîäèòüñÿ íå òóäà;ñõîäèòüñÿ òóäà, íî êàòàñòðî�è÷åñêè ìåäëåííî.×òîáû åãî ïðèìåíÿòü, íàäî äîêàçàòü, ÷òî ìû çàùèùåíû îò âñåõ òðåõ óãðîç è, êðîìåòîãî, ãàðàíòèðîâàòü äîñòèæåíèå çàäàííîé òî÷íîñòè.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 13 / 32



Óãðîçû äëÿ ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè1. Íåóäà÷íûé âûáîð âåêòîðà ~x ìîæåò ïðèâåñòè ê òîìó, ÷òî x1 = 0 è ñõîäèìîñòüáóäåò íàáëþäàòüñÿ ê ñîáñòâåííîìó âåêòîðó ñ ìåíüøèì ñîáñòâåííûì ÷èñëîì.Åñëè ïîëîæèòü ~x = (1, . . . , 1), òî ñóììà êîîðäèíàò âåêòîðà Mn~x åñòü ÷èñëîìàðøðóòîâ äëèíû n â àâòîìàòå; ïî òåîðåìå îá èíäåêñå, îòíîøåíèå íîðì(ñóììà êîîðäèíàò ýòî îäíà èç íîðì) âåêòîðîâ Mn~x è Mn−1~x íå ìîæåò ñîéòèñüê ïðåäåëó, îòëè÷íîìó îò r .2. Åñëè ó M åñòü åùå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ðàâíûå r ïî ìîäóëþ, òî ïðîöåññ ìîæåòíå ñîéòèñü âîîáùå.Ïðèìåð:Ïóñòü æîðäàíîâ áàçèñ ìàòðèöû M ñîñòîèò èç âåêòîðîâ ~e1 (ñîáñòâåííîå ÷èñëî r) è~e2 (ñîáñòâåííîå ÷èñëî −r). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå ñõîäèòñÿ:

|Mn~x ||Mn−1~x | =

rnx1 + (−1)nrnx2rn−1x1 + (−1)n−1rn−1x2Äîáàâèì ïåòëþ íà êàæäîé âåðøèíå (ò.å. ðàññìîòðèì ìàòðèöó M + E âìåñòîM). Åå ÷èñëî Ôðîáåíèóñà ðîâíî íà åäèíèöó áîëüøå, à íîâûé îðãðà� ïîäïàäàåòïîä ïóíêò 4 òåîðåìû Ïåððîíà-Ôðîáåíèóñà, ÷òî ãàðàíòèðóåò íàì îòñóòñòâèåñîáñòâåííûõ ÷èñåë ñ ìîäóëåì êàê ó ÷èñëà Ôðîáåíèóñà.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 14 / 32


|Mn~x ||Mn−1~x | =



|Mn~x ||Mn−1~x | =



|Mn~x ||Mn−1~x | =


Óãðîçû äëÿ ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè (2)3. Åñëè r � êðàòíîå ñîáñòâåííî ÷èñëî è åìó ñîîòâåòñòâóåò õîòÿ áû îäíàíåòðèâèàëüíàÿ æîðäàíîâà êëåòêà, òî ñõîäèòüñÿ ïðîöåññ áóäåò îî÷ååíü ìååäëååííîî.Ïðèìåð:Âîçüìåì ìàòðèöó èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, ñ îäíèì èçìåíåíèåì: ~e2 òîæåîòíîñèòñÿ ê r è M~e2 = ~e1 + r~e2. Òîãäà|Mn~x |

|Mn−1~x | =(rn+nrn−1)x1 + rnx2

(rn−1+(n−1)rn−2)x1 + rn−1x2 = r + Θ(1n)

.�àçîáüåì àâòîìàò íà êîìïîíåíòû ñèëüíîé ñâÿçíîñòè è âû÷èñëèì äëÿ êàæäîéèç íèõ ÷èñëî Ôðîáåíèóñà ïî îòäåëüíîñòè (èíäåêñ îðãðà�à åñòü ìàêñèìóì èçèíäåêñîâ åãî êîìïîíåíò). Òîãäà ìû íàõîäèìñÿ ¾ïîä çàùèòîé¿ ïóíêòà 3òåîðåìû Ïåððîíà-Ôðîáåíèóñà.4. Êàê ãàðàíòèðîâàòü äîñòèæåíèå çàäàííîé òî÷íîñòè? Ñðåäè ñëåäñòâèé òåîðåìûÏåððîíà-Ôðîáåíèóñà åñòü íåðàâåíñòâîminj ~yj~xj 6 r 6 maxj ~yj

~xj ,âåðíîå âñåãäà, êîãäà ~x ïîëîæèòåëåí è ~y = M~x .À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 15 / 32



(rn−1+(n−1)rn−2)x1 + rn−1x2 = r + Θ(1n)





(rn−1+(n−1)rn−2)x1 + rn−1x2 = r + Θ(1n)



Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè: èòîãèÈòàê, ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíäåêñààâòîìàòà, à çíà÷èò, è èíäåêñà ðîñòà ðåãóëÿðíîãî ÿçûêà, ïðèíÿâ íåîáõîäèìûå ìåðûïðåäîñòîðîæíîñòè (âûáîð íà÷àëüíîãî âåêòîðà, ðàçáèåíèå íà êîìïîíåíòû ñèëüíîéñâÿçíîñòè è íàâåøèâàíèå ïåòåëü). ×òî ìû ïîëó÷àåì?Äëÿ âû÷èñëåíèÿ Mn~x íå íóæíà ìàòðèöà: äîñòàòî÷íî õðàíèòü äâà âåêòîðà �òåêóùèé è âû÷èñëÿåìûé. Óìíîæåíèå íà ìàòðèöó M ñâîäèòñÿ ê ñëîæåíèþíåñêîëüêèõ êîîðäèíàò òåêóùåãî âåêòîðà (â îáùåé ñëîæíîñòè íàäî âû÷èñëèòüO(N|Σ|) ñëîæåíèé, ïî ÷èñëó ðåáåð â àâòîìàòå.Òàêèì îáðàçîì, îäíà èòåðàöèÿ òðåáóåò âðåìåíè O(N|Σ|) (ðàçìåð ÷èñåë ìîæíîíå ó÷èòûâàòü, ïîñêîëüêó àëãîðèòì ïðîñòîé èòåðàöèè óñòîé÷èâ êìàñøòàáèðîâàíèþ è îêðóãëåíèþ).Ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ñ êàæäîé èòåðàöèåé óáûâàåò ïðèìåðíî â r/r ′ ðàç,ãäå r ′ � ìîäóëü âòîðîãî ïî âåëè÷èíå ñîáñòâåííîãî ÷èñëà M (òî÷íåå, M + E ).Çíà÷èò, ÷èñëî èòåðàöèé åñòü Θ(log 1/δ), ãäå δ � çàÿâëåííàÿ àáñîëþòíàÿïîãðåøíîñòü.Òî åñòü ìû áåç îñîáûõ èçûñêîâ ïîëó÷èëè àëãîðèòì, êîòîðûé ðàáîòàåò çà ïî÷òèëèíåéíîå âðåìÿ âìåñòî N4!À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 16 / 32

Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè: èòîãèÈòàê, ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíäåêñààâòîìàòà, à çíà÷èò, è èíäåêñà ðîñòà ðåãóëÿðíîãî ÿçûêà, ïðèíÿâ íåîáõîäèìûå ìåðûïðåäîñòîðîæíîñòè (âûáîð íà÷àëüíîãî âåêòîðà, ðàçáèåíèå íà êîìïîíåíòû ñèëüíîéñâÿçíîñòè è íàâåøèâàíèå ïåòåëü). ×òî ìû ïîëó÷àåì?Äëÿ âû÷èñëåíèÿ Mn~x íå íóæíà ìàòðèöà: äîñòàòî÷íî õðàíèòü äâà âåêòîðà �òåêóùèé è âû÷èñëÿåìûé. Óìíîæåíèå íà ìàòðèöó M ñâîäèòñÿ ê ñëîæåíèþíåñêîëüêèõ êîîðäèíàò òåêóùåãî âåêòîðà (â îáùåé ñëîæíîñòè íàäî âû÷èñëèòüO(N|Σ|) ñëîæåíèé, ïî ÷èñëó ðåáåð â àâòîìàòå.Òàêèì îáðàçîì, îäíà èòåðàöèÿ òðåáóåò âðåìåíè O(N|Σ|) (ðàçìåð ÷èñåë ìîæíîíå ó÷èòûâàòü, ïîñêîëüêó àëãîðèòì ïðîñòîé èòåðàöèè óñòîé÷èâ êìàñøòàáèðîâàíèþ è îêðóãëåíèþ).Ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåíèÿ ñ êàæäîé èòåðàöèåé óáûâàåò ïðèìåðíî â r/r ′ ðàç,ãäå r ′ � ìîäóëü âòîðîãî ïî âåëè÷èíå ñîáñòâåííîãî ÷èñëà M (òî÷íåå, M + E ).Çíà÷èò, ÷èñëî èòåðàöèé åñòü Θ(log 1/δ), ãäå δ � çàÿâëåííàÿ àáñîëþòíàÿïîãðåøíîñòü.Òî åñòü ìû áåç îñîáûõ èçûñêîâ ïîëó÷èëè àëãîðèòì, êîòîðûé ðàáîòàåò çà ïî÷òèëèíåéíîå âðåìÿ âìåñòî N4!À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 16 / 32

Ôàêòîðèàëüíûå ÿçûêèÎïðåäåëåíèåßçûê, çàìêíóòûé îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ïîäñëîâ, íàçûâàåòñÿ �àêòîðèàëüíûì.(Ïðèìåð: áåñïîâòîðíûå ÿçûêè.) Ëþáîìó �àêòîðèàëüíîìó ÿçûêó ìîæíî ñîïîñòàâèòüìíîæåñòâî ìèíèìàëüíûõ ïî âêëþ÷åíèþ ¾çàïðåùåííûõ¿ ñëîâ � àíòèñëîâàðü.Ôàêòîðèàëüíûé ÿçûê L ∈ Σ∗ è åãî àíòèñëîâàðü A îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò äðóãäðóãà ðåãóëÿðíûìè âûðàæåíèÿìè A = LΣ ∩ ΣL ∩ (Σ∗−L), L = Σ∗ − Σ∗AΣ∗. Â÷àñòíîñòè, ÿçûêè ñ êîíå÷íûì àíòèñëîâàðåì (ÊÀÑ-ÿçûêè) ðåãóëÿðíû.Äëÿ β-ñâîáîäíîãî ÿçûêà àíòèñëîâàðü ñîñòîèò èç ìèíèìàëüíûõ çàïðåùåííûõñòåïåíåé è áåñêîíå÷åí âñåãäà, êîãäà áåñêîíå÷åí ñàì ÿçûê.Çàìå÷àíèå î ñóáìóëüòèïëèêàòèâíîñòèÊîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòü �àêòîðèàëüíîãî ÿçûêà L òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿåòíåðàâåíñòâó CL(m+n) 6 CL(m)CL(n), ïîñêîëüêó èç òîãî, ÷òî w ∈ L, |w | = m+n,ñëåäóåò, ÷òî w [1..m], w [m+1..n] ∈ L.Ñóáìóëüòèïëèêàòèâíîñòü êîìáèíàòîðíîé ñëîæíîñòè âûçûâàåò ê æèçíè òàêíàçûâàåìóþ ëåììó Ôåêåòå èç ìàòàíàëèçà, êîòîðàÿ äàåòGr(L) = limn→∞

(CL(n))1/n = infn (CL(n))1/n.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 17 / 32

Ôàêòîðèàëüíûå ÿçûêèÎïðåäåëåíèåßçûê, çàìêíóòûé îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ ïîäñëîâ, íàçûâàåòñÿ �àêòîðèàëüíûì.(Ïðèìåð: áåñïîâòîðíûå ÿçûêè.) Ëþáîìó �àêòîðèàëüíîìó ÿçûêó ìîæíî ñîïîñòàâèòüìíîæåñòâî ìèíèìàëüíûõ ïî âêëþ÷åíèþ ¾çàïðåùåííûõ¿ ñëîâ � àíòèñëîâàðü.Ôàêòîðèàëüíûé ÿçûê L ∈ Σ∗ è åãî àíòèñëîâàðü A îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò äðóãäðóãà ðåãóëÿðíûìè âûðàæåíèÿìè A = LΣ ∩ ΣL ∩ (Σ∗−L), L = Σ∗ − Σ∗AΣ∗. Â÷àñòíîñòè, ÿçûêè ñ êîíå÷íûì àíòèñëîâàðåì (ÊÀÑ-ÿçûêè) ðåãóëÿðíû.Äëÿ β-ñâîáîäíîãî ÿçûêà àíòèñëîâàðü ñîñòîèò èç ìèíèìàëüíûõ çàïðåùåííûõñòåïåíåé è áåñêîíå÷åí âñåãäà, êîãäà áåñêîíå÷åí ñàì ÿçûê.Çàìå÷àíèå î ñóáìóëüòèïëèêàòèâíîñòèÊîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòü �àêòîðèàëüíîãî ÿçûêà L òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿåòíåðàâåíñòâó CL(m+n) 6 CL(m)CL(n), ïîñêîëüêó èç òîãî, ÷òî w ∈ L, |w | = m+n,ñëåäóåò, ÷òî w [1..m], w [m+1..n] ∈ L.Ñóáìóëüòèïëèêàòèâíîñòü êîìáèíàòîðíîé ñëîæíîñòè âûçûâàåò ê æèçíè òàêíàçûâàåìóþ ëåììó Ôåêåòå èç ìàòàíàëèçà, êîòîðàÿ äàåòGr(L) = limn→∞

(CL(n))1/n = infn (CL(n))1/n.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 17 / 32

Ìåòîä ðåãóëÿðíûõ ïðèáëèæåíèéÄëÿ îöåíêè êîìáèíàòîðíîé ñëîæíîñòè �àêòîðèàëüíîãî ÿçûêà L ñ àíòèñëîâàðåì Aèñïîëüçóþò âëîæåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåãóëÿðíûõ ÿçûêîâ, ñõîäÿùóþñÿ ê Lñâåðõó. Âûáåðåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Ai} êîíå÷íûõ ïîäìíîæåñòâ èç A òàêóþ, ÷òîA1 ⊆ A2 ⊆ . . . ⊆ Ai ⊆ . . . ⊆ A,∞⋃i=1Ai = A(äëÿ β-ñâîáîäíûõ ÿçûêîâ ê Ai îòíåñåì çàïðåùåííûå ñòåïåíè ñ ïåðèîäîì 6 i).ÊÀÑ-ÿçûê Li ñ àíòèñëîâàðåì Ai áóäåì íàçûâàòü ðåãóëÿðíûì ïðèáëèæåíèåì ÿçûêàL. Èìååì L ⊆ . . . ⊆ Li ⊆ . . . ⊆ L1, ∞

⋂i=1 Li = L.Äëÿ êàæäîãî n âûáåðåì òàêîå in, ÷òî Ain ñîäåðæèò âñå ñëîâà èç A äëèíû äî nâêëþ÷èòåëüíî. Òîãäà CL(n) = . . . = CLin (n) 6 . . . 6 CL1(n).Èç ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {(CLi (n))1/n} è ðàâåíñòâà èõèí�èìóìàì ñëåäóåò, ÷òî ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Gr(Li )}ñõîäèòñÿ ê Gr(L). Èòàê,ñóùåñòâóåò àëãîðèòì, êîòîðûé äëÿ ëþáîãî �àêòîðèàëüíîãî ÿçûêàïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿåò ÷ëåíû óáûâàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ñõîäÿùåéñÿ ê èíäåêñó ðîñòà ýòîãî ÿçûêà.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 18 / 32

Âåðõíèå îöåíêè èíäåêñà ðîñòà �àêòîðèàëüíûõ ÿçûêîâÌåòîä ðåãóëÿðíûõ ïðèáëèæåíèé + áûñòðûé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà ðîñòàðåãóëÿðíîãî ÿçûêà äàþò âîçìîæíîñòü âû÷èñëÿòü âåðõíèå îöåíêè èíäåêñà ðîñòà�àêòîðèàëüíûõ ÿçûêîâ ¾â ïðîìûøëåííûõ êîëè÷åñòâàõ¿. Äëÿ ýòîãî íóæíû âñåãîäâå âåùè:àëãîðèòì, ý��åêòèâíî ïåðå÷èñëÿþùèé ìèíèìàëüíûå çàïðåùåííûå ñëîâà,êîòîðûå íóæíî âêëþ÷èòü â àíòèñëîâàðü Ai ;àëãîðèòì, êîòîðûé ïî àíòèñëîâàðþ ñòðîèò ïëîòíûé àâòîìàò, ðàñïîçíàþùèéÿçûê ñ ýòèì àíòèñëîâàðåì.Ïåðâóþ çàäà÷ó ðåøàåò ãðàìîòíî îðãàíèçîâàííûé ïåðåáîð, äëÿ âòîðîé óäîáíîñòðîèòü àâòîìàò Àõî-Êîðàñèê äëÿ îäíîâðåìåííîãî ïîèñêà ïî ñïèñêó îáðàçöîâ (â èõïîëè âûñòóïàþò çàïðåùåííûå ñëîâà), à çàòåì ñëåãêà åãî ìîäåðíèçèðîâàòü, ïîëó÷àÿàâòîìàò, ðàñïîçíàþùèé âñå ñëîâà, íå ñîäåðæàùèå âõîæäåíèé îáðàçöîâ.Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ìû ïîëó÷èëè ýòèì ìåòîäîì áîëåå 10000 îöåíîê äëÿβ-ñâîáîäíûõ ÿçûêîâ, àáåëåâî-β-ñâîáîäíûõ ÿçûêîâ è ÿçûêîâ åùå îäíîãîðîäñòâåííîãî êëàññà.Îêàçàëîñü, ÷òî ïî òîìó, êàê ñåáÿ âåäåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñà ðîñòàðåãóëÿðíûõ ïðèáëèæåíèé β-ñâîáîäíîãî ÿçûêà, ìîæíî äîâîëüíî òî÷íîïðåäñêàçàòü åå ïðåäåë (ýêñòðàïîëÿöèåé), à âîò äëÿ àáåëåâî-β-ñâîáîäíûõÿçûêîâ � íåâîçìîæíî.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 19 / 32



Íèæíèå îöåíêè èíäåêñà ðîñòàÍèæíèå îöåíêè èíäåêñà ðîñòà íåëüçÿ ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ àíàëîãîâðåãóëÿðíûõ ïðèáëèæåíèé: ëþáîé ðåãóëÿðíûé ÿçûê, ñîäåðæàùèéñÿ âβ-ñâîáîäíîì ÿçûêå, êîíå÷åí, ïîñêîëüêó áåñêîíå÷íûé ðåãóëÿðíûé ÿçûêîáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò ñêîëü óãîäíî áîëüøèå ñòåïåíè íåêîòîðûõ ñëîâ.Íèæíèå îöåíêè ìîæíî ñòðîèòü ¾ÿâíûì¿ êîíñòðóèðîâàíèåì ñëîâ èç äàííîãîÿçûêà, íî îíè ïîëó÷àþòñÿ î÷åíü ãðóáûìè (÷óòü áîëüøå 1, êàê ïðàâèëî).Êîëïàêîâ (2006) ïðåäëîæèë èäåþ, êàê íèæíèå îöåíêè äëÿ β-ñâîáîäíûõ ÿçûêîâìîæíî èçâëåêàòü èç âåðõíèõ. Ìîäåðíèçèðîâàííûé âàðèàíò åãî èäåè äàåòñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà (Øóð, 2009)Ïóñòü β > 2, Li � ðåãóëÿðíîå ïðèáëèæåíèå k-è÷íîãî β-ñâîáîäíîãî ÿçûêà L, àïîñòðîåííûé ïî Li àâòîìàò èìååò ëèøü îäíó íåîäíîýëåìåíòíóþ êîìïîíåíòóñèëüíîé ñâÿçíîñòè. Òîãäà ëþáîå ÷èñëî γ òàêîå, ÷òî γ + 1

γi−1(γ−1)6 Gr(Li ),óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó γ < Gr(L).Îêàçûâàåòñÿ, äëÿ ïîëó÷åíèÿ íèæíåé îöåíêè äàæå íå íàäî çíàòü, êàêîé ÿçûê ìûîöåíèâàåì! Íóæíû ëèøü äâà ÷èñëà � i è Gr(Li ), ïî êîòîðûì íàèëó÷øàÿ íèæíÿÿîöåíêà âû÷èñëÿåòñÿ ñ ëþáîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè çà âðåìÿ, áëèçêîå ê êîíñòàíòå.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 20 / 32





Ïðîñòî íåñêîëüêî ÷èñåëÈíäåêñû ðîñòà k-è÷íûõ β-ñâîáîäíûõ ÿçûêîâ. Òàì, ãäå â êëåòêå äâà ÷èñëà � ýòîíèæíÿÿ è âåðõíÿÿ îöåíêè, îêðóãëåííûå äî 7 çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé; åñëè ÷èñëî îäíî,çíà÷èò, 7 çíàêîâ ñîâïàëè.k∖

β 2 2+ 3 3+ 4 4+1.3017597� 2.6058789� 2.7015614� 2.9119240�3 1.3017619 2.6058791 2.7015616 2.9119242 2.9172846 2.97375464 2.6215080 3.7284944 3.7789513 3.9487867 3.9507588 3.98799725 3.7325386 4.7898507 4.8220672 4.9662411 4.9671478 4.99352516 4.7914069 5.8277328 5.8503616 5.9760100 5.9764861 5.99611707 5.8284661 6.8537250 6.8705878 6.9820558 6.9823298 6.99749128 6.8541173 7.8727609 7.8858522 7.9860649 7.9862337 7.99828669 7.8729902 8.8873424 8.8978188 8.9888625 8.9889721 8.998778510 8.8874856 9.8988872 9.9074705 9.9908932 9.9909674 9.999098911 9.8989813 10.9082635 10.9154294 10.9924142 10.9924662 10.999316312 10.9083279 11.9160348 11.9221106 11.9935831 11.9936207 11.999469113 11.9160804 12.9225835 12.9278022 12.9945010 12.9945288 12.999579614 12.9226167 13.9281788 13.9327109 13.9952350 13.9952560 13.999661515 13.9282035 14.9330157 14.9369892 14.9958311 14.9958473 14.9997234À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 21 / 32

Ëþáûå àë�àâèòû, ëþáûå ýêñïîíåíòûÂ ïðåäûäóùåé òàáëèöå íåâîîðóæåííûì ãëàçîì âèäíû çàêîíîìåðíîñòè,ñòàíîâÿùèåñÿ âñå áîëåå îò÷åòëèâûìè ñ ðîñòîì k. ÂîçíèêàåòÂîïðîñ: ìîæíî ëè ¾âðó÷íóþ¿, ïðè ïîìîùè ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷àòüîöåíêè äëÿ èíäåêñà ðîñòà êàê �óíêöèè äâóõ ïàðàìåòðîâ: ðàçìåðà àë�àâèòà k èèçáåãàåìîé ýêñïîíåíòû β?


Ëþáûå àë�àâèòû, ëþáûå ýêñïîíåíòûÂ ïðåäûäóùåé òàáëèöå íåâîîðóæåííûì ãëàçîì âèäíû çàêîíîìåðíîñòè,ñòàíîâÿùèåñÿ âñå áîëåå îò÷åòëèâûìè ñ ðîñòîì k. ÂîçíèêàåòÂîïðîñ: ìîæíî ëè ¾âðó÷íóþ¿, ïðè ïîìîùè ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷àòüîöåíêè äëÿ èíäåêñà ðîñòà êàê �óíêöèè äâóõ ïàðàìåòðîâ: ðàçìåðà àë�àâèòà k èèçáåãàåìîé ýêñïîíåíòû β?Äà! Ïðèâåäåì ïðèìåð. Ïóñòü L(k, 3) � k-è÷íûé 3-ñâîáîäíûé ÿçûê. Åãî ïåðâîåðåãóëÿðíîå ïðèáëèæåíèå L1(k, 3) ñîñòîèò èç âñåõ ñëîâ, íå ñîäåðæàùèõ òðåõîäèíàêîâûõ áóêâ ïîäðÿä. Åãî ìîæíî çàäàòü äèàãðàììîé ïåðåõîäîâ:1 2 ñîñòîÿíèå 2: ïðî÷èòàíû äâå îäèíàêîâûå áóêâûñîñòîÿíèå 1: èíà÷å×k−1×k−1À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 22 / 32

Ëþáûå àë�àâèòû, ëþáûå ýêñïîíåíòûÂ ïðåäûäóùåé òàáëèöå íåâîîðóæåííûì ãëàçîì âèäíû çàêîíîìåðíîñòè,ñòàíîâÿùèåñÿ âñå áîëåå îò÷åòëèâûìè ñ ðîñòîì k. ÂîçíèêàåòÂîïðîñ: ìîæíî ëè ¾âðó÷íóþ¿, ïðè ïîìîùè ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷àòüîöåíêè äëÿ èíäåêñà ðîñòà êàê �óíêöèè äâóõ ïàðàìåòðîâ: ðàçìåðà àë�àâèòà k èèçáåãàåìîé ýêñïîíåíòû β?Äà! Ïðèâåäåì ïðèìåð. Ïóñòü L(k, 3) � k-è÷íûé 3-ñâîáîäíûé ÿçûê. Åãî ïåðâîåðåãóëÿðíîå ïðèáëèæåíèå L1(k, 3) ñîñòîèò èç âñåõ ñëîâ, íå ñîäåðæàùèõ òðåõîäèíàêîâûõ áóêâ ïîäðÿä. Åãî ìîæíî çàäàòü äèàãðàììîé ïåðåõîäîâ:1 2 ñîñòîÿíèå 2: ïðî÷èòàíû äâå îäèíàêîâûå áóêâûñîñòîÿíèå 1: èíà÷å×k−1×k−1Ýòà äèàãðàììà � íå àâòîìàò, à íåêèé ¾êîíöåíòðàò¿ äåòåðìèíèðîâàííîãî àâòîìàòà,ðàñïîçíàþùåãî L1(k, 3). Îñíîâíîå ñâîéñòâî ýòîãî ¾êîíöåíòðàòà¿ � îí èìååò òîòæå èíäåêñ ðîñòà, ÷òî è ëþáîé ïëîòíûé ÄÊÀ, ðàñïîçíàþùèé L1(k, 3). Ïðèÿòíàÿîñîáåííîñòü � îí âûãëÿäèò îäèíàêîâî íåçàâèñèìî îò k.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 22 / 32

Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåéÌàòðèöà ñìåæíîñòè ïîñòðîåííîãî ãðà�à åñòü[k−1 1k−1 0]Äëÿ âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà çàìåòèì, ÷òî k−1 < r < k (îäíîèç ñâîéñòâ ÷èñëà Ôðîáåíèóñà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíî çàêëþ÷åíî ìåæäó ìèíèìóìîìè ìàêñèìóìîì ñòðî÷íûõ ñóìì ìàòðèöû). Ïîëîæèì r = k − ε. Èìååì

∣

∣

∣

∣

ε−1 1k−1 ε−k∣

∣

∣

∣

= 0,îòêóäà (ε−1)(ε−k) − k + 1 = 0, ò.å.(k + 1)ε = ε2 + 1.Âèäíî, ÷òî ε ≈ 1k+1 , ò.å. Gr(L1(k, 3)) = k − 1k + O( 1k2 ).Ìîæíî ïîâîçèòüñÿ åùå è íàéòè Gr(L1(k, 3)) ñ òî÷íîñòüþ äî O( 1km ) ïðè ëþáîìçàäàííîì m. ×òî óäèâèòåëüíî � ýòî æå ñàìîå ìîæíî ïðîäåëûâàòü, êîãäà β � òîæåïàðàìåòð, è ìàòðèöà èìååò ïåðåìåííûé ïîðÿäîê. ×èñëî Ôðîáåíèóñà óäàëîñüñîñ÷èòàòü â ïîäîáíîì âèäå äëÿ L2(k, β) ïðè ëþáîì β > 2. Ñîîòâåòñòâóþùàÿäèàãðàììà ïðèâåäåíà íà ñëåäóþùåì ñëàéäå.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 23 / 32


∣

∣

∣

∣

ε−1 1k−1 ε−k∣

∣

∣

∣



∣

∣

∣

∣

ε−1 1k−1 ε−k∣

∣

∣

∣


Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé (2)1 è 2 íà äèàãðàììå � ýòî ëþáûå ðàçëè÷íûå áóêâû èç Σ. Âíèçó ìàòðèöà ñìåæíîñòè.λ 1 11 . . .. . . . . . . . .

1n12 121 . . . (12)n×k×k−2 ×k−1 ×k−1×k−1

×k−2×k−2


Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé (2)1 è 2 íà äèàãðàììå � ýòî ëþáûå ðàçëè÷íûå áóêâû èç Σ. Âíèçó ìàòðèöà ñìåæíîñòè.λ 1 11 . . .. . . . . . . . .

1n12 121 . . . (12)n×k×k−2 ×k−1 ×k−1×k−1

×k−2×k−2

A =

k−2 1 0 . . . 0 1 0 . . . 0k−2 0 1 . . . 0 1 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k−2 0 0 . . . 1 1 0 . . . 0k−2 0 0 . . . 0 1 0 . . . 0k−1 0 0 . . . 0 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k−1 0 0 . . . 0 0 0 . . . 1k−1 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0

3n−2×3n−2À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 24 / 32

Êîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòü β-ñâîáîäíûõ ÿçûêîâ êàê �óíêöèÿ îò k è βÒåîðåìà (Øóð, 2010)Ïóñòü β ∈ [n+, n+1], ãäå n > 2 � öåëîå ÷èñëî. ÒîãäàGr(L(k, β)) =

k −1kn−1 +

1kn −1k2n−2 + O( 1k2n−1 )

, åñëè β ∈ [n+, n+1/2],k −1kn−1 +

1kn + O( 1k2n−1 )

, åñëè β ∈ [(n+1/2)+, n+1].Òåîðåìà (Øóð, 2010)Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâàGr(L(k+1, 2)) = k −1k −

1k3 +O( 1k5 )

,Gr(L(k, 2+)) = k −1k −

1k3 −1k4 +O( 1k5 )

.Ïðè β < 2 âûïîëíÿþòñÿ àíàëîãè÷íûå àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà, íî ïîêà èõ íåïîëó÷àåòñÿ äîêàçàòü � íåò ñïîñîáà ïîëó÷åíèÿ íèæíèõ îöåíîê.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 25 / 32

Ñëîæíîñòü ãðàíè÷íûõ ÿçûêîâ: àíîìàëèÿ â äâóõáóêâåííîì àë�àâèòåÂ 1984 ãîäó Àíòîíèî �åñòèâî è Ñåðæèî Ñàëåìè äîêàçàëè, ÷òî äâîè÷íûé ãðàíè÷íûéÿçûê ÿâëÿåòñÿ ¾ìàëåíüêèì¿, à èìåííî, ïîëèíîìèàëüíûì. Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíîíà ñëåäóþùåé ëåììå. Íàïîìíèì, ÷òî ìîð�èçì Òóý çàäàåòñÿ ïðàâèëàìè θ(0) = 01,θ(1) = 10.Ëåììà î ïî÷òè θ-îáðàçàõÏóñòü w � äâîè÷íîå 2+-ñâîáîäíîå ñëîâî. Òîãäà w ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñëîâà âèäàθ(u), ïðèìåíèâ ïî îäíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ êàæäîãî èç äâóõ âèäîâ:(a) ñòåðåòü ïåðâóþ áóêâó / çàìåíèòü ïåðâóþ áóêâó / íè÷åãî íå äåëàòü;(b) ñòåðåòü ïîñëåäíþþ áóêâó / çàìåíèòü ïîñëåäíþþ áóêâó / íè÷åãî íå äåëàòü.Áîëåå òîãî, ïðè |w | > 7 ýòà ïàðà ïðåîáðàçîâàíèé åäèíñòâåííà, è åñëè |w | ÷åòíà, òîu � 2+-ñâîáîäíîå ñëîâî.Åñëè ñëîâà w è u ñâÿçàíû îïèñàííûìè â ëåììå óñëîâèÿìè, ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òîw � ïî÷òè θ-îáðàç u.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 26 / 32

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î ïî÷òè θ-îáðàçàõÍàïîìíèì, ÷òî θ-îáðàç � ýòî â òî÷íîñòè ïðîèçâåäåíèå áëîêîâ 01 è 10. Çíà÷èò,ñëîâî v ÿâëÿåòñÿ ïîäñëîâîì θ-îáðàçà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîçèöèè âñåõïîäñëîâ 00 è 11 â íåì èìåþò îäíó ÷åòíîñòü. Âîçüìåì ñëîâî w è ñîòðåì â íåìïåðâóþ è ïîñëåäíþþ áóêâó. Åñëè òî, ÷òî ïîëó÷èëîñü, íå ÿâëÿåòñÿ ïîäñëîâîìθ-îáðàçà, òî â w åñòü êâàäðàòû áóêâ â ïîçèöèÿõ ðàçíîé ÷åòíîñòè. Âîçüìåìáëèæàéøóþ ïàðó òàêèõ êâàäðàòîâ; ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîäñëîâî, ñîäåðæàùåå òàêóþïàðó, èìååò âèä 000, 00100 èëè 0(01)2+i00, ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåèìåíîâàíèÿ áóêâ. Íîýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê w � 2+-ñâîáîäíî. Çíà÷èò, ïîëó÷åííîå ñëîâî ëèáî ÿâëÿåòñÿθ-îáðàçîì, ëèáî ó íåãî íåïîëíûé ïåðâûé è/èëè ïîñëåäíèé áëîê, ê êîòîðîìó íàäîïðèïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ áóêâó. Â ëþáîì ñëó÷àå, ê w áóäåò ïðèìåíåíî îäíîïðåîáðàçîâàíèå òèïà (a) è îäíî � òèïà (b).Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè ñòèðàíèè êðàéíèõ áóêâ â w îñòàíåòñÿñëîâî äëèíû > 5, à â íåì çàâåäîìî åñòü 00 èëè 11, ÷òî äåëàåò ¾ðàçìåòêó¿ áëîêîâîäíîçíà÷íîé.Òðåòüå óòâåðæäåíèå äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî: ïóñòü u ñîäåðæèò çàïðåùåííîåïîäñëîâî, ò.å. ïîäñëîâî äëèíû 2i+1 ñ ïåðèîäîì i äëÿ íåêîòîðîãî i . Òîãäà θ(u)èìååò ïîäñëîâî äëèíû 4k+2 ñ ïåðèîäîì 2k. Âñå, ÷òî ìû ìîæåì ñäåëàòü ñ ýòèìïîäñëîâîì ïðè ïðåâðàùåíèè θ(u) â w � ýòî çàìåíèòü åãî ïåðâóþ èëè ïîñëåäíþþáóêâó (íî íå îáå, òàê êàê äëèíà w íå÷åòíà!). Â ðåçóëüòàòå, w òàêæå ñîäåðæèòçàïðåùåííîå ïîäñëîâî, ïðîòèâîðå÷èå.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 27 / 32

Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû î ïî÷òè θ-îáðàçàõÍàïîìíèì, ÷òî θ-îáðàç � ýòî â òî÷íîñòè ïðîèçâåäåíèå áëîêîâ 01 è 10. Çíà÷èò,ñëîâî v ÿâëÿåòñÿ ïîäñëîâîì θ-îáðàçà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîçèöèè âñåõïîäñëîâ 00 è 11 â íåì èìåþò îäíó ÷åòíîñòü. Âîçüìåì ñëîâî w è ñîòðåì â íåìïåðâóþ è ïîñëåäíþþ áóêâó. Åñëè òî, ÷òî ïîëó÷èëîñü, íå ÿâëÿåòñÿ ïîäñëîâîìθ-îáðàçà, òî â w åñòü êâàäðàòû áóêâ â ïîçèöèÿõ ðàçíîé ÷åòíîñòè. Âîçüìåìáëèæàéøóþ ïàðó òàêèõ êâàäðàòîâ; ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîäñëîâî, ñîäåðæàùåå òàêóþïàðó, èìååò âèä 000, 00100 èëè 0(01)2+i00, ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåèìåíîâàíèÿ áóêâ. Íîýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê w � 2+-ñâîáîäíî. Çíà÷èò, ïîëó÷åííîå ñëîâî ëèáî ÿâëÿåòñÿθ-îáðàçîì, ëèáî ó íåãî íåïîëíûé ïåðâûé è/èëè ïîñëåäíèé áëîê, ê êîòîðîìó íàäîïðèïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ áóêâó. Â ëþáîì ñëó÷àå, ê w áóäåò ïðèìåíåíî îäíîïðåîáðàçîâàíèå òèïà (a) è îäíî � òèïà (b).Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè ñòèðàíèè êðàéíèõ áóêâ â w îñòàíåòñÿñëîâî äëèíû > 5, à â íåì çàâåäîìî åñòü 00 èëè 11, ÷òî äåëàåò ¾ðàçìåòêó¿ áëîêîâîäíîçíà÷íîé.Òðåòüå óòâåðæäåíèå äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî: ïóñòü u ñîäåðæèò çàïðåùåííîåïîäñëîâî, ò.å. ïîäñëîâî äëèíû 2i+1 ñ ïåðèîäîì i äëÿ íåêîòîðîãî i . Òîãäà θ(u)èìååò ïîäñëîâî äëèíû 4k+2 ñ ïåðèîäîì 2k. Âñå, ÷òî ìû ìîæåì ñäåëàòü ñ ýòèìïîäñëîâîì ïðè ïðåâðàùåíèè θ(u) â w � ýòî çàìåíèòü åãî ïåðâóþ èëè ïîñëåäíþþáóêâó (íî íå îáå, òàê êàê äëèíà w íå÷åòíà!). Â ðåçóëüòàòå, w òàêæå ñîäåðæèòçàïðåùåííîå ïîäñëîâî, ïðîòèâîðå÷èå.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 27 / 32

Êîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòü ÿçûêà L(2, 2+). Ïîëèíîìèàëüíîå ïëàòîÈç ëåììû î ïî÷òè θ-îáðàçàõ ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå 2+-ñâîáîäíîå ñëîâî äëèíû2n+1 > 7 ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè θ-îáðàçîì åäèíñòâåííîãî 2+-ñâîáîäíîãî ñëîâà äëèíû n.Òåïåðü ïîëîæèì |u| = n è îöåíèì ÷èñëî ïî÷òè θ-îáðàçîâ u äëèíû 2n+1.Î÷åâèäíàÿ ãðóáàÿ îöåíêà � ýòî 8: 4 âîçìîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëîâà θ(u) ñêàæäîé ñòîðîíû (äîáàâèòü 0, äîáàâèòü 1, èçìåíèòü êðàéíþþ áóêâó, íè÷åãî íåäåëàòü), ïðè÷åì áóêâà äîáàâëÿåòñÿ ðîâíî ñ îäíîé ñòîðîíû.Áîëåå òîíêàÿ îöåíêà � ýòî 5: íóæíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè ñ îäíîé ñòîðîíûìîæíî äîáàâëÿòü è 0, è 1, òî ñ ýòîé ñòîðîíû íåâîçìîæíî çàìåíèòü áóêâó, íåïîëó÷èâ çàïðåùåííîå ïîäñëîâî. Ýòà îöåíêà äàåòCL(2,2+)(2n) < CL(2,2+)(2n+1) 6 5 · CL(2,2+)(n),îòêóäà CL(2,2+)(n) = O(nlog 5).Íà ñàìîì äåëå, ðàññìàòðèâàåìûé ÿçûê ðàñòåò ãîðàçäî ìåäëåííåå, áëèçêî ê n1.3, íîïðè ýòîì åãî êîìáèíàòîðíàÿ ñëîæíîñòü âåäåò ñåáÿ âûçûâàþùå: â íåé ìîæíîâûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ðàñòóùèå ñ ðàçíîé ñêîðîñòüþ! Ýòî äîêàçàëÊàññåíü (1994).�äå æå íà÷èíàþòñÿ äâîè÷íûå β-ñâîáîäíûå ÿçûêè ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðîñòà? Â 2004Êàðõþìÿêè è Øàëëèò äîêàçàëè, ÷òî ýòîé ìàãè÷åñêîé òî÷êîé ÿâëÿåòñÿ 7/3 (íà÷èíàÿñ (7/3)+-ñâîáîäíîãî ÿçûêà, ðîñò ýêñïîíåíöèàëüíûé). Ïðàêòè÷åñêè íàâåðíÿêà ýòîåäèíñòâåííàÿ ïîäîáíàÿ àíîìàëèÿ.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 28 / 32



�ðàíè÷íûå ÿçûêè íàä áîëüøèìè àë�àâèòàìèÊàê ðàñòóò ãðàíè÷íûå ÿçûêè íàä àë�àâèòàìè èç áîëåå ÷åì äâóõ áóêâ? Êóäàñòðåìÿòñÿ èõ èíäåêñû ðîñòà ïðè k → ∞?Óäàëîñü çàìåòèòü, ÷òî çàïðåùåííûå êîðîòêèå ïîâòîðû äëÿ ãðàíè÷íûõ ÿçûêîâ íàäðàçíûìè àë�àâèòàìè ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâû, åñëè ïîñìîòðåòü íà íèõ ïîäïðàâèëüíûì óãëîì çðåíèÿ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ýòîò óãîë çðåíèÿ, ãðàíè÷íûå ñëîâà íàäî ïðåäñòàâëÿòüêàê âåðåâêó ñ óçëàìè-áóêâàìè è íàìàòûâàòü âèòêàìè íà öèëèíäð, k áóêâ íàîäèí âèòîê, êàê ïîêàçàíî íà ñëåäóþùåì ñëàéäå.


Öèëèíäðè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ãðàíè÷íûõ ñëîâ. . .

. . .

a b d eb a e db a d e. . .

. . .Îäèíàêîâûå áóêâû íà ñîñåäíèõ âèòêàõ ðàñïîëîæåíû äðóã ïîä äðóãîì èëè ñîñäâèãîì íà îäèí ñèìâîë; ñîåäèíèì èõ îòðåçêàìè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îòðåçêîâîáðàçóåò öèëèíäðè÷åñêîå ñëîâî, ó êîòîðîãî ïîìèìî îáû÷íûõ ïîäñëîâ åñòü èäâóìåðíûå.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 30 / 32

Èíäåêñû ðîñòà ãðàíè÷íûõ ÿçûêîâÎêàçûâàåòñÿ, âñå ¾äåéñòâèòåëüíî êîðîòêèå¿ çàïðåùåííûå ñëîâà â ãðàíè÷íûõÿçûêàõ îïèñûâàþòñÿ íåçàâèñèìî îò àë�àâèòà îäíèì è òåì æå íàáîðîì äâóìåðíûõïîäñëîâ öèëèíäðè÷åñêèõ ñëîâ.Ïîñêîëüêó òîëüêî äîñòàòî÷íî êîðîòêèå çàïðåùåííûå ñëîâà îêàçûâàþòñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà èíäåêñ ðîñòà ÿçûêà, ïîñëå áîëüøîãî êîëè÷åñòâàâû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ áûëà ñ�îðìóëèðîâàíà ñëåäóþùàÿ�èïîòåçà (Øóð, �îðáóíîâà, 2008Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ ðîñòà k-è÷íûõ ãðàíè÷íûõ ÿçûêîâ ïðè k ñòðåìÿùåìñÿê áåñêîíå÷íîñòè èäåò ê ïðåäåëó α ≈ 1.242.Ýòà ãèïîòåçà óñèëèâàåò êàê ãèïîòåçó Äåæàí, òàê è ýêñïîíåíöèàëüíóþ ãèïîòåçó; ÷òîñ íåé äåëàòü � ïîêà íåïîíÿòíî.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 31 / 32

Èíäåêñû ðîñòà ãðàíè÷íûõ ÿçûêîâÎêàçûâàåòñÿ, âñå ¾äåéñòâèòåëüíî êîðîòêèå¿ çàïðåùåííûå ñëîâà â ãðàíè÷íûõÿçûêàõ îïèñûâàþòñÿ íåçàâèñèìî îò àë�àâèòà îäíèì è òåì æå íàáîðîì äâóìåðíûõïîäñëîâ öèëèíäðè÷åñêèõ ñëîâ.Ïîñêîëüêó òîëüêî äîñòàòî÷íî êîðîòêèå çàïðåùåííûå ñëîâà îêàçûâàþòñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà èíäåêñ ðîñòà ÿçûêà, ïîñëå áîëüøîãî êîëè÷åñòâàâû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ áûëà ñ�îðìóëèðîâàíà ñëåäóþùàÿ�èïîòåçà (Øóð, �îðáóíîâà, 2008Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíäåêñîâ ðîñòà k-è÷íûõ ãðàíè÷íûõ ÿçûêîâ ïðè k ñòðåìÿùåìñÿê áåñêîíå÷íîñòè èäåò ê ïðåäåëó α ≈ 1.242.Ýòà ãèïîòåçà óñèëèâàåò êàê ãèïîòåçó Äåæàí, òàê è ýêñïîíåíöèàëüíóþ ãèïîòåçó; ÷òîñ íåé äåëàòü � ïîêà íåïîíÿòíî.À. Ì. Øóð (ìàòìåõ Óð�Ó) Êàê ñ÷èòàòü ñëîâà? 31 / 32

THE END.


Documents

20120513 repeatsinsymbolicsequences shur_lecture05-06