1

Решения на задачите от кандидатстудентския изпит по математика в ЮЗУ

“Н.Рилски”, проведен на 8.04.2012 г.

1) Да се реши неравенството

23 4 .x x x Решение. ДМ на неравенството е 23 0x x , т.е. [0,3]x . В този интервал

двете страни на даденото неравенство са неотрицателни и като повдигнем в квадрат

двете му страни, получаваме неравенството 22 11 16 0x x . То се удовлетворява за

всяка стойност на x , тъй като дискриминантата му 121 128 7D е отрицателна, а

коефициентът пред 2x е положително число. Следователно решения на неравенството

са числата от ДМ и само те.

Отговор. [0,3].x

2) Да се реши системата уравнения

2 2

3 2

45.

x yy x

x y

Решение. ДМ: 0, 0.x y

Полагаме x uy и от първото уравнение на системата получаваме уравнението

22 3 2 0u u , което има корени 1 2u и 212

u .

)a Ако 1 2x uy , то 2x y и като заместим във второто уравнение на

системата, получаваме 2 9y , т.е. 1 3y и 2 3y . С тези стойности на y намираме

1 12 6x y и 2 22 6x y . Така получаваме решенията (6, 3) и ( 6, 3) .

)б Ако 212

x uy , то 2y x . Заместваме във второто уравнение на

системата и получаваме 2 9x , т.е. 3 3x и 4 3x . С тези стойности на x намираме

3 32 6y x и 4 42 6y x . Получаваме решенията (3, 6) и ( 3, 6) . Отговор. (6, 3), ( 6, 3), (3, 6), ( 3 ,6).

2

3) В триъгълника ABC са дадени cmAC 3 , 9 BC cm и 60ACB .

Ъглополовящата на ъгъла ACB пресича AB в точка L и описаната около триъгълника

окръжност в точка D . Да се намери лицето на BLD .

Решение. Ъглите ACD и ABD (Фиг.1) са равни, като вписани ъгли в описаната

около триъгълника ABC окръжност k , на които принадлежи една и съща дъга.

Следователно 30ABD LBD . Лицето на BLD ще определим по формулата

1 . .sin 302

S BL BD .

За тази цел с косинусовата теорема за ABC намираме

2 2 2 12. . .sin 9 81 2.3.9. 63 9.72

AB AC BC AC BC ACB и следователно

3 7AB . След това със синусовата теорема за същия триъгълник намираме радиуса

R на k , т.е 3 7 3 7 212sin 3 32

2

ABRACB

. Тогава от BDC имаме

12 sin 2. 21. 21.2

BD R BCD Дължината на отсечката BL определяме от

A

C

D

L B

30

30

30

Фиг. 1

3

формулата .a cBLa b

или от зависимостта AB BL BLAC BC

. Намираме 9 7 .4

BL За

търсеното лице получаваме 1 9 7 1 63. . 21. 3.2 4 2 16BLDS

Отговор. 263 3 .16BLDS cm

4) Пирамидата ABCM е правилна. Равнината , която минава през основния

връх C и средите на околните ръбове MA и MB , е перпендикулярна на стената MAB .

Да се намери отношението от лицата на околната стена и основата на пирамидата.

Pешение. Нека P MA , Q MB (Фиг. 2), N е средата на ръба AB ,

MO височината на пирамидата и L пресечната точка на равнините , MAB и

MNC .

Тъй като и равнината MNC са перпендикулярни на равнината MAB , то и

тяхната пресечница CL е перпендикулярна на равнината MAB , откъдето получаваме,

че CL MN и CL PQ . Следователно в триъгълника MNC отсечката CL е височина,

а тъй като и ML NL , то тя е и медиана. От това следва, че триъгълникът MNC е

равнобедрен с бедра CM и CN (Фиг.3).

N

Фиг. 2

M

A

C O

B

P

Q

L

C

Фиг. 3

N O

L

M

4

Лицето на триъгълника ABM е AB.MN12

, а на триъгълника ABC е 1 .2ABCN .

Следователно търсеното отношение е 3

MN MNkCN ON

.

Тъй като h l l l 2 21 54 3

, то MN h l l l 2 2 2 21 5 1 69 9 9 3

. Тогава

имаме 63. 3

ABM

ABC

S MNS ON

и 1 1 6.2 126

k .

Отговор. 63

.