MAATRIKSID Loeng

Muutujad

• Muutuvad suurused.

Kahendmuutuja

• Kahendmuutuja = loogiline muutuja

• Võimalikud väärtused: tõene, väär

• Samuti võimalikud väärtused: 0, 1

• Inglise keeles boolean.

• Kasutatakse programmeerimiskeeltes.

Kaherealine determinant

Kolmerealine determinant

N-järku determinant

• Kirjutatakse tabelina, milles on n rida ja n veergu.

Maatriks

• Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist arvude tabelit .

Maatriksi elemendid

• Elemendid aij, kus i = 1, 2, …, m ning j = 1, 2, …, n.

• Esimene indeks tähistab rida, teine veergu.

N-järku maatriks

• N-järku maatriksis on n rida ja n veergu.

Ruutmaatriks

• Maatriksit, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga.

Ristkülikumaatriks

• Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust

Ühikmaatriks

Nullmaatriks

• Kõik maatriksi elemendid on nullid.

Võrdsed maatriksid

• Maatriksid A ja B on võrdsed, kui nendel on samad mõõtmed ja ühesugustel kohtadel on võrdsed elemendid.

Vastandmaatriks -A

• Vastandmaatriks – A on maatriks, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud.

Transponeeritud maatriks

• Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriks, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel.

Pöördmaatriks A-1

• Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse maatriksit, mis antud maatriksiga korrutamisel vasakult või paremalt annab ühikmaatriksi.

• AA-1 = A-1A = E.

Pöördmaatriks. Põhiomadused

1. ( A-1 )-1 = A.

2. ( AB )-1 = B-1A-1.

3. ( AT )-1 = ( A-1)T.

4. DA-1 =

Permutatsioon

Permutatsioon

• N-dat järku substitutsioone on

n! = 1∙2∙3∙ ... ∙(n-1) ∙ n tükki.

Inversioon

• Olukord permutatsioonis, kus suurema numbriga element asub väiksema numbriga elemendi ees.

Maatriksi miinor

• Maatriksi miinorid on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel saadud determinandid.

• N-järku minor on n-järku determinant.

Maatriksi astak

• Maatriksi astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk.

• Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A).

Maatriksi astak

• Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil

• 1) leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor,

• 2) puuduvad nullist erinevad r-ist kõrgemat järku miinorid.

Maatriksi elementaarteisendused,…

• ...mis ei muuda maatriksi astakut

1) maatriksi rea (või veeru) korrutamine nullist erineva teguriga k;

2) maatriksi ühele reale (või veerule) k-kordse teise rea (või veeru) liitmine;

3) kahe rea (või veeru) ümberpaigutamine.

Tehted maatriksitega

Maatriksite summa

• Maatriksite A ja B summaks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik = aik + bik

Seadused

1. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

2. A + B = B + A

3. A + O = A

Maatriksite vahe

• Maatriksite A ja B vaheks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik

= aik – bik

Maatriksi korrutamine arvuga

• Maatriksi korrutamisel nullist erineva arvuga c, korrutatakse kõiki elemente selle arvuga cA = ( caik )

Maatriksite korrutamine

• Maatriksid A = ( aik )ml ja B = ( bik )ln.

• Maatriksite A ja B korrutiseks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik leitakse järgmise eeskirja kohaselt:

cik = ai1b1k + ai2b2k + . . . + ailblk.

• Korrutise tulemusena saadakse mn tüüpi maatriks.

Seadused

1. A ( BC ) = ( AB ) C

2. c( AB) =( cA )B

3. ( A + B )C = AC + BC

4. AB ≠ BA

Maatriksite astendamine

• An = A A A . . . A.

Determinantide omadused

• Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu.

• Kui paigutada determinandis ümber kaks rida (veergu), siis muutub determinandi märk vastupidiseks.

• Determinandi mingi rea (veeru) korrutamisel mingi arvuga, korrutub kogu determinant selle arvuga.

Determinantide omadused

• Kui determinant sisaldab nullidest koosnevat rida (veergu), siis võrdub see determinant nulliga.

• Kui determinandi kaks rida (veergu) on omavahel võrdsed, siis võrdub determinant nulliga.

• Determinant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg).