2013-12-04 4. Logika orde Pertama.pptx

1April 21, 2023

Matematika FMIPAUniversitas Andalas

< Narwen, M.Si >

Catatan KuliahLogika Matematika

Logika First-Order(Kalimat Berkuantor)

2April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Untuk membicarakan kalimat berkuantor, pahami kembali kalimat terbuka.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mempunyai nilai kebenaran.

Kalimat terbuka dapat diubah menjadi kalimat tertutup dengan mengganti variabelnya dengan suatu konstanta.

Variabel atau peubah adalah pemegang tempat sementara dalam suatu ungkapan,

untuk kemudian diganti dengan nilai yang pasti. Berfungsi sebagai kata ganti nama atau nama benda. Ditulis dengan huruf kecil seperti x, y, z, p, q, …

Konstanta adalah suatu ungkapan yang tidak dapat diartikan lain. Predikat adalah kata atau seuntai kata dalam suatu kalimat atau

klausa yang menerangkan apa yang diketahui tentang pokok kalimat.

3April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Contoh.Perhatikan kalimat berikut:1. “Semua mahasiswa adalah lulusan SLTA”

Pokok kalimat : “mahasiswa” Predikat : “{adalah} lulusan SLTA”

Dalam logika matematika, kalimat di atas dapat dirubah menjadi:

“Untuk tiap x, Jika x mahasiswa maka x lulusan SLTA” Dua predikat : “{adalah} mahasiswa” dan “{adalah} lulusan

SLTA”

2. “Ada mahasiswa” Pokok kalimat : “mahasiswa”

Dalam logika matematika, kalimat di atas dapat dirubah menjadi:

“ada x sehingga x seorang mahasiswa” predikat : “{adalah} mahasiswa”

4April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Kuantor yaitu suatu pernyataan yang jika dibubuhkan pada sebuah kalimat terbuka dengan variabel dapat mengubahnya menjadi kalimat tertutup.

Aturan logika proposisi meliputi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan bi-implikasi akan tetap digunakan.

Aturan dalam teori himpunan tetap digunakan.

Contoh.

1. 3 + 4 = 7 merupakan kalimat tertutup bernilai B

2. x2 – 5x + 6 = 0 merupakan kalimat terbuka

3. 2x + 5 > 4 merupakan kalimat terbuka

Kalimat terbuka tersebut bisa menjadi kalimat tertutup jika ada predikat yang diberikan

2. x2 – 5x + 6 = 0, x A, A = bil. asli = {1,2,3,…}

3. x2 + 5 > 4, x A

Bernilai BBernilai S

5April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


1. Kuantor Universal. Notasi :

Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka,

Pernyataan dibaca

“untuk setiap x berlaku p(x)”

atau “untuk semua x berlaku p(x)”

2. Kuantor eksistensial Notasi :

Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka

Pernyataan dibaca

“untuk beberapa x berlaku p(x)”

atau “ada x sedemikian sehingga berlaku p(x)”.

""

""

)(. xpx

)(. xpx

Jenis Kuantor

6April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Langkah pengerjaan logika first order

Dalam mengerjakan logika first order, bisa digunakan langkah – langkah sebagai berikut:

1. Buat analisa dari soal yang diberikan

2. Tentukan simbol – simbol yang digunakan

3. Rangkai simbol yang sudah dibuat sesuai dengan soal.

7April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Contoh

A. Rubah kalimat terbuka berikut menjadi kalimat tertutup. 1. Kalimat terbuka P(x) : x + 1 > 0.

Jika x = Himpunan bilangan real positif

Maka P(x) dapat diubah menjadi kalimat tertutup yang benar dangan lambang

“ ∀ x . P(x)” atau ( x)(x +1 > 0) , ∀ dibaca untuk semua x bilangan real positif

berlaku x +1 > 0 .

2. Kalimat terbuka P(y) : (y +1 > 0.

Jika y = Himpunan semua bilangan real, maka Kalimat tertutup ( y)(y +1 > 0) , ∀ bernilai Salah. Sedangkan ( y )(∃ y +1 > 0) , dibaca ada y bilangan real

sedemikian hingga berlaku y + 1 > 0. bernilai benar.

8April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


3. Bubuhkan kuantor pada kalimat terbuka 2x -1 = 5 menjadi pernyataan yang benar atau salah.

Jawab :

( x )(2∃ x −1 = 5) adalah pernyataan bernilai benar .

( x )(2∀ x −1 = 5) adalah pernyataan bernilai salah.

Latihan.Bubuhkan kuantor agar pernyataan berikut bernilai benar

a) x2 – 36 = 0 untuk x R ∈ b) 2x2 – 1 > 0 untuk x R ∈

9April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Contoh

1. Setiap bilangan rasional adalah bilangan real

2. Ada bilangan yang merupakan bilangan prima

3. Untuk setiap bilangan x, ada bilangan y, dimana x<y

4. Setiap orang memiliki kawan karib

5. Sebagian pabrik elektronika memproduksi sebagian komponen yang digunakan pada produk akhirnya

6. Tidak ada orang tua yang menginginkan anaknya menjadi penjahat

10April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Solusi1. Setiap bilangan rasional adalah bilangan real.

maka

Sehingga pernyataan dapat ditulis sebagai,

11April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


2. Ada bilangan yang merupakan bilangan prima.

Maka

sehingga pernyataan dapat ditulis sebagai,

12April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


3. Untuk setiap bilangan x, ada bilangan y dimana x < y.

Maka


13April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


4. Setiap orang memiliki kawan karib.

Maka


14April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


5. Sebagian pabrik elektronika memproduksi sebagian komponen yang digunakan pada produk akhirnya.

Maka,


15April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


6. Tidak ada orang tua yang menginginkan anaknya menjadi penjahat.

Maka,


16April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Latihan 1

Terjemahkan tiap-tiap simbol berikut kedalam pernyataan:

17April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Latihan 2

Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk simbol-simbol.1. Semua burung hidup dalam air.

2. Orang bali tidak semuanya bisa menari.

3. Tidak ada sesuatu pun di dalam rumah itu yang lolos dari kebakaran.

4. Beberapa obat berbahaya, kecuali jika digunakan dalam dosis yang tepat.

5. Setiap manusia akan sehat jika ia makan makanan yang bergizi dan sering berolahraga.

6. Semua ikan paus adalah hewan menyusui.

7. Semua pria mencintai wanita.

8. Semua wanita mencintai semua pria.

9. Semua pria mencintai beberapa wanita.

10. Hanya direktur yang mempunyai sekretaris pribadi.

18April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Negasi Kuantor Universal

Secara umum negasi pernyataan kuantor universal

dapat dinyatakan sebagai berikut:

Negasi Kuantor Eksistensial

Secara umum negasi pernyataan kuantor eksistensial dapat dinyatakan sebagai berikut:

19April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


LATIHAN 3

Tentukan negasi dari pernyataan berikut:

1. Semua bilangan cacah adalah bilangan real.

2. Beberapa bilangan asli adalah bilangan rasional.

3. Tidak ada bilangan prima yang genap.

4. Semua mahasiswa tidak suka belajar.

5. Tidak ada guru yang senang menari.

6.

7.

20April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Selain dalam bentuk symbol, kuantor juga bisa di gambarkan dalam bentuk diagram venn atau dalam bentuk himpunan.

1. Kuantor Universal

Jika suatu pernyataan umum (kuantor universal) bernilai benar, maka pernyataan tersebut dapat di buat dalam bentuk diagram venn.

Contoh :

Kuantor Dalam Bentuk Diagram Venn

a) Jika diberikan sebuah pernyataan berkuantor universal : semua artis adalah cantik, bernilai Benar, maka pernyataan tersebut dapat di buat dalam bentuk diagram venn. dengan himpunan: M = {manusia}; A = {artis} ; C = {Cantik}, sehingga A ⊂ C ⊂ M dan diagram venn nya :

21April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


b. Jika pernyataan berkuantor : tidak ada murid SMU mendapat nilai ulangan jelek, bernilai benar, dengan keterangan M = {manusia}; U = {murid SMU} ; J = {manusia yang mendapat nilai jelek}, maka pernyataan tersebut dapat digambarkan dalam bentuk diagram venn nya:

2. Kuantor Eksistensial

Selain kuantor universal, kuantor eksistensial pun dapat dibuat dalam bentuk diagram venn, jika pernyataan berkuantor tersebut bernilai benar.

22April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


maka akan di tarik suatu kesimpulan bahwa adanya anggota Himpunan Semesta

(minimal satu anggota)yang merupakan anggota himpunan pria dan juga merupakan anggota himpunan manusia yang baik.

Artinya himpunan tersebut tidak saling asing.

Dengan demikian P∩B ≠ , yang dapat di ∅bentuk dalam diagram venn berikut :

Contoh:

Jika diberikan sebuah pernyataan berkuantor universal : ada pria yang baik bernilai benar, maka pernyataan tersebut dapat di buat dalam bentuk diagram venn. Dengan himpunan E = {semua manusia}; P = {semua pria} ; B = {semua orang baik},

23April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Latihan1. Dengan menggunakan huruf yang disarankan, buatlah diagram

venn dari pernyataan berikut :a. Semua kambing mempunyai empat kaki (K, E)b. Beberapa matrix tidak memiliki invers (M, I)c. Semua laki-laki dapat dipercaya (L, P)d. Ada segitiga samakaki yang bukan segitiga samasisi (K, S)e. Tidak semua pulau di Indonesia didiami oleh penduduk (P, D)

2. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut :a. Setiap perwira TNI adalah laki – lakib. Beberapa gubernur di Indonesia adalah perempuanc. Setiap bilangan jika dipangkatkan 0 akan bernilai sama

dengan 1d. Setiap bilangan memiliki lawan (invers penjumlahan)e. Setiap bilangan memiliki kebalikan (invers perkalian)

24April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


f. Setiap persegi adalah jajaran genjangg. Setiap jajaran genjang adalah trapesiumh. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika

ditambahkan ke bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri

i. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika dibagi dengan bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri

j. Setiap jajaran genjang memiliki simetri setengah putarank. Beberapa siswa menganggap matematika sulitl. Setiap tahun yang habis dibagi 4 adalah tahun kabisat

25April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Argumen

Argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai, p1

p2

⁞

pn

q

Dalam hal ini, p1, p2, …, pn disebut hipotesis

(atau premis), dan q disebut konklusi.

Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu (invalid). Ingatlah bahwa kata “valid” tidak sama maknanya dengan “benar” (true).

Sebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi benar bilamana semua hipotesisnya benar; sebaliknya argumen dikatakan palsu (fallacy atau invalid).

26April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Jika argumen sahih, maka dikatakan bahwa secara logika konklusi mengikuti hipotesis atau sama dengan memperlihatkan bahwa implikasi

(p1 p2 pn) qadalah benar (yaitu, sebuah tautologi). Argumen yang palsu menunjukkan proses penalaran yang tidak benar.

Contoh1. Perlihatkan bahwa argumen berikut:

“Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang. Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.”adalah sahih

p qp

q

Penyelesaian:Misalkan p adalah proposisi “Air laut surut setelah gempa di laut” dan q adalah proposisi “tsunami datang”. Maka, argumen di dalam soal dapat ditulis sebagai: Gunakan tabel kebenaran

atau modus ponen

27April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Cara 1: Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan p q

Tabel kebenaran untuk p, q, dan p q p q p q

T T T (baris 1) T F F (baris 2) F T T (baris 3) F F T (baris 4)

Argumen dikatakan sahih jika semua hipotesisnya benar, maka konklusinya benar. Kita periksa apabila hipotesis p dan p q benar, maka konklusi q juga benar sehingga argumen dikatakan benar. Pada Tabel di atas, p dan p q benar secara bersama-sama pada baris 1. Pada baris 1 ini q juga benar. Jadi, argumen yang berbentuk modus ponen di atas sahih.

28April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Cara 2: Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah [ p (p q) ] p merupakan tautologi. Tabel berikut memperlihatkan bahwa [p (p q)] p suatu tautologi, sehingga argumen dikatakan sahih.

Tabel [p (p q)] p adalah tautologi

p q p q p (p q) [ p (p q) ] p T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T

Perhatikanlah bahwa penarikan kesimpulan di dalam argumen ini menggunakan modus ponen. Jadi, kita kita juga telah memperlihatkan bahwa modus ponen adalah argmen yang sahih.

29April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


2. Periksa kesahihan argumen berikut ini:“Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima. 5 tidak lebih kecil dari 4. Karena itu 5 adalah bilangan prima”

Penyelesaian:Misalkan p adalah proposisi “5 lebih kecil dari 4” dan q adalah proposisi “5 adalah bilangan prima”. Maka argumen di atas berbentuk: p ~q ~p q p q ~q p ~q ~ p

T T F F F T F T T F F T F T T F F T T T

Pada tabel, kedua hipotesis dan konklusi tersebut, baris ke-3 dan ke-4 adalah baris di mana p ~q dan ~ p benar secara bersama-sama, tetapi pada baris ke-4 konklusi q salah (meskipun pada baris ke-3 konklusi q benar). Ini berarti argumen tersebut palsu.

30April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Penurunan Kesimpulan, penarikan kesimpulan, atau penyimpulan.

Proses penegasan suatu proposisi yang berdasarkan satu atau lebih proposisi yang diambil sebagai titik tolak.

Proposisi yang ditegaskan disebut kesimpulan. Proposisi yang menjadi dasar diterimanya kesimpulan itu

disebut premis. Istilah premis atau kesimpulan adalah relatif. Sebuah

proposisi bisa menjadi premis dalam sebuah pernyataan tetapi bisa juga menjadi kesimpulan dalam sebuah pernyataan yang lain.

Menurunkan Kesimpulan

31April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Tiga aturan menurunkan kesimpulan.1. Aturan P. Aturan Premis

Premis dapat dimasukan pada sebarang langkah dalam proses menurunkan kesimpulan.

2. Aturan T. Aturan Implikasi TautologiSuatu kalimat S dapat dimasukan ke dalam proses penurunan kesimpulan, jika ada kalimat-kalimat yang mendahuluinya dalam penurunan itu yang konjungsinya, dengan menggunakan tautologi, mengimplikasikan S.

3. Aturan CP. Aturan Bukti Bersyarat (Conditional Proof)Jika dari kalimat R dan sekumpulan premis dapat diturunkan kalimat S, maka dari kumpulan premis itu dapat diturunkan implikasi R → S.

R adalah premis yang ditambahkan sebagai syarat untuk dapat menurunkan S. Lalu disimpulkan bahwa implikasi R → S diturunkan hanya dari semua premis yang diberikan.

32April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


Contoh.1. Turunkanlah kesimpulan dari pernyataan berikut.

“Sekarang bulan apa? Jika bulan yang lalu adalah Agustus maka tujuh bulan yang lalu adalah Februari. Jika tujuh bulan yang lalu adalah bulan Februari, maka sebelas bulan yang lalu tentu Oktober. Jika sebelas bulan yang lalu adalah Oktober, maka pasti bulan ini September. Saya ingat bulan lalu adalah Agustus. Jadi bulan ini September.”

Gunakan lambang untuk menterjemahkan ke dalam bahasa matematika.

S : Bulan ini September.

F : Tujuh bulan yang lalu Februari.

A : Bulan lalu, Agustus

O : Sebelas bulan lalu, Oktober.

33April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


{1} (1) A → F P

{2} (2) F → O P

{3} (3) O → S P

{4} (4) A P

{1,4} (5) F 1, 4 T

{2,3} (6) F → S 2, 3 T

{1,2,3,4} (7) S 5, 6 T

Kesimpulan dari penurunan di atas diperoleh dari premis-premis {1}, {2}, {3} dan {4}.

34April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


2. Turunkanlah kesimpulan dari pernyataan berikut.“Jika Jepang menjadi juara pertama, maka Korea atau Cina menjadi juara kedua. Jika Korea juara kedua maka Jepang tidak akan menjadi juara pertama. Jika Indonesia menjadi juara kedua, maka Cina tidak akan menjadi juara kedua. Jadi, jika Jepang menjadi juara pertama, Indonesia tidak akan menjadi juara kedua.”

Gunakan lambang untuk menterjemahkan ke dalam bahasa matematika.

J : Jepang juara pertama.K: Korea juara kedua.C : Cina juara kedua.I : Indonesia juara kedua.

35April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


{1} (1) J → K ˅ C P

{2} (2) K → Q J P

{3} (3) I → Q C P

{4} (4) J P tambahan

{1,4} (5) K ˅ C 1, 4 T

{2,4} (6) Q K 2, 4 T

{1,2,4} (7) C 5, 6 T

{1,2,3,4} (8) Q I 3, 7 T

{1,2,3} (9) J → Q I 4, 8 CP

Kesimpulan dari penurunan di atas diperoleh dari premis-premis {1}, {2}, {3} dan {4} sebagai premis tambahan.


36< Narwen, M.Si >April 21, 2023


1. Manakah yang merupakan kalimat terbuka

a. Jika saya lapar, maka saya tidak bisa belajar

b. Mahasiswa Jurusan Matematika rajin – rajin

c. Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya adalah sama

panjang

d. x – 5 > 7

e. Hafiz kuliah di IPB

f. Diagonal bujursangkar saling berpotongan tegak lurus

g. 6 – x ≥ 8

h. Bujursangkar mempunyai 4 sudut siku – siku

i. Hafiz dan Adi pergi ke perpustakaan

j. Andini dan Putri adalah mahasiswi kedokteran UI

Soal Latihan

37April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


2 Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} merupakan himpunan semesta,

tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan

berikut :

a. ( x A), x + 3 = 10∃ ∈b. ( x A), x + 3 < 10∀ ∈c. ( x A), x + 4 < 10∀ ∈d. ( x A), x + 4 = 7∃ ∈e. ( x A), x + 3 < 5∃ ∈f. ( x A), x + 3 ≤ 7∀ ∈g. ( x A), x + 4 > 8∃ ∈h. ( x A), x + 4 ≤ 7∀ ∈i. ( x A), x – 6 = - 3∀ ∈j. ( x A), x – 5 > 7∃ ∈

38April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


3. Tulislah pernyataan berikut dalam bentuk simbolika. Setiap bilangan kuadrat lebih besar atau sama dengan nol

b. Ada segitiga samakaki yang bukan segitiga samasisi

c. Tidak ada manusia yang hidup abadi

d. Di perguruan tinggi ku ada profesor wanita

e. Semua mahasiswa di Jurusan Teknik Mesin adalah laki –

laki

f. Ada mahasiswa laki – laki di Jurusan kedokteran

g. Tidak semua wanita tidak bisa memasak

h. Tidak ada bola yang tidak bulat

i. Ada manusia yang berumur lebih dari 90 tahun

j. Setiap bayi selalu menangis ketika dilahirkan.

39April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


4. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut :

a. ( x A), x + 3 = 5, A = himpunan bilangan asli∃ ∈b. ( x A), 2 + n > 5∀ ∈c. ( x C), x∀ ∈ 2 ≥ 0, C = himpunan bilangan cacah

d. ( x R), |x| ≠ 0, R = himpunan bilangan riil∃ ∈e. ( x R), x∃ ∈ 2 > x

f. ( x R), x∃ ∈ 2 = x

g. ( x R), x < x + 1∀ ∈h. ( x R), |x| = 0∃ ∈i. ( x R), x∀ ∈ 2 + 2x + 1 > 0

j. ( x R), x∀ ∈ 2 – 3x + 2 = 0

40April 21, 2023


< Narwen, M.Si >


5. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut

dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan asli :

a. x (x∃ 2 = x)

b. x (|x| = 0)∃c. x (x < x + 1)∀d. x (x – 1 = x)∀e. x (x∃ 2 + 2x + 1 = 0)

f. x (x∀ 2 + 2x + 1 > 0)

g. x (|x| ≥ 0)∃h. x (x∀ 2 – 3x + 2 = 0)

Documents

2013-12-04 4. Logika orde Pertama.pptx