2013 – Discursiva

PROVA ESCRITA DISCURSIVA

MATEMÁTICA

Antes de iniciar a prova, leia atentamente as segui ntes instruções.

• Esta prova contém 7 (sete) questões e uma dissertação . Verifique se este caderno de questões está completo.

• A prova terá duração máxima de 5 (cinco) horas.

• Preencha as informações solicitadas no rodapé da folha, abaixo da linha pontilhada, ÚNICO LOCAL AUTORIZADO PARA A IDENTIFICAÇÃO DO CANDIDATO , sob pena de desclassificação.

• O candidato somente poderá retirar-se do local onde se realiza a prova após decorridos 60 (sessenta) minutos do início da mesma.

• A interpretação dos enunciados faz parte da aferição de conhecimentos e da avaliação, não cabendo, portanto, esclarecimentos adicionais durante a realização da prova.

• Será eliminado do Concurso Público o candidato que:

a) UTILIZAR-SE DE QUALQUER ARTIFÍCIO QUE O IDENTIFI QUE EM QUALQUER ESPAÇO FORA DO RODAPÉ DESTA PÁGINA ;

b) usar, durante a realização da prova, máquina de calcular, rádios, gravadores, fones de ouvido, telefones celulares, pagers, quaisquer equipamentos eletrônicos ou fontes de consulta/comunicação de qualquer espécie;

c) ausentar-se da sala sem assinar a lista de prese nça, diante do fiscal.

• A prova deverá ser respondida, obrigatoriamente, com caneta esferográfica de tinta azul ou preta.

• Para efeito de avaliação, o rascunho não será considerado.

• Deverá ser obedecido o espaço reservado para a resposta.

• Os três últimos candidatos, ao entregarem suas provas, permanecerão em sala como testemunhas do encerramento dos trabalhos a cargo do fiscal de sala.

• Entregue o caderno de questões completo ao fiscal ao término da prova.

AGUARDE AUTORIZAÇÃO PARA COMEÇAR A RESPONDER ÀS QUE STÕES. .............................................................................................................................................

Reservado para a Coordenação

NOME: (letra de forma) ........................................................................................................................

ÁREA DE ATUAÇÃO/ CONHECIMENTO: MATEMÁTICA

Nº DE INSCRIÇÃO: ........................

ASSINATURA: .....................................................................................................................................

Grau obtido

Reservado para a Coordenação

COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico - 2013

COLÉGIO PEDRO II CONCURSO PÚBLICO PARA DOCENTES - 2013 PROVA ESCRITA DISCURSIVA - MATEMÁTICA

1

PROVA ESCRITA DISCURSIVA DE MATEMÁTICA

PRIMEIRA PARTE - QUESTÕES DISCURSIVAS (70 pontos)

1a QUESTÃO

Valor do item a: 4 pontos

Valor do item b: 4 pontos

Valor total da questão: 8 pontos

Num concurso público para professores, foram oferecidas vagas para as disciplinas A e B. Cada candidato concorreu a apenas uma das disciplinas. No dia da prova, 6% dos candidatos para a disciplina A faltaram e 72% dos candidatos para a disciplina B compareceram. Além disso, 45% do total de candidatos se inscreveram para as vagas da disciplina A. Não foram oferecidas vagas para qualquer outra disciplina além de A e B.

a) Suponha que, um dia após a realização da prova, tenha sido divulgada a listagem geral de inscritos, sem nenhuma indicação da disciplina objeto da inscrição. Escolhido um desses candidatos ao acaso, determine a probabilidade de que ele tenha faltado no dia da prova.

Padrão de resposta

1) 45% do total de candidatos se inscreveu para a disciplina A. Dentre estes, 6% faltaram. Logo, 6% de 45% do total de candidatos inscritos para a disciplina A faltaram.

Ou seja: 0,06 x 0,45 = 0,027 = 2,7%

100% - 45% = 55% do total de candidatos se inscreveu para a disciplina B. Dentre estes, 72% compareceram. Logo, 100% - 72% = 28% faltaram. Então, 28% de 55% do total de candidatos inscritos para a disciplina B faltaram.

Ou seja, 0,28 x 0,55 = 0,154 = 15,4%

No total, faltaram 2,7% + 15,4% = 18,1%

b) Um grupo de 12 amigos participou desse concurso. Todos concorreram para a disciplina A. O tema sorteado para a dissertação da prova discursiva foi considerado fácil para a maioria dos candidatos e a probabilidade de que qualquer um desses 12 amigos tenha feito uma boa prova é igual a 0,7.

Avalie se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas, justificando em detalhes sua resposta.

Afirmativa I: A probabilidade de que exatamente 2 desses amigos não tenham feito uma boa prova é

igual a ( ) ( )10 2212C 0,7 0,3× +

Padrão de resposta

É falsa. Existem 212C formas de se escolher os 2 amigos, cada um deles com probabilidade

0,3 de não fazer uma boa prova. O fato de um dos amigos fazer uma boa prova independe de que qualquer outro tenha feito ou não uma boa prova. Assim, os eventos são independentes e o cálculo da probabilidade envolve o princípio multiplicativo, sendo


2

( )100,7 a probabilidade de que os 10 candidatos restantes tenham feito uma boa prova.

Sendo assim, o valor correto seria ( ) ( )10 2212C 0,7 0,3× ×

Afirmativa II: A probabilidade de que, pelo menos, 8 desses amigos tenham feito uma boa prova é

igual a ( ) ( )8 4812C 0,7 0,3× × .

Padrão de resposta

É falsa. O valor dado corresponde a probabilidade de que exatamente 8 amigos tenham feito uma boa prova. No caso em que 9, 10, 11 ou 12 amigos tenham feito uma boa prova, a condição “pelo menos 8 amigos” também seria satisfeita.

Para 8 amigos: ( ) ( )8 4812C 0,7 0,3× ×

Neste caso, por exemplo, existem 812C formas de se escolher os 8 amigos, cada um deles

com probabilidade 0,7 de fazer uma boa prova. O fato de um dos amigos fazer uma boa prova independe de que qualquer outro tenha feito ou não uma boa prova. Assim, os eventos são independentes e o cálculo da probabilidade envolve o princípio multiplicativo,

sendo ( )40,3 a probabilidade de que os 4 candidatos restantes não tenham feito uma boa

prova. O mesmo raciocínio é extensivo aos demais casos.

Para 9 amigos: ( ) ( )9 3912C 0,7 0,3× ×

Para 10 amigos: ( ) ( )10 21012C 0,7 0,3× ×

Para 11 amigos: ( ) ( )11 11112C 0,7 0,3× ×

Para 12 amigos: ( ) ( )12 01212C 0,7 0,3× ×

No total: ( ) ( )8 4812C 0,7 0,3× × + ( ) ( )

9 3912C 0,7 0,3× × + ( ) ( )10 21012C 0,7 0,3× × +

( ) ( )11 11112C 0,7 0,3× × + ( )

120,7


3

2a QUESTÃO




Considere uma matriz quadrada A, de ordem n. Definimos autovalor (ou valor próprio ou valor característico) de A, como sendo todo número λ (real ou complexo) tal que A.v = λ . v, onde v é um vetor não nulo de dimensão n x 1 ou, equivalentemente, (A - λ I ) .v = 0, onde I é a matriz identidade de ordem n. Essa equação matricial dá origem a um sistema homogêneo e, para que λ seja um autovalor, deve ter solução não trivial. Isso pode ser garantido quando det (A - λ I) = 0, onde o termo “det” se refere ao determinante da matriz que se segue.

Dessa forma, det (A - λ I) = 0 é a equação característica de A e suas raízes são os autovalores da matriz A.

a) Determine os autovalores da matriz A =

0 1 00 0 14 17 8

−

Padrão de resposta

A - λ I =

0 1 00 0 14 17 8

−

-

0 00 00 0

λ

λ λ

=

1 00 14 17 8

−λ

−λ − − λ

det ( A - λ I ) = 3 28 17 4 0λ − λ + λ − =

Considerando os divisores de (-4): 1, 2 e 4± ± ± , por sucessivas substituições encontramos

que λ = 4 é uma das raízes da equação característica. Ou seja, dividindo a expressão por λ - 4 encontramos: 2( 4)(. 4 1) 0λ − λ − λ + = . De 2 4 1 0λ − λ + = encontramos os outros dois

autovalores que são 2 3+ e 2 3− . b) Dado o autovalor λ , chamamos de autovetor v, a todo vetor não nulo que satisfaça a equação

matricial (A - λ I).v = 0. Considerando a matriz A apresentada no item (a), encontre o(s) autovetor(es) correspondente(s) ao(s) autovalor(es) inteiro(s).

Padrão de resposta O único autovalor inteiro é λ = 4. Por definição, devemos ter ( A - λ I ) .v = 0. Para x, y e z

reais, seja v =

xyz

.


4

Segue que: ( A - λ I ). v =

4 1 00 4 14 17 4

−

− −

.

xyz

=

4x y 04y z 0

4x 17y 4z 0

− +

− + = − +

Da igualdade de matrizes, obtemos: y = 4x e z = 4y = 4(4x) = 16x.

Assim os autovetores associados ao autovalor λ = 4 são da forma

x 14x x. 416x 16

=

, x ≠ 0.

3a QUESTÃO




Cresce a cada ano o número de alunos de 6o ao 9o anos que participam da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Por essa razão, o corpo docente dos diversos colégios está cada vez mais comprometido em criar grupos de alunos que se reúnam semanalmente com um professor para o aprofundamento de diversos conteúdos de matemática. Um exemplo de exercício proposto a um desses grupos de alunos do Colégio Pedro II foi:

“Seja n um número natural livre de quadrados (que não é divisível por nenhum quadrado perfeito) e considere que n tenha r fatores primos. Então, n tem 2

r divisores.”

a) Enuncie o Teorema Fundamental da Aritmética.

Padrão de resposta

Todo número natural n ≥ 2 pode ser escrito como produto de fatores primos. Esta decomposição é ́unica exceto pela ordem destes fatores. Ou ainda: Seja n∈IN, n ≠ 0 e n ≠ ± 1. Então existem números primos p1 < p2 < p3 < ... < pr-1 < pr ∈IN ,

r≥ 1 e naturais não – nulos, a1, a2, a3, ... , ar-1, ar tais que n pode ser decomposto de forma única como n = 31 2 r 1 raa a a a1 2 3 r 1 rp p p ... p p−

−× × × × × .

b) Resolva o problema proposto aos alunos do Colégio Pedro II.

Padrão de resposta Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, n = 31 2 r 1 raa a a a1 2 3 r 1 rp p p ... p p−

−× × × × × , sendo p1

< p2 < p3 < ... < pr-1 < pr ∈IN , r≥ 1 e a1, a2, a3, ... , ar-1, ar naturais não-nulos. Cada divisor de n é da forma 31 2 r 1 r1 2 3 r 1 rp p p ... p p−

αα α α α

−× × × × × onde cada iα pode assumir o valor 0 ou 1. Temos


5

assim, 2 possibilidades de expoente para cada fator primo de n, ou seja, pelo Princípio Fundamental da Contagem, 2r divisores. 4a QUESTÃO



Valor do item c: 3 pontos


Considere a função real f definida por: (f x)

=

2 2x 2x1 , se x 01 x

e , se x 0−

<+

≥

a) Determine se f é contínua em x = 0, justificando sua resposta.

Padrão de resposta

f é contínua em x = 0 ⇔⇔⇔⇔ ,0 0lim ( ) lim ( ) (0)x xf x f x f− +→ →

= = . Temos: 20 1 1lim 111x x−→

= =+

e 2 2 00lim 1x xx e e

+

−

→

= = . Além disso, f(0) = 0 1e =

Assim, por definição, f é contínua em x = 0. b) Em relação ao gráfico de f:

I) Determine todos os extremos locais e os pontos de inflexão, caso existam.

Padrão de resposta Seja D(f) o domínio da função f. Os candidatos a extremos locais são os pontos críticos de f, ou seja, se c ∈(a,b) ⊂ D(f) tal que f não é derivável em c ou então f ‘(c) =0.

f '(x)

=

22 2

x 2x2x , se x<0(1 x )

Não definida em x 0

(2x 2)e , se x>0−

−

+

=

−

2 22x =0 x=0 (1 x )−

⇒+

2 22 2(2 2) 0 2 2 0 1 0x x x xx e x x ou e x IR− −− = ⇒ − = ⇒ = = ⇒ ∉


6

Assim f ‘(x) = 0 se x=1 e não existe f ‘(x) em x = 0. Pontos críticos: x = 0 e x =1 0 1

f

f ++++−−−−++++' ⇒Ponto de máximo em x = 0 e Ponto de mínimo em x = 1.

f ''(x)

=

22 2 32 x 2x

6x 2 , se x<0(1 x )

Não definida em x 0

(4x 8x 6)e , se x>0−

−

+

=

− +

2 22 36x 2 30 6x 2 0 x 3(1 x )

−= ⇒ − = ⇒ = ±

+. Como x < 0 então x =

33

−. 22 x 2x 2(4x 8x 6)e = 0 4x -8x+6 = 0 x IR−− + ⇒ ⇒ ∉ . Além disso, f’’(x) não está definida

para x = 0. 33−−−− 0

CCCBCCf

f ++++−−−−++++" ⇒ Ponto de inflexão em x = -

33

e em x = 0.

II) Pesquise a existência de assíntotas horizontais e verticais.

Padrão de resposta A reta y = b é uma assíntota horizontal (AH) se lim ( )x f x b

→+∞= ou lim ( )x f x b

→−∞=

A reta x = a é uma assíntota vertical (AV) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: lim ( )x a f x

→= ±∞ ou lim ( )x a f x

−→

= ±∞ ou lim ( )x a f x+→

= ±∞ .

Como 22 2(1 )2lim lim

xx x xx xe e−

−

→+∞ →+∞= = ∞ e 21lim 0

1x x→−∞=

+ então, existe uma assíntota horizontal

em y = 0 porém, não existe assíntota vertical.


7

c) Esboce o gráfico da função f.

Padrão de resposta

f(0) =1 f(1) = e-1

f3 3

3 4 −

=

5a QUESTÃO




Arquimedes de Siracusa (Siracusa, 287 a.C. – 212 a.C.) foi um matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego. Embora poucos detalhes de sua vida sejam conhecidos, são suficientes para que seja frequentemente considerado o maior matemático da Antiguidade Clássica e um dos maiores de todos os tempos, ao lado de Newton, Euler e Gauss. A obra apócrifa Livro dos Lemas ou Liber Assumptorum é um tratado com quinze proposições sobre a natureza dos círculos e acredita-se que tenha sido organizada por descendentes de Arquimedes. Sua cópia mais antiga conhecida está escrita em árabe.

Uma dessas proposições trata da área sombreada de uma parte do círculo, representada na figura a seguir e conhecida como Arbelo de Arquimedes.

(Disponível em:<http://mathdb.org/articles/archimedes/e_archimedes.htm#Bk06>. Adaptado. Acesso em: 27 jun 2013.)


8

a) A figura acima é composta de três semicírculos tangentes entre si, com diâmetros de medida AC = d,

AB = d1 e BC = d2. O segmento BD é perpendicular ao diâmetro AC .

Determine o valor da área sombreada em função de d1 e d2.

Padrão de resposta

d = d1+d2

Área S1 (semicírculo de diâmetro AB ) =

21 21d2 d2 8

π

π =

Área S2 (semicírculo de diâmetro BC ) =

22 22d2 d2 8

π

π =

Área S3 (semicírculo de diâmetro AC ) =

2 2dd2

2 8

π π =

Área S (sombreada) = S3 – S1 – S2 = 2d

8π

−21d( 8

π+

22d8

π) =

= 2 2 21 2(d d d )8

π− − = 2 2 21 2 1 2((d d ) d d )8

π+ − − = 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2(d 2d d d d d ) .2d d d d8 8 4

π π π+ + − − = =

b) Utilize o resultado obtido no item anterior para provar a proposição devida a Arquimedes:

“A área do Arbelo de Arquimedes é igual a área do círculo de diâmetro BD”.

Padrão de resposta

Área do arbelo = S = 1 2d d4π


9

O arco AC subtende um ângulo de 180o. Logo, BD é a altura de um triângulo retângulo cujas

projeções dos catetos são AB e BC . Seja BD = 2R, onde R é a medida do raio da

circunferência de diâmetro BD. Tem-se então: (2R)2 = d1d2. Logo: S = 2 21 2d d (2R) R4 4π π

= = π

6a QUESTÃO





Estão representados abaixo, no intervalo real [0,c], os gráficos das funções f(x) = cos x e g(x) = sen x e também duas regiões sombreadas entre eles.

a) Determine as coordenadas do ponto P(a,b).

Padrão de resposta

No ponto P, f(x) = g(x) ou seja, cos x = sen x ,4π

⇒ = π + ∈x k k Z .

Como há a restrição do intervalo [0,c] = [0, 2π

], a única solução possível será para k = 0,

quando temos x = 4π

⇒ a = 4π

⇒ f(a) = g(a) = cos( 4π

) = sen( 4π

) = 22

. Logo, P( 4π

,22

).

b) Determine o valor de toda a área sombreada.

Padrão de resposta


10

Área = 40 [( ) ( )]f x g x dxπ

− +∫24 [ ( ) ( )]g x f x dxπ

π

−∫ =

40 [cos ]x senx dx

π

− +∫24 [ cos ]sen x x dx

π

π

−∫ = 4 20 4[ cos ] [ cos ] cos 0 cos0 cos cos4 4 2 2 4 4sen x x x senx sen sen sen senπ π

π

π π π π π π= + + − − = + − − − − + + =

2 2 2 21 1 2 2 22 2 2 2

= + − + − + + = −

u. a.

c) Considere a função

( ) ( ), 0( )

( ) ( ),

f x g x se x ah x

g x f x se a x c

− ≤ ≤

= − < ≤

Seja S o sólido de revolução gerado a partir da rotação do gráfico de h em torno do eixo x.

Determine o volume V de S.

Padrão de resposta 2 20 .[ ( )]V h x dx

π

= π =∫2 20 [ ( )]h x dx

π

π =∫4 22 20 4(cos ) ( cos )x sen x dx sen x x dx

π π

π

π − + −

∫ ∫

Porém: (cos x - sen x)2 = cos2 x - 2 senx cosx + sen2 x = 1 - sen 2x (sen x - cos x)2 = sen2 x - 2 senx cosx + cos2 x = 1 - sen 2x Logo: 22 20 0cos2 cos cos0 2(1 2 ) 0 12 2 2 2 2 2

xV sen x dx x

π π

π π π π − π= π − = π + = π + − − = π − =

∫ u.v.

7a QUESTÃO





Seja z(t) ∈ C (conjunto dos números complexos) e P(t) = (x(t), y(t)) o seu afixo no Plano de Argand-Gauss.


11

As coordenadas de P(t) são dadas pelas equações paramétricas ( ) 3 2cos( ) 1 3x t ty t sen t = +

= − +, onde t ∈ IR.

a) Prove, utilizando o Princípio da Indução Finita, que nnz(t) z(t)= , para todo n∈ IN, n ≥ 1.

Padrão de resposta

Para n = 1, 11z(t) z(t) z(t)= = .

Supondo que tal propriedade seja válida para n, prove-se que será também válida para n+1. n 1 n 1 n 1z (t) z(t)z(t) z(t) z(t)+ = × = ×

Usando a hipótese da indução: n 1 n 1n 1 n 1 n 1z (t) z(t)z(t) z(t) z(t) z(t) z(t) z(t)++ = × = × = × =

Logo, segue a validade do resultado, de acordo com o Princípio da Indução Finita.

b) Para t = π32

, calcule o valor de 4z(t).

Padrão de resposta 44z(t) z(t)=

z(t) = (3+2cos t) + (-1+3sen t)i =(3+2cos32π

) + (3sen32π

- 1)I = (3+2 0× ) +(3 ( 1)× − -1)i= 3 – 4i

2 2z(t) (3) ( 4) 25 5= + − = =

44 4z(t) z(t) 5 625= = =

c) Escreva a equação cartesiana que determina o lugar geométrico das imagens de z(t), quando o

parâmetro t percorre todo o conjunto dos números reais. Identifique completamente este lugar geométrico.

Padrão de resposta z(t) = x(t) + y(t)i ( ) 3 2cos( ) 1 3

= +⇒

= − +

x t ty t sen t cos t =

x(t) 32

− e sen t =

y(t)13

+

sen2 t + cos2 t = 1 ⇒2 2(x(t) 3) (y(t)1) 14 9

− ++ = .

Esta é a equação de uma elipse com centro (3,-1), eixo maior medindo 6, eixo menor

medindo 4 e focos F1(3, 1 5− + ) e F2(3, 1 5− − ).


12

SEGUNDA PARTE - DISSERTAÇÃO (30 pontos)

Desenvolva o tema sorteado sob a forma de Dissertação, utilizando, no mínimo três páginas e, no máximo, cinco. Se desejar, utilize as folhas de rascunho, sem destacá-las do corpo da prova. Entretanto, para efeito de avaliação, o rascunho não será considerado.

TEMAS PARA DISSERTAÇÃO

1) Progressões Geométricas e Juros Compostos.

2) Operações com Números Complexos na Forma Trigonométrica.

3) Multiplicação e Divisão de Frações.

4) Discussão de Sistemas Lineares.

5) Proporcionalidade e suas aplicações.

6) Funções Polinomiais do 2o grau.

7) Produtos Notáveis e Fatoração de Polinômios.

8) Pirâmides: Áreas e Volumes.

9) Transformações Lineares em IR2.

10) Relações Métricas no Triângulo Retângulo.(PONTO SORTEADO)

Padrão de resposta (Itens cujo desenvolvimento será avaliado)

Introdução ao tema

Referências históricas

Demonstração dos principais resultados

Aplicações

Documents

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