2013 Mat Sup Trabajos Practicos

Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Mendoza-ISI

Matemtica Superior

Trabajo Prctico.Interp. y Aprox. Fun.. Ao 2013 Pgina 1 de 6

Trabajos Prcticos Interpolacin y Aproximacin polinomial. Bibliografa recomendada: Anlisis Numrico. Las matemticas del clculo cientfico., D. Kincaid, W. Cheney, Addison Wesley Iberoamericana, 1994.

Anlisis Numrico., R. Burden, J. Faires, International Thomson Editores, 1998.

1) Considere dado un sistema de coordenadas cartesianas. a) Dados dos puntos (x0, y0) y (x1, y1), cuntas rectas pasan por ambos? Y cuntos polinomios de

segundo grado (parbolas)? b) Cuntos polinomios de segundo grado (parbolas) pasan por tres puntos no alineados dados? c) Dados tres o ms puntos alineados, es posible que pertenezcan todos a un polinomio de segundo

grado (parbola)? Y pueden pertenecer todos al grfico de otra funcin polinmica? d) Cuntos polinomios de grado n o menos pasan por n+1 puntos dados? Y cuntos polinomios de

grado mayor que n pasan por n+1 puntos dados? e) De acuerdo a lo anterior, es posible obtener distintos polinomios al interpolar un conjunto de

puntos dados si se trabaja con diferentes mtodos (como el mtodo directo, de Lagrange o de Newton)?

2) a) Halle el polinomio que ajusta los siguientes puntos o nodos por los mtodos de interpolacin

directo, de Lagrange y de Newton, manteniendo la expresin propia de cada mtodo (no la trabaje algebraicamente). x 3 7 y 5 -1

b) Realice las manipulaciones convenientes en cada expresin de manera que quede un polinomio en forma estndar y compare los valores de los coeficientes de los polinomios obtenidos de esa manera. Son los mismos valores? Difieren entre s?

c) Evale expresiones originales de los polinomios en x=3 y x=5, y compare los resultados.

3) a) Halle el polinomio que ajusta los siguientes puntos por los mtodos de interpolacin de Newton y de Lagrange. xk 1 2 7 yk 2 1 14

b) Agregue a los datos anteriores el punto (x3, f(x3))=(3, 10) y halle nuevamente el polinomio interpolante por un mtodo a eleccin.

c) Qu mtodo conviene elegir y por qu? d) Evale los polinomios en x=1,5 ; x=2 y x=50, y compare los resultados.

4) Dados los puntos x0 =0, y0 =1; x1 =1, y1 =2; x2 =3, y2 =1; x3 =4, y3 = 3, halle el polinomio de

interpolacin de Lagrange y finalmente evalelo para x = 2 (la solucin es P(2)=34 ).

5) Estime la poblacin de una ciudad en el ao 1983 a partir de censos realizados segn la siguiente tabla:

Ao 1960 1966 1971 1980 1990 Poblacin (millones) 12 15 18 23 26


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6) Interpole mediante la frmula de Lagrange la funcin ln (x) a travs de los puntos dados en la siguiente tabla:

i 0 1 2 3 xi 1 2 3 4 yi 0 0,6931472 1,0986123 1,3862944

a) D la expresin del polinomio P3(x). b) Evale dicha expresin para x=2,5. c) Coteje el valor obtenido con respecto al valor exacto ln (2,5) = 0,91629. Haga ln(2,5) - P3(2,5). d) Acote el error terico en el intervalo mediante la expresin:

( )( )( )( )!4

)(lnxxxxxxxx)x(e)iv(

3210

= , donde es un punto interior al intervalo.

7) La funcin ln(cos x) resulta incmoda de manejar en ciertos procesos matemticos, por lo que un

investigador ha resuelto sustituirla por una expresin polinomial de tercer grado que sea suficientemente precisa en el intervalo abierto 0 < x < /2. Expresando x en grados ha resulto evaluar el ln (cos x) para 5, 25, 65, 85, obteniendo:

x 5 25 65 85 ln (cos x) -3.812610-3 -0.09837 -0.86128 -2.440058

a) Qu error comete en x = 30 y en x = 60 con respecto a los valores exactos? b) Obtenga el polinomio P3(x) y calcule:

b1) e30 = ln (cos 30)- P3(30). b2) e60 = ln (cos 60)- P3(60).

8) Buscar el polinomio interpolante que se obtiene de considerar una versin discreta de la funcin seno de x.

X (rad) 0 1 2 3 Sen(x) Sen(0) Sen(1) Sen(2) Sen(3)

a) Obtener los polinomios de Lagrange asociados a cada x dato b) Obtener el polinomio interpolante. c) Evaluar el polinomio interpolante en x=0,6 y evaluar el error absoluto (e=P(0,6)-Sen(0,6)) d) Identificar los puntos en que el error es cero. e) Verificar que la grafica de ambas funciones es la siguiente.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

sin(x)"Punto"P(x)

f) Qu ocurrir con el error en x=0,6 si se usa un polinomio interpolante pero con valores de x=0;

0,4; 0,8 y 1,2?.


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9) Para los siguientes conjuntos de puntos, a) decida si es o no posible ajustar un polinomio por algn mtodo de interpolacin. En caso de no

ser posible, indique por qu y diga si se puede o no evitar ese inconveniente de alguna manera. En caso de ser posible, hllelo por algn mtodo.

k 0 1 2 xk 1 2 2 yk 2 1 3

k 0 1 2 xk 1 2 2 yk 2 1 1

k 0 1 2 3 xk 1 2 7 10yk 2 1 14 2

b) Podra hallar la recta que mejor aproxima esos puntos datos aplicando el mtodo de mnimos

cuadrados? Presenta alguno de los conjuntos de puntos algn inconveniente?

10) Aproxime segn el criterio de mnimos cuadrados, utilizando aproximacin lineal, los siguientes puntos, cuyas coordenadas son:

x 0 1 2 3 y 1 1 2 4

Resolucin: Usando ya TT = resulta:

=

4211

32101111

ba

31211101

32101111

Que tambin en este caso particular se puede calcular como:

=

=

=

==

=4

1iii

4

1ii

4

1i

2i

4

1ii

4

1ii

xy

y

ba

xx

xN

Que resulta

=

178

ba

14664

y obtenemos a = y b = 1 y as y= + x.

11) Encuentre, por el mtodo de los mnimos cuadrados, la recta que aproxima la funcin dada por los siguientes puntos:

x 0 1 2 3 4 5 6

y 4 7 9 10 9 12 15

Resolucin: Para resolver ya TT = es posible plantear en forma auxiliar la siguiente tabla: i x y x2 x3 xy0 0 4 0 0 0 1 1 7 1 1 7 2 2 9 4 8 18 3 3 10 9 27 30 4 4 9 16 64 36 5 5 12 25 125 60 6 6 15 36 216 90

Sumat 21 66 91 441 241


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Con los datos de la ltima fila de la tabla armamos el sistema de ecuaciones: ya TT =

=

=

=

=

==

=

24166

ba

9121217

xy

y

ba

xx

xN

6

0iii

6

0ii

6

0i

2i

6

0ii

6

0ii

Resolviendo el sistema de ecuaciones (por ejemplo invirtiendo la primera matriz) se obtiene el siguiente resultado:

a = 4,821 b = 1,536

La ecuacin de la recta ser: y = 4,821 + 1,536 x

Podemos verificar la calidad de la aproximacin graficando las dos funciones:

Aproximacin por mnimos cuadrados

02468

10121416

0 1 2 3 4 5 6

x

y

datos polinomio aproximante

12) Ubique un polinomio de segundo grado (parbola) de segundo grado entre los puntos siguientes, segn el criterio de mnimos cuadrados.

x 0 1 2 2 3 3 4 4y 1 1 1 2 2 3 4 5

Resolucin: Para este caso de una funcin polinmica de segundo grado (parbola), la ecuacin ser:

y = a + bx + cx2 con N = 8 y m = 2. El sistema de ecuaciones ser:

=2

ii

ii

i

4i

3i

2i

3i

2ii

2ii

xyxy

y

cba

xxxxxxxxN

y reemplazando queda:


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2025819

cba

70719959199591959198

= .

Resolviendo este sistema se obtiene: a=1.0588 b=-0.4657 c=0.3284 y la parbola es y = 1.0588 - 0.4657 x + 0.3284 x2.

13) Aproximar por regresin lineal los siguientes datos:

x 0 1 2 3 4y 0 2 2 1 3

14) Aproximar por regresin polinmica de segundo grado los siguientes datos:

x 0 0 1 2 3y 1 2 2 3 3

15) Considerando como funciones bases a sen(x) y cos(x), halle la curva de la forma

f(x) = a cos(x) + b sen(x) que mejor se ajusta al siguiente conjunto de puntos datos en el sentido de los mnimos cuadrados.

x -3.0 -1.5 0.0 1.5 3.0 y -0.1385 -2.1587 0.8330 2.2774 -0.5110

16) Considere las funciones f, g y h dadas en forma discreta en la siguiente tabla:

x 0 /4 /2 3/4 5/4 3/2 7/4 2 f(x) 10 10 10 10 10 10 10 10 10 g(x) 10 0 0 0 10 10 10 0 10 h(x) 3 2.5355 2 1.7071 -1 -4.5355 -4 0.2929 3

Aplique el mtodo de mnimos cuadrados para hallar funciones que aproximen a cada una de ellas, tomando como funciones bases 0 = sen(x), 1 = sen(2x), 2 = cos(x), 3 = cos(2x).

17) Para la siguiente tabla de datos (x,y):

x 1.0 1.25 1.50 1.75 2.0 y 5.1 5.79 6.53 7.45 8.46

Encuentre los coeficientes a y b de la aproximacin y = b ea x, usando el mtodo de mnimos cuadrados.

18) La expresin P = a V b relaciona la presin y el volumen de una mquina de vapor. Para los valores

datos de la siguiente tabla, halle las constantes a y b, usando el mtodo de mnimos cuadrados.

V 53.90 26.40 14.00 7.00 4.27 2.74 1.85 P 6.87 14.70 28.80 60.40 101.90 163.30 250.30

19) a) Halle el polinomio que ajusta los siguientes puntos por un mtodo de interpolacin a eleccin:

x 1 2 3 y 2 1 1.5

b) Para los mismos datos encuentre una aproximacin lineal por mnimos cuadrados. c) Evale los polinomios hallados en los incisos a) y b) en x = 10. Compare los resultados.


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20) La presin del viento sobre una superficie cilndrica est dada en forma de una funcin discreta por el Reglamento CIRSOC 102, que se reproduce en la siguiente Tabla.

Ang (grados)

presin Si la base considerada es:

{cos(0x); cos(x); cos(2x); cos(3x); cos(4x); cos(5x); cos(6x)},

La aproximacin de mnimos cuadrados tiene por coeficientes solucin (amplitudes de la combinacin lineal de las funciones base), los siguientes coeficientes:

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5 6 7

armonica

Amplitud

Es evidente que los coeficientes asociados con las armnicas 4, 5 y 6 son despreciables frente a los dems. Cuando se compara la funcin discreta con la Aproximacin considerando slo las amplitudes de las armnicas 0, 1, 2 y 3 se obtiene la siguiente grfica.

1 50

1,00

0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

0 50 100 150 200 250 300 350 400

pres

Aprox

Comprobar que Aproximacin resulta cuando slo se consideran las amplitudes de las armnicas 0, 1 y 2.

0 1,00 10 0,90 20 0,70 30 0,35 40 0,00 50 -0,50 60 -0,80 70 -1,10 80 -1,23 90 -1,30

100 -1,30 110 -1,28 120 -1,25 130 -1,20 140 -1,20 150 -1,20

160 -1,20 170 -1,20 180 -1,20 190 -1,20 200 -1,20 210 -1,20 220 -1,20

230 -1,20

240 -1,25 250 -1,28

260 -1,30 270 -1,30 280 -1,23 290 -1,10 300 -0,80 310 -0,50 320 0,00 330 0,35 340 0,70 350 0,90

En vez de trabajar con la Tabla dada es posible trabajar con la aproximacin dada por una base de cosenos {cos(k x)} con k=0,1,2,3 y Amplitudes Ak. Es decir por la siguiente Tabla Armnica k 0 1 2 3 Amplitud Ak -0,717222222 0,884863921 0,602500243 0,224616777

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Trabajo Prctico Integracin Numrica Ao 2013 Pgina 1 de 8

Trabajos Prcticos Integracin Numrica Bibliografa recomendada: Mtodos Numricos para Ingenieros, S. Chapra, R. Canale, Mc Graw Hill, 1999. Anlisis Numrico., R. Burden, J. Faires, International Thomson Editores, 1998.

1) Dada la funcin f : R R en forma discreta, se busca determinar I = 5.1

1.1dx)x(f

x 1.1 1.3 1.5 f(x) 3.0042 3.6693 4.4817

a) Calcule una aproximacin de I, usando la regla de trapecios simple. Cul es el paso h utilizado? b) Calcule una aproximacin de I usando la regla de trapecios compuesta. Cul es el paso h utilizado? c) Calcule una aproximacin de I usando la regla de Simpson simple. Cul es el paso h utilizado? d) Justifique cul de las tres aproximaciones anteriores elegira usted.

2) Halle una aproximacin de la integral de la funcin dada por los siguientes datos,

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 f(x) 1 7 4 3 5

a) usando la regla de trapecios simple entre 0 y 0.4. Cul es el paso h utilizado? b) Usando la regla de trapecios compuesta entre 0 y 0.4. Cul es el paso h utilizado? c) Usando la regla de Simpson simple entre x=0y x=0.4. Cul es el paso h utilizado? d) Usando la regla de Simpson simple halle una aproximacin de la integral de f(x) entre x=0 y x=0.2.

Cul es el paso h utilizado? e) Usando una regla de Simpson simple halle una aproximacin de la integral de f(x) entre x=0.2 y

x=0.4. Cul es el paso h utilizado? f) Un valor aproximado de la integral I de f(x) entre x=0 y x=0.4 puede obtenerse planteando

+=4

2

2

0

x

x

x

x

dx)x(fdx)x(fI y usando integral simple de Simpson en cada integral (incisos d y e). Esta

es la base de la regla de Simpson Compuesta. Aproxime I mediante la regla de Simpson compuesta. g) Justifique cul de las aproximaciones anteriores es ms precisa.

3) Dada la funcin f : R R en forma discreta,

x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 f(x) 1 1.04 1.16 1.36 1.64

a) calcule =0.8

0dxf(x)I usando la regla de trapecios compuesta.

b) Calcule =0.8

0dxf(x)I usando la regla de Simpson compuesta.

c) Habiendo obtenido ambos resultados numricos de las integrales con el mismo paso, indique Cul es dicho paso? Cul es el orden del error de la regla compuesta de trapecios? Cul es el orden del error de la regla compuesta de Simpson?

d) Justifique cul de las dos aproximaciones anteriores es ms precisa.


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4) a) Cul es el mximo grado de los polinomios que la regla de trapecios integra en forma exacta? (Este es el orden de la regla de integracin de trapecios).

b) En la regla de trapecios, cul es el orden del error? (en trminos de h). Justifique mediante algn desarrollo.

c) Qu puede decir del orden del error en la regla de trapecios mltiple? Justifique su respuesta. d) Cul es el orden de la regla de integracin de Simpson? (Esto es, cul es el mximo grado de los

polinomios que esta regla integra en forma exacta?) e) En la regla de Simpson, cul es el orden del error? f) Si el error de la regla de Simpson simple es del orden de h5, justifique que el orden del error de la

regla de Simpson compuesta es del orden de h4. Analice los valores obtenidos en alguno de los ejercicios anterior en que haya usado las reglas de Simpson simple y compuesta.

5) Dada la siguiente funcin y=f(x) en forma discreta, aplicando la regla de trapecios compuesta halle una aproximacin de la integral de f(x) entre x0 y x4,

a) usando un paso h1 tal que el intervalo se divida en 2 subintervalos. b) Usando un paso h2 tal que el intervalo se divida en 4 subintervalos. c) Mejore la aproximacin lograda en los incisos anteriores usando la Regla de Richardson que, a partir

de dos valores aproximados con error de orden hn, mejora la aproximacin haciendo:

1)h(I)h(I)h(I

hh

)h(Odeordentienen)h(I);h(I

122n

n

2

1

n21

=

=

+

6) Con los siguientes datos, x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

f(x) 1 1.3 1.5 1.55 1.61 1.62 1.65 1.68 1.69

a) halle un valor aproximado de la integral =8.0

0dx)x(fI , usando la regla de Simpson compuesta, con

un paso h de 0.1. b) Halle un valor aproximado de la misma integral I, usando la regla de Simpson compuesta, con un

paso h de 0.2. c) Aplique la regla de Richardson a los dos valores obtenidos anteriormente, para conseguir un valor

mejorado de I. d) Cul de las tres aproximaciones de I es ms precisa? Justifique su respuesta.

7) Para la funcin dada en la siguiente tabla,

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 f(x) 1 7 4 3 5

halle un valor aproximado de la integral utilizando el mtodo de Romberg. Indique el orden del error para el resultado hallado.

n= 0 1 2 3 4 xn= 0 1/4 1/2 3/4 1 yn= 1 3 3 1.5 0


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8) Dada la siguiente funcin y=t(x) RR, en forma discreta, se busca una aproximacin del rea A=A1-A2, que se deber eliminar por mecanizado para lograr el alabe de la figura, a partir de una chapa plana. Siendo el A1 el rea del polgono X0, X8, P1, P2 de la Figura; y A2 el resultado de integrar la funcin Y=t(x) discreta entre X0 y X8.

a) Determinar el rea =8

0

)(2X

X

dxxtA , utilizando la Regla de Simpson compuesta con el menor paso h posible.

b) Determinar el rea A2, con la misma regla de integracin, pero el doble del paso h, utilizados en el inciso anterior. c) Mejorar el valor obtenido utilizando extrapolacin de Richardson. d) Calcular el rea A

9) 1 Para simular las caractersticas trmicas de los frenos de disco (vase la figura), Secrist y Hornbeck

tuvieron que aproximar numricamente la temperatura exterior promediada del rea, T, en el cojn del freno, basndose para ello en la ecuacin

,drr

drr)r(TT

0

e

0

e

r

r p

r

r p

= donde re representa el radio donde comienza el contacto entre cojn y disco, r0

representa el radio exterior de dicho contacto, p representa el ngulo subtendido por los cojines del freno del sector y T(r) es la temperatura en cada punto del cojn, la cual se obtuvo numricamente al analizar la ecuacin del calor. Si re=0,308 pies, r0=0,478 pies, p=0,7051 radianes y si las temperaturas dadas en la tabla siguiente se calcularon en varios puntos del disco, obtenga una aproximacin de T.

r (pies) T(r) (F) r (pies) T(r) (F) r (pies) T(r) (F) 0,308 640 0,376 1034 0,444 1204 0,325 794 0,393 1064 0,461 1222 0,342 885 0,410 1114 0,478 1239 0,359 943 0,427 1152

1 Este ejercicio est tomado del libro Anlisis Numrico, 7Ed., Burden y Faires, International Thomson Editores, 2002, pg. 205-206.

X Y=t(x) X0= 0 1/1500 X1= 1/8 80/1500 X2= 2/8 120/1500 X3= 3/8 150/1500 X4= 4/8 110/1500 X5=5/8 70/1500 X6=6/8 40/1500 X7=7/8 20/1500 X8=1 10/1500

p

Cojn del freno

r0 re

Freno de disco

X

Y

P2 P1

X8 X0

t(x) 0,7


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10) Se busca determinar la siguiente integral en forma numricaxn

x

xn

x

xdxxInt00

)2cos(21)2sin( == . Con x0=0 y

xn=3/2= 4,712, el valor exacto es 1. Si n es el nmero de intervalos; h= (xn- x0)/n es el paso de

integracin,la regla de Trapecios aproxima la integral mediante

++=

=

=

1

10 22

nk

knk yyy

hInt , siendo

yk=sin(2*Xk). Segn la cantidad de intervalos en que se discretiza la funcin se tiene una aproximacin distinta. Para n=1, es decir un solo intervalo, se tiene

-1,50000

-1,00000

-0,50000

0,00000

0,50000

1,00000

1,50000

0 1 2 3 4 5

seno(2*x)Forma discreta

Para n=2, es decir dos intervalos, se tiene

-1,50000

-1,00000

-0,50000

0,00000

0,50000

1,00000

1,50000

0 1 2 3 4 5


Para n=4, es decir cuatro intervalos, se tiene

-1,50000

-1,00000

-0,50000

0,00000

0,50000

1,00000

1,50000

0 1 2 3 4 5


En la siguiente Tabla se calculan las integrales para las distintas discretizaciones realizadas.

n 16 n 8 n 4 n 2 n 1 h 0,294524311 h 0,58905 h 1,1781 h 2,35619 h 4,7124w w* Sin(2x) w w* Sin(2x) w w* Sin(2x) w w* Sin(2x) w w* Sin(2x)

1 0 1 0 1 0 1 0 1 02 1,111140466 2 1,847759065 2 1,84776 2 1,961570561 2 1,414213562 2 1,41421 2 1,4142 2 0,390180644 2 -0,765366865 2 -0,7654 2 -1,662939225 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -1,662939225 2 -0,765366865 2 -0,7654 2 0,390180644 2 1,414213562 2 1,41421 2 1,4142 2 1,961570561 2 1,847759065 2 1,84776 2 1,111140466 1 2,1439E-15 1 2,1E-15 1 2E-15 1 2,1E-15 1 2E-15

Int 0,970916536 0,88157 0,488 -2,3562 5E-15h 0,294524311 0,58905 1,1781 2,35619 4,7124

Y la extrapolacin de Richardson sucesiva (Mtodo de Romberg) resulta: Orden h^2 h^4 h^6 h^8 Paso h I(h^2) I(h^4) I(h^6) I(h^8) I(h^10) 0,29452 0,97092 0,58905 0,88157 1,00069753 1,1781 0,48798 1,01277013 0,999892687

2,35619 -2,3562 1,43604331 0,98455192 1,000136191 4,71239 5,1E-15 -3,14159265 1,741219036 0,972541331 1,00024441


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11) Considere las integrales

=2

0

21 dx)x(senI e

=

2

02dx)xcos()x(senI .

Los resultados exactos son I1= e I2= 0. Verifique numricamente dichos resultados aplicando la regla de trapecios compuesta y realizando integracin de Romberg. Para ello, elabore una planilla de clculo que permita obtener una solucin aproximada de dichas integrales para las funciones correspondientes. Para elaborar dicha planilla de clculo se sugiere, Utilizar la regla de los trapecios compuesta. Calcular la integral para pasos h/n, 2h/n, 4h/n, 8h/n, siendo n el mayor nmero de intervalos. Utilizar la regla de extrapolacin de Richardson, para mejorar la aproximacin y lograr

aproximaciones de 2 rdenes ms que el obtenido. Utilizar la regla de extrapolacin de Richardson nuevamente con las aproximaciones obtenidas, y

mejorar la aproximacin. Considerar el valor de que corresponda. (Mtodo de Romberg)

12) Un volumen de revolucin puede generarse al girar una curva y=f(x) dada, alrededor del eje x. As es posible calcular el volumen de la forma

siendo x0 y xn los lmites inferior y superior del volumen. La superficie lateral de dicho volumen se puede calcular mediante

Elabore una planilla de clculo que permita obtener una solucin aproximada de dichas integrales para las funciones f(x) listadas ms abajo. Para elaborar dicha planilla de clculo se sugiere aplicar el mtodo de Romberg (ver ejercicio 7).

Volumen Ecuaciones Esfera

para x entre -R y R Elipsoide

para x entre -a y a Hiperpoloide

para x entre -a y a

,dx)]x(f[Vxn

0x

2 =

.dx]dx

))x(f(d1[)x(f2Sxn

0x

2

+=

( )( ) 2/122

2/122)(

=

==

xRxdxdg

xRxgy

( )

( ) 2/122

2/122)(

=

==

xaabx

dxdg

xaabxgy

( )

( ) 2/122

2/122)(

++=

+==

xaabx

dxdg

xaabxgy


Matemtica Superior


Parbola Cuadrtica

para x entre x0 y xn Parbola Cbica f(x) = (x 2)3, para x entre 2.1 y 3.3

Para el caso del volumen de una esfera resulta:

R 1 x0 -1 xn 1 n 16 n 8 n 4 n 2 h 0.125 h 0.25 h 0.5 h 1 x f(x)=(R^2-x^2)^0.5 PI()*f(x)^2 w Vh w Vh w Vh w Vh

-1 0.00000 0.00000 1 0 1 0 1 0 1 0-0.875 0.48412 0.73631 2 1.472621556

-0.75 0.66144 1.37445 2 2.748893572 2 2.74889 -0.625 0.78062 1.91441 2 3.828816047

-0.5 0.86603 2.35619 2 4.71238898 2 4.71239 2 4.7124 -0.375 0.92702 2.69981 2 5.399612373

-0.25 0.96825 2.94524 2 5.890486225 2 5.89049 -0.125 0.99216 3.09251 2 6.185010537

0 1.00000 3.14159 2 6.283185307 2 6.28319 2 6.2832 2 6.283190.125 0.99216 3.09251 2 6.185010537

0.25 0.96825 2.94524 2 5.890486225 2 5.89049 0.375 0.92702 2.69981 2 5.399612373

0.5 0.86603 2.35619 2 4.71238898 2 4.71239 2 4.7124 0.625 0.78062 1.91441 2 3.828816047

0.75 0.66144 1.37445 2 2.748893572 2 2.74889 0.875 0.48412 0.73631 2 1.472621556

1 0.00000 0.00000 1 0 1 0 1 0 1 0 V 4.172427743 4.12334 3.927 3.14159 h 0.125 0.25 0.5 1

Y la extrapolacin de Richardson sucesiva (Mtodo de Romberg) Orden h^2 h^4 h^6 h^8 Paso h v(h^2) V(h^4) V(h^6) V(h^8)

0.125 4.1724 0.25 4.1233 4.18879 0.5 3.927 4.18879 4.18879

1 3.1416 4.18879 4.18879 4.18879 13) Se tiene que construir una hoja corrugada usando una mquina que comprime una hoja plana de

aluminio, logrando que su seccin transversal tenga la forma de una onda de la funcin seno. Se necesita una hoja corrugada de un metro y medio de longitud, en la que cada onda tenga una amplitud de 3 cm (desde la lnea central) y un periodo de 2 cm. a) Escriba una frmula que represente a la funcin senoidal correspondiente a la seccin de la hoja ya

comprimida.

( )

2

222

2

1)(

ax

dxdg

xaa

xgy

+=

+==


Matemtica Superior


b) Recuerde que la longitud de arco del grfico de la funcin f entre x=a y x=b se halla calculando la integral [ ] +

b

a

2 dx)x('f1 . Halle la longitud que debe tener la hoja plana inicialmente, planteando y

resolviendo la integral correspondiente. (Se recomienda tomar varios puntos, implementando la regla en computadora).

14) Utilizando las reglas de cuadratura de Gauss-Legendre, para dos y tres puntos calcular las integrales

indicadas, y comparar los resultados obtenidos con las soluciones analticas. Para realizar este ejercicio debe plantear un mapeo de modo de llevar las integrales al dominio unitario donde se conocen los puntos llamados Puntos de Integracin de Gauss:

Puntos de Gauss Abscisa Coeficiente Orden del Error de Truncamiento 2 33 1 4 3 0.774596669

0.000000000 0.5555556 0.8888889

6

4 0.861136312 0.339981044

0.3478548 0.6521452

8

Volumen Esfera ( )( ) dxxRV RR

222

=

=2/3

0

)2sin(

dxxInt

[ ] =

4

2

)cos(26 dxxInt

=

dxxsenxInt )()2sin(

=

3

)()cos( dxxsenxInt

=

5

3

)()sin( dxxsenxInt

150 cm

3 cm

2 cm


Matemtica Superior


15) Los mtodos vistos de integracin numrica se basan en la siguiente idea: I = In + En.

Adems, se calcula la integral aproximada In segn la frmula

=

=n

0jjjn )(xfI .

Para las reglas de cuadratura de Newton-Cotes, de qu manera se calculan los coeficientes j? Para las reglas de cuadratura de Newton-Cotes, qu puede decir de los valores xj? Para las reglas de cuadratura de Gauss-Legendre, qu puede decir de los valores xj?

Dada la integral +

=1i

i

x

x

dx)x(fI y conociendo en forma discreta la funcin y=f(x) slo en los puntos

(xi, yi) y (xi+1, yi+1), usando polinomios de Lagrange, plantee una interpolacin que pueda integrarse para aproximar el valor de la integral. Qu regla de integracin ha obtenido? Hasta qu grado de polinomio integra en forma exacta esta regla?.

Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Mendoza

Matemtica Superior-ISI

Trabajo Prctico Derivacin Numrica Ao 2013 Pgina 1 de 6

Trabajos Prcticos Derivacin Numrica Bibliografa recomendada: Notas de la Ctedra: Derivacin Numrica Mtodos Numricos para Ingenieros, S. Chapra, R. Canale, Mc Graw Hill, 1999. Anlisis Numrico., R. Burden, J. Faires, International Thomson Editores, 1998. Objetivos del Trabajo Prctico: Obtener derivadas de una funcin discreta Emplear derivada numrica para resolver ecuaciones diferenciales. Estudiar la teora del la Unidad temtica. 1) Dada la funcin f : R R en forma discreta, se busca determinar algunas derivadas en puntos xi. Sea la

funcin:

x 0.8 0.9 1 1.1 1.2 f(x) 2.5537129 2.78927897 3 3.19062036 3.36464311

a) calcule una aproximacin de la derivada primera de la f(x) en x=0.8. Elija una frmula de derivacin segn los datos que tiene. Use un paso h1 tal que pueda tener datos para un paso h2 = h1 /2.

b) Calcule una aproximacin de la derivada primera de la f(x) en x=0.8, con la misma frmula de derivacin utilizada en el inciso anterior. Use un paso h2 = h1 /2, siendo h1 el paso del inciso anterior.

c) Demuestre cul es el orden del error de truncamiento local de la frmula de derivacin utilizada en los incisos anteriores.

d) Realice extrapolacin de Richardson a partir de los resultados de los incisos anteriores. Debe justificar la frmula de Richardson y el que en ella utiliza.

e) Repita los incisos a), b), c) y d) pero para el punto x=1.2. f) Calcule la derivada segunda de la funcin en x=0.9; 1 y 1.1. Elija una frmula de derivacin, y

exprese cul es el paso h utilizado.

g) Demuestre la obtencin de la frmula de derivacin utilizada en el inciso anterior y su error de truncamiento local.

h) Para los datos que tiene, puede realizar extrapolacin de Richardson cuando calcula la derivada segunda en el punto x=0.9? Y en el punto x=1? Justifique.

i) Calcule las derivadas tercera y cuarta de la funcin en el punto x=1. j) Demuestre cul es el error de truncamiento local de las frmulas centrales de derivadas tercera y

cuarta. Extrapolacin de Richardson consiste en tener dos aproximaciones para pasos h1 y h2; con un error de aproximacin del orden de hn, y lograr una mejor aproximacin con error del orden hn+2 .

1)()()(

)()();(

122

2

1

21

=

=

+

hIhIhI

hh

hOdeordentienehIhI

n

n

n




2) Dada la funcin f : R R en forma discreta, se busca determinar algunas derivadas en puntos xi. Sea la funcin:

x 0.1 0.35 0.6 0.85 1.1 f(x) -1.60517019 0.90035575 1.97834875 2.67496214 3.19062036

a) calcule una aproximacin de la derivada primera de la f(x) en x=0.1. Elija una frmula de derivacin segn los datos que tiene. Use un paso h1 tal que pueda tener datos para un paso h2 = h1 /2.

b) Calcule una aproximacin de la derivada primera de la f(x) en x=0.1, con la misma frmula de derivacin utilizada en el inciso anterior. Use un paso h2 = h1 /2, siendo h1 el paso del inciso anterior.

c) Demuestre cul es el orden del error de truncamiento local de la frmula de derivacin utilizada en los incisos anteriores.

d) Realice extrapolacin de Richardson a partir de los resultados de los incisos anteriores. Debe justificar la frmula de Richardson y el que en ella utiliza.

e) Repita los incisos a), b), c) y d) pero para el punto x=1.1. f) Calcule la derivada segunda de la funcin en x=0.35; 0.6 y 0.85. elija una frmula de derivacin, y

exprese cul es el paso h utilizado.

g) Demuestre la obtencin de la frmula de derivacin utilizada en el inciso anterior y su error de truncamiento local.

h) Para los datos que tiene, puede realizar extrapolacin de Richardson cuando calcula la derivada segunda en el punto x=0.35? Y en el punto x=0.6? Justifique.

i) Calcule las derivadas terceras y cuarta de la funcin en el punto x=0.6 utilizando frmulas centrales.

3) Considere las siguientes funciones dadas analticamente f1(x)= sen(x) y f2(x)= x6-x5+x4-x3+x2-x+6.

a) Elija una discretizacin del dominio [x0;xn], es decir una serie de (n+1) puntos entre x0 y xn. Es conveniente que exista un punto en el centro del intervalo, esto es que el nmero de intervalos sea par.

b) Calcule las derivadas primeras en los extremos x0 y xn. Indique con qu paso fueron calculadas. c) Calcule las derivadas primera, segunda, tercera y cuarta en el punto central del intervalo entre x0 y xn. d) Elija otra discretizacin de modo que pueda evaluar las derivadas con otro paso y aplicar

extrapolacin de Richardson. e) Compare sus resultados con los valores exactos.

4) Dada la siguiente ecuacin diferencial ordinaria con valores en la frontera o condiciones de borde,

{ }

,5)1(u

,0)0(u

;1x0:Rxxsi,03dx

)x(ud10 22

=

=

==+

usando una aproximacin central de la derivada segunda, halle u(x) en forma discreta para la siguiente discretizacin propuesta:

x 0 0.25 0.5 0.75 1 u(x) u0 u1 u2 u3 u4




Para ello realice las siguientes actividades: a) Escriba la aproximacin de la derivada segunda de u respecto de x para un punto genrico xi ,

llamando u(xi)=ui , u(xi+h)=ui+1; u(xi-h)=ui-1. b) Escriba la ecuacin diferencial para un punto xi utilizando la aproximacin de la derivada segunda

del inciso anterior. c) Para la discretizacin planteada en el enunciado, cul es el valor del paso h? d) Particularice la ecuacin diferencial elaborada en el inciso b), para los puntos interiores al dominio,

es decir x=0.25; x=0.5 y x=0.75. Para ello observe que, con la notacin elegida, por ejemplo, para i=1, es xi= x1=0.25, ui =u1= u(0.25), ui-1 =u0= u(0), ui+1 =u2= u(0.5).

e) Reconozca que en el inciso anterior consigui un sistema de ecuaciones lineales. Cuntas ecuaciones y cuntas incgnitas tiene dicho sistema de ecuaciones lineales?

f) En el sistema de ecuaciones lineales introduzca las dos condiciones de borde conocidas. g) Resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando por ejemplo el mtodo de Gauss Seidel. h) Note que se podra haber hecho lo mismo pero con un paso h mayor, es decir que es posible

aumentar el paso h utilizado y utilizando la misma aproximacin para la derivada numrica encontrar una solucin aproximada. Cul es el mximo valor de h que puede utilizarse?

i) Es posible disminuir a la mitad el paso h utilizado, y utilizando la misma aproximacin para la derivada numrica encontrar una solucin aproximada. Cul es el orden del sistema de ecuaciones lineales al que se llega? Exprese la matriz de coeficientes y el trmino independiente. Resuelva.

j) Compare las soluciones aproximadas de los incisos i) y g) con la solucin exacta del problema.


{ }

,0)1(,0)0(

;10:,0)()(22

==

==+

uu

xRxxsixxudx

xud

usando una aproximacin central de la derivada segunda, obtenga una solucin discreta de u(x) considerando (adems de los puntos del contorno), un, tres y siete puntos interiores. Compare con la solucin exacta u(x)=x-sinh(x)/sinh(1).

6) Llamemos x a cada punto material de una cuerda. Supongamos que la cuerda est fija en sus extremos x=0 y x=L y que est sometida a una fuerza T en sus extremos; adems, supongamos que cada partcula soporta una carga p(x). Entonces la posicin de cada punto material se desva de la lnea recta una cantidad u(x), que se puede determinar resolviendo la siguiente ecuacin diferencial.

{ }

.0)L(u)0(ucon

,Lx0:Rxxsi,0)x(pxd

)x(udT 22

==

==+

Plantee una solucin usando derivacin numrica y al menos cinco puntos interiores en el dominio . Encuentre el sistema de ecuaciones lineales que debe resolverse. Realice una planilla de clculo y resuelva para L=10; T=500; p(x)=100.

7) La ecuacin diferencial en coordenadas polares que determina la posicin de una membrana circular (como el parche de un tambor) de radio interno ra y radio externo rb, sometida a una traccin uniforme T y capaz de sostener una accin distribuida p(r), est dada por




{ }

.0)rb(u)ra(ucon

,rbrra:Rrrsi,0)r(pdrdu

rT

dr)r(udT 2

2

==

==++

Plantee una solucin usando derivacin numrica y al menos cinco puntos interiores en el dominio . Encuentre el sistema de ecuaciones lineales que debe resolverse. Como datos se puede considerar: ra=1; rb=10; T= 500; p(r)= 100. Compare con el ejercicio anterior.

8) Un elemento unidimensional que se encuentra en un dominio { }Lx0:Rx = tiene una conductividad trmica k(x)=0,5, un permetro P, una seccin transversal A y sus extremos sometidos a temperaturas T(0)=T0 y T(L)=TL. La distribucin de temperatura relativa a la temperatura del medio T(x) a lo largo del elemento se puede determinar mediante la solucin de la siguiente ecuacin diferencial:

{ }

.T)L(TyTo)0(T

,Lx0:Rxen),x(S)x(TA

Phcdx

)x(dT)x(kdxd

L==

==

+

Aqu hc es el coeficiente de conveccin; T=Te-T, con Te, temperatura del elemento y T la temperatura del medio y S(x) es un trmino fuente de calor. Plantee una solucin usando derivacin numrica y al menos cinco puntos interiores en el dominio . Encuentre el sistema de ecuaciones lineales que debe resolverse. Unidades: k (W/mK); hc (W/m2K); P (m); A(m2); S(W/ m3); T(K).

9) Un elemento unidimensional que se encuentra en un dominio { }Lx0:Rx = tiene una conductividad trmica k(x)=0,5, un permetro P, una seccin transversal A y sus extremos sometidos a temperaturas T(0)=T0 y T(L)=TL. La distribucin de temperatura relativa a la temperatura del medio T(x) a lo largo del elemento se puede determinar mediante la solucin de la siguiente ecuacin diferencial:

{ }

.0)L(dxdTyT)0(T

,Lx0:Rxen),x(S)x(TA

Phcdx

)x(dT)x(kdxd

0 ==

==

+

Aqu hc es el coeficiente de conveccin; T=Te-T, con Te, temperatura del elemento y T la temperatura del medio y S(x) un trmino fuente de calor. Plantee una solucin usando derivacin numrica y al menos cinco puntos interiores en el dominio . Encuentre el sistema de ecuaciones lineales que debe resolverse. Compare con el ejercicio anterior. Note que este ejercicio es como el anterior pero con diferente con condicin de frontera en x=L (borde adiabtico).


{ }

.0)1(,0)0(

,10:0)()(10 22

==

==+

uu

xRxxsixudx

xud




Usando una aproximacin central de la derivada segunda, halle u(x) en forma discreta para la siguiente discretizacin propuesta

X 0 0.25 0.5 0.75 1 u(x) u0 u1 u2 u3 u4

Para ello repita las actividades del ejercicio 4 hasta el inciso f). Pero no resuelva el sistema. Describa qu tipo de sistema de ecuaciones se obtiene en este caso.


{ }

MgLdxduEA

u

LxRxxsiAgdx

xudEA

=

=

==

)(

0)0(

0:)(22

con { }LxRx = 0: , EA=210000, L=5000, Mg=200, y de Ag dada por la siguiente funcin discreta: Usando una aproximacin central de las derivadas, halle u(x) en forma discreta.


=

enxp

dxudk 0)(4

4

con { }LxRx = 0: , k=9,45E+5, L=420, y de p(x) dada por la siguiente funcin discreta: Las condiciones de borde son: En SD={x=0} se debe cumplir que

00)0(0

===xdx

duyu

En SN={x=L} se debe cumplir que

1000)( 33

==Lxdx

udk y 250022

+==Lxdx

udk

Usando una aproximacin central de las derivadas, halle u(x) en forma discreta.

13) Obtener la deriva primera central y su error de truncamiento.

X 0*L 0.25*L 0.5*L 0.75*L 1*L Ag 45 50 65 80 95

X 0*L 0.25*L 0.5*L 0.75*L 1*L p(x) 100 110 120 130 140




14) Obtener la deriva segunda central y su error de truncamiento.

15) Dados los puntos (x0, y0); (x1, y1); (x2, y2),: Obtener el polinomio interpolante de Newton. Derivar una vez el polinomio interpolante de Newton y evaluar esa derivada en x1 y en x2.

Comparar ambos resultados con frmulas de derivadas primeras numricas obtenidas mediante combinaciones de Series de Taylor

Derivar dos veces el polinomio interpolante de Newton y evaluar esa derivada en x1 y comparar con frmulas de derivadas segundas numricas obtenidas mediante combinaciones de Series de Taylor.

16) Obtener el error de truncamiento de las siguientes derivadas numricas:

[ ]

[ ]

++=

++=

+++=

++=

++

++

++

++

2112

21122

21123

21124

121

320

32

1211)

121

34

25

34

1211)

20221)

4641)

ssssss

ssssss

ssssss

sssss

v

s

fffffh

fd

fffffh

fc

fffffh

fb

fffffh

fa

17) Demostrar siguiendo el procedimiento anterior que la derivada primera hacia adelante al considerar tres puntos, resulta:

[ ] [ ] [ ]{ }21' )2/(1/2)2/(3 ++ ++= ssss fhfhfhf Y su error de truncamiento es:

+= sfhEr3

2

18) Demostrar siguiendo el procedimiento anterior que la derivada primera hacia atrs al considerar tres puntos, resulta:

[ ] [ ] [ ]{ }21' )2/(1/2)2/(3 ++= ssss fhfhfhf Y su error de truncamiento es:

= sfhEr3

2



Trabajo Prctico EDO Ao 2013 Pgina 1 de 10

Trabajos Prcticos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Bibliografa recomendada para desarrollar esta gua de estudio: Notas de la Ctedra. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mtodos Numricos para Ingenieros, S. Chapra, R. Canale, Mc Graw Hill, 1999. Anlisis Numrico., R. Burden, J. Faires, International Thomson Editores, 1998. Objetivos del Trabajo Prctico: Obtener soluciones aproximadas discreta de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Resolver numricamente sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Reducir ecuaciones de segundo orden a sistemas de primer orden, y resolverlos Resolver sistemas de ecuaciones de segundo orden, como reduccin a sistemas de primer orden. Resolver sistemas de ecuaciones de segundo orden mediante derivacin numrica. Estudiar la teora del la Unidad temtica.

Planteo del problema de Valores Iniciales El problema de ecuaciones diferenciales ordinarias de valores iniciales consiste en encontrar la funcin

RRxyy = :)( que satisface el siguiente sistema diferencial, para todo valor de x mayor o igual a x0,

00 )(

),(

yxy

yxfdxdy

=

= o bien

00

,

)(),(

yxyyxfy

==

donde:

,y

dxdy

=

f(x,y) es una funcin analtica conocida, [x0; y0] es un punto solucin conocido (valor inicial conocido).

Se trata de encontrar la funcin solucin y(x) en forma aproximada. Es decir, hallar y=y(x) en forma DISCRETA, utilizando distintos mtodos numricos.

Ejercicio 1 El mtodo de Euler hacia adelante halla una solucin aproximada mediante

,0,),(

,

1

1

+=+=

+=

+

+

nfhyyxfhyy

hxx

nnnnnn

nn

siendo n=0 el valor inicial conocido. El nmero n es un entero positivo. a) Interprete grficamente el mtodo de Euler hacia adelante. b) Demuestre que el error de truncamiento local es del orden de h2, usando serie de Taylor. c) Demuestre que el error de truncamiento local es del orden de h2, usando derivacin

numrica.




Ejercicio 2 Dada la ecuacin diferencial

,)(

,0

00 yxy

AyAdxdy

=

=+ R,

a) identifique la funcin f(x,y). b) Para A=1 y [x0;y0]=[0; 10], utilizando el mtodo de Euler hacia adelante, encuentre el valor

solucin en x= 0.6 con un paso h= 0.1. c) Repita el inciso anterior para pasos h=0.3; h =0.6. d) Compare las soluciones aproximadas con el valor exacto que est dado por y=10.e(-x). e) Elabore una planilla de clculo (en Excel por ejemplo) que resuelva el ejercicio para valores

de A, [x0; y0] y h que se ingresarn como datos y que, adems, compare con la solucin exacta que es y(x)=y0*e-A(x-x0).

f) Analice el comportamiento de la solucin aproximada para valores de h mayores y menores a 2/A.

g) Comprobar que el mtodo de Euler hacia delante para esta EDO calcula la solucin aproximada en hxx mm +=+1 , de las siguientes formas equivalentes:

mm yAhy =+ )1(1

01

1 )1( yAhym

m =+

+

h) Demuestre que el paso h debe ser tal que |1-h*A|




Ejercicio 5. Los mtodos de de Runge Kutta de segundo orden se pueden plantear genricamente mediante

211

12

1

1

)1(

)2

;2

(*

*);(*

kwkwyyw

ky

whxfhk

fhyxfhkhxx

nn

nn

nnn

nn

++=

+

+=

==+=

+

+

siendo w un coeficiente en el intervalo (0, 1], a eleccin del usuario.

a) Demuestre que los mtodos de Runge Kutta de segundo orden tienen error de truncamiento local del orden de h3. (Consultar los apuntes de la ctedra: Generalizacin de los Mtodos de Runge Kutta de segundo orden).

b) Obtenga los mtodos de Euler Modificado y Mejorado como casos particulares del mtodo de Runge Kutta de segundo orden.

c) Elabore una planilla de clculo (en Excel por ejemplo) donde se utilice esta forma genrica de los mtodos de Runge Kutta de segundo orden. Para ello puede organizar las distintas celdas siguiendo la siguiente Tabla:

h= w= y0=

x y k1=

h*f(x,y) Ax=

x+h/(2*w) By=

Y+k1/(2*w) k2=

h*f(ax,by) Ym+1=

ym+(1-w)*k1+k2*w X0 Y0

X+h Comprobar que para la siguiente ecuacin diferencial

2)0(

1)(2

=

=

y

xydxdy

la Tabla puede tener la siguiente programacin: h= w= Debe ser distinto de cero

x y k1=

h*f(x,y) Ax=

x+h/(2*w) By=

Y+k1/(2*w) k2=

h*f(ax,by) Ym+1=

ym+(1-w)*k1+k2*w

X0 Y0 h*(2(Y0-X0)-1) X0+h/(2* w) Y0+k1/(2* w)h*(2(By-Ay)-1) Y1=

Y0+(1-w)*k1+k2*w

X0+h Y1 h*(2(Y1-X1)-1) X1+h/(2* w) Y1+k1/(2* w)h*(2(By-Ay)-1) Y2=

Y1+(1-w)*k1+k2*w X1+h Y2




Ejercicio 6. El siguiente sistema de ecuaciones lineales de primer orden, con coeficientes a,b,c y d conocidos,

)()(

)()(

212

211

tydtycdt

dy

tybtyadtdy

+=

+=

, con las condiciones iniciales: 202

101

)0()0(

yyyy

==

Se puede escribir en forma matricial de la forma:

=

)()(

2

1

2

1

tyty

dcba

dtdydtdy

, con las condiciones iniciales:

=

20

10

2

1

)()(

yy

tyty

O bien,

)(tdtd yAy = , con las condiciones iniciales:

=20

10)0(yy

y Con

=

=dcba

ytyty

t Ay)()(

)(2

1

Para los siguientes valores: a=-10; b=4; c=-4; d=0; y10=5; y20=3

la solucin exacta del problema es:

tt eet *8*22/1

13

1421

31)(

+

=y

a) Con un esquema de derivada numrica hacia adelante comprobar que la frmula explicita

para Mtodo de Euler est dado por:

+

+=+=

==

+

+

dtctbtat

t

tt

E

mEm

mEm

11

)(

)()(

1

1

AIG

yGyyGy

Con ttt mm +=+1 b) Buscar la solucin aproximada proponiendo distintos valores de t y considerar para cada

caso el radio espectral (mayor autovalor en valor absoluto) de la Matriz GE.




c) Comprobar que para resolver con un mtodo de Runge Kutta de segundo orden se puede operar de la siguiente forma:

Dados los valores iniciales [ )( mm tt y ] Se calcula k1 )(1 mtt yAk =

Se calcula el estado auxiliar con w distinto de cero )2/()()()2/(

1 wttwttt

mG

mG

kyy +=+=

Se calcula k1 )(2 Gtt yAk =

Se calcula la nueva solucin 21

1

)1()()( kkyy ++=+=+

wwttttt

mG

mm

Se debe notar que tanto )( mty , 1k como 2k son vectores de dos componentes en este caso. Y que tanto w, tm como t son escalares.

Ejercicio 7. Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales de primer orden, encuentre las soluciones aproximadas a partir de la solucin inicial, para los distintos mtodos y pasos h indicados.

12

21

100

1

ydt

dy

ydtdy

=

=

, con las condiciones iniciales: 3)0(5)0(

2

1

==

yy

a) Comprobar que con h=0,01 y el Mtodo de Euler la soluciones encontradas son: t x1 x2 0 5 3

1,00E-02 5,03E+00 -2,00E+002,00E-02 5,01E+00 -7,03E+003,00E-02 4,94E+00 -1,20E+014,00E-02 4,82E+00 -1,70E+015,00E-02 4,65E+00 -2,18E+016,00E-02 4,43E+00 -2,64E+01

b) Comprobar que con h=0,01 y el Mtodo de Euler Mejorado (w=0,5) las soluciones encontradas son:

t x1 x2 0 5 3

1,00E-02 5,01E+00 -2,02E+002,00E-02 4,96E+00 -7,01E+003,00E-02 4,86E+00 -1,19E+014,00E-02 4,72E+00 -1,67E+015,00E-02 4,53E+00 -2,14E+016,00E-02 4,29E+00 -2,58E+01




c) Con una planilla de clculo comprobar que las denominadas Trayectorias (curvas y1(t) e y2(t); y la respuesta en el espacio de estado (curva y2 como funcin de y1) son las siguientes:

Con el Mtodo de Euler y h=0,01

Trayectorias

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

t

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400x1

x2

Diagrama Fase

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

x1

x2 Con el Mtodo de Euler Modificado y h=0,01

Trayectorias

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5

t

-60

-40

-20

0

20

40

60x1

x2

Diagrama Fase

-60

-40

-20

0

20

40

60

-6 -4 -2 0 2 4 6

x1

x2

Ejercicio 8. Considrese la ecuacin diferencial de segundo orden del pndulo simple,

00

00

2

2

)(

0

ttendtd

tLg

dtd

==

=

=+

donde (t) es la posicin angular medida respecto de la vertical; 0 la posicin inicial y 0 la




velocidad inicial. Verifique que es posible transformar dicha ecuacin de segundo orden en el siguiente sistema de primer orden dado por

00

00

)()(

)(

)(

==

=

=

tt

tLg

dtd

tdtd

debiendo resolver en forma simultnea las variables de posicin angular (t) y velocidad (t) . Si se define un vector de variables

,)()(

)(

=tt

ty

a) encuentre el vector f (t, y) que resulta de escribir el sistema de primer orden anterior, al considerar la definicin del vector y(t).

b) Resuelva con el mtodo de Euler hacia adelante. Considere las dos ecuaciones simultneas, o bien una ecuacin vectorial. Tome como datos (0)=/4; (0)=0; L= 10; g=9.81 y h=0.1 y resuelva hasta t=3.2. Verifique si el valor de (3.1) es prximo a -/4.

c) Resuelva con el mtodo de Euler Modificado. Considere las dos ecuaciones simultneas, o bien una ecuacin vectorial. Tome como datos (0)=/4; (0)=0; L= 10; g=9.81 y h=0.1 y resuelva hasta t=3.2. Verifique si el valor de (3.1) es prximo a -/4.

d) Asociar los resultados anteriores con el perodo seggL 34,6810,9/102/2 == .

Ejercicio 9. La posicin u(t) de una masa m unida a un resorte de constante elstica k, donde acta una carga sin(*t), siendo la frecuencia de excitacin, viene dada por la ecuacin diferencial de segundo orden:

00

00

2

2

)(

)(

ttenvdtdu

utu

tsenukdt

udm

==

=

=+

siendo u0 la posicin inicial y v0 la velocidad inicial. a) Transforme esta ecuacin de segundo orden en un sistema de primer orden, identificando

el vector y(t) y la f(t,y). b) Elabore una planilla de clculo que permita resolver este sistema mediante un mtodo de

Runge Kutta de segundo orden.




Ejercicio 10. El esquema de solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias llamado Mtodo de Heun, consiste en un esquema de tipo predictor corrector. En la fase predictora se obtiene una aproximacin inicial con el mtodo de Euler hacia adelante. La fase correctora consiste en aplicar en forma iterativa el llamado mtodo implcito de Trapecios para encontrar una sucesin de soluciones aproximadas hasta tanto stas sean tan prximas como se desee.

a) Demuestre que el mtodo de trapecios tiene un error de truncamiento local del orden de h3. Utilice un esquema de integracin numrica, para integrar entre xn y xn+1 la ecuacin

),( yxfdxdy

= .

b) Explique por qu se trata de un mtodo implcito. c) Explique si es un mtodo multipaso o de un solo paso. d) Aplique el mtodo para resolver la siguiente ecuacin diferencial:

2)0(

2

=

=

y

yxdxdy

Resuelva usando un paso h=0,25, para encontrar la solucin en x=0,25; x=0,5; y x=0,75. Aplique 3(tres) iteraciones de la fase correctora en cada caso.

Ejercicio 11. El mtodo del Punto Medio permite calcular la aproximacin de la solucin de una ecuacin diferencial de primer orden mediante

mmmmmm fhyyxfhyy +=+= + 2);(2 111 . a) Interprete grficamente este mtodo. b) Utilizando un esquema de derivacin numrica central, demuestre que el error de

truncamiento local es del orden de h3. c) Explique si se trata de un mtodo implcito o explcito; si es de un paso o multipaso. d) Aplique el mtodo del punto medio para resolver la ecuacin diferencial:

y = x2 y y (0) = 0,5.

Ejercicio 12. Demuestre que la siguiente aproximacin para obtener la solucin de una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden

)4(3 1111 ++

+++= mmmmm fffhyy

tiene error de truncamiento local del orden de h5. Utilice el esquema de integracin numrica de

Simpson para integrar )(xfdxdy

= entre xm-1 y xm+1.

Indique si es un mtodo implcito o explcito. Indique si sera posible incluirlo como fase correctora en un esquema predictor corrector.




Ejercicio 13. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden con valores iniciales, planteado como una ecuacin diferencial vectorial,

),()()()( tttt RuKuCuM =++ &&& con valores iniciales conocidos

),0(),0( uu &

donde la )0(u&& se obtiene de satisfacer la ecuacin diferencial vectorial que se busca resolver; puede resolverse en forma aproximada de la siguiente manera:

Se aproximan la )(tu&& y la )(tu& con derivadas numricas centrales y se reemplazan en el sistema original.

( ) ( ) )()()()(21)()(2)(12 tththth

htthth

RKuuuCuuuM =++++++

Agrupando los trminos semejantes, es posible aproximar )( ht +u , para cualquier t t0 planteado en la discretizacin, resolviendo el sistema

)(211)(2)()(

211

222 hthht

htht

hh

=+

+ uCMuMKRuCM

Para el valor inicial de t (t=t0), primero se halla una aproximacin de )( 0 ht u mediante Serie de Taylor:

+= )(

21)()()( 0

2000 thththt uuuu &&& .

Halle mediante la implementacin de este mtodo en una planilla de clculo los valores aproximados de la funcin u(t), con t variando entre 0 y 1, para

++

++=

=

=

=

t

tt

tt

ettee

teet

sen3cos48

cos85)(,

101024140

,300010004

,200010001

2

2

RKCM , y

=

=

041

)0(,121

)0( uu & .

Se puede demostrar que la solucin exacta es

=)cos(

2)( 2

tee

t tt

u




Ejercicio 14. El movimiento u(x,t) de una cuerda perfectamente flexible, de longitud L, y sometida a una traccin T y una accin p(x,t) por unidad de longitud, es la solucin de la siguiente ecuacin diferencial:

{ }

00)0,()0,(

0),(),0(

0:),()()()(),( 22

2

2

==

=

==

=

=+

tenxtuxucon

ttLutucon

LxRxxsit

txuxtgxpx

txuT

Usando un esquema de derivacin numrica en la variable x, demostrar que es posible obtener el siguiente sistema discreto aproximado

)()()( tptuKtuM =+ &&

Siendo u(t)T={ u1(t), u2(t), u3(t), u4(t), u5(t)}

=

)(00000)(00000)(00000)(00000)(

5

4

3

2

1

xx

xx

x

M

=

2100012100

012100012100012

)/( 2hTK )(

)()()()()(

)(

5

4

3

2

1

tg

xpxpxpxpxp

tp

=

Plantear un esquema de diferencia central en el tiempo para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Implementar una planilla de clculo para resolver este ejercicio.

Ejercicio 15. Dada la siguiente EDO de segundo orden y sus condiciones iniciales

212

22

1221

2

3932

5)(416

tdt

(t)d

tdt

(t)d

=+

=++

con

=

=

2,01,0

4/8/

0

2

1

02

1

t

tdt

ddt

d

y

se puede encontrar un sistema de primer orden equivalente de la forma )y(t,fy / = con

00 y)(ty = siendo y un vector de incgnitas y f un vector de funciones dato que dan la derivada primera. Expresar:

a) el vector y , b) el 00 y)(ty =

c) el vector f . d) Resolver usando el mtodo de Euler Mejorado, implementando una planilla de clculo.

Ejercicio 16. Dada la EDO del ejercicio anterior y sus condiciones iniciales, resolver usando el mtodo de diferencia central.

German C. Morales_2Resaltado

German C. Morales_2Texto escrito a mquinaHasta aca el 1er parcial

German C. Morales_2Resaltado



Trabajo Prctico: Valores Propios Ao 2013 Pgina 1 de 4

Trabajos Prcticos Valores y Vectores Propios Bibliografa recomendada: Notas de la Ctedra: Valores y Vectores Propios; Trabajo Prctico de Derivacin Numrica. Mtodos Numricos para Ingenieros, S. Chapra, R. Canale, Mc Graw Hill, 1999. Anlisis Numrico., R. Burden, J. Faires, International Thomson Editores, 1998. Objetivos del Trabajo Prctico: Obtener valores propios (los mayores y los menores) Emplear derivada numrica y el mtodo de la Potencia para resolver ecuaciones diferenciales. Asociar autovalores con mtodos iterativos Estudiar la teora del la Unidad temtica.

Para realizar este trabajo prctico es conveniente realizar una planilla de Clculo electrnica. Es posible realizar algunos ejercicios sin la planilla, y luego la elaboracin de la misma es recomendable.

1) Dada la matriz A R2x2, se busca determinar sus autovectores y sus autovalores.

A

=

2113

a) Calcule los valores y vectores propios de A por el Mtodo Directo. (Opcional, slo a los efectos de comparar

resultados). b) Encuentre el valor propio dominante y su correspondiente vector propio empleando el Mtodo de las Potencias. Utilice el

algoritmo sin escalamiento y considere 1,0= como factor de tolerancia. c) Encuentre el valor propio dominante y su correspondiente vector propio empleando el Mtodo de las Potencias. Utilice el

algoritmo con escalamiento y considere 1,0= como factor de tolerancia. d) Encuentre el mnimo valor propio y su correspondiente vector propio, empleando el Mtodo de las Potencias Inversas.

Utilice el algoritmo con escalamiento y considere 1,0= como factor de tolerancia. e) Represente en forma grfica la curva de convergencia.


A

=

211200

a) Calcule los valores y vectores propios de A por el Mtodo Directo. b) Encuentre el valor propio dominante y su correspondiente vector propio empleando el Mtodo de las Potencias. Utilice el

algoritmo sin escalamiento y considere 1,0= como factor de tolerancia. c) Encuentre el valor propio dominante y su correspondiente vector propio empleando el Mtodo de las Potencias. Utilice el

algoritmo con escalamiento y considere 1,0= como factor de tolerancia d) Describa la ventaja de utilizar el algoritmo con escalamiento.


A

=

2124


algoritmo con escalamiento y considere 001,0= como factor de tolerancia.




c) Encuentre el mnimo valor propio y su correspondiente vector propio, empleando el Mtodo de las Potencias Inversas. Considere 001,0= como factor de tolerancia y trabaje con 5 dgitos significativos.

d) Proponga un algoritmo alternativo para resolver el inciso c que evite el clculo de la matriz inversa.

4) Suponga que la matriz A R3x3, tiene 3 autovalores distintos (1>2>3) asociados a 3 autovectores linealmente independientes, v1, v2 y v3, que usted no conoce. Explique qu sucedera si eligiera (sin saberlo) el vector v1 como vector de arranque para aplicar el mtodo de las potencias. Y si eligiera (sin saberlo) el autovector v2?

5) Demostrar que el algoritmo del Mtodo de la Potencia converge siempre al valor propio dominante. Realizar la demostracin con y sin escalamiento.


A

=

2114


algoritmo con escalamiento y considere 001,0= como factor de tolerancia.


A

=

321231

114

Con Ayuda de una planilla de clculo:

a) Encuentre el valor propio dominante y el vector propio asociado aplicando el Mtodo de las Potencias. b) Encuentre el mnimo valor propio y el vector propio asociado aplicando el Mtodo de la Potencia Inversa. c) Encuentre un par de vectores de arranque del Mtodo de las potencias tales que la convergencia presente oscilaciones en

un caso y no presente oscilaciones en el otro. Grafique las curvas de convergencia correspondientes.

8) Con auxilio de la planilla de clculo verifique las siguientes propiedades. a) Si es autovalor de A, entonces n es autovalor de An, siendo n un entero positivo. b) Si es autovalor de A, entonces es autovalor de A, siendo un nmero real.

9) Cuando en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarios de la forma )()( tyAty =& , se aplica el Mtodo de Euler

explcito se obtiene una forma algortmica dada por:

=

+

+=+=

=+

dcba

dtctbtat

tE

mEm

A

AIG

yGy

11

)(

1

Usando una planilla de calculo, proponer valores de t que hagan que el radio espectral (mayor de los autovalores tomados en valor absoluto) de la matriz GE sea menor que uno. Considerar los coeficientes de la Matriz A como: a=-10; b=4; c=-4; d=0.




10) En el prctico de derivacin numrica se resolvi el siguiente ejercicio que conduce a un sistema de valores propios. Resolver este sistema utilizando el mtodo de la potencia y el de la potencia inversa. Considere la siguiente ecuacin diferencial ordinaria con valores en la frontera o condiciones de borde,

{ }

.0)1(,0)0(

,10:0)()(10 22

==

==+

uu

xRxxsixudx

xud

Usando una aproximacin central de la derivada segunda, hallar u(x) en forma discreta para la siguiente discretizacin propuesta

X 0 0.25 0.5 0.75 1 u(x) u0 u1 u2 u3 u4

11) En ciertas aplicaciones aparecen varias ecuaciones diferenciales, que conforman un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema a veces puede escribirse en forma matricial como (K2M) x = 0 que, como se puede ver, es un problema de valores propios. Para el siguiente ejemplo, se pide hallar el mayor y el menor autovalor 2 y los autovectores x asociados.

=

000

600040001

210141

012

3

2

12

xxx

12) La posicin u(x,t) de una cuerda que est fija a los puntos x=0 y x=L y que est sometida a una fuerza T en sus extremos, se puede determinar resolviendo la siguiente ecuacin diferencial a derivadas parciales

{ }

ttLutucon

LxRxxsit

txuxx

txuT

==

=

=

0),(),0(

0:),()(),( 22

2

2

Demostrar que con la solucin Iwtexvtxu = )(),( siendo I la unidad imaginaria, y w una constante a determinar, la ecuacin a resolver resulta:

{ }

0)()0(

0:0)()( 222

==

==+

Lvvcon

LxRxxsixvdx

xvdT

Plantear una solucin usando derivacin numrica y al menos cinco puntos interiores en el dominio W. Encontrar el sistema de ecuaciones lineales que debe resolverse. Realizar una planilla de clculo y resolver para L=12; T=500; (x)=10.

13) Repetir para la siguiente funcin (x): X 0 2,0 4,0 6,0 8,0 10 12

(x) 10 20 40 80 40 20 10Comparar con el ejercicio anterior.

14) Realizar una planilla de clculo para resolver el ejercicio 13) y realizar una serie de soluciones que muestren como vara la frecuencia natural del sistema mientras (6,0) vara desde el 10% al 200% de su valor, en pasos de 20%. Graficar.




15) Para la siguiente ecuacin diferencial,

{ }

2

2

2

2

2

2

),()(

0)0(

0:0),(),(

ttLuML

xuEA

u

LxRxxsit

txuAx

txuEA

=

=

==

+

Con EA=210000; L=50000; rA=7,85 y M=200, y condiciones iniciales en el tiempo propias de un problema de oscilacin libre se busca una solucin discreta usando la siguiente discretizacin

X 0*L 0,25*L 0,5*L 0,75*L L

u(x,t) u0(t) u1(t) u2(t) u3(t) u4(t) Planteando la ecuacin diferencial aproximada en los puntos de la discretizacin adoptada, con derivadas numricas en la variable x, y manteniendo la dependencia con la variable tiempo, se obtendr un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias homogneas con incgnitas dependientes del tiempo. Este sistema admite una solucin de tipo armnica Iwtexvtxu = )(),( y se obtiene un problema de valores propios.

16) La ecuacin diferencial en coordenadas polares que determina la frecuencia natural de vibracin libre de una membrana circular de radio interno ra y radio externo rb, sometida a una traccin uniforme T, densidad por unidad de rea , est dada por:

{ }

0)()(

:0)()( 222

==

==++

rburaucon

rbrraRrrsirudrdu

rT

drrudT

Plantear una solucin usando derivacin numrica y al menos cinco puntos interiores en el dominio . Encontrar el sistema de ecuaciones lineales que debe resolverse. Implementar una planilla de clculo para resolver este caso.

17) La ecuacin diferencial en coordenadas polares que determina la frecuencia natural de vibracin libre de una membrana circular de radio externo rb, sometida a una traccin uniforme T, densidad por unidad de rea , est dada por:

{ }

0)(0

0:0)()(

0

22

2

==

==++

=

rbuydrducon

rbrRrrsirudrdu

rT

drrudT

r

Plantear una solucin usando derivacin numrica y al seis puntos interiores en el dominio . Considerar derivada segunda y derivada primera con error del orden de h2. Encontrar el sistema de ecuaciones lineales que debe resolverse. Implementar una planilla de clculo para obtener la menor frecuencia natural y compararla con l valor exacto dado por

/)/404,2( Trb= que se puede consultar en Timoshenko, S., Young D.H. Weaver, W. (1988) Vibration Problems in Engineering.

18) El siguiente sistema de EDO homogneo

0932

0)(416

122

2

1221

2

=+

=++

dt(t)d

dt(t)d

Tiene como solucin

=

)()(

1

1

1

1

tt

evv t

siendo v1 y v2 soluciones del problema de valores propios asociado. Comprobar que

las soluciones son: =0,418 con v={1; 0,6723} y = -1/5,95 con v={1; 1,6723}.


Matemtica Superior

Trabajo Prctico S.E:L. Ao 2013 Pgina 1 de 4

Trabajos Prcticos

Sistemas de ecuaciones lineales.

Bibliografa recomendada: Mtodos Numricos para Ingenieros, S. Chapra, R. Canale, Mc Graw Hill, 1999. Anlisis Numrico., R. Burden, J. Faires, International Thomson Editores, 1998. Notas de la Ctedra: Sistemas de Ecuaciones Lineales Mtodos Iterativos 1) Considrese un sistema de ecuaciones (dado en forma matricial) Ax = b.

a) De las siguientes matrices A indique cules cumplen la condicin de convergencia para el mtodo de Gauss-Seidel (aunque sea reacondicionando la matriz).

=

=

4312

A

2430

A

2

1

=

631054213

A3

=

3.216.1551924.09.842.1118.620

A 4

=

4111716958230

A5

b) Utilizando las matrices A2 y A3 del inciso a), resuelva los sistemas A ix = b i por el mtodo de Gauss-Seidel, con los vectores b i dados a continuacin. Establezca dos criterios de detencin y evalelos en cada paso.

=

=652

12

32 bb

2) a) Implemente una planilla de clculo que resuelva sistemas de ecuaciones de orden 4 por el mtodo de Gauss-Seidel, con un error absoluto mximo aceptable de 0.01 y un error relativo mximo aceptable de 0.01. Asegrese de que se realicen al menos 50 iteraciones y distinga cuntas iteraciones hacen falta para cumplir las condiciones impuestas sobre cada error. Ejemplo:

b) Utilice la planilla desarrollada para resolver el sistema A4x = b4, siendo

=

8402

b4 .

3) Muestre que el mtodo de Jacobi es una aplicacin matricial del mtodo de punto fijo.


Matemtica Superior


Para el siguiente sistema de ecuaciones A3*x=b3, encuentre la matriz T y el vector c, si se considera el mtodo de Jacobi como x(k) = T x(k-1) + c

=

631054213

A3

=

652

3b

4) Cul es la diferencia entre los mtodos de Jacobi y de Gauss-Seidel? 5) Resuelva con el mtodo Jacobi y vaya haciendo la grafica del proceso iterativo.

Repta con el mtodo de Gauss Seidel

==+

2y2x2yx2

.

6) Resuelva con el mtodo Jacobi y vaya haciendo la grafica del proceso iterativo. Repta con el mtodo de Gauss Seidel

=+=22

22yxyx

.

Mtodos de Factorizacin 7) a) Bajo qu condiciones se puede descomponer una matriz A en L y U?

b) Cules de las matrices dadas en el ejercicio 2 pueden factorizarse por el mtodo de Doolittle?

c) Qu ventajas o desventajas presenta este mtodo con respecto al de Gauss-Seidel para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

d) Resuelva los mismos ejercicios planteados en el inciso 2 por el mtodo de Doolittle.

8) a) Implemente una planilla de clculo que permita resolver sistemas de ecuaciones

de orden 4 por el mtodo de Doolittle. b) Utilcela para resolver el ejercicio A4x = b4. Compare el resultado con el obtenido

en el ejerc. 2b. c) Utilice la planilla para encontrar la inversa de la matriz A4.

9) Dada la matriz A5 su descomposicin en L y U, es la siguiente a) Encontrar los elementos faltantes de L y U, b) Encontrar la matriz inversa de L c) Encontrar la matriz inversa de U d) Encontrar la matriz inversa de A5, mediante las inversas de L y U, e) Encontrar la matriz inversa de A5, mediante la solucin de A5*Inv(A5)= I, y

usando LU

=

=

=

4442

5

0005,05,200

5,275,05,1035,012

12,050,100,15,025,00000,150,000000,1

0,411310,315,0

110,2135,010,2

ul

ULA


Matemtica Superior


Mtodo Iterativo de Jacobi

Dada una Matriz A RNxN, un vector b RN, el sistema de ecuaciones lineales asociado es

bx =A

=

NNNNNNN

N

N

N

b

bbb

x

xxx

aaaa

aaaaaaaaaaaa

..........

................................

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

Es posible escribirlo de la forma:

bxx =+ BD Con

==

0........0............

....0

....0

....0

....000....................0....000....000....00

321

33231

22321

11312

33

22

11

NNN

N

N

N

NN aaa

aaaaaaaaa

a

aa

a

BD

bxx += BD bxx += 11 DBD

cxx += T bc == 11 DBDT

=

=

NNNNNNNNNNNN

N

N

N

ab

ababab

c

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

/...///

0....///....0............

/....0///..../0//....//0

333

222

111

321

33333323331

22222232221

11111131112

T Se

puede iterar con

cxx kk +=+ )()1( T Hasta encontrar que el ERROR es tan pequeo como se quiera.


Matemtica Superior


Mtodo Iterativo de Gauss Seidel

A partir del mtodo iterativo de Jacobi, cuyo frmula de recurrencia est dada por

cxx kk +=+ )()1( T

=

=

NNNNNNNNNNNN

N

N

N

ab

ababab

c

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

/...///

0....///....0............

/....0///..../0//....//0

333

222

111

321

33333323331

22222232221

11111131112

T

Se puede iterar con

cxxx kkk ++= ++ )()1()1( TsTl Hasta encontrar que el ERROR es tan pequeo como se quiera. Siendo

=

=

+

+

+

+

+

)1(

)1(3

)1(2

)1(1

)1(

321

33323331

2221

...0....///....0............0....0//0....00/0....000

kN

k

k

k

k

NNNNNNNNN x

xxx

x

aaaaaa

aaaaaa

Tl

=

=

)(

)(3

)(2

)(1

)(333

2222223

11111131112

...0....000....0............

/....000/..../00/....//0

kN

k

k

k

kN

N

N

x

xxx

xaaaaaaaaaaaa

Ts Se

debe destacar que: para calcular x1, participa todo el vector x de la iteracin anterior. Para calcular x2, participa x1 de la iteracin actual (recin calculado)y todas las

dems componentes del vector x de la iteracin anterior. Para calcular x3, participa x1 y x2 de la iteracin actual (recin calculadas)y todas

las dems componentes del vector x de la iteracin anterior. Para calcular x4, participa x1 ,x2 y x3 de la iteracin actual (recin calculadas)y

todas las dems componentes del vector x de la iteracin anterior. As se sigue hasta calcular xN con todas las componentes de la iteracin actual

del vector x (recin calculadas), desde la 1 hasta la N-1.



Trabajo Prctico Races Ec. No Linelaes Ao 2013 Pgina 1 de 2

Trabajos Prcticos Races de ecuaciones no lineales.

Bibliografa recomendada: Mtodos Numricos para Ingenieros, S. Chapra, R. Canale, Mc Graw Hill, 1999. Anlisis Numrico., R. Burden, J. Faires, International Thomson Editores, 1998.

Ejercicio 1.

Obtenga una aproximacin a la raz de f(x) = x3 + 4 x2 10 = 0 en el intervalo [1,2], trabajando con un factor de tolerancia =0.0001 y empleando:

a) el Mtodo de Biseccin. b) el Mtodo de la Secante. c) el Mtodo de Newton-Raphson. d) Represente en grficas de convergencia los resultados obtenidos en los incisos

anteriores y compare las distintas curvas.

Ejercicio 2.

Obtenga una aproximacin a la raz de f(x) = cos(x) - x = 0 en el intervalo [0,1], trabajando con un factor de tolerancia =0.0001 y empleando:

e) el Mtodo de Biseccin. f) el Mtodo de la Secante. g) el Mtodo de Newton-Raphson. h) Represente en grficas de convergencia los resultados obtenidos en los incisos

anteriores y compare las distintas curvas.

Ejercicio 3.

a) Elabore un algoritmo y un programa para la solucin de ecuaciones no lineales que le permita al usuario elegir entre los distintos mtodos vistos. El programa debe incluir la posibilidad de realizar grficas de convergencia.

b) Corra su programa para distintas ecuaciones no lineales empleando todos los mtodos y compare los resultados obtenidos.

Ejercicio 4.

1. Reconozca las diferencias entre los mtodos de intervalo (como el de biseccin) y los mtodos abiertos (como Newton y Secante).

2. Describa e interprete geomtricamente el mtodo de Newton-Raphson para determinar races de ecuaciones no lineales.

3. Derive la frmula de Newton-Raphson usando serie de Taylor y halle el orden del error (ver Chapra y Canale).



Trabajo Prctico Races Ec. No Linelaes Ao 2013 Pgina 2 de 2

Ejercicio 4.

Describa el mtodo de Punto Fijo, interprete geomtricamente su condicin de convergencia (Este ejercicio est basado en un ejemplo presentado en el libro Anlisis Numrico de Burden y Faires, ed. 1985, Pg. 49.) La ecuacin x3 +4x2 10 = 0 tiene una sola raz en [1, 2]. Existen muchas maneras de cambiar la ecuacin a la forma x = g (x), efectuando manipulaciones algebraicas simples. Algunas de las expresiones que se puede obtener son:

( ) 21

421

33

21

223

1

410)(10

21)(

410)(104)(

+====

==+==

xxgxxxgx

xx

xgxxxxxgx

a) Con r0 = 1,5 aplique el mtodo de punto fijo a cada una de las cinco alternativas para g y compare los resultados.

b) Para cules de las funciones gi converge el mtodo? c) Para las funciones gi que permiten la convergencia del mtodo, verifique que el

punto fijo hallado de cada una de ellas es una solucin de la ecuacin original.

Ejercicio 4.

El volumen V de un sector esfrico de radio R y de profundidad h est dado por:

( ) VhhR = 3233

Para R=6000 mm; V=200000e6 mm, determinar la profundidad h utilizando alguno de los mtodos de solucin de ecuaciones no lineales desarrollados anteriormente Definiciones: La obtencin de las races de ecuaciones no lineales se considera mediante Mtodos Iterativos. Cualquier mtodo iterativo es un procedimiento repetitivo que origina una sucesin de soluciones aproximadas. En general, tienen los siguientes elementos en su procedimiento (algoritmo): Condicin de inicializacin, que son los requisitos que deben cumplir los datos

iniciales. Frmula de recurrencia, que origina la sucesin de soluciones aproximadas Control de detencin, que verifica la certeza de la solucin aproximada Actualizacin de variables, que cuando el control de detencin falla incluye la

ltima aproximacin como dato inicial que cumple la condicin de inicializacin. Las iteraciones se repiten hasta tanto el control de detencin no falla; o en otras palabras, hasta que la solucin aproximada es tan precisa como se pretende.

h

2R

2013_tp04_u4_inter_aprox_UTN.pdf2013_tp05_u5_integr_UTN.pdf2013_tp06_u6_derivacion_UTN.pdf2013_UNC_tp08_u8_EDO_UTN.pdf2013_tp07_u7_valores propios_UTN.pdf2013_tp_SELineales_UTN.pdf2013_tp_Raices_Ec_NO_Lineales_UTN.pdf

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2013 Mat Sup Trabajos Practicos