2015-2016 GÜZ Dönemi MATEMATİK - I Dersi Dönem Ödevi 03 Aralık 2015

1) a b a b a b eşitsizliğinin doğruluğunu gösteriniz.

2) 11

n

nxn

dizisinin monoton artan ve üstten sınırlı olduğunu göstererek yakınsaklığını

belirleyiniz. (Böylece bu dizinin bir limitinin olduğu gösterilmiş olur. Bu limit e ile gösterilir. Buradaki e

sayısı da 2,721828182845904523536....e dır).

3) cosh( ) cosh cosh sinh sinha b a b a b özdeşliğini ispatlayınız. Bundan yararlanarak

2 2cosh 2 cosh sinhx x x elde ediniz. İlk özdeşlikte b yerine b yazıp, kosinüs hiperbolik

fonksiyonun çift, sinüs hiperbolik fonksiyonun tek olması özelliklerini de kullanarak cosh( )a b nin

özdeşini bulunuz. Ayrıca cosh coshp q nun özdeşini bulunuz.

4) 0

lim ( ) 0x x

u x

, 0

lim ( )x x

v x

ve 0

lim ( ) ( )x x

u x v x k

ise 0

( )lim[1 ( )]v x k

x xu x e

olduğunu

ispatlayınız.

5) ( ) cosxy f x e x fonksiyonunun ( )y f x türevini alınız ve sonucunuzu en sade biçime getiriniz.

Sonra bulduğunuz sonucun tekrar türevini alıp ( )y f x türevini bulunuz ve sonucunuzu en sade

biçimde yazınız. Sonra bu sonucunuzun tekrar türevini alıp ( )y f x türevini bulunuz ve sonucunuzu

en sade biçimde yazınız. Bulduğunuz sonuçlara bakarak ( ) ( ) ( )n ny f x için bir formül geliştiriniz.

(Burada n-inci mertebeden türev 2( )

)4

2 cos(n

n xy e x n dür). Bulduğunuz formülü kullanarak

(11) (0)f ve (12) (0)f türev değerlerini hesaplayınız.

6) 2( )

xaf x x e

fonksiyonu için

( ) ( )nf x türevini bulunuz. Ayrıca ( ) (0)nf türev değerini hesaplayınız.

7) ( )u u x türetilebilen bir fonksiyon olmak üzere ( ( )) cotan ( )y f u x Arc u x fonksiyonun türevinin

2 2

( )( ( ))

1 ( ) 1

u x uy f u x

u x u

olduğunu gösteriniz. (Yol gösterme : Verilen fonksiyondan elde

edeceğiniz cotan ( )y u x ters fonksiyonun iki yanının x e göre türevini alınız.) Ayrıca yukarıda

verilen türev formülünü kullanarak 1

( )1

xu u x

x

olduğuna göre ( ( )) cotan ( )y f u x Arc u x

fonksiyonunun x e göre türevi olan ( )

( ( ))dy df u du

y f u xdx du dx

türevini hesaplayınız ve

sonucunuzu en sade biçimde yazınız.

8) cotan cotanArc a Arc b nin özdeşinin (eşitinin) 1

cotana b

Arca b

olduğunu gösteriniz.

9)

12 3 1 1

11

nn n x

x x x x xx

eşitliğini kullanarak, 2 11 2 3 nx x nx toplamını ve

2 2 2 2 3 2 11 2 3 4 nx x x n x toplamını bulunuz.

10) ( ) cot lna x a

f x Arcx x a

fonksiyonunun ( )f x türevini alınız ve sonucunuzu en sade biçimde

yazınız.

11) 0

lim ( ) 0x x

u x

, 0

lim ( ) 0x x

v x

ve 0

( )lim 1

( )x x

u x

v x ise

0

[1 ( )] 1lim

( )x x

u x

v x

olduğunu gösteriniz.

12) 2( ) sinf x x fonksiyonunun dördüncü mertebeye kadar (dördüncü mertebe dahil) ardışık türevlerini

alınız. Bu türevlere bakarak ( ) ( )nf x türevi için bir formül geliştiriniz. Bulduğunuz incin mertebeden

( ) ( )nf x türevinde n yerine önce 2 1n ; sonra 2n yazıp 0x için (2 1) (0)nf

ve (2 ) (0)nf

türev değerlerini hesaplayınız.

Yukarıdaki bilgileri kullanarak 2( ) sinf x x fonksiyonunun Maclaurin serisine açılımını

yazınız. Seriye açılımda sıfırdan farklı ilk üç terimini ve incin terimini belirtiniz.

13) o32 F sıcaklığı

o0 C sıcaklığa ; o212 F sıcaklığı

o100 C sıcaklığa karşılık getirerek Fahrenheit ile

Celsius arasında lineer (doğrusal) bir fonksiyon oluşturuluyor. FC düzleminde F yi apsis , C yi

ordinat ekseni olarak aldığımızda (32,0) ve (212,100) noktalarından geçen doğrunun ( )C f F

biçiminde denklemini bulunuz. Daha sonra bulduğunuz denklem yardımıyla o167 F ın kaç

oC olduğunu

hesaplayınız. ( Cevap: o167 F =

o75 C dur.)

14) Bir nehrin A kıyısında bir enerji santralı ve nehrin A’ ya karşılık

B noktasından 2 km uzaktaki C noktasında bir yerleşim alanı

vardır. A’dan C’ye enerji kablosu döşenecektir. Kablo

döşemenin maliyeti nehir boyunca metresi 180 TL , kıyı boyunca

metresi 100 TL dir. Kablonun A tesisinden, karşı kenarda tesisin

tam karşısındaki B noktasından x metre uzaklıktaki bir D

noktasına doğrudan gittiğini kabul edin. Kablonun döşeme

maliyetini x uzaklığı cinsinden veren f(x) fonksiyonu bulunuz.

15) 2( ) ln 1y f x x x fonksiyonunun ters fonksiyonunun varlığını gösteriniz ve onu bulunuz.

Bulduğunuz sonucu en sade biçimde ifade ediniz.

NOT: İlk beş soru zorunlu olmak üzere, diğerlerinden de herhangi beş soruyu seçerek toplam on soruyu

çözünüz. Cevaplarınızı A4 kâğıtlarının birer yüzüne olmak üzere düzgün, temiz, titiz bir şekilde; bir harfin

üzerinden birkaç kez gidip gelmeden; silinti, kazıntı olmaksızın, kapatıcı (korektin) kullanmadan; dolma kalem,

tükenmez kalem, hatta kurşun kalem ile yapabilirsiniz. Ödev anlayışının yansıtılmadığı, çalakalem ve aceleyle

yapılmış ödevler çok düşük puan almanıza sebep olabilir. Ödevin son teslim tarihi Makine ve İnşaat mühendislikleri

için 24 Aralık 2015 Perşembe günü ders saatlerinin bitimidir. Endüstri(I. Ve II. Öğretim) ve Mekatronik

mühendislikleri için ise 25 Aralık 2015 Cuma günü ders saatlerinin bitimidir. Ödevde kapak yapmaya gerek

yoktur. İlk sayfanın üst kısmında Fakülte numarası ve Ad-Soyad yazılmalıdır. Bu sayfadan çözümlere devam

edilebilir.