2015 Matematica Concursul 'Numerus' (Mures) Clasele v-VIII Subiecte

8/20/2019 2015 Matematica Concursul 'Numerus' (Mures) Clasele v-VIII Subiecte

1/9

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN MUREŞ

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA – FILIALA MUREŞ

Concursul judeţean de matematică “NUMERUS”

Clasa a V-a

SUBIECTUL I

a) Compara i numerele:ț

iș

b) Determina iț , dacă:

SUBIECTUL II

Arata i că:ț este divizibil cu 553.

SUBIECTUL III

Fie irul de numere naturale: 3, 8, 13, 18 ..ș

a) !crie i următorii trei termeni ai irului"ț ș b) Determina i al #$1%&lea termen al irului"ț șc) Calcula i suma termenilor impari ai irului mai mici dec't 1$$(.ț ș

SUBIECTUL IV

Doi colei citesc două cărti av'nd acela i număr de paini. *n prima zi unul cite te a cinceaș ș parte din cartea sa, iar celălalt a saptea parte, constat'nd ca a citit cu 1+ paini mai pu in dec'tț primul. C'te paini mai au de citit iecare-

Toate subiectele sunt obligatorii.

Pentru fecare problemă se acordă 7 puncte.

Timp de lucru: 2 ore


2/9




Clasa a VI-a

SUBIECTUL I

a) Demonstrai că oricare ar i n număr natural nenul, numărul

A/ +3n 0(n01⋅3#n01 − #1n⋅3n0# este divizibil cu 13.

b) Arătai că numărul a / 15 0 3#$1% se divide cu #%.

( azeta 2atematică)

SUBIECTUL II

C'te numere naturale impare dau prin mpărire la #$1% c'tul eal cu restul- Alai restulmpăririi sumei tuturor acestor numere la #$1%.

4 azeta 2atematică, enun modiicat)

SUBIECTUL III

n6iurile A7 9i 7C sunt adiacente. isectoarea un6iului A7 ormează cu

semidreapta 7C un un6i de măsura de ;5°, iar bisectoarele un6iurilor A7 9i 7Cormează un un6i de ($°.

a) Determina i măsurile un6iurilor A7C, A7 9i 7C.ț b) Dacă semidreapta [72 este opusă semidreptei [7 alai măsura un6iului C72.


3/9





Clasa a VII-a

SUBIECTUL I

a) Fie numerele %$#8...+%# ++++= x si

−⋅⋅

−⋅

−⋅

−⋅=

#$15

11...

%

11

3

11

#

11#$1% y . Arăta i căț y xa ⋅−= #$15 , este

pătrat perect

b) Fie a, b, c∈R astel nc't 8#% −=++ cba . Demonstra i căț(#53%# −≥−++++ cba

=ro. anciu !lin "lorin

SUBIECTUL II

!e consideră numerele raionale nenule a, b, c, d . Dacă

bad ad cd cbd cba ++=

++=

++=

+++%3#1

, arătai că $


4/9




Clasa a VIII-a

SUBIECTUL I

a) Determinai numerele raionale x şi y 9tiind că: #1$##

15,1+

#

# =

−−

−− y

x.

b) Arătai că pentru orice numere reale pozitive a şi b avem:8

113

8

1118 >

+

+

+ b

ba

a.

SUBIECTUL II

a) Demonstrai că pentru orice numere naturale nenule k şi n, %,

-' divide numărul

1#...## 1#1 ++++ −+++ k nk nk nk . b) umerele a, b, c sunt numere raionale pozitive 9i cba =+ . Arătai că numerele a

9i b sunt numere raionale.

SUBIECTUL III

Fie ACD un dreptun6i n care AB=a 3 , BC=a 9i M un punct nesituat n planuldreptun6iului astel nc't MA=2a. Etiind că 4 AE ) 9i 4 AF ) sunt mediane n triun6iurile ADM ,respectiv ABM , iar 4 AG este bisectoarea un6iului MAC, ( ) MC G∈ . Alai raportul ariilor

triun6iurilor EFG 9i BCD.

SUBIECTUL IV

Fie A, , C, D patru puncte necoplanare 9i centrul de reutate al triun6iului CD. !econsideră punctul ( ) AG M ∈ 9i se notează cu { } ( )CDM AB P ∩= , { } ( ) BDM AC Q ∩= 9i

{ } ( )CDM AD R ∩= . a) Arătai că DR

AR

GM

AM ⋅= 3 " b) Demonstrai că 4=) ( ) BCD .

Toate subiectele sunt obligatorii.

Pentru fecare problemă se acordă 7 puncte.


“Numerus” megyei matematikaverseny

V. osztály


5/9



I. Tétela) GasonlHtsuI Jssze a IJvetIezK szLmoIat:

iș

b) GatLrozzuI me szLmot, 6a:

II. Tétel

2utassuI Ii, 6oM: oszt6atN 553&el.

III. Tétel

Adott a 3, 8, 13, 18 .. termOszetes szLmoIbNl LllN sorozat.

a) Pr?uI le a sorozat IJvetIezK 6Lrom ta?Lt. b) GatLrozzuI me a sorozat #$1%&diI ta?Lt.c) !zLmol?uI Ii a sorozat 1$$(&nOl Iisebb pLratlan ta?ainaI JsszeOt.

IV. Tétel

QOt barLt uManannMi oldalszLmR IOt IJnMvet olvas. >lsK nap az eMiI elolvassa IJnMve eMJtJdOt, a mLsiI pedi IJnMve eM 6etedOt, amiIor Oszrevette, 6oM 1+ oldallal olvasottIevesebbet mint az elsK. GLnM oldalt Iell mO olvassanaI ISlJn&ISlJn-

Minden tétel ktele!".

Minden tétel 7 pontot ér.

Munkaid" 2 #ra


6/9



“Numerus” megyei matematikaverseny

VI. osztályI. Tétel

a) 2utassuI Ii, 6oM bLrmelM n nullLtNl ISlJnbJzK termOszetes szLm esetOn

A/ +3n 0(n01⋅3#n01 − #1n⋅3n0# oszt6atN 13&mal.

b) 2utassuI Ii, 6oM a / 15 0 3#$1% oszt6atN #%&el.

( azeta 2atematică)

II. Tétel

GLnM olMan pLratlan termOszetes szLm lOteziI melMneI #$1%&el valN osztLsaIor a 6LnMadoseMenlK a maradOIIal- GatLrozzuI me ezen szLmoI JsszeOneI #$1%&el valN osztLsimaradOILt.

4 azeta 2atematică, enun modiicat)

III. Tétel

Az A7 Os 7C eMmLsmelletti szJeI. Az A7 szJ szJelezK?e az 7C OleMenessel ;5°

mOrtOIT szJet zLr be, valamint az A7 Os 7C szJeI szJelezKi ($° mOrtOIT szJet zLrnaI IJzre.a) GatLrozzuI me az A7C, A7, 7C szJeI mOrtOIOt. b) Ga az 72 Os 7 ellentOtes OleMeneseI, aIIor szLmHtsuI Ii a C72 szJ mOrtOIOt.

D] Os D/ +cm.

a) !zLmHtsuI Ii az A Os D pontoI tLvolsLLt. b) GatLrozzuI me az A>@ szaIasz 6osszLt.



Munkaid" 2 #ra


7/9



“N$M%&$'” megyei matematikaverseny

VII. osztály

I. Tétel

a) Adottak %$#8...+%# ++++= x és

−⋅⋅

−⋅

−⋅

−⋅=

#$15

11...

%

11

3

11

#

11#$1% y

sz!ok" M#tass#k k$% &o'( y xa ⋅−= #$15 t*+s ,é'(zt"b) L'(, a, b, c∈R -'(% &o'( 8#% −=++ cba " .$zo,(/ts#k b% &o'(

(#53%# −≥−++++ cba P0o1" DanciuAlin Florin

II. Tétel

L'(,k a, b, c, d ,#**t2* k3*4,b4z5 0a6$o,*$s sz!ok"

7abad ad cd cbd cba ++

=++

=++

=+++

%3#1% !#tass#k k$% &o'( $


8/9



Numerus” megyei matematikaverseny

VIII. osztály

I. Tétel

a) 7at0ozz#k !' az ( és ) 0a6$o,*$s sz!okat% t#d>a% &o'(

#1$##

15,1+

#

# =

−−

−− y

x"

b) M#tass#k k$% &o'( b0!*( a és b Boz$t$> >a*2s sz! sté,

8

113

8

1118 >

+

+

+ b

ba

a"

II. Tétel

a) .$zo,(/ts#k b% &o'( b0!*( ,#**t2* k3*4,b4z5 k és n t0!észts sz!sté, k '" oszt+a a k4>tkz5 sz!ot

1#...## 1#1 ++++ −+++ k nk nk nk

b) Az a* b* c Boz$t$> 0a6$o,*$s sz!ok% >a*a!$,t cba =+ " M#tass#k k$% &o'(

a és b 0a6$o,*$s sz!ok"

III. Tétel

E'( ABCD té'*a*aB sté, AB=a 3 , BC=a és *'(, M a té'*a*aB s/k+, k$>3*$Bo,t% !*(0 MA=2a" T#d>a% &o'( 8 AE) és 8 AF ) az ADM% $**t> ABM &0o!sz4'k

o*da*1*z5$% >a*a!$,t 8 AG az MAC sz4' sz4'1*z5+, ( ) MC G∈ % &at0ozz#k !' azEFG és BCD &0o!sz4'k t03*t$,k a0,(t"

IV. Tétel

L'(, A, B, C, D ,é'( ,! ko*Ba,0$s Bo,t és G a BCD &0o!sz4' s-*(Bo,t+a"

F*>ssz3k az ( ) AG M ∈ Bo,tot és +*4*+3k { } ( )CDM AB P ∩= % { } ( ) BDM AC Q ∩= és

{ } ( )CDM AD R ∩= "

a) M#tass#k k$% &o'( DR

AR

GM

AM ⋅= 3

b) .$zo,(/ts#k b% &o'( 8PR) ( ) BCD "



9/9




Munkaid" 2 #ra

Documents

2015 Matematica Concursul 'Numerus' (Mures) Clasele v-VIII Subiecte