Sistem Bilangan Real Di dalam kajian bilangan dalam matematika, sistem bilangan pertama

yang dikenal manusia adalah sistem bilangan Asli yang disingkat dengan N

(Natural). Selanjutnya manusia mengenal bilangan 0 dan bilangan negatif,

sehingga sistem bilangan asli menjadi sistem bilangan bulat (Z). Pada sistem

bilangan bulat yang dilengkapi operasi tambah (+) dan operasi kali (. atau ×) akan

membentuk suatu ring (gelanggang) yang memenuhi sifat:

Aksioma 1. Aksioma pada Ring, di mana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈𝑍 :

1. Tertutup terhadap penjumlahan (𝑎 + 𝑏 ∈𝑍)

2. Memenuhi sifat asosisatif penjumlahan (𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐)

3. Memiliki elemen identitas penjumlahan (0 ∈𝑍)

4. Memiliki invers penjumlahan (−𝑎 ∈𝑍)

5. Komutatif terhadap penjumlahan (𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎)

6. Tertutup terhadap perkalian (𝑎. 𝑏 ∈𝑍)

7. Asosiatif terhadap perkalian (𝑎. (𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏). 𝑐)

8. Memenuhi hukum distributif kiri dan kanan :

• Distributif kiri : 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐

• Distributif kanan : (𝑎 + 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑐

Selanjutnya manusia berkembang dan membutuhkan adanya bilangan yang tidak

utuh, yaitu bilangan pecah, kemudian setelah diolah lebih lanjut, muncullah

sistem pada bilangan Rasional (Q), sehingga bilangan Rasional dapat

didefinisikan sebagai definisi berikut:

Definisi 2.

Bilangan Rasional didefinisikan sebagai 𝑄 = 01:𝑎, 𝑏di𝑍dan𝑏 ≠ 0 .

Perkembangan selanjutnya menusia membutuhkan bilangan yang tidak dapat

dituliskan dalam bentuk rasio 01, ataupun dituliskan dalam bentuk desimal yang

berulang. Bilangan ini disebut bilangan irasional. Dari bilangan rasional dan

bilangan irasional setelah digabung menjadi bilangan baru yaitu Real (R).

Pada sistem Bilangan Real R, dengan operasi tambah dan operasi kali akan

membentuk sifat Lapangan (field) yang terumuskan dalam aksioma berikut.

Aksioma 3.

Pada himpunan bilangan riil R terdapat dua operasi biner yang dilambangkan

dengan + dan . dan berturut-turut disebut penambahan dan perkalian. Operasi

tersebut mempunyai sifat :

1. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 di R (sifat komutatif penjumlahan),

2. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 di R (sifat asosiatif penjumlahan),

3. Terdapat unsur 0 di R sehingga 0 + 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ R (eksistensi unsur nol),

4. Untuk setiap 𝑎 ∈ R, terdapat unsur −𝑎 ∈ R sehingga 𝑎 + (−𝑎) = 0.

(eksistensi unsur negatif),

5. 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 di R (sifat komutatif perkalian),

6. (𝑎. 𝑏). 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 di R (sifat asosiatif perkalian),

7. Terdapat unsur 1 di R yang berbeda dengan 0 sehingga 1. 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ R

(eksistensi unsur satuan di R),

8. Untuk setiap 𝑎 ≠ 0 di R terdapat unsur A0 di R sehingga 𝑎. A

0= 1 (eksistensi

unsur kebalikan),

9. 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = (𝑎. 𝑏) + (𝑎. 𝑐) dan (𝑏 + 𝑐). 𝑎 = (𝑏. 𝑎) + (𝑐. 𝑎)∀𝑎, 𝑏, 𝑐 di R

(sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan).

Dengan Aksioma 3, dapat ditunjukkan beberapa sifat yang dikembangkan dari

aksioma tersebut diantaranya sifat ketunggalan identitas, invers terhadap operasi

tambah maupun operasi kali.

Teorema 4. (Ketunggalan unsur identitas)

(a). Jika 𝑧 dan 𝑎 unsur di R sehingga 𝑧 + 𝑎 = 𝑎, maka 𝑧 = 0.

(b). Jika 𝑢 dan 𝑏 ≠ 0, unsur di R sehingga 𝑢. 𝑏 = 𝑏, maka 𝑢 = 1.

Bukti dari teorema ini diserahkan kepada pembaca.

Selanjutnya unsur invers itu juga tunggal yang terlihat seperti teorema berikut.

Teorema 5.

a. Jika a dan b unsur-unsur di R sehingga a + b = 0, maka 𝑏 = −𝑎

b. Jika a ≠ 0 dan b unsur-unsur di R sehingga a . b = 1, maka 𝑏 = A0.

Bukti.

a. a + b = 0

Jadi (−𝑎) +(𝑎 + 𝑏) = (−𝑎) + 0 (Tambahkan –a pada kedua ruas)

(−𝑎 + 𝑎) + 𝑏 = −𝑎 sifat 2 dan sifat 3

0 + 𝑏 = −𝑎 sifat 4

𝑏 = −𝑎 sifat 3.

b. a . b = 1

Karena a ≠ 0, maka terdapat A0 di R selanjutnya kedua ruas kita kalikan

dengan A0

A0 . 𝑎. 𝑏 = A

0 . 1

A0 . 𝑎 . 𝑏 = A

0 (sifat 6 dan sifat 7)

1. 𝑏 = A0 (sifat 8)

𝑏 = A0 (sifat 7)

Untuk mengkaji lebih dalam mengenai bilangan real, kita kalami bagian bilangan

real yaitu bilangan rasional.

Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bagian bilangan real yang memenuhi sifat

𝑄 = 01:𝑎, 𝑏di𝑍dan𝑏 ≠ 0 . Himpunan bilangan rasional adalah himpunan

bagian murni dari himpunan bilangan real, artinya terdapat bilangan real yang

bukan bilangan rasional. Bilangan real yang bukan bilangan rasional disebut

bilangan irasional.

Eksistensi bilangan irasional ini dijamin oleh teorema berikut.

Teorema 6.

Tak ada bilangan rasional t sedemikian hingga 22 =t .

Bukti. Andaikan ada t di Q sedemikian hingga 22 =t , maka dapat dipilih p, q di

Z sehingga EF

G= 2 dan FPB p dan q = 1 atau ditulis (𝑝, 𝑞) = 1.

Oleh karena itu 𝑝G = 2𝑞G, dengan kata lain, 𝑝G adalah bilangan genap. Akibatnya

p juga bilangan genap sehingga dapat dituliskan sebagai 𝑝 = 2𝑚 untuk suatu m

bilangan bulat. Dari 𝑝G = 2𝑞G dan 𝑝 = 2𝑚 di peroleh 4𝑚G = 2𝑞G atau 2𝑚G =

𝑞G. Jadi q2 adalah bilangan genap yang berakibat bahwa 𝑞 juga bilangan genap.

Karena p, q keduanya bilangan genap, maka (𝑝, 𝑞) > 1.

Ini bertentangan dengan (𝑝, 𝑞) = 1, jadi haruslah tak ada bilangan rasional t

sedemikian hingga 𝑡G = 2 bilangan t ini sering dituliskan dengan 𝑡 = 2.

Ciri bilangan irasional adalah bilangan yang jika dinyatakan dengan desimal tidak

berhenti dan tidak berulang.

Contoh 2 = 1,4142135623... dan 3 = 1,732050807568... yang tidak berakhir

dan tidak berulang, sedangkan bilangan desimal yang berakhir atau berulang

adalah bilangan rasional, misalnya,

Tunjukkan bahwa 7,345 yang artinya bahwa angka 345 berulang dan tidak

berhenti.

Bukti

Misalkan 𝑥 = 7,345 maka 1000𝑥 = 7345,345345…

𝑥 = 7,345345. ..

999 x = 7338

Jadi 𝑥 = OPPQRRR

yang merupakan bilangan rasional.

Sifat Urutan pada R Pada himpunan bilangan real R, terdapat himpunan tak kosong P dari R

yang memenuhi sifat:

(1). Jika a, b di P, maka a + b di P

(2). Jika a, b di P, maka ab di P

(3). Jika a di R, maka tepat satu pernyataan berikut dipenuhi:

a ∈ P, a = 0 , a ∉ P sifat ini disebut sifat trikotomi.

Definisi 7. (Bilangan positif).

Jika a ∈ P, kita katakan bahwa a bilangan real positif dan ditulis a > 0.

Jika a ∈ P atau a = 0, kita katakan bahwa a bilangan real nonnegatif dan kita tulis

a ≥ 0.

Jika −𝑎 ∈ P, kita katakan bahwa a bilangan real negatif dan ditulis a < 0.

Jika −𝑎 ∈ P atau a = 0, kita katakan bahwa a bilangan real nonpositif dan kita

tulis a ≤ 0.

Definisi 8. (Membandingkan dua bilangan real)

Misalkan a, b, c unsur-unsur di R.

(1). Jika 𝑎 − 𝑏 di P, maka kita tulis a > b atau b < a.

(2). Jika 𝑎 − 𝑏 ∈ 𝑃 ∪ {0}, maka kita tulis a ≥ b atau b ≤ a.

Selanjutnya kita tulis a < b < c yang berarti a < b dan b < c.

Dengan cara sama, jika a ≤ b dan b ≤ c kita tulis a ≤ b ≤ c, selanjutnya jika a ≤

b dan b < c kita tulis a ≤ b < c.

Teorema 9. (Sifat transitif pada R)

Misalkan a, b, c unsur-unsur di R.

(1). Jika a > b dan dan b > c, maka a > c.

(2). Terdapat tepat satu hubungan a < b, a = b, a > b.

Jika a ≤ b dan a ≥ b, maka a = b.

Bukti.

(1). a > b dan b > c, ini berarti 𝑎 − 𝑏 dan 𝑏 − 𝑐 di P.

Jadi menurut sifat bilangan positif, maka (𝑎 − 𝑏) + (𝑏 − 𝑐) di P atau (𝑎 −

𝑐) di P. Dengan kata lain a > c.

(2). Dengan sifat trikotomi, maka terdapat tepat satu hubungan a – b∈P,

a – b = 0, atau −(𝑎 − 𝑏) ∈ P, sehingga terdapat tepat satu hubungan a < b,

a = b, a > b.

(3). Andaikan a ≠ b, maka a – b ≠ 0 yang berarti a – b ∈ P atau –(a – b) ∈ P.

Jadi, a > b atau a < b. Ini bertentangan dengan hipotesis a ≤ b dan a ≥ b. Jadi

haruslah a = b.

Teorema 10 (Kuadrat bilangan tak nol selalu positif)

Jika a unsur di R dan a ≠ 0, maka a2 > 0.

Bukti.

Dengan sifat trikotomi, maka a ∈ P atau -a ∈ P.

Jika a ∈ P, maka a2 = a. a ∈ P dan jika -a ∈ P, maka a2 = -a.- a ∈ P.

Jadi a2 ∈ P atau a2 > 0.

Teorema 11 (Sifat penambahan pada ketidaksamaan)

Misalkan a, b, c, d unsur-unsur di R.

(1). Jika a > b, maka a + c > b + c

(2). Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d

(3). Jika a > b dan c > 0, maka a.c > b.c

Jika a > b dan c < 0, maka a.c < b.c

(4). Jika a > 0, maka A0 > 0 dan Jika a < 0, maka A

0 < 0.

Bukti.

(1). (a + c) – (b + c) = (a – b) > 0, Jadi (a + c) – (b + c) ∈ P, dengan perkataan

lain a + c > b + c.

(2). a > b, berarti 𝑎 − 𝑏 ∈ P, dan c > d, berarti 𝑐 − 𝑑 ∈ P. Menurut sifat

bilangan positif, maka 𝑎 − 𝑏 + (𝑐 − 𝑑) ∈ P atau 𝑎 + 𝑐 − (𝑏 + 𝑑) ∈ P.

Jadi a + c > b + d

(3). a > b berarti 𝑎 − 𝑏 ∈ P, dan c > 0 berarti c ∈ P.

Menurut sifat bilangan positif, maka (𝑎 − 𝑏). 𝑐 ∈ P atau (𝑎𝑐 − 𝑏𝑐) ∈ P.

Jadi a.c > b.c.

Selanjutnya a > b berarti 𝑎 − 𝑏 ∈ P, dan c < 0 berarti -c ∈ P.

Menurut sifat bilangan positif, maka (𝑎 − 𝑏). (−𝑐)∈P atau (−𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)∈P.

Jadi a.c < b.c.

Jika a > 0, maka A0 ≠ 0. Andaikan A

0 < 0, maka − A

0 > 0 sehingga

𝑎. − A0= −1∈ P. Ini suatu pertentangan, jadi haruslah haruslah A

0 > 0.

Selanjutnya jika a < 0, maka –a >0, sehingga A0 ≠ 0. Andaikan A

0 > 0,

sehingga −𝑎. A0= −1∈ P. Ini suatu kontradiksi, jadi haruslah haruslah

A0< 0.

Teorema 12. (Sifat eksistensi bilangan real diantara dua bilangan real yang

berbeda)

Jika a, b unsur-unsur di R dan a > b, maka 𝑎 > AG𝑎 + 𝑏 > 𝑏

Bukti.

Karena a > b, maka 2a = a + a > a + b dan a + b > b + b = 2b.

Jadi 2a > a + b > 2b. Selanjutnya karena 2 > 0, maka AG> 0, sehingga menurut

Teorema 9.(3). kita peroleh 𝑎 = AG2𝑎 > A

G𝑎 + 𝑏 > A

G2𝑏 =.

Jadi 𝑎 > AG𝑎 + 𝑏 > 𝑏.

Akibat 13 (Tidak ada bilangan positif yang terkecil)

Jika a ∈ R, a > 0, maka 𝑎 > AG𝑎 > 0.

Bukti.

Dari Teorema 10 dengan mengambil b = 0, maka diperoleh 𝑎 > AG𝑎 > 0.

Teorema 14

Jika 𝑎 ∈ 𝑹 sehingga 0 ≤ 𝑎 < 𝜀 untuk setiap 𝜀 positif, maka 𝑎 = 0.

Bukti.

Andaikan a ≠ 0, maka a > 0 dan menurut Akibat 11, maka 𝑎 > AG𝑎 > 0. Ambil

𝜀\ =AG𝑎 > 0, maka diperoleh𝑎 > 𝜀\ > 0. Ini bertentangan dengan hipotesis yaitu

0 ≤ 𝑎 < 𝜀 untuk setiap 𝜀 positif. Jadi haruslah a = 0.

Teorema 15.

Jika ab > 0, maka a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0.

Bukti.

Karena 𝑎𝑏 > 0, maka 𝑎 ≠ 0 dan 𝑏 ≠ 0. Dari sifat trikotomi, 𝑎 > 0 atau 𝑎 < 0.

Kasus 𝑎 > 0:

Menurut Teorema 9 (4), A0> 0 dan oleh karena itu 𝑏 = A

0. 𝑎 . 𝑏 = A

0𝑎. 𝑏 > 0.

Kasus 𝑎 < 0:

Menurut Teorema 9 (4), A0< 0 dan oleh karena itu 𝑏 = A

0. 𝑎 . 𝑏 = A

0𝑎. 𝑏 < 0.

Akibat 16.

Jika ab < 0, maka a > 0 dan b < 0 atau a < 0 dan b > 0.

Bukti Akibat 14 ini diserahkan kepada pembaca.

Nilai Mutlak

Misalkan a ∈ R, nilai mutlak dari a adalah bilangan nonnegatif yang besarnya a

atau –a.

Definisi 17.

Jika 𝑎 ∈ 𝑹, nilai mutlak dari 𝑎, dilambangkan dengan 𝑎 , didefinisikan dengan

𝑎 = 𝑎jika𝑎 ≥ 0,

𝑎 = −𝑎jika𝑎 < 0.

Contoh: ⏐4⏐ := 4, ⏐-7⏐ := 7.

Teorema 18.

(1). −𝑎 = 𝑎 untuk semua a ∈ R.

(2). 𝑎𝑏 = 𝑎 . 𝑏 ⏐ untuk semua a,b di R.

(3). Jika 𝑐 > 0, maka 𝑎 ≤ 𝑐 jika dan hanya jika −𝑐 ≤ 𝑎 ≤ 𝑐.

(4). − 𝑎 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎

Bukti.

(1). Jika a = 0, maka −0 = 0 = 0

Jika a > 0, maka –a < 0 sehingga |𝑎| = 𝑎 = −(−𝑎) = −𝑎

Jika a < 0, maka –a > 0 sehingga ⏐|𝑎| = −𝑎 = −𝑎

Jadi −𝑎 = 𝑎 untuk semua a ∈ R.

(2). Jika salah satu a atau b atau keduanya nol, maka ⏐ab⏐ = 0 dan ⏐a⏐⏐b⏐ = 0

.Jadi ⏐ab⏐ = ⏐a⏐. ⏐b⏐

Jika a > 0, b > 0, maka ab > 0 dan ⏐ab⏐ = ab = ⏐a⏐.⏐b⏐

Jika a > 0, b < 0, maka ab < 0 dan 𝑎𝑏 = −𝑎𝑏 = 𝑎. −𝑏 = 𝑎 . 𝑏

Jika a < 0, b > 0, maka ab < 0 dan 𝑎𝑏 = −𝑎𝑏 = −𝑎 . 𝑏 = 𝑎 . 𝑏

Jika a <0, b < 0, maka ab > 0 dan 𝑎𝑏 = −𝑎.−𝑏 = −𝑎 . −𝑏 = 𝑎 . 𝑏

Jadi ⏐ab⏐ = ⏐a⏐.⏐b⏐ untuk semua a,b di R

(3). Misalkan c > 0,

(⇒) ⏐a⏐ ≤ c

Ini berakibat −𝑎 ≤ 𝑐 dan a ≤ c (mengapa ?)

Atau −𝑐 ≤ 𝑎 dan a ≤ c

Jadi −𝑐 ≤ 𝑎 ≤ 𝑐

(⇐) −𝑐 ≤ 𝑎 ≤ 𝑐

Ini berakibat a ≤ c dan −𝑎 ≤ 𝑐

Jadi ⏐a⏐ ≤ c

(4). Ambil c = ⏐a⏐, maka dari Teorema 18. (3) diperoleh − 𝑎 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎 .

Teorema 19. (Ketidaksamaan segitiga)

Untuk setiap a,b di R, maka 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏

Bukti.

Dengan Teorema 18. (4). Kita peroleh − 𝑎 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎 dan − 𝑏 ≤ 𝑏 ≤ 𝑏 .

Dengan Teorema 18. (2).

Kita peroleh − 𝑎 + 𝑏 = − 𝑎 + − 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 .

Selanjutnya dengan Teorema 18. (3) kita peroleh⏐a + b⏐ ≤ ⏐a⏐ + ⏐b⏐.

Akibat 20.

Untuk sebarang a,b di R.

(1). 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 − 𝑏 .

(2). 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 .

Bukti.

(1). ⏐a⏐ = ⏐a – b + b⏐ ≤ ⏐a – b ⏐+ ⏐b⏐, jadi 𝑎 − 𝑏 ≤ |𝑎 − 𝑏| (*)

⏐b⏐ = ⏐b – a + a⏐ ≤ ⏐b – a ⏐+ ⏐a⏐, jadi 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝑎 − 𝑏 (**)

Dari (*),(**) dan 16.(3) kita peroleh 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 − 𝑏 .

(2). Dengan ketidaksamaan segitiga kita peroleh:

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏

Jadi 𝑎 − 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 .

Akibat 21 (Perluasan Ketidaksamaan Segitiga)

Untuk sebarang a1, a2, a3, . . . , an unsur-unsur di R,

⏐a1 + a2 + a3 + . . . + an ⏐ ≤ ⏐a1 ⏐+ ⏐a2 ⏐+ ⏐ a3 ⏐ + . . . + ⏐ an ⏐

Bukti.

Gunakan induksi matematika untuk memperluas ketidaksamaan segitiga.

Bukti selengkapnya diserahkan kepada pembaca.

Garis Real

Definisi 22. (Lingkungan dan Lingkungan-ε) Misalkan 𝑎 di R

(1) Untuk 𝜀 > 0, lingkungan-𝜀 dari 𝑎 adalah himpunan

𝐿b 𝑎 = 𝑥 ∈ 𝑅: 𝑎 − 𝜀 < 𝑥 < 𝑎 + 𝜀

(2) Lingkungan dari 𝑎 adalah himpunan yang memuat lingkungan-𝜀 dari a

untuk suatu 𝜀 > 0.

Teorema 23.

Misalkan a ∈ R. Jika x ∈ R sehingga x anggota setiap lingkungan dari a,

maka a = x.

Bukti.

x anggota setiap lingkungan dari a, akibatnya x ∈ Lε(a) untuk setiap ε > 0.

Menurut Teorema 14. Maka ⏐x - a⏐ = 0. Ini berarti x - a = 0 atau x = a.

Kelengkapan pada R Suprimum dan Infimum

Definisi 24 (Definisi batas atas dan batas bawah).

Misalkan S himpunan bagian dari R.

(1) Unsur u ∈ R, dikatakan batas atas dari S jika s ≤ u untuk semua s∈ S.

(2) Unsur w ∈ R, dikatakan batas bawah dari S, jika s ≥ w untuk semua s∈ S.

Catatan:

Jika S ⊂ R ada kemungkinan bahwa S tidak mempunyai batas atas maupun batas

bawah (misalnya S adalah himpunan bilangan bulat).

v r

Namun demikian jika S mempunyai sebuah (1 nilai) batas atas, maka S

mempunyai takberhingga banyaknya batas atas, karena apabila v batas atas dari S,

maka terdapat r ∈ R sehingga r > v juga batas atas dari S.

Juga terdapat himpunan yang mempunyai batas atas tetapi tidak mempunyai batas

bawah, demikian pula sebaliknya yaitu himpunan yang tidak mempunyai batas

atas tetapi mempunyai batas bawah.

Contoh: S1 = { }10: <∈ xRx dan S2 = { }15: >∈ xRx

Pada S1, 15 adalah batas atas, tetapi S1 tidak mempunyai batas bawah, sedangkan

S2 tidak mempunyai batas atas, tetapi mempunyai batas bawah, misalnya 0, 1, 15,

dsb.

Himpunan bagian dari R yang mempunyai batas atas disebut himpunan terbatas di

atas, Himpunan bagian dari R yang mempunyai batas bawah disebut himpunan

terbatas di bawah. Himpunan bagian dari R yang terbatas di atas dan terbatas di

bawah disebut terbatas.

Definisi 25 (Definisi Suprimum dan Infimum)

Misalkan S ⊂ R.

(1) Jika S terbatas di atas, maka suatu batas atas dikatakan suprimum (batas atas

terkecil) dari S, jika ia lebih kecil dari setiap batas atas yang lain dari S.

(2) Jika S terbatas di bawah, maka suatu batas bawah dikatakan infimum (batas

bawah terbesar) dari S, jika ia lebih besar dari setiap batas bawah yang lain

dari S.

Definisi ini dapat dinyatakan dengan cara lain berikut ini:

(1). u ∈ R suprimum dari S, jika memenuhi dua sifat:

S

S

SupSInfS

a. s ≤ u untuk semua s ∈ S.

b. jika s ≤ v untuk semua s ∈ S, maka u ≤ v.

(2). t ∈ R infimum dari S, jika memenuhi dua sifat:

a. s ≥ t untuk semua s ∈ S.

b. jika s ≤ r untuk semua s ∈ S, maka t ≤ r.

!"!#$SdaribawahBatas

######## !!! "!!! #$SdariatasBatas

#############

Kita lambangkan sup S atau sup(S) untuk suprimum dari S dan inf S atau inf(S)

untuk infimum dari S.

Teorema 26 (Aplikasi Suprimum)

Suatu batas atas u dari himpunan tak-kosong S di R ádalah suprimum dari S jika

dan hanya jika untuk setiap � > 0 terdapat 𝑠��𝑆 sehingga 𝑢 − � < 𝑠� .

Bukti.

(⇐) Misalkan u batas atas sehingga untuk setiap ε > 0 terdapat sε ∈ S sehingga u -

ε < sε. Akan ditunjukkan bahwa u = sup S.

Misalkan v batas atas dan v ≠ u.

Andaikan v < u, ambil ε = u - v > 0, menurut hipótesis, maka terdapat sε ∈ S

sehingga u - ε < sε. Akibatnya u –(u – v) = v < sε. Ini suatu kontradiksi bahwa

v batas atas, jadi haruslah v > u, yang berarti u batas atas terkecil dari S. Jadi

u = sup S.

(⇒) Misalkan u = sup S dan ambil ε > 0 sebarang.

Karena u - ε < u, maka u - ε bukan batas atas dari S. Oleh karena itu terdapat

sε ∈ S yang lebih besar dari u - ε. Jadi u - ε < sε untuk suatu sε ∈ S.

Contoh 1.

1. Jika S1 hanya memiliki berhingga unsur, maka dapat ditunjukkan bahwa S1

mempunyai unsur terbesar u dan unsur terkecil v. Maka u = sup S1 dan v = inf

S1 dimana u dan v unsur-unsur di S1.

2. Himpunan S2 = {x ∈ R: 0 ≤ x ≤ 1}. Himpunan ini mempunyai batas atas

terkecil 1 dan batas bawah terbesar 0 yang keduanya terletak pada S2.

3. Himpunan S3 = {x ∈ R: 0 < x < 1}. Himpunan ini mempunyai batas atas

terkecil 1 dan batas bawah terbesar 0 yang keduanya tidak terletak pada S2.

4. Setiap unsur di R merupakan batas atas dan sekaligus batas bawah dari

himpunan kosong Φ. Jadi himpuna Kosong tidak mempunyai suprimim

maupun infimum.

Sebagai catatan bahwa pada contoh di atas, S1 dan S2 memuat suprimum dan

infimum. Suprimum yang dimuat di suatu himpunan sering disebut maksimum

dan infimum yang dimuat di suatu himpunan disebut minimum.

Sifat Suprimum dan Infimum pada R

Untuk mempelajari lebih lanjut sifat-sifat suprimum dan infimum suatu

himpunan pada R, berikut ini akan dituliskan suatu teorema yang pembuktiannya

ditangguhkan dan tidak dibuktikan pada buku ini.

Teorema 27. (Teorema Suprimum)

Setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang mempunyai batas atas,

mempunyai suprimum.

Dengan cara sama, maka setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang

mempunyai batas bawah, mempunyai infimum.

Contoh 2.

Misalkan S himpunan bagian tak-kosong dari R yang terbatas di atas, dan

misalkan a ∈ R. Definisikan himpuna a + S = {a + s : s ∈ S}, maka sup (a + S)

= a + sup S.

Bukti.

Misalkan u = sup S, maka x ≤ u untuk setiap x ∈ S.

Jadi a + x ≤ a + u, ∀ x ∈ S.

Ini berarti 𝑎 + 𝑢 batas atas dari a + S, oleh karena itu sup (a + S) ≤ a + u.

Selanjutnya misalkan v batas atas dari a + S, maka a + x ≤ v untuk setiap x ∈ S,

akibatnya x ≤ v - a ∀ x ∈ S.

Karena u = sup S, maka u ≤ v - a. Jadi a + u suprimum dari a + S.

Dengan cara serupa kita peroleh hubungan inf (a + S) = a + inf S.

Sifat Archimedes pada R Sekarang kita akan mempelajari dan mendalami sifat-sifat bilangan real

melalui bilangan Asli. Kita perhatikan pada bilangan asli N, bilangan asli ini

terbatas dibawah oleh 1, tetapi tidak terbatas di atas oleh R. Ini berarti bahwa jika

diberikan sebarang bilangan real x, maka terdapat n ∈ N sehingga x < n.

Teorema 28 (Teorema Archimedes)

Jika 𝑥 ∈ 𝑹 maka terdapat 𝑛g ∈ 𝑵 sehingga 𝑥 < 𝑛g.

Bukti.

Andaikan tidak demikian, maka terdapat x∈ R, x batas atas dari N. Menurut sifat

suprimum, N mempunyai suprimum u ∈ R. Karena u – 1 < u, maka menurut

Teorema 26 terdapat m ∈ N sehingga u – 1 < m, jadi u < m + 1.

Karena m ∈ N maka m + 1∈ N. Ini bertentangan dengan u batas atas dari N, jadi

pengandaian salah. Dengan kata lain N tidak mempunyai batas atas, akibatnya jika

x∈ R, maka terdapat nx ∈ N sehingga x < nx.

Akibat 29.

Misalkan 𝑦 dan 𝑧 bilangan real positif maka:

(1). Terdapat n ∈ N sehingga z < ny.

(2). Terdapat n ∈ N sehingga 0 < Aj< 𝑦

Terdapat n ∈ N sehingga n – 1 < z < n.

Bukti.

(1). Sebut 0>=yzx , maka terdapat n ∈ N sehingga nx

yz

<= . Oleh karena itu

nyz < .

(2). Dari bukti (1) Ambil z = 1, maka 1 < ny untuk suatu n ∈ N. Akibatnya yn<

1 .

Jadi yn<<

10 .

(3). Ambil z ∈ R.

Sebut K= {m ∈ N : z < m}. Jelas K ≠ Φ. Pilih n = min K, maka n – 1 ≤ z < n.

Eksistensi 𝟐 Pada kajian sebelumnya telah ditunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang

jika dikuadratkan menjadi 2. Ini mengandung arti bahwa 𝟐 bukan bilangan

rasional. Dalam kajian ini akan ditunjukkan bahwa 𝟐 adalah bilangan real,

dengan demikian bilangan 𝟐 ini adalah bilangan irasional. Pembuktian ini

dilakukan dengan membuktikan bahwa 𝟐 adalah suprimum suatu himpunan tak

kosong. Sementara suprimum suatu himpunan adalah suatu batas atas dan batas

atas adalah suatu unsur di R.

Teorema 30 (eksistensi 𝟐).

Terdapat bilangan real positif x sehingga x2 = 2.

Bukti.

Misalkan S = {s ∈ R: 0 < s, x2 < 2}

1 ∈ S, jadi S tidak kosong. S terbatas di atas oleh 2, karena jika t > 2, maka t2 > 4,

sehingga t ∉ S.

Menurut Teorema 27, S mempunyai suprimum.

Misalkan x = sup S. Akan ditunjukkan bahwa x2 = 2.

Jika tidak demikian, maka x2 < 2 atau x2 > 2.

Andaikan x2 < 2. Glgm

GgnA> 0, menurut Akibat 29, maka terdapat n ∈ N sehingga 0 < A

j< Glgm

GgnA atau

Aj2𝑥 + 1 < 2 − 𝑥G.

Karena 𝑥 + Aj

G= 𝑥G + Gg

j+ A

jm≤ 𝑥G + A

j2𝑥 + 1 < 𝑥G + 2 − 𝑥G = 2.

Jadi 𝑥 < 𝑥 + Aj∈ 𝑆, ini bertentangan dengan x = sup S, denga kata lain tidak

mungkin x2 < 2.

Andaikan x2 > 2.

Kita miliki gmlGGg

> 0. Sehingga menurut Akibat 29, terdapat n ∈ N sehingga Aj<

gmlGGg

atau Ggj< 𝑥G − 2.

𝑥 −1𝑛

G

= 𝑥G −2𝑥𝑛+1𝑛G

> 𝑥G −2𝑥𝑛> 𝑥G − 𝑥G − 2 = 2

Jadi 𝑥 − Aj> 𝑠 untuk setiap s ∈ S, yang berarti 𝑥 − A

j batas atas dari S.

Ini bertentangan dengan x = sup S. Jadi tidak mungkin x2 > 2.

Akibatnya x2 = 2.

Selanjutnya jika a > 0, a ∈ R, maka terdapat secara tunggal bilangan positif b ∈ R

sehingga 𝑏G = 𝑎. Kita sebut b sebagai akar kuadrat dari a dan dilambangkan 𝑏 =

𝑎.

Kerapatan Bilangan Rasional.

Telah ditunjukkan bahwa 2∈ R dan 2 bukanlah bilangan rasional, tetapi

bilangan irasional. Perlu diketahui bahwa bilangan irasional itu “lebih banyak”

dari pada bilangan rasional.

Bilangan irasional ini jauh lebih banyak dari pada bilangan rasional. Ini dapat

dipahami dengan memahami bahwa setiap satu bilangan irasional jika dikalikan

bilangan rasional tak nol akan menghasilkan bilangan irasional, ini menunjukkan

setiap diberikan satu bilangan irasional kemudian kita kalikan dengan semua

bilangan rasional tak nol, akan memperoleh korespondensi satu-satu pada dengan

seluruh bilangan rasional tak nol.

Teorema 31. (Eksistensi bilangan rasional diantara dua bilangan real)

Jika x dan y bilangan real dengan x < y, maka terdapat bilangan rasional r

sehingga x < r < y.

Bukti.

Tanpa mengurangi sifat umum, misalkan x > 0. Menurut sifat Archimedes,

terdapat bilangan asli n sehingga𝑛 > Aolg

. Jadi nx – ny > 1.

Karena nx > 0, maka menurut Akibat 29,

terdapat m ∈ N, sehingga m – 1 ≤ nx < m (karena m – nx ≤ 1 < ny –nx atau m <

ny).

Jadi kita peroleh nx < m < ny atau 𝑥 < pj< 𝑦.

Pilih 𝑟 = pj

, jadi r bilangan rasional dan memenuhi x < r < y.

Akibat 32. (Eksistensi bilangan irasional diantara dua bilangan real)

Jika x dan y bilangan real sehingga x < y, maka terdapat bilangan irasional z

sehingga x < z < y.

Bukti.

Karena x < y, maka 22yx

< yang keduanya di R.

Menurut Teorema 29, terdapat bilangan rasional r sehingga: 22yrx

<<

akibatnya x < r√2 < y. Sebut z = r√2, r∈R, z bilangan irasional sehingga x< z < y.

RINGKASAN Aksioma 3

Pada himpunan bilangan riil R terdapat dua operasi biner yang dilambangkan

dengan + dan . dan berturut-turut disebut penambahan dan perkalian. Operasi

tersebut mempunyai sifat :

1. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 di R (sifat komutatif penjumlahan),

2. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 di R (sifat assosiatif penjumlahan),

3. Terdapat unsur 0 di R sehingga 0 + 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ R (eksistensi unsur nol),

4. Untuk setiap 𝑎 ∈ R, terdapat unsur −𝑎 ∈ R sehingga 𝑎 + (−𝑎) = 0.

(eksistensi unsur negatif),

5. 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 di R (sifat komutatif perkalian),

6. (𝑎. 𝑏). 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 di R (sifat assosiatif perkalian),

7. Terdapat unsur 1 di R yang berbeda dengan 0 sehingga 1. 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ R

(eksistensi unsur satuan di R),

8. Untuk setiap 𝑎 ≠ 0 di R terdapat unsur A0 di R sehingga 𝑎. A

0= 1 (eksistensi

unsur kebalikan),

9. 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = (𝑎. 𝑏) + (𝑎. 𝑐) dan (𝑏 + 𝑐). 𝑎 = (𝑏. 𝑎) + (𝑐. 𝑎)∀𝑎, 𝑏, 𝑐 di R

(sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan).

Definisi 2.

Bilangan Rasional didefinisikan sebagai 𝑄 = 01:𝑎, 𝑏𝑑𝑖𝑍𝑑𝑎𝑛𝑏 ≠ 0 .

Teorema 6.

Tak ada bilangan rasional t sedemikian hingga 22 =t .

Sifat Urutan pada R Pada himpunan bilangan real R, terdapat himpunan takkosong P dari R

yang memenuhi sifat:

(1). Jika a, b di P, maka a + b di P

(2). Jika a, b di P, maka ab di P

(3). Jika a di R, maka tepat satu pernyataan berikut dipenuhi:

a ∈ P, a = 0 , a ∉ P sifat ini disebut sifat trikotomi.

Definisi 7 (Bilangan positif).

Jika a ∈ P, kita katakan bahwa a bilangan real positif dan ditulis a > 0.

Jika a ∈ P atau a = 0, kita katakan bahwa a bilangan real nonnegatif dan kita tulis

a ≥ 0.

Jika −𝑎 ∈ P, kita katakan bahwa a bilangan real negatif dan ditulis a < 0.

Jika −𝑎 ∈ P atau a = 0, kita katakan bahwa a bilangan real nonpositif dan kita

tulis a ≤ 0.

Teorema 9 (Sifat penambahan pada ketidaksamaan)

Misalkan a, b, c, d unsur-unsur di R.

(1). Jika a > b, maka a + c > b + c

(2). Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d

(3). Jika a > b dan c > 0, maka a.c > b.c

Jika a > b dan c < 0, maka a.c < b.c

(4). Jika a > 0, maka a1 > 0 dan Jika a < 0, maka

a1 < 0.

Akibat 11 (Tidak ada bilangan positif yang terkecil)

Jika a ∈ R, a > 0, maka a > 21 a > 0.

Nilai Mutlak

Misalkan a ∈ R, nilai mutlak dari a adalah bilangan nonnegatif yang besarnya a

atau –a.

Definisi 15.

Jika a ∈ R, nilai mutlak dari a, dilambangkan dengan ⏐a⏐, didefinisikan dengan

⏐a⏐ := a jika a ≥ 0,

⏐a⏐ := -a jika a < 0.

Contoh: ⏐4⏐ := 4, ⏐-7⏐ := 7.

Teorema 16.

(1). −𝑎 = 𝑎 untuk semua a ∈ R.

(2). ⏐ab⏐ = ⏐a⏐. ⏐b⏐ untuk semua a,b di R.

(3). Jika c > 0, maka ⏐a⏐ ≤ c jika dan hanya jika −𝑐 ≤ 𝑎 ≤ 𝑐.

(4). − 𝑎 ≤ 𝑎 ≤ |𝑎|

Teorema 17. (Ketidaksamaan segitiga)

Untuk setiap a,b di R, maka ⏐a + b⏐ ≤ ⏐a⏐ + ⏐b⏐.

Akibat 19 (Perluasan Ketidaksamaan Segitiga)

Untuk sebarang a1, a2, a3, . . . , an unsur-unsur di R,

⏐a1 + a2 + a3 + . . . + an ⏐ ≤ ⏐a1 ⏐+ ⏐a2 ⏐+ ⏐ a3 ⏐ + . . . + ⏐ an ⏐

Kelengkapan pada R Suprimum dan Infimum

Definisi 22 (Definisi batas atas dan batas bawah).

Misalkan S himpunan bagian dari R.

(1). Unsur u ∈ R, dikatakan batas atas dari S jika s ≤ u untuk semua s∈ S.

(2). Unsur w ∈ R, dikatakan batas bawah dari S, jika s ≥ w untuk semua s∈ S.

Definisi 23 (Definisi Suprimum dan Infimum).

Misalkan S ⊂ R.

(1). Jika S terbatas di atas, maka suatu batas atas dikatakan suprimum (batas atas

terkecil) dari S, jika ia lebih kecil dari setiap batas atas yang lain dari S.

(2). Jika S terbatas di bawah, maka suatu batas bawah dikatakan infimum (batas

bawah terbesar) dari S, jika ia lebih besar dari setiap batas bawah yang lain

dari S.

Definisi ini dapat dinyatakan dengan cara lain berikut ini:

(1). u ∈ R suprimum dari S, jika memenuhi dua sifat:

S

SupSInfS

a. s ≤ u untuk semua s ∈ S.

b. jika s ≤ v untuk semua s ∈ S, maka u ≤ v.

(2). t ∈ R infimum dari S, jika memenuhi dua sifat:

a. s ≥ t untuk semua s ∈ S.

b. jika s ≤ r untuk semua s ∈ S, maka t ≤ r.

!"!#$SdaribawahBatas

######## !!! "!!! #$SdariatasBatas

#############

Teorema 25. (Teorema Suprimum)

Setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang mempunyai batas atas,

mempunyai suprimum.

Dengan cara sama, maka setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang

mempunyai batas bawah, mempunyai infimum.

Teorema 26 (Teorema Archimedes)

Jika x ∈ R maka terdapat nx ∈ N sehingga x < nx.

Akibat 27.

Misalkan y dan z bilangan real positif maka:

(1). Terdapat n ∈ N sehingga z < ny.

(2). Terdapat n ∈ N sehingga yn<<

10

(3). Terdapat n ∈ N sehingga n – 1 < z < n.

Teorema 28 (eksistensi 2 ). Terdapat bilangan real positif x sehingga x2 = 2.

Kerapatan Bilangan Rasional Teorema 29. (Eksistensi bilangan rasional diantara dua bilangan real)

Jika x dan y bilangan real dengan x < y, maka terdapat bilangan rasional r

sehingga x < r < y.

Akibat 30. (Eksistensi bilangan irasional diantara dua bilangan real)

Jika x dan y bilangan real sehingga x < y, maka terdapat bilangan irasional z

sehingga x < z < y.