Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
NHỊ THỨC NIU-TON
1). Công thức nhị thức Niu-ton
n 0 n 1 n 1 k n k k n nn n n n(a b) C a C a b ... C a b ... C b− −+ = + + + + +
n
k n k kn
k 0
C a b−
=
= (quy ước 0 0a b 1)= = (*).
2). Nhận xét:
Công thức nhị thức Niu tơn (*) có :
* (n + 1) số hạng.
* Số hạng thứ k + 1 là k n k kk 1 nT C a b−
+= .
* Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất k n kn nC C −= .
* Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b luôn bằng n.
2). Tam giác Pa-xcan
Trên đây ta thấy muốn khai triển n(a b)+ thành đa thức, ta cần biết n 1+ số 0 1 2 n 1 nn n n n nC ,C ,C ,...,C ,C− có mặt trong công thức nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính
được bằng cách sử dụng bảng số sau đây :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……………………………………………………
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Bảng số này do nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập vào năm 1653 và được người ta
gọi là tam giác Pa-xcan.
Tam giác Pa-xcan được thiết lập theo quy luật sau :
− Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
− Nếu biết hàng thứ n (n 1) thì hàng thứ n 1+ tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng
hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này.
Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.
Chú ý:
m n m nx .x x ,+= m
m n
n
xx ,
x
−= m m mx .y (xy) ,= m
m
m
x x,
yy
=
( ) ( )n m
m n m.nx x x= = , 11x ,
x−= m
m
1x
x
−= , 1
2x x ,= n
m n mx x= (với điều kiện x, y đều có nghĩa
trong tất cả các công thức trên).
CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: TÌM HỆ SỐ CỦA SỐ HẠNG CHỨA kx TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC
NIUTƠN
PHƯƠNG PHÁP:
• Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát: ( )n
n k n k k
nk 0
a b C a b−
=
+ =
• Số hạng thứ (k 1)+ : ( )k n k k
k 1 nT C a b , 0 k n,n−
+=
Ví dụ 1: Khai triển các nhị thức sau:
a). ( )5
x 2y+ b). ( )6
2x 3y− c). 5
12x
y
−
d).
61
2yx
+
LỜI GIẢI
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
a). ( )5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5x 2y C x C x .(2y) C x .(2y) C x .(2y) C x.(2y) C (2y)+ = + + + + +
5 4 3 2 2 3 4 5x 10x y 40x y 80x y 80xy 32y= + + + + + .
b). ( )66
2x 3y 2x ( 3y) − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 5 4 20 1 2
6 6 6C 2x C 2x 3y C 2x 3y= + − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2 4 5 63 4 5 6
6 6 6 6C 2x 3y C 2x 3y C 2x 3y C 3y+ − + − + − + −
6 5 4 2 3 3 2 4 5 664x 576x y 2160x y 4320x y 4860x y 2916xy 729y= − + − + − + .
c). 55
1 12x 2x
y y
− = + −
( ) ( ) ( )
25 4 30 1 2
5 5 5
1 1C 2x C 2x C 2x
y y
= + − + −
( ) ( )3 4 5
23 4 55 5 5
1 1 1C 2x C 2x C
y y y
+ − + − + −
4 3 25
2 3 4 5
80x 80x 40x 10x 132x
y y y y y= − + − + − .
d). ( ) ( ) ( )6 6 5 4 3
2 30 1 2 36 6 6 6
1 1 1 1 12y C C 2y C 2y C 2y
x x x x x
+ = + + +
( ) ( ) ( )2
4 5 64 5 66 6 6
1 1C 2y C 2y C 2y
x x
+ + +
2 3 4 56
6 5 4 3 2
12y 60y 160y 240y 192y164y
xx x x x x= + + + + + +
Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ k trong các khai triển nhị thức sau:
1). Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển ( )13
x 2y+
2). Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển ( )11
x 3y−
3). Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển 15
22x
y
−
4). Tìm hệ số của 101 99x y trong khai triển ( )200
2x 3y− .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
5). Tìm hệ số của 4x trong khai triển ( )10
21 2x 3x+ +
6). Tìm hệ số của 8x trong khai triển ( )8
2 31 x x+ −
LỜI GIẢI
1). Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển ( )13
x 2y+
Ta có số hạng tổng quát ( )kk n k k k 13 k
k 1 n 13T C a b C x 2y− −+ = = . Để có số hạng thứ 6 thì
k 1 6 k 5+ = = . Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển là ( )55 8 8 5
13C x 2y 41184x y=
2). Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển ( )11
x 3y−
Ta có số hạng tổng quát ( )kk n k k k 11 k
k 1 n 11T C a b C x 3y− −+ = = − . Để có số hạng thứ 5 thì
k 1 5 k 4+ = = . Vậy số hạng thứ 5 trong khai triển là ( )44 7 7 4
11C x 3y 26730x y− = .
3). Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển 15
22x
y
−
Ta có số hạng tổng quát k
k n k k k 15 kk 1 n 15
2T C a b C (2x)
y− −
+
= = −
. Để có số hạng thứ 8 thì
k 1 8 k 7+ = = . Vậy số hạng thứ 8 trong khai triển là 7 8
7 8 7 1515 15 7
2 xC (2x) C 2 .
y y
− = −
.
4). Tìm hệ số của 101 99x y trong khai triển ( )200
2x 3y− .
Ta có ( ) ( ) ( )200
200200 200 k kk200
k 0
2x 3y 2x ( 3y) C 2x 3y−
=
− = + − = − 200
k 200 k k 200 k k200
k 0
C 2 ( 3) x y− −
=
= − . Để có hệ
số của 101 99x y thì 200 k 101
k 99
− =
= k 99 = (đúng). Kết luận hệ số của 101 99x y là 99 101 99
200C 2 ( 3)− .
5). Tìm hệ số của 4x trong khai triển ( )10
21 2x 3x+ +
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )10 10 k10 k mk m2 k 2 k m 2
10 10 kk 0 k 0 m 0
1 2x 3x C 2x 3x C C 2x 3x−
= = =
+ + = + =
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
10 kk m k m m k m10 k
k 0 m 0
C C 2 3 x− +
= =
= . Để có hệ số của 4x thì k m 4
0 m k 10
k,m
+ =
m 0
k 4
=
= hoặc
m 1
k 3
=
= hoặc
m 2
k 2
=
=. Kết luận hệ số của 4x là :
4 0 4 0 3 1 2 1 2 2 0 24 10 4 10 3 10 2a C C 2 3 C C 2 3 C C 2 3 8085= + + =
6). Tìm hệ số của 8x trong khai triển ( )8
2 31 x x+ −
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )8 8 k8 k k m m
2 3 k 2 3 k m 2 38 8 k
k 0 k 0 m 0
1 x x C x x C C x x−
= = =
+ − = − = −
( )8 k
mk m 2k m8 k
k 0 m 0
C C 1 x +
= =
= − . Để có hệ số của 8x thì 2k m 8
0 m k 8
m,k
+ =
m 0
k 4
=
= hoặc
m 2
k 3
=
= . Kết
luận hệ số của 8x là : 4 0 3 28 8 4 8 3a C C C C 238= ++ =
Ví dụ 3: Tìm số hạng không chứa x trong các triển khai sau:
a). 15
2 1x
x
+
b).
12
2
4
1x
x
+
c).
122
2xx
−
LỜI GIẢI
a). Ta có ( )15 k
15 15 1515 k2 k 2 k 30 2k k k 30 3k
15 15 15k 0 k 0 k 0
1 1x C x C x .x C x
x x
−− − −
= = =
+ = = =
. Để có số hạng không chứa
x thì 30 3k 0 k 10− = = . Kết luận hệ số của số hạng không chứ x là 1015C .
b). Ta có ( )12 k
12 12 1212 k2 k 2 k 24 2k 4k k 24 6k
12 12 124 4k 0 k 0 k 0
1 1x C x C x x C x
x x
−− − −
= = =
+ = = =
. Để có số hạng không
chứa x thì 24 6k 0 k 4− = = . Kết luận hệ số của số hạng không chứ x là 412C .
c). Ta có ( ) ( )12 k
12 1212 k kk k 12 k 12 k k
12 12k 0 k 0
2 22x C 2x C 2 x 2 x
x x
− − − −
= =
− = − = −
( )
12kk 12 k 12 2k
12k 0
C 2 2 x− −
=
= − . Để có
số hạng không chứa x thì 12 2k 0 k 6− = = . Kết luận hệ số của số hạng không chứ x là 6 6 6 6 1212 12C 2 ( 2) C 2− = .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ví dụ 4: Trong khai triển của nhị thức n
2 2x
x
−
cho biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu
tiên trong khai triển trên bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có chứa 4x .
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( ) ( )n 2 n
n n 1 n 22 0 2 1 2 2 2 n
n n n n
2 2 2 2x C x C x C x C
x x x x
− − − = + − + − + + −
n
0 2n 1 2n 3 2 2n 6 n
n n n n
2C x 2C x 4C x C
x− −
= − + + + −
Theo đề bài ta có ( ) ( )
0 1 2
n n n
n! n!C 2C 4C 97 1 2 4 97
n 1 ! 2! n 2 !− + = − + =
− −
( )( )
( )( )( )
( )n n 1 ! n n 1 n 2 !
2 4 96 n n n 1 48n 1 ! 2 n 2 !
− − − − + = − + − =
− −
2n 2n 48 0 n 8 n 6 − − = = = − . Nhận n 8= .
Vậy ( ) ( )n 8 k
8 88 k k2 2 k 2 k 16 2k k
8 8k 0 k 0
2 2 2x x C x C x 2 x
x x x
−− −
= =
− = − = − = −
( )8
kk 16 3k
8k 0
C 2 x −
=
= − . Để có hệ số của số hạng chứa 4x thì 16 3k 4 k 4− = = .
Kết luận hệ số của số hạng chứa 4x là ( )44
4 8a C 2 1120= − = .
Ví dụ 5: Tìm hệ số của 5x trong khai triển của biểu thức sau thành
đa thức
( ) ( ) ( ) ( )4 5 6 7
f(x) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 .= + + + + + + +
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( ) ( )n n n 10 1 n
n n n2x 1 C 2x C 2x ... C .−
+ = + + +
Số hạng tổng quát là ( )n kk n k k n k
k 1 n na C 2x 2 .C .x .− − −
+= = Ta cần n k 5− = , tức là k n 5.= −
Như vậy trong khai triển ( )4
2x 1+ không có 5x .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Hệ số 5x trong khai triển của:
• nhị thức ( )5
2x 1+ ứng với k 5 5 0= − = là 5 0 552 C 2 ,=
• nhị thức ( )6
2x 1+ ứng với k 6 5 1= − = là 5 1 562 C 6.2 ,=
• nhị thức ( )7
2x 1+ ứng với k 7 5 2= − = là 5 2 572 C 21.2 .=
Vậy hệ số cần tìm là 5 5 5 52 6.2 21.2 28.2 896.+ + = =
Ví dụ 6: Trong khai triểnn
1x
x
+
, hệ số số hạng thứ ba lớn hơn hệ
số số hạng thứ hai là 35. Tính số hạng không chứa x.
LỜI GIẢI
Ta cón kn n
k n k k n 2kn n
k 0 k 0
1 1x C .x C .x
x x− −
= =
+ = =
Từ giả thiết suy ra 2 1 2n n
n 10C C 35 n 3n 70 0
n 7(loai).
=− = − − =
= −
Vậy n 10= : Số hạng k 10 2kk 1 10a C .x −+= không phụ thuộc x khi
10 2k 0 k 5.− = = Vậy số hạng ấy là 510C 252.=
Ví dụ 7: Khai triển và rút gọn đa thức
( ) ( ) ( ) ( )6 7 8 10
P(x) 1 x 1 x 1 x ... 1 x= + + + + + + + +
Được 10 910 9 0P(x) a x a x ... a .= + + + Tính 8a .
LỜI GIẢI
8a là hệ số của số hạng chứa 8x . Ta có
• Hệ số của 8x trong ( )8
1 x+ là 88C .
• Hệ số của 8x trong ( )9
1 x+ là 89C .
• Hệ số của 8x trong ( )10
1 x+ là 810C .
Vậy 8 8 88 8 9 10a C C C 55.= + + =
DẠNG 2: TÍNH TỔNG hoặc CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
PHƯƠNG PHÁP
Dựa vào các công thức khai triển nhị thức Niutơn sau:
• ( )n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n 1 n 1 n n
n n n n na b C a C a b C a b C ab C b− − − −+ = + + ++ +
• ( )n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n
n n n n n1 x C C x C x C x C x− −+ = + + ++ +
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
• ( )n 0 n 1 n 1 2 n 2 n 1 n
n n n n nx 1 C x C x C x C x C− − −+ = + + ++ + .
Sau đó chọn a, b, x các giá trị thích hợp …
Ví dụ 1: Tính các giá trị của biểu thức sau:
0 1 2 n1 n n n nS C C C C= + + + +
0 1 2 2 n n2 n n n nS C 2C 2 C 2 C= + + + +
n 0 n 1 1 n 2 2 n3 n n n nS 2 C 2 C 2 C C− −= + + + +
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( )n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n1 x C C x C x C x C x *+ = + + + + +
a). Chọn x = 1 thay vào (*) ta được: ( )n 0 1 2 n
n n n n1 1 C C C C+ = + + + +
Kết luận: 0 1 2 n nn n n nC C C C 2+ + + + =
b). Chọn x = 2 thay vào (*) ta được: ( )n 0 1 2 2 n n
n n n n1 2 C 2C 2 C 2 C+ = + + + +
Kết luận 0 1 2 2 n n nn n n nC 2C 2 C 2 C 3+ + + + =
c). Ta có ( ) ( )n 0 n 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n
n n n n nx 1 C x C x C x C x C * *− − −+ = + + + + +
Chọn x = 2 thay vào (**) ta được: ( )n n 0 n 1 1 n 2 2 n
n n n n2 1 2 C 2 C 2 C C− −+ = + + + +
Kết luận n 0 n 1 1 n 2 2 n nn n n n2 C 2 C 2 C C 3− −+ + + + =
Những kết quả này áp dụng rất nhiều cho các bài tập ở sau.
Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a). 0 1 2 3 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C 2−+ + + + + + =
b). 0 1 2 3 2n 1 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C 0−− + − + − + =
c). 0 2 2n 1 3 2n 1 2n 12n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C 2− −+ + + = + + + =
LỜI GIẢI
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có ( ) ( )2n 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x C x C x *− −+ = + + + + + +
a). Chọn x = 1 thay vào (*) ta được:
( )2n 0 1 2 3 2n 1 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n1 1 C C C C C C−+ = + + + + + +
Kết luận: 0 1 2 3 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C 2−+ + + + + + = (1).
b). Chọn x = -1 thay vào (*) ta được:
( )2n 0 1 2 3 2n 1 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n1 1 C C C C C C−− = − + − + − +
Kết luận: 0 1 2 3 2n 1 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C 0−− + − + − + = (2).
c). Từ (2) ta suy ra: 0 2 2n 1 3 2n 12n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C −+ + + = + + + (3)
lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:
( )0 2 2n 2n 0 2 2n 2n 12n 2n 2n 2n 2n 2n2 C C C 2 C C C 2 −+ + + = + + + = (4)
Từ (3) và (3) suy ra 0 2 2n 1 3 2n 1 2n 12n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C 2− −+ + + = + + + =
Những kết quả này áp dụng rất nhiều cho các bài tập ở sau
BÀI TẬP TỔNG HỢP
DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC DỰA VÀO CÔNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT
CỦA TỔ HỢP VÀ CHỈNH HỢP
Nhắc lại: kn
n!A
(n k)!=
− ;
kk nn
An!C
k!(n k)! k!= =
−
Câu 1: Chứng minh rằng các đẳng thức sau:
a). k n kn nC C −= b). k k k 1
n 1 n nC C C .−
+= +
c). k k 1 k 2 k 3 k 3n n n n n 3C 3C 3C C C .+ + + +
++ + + =
LỜI GIẢI
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
a). Ta có:( ) ( )( )( )
k n kn n
n! n!C C .
k! n k ! n n k ! n k !
−= = =− − − −
b). Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k 1n n
n! n! n! 1 1C C
k n k 1n k !k! k 1 ! n k 1 ! k 1 ! n k !−
+ = + = + − +− − − + − −
( ) ( ) ( )
( )( )
kn 1
n 1 !n! n 1. C .
k 1 ! n k ! k n k 1 k! n 1 k ! +
++= = =
− − − + + −
c). Áp dụng kết quả bài 2 ta có:
VT ( ) ( ) ( )k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3n n n n n nC C 2 C C C C+ + + + += + + + + +
( ) ( )k 1 k 2 k 3 k 1 k 2 k 2 k 3
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
k 2 k 3 k 3n 2 n 2 n 3
C 2C C C C C C
C C C VP
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + +
+ + +
= + + = + + +
= + = =
Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.
Câu 2: Chứng minh với các số k, n nguyên, không âm sao cho
1 k n, ta có k k 1n n 1kC nC −
−=
LỜI GIẢI
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
kn
k 1n 1
n. n 1 !n!kC k. k.
k! n k ! k. k 1 ! n 1 k 1 !
n 1 !n. nC
k 1 ! n 1 k 1 !
−
−
−= =
− − − − −
−= =
− − − −
Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.
Câu 3: Chứng minh với các số k, n nguyên, không âm sao cho
2 k n, ta có ( ) ( )k k 2n n 2k k 1 C n n 1 C −
−− = −
LỜI GIẢI
Ta có: ( ) ( )( )
kn
n!k k 1 C k k 1
k! n k !− = −
−
( )( )
( ) ( ) ( )( ) k 2
n 2
n 2 !n n 1 n n 1 C
k 2 ! n 2 k 2 !
−
−
−= − = −
− − − −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.
Câu 4: Chứng minh với các số k, n nguyên, không âm sao cho
2 k n, ta có ( )2 k k 2 k 1n n 2 n 1k C n n 1 C nC− −
− −= − +
LỜI GIẢI
Ta có: ( ) ( ) ( )2 k k k k k 2 k 1n n n n n 2 n 1k C k k 1 1 C k k 1 C kC n n 1 C nC− −
− −= − + = − + = − + (áp dụng kết quả
của hai bài kế trên).
Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.
Câu 5: Chứng minh với các số k, n nguyên,không âm sao cho
0 k n, ta có k k 1n n 1C C
k 1 n 1
+
+=+ +
LỜI GIẢI
Ta có: ( )
( )( ) ( )
kn
n 1 n!C 1 n! 1. .
k 1 k 1 n 1k! n k ! k 1 ! n k !
+= =
+ + +− + −
( )
( ) ( ) ( )
k 1n 1
n 1 ! C1.
n 1 n 1k 1 ! n 1 k 1 !
+
++
= =+ + + + − +
Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.
Câu 6: Chứng minh với các số k, n nguyên,không âm sao cho
0 k n, ta có
k k 1 kn n nnC (k 1)C kC .+= + +
LỜI GIẢI
kn
n! n! n! n!nC n. (n k) k . (n k). k.
k!(n k)! k!(n k)! k!(n k)! (n k)!= = − + = − + − − − −
( )( )( ) ( )( )
r 1 rn n
n! n!n k k 1 r.
r!(n r)!k 1 !. n k n k 1 !
n! n!(k 1). r. (r 1)C rC .
(k 1)!(n k 1)! r!(n r)!+
− + +−+ − − −
= + + = + ++ − − −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Câu 7: Chứng minh rằng các đẳng thức sau:
a). k k 1 k 2 k 3 k 3n n n n n 3C 3C 3C C C+ + + +
++ + + = với *n N ,0 k n 3. −
b). n 2 n 1 2 nn k n k n kA A k .A+ ++ + ++ = với *n,k N ,k 2.
LỜI GIẢI
a). Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k 1n n
n! n! n! 1 1C C
k n k 1n k !k! k 1 ! n k 1 ! k 1 ! n k !−
+ = + = + − +− − − + − −
( ) ( ) ( )
( )( )
kn 1
n 1 !n! n 1. C .
k 1 ! n k ! k n k 1 k! n 1 k ! +
++= = =
− − − + + −
Áp dụng kết quả trên ta có:
( ) ( ) ( )k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3n n n n n nVT C C 2 C C C C+ + + + += + + + + +
( ) ( )k 1 k 2 k 3 k 1 k 2 k 2 k 3
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
k 2 k 3 k 3n 2 n 2 n 3
C 2C C C C C C
C C C VP
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + +
+ + +
= + + = + + +
= + = =
b).Ta có: ( )( )
( )( )
( )( )
n 2 n 1n k n k
n k ! n k ! n k ! 1A A 1
k 1k 2 ! k 1 ! k 2 !+ +
+ +
+ + + + = + = +
−− − −
( )( )
( )2 2 nn k
n k ! n k !k. k . k .A .k 1 k!k 2 ! +
+ += = =
−−
Câu 8: Chứng minh các đẳng thức sau:
a). n 2 n 1 2 nn k n k n kA A k A+ ++ + ++ = với *n,k N ,k 2.
b). k k k 1n n 1 n 1A A k.A −
− −− = với *n,k N ,n 2,k n 1. −
c).k k 1 kn 1 n 1 n
n 1 1 1 1
n 2 C C C++ +
++ =
+
với *n,k N ,k n.
LỜI GIẢI
a). Ta có: ( )( )
( )( )
( )( )
n 2 n 1n k n k
n k ! n k ! n k ! 1A A 1
k 1k 2 ! k 1 ! k 2 !+ +
+ +
+ + + + = + = +
−− − −
( )
( )( )2 2 n
n k
n k !k n k !k k .A .
k!k 2 !k 1 +
+ += = =
− −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
b). Ta có:
( )
( )( )
( )( )
( )( )
k k k 1n n 1 n 1
n 1 ! n 1 ! n 1 !n! nA A . 1 k kA .
n kn k ! n 1 k ! n k 1 ! n k !−
− −
− − − − = − = − = =
−− − − − − −
c). Ta có: ( ) ( ) ( )
( )k k 1n 1 n 1
k! n 1 k ! k 1 ! n k !n 1 1 1 n 1.
n 2 n 2 n 1 !C C ++ +
+ − + + −+ ++ =
+ + +
( )
( ) ( )( )
kn
k! n k ! k! n k !1 1. n 1 k k 1 .
n 2 n! n! C
− − = + − + + = = +
Câu 9: Chứng minh k,n * thõa mãn 3 k n ta luôn có:
k k 1 k 2 k k 3 k 2n n n n 3 n nC 3C 2C C C C− − − −
++ + = − − .
LỜI GIẢI
Ta có:
k k 1 k 2 k k 3 k 2 k k 1 k 2 k 3 kn n n n 3 n n n n n n n 3C 3C 2C C C C C 3C 3C C C− − − − − − −
+ ++ + = − − + + + = (5)
( )k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k k 1 k 2
n n n n n n n 1 n 1 n 1VT(5) C C 2 C C C C C 2C C− − − − − − −
+ + += + + + + + = + +
( ) ( )k k 1 k 1 k 2 k k 1 k
n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 n 2 n 3C C C C C C C− − − −
+ + + + + + += + + + = + = (điều phải chứng minh).
10. Chứng minh rằng các đẳng thức sau:
a. k k 1 k 2 k 3 k 4 kn n n n n n 4C 4C 6C 4C C C− − − −
++ + + + = với 4 k n.
b. 2 2 2 5k n 1 n 3 n 5 n 5P .A .A .A n.k!.A .
+ + + +=
c. 0 k 1 k 1 k 0 k kn n n n 1 n n k nC .C C .C ... C .C 2 .C .−
− −+ + + =
LỜI GIẢI
a).Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3 k 3 k 4n n n n n n n nVT C C 3 C C 3 C C C C− − − − − − −= + + + + + + +
k k 1 k 2 k 3 kn 1 n 1 n 1 n 1 n 4C 3C 3C C C .− − −+ + + + +
= + + + =
b).Ta có: VT( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
5n 5
n 1 ! n 3 ! n 5 ! n 5 !k! . . k! nk!A .
n 1 ! n 1 ! n 3 ! n 1 ! +
+ + + += = =
− + + −
c).Ta có:
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
m k mn n m
m kk n
n m !n! n!C C .
m! n m ! k m ! n k ! m! k m ! n k !
k! n!. C .C
m! k m ! k! n k !
−
−
−= =
− − − − −
= =− −
Suy ra: k k k
m k m m k k m k kn n m k n n k n
m 0 m 0 m 0
C C C C C C 2 .C .−
−= = =
= = =
11. Chứng minh rằng các đẳng thức sau:
a). k k k 1n n 1 n 1A A k.A −
− −− = với *n,k N ,n 2,k n 1. −
b).k k 1 kn 1 n 1 n
n 1 1 1 1
n 2 C C C++ +
++ =
+
với *n,k N ,k n.
LỜI GIẢI
a. Ta có:
( )
( )( )
( )( )
( )( )
k k k 1n n 1 n 1
n 1 ! n 1 ! n 1 !n! nA A 1 k k.A .
n kn k ! n 1 k ! n k 1 ! n k !−
− −
− − − − = − = − = =
−− − − − − −
b. Ta có:( ) ( ) ( )
( )k k 1n 1 n 1
k! n 1 k ! k 1 ! n k !n 1 1 1 n 1.
n 2 n 2 n 1 !C C ++ +
+ − + + −+ ++ =
+ + +
( )( ) ( )
( )kn
k! n k ! k! n k !1 1. n 1 k k 1 .
n 2 n! n! C
− − = + − + + = = +
12. Chứng minh rằng các đẳng thức sau:
a).
nn
1 n 1n n
2 1C ...C
n−
−
với *n N ,n 2.
b). ( )2
n n n2n k 2n k 2nC .C C
+ − với n,k Z và 0 k n.
LỜI GIẢI
a. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n số, ta có:
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
n n0 1 n 1 n n n0 1 n 1 n n n n nn n n
C C ... C C C 2 1C C ...C
n n
−−
+ + + + − − =
b. Ta đặt
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
k
n nk 2n k 2n k
k 1
2n k ! 2n k !a .
n! n k ! n! n k !a C .C
2n k 1 ! 2n k 1 !a .
n! n k 1 n! n k 1 !
+ −
+
+ −=
+ −=
+ + − −= + + − −
Để chứng minh BĐT trên ta chứng minh k k 1a a , k Z,0 k n+
Ta có: ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )k k 1
2n k ! 2n k ! 2n k 1 2n k 1 !a a . .
n! n k ! n! n k ! n! n k 1 n! n k 1 !+
+ − + + − −
+ − + + − −
2n k 2n k 1 n n
1 1n k n k 1 n k n k 1
− + + + +
− + + − + +
( )2
n n n0 1 k k 1 0 k 2n k 2n k 2na a ... a a a a C .C C .
+ + −
13. Chứng minh các đẳng thức sau:
k k 1 k 2 k 3 k 2 k 3n n n n n 2 n 32C 5C 4C C C C .+ + + + +
+ ++ + + = +
k k 1 k 1 k 1 k 1n n 1 n 2 k k 1C C C ... C C ,1 k n.− − − −
− − −= + + + +
2 3 n1 2n n nn n 11 2 n 1
n n n
C C CC 2 3 ... n C .
C C C+−
+ + + + =
( )n 1 2 3 n 1P 1 P 2P 3P ... n 1 P .−
= + + + + + +
LỜI GIẢI
Ta có: ( ) ( )k k 1 k 1 k 2 k 2 k 3n n n n n nVT 2 C C 3 C C C C+ + + + += + + + + +
( )k 1 k 2 k 2 k 3 k 2 k 2 k 3 k 2 k 3n 1 n 1 n 1 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 32 C C C C C C C C C .+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + ++ + + = + + = +
Ta có: k k 1 k k 1 k kn n n 1 n 1 n n 1C C C C C C− −
+ − −+ = = −
Suy ra: k 1 k 1 k 1 k 1 k kn 1 n 2 k 1 k n kC C ... C C C C− − − −− − ++ + + + = −
Hay k k 1 k 1 k 1 k 1n n 1 n 2 k k 1C C C ... C C− − − −
− − −= + + + + vì k k 1
k k 1C C 1.−−
= =
Ta có: kn
k 1n
Ck. n k 1
C −= − +
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Suy ra ( )2 3 n
1 2n n nn n 11 2 n 1
n n n
n n 1C C CC 2 3 ... n C .
2C C C+−
−+ + + + = =
Ta có: ( ) ( )k k 1 k 1P P k! k 1 ! k 1 P− −
− = − − = −
Suy ra: ( )n n 1
k 1 n 1 n kk 2 k 1
k 1 P P P P 1 kP .−
−= =
− = − = +
DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC DỰA VÀO KHAI TRIỂN ( )n
1 x+
Câu 10: Chứng minh : k 0 k 1 1 k 2 2 k m m kn m n m n m n m n mC C C C C C C C C− − −
++ + + + = ,
với 0 m k n
k,m,n
LỜI GIẢI
Ta có
( )
( )
( )
m 0 1 2 2 m mm m m m
n 0 1 2 2 n nn n n n
m n 0 1 2 2 m n m nm n m n m n m n
1 x C C x C x C x
1 x C C x C x C x
1 x C C x C x C x+ + +
+ + + +
+ = + + + +
+ = + + + +
+ = + + + +
Suy ra hệ số xk trong ( ) ( )m n
1 x 1 x+ + là : 0 k 1 k 1 m k mm n n n m nC C C C C C− −+ + + , và hệ số của xk
trong ( )m n
1 x+
+ là km nC+
Ta có ( ) ( ) ( )m n m n
1 x 1 x 1 x+
+ + = + . Từ đó suy ra :
k 0 k 1 1 k 2 2 k m m kn m n m n m n m n mC C C C C C C C C− − −
++ + + + = (đpcm) .
Kết quả bài này các bạn phải nhớ kỹ để áp dụng vào những bài tính tổng.
Bạn đọc hãy lấy ý tưởng trong bài tập trên áp dụng với khai triển ( )n m
1 x .+
−
Từ đó chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 n0 1 2n n
2n 2n 2n 2nC C ... C 1 .C .− + + = −
Câu 11: Tính tổng 0 11 1 10 2 9 10 1 11 020 12 20 12 20 12 20 20 20 12S C C C C C C C C C C= + + + + +
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )32 20 12
1 x 1 x 1 x 1+ = + +
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Mà ( )32 0 1 2 2 32 32
32 32 32 321 x C C x C x C x+ = + + + + .
Hệ số của x11 trong khai triển là 1132C (2) .
Và ( ) ( ) ( )( )20 12 0 1 2 2 20 20 0 1 2 2 12 12
20 20 20 20 12 12 12 121 x 1 x C C x C x C x C C x C x C x+ + = + + + + + + + + . Hệ số của x11
trong khai triển là 0 11 1 10 2 9 10 1 11 020 12 20 12 20 12 20 20 20 12C C C C C C C C C C+ + + + + (3)
Từ (1) , (2) , (3) ta có 0 11 1 10 2 9 10 1 11 0 1120 12 20 12 20 12 20 20 20 12 32S C C C C C C C C C C C= + + + + + =
Câu 12: Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên k, n thỏa
( )0 k n 2013 − ta có:
0 k 1 k 1 2 k 2 2013 k 2013 k 20132013 n 2013 n 2013 n 2013 n n 2013C C C C C C C C C+ + + +
++ + + + =
LỜI GIẢI
Ta có: ( ) ( ) ( )n 2013 2013 n
1 x 1 x 1 x+
+ = + + (1)
Ta có:
( )
( )
( )
2013 0 2013 1 2012 2 2011 20132013 2013 2013 2013
n 0 1 2 2 k k n nn n n n n
n 2013 0 1 k 2013 k 2013 n 2013 n 2013n 2013 n 2013 n 2013 n 2013
x 1 C x C x C x C
1 x C C x C x C x C x
1 x C C x C x C x+ + + + +
+ + + +
+ = + + + +
+ = + + + + +
+ = + + + + +
Hệ số của k 2013x + trong khai triển ( ) ( )2013 n
1 x 1 x+ + là:
0 k 1 k 1 2 k 2 2013 k 20132013 n 2013 n 2013 n 2013 nC C C C C C C C+ + ++ + + + (2)
Hệ số của k 2013x + trong khai triển ( )n 2013
1 x+
+ là: k 2013n 2013C +
+ (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra 0 k 1 k 1 2 k 2 2013 k 2013 k 20132013 n 2013 n 2013 n 2013 n n 2013C C C C C C C C C+ + + +
++ + + + =
Câu 13: Chứng minh đẳng thức sau:
0 1 2 3 10 1111 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11C a C a C a C a ... C a C a 11− + − + + − =
LỜI GIẢI
Xét x 1 từ khai triển trên nhân hai vế với ( )11
x 1− ta có:
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( ) ( ) ( )11 1111 2 110
0 1 2 110x 1 x 1 a a x a x ... a x− = − + + + + (2)
( )
1111 kk 11k
11k 0
VT(2) C x 1−
=
= − Hệ số của 11x trong vế trái bằng 111C 11= .
( ) ( )
11kk 11 k 2 110
11 0 1 2 110k 0
VP(2) C x 1 a a x a x ... a x−
=
= − + + + +
Hệ số của 11x trong vế phải bằng
0 1 2 3 10 1111 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11C a C a C a C a ... C a C a− + − + + −
Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh
Câu 14: Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
0 1 2 n nn n n n 2nC C C ... C C+ + + + =
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( ) ( )n n 2n
1 x 1 x 1 x+ + = +
Ta có ( ) ( ) ( )( )n n 0 n 1 n 1 n 0 1 n n
n n n n n n1 x 1 x C x C x ... C C C x ... C x−+ + = + + + + + +
Hệ số của xn trong hệ thức trên là: ( ) ( ) ( )2 2 2
0 1 nn n nC C ... C+ + +
Hệ số của xn trong khai triển (1+x)2n là 22nC .
Ta có hệ số của xn trong khai triển ( ) ( )n n
1 x 1 x+ + và hệ số của xn trong khai triển ( )2n
1 x+
giống nhau.
Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
0 1 2 n nn n n n 2nC C C ... C C+ + + + = (đpcm).
1. Chứng minh: 0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n2n 2n 2n 2nC C .3 C .3 ... C .3 2 (2 1)−+ + + + = +
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( )2n 0 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x C x 1− −+ = + + + + +
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Chọn x = 3 thay vào hai vế của (1) ta được:
2n 0 1 1 2 2 2n 1 2n 1 2n n
2n 2n 2n 2n 2n4 C C .3 C .3 ... C .3 C .3− −= + + + + + (2)
Chọn x 3= − thay vào hai vế của (1) ta được:
2n 0 1 1 2 2 2n 1 2n 1 2n n
2n 2n 2n 2n 2n2 C C .3 C .3 ... C .3 C .3− −= − + + − + (3)
Lấy (2) + (3) ta được: ( )2n 2n 0 2 2 4 4 2n 2n2n 2n 2n 2n4 2 2 C C .3 C .3 ... C .3+ = + + + +
( )
( )( )
22n 2n
2n 2n0 2 2 4 4 2n 2n2n 2n 2n 2n
2n 2n
2n 1 2n
2 24 2C C .3 C .3 ... C .3
2 2
2 2 12 2 1
2−
++ + + + + = =
+= = +
2. Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau:
a. 0 1 2 nn n n nC C C ... C+ + + + = 2n
b. 1 3 5 2n 12n 2n 2n 2nC C C ... C −+ + + + = 0 2 4 2n
2n 2n 2n 2nC C C ... C+ + + +
LỜI GIẢI
a. Ta có: (1 + x)n = 0 1 2 2 n nn n n nC C x C x ... C x+ + + + (1)
Chọn x = 1 thay vào (1) ta được: 0 1 2 nn n n nC C C ... C+ + + + = 2n (đpcm)
b. Ta có: (1 – x)2n = 0 1 2 2 3 3 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C x C x C x ... C x− + − + + (2)
Chọn x = 1 thay vào (2), ta được: 0 1 2 3 2n2n 2n 2n 2n 2nC C C C ... C 0 − + − + + =
0 2 2n 1 3 2n 12n 2n 2n 2n 2n 2nC C C C C C − + + + = + + + (đpcm).
3. Chứng minh rằng:
0 2 2 4 4 2000 2000 2000 20012001 2001 2001 2001C 3 C 3 C ... 3 C 2 (2 1)+ + + + = −
LỜI GIẢI
Ta có: ( )2001 0 1 2 2 2000 2000 2001 2001
2001 2001 2001 2001 20011 x C C x C x C x C x+ = + + + + + (1).
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Thay x = 3 vào hai vế của (1):
2001 0 1 2 2 200 2000 2001 20012001 2001 2001 2001 20014 C 3C 3 C ...3 C 3 C= + + + + (*).
Thay x 3= − vào hai vế của (1):
( )2001 0 1 2 2 200 2000 2001 2001
2001 2001 2001 2001 20012 C 3C 3 C ... 3 C 3 C− = − + + + − (**).
Lấy (*) + (**), ta được:
( )2001 2001 0 2 2 4 4 2000 20002001 2001 2001 20014 2 2 C 3 C 3 C ... 3 C− = + + + +
0 2 2 4 4 2000 2000 2000 20012001 2001 2001 2001C 3 C 3 C ... 3 C 2 (2 1) + + + + = − (đpcm).
6. Chứng minh: 0 n 1 n 1 n n 0 1 nn n n n n nC 3 C 3 ... ( 1) C C C ... C−− + + − = + + +
LỜI GIẢI
Theo khai triển nhị thức Newton ta có: (a + b)n = 0 n 1 n 1 n nn n nC a C a b ... C b−+ + + (*)
• Với a 3,b 1= = − thay vào (*) được:
( )n0 n 1 n 1 n n n
n n nC 3 C 3 ... ( 1) C 3 1 2−− + + − = − = (1)
• Với a 1,b 1= = thay vào (*) được:
( )n0 1 n n
n n nC C ... C 1 1 2+ + + = + = (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 n 1 n 1 n n 0 1 nn n n n n nC 3 C 3 ... ( 1) C C C ... C−− + + − = + + +
8. Với n,k là các số nguyên dương và 1 k n , chứng minh rằng
( )k0 k 1 k 1 2 k 2 k 0
n n n n 1 n n 2 n n kC .C C .C C .C ... 1 .C .C 0.− −
− − −− + − + − =
LỜI GIẢI
Với mọi x và k là số nguyên dương , ta có
( )k 0 1 2 2 k k
k k k k1 x C C .x C .x ... C .x .+ = + + + +
( )kk 0 k 1 k 2 k 2 k k k
n k n k n k n k nC 1 x C .C C .C .x C .C .x ... C .C .x + = + + + + (1)
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
m k m k mk n n n m
n m !k! n! n!C C . . C C
m! k m ! k! n k ! m! n m ! k m ! n k !
−−
−= = =
− − − − −
Do đó (1) có dạng:
( )kk 0 k 1 k 1 2 k 2 2 k 0 k
n n n n n 1 n n 2 n n kC 1 x C .C C .C .x C .C .x ... C .C .x− −
− − −+ = + + + + (2)
Thay x 1= − vào (2), ta được:
( )k0 k 1 k 1 2 k 2 k 0
n n n n 1 n n 2 n n k0 C .C C .C C .C ... 1 .C .C 0,− −
− − −= − + − + − = đpcm.
15. Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng:
0 2 1 3 n 1n n n nC C ... C C ... 2 ,−+ + = + + =
LỜI GIẢI
Ta có
n 0 1 2 n 0 1 2 kn n n n n n n n2 C C C ... C C C C ... C ...(1)= + + + + = + + + + +
0 1 2 n n 0 1 2 k kn n n n n n n n0 C C C ... ( 1) C C C C ... ( 1) C ...(2).= − + − + − = − + − + − +
Suy ra:
(1) (2)+ ta được ( )n 0 2 0 2 n 1n n n n2 2 C C ... C C ... 2 .−= + + + + =
(1) (2)− ta được ( )n 1 3 1 3 n 1n n n n2 2 C C ... C C ... 2 .−= + + + + =
TÌM n DỰA VÀO NHỊ THỨC NIUTƠN
3. Tìm số nguyên dương n 4 , biết rằng
( )0 1 2 nn n n n2C 5C 8C 3n 2 C 1600+ + + + + =
LỜI GIẢI
Xét số hạng tổng quát
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( )( )
( )( ) ( )
k k k kn n n n
k k 1 kn n 1 n
n!3k 2 C 3k.C 2.C 3.k. 2.C
k! n k !
n 1 !3.n 2.C 3nC 2.C
k 1 ! n 1 (k 1) !−
−
+ = + = +−
−= + = +
− − − −
Giả thuyết ( ) ( )0 1 n 1 0 1 nn 1 n 1 n 1 n n n3n C C C 2 C C C 1600−
− − − + + + + + + + =
( ) ( ) ( )n 1 n n 1 n n 13n 1 1 2 1 1 1600 3n.2 2.2 1600 2 3n 4 1600− − − + + + = + = + = Chia hai vế
cho 16 ta được :
( ) ( )n 5 n 5 2 n 7 22 3n 4 100 2 3n 4 2 .25 n=7
3n 4 25− − − =
+ = + = + =
7. Cho khai triển nhị thức:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )n n 1 nn n 1
x x x xx 1 x 1 x 1 x 10 1 n 1 n3 3 3 32 2 2 2n n n n2 2 C 2 C 2 2 C 2 2 C 2
−−− − − −− − − −
−+ = + + + +
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 3 1n nC 5C= và số
hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.
LỜI GIẢI
Từ 3 1n nC 5C= ta có n ≥ 3 và
n! n!5
3!(n 3)! (n 1)!=
− −
n(n 1)(n 2)5n
6
− −=
n2 – 3n – 28 = 0 n 4
n 7
= −
=. Chọn n = 7.
Ta có số hạng thứ tư ứng với k = 3. Theo đề bài có: ( ) ( )34
xx 13 327C 2 2 140
−−
=
2x 2 x x 235.2 .2 140 2 4 x 2 2 x 4− − − = = − = = .
Kết luận n = 7 và x = 4.
8. Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 2 n nn n n nC 2C 4C ... 2 C+ + + + = 243
LỜI GIẢI
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có: ( )n 0 1 2 2 n n
n n n n1 x C C x C x C x+ = + + + + (1).
Thay x = 1 vào hai vế của (1) ta được: n 0 1 2 n nn n n n3 C 2C 4C ... 2 C= + + + +
Theo đề bài có n3 243 n 5= =
9. Giả sử n là số nguyên dương và:
(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn
Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho k 1 k k 1a a a
2 9 24− += = . Hãy
tìm n.
LỜI GIẢI
Ta có: k 1 k k 1a a a
2 9 24− += = (1) ( 1 k n 1 − )
k 1 k k 1n n nC C C
2 9 24
− +
= =
1 n! 1 n! 1 n!
2 (k 1)!(n k 1)! 9 k!(n k)! 24 (k 1)!(n k 1)!= =
− − + − + − −
2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)!
2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k
2(n k 1) 9k
9(n k) 24(k 1)
− + =
− = +
2n 2k
113n 8
k11
+=
− =
Để tồn tại k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện ắt có và đủ là:
2n 2 3n 8n 10
11 11
+ −= =
10. Với n là số nguyên dương, gọi 3n 3a − là hệ số của 3n 3x − trong khai
triển thành đa thức của ( ) ( )n n2x 1 x 2+ + . Tìm n để 3n 3a 26n− = .
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( ) ( )n n n nn kn2 k 2 m n m m k m n m 2k m
n n n nk 0 m 0 k 0 m 0
x 1 x 2 C x C 2 .x C C .2 .x− − +
= = = =
+ + = =
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Theo đề bài ta có: 2k m 3n 3 k n k n 1
0 k,m n; k,m m n 3 m n 1
+ = − = = −
= − = −
Vậy hệ số của 3n 3x − là: n n 3 3 n 1 n 1 13n 3 n n n na C C 2 C C 2− − −
−= +
Theo đề bài ta có:
( ) ( )
2
n n 3 3 n 1 n 1 1n n n n
n! n!C C 2 C C 2 26n 8. 2. 26n
n 3 !3! n 1 !− − −
+ = + =
− −
( )( ) 2
24n n 1 n 2 4n 6n 70 0
2n 26n n 53 n 3,n
− − − − = + = =
13. Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau:
0 2 2 2k 2k 2n 2 2n 2 2n 2n 15 162n 2n 2n 2n 2nC C 3 ... C 3 ... C 3 C 3 2 (2 1)− −+ + + + + + = +
LỜI GIẢI
Ta có: ( ) ( )2n2n 0 1 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n4 1 3 C C 3 C 3 ... C 3 C 3 1− −= + = + + + + +
( ) ( )2n2n 0 1 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n2 1 3 C C 3 C 3 ... C 3 C 3 2− −= − = − + − − +
Lấy ( ) ( ) ( )2n 2n 0 2 2 2n 2n2n 2n 2n1 2 4 2 2 C C 3 ... C 3+ + = + + +
2n 2n
0 2 2 2n 2n2n 2n 2n
4 2C C 3 ... C 3
2
+ + + + =
Theo đề bài có: ( ) ( ) ( )2 2
15 16 2n 2n 16 16 2n 2n2.2 2 1 4 2 2 2 2 2+ = + + = +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 216 2n 16 2n 16 2n 16 2n 16 2n2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0
− + − = − + + − =
( )( ) ( )16 2n 16 2n 16 2n2 2 2 2 1 0 2 2 0 − + + = − = (vì 16 2n2 2 1 0 n+ + )
2n 16 n 8= =
14. Tính giá trị của biểu thức: M = 4 3n 1 nA 3A
(n 1)!++
+.
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Biết 2 2 2 2n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C+ + + ++ + + = 149.
LỜI GIẢI
Điều kiện: n ≥ 3.
Ta có: 2 2 2 2n 1 n 2 n 3 n 4C 2C 2C C+ + + ++ + + = 149
(n 1)! (n 2)! (n 3)! (n 4)!
2 2 1492!(n 1)! 2!n! 2!(n 1)! 2!(n 2)!
+ + + ++ + + =
− + +
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2
n 1 n 2 n 2 n 1 2 n 3 n 2 n 4 n 3149
2 2 2 2
n 4n 45 0
+ + + + + + ++ + + =
+ − =
n 5
n 9
=
= −. So với điều kiện nhận n = 5.
Vậy: 4 34 36 5n 1 n A 3AA 3A 3
M(n 1)! 6! 4+
++= = =
+
15. Tìm n N sao cho: 0 2 4 2n4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 256
+ + + ++ + + + =
LỜI GIẢI
Ta có: 0 1 2 4n 2 4n 24n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2+ +
+ + + ++ + + + =
0 2 4 4n 2 4n 14n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2+ +
+ + + ++ + + + =
0 2 4 2n 4n4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2
+ + + ++ + + + =
Vậy có: 24n = 256 n = 2
16. Với n ,n 3 . Tìm n thỏa 3 3 3 33 4 5 n
1 1 1 1 89...
30C C C C+ + + + =
LỜI GIẢI
Ta có ( )
( )( )( )( )
( )3k 3
k
k k 1 k 2k! 1 6C k 3
63! k 3 ! k k 1 k 2C
− −= = =
− − −
Ta lại có ( )( ) ( ) ( )( )
1 1 2
k 1 k 2 k k 1 k k 1 k 2− =
− − − − −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Đặt ( )( )( )
( ) ( )3k
1 1f k 3 f k f k 1
k 1 k 2 C = = − + − −
.
Cho k chạy từ 3 đến n ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
3k 3 k
13 f 3 f 4 4 f 5 f n f n f n 1
C=
= − + − + − + − +
( ) ( )( )
( )2n
3 2k 3 k
3 n n 11 13 f 3 f n 1 3 1
n n 1C n n=
− − = − + = − = − −
Hay ( ) ( )2 2
3 3 3 3 2 23 4 5 n
3 n n 1 3 n n 11 1 1 1 89...
30C C C C n n n n
− − − −+ + + + = =
− −
2n n 90 0 n 10 − − = =
17. Tìm số nguyên dương n thỏa
( ) 0 1 2 3 nn n n n n
1 1 1 1n 1 C C C C C 1023
2 3 4 n 1
+ + + + + + =
+ (1)
LỜI GIẢI
( ) 0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 10231 C C C C C
2 3 4 n 1 n 1 + + + + + =
+ +
Xét số hạng tổng quát: ( )
( )( ) ( )
kn
n 1 n!1 1 n! 1C
k 1 k 1 n 1k! n k ! k 1 k! n k !
+= =
+ + +− + −
( )
( ) ( ) ( )k 1n 1
n 1 !1 1C
n 1 n 1k 1 ! n 1 k 1 !
+
+
+= =
+ + + + − +
, k,0 k n,k .
Vậy ( ) ( )0 1 2 3 n 1 2 n 1 n 1n n n n n n 1 n 1 n 1
1 1 1 1 1 1C C C C C C C C 2 1
2 3 4 n 1 n 1 n 1+ +
+ + ++ + + + + = + + + = −
+ + +
Theo đề bài ta có:
( )n 1 n 1 n 11 10232 1 2 1 1023 2 1024 n 1 10 n 9
n 1 n 1+ + +− = − = = + = =
+ +
18. Khai triển nhị thức Niu tơn
( ) ( )n 2 n
0 1 2 nP x 1 6x a a x a x a x= − = + + + + . Tính giá trị của biểu thức
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
1 n0 n
a aT a
2 2= + + + , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
2 1n n2C 8C n− = .
LỜI GIẢI
( )2 1n n2C 8C n 1− = . Điều kiện n 2,n
( )( ) ( )
( )n! n!
1 2 8 n n n 1 8n n n 102! n 2 ! n 1 !
− = − − = =− −
Chọn 1
x2
= thay vào P(x): ( )10 10101
0 10
aa1 3 a T 2
2 2− = + + + =
TÍNH TỔNG: DỰA VÀO CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU TƠN
DẠNG 1: TÍNH TỔNG DỰA VÀO CÔNG THỨC ( ) ( )n n
a b , 1 x+ +
3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a). n 0 n 2 2 n 4 4 n1 n n n nS 2 C 2 C 2 C ... C .− −= + + + +
b). n 1 1 n 3 3 n 5 5 n2 n n n nS 2 C 2 C 2 C ... C .− − −= + + + +
LỜI GIẢI
Ta có: ( )n n 0 n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 n 3 n
n n n n n2 1 2 C 2 C 2 C 2 C C− − − − − −+ = + + + + + (1).
Ta có: ( ) ( )n nn 0 n 1 n 1 n 2 n 2 n 3 n 3 n
n n n n n2 1 2 C 2 C 2 C 2 C 1 C− − − − − −− = − + − + + − (2).
Suy ra
(1) (2)• + ta được n
n 0 n 2 2 n 4 4 n1 n n n n
3 1S 2 C 2 C 2 C ... C .
2− − +
= + + + + =
(1) (2)• − ta được n
n 1 1 n 3 3 n 5 5 n2 n n n n
3 1S 2 C 2 C 2 C ... C .
2− − − −
= + + + + =
6. Tính tổng : 0 1 2 3 20122012 2012 2012 2012 2012S C 2C 3C 4C 2013C= + + + + +
LỜI GIẢI
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có:
( )( ) ( ) ( )
k k k k k2012 2012 2012 2012 2012
2012! 2011!k 1 C kC C k. C 2012 C
k! 2012 k ! k 1 ! 2011 (k 1) !+ = + = + = +
− − − −
k 1 k2011 20122012C C k 0,1,2,...,2012−= + = .
( ) ( )0 1 2011 0 1 20122011 2011 2011 2012 2012 2012S 2012 C C C C C C= + + + + + + +
( ) ( )2011 2012 2011 2012 2012S 2012 1 1 1 1 2012.2 2 1007.2= + + + = + =
7. Tính tổng 2 1 2 2 2 3 2 20132013 2013 2013 2013S 1 .C 2 .C 3 .C ... 2013 .C= + + + +
LỜI GIẢI
Số hạng tổng quát là : ( )2 k kk 2013 2013a k .C k k 1 1 C k 2,3,...,2013= = − + =
( ) ( )
( ) ( )k k
k 2013 2013
2013! 2013!a k k 1 C kC k k 1 . k. k 2,3,...,2013
k! 2013 k ! k! 2013 k != − + = − + =
− −
k 2 k 1
k 2011 2011a 2012.2013C 2013C k 2,3,...,2013− −= + = .
( ) ( )0 1 2 2011 0 1 2 20121 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2012S 2012.2013 C C C ... C 2013 C C C ... C= + + + + + + + + +
( ) ( )2011 2012 2011 2012 2011
1S 2012.2013 1 1 2013 1 1 2012.2013.2 2013.2 2013.2014.2= + + + = + =
8. Tính tổng 2 1 2 2 2 3 2 nn n n nS 1 .C 2 .C 3 .C ... n .C= + + + +
LỜI GIẢI
Áp dụng công thức: ( )2 k k 2 k 1n n 2 n 1k C n n 1 C nC , k 2,3,4,...,n− −
− −= − + = (đã chứng minh ở phần
Chứng Minh đẳng thức
Ta có ( )
( )
2 1 0n n 1
2 2 0 1n n 2 n 1
2 n n 2 n 1n n 2 n 1
1 C 0 + nC
2 C n n 1 C nC
...
n C n n 1 C nC
−
− −
− −
− −
=
= − +
= − +
Cộng vế theo vế ta được:
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( )( ) ( )2 1 2 2 2 3 2 n 0 1 n 2 0 1 n 1n n n n n 2 n 2 n 2 n 1 n 1 n 11 .C 2 .C 3 .C ... n .C n n 1 C C C n C C C− −
− − − − − −+ + + + = − + + + + + + +
( ) ( )2 1 2 2 2 3 2 n n 2 n 1 n 2n n n n1 .C 2 .C 3 .C ... n .C n n 1 .2 n.2 n n 1 .2− − − + + + + = − + = +
9. Tính tổng 0 1 2 20132013 2013 2013 2013C C C C
S1 2 3 2014
= + + + +
LỜI GIẢI
Số hạng tổng quát của tổng là k2013
k
Ca k 0,1,2,...,2013
k 1= =
+
( ) ( ) ( ) ( )
k2013
k
C 2013! 1 2014!a .
k 1 2014k 1 k! 2013 k ! k 1 ! 2013 k != = =
+ + − + −
( ) ( ) ( ) ( )( )
k 12014C1 2014! 1 2014!
. .2014 2014 2014k 1 ! 2013 k ! k 1 ! 2014 k 1 !
+
= = ==+ − + − +
k 0,1,2,...,2013 =
Vậy ta được k 12014
k
Ca k 0,1,2,...,2013
2014
+
= =
( ) ( )
201420141 2 2014 0
2014 2014 2014 2014
1 1 2 1S C C C 1 1 C
2014 2014 2014
− = + + + = + − =
10. Tính tổng ( )0 1 2 n 1 nn n n n n
1 1 1 1S C .C .C .C .C n *
2 3 n n 1−= + + + + +
+
LỜI GIẢI
Xét số hạng tổng quát:
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )k
k n
n 1 n! n 1 !1 1 n! 1 1a .C
k 1 k 1 n 1 n 1k! n k ! k 1 k!. n k ! k 1 ! n 1 k 1 !
+ += = = =
+ + + +− + − + + − +
k 1n 1
1.C
n 1+
+=
+.
Vậy k k 1k n n 1
1 1a .C .C
k 1 n 1++
= =+ +
(1).
Từ (1) ta có:
0 1n n 1
1C .C
n 1 +=
+; 1 2
n n 1
1 1C C
2 n 1 +=
+; 1 3
n n 1
1 1C C
3 n 1 +=
+;...; n k 1
n n 1
1 1C C
n 1 n 1++
=+ +
.
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Vậy 1 2 3 k 1n 1 n 1 n 1 n 1
1 1 1 1S .C C C C
n 1 n 1 n 1 n 1+
+ + + += + + + +
+ + + +
( ) ( )1 2 3 k 1 1 2 3 k 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
1C C C C n 1 .S C C C C
n 1+ +
+ + + + + + + += + + + + + = + + + +
+
( ) 0 1 2 3 k 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1n 1 .S 1 C C C C C +
+ + + + ++ + = + + + + +
( )
n 1n 1 2 1
n 1 .S 1 2 Sn 1
++ −
+ + = =+
11. Tính tổng 12 12 1212 1213 2013 201412 14C C CC C
S11.12 12.13 13.14 2012.2013 2013.2014
= + + + + +
LỜI GIẢI
Ta có số hạng tổng quát:
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
1210nn 2
n 2 ! n 2 !C n! 1 1. .C
11.12 11.12n 1 n n 1 n.12! n 12 ! 12! n 12 ! 10!. n 2 10 ! −
− −= = = =
− − − − − −
n 12,12,...,2014 =
Từ đó ta có ( )10 10 10 10 1010 11 12 2011 2012
1S C C C C C
11.12= + + + + +
Áp dụng công thức i 1 i ih h h 1C C C i 1,h ; i,h−
++ = = ta được
( )10 11 11 11 11 11 11 11
10 12 11 13 12 2013 2012 2013
1 1S C C C C C C C C
132 132= + − + − + + − =
12. Tính tổng:( )
( )( )
n n1 2 3nn n n
1 nCC 2C 3CS ...
2.3 3.4 4.5 n 1 n 2
−−= + − + +
+ +.
LỜI GIẢI
Ta có ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
k k 1n n 1
n 1 !C Cn! 1.
k 1 n 1 n 1k! k 1 n k ! k 1 ! n 1 k 1 !
+
++
= = =+ + ++ − + + − +
(3)
Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được: ( )
( )( )( )( )( )
k kk k 2n n 21 kC 1 kC
k 1 k 2 n 1 n 2
+
+− −
=+ + + +
.
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có
( )( ) ( )n3 4 5 n 2
n 2 n 2 n 2 n 2n 1 n 2 S C 2C 3C ... 1 nC +
+ + + ++ + = − + − + + −
( ) ( ) ( ) ( )n2 3 3 4 4 5 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1C C 2 C C 3 C C ... 1 nC +
+ + + + + + += − + + + − + + + −
( )n2 3 4 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1C C C ... 1 C +
+ + + += − + − + + −
( )( )n 10 1 0 1 2 3 4 5 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1C C C C C C C C ... 1 C+ +
+ + + + + + + + += − − − + − + − + + −
( ) ( )n 1
1 n 1 1 1 n−
= − + − − = −
Vậy ( )( )
nS
n 1 n 2
−=
+ +.
12. Tính tổng : T = 0 1 2 24 2550 50 50 50 50C C C .... C C− + − + − .
LỜI GIẢI
Ta có : 0 1 2 3 49 5050 50 50 50 50 50C C C C ... C C− + − + − + = (1 – 1)50 = 0
Mà : 0 50 1 49 24 2650 50 50 50 50 50C C , C C , ...,C C= = =
Suy ra : 0 1 2 3 24 2550 50 50 50 50 502C 2C 2C 2C ... 2C C 0− + − + + − =
2T + 2550C = 0 T =
2550C
2− .
13. (CĐ Công nghiệp HN 2003) Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003.
Khai triển đa thức đó dưới dạng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003.
Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a2003.
LỜI GIẢI
Ta có: (16x – 15)2003 = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003 (1)
Thay x = 1 vào (1) ta được: (16.1 – 15)2003 = a0 + a1 + a2 + … + a2003.
Kết luận a0 + a1 + a2 + … + a2003 = 1.
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
8. Tính tổng 2 3 4 nn n n nS 1.2.C 2.3.C 3.4.C ... (n 1)n.C= + + + + − với nN và n >
2.
LỜI GIẢI
Áp dụng công thức trên hai lần k k 1n n 1kC nC −
−=
k k 1 k 2n n 1 n 2(k 1)kC (k 1)nC n(n 1)C− −
− −− = − = − suy ra k k 2
n n 2(k 1)kC n(n 1)C −
−− = −
Như vậy:
2 3 4 nn n n nS 1.2.C 2.3.C 3.4.C ... (n 1)n.C= + + + + −
0 1 2 n 2 n 2n 1 n 1 n 1 n 2n(n 1) C C C .. C n(n 1)2− −
− − − − = − + + + + = −
9. Tính tổng 1 1 1 1
S2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014!
= + + + +
LỜI GIẢI
Ta có 2014! 2014! 2014! 2014!
2014!S2!.2012! 4!.2010! 2012!.2! 2014!
= + + + +
Theo công thức tổ hợp ta có 2 4 2012 20142014 2014 2014 20142014!S C C C C= + + + +
Xét khai triển:
( )2014 0 1 2 2 2012 2012 2013 2013 2014 2014
2014 2014 2014 2014 2014 20141 x C C x C x C x C x C x+ = + + + + + +
Chọn x 1= − ta có 0 1 2 2012 2013 2013 20142014 2014 2014 2014 2014 20140 C C C C C x C= − + + + − +
0 2 2012 2014 1 3 2013 20132014 2014 2014 2014 2014 2014 2014C C C C C C C x + + + + = + + +
( )0 2 2012 2014 0 1 2013 2013 2014
2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014
1C C C C C C C x C
2 + + + + = + + + +
0 2 2012 2014 2014 20132014 2014 2014 2014
1C C C C .2 2
2 + + + + = =
2 2012 2014 20132014 2014 2014C C C 2 1 + + + = −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Vậy 20132 1
S2014!
−=
11. Tính tổng 3 4 5 nn n n nS 1.2.3.C 2.3.4.C 3.4.5.C (n 2)(n 1)n.C= + + + − −
LỜI GIẢI
Từ công thức k k 1n n 1kC nC −
−= ta có:
k k 1n n 1(k 2)(k 1)kC (k 2)(k 1)nC −
−− − = − −
k 1 k 2n 1 n 2n(k 2)(k 1)C n(k 2)(n 1)C− −− −
= − − = − −
k 2 k 3n 2 n 3n(n 1)(k 2)C n(n 1)(n 2)C− −− −
= − − = − − (1)
Áp dụng công thức (1) 3 k n,k , có:
Với 3 0n n 3k 3 : 1.2.3.C n(n 1)(n 2)C
−= = − − .
Với 4 1n n 3k 4 : 2.3.4.C n(n 1)(n 2)C
−= = − − .
Với 5 2n n 3k 5 : 3.4.5.C n(n 1)(n 2)C
−= = − − .
Với n n 3n n 3k n : (n 2)(n 1)n.C (n 2)(n 1)n.C −
−= − − = − − .
Từ đó suy ra:
0 1 2 n 3 n 3n 3 n 3 n 3 n 3S n(n 1)(n 2) C C C ... C n(n 1)(n 2).2− −
− − − − = − − + + + + = − −
.
1. Tính tổng 0 1 2 nn n n n
1 1 1 1S C C C ... C
1 2 3 n 1= + + + +
+, nN* (THTT-12-2008-
Tr 14)
LỜI GIẢI
Theo công thức k k 1n n 1kC nC −
−=
Ta có k 1 k k 1 kn 1 n n 1 n
1 1(k 1)C (n 1)C C C
n 1 k 1+ ++ +
+ = + =+ +
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Nên 0 1 2 n 1 2 n 1n n n n n 1 n 1 n 1
1 1 1 1 1 1 1S C C C ... C C C ... C
1 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1+
+ + += + + + + = + + +
+ + + +
( ) ( )1 2 n 1 1 2 n 1n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
1S C C C C C C n 1 .S
n 1+ +
+ + + + + += + + + + + + = +
+
( )0 1 2 n 1 0n 1 n 1 n 1 n 1 n 1C C C C n 1 .S C+
+ + + + + + + + + = + +
( ) ( )n 1 0 n 1n 12 n 1 .S C 2 1 n 1 .S+ +
+ = + + − = +
n 12 1S
n 1
+ − =
+
2. Tính 0 1 2 nn n n n
1 1 1 1S .C .C .C ... .C
1.2 2.3 3.4 (n 1)(n 2)= + + + +
+ +
LỜI GIẢI
Sử dụng công thức k k 1n n 1
1 1.C .C
(k 1) (n 1)+
+=
+ +
k k k 1 k 1n n n 1 n 1
1 1 1 1 1 1.C .C . .C . .C
(k 1)(k 2) (k 2)(k 1) (k 2) (n 1) (n 1) (k 2)+ +
+ += = =
+ + + + + + + +
k 2n 2
1 1. .C
(n 1) (n 2)+
+=
+ +
Như vậy ( )2 3 4 n 2n 2 n 2 n 2 n 2
1S C C C ... C
(n 1)(n 2)+
+ + + += + + + +
+ +
( ) ( )n 2 0 1 n 2n 2 n 2
1 1S 2 C C 2 n 3
(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)+ +
+ += − − = − −
+ + + +
3. Tính 0 1 2 nn n n n
1 1 1 1S .C .C .C ... .C
1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)(n 2)(n 3)= + + + +
+ + +
LỜI GIẢI
Ta có :
k k k 1n n n 1
1 1 1 1C C .C
(k 1)(k 2)(k 3) (k 2)(k 3) k 1 (k 2)(k 3)(n 1)++
= =
+ + + + + + + + +
k 1 k 2 k 3n 1 n 2 n 3
1 1 1 1 1. .C . .C .C
(n 1)(k 3) k 2 (n 1)(k 3) n 2 (n 1)(n 2)(n 3)+ + ++ + +
= = =
+ + + + + + + + +
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Suy ra: 3 4 n 3n 3 n 3 n 3
1S . C C ... C
(n 1)(n 2)(n 3)+
+ + + = + + + + + +
( )
n 4 2n 3 0 1 2
n 3 n 3 n 3
1 2 n 7n 142 C C C
(n 1)(n 2)(n 3) 2(n 1)(n 2)(n 3)
++
+ + +
− − −= − − − =
+ + + + + +
TÌM HỆ SỐ CỦA MỘT SỐ HẠNG
Tìm hệ số của số hạng thứ k trong các khai triển sau:
1). Tìm số hạng thứ 9 trong khai triển ( )14
22x y+
2). Tìm hệ số của 7x trong khai triển ( )11
1 x+ .
3). Tìm hệ số của 9x trong khai triển ( )19
2 x− .
4). Tìm hệ số của 7x trong khai triển ( )15
3 2x− .
5). Tìm hệ số của 5 8x y trong khai triển ( )13
x y+ .
6). Tìm hệ số của 25 10x y trong khai triển ( )15
3x xy+ .
LỜI GIẢI
1). Tìm số hạng thứ 9 trong khai triển ( )14
22x y+
Ta có số hạng tổng quát ( )k
k n k k k 14 k 2k 1 n 14T C a b C (2x) y− −+ = = . Để có số hạng thứ 9 thì
k 1 9 k 8+ = = . Vậy số hạng thứ 9 trong khai triển là ( )8
8 6 2 6 1614C (2x) y 192192x y= .
2). Tìm hệ số của 7x trong khai triển ( )11
1 x+ .
Ta có ( )11
11 k k11
k 0
1 x C x=
+ = . Để có hệ số của 7x thì k 7= . Kết luận 77 11a C= .
3). Tìm hệ số của 9x trong khai triển ( )19
2 x− .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có ( ) ( )19 19
19 kk 19 k k k 19 k k19 19
k 0 k 0
2 x C 2 ( x) C 2 1 x− −
= =
− = − = − . Để có hệ số của 9x thì k 9= . Kết luận
( )99 10 9 10
9 19 19a C 2 1 C 2= − = − .
4). Tìm hệ số của 7x trong khai triển ( )15
3 2x− .
Ta có ( ) ( )15 15
15 kk 15 k k k 15 k k15 15
k 0 k 0
3 2x C 3 ( 2x) C 3 2 x− −
= =
− = − = − . Để có hệ số của 7x thì k 7= . Kết luận
( )77 8
7 15a C 3 2= − .
5). Tìm hệ số của 5 8x y trong khai triển ( )13
x y+ .
Ta có ( )13
13 k 13 k k
13
k 0
x y C x y−
=
+ = . Để có hệ số của 5 8x y thì 13 k 5
k 8
− =
= k 8 = (đúng). Kết luận
hệ số của 5 8x y là 813C .
6). Tìm hệ số của 25 10x y trong khai triển ( )15
3x xy+ .
Ta có ( ) ( ) ( )15 15
15 15 k k3 k 3 k 45 2k k
15 15
k 0 k 0
x xy C x xy C x y−
−
= =
+ = = . Để có hệ số của 25 10x y thì
45 2k 25
k 10
− =
=k 10 = (đúng). Kết luận hệ số của 25 10x y là 10
15C .
16). Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển:
a). ( )6
3 15− b). ( )9
33 2+ c). ( )19
33 2+
LỜI GIẢI
a). ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 66 6 k k 6 k k
k k
6 6k 0 k 0
3 15 C 3 15 C 3 3 5− −
= =
− = − = −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k6 6 66 k k k 6 kk k kk k k 3 2
6 6 6k 0 k 0 k 0
C 1 3 3 5 C 1 3 5 C 1 3 5−
= = =
= − = − = − . Để có số hạng chứa số
nguyên thì k
2là số nguyên, có nghĩa
k 2
0 k 6; k
k 0,2,4,6 = .
Vậy số hạng nguyên là 0 3 2 3 4 3 2 6 3 36 6 6 6C 3 C 3 5 C 3 5 C 3 5 15552+ + + = .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
b). ( ) ( ) ( )k9 k
1 k1 9 k9 9 99 9 k3 3k k k3 32 2
9 9 9k 0 k 0 k 0
3 2 C 3 2 C 3 2 C 3 2
−−−
= = =
+ = = =
. Để có số hạng chứa số
nguyên thì (9 k) 2
k 3 k 3,9
0 k 9
−
=
.
Vậy số hạng nguyên là 3 3 9 39 9C 3 2 C 2 4544+ = .
c). ( ) ( ) ( )19 19 k
3 3k
193 2 C 3 2
−
+ =
18)
a) Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển nhị thức14
2 2x
x
−
; x 0
b) Tìm hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển nhị thức 9
2 1x ; x 0
3x
+
c) Tìm hệ số của số hạng chứa 15x trong khai triển nhị thức 9
312x ; x 0
x
− +
d) Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển nhị thức7
4 22x ; x 0
x
−
e) Tìm hệ số của số hạng chứa 18x trong khai triển nhị thức11
3
2
x 2; x 0
3 x
−
LỜI GIẢI
a) Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển nhị thức14
2 2x
x
−
; x 0
Ta có ( ) ( )14 k14 1414 k k2 k 2 k 28 2k k
14 14k 0 k 0
2 2x C x C x 2 x
x x
−− −
= =
− = − = −
( )14
kk 28 3k14
k 0
C 2 x −
=
= − . Để có hệ số của 10x thì 28 3k 10 k 6− = = . Kết luận hệ số của 10x là
( )66
14C 2 192192− = .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
b) Tìm hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển nhị thức 9
2 1x ; x 0
3x
+
Ta có ( )9 k9 9 99 k
2 k 2 k 18 2k k k 18 3k9 9 9k k
k 0 k 0 k 0
1 1 1 1x C x C x x C x
3x 3x 3 3
−− − −
= = =
+ = = =
. Để có hệ số của 3x thì 18 3k 3 k 5− = = . Kết luận hệ số của 3x là 59 5
1 14C
273= .
c) Tìm hệ số của số hạng chứa 15x trong khai triển nhị thức 9
312x ; x 0
x
− +
Ta có ( ) ( )9 9 k9 9k 9 k3 k 3 k k k 9 3k
9 9k 0 k 0
1 12x C 2x C 1 2 x x
x x
−− −
= =
− + = − = −
( )9
9 kk k 4k 99
k 0
C 1 2 x− −
=
= − . Để có hệ số của 15x thì 4k 9 15 k 6− = = . Kết luận hệ số của 15x là
( )36 6
9C 1 2 5376− = − .
d) Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển nhị thức7
4 22x ; x 0
x
−
Ta có ( ) ( ) ( )7 k7 77 k 7 k k4 k 4 k 28 4k k
7 7k 0 k 0
2 22x C 2x C 2 x 2 x
x x
− − − −
= =
− = − = −
( ) ( )
77 k kk 28 5k
7k 0
C 2 2 x− −
=
= − . Để
có hệ số của 8x thì 28 5k 8 k 4− = = . Kết luận hệ số của 8x là 4 3 47C 2 ( 2) 4480− = .
e) Tìm hệ số của số hạng chứa 18x trong khai triển nhị thức11
3
2
x 2; x 0
3 x
−
Ta có ( )11 11 k k11 113 3
kk k 33 3k 2k11 112 2 11 k
k 0 k 0
x 2 x 2 1C C x 2 x
3 3x x 3
−
− −
−= =
− = − = −
( )11
kk 33 5k11 11 k
k 0
1C 2 x
3
−
−=
= − .
Để có hệ số của 18x thì 33 5k 18 k 3− = = . Kết luận hệ số của 18x là 3 311 8
1 440C ( 2)
21873− = − .
4. Cho ( ) ( ) ( )2 20 2 20
0 1 2 20P(x) 1 x 2 1 x ... 20 1 x a a x a x ... a x .= + + + + + + = + + + +
Tính 15a .
LỜI GIẢI
Hệ số của 15x trong ( ) ( ) ( )15 16 20
1 x , 1 x ,..., 1 x+ + + lần lượt là
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
15 15 15 15 15 1515 16 17 18 19 20C ,C ,C ,C ,C ,C .
Suy ra 15 15 15 15 15 1515 15 16 17 18 19 20a 15C 16C 17C 18C 19C 20C 400995.= + + + + + =
5. Đặt 2 3 5 20 1 2 15f(x) (1 x x x ) a a x a x ... a= + + + = + + + +
1). Tính 10a ; 2). Tính 0 1 15a a ... a+ + + ; 3). Tính
0 1 2 15a a a ... a− + − −
LỜI GIẢI
1). Ta có : 5
2f(x) (1 x) x (1 x) = + + +
5
2(1 x)(1 x ) = + +
5 2 5(1 x) (1 x )= + +
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
5 5 5 5
k k m 2m k m k 2m5 5 5 5
k 0 m 0 k 0 m 0
f(x) C x . C x C .C .x +
= = = =
= = (1)
Để có số hạng chứa 10x thì k 2m 10
k 0 k 2 k 40 k,m 5
m 5 m 4 m 3k,m
+ = = = =
= = =
Vậy 0 5 2 4 4 310 5 5 5 5 5 5a C C C C C C 1 50 50 101= + + = + + = .
2). Ta có 50 1 2 15f(1) (1 1 1 1) a a a ... a= + + + = + + + + .
Vậy 50 1 2 15a a a ... a 4 1024+ + + + = = .
3). Ta có 50 1 2 15f( 1) (1 1 1 1) a a a ... a− = − + − = − + − − .
Vậy 0 1 2 15a a a ... a 0− + − − = .
Nhận xét : Ta hay sử dụng kết quả sau :
Với đa thức : n n 1n n 1 1 0,P(x) a x a x ... a x a−
−= + + + +
Khi đó 0 1 2 n
n0 1 2 n
a a a ... a P(1)
a a a ... ( 1) a P( 1)
+ + + + =
− + − − − = −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
1. Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niu tơn n
5
3
1x
x
+
, biết
tổng các hệ số của khai triển trên bằng 4096 (với n là số nguyên
dương và x > 0).
LỜI GIẢI
Đặt ( )n
5
3
1f x x
x
= +
.
Chọn x = 1 thay vào f(x) ta được tổng hệ số của khai triển.
Ta có ( ) ( )n nf 1 1 1 2= + = Theo đề bài ta có n2 4096 n 12= =
3. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11
+… + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 +… + a14x14.
Hãy tính hệ số a9.
LỜI GIẢI
a9 = 1 + 9 9 9 9 910 11 12 13 14C C C C C+ + + + = 1 + 1 2 3 4 5
10 11 12 13 14C C C C C+ + + +
= 1 + 10 + 11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10
2 6 24 120+ + + = 3003
4. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: 11 7
2
2
1 1A x x
xx
= − + +
LỜI GIẢI
Công thức khai triển của biểu thức là:
( ) ( )
k11 7 11 77 n kk 11 k n 2 k 11 3k n 14 3n11 7 11 72 n
k 0 n 0 k 0 n 0
1 1A C .x . C . x . 1 .C .x C .x
x x
−− − −
= = = =
− = + = − +
Để số hạng chứa x5 thì 11 3k 5 k 2
14 3n 5 n 3
− = =
− = =
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Kết luận hệ số của x5 là 2 311 7C C 90+ = .
5. Khai triển và rút gọn biểu thức ( ) 2 n1 x 2(1 x) ... n(1 x)− + − + + − thu
được đa thức n0 1 nP(x) a a x ... a x= + + + . Tính hệ số 8a biết rằng n là số
nguyên dương thoả mãn2 3n n
1 7 1
nC C+ = .
LỜI GIẢI
Ta có 2 3n n
n 31 7 1
2 7.3! 1nC C
n(n 1) n(n 1)(n 2) n
+ = + = − − −
2
n 3n 9
n 5n 36 0
=
− − =
(nhận).
Suy ra hệ số của a8 nằm trong biểu thức 8 98(1 x) 9(1 x) .− + −
Đó là 8 88 98.C 9.C 89.+ =
Tìm a để trong khai triển ( )( )6
1 ax 1 3x+ − hệ số của hạng chứa 3x bằng 405.
LỜI GIẢI
Có ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 6
6 6 6 k mk m6 6
k 0 m 0
1 ax 1 3x 1 3x ax 1 3x C 3x ax. C 3x= =
+ − = − + − = − + −
( ) ( )6 6
k mk k m m 16 6
k 0 m 0
C 3 .x C .a. 3 .x +
= =
= − + − . Để có số hạng chứa 3x thì k 3 k 3
m 1 3 m 2
= =
+ = =
Vậy hệ số của số hạng chứa 3x là
( ) ( )3 23 2
3 6 6a C . 3 C .a. 3 540 135a 405 a 7= − + − − + = = .
Tìm hạng số thứ 4 trong khai triển 6
3 218a x
2
−
theo lũy thừa tăng dần của x.
LỜI GIẢI
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Có ( ) ( )6 k k6 66 k 6 k
3 2 k 3 2 k 3 2k6 6
k 0 k 0
1 1 18a x C 8a x C 8a .x
2 2 2
− −
= =
− = − = −
(1)
Với k = 0 thay vào (1) được số hạng thứ nhất, tiếp theo thay k = 1 được số hạng thứ 2,
thay k = 2 được số hạng thứ 3. Vậy khi thay k = 3 được số hạng thứ 4 là
( )3
33 3 6 9 66
1C . 8a x 1280a x
2
− = −
.
Tìm hệ số của 5x trong khai triển: ( ) ( )5 102P x 1 3x x 1 2x= + − −
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )5 10
5 10 k m2 k 2 m5 10
k 0 m 0
P x 1 3x x 1 2x x C 3x x C 2x= =
= + − − = − −
( ) ( )5 10
k mk k 1 m m 25 10
k 0 m 0
C 3 x C 2 x+ +
= =
= − −
Để cố hệ số của 5x thì k 1 5 k 4
m 2 5 m 3
+ = =
+ = = (thỏa).
Kết luận hệ số của 5x là ( )34 4 3
5 5 10a C 3 C 2 1365= − − = .
Bài 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức n
2
3
2x
x
+
, biết rằng n là số tự
nhiên thỏa phương trình: 2 1n n2C 5C 40 0− − = .
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( )
2 1n n
n! n!2C 5C 40 0 2. 5. 40 0
2! n 2 ! n 1 !− − = − − =
− −( )n n 1 5n 40 0 − − − =
2n 6n 40 0 n 10 − − = = (nhận).
Ta có ( )n 10 k10 1010 k
2 2 k 2 k k 20 5k10 103 3 3
k 0 k 0
2 2 2x x C x C .2 .x
x x x
−−
= =
+ = + = =
Để có số hạng không chứa x thì 20 5k 0 k 4− = = .
Vậy hệ số của số hạng không chứa x là 4 410C .2 3360=
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển n
3 2x
x
+
. Biết rằng
số nguyên dương n thỏa mãn 6 7 8 9 8n n n n n 2C 3C 3C C 2C
++ + + =
LỜI GIẢI
( )6 7 8 9 8 6 7 7 8 8 9 8n n n n n 2 n n n n n n n 2C 3C 3C C 2C C C 2 C C C C 2C
+ ++ + + = + + + + + =
7 8 9 8 7 8 8 9 8n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2C 2C C 2C C C C C 2C+ + + + + + + + +
+ + = + + + =
8 9 8n 2 n 2 n 2C C 2C+ + +
+ = 9 8n 2 n 2C C n 15+ +
= =
Khi đó ( )n k 30 5k15 1515 k
3 k 3 k k 615 15
k 0 k 0
2 2x C x C 2 x
x x
−−
= =
+ = =
Để có số hạng không chứa x thì 30 5k
0 k 56
−= = .
Hệ số của số hạng không chứa x phải tìm 6 615C .2 320320= .
8. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn : n 3 2 1 n 2n n 1 n 1 n 3C C C C− +
− − +− = . Tìm
hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển nhị thức NiuTon của biểu
thức n
3 n 8 nP x x
3x−
= −
.
LỜI GIẢI
Điều kiện n ,n 3
Ta có ( )
( )( )
( )( )
( )( )
n 3 2 1 n 2n n 1 n 1 n 3
n 1 ! n 1 ! n 1 !n!C C C C .
3! n 3 ! 2! n 3 ! n 2 ! n 2 !− +
− − +
− − +− = − =
− − − +
( )( ) ( )( ) ( )( )n n 1 n 2 3 n 1 n 2 6 n 1 n 3 − − − − − = − + ( ) ( ) ( )n n 2 3 n 2 6 n 3 − − − = +
( )
( )2
n 1 lo¹in 11n 12 0
n 12 nhËn
= − − − =
=
Khi đó ( ) ( )12 k12 1212 k k3 4 3 k 4 k 51 5k
12 12k 0 k 0
4 4P x x x C . x . C 4 .x
x x
−−
= =
− = − = = −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Số hạng tổng quát của khai triển là ( )kk 51 5k
12C 4 .x −−
Để có số hạng chứa x11 thì 51 5k 11 k 8− = =
Kết luận hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển là ( )88
12C . 4 32440320− =
9. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 3 n 1 nn n n n nC C C C C 255−+ + + + + = . Hãy tìm số hạng chứa x14 trong khai
triển nhị thức Niu tơn ( )n
2P(x) 1 x 3x= + + .
LỜI GIẢI
Với n là số nguyên dương ta có:
( )n0 1 2 3 n 1 n n
n n n n n nC C C C C C 1 1 2−+ + + + + + = + =
1 2 3 n 1 n nn n n n nC C C C C 2 1− + + + + + = − .
Theo giả thuyết ta có n n n 82 1 255 2 256 2 2 n 8− = = = = .
( ) ( )
88 k2 k 2
8k 0
P(x) 1 x 3x C 3x x=
= + + = +
Ngoài ta ta có ( ) ( ) ( )k kk k m
2 m 2 m m k m 2k mk k
m 0 m 0
3x x C 3x x C .3 .x 0 m k−
− −
= =
+ = =
Vậy 8 k 8 k
k m k m 2k m k m k m 2k m8 k 8 k
k 0 m 0 k 0 m 0
P(x) C C .3 .x C C .3 .x− − − −
= = = =
= =
Theo yêu cầu bài toán
2k m 14m 0 m 2
0 m k 8k 7 k 8
m,k
− = = =
= =
Kết luận hệ số của số hạng chứa x14 là 7 0 7 8 2 68 7 8 8C .C .3 C .C .3+ .
10. Cho khai triển Niutơn ( )2n
2 2n *0 1 2 2n1 3x a a x a x a x ,n− = + + + +
. Tính hệ số của a9 biết n thỏa mãn hệ thức : 2 3n n
2 14 1
nC 3C+ = .
LỜI GIẢI
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Điều kiện *n ,n 3
( ) ( )
( ) ( )( )2 3n n
2 14 1 2 14 1 4 28 1
n! n!n n nn n 1 n n 1 n 2C 3C 3.2! n 2 ! 3! n 3 !
+ = + = + =− − −
− −
2
n 3n 9
n 7n 18 0
=
− − =
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )k18 1818 k kk k k2
18 18k 0 k 0
1 3x C 3x C 1 3 x= =
− = − = −
Do đó hệ số của 99 18a 81C 3 3938220 3= − = − .
11. Tìm hệ số của x5 trong khai triển ( ) ( )n 2n2P(x) x 1 2x x 1 3x= − + + , biết
rằng 2 n 1n n 1A C 5−
+− =
LỜI GIẢI
Điều kiện n 2,n
Ta có ( )( )2 n 1 2
n n 1
n 1 nA C 5 n n 1 5 n 3n 10 0 n 5
2−
+
+− = − − = − − = =
Với n = 5 ta có ( ) ( ) ( ) ( )5 10
5 10 k m2 k 2 m5 10
k 0 m 0
P(x) x 1 2x x 1 3x x C 2x x C 3x= =
= − + + = − +
( ) ( ) ( )
5 10k k 1 m 2k m m
5 10k 0 m 0
C 2 x C 3 x+ +
= =
= − + .
Để có số hạng chứa x5 thì k 1 5 k 4
m 2 5 m 3
+ = =
+ = =
Suy ra hệ số của số hạng chứa x5 : ( )44 3 3
5 10C 2 C 3 21360− + =
12. Tìm hệ số của x8 trong khai triển ( )182 1
x x 1 2x4
+ + +
.
LỜI GIẢI
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
18 18 2 18 202 21 1 1 1x x 1 2x 4x 4x 1 1 2x 2x 1 2x 1 2x 1
4 4 4 4
+ + + = + + + = + + = +
( )
20 20kk k k k
20 20k 0 k 0
1 1C 2x C 2 x
4 4= =
= =
Từ đó suy ra hệ số của x8 trong khai triển là 8 820
1C 2 8062080
4= .
13. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển n
3 5
3
1nx
x
+
, biết
rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 2n n2C C n 20+ = − .
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( )
1 2 2 2n n
n! n!2C C n 20 2 n 20 n 8
n 1 ! n 2 !+ = − + = − =
− −
Ta có ( )8 8 k 40 14k8 88 k
3 33 5 5 k 5 k 8 k 38 83 3 3
k 0 k 0
1 1 18x 2 x C 2 x C 2 x
x x x
−−−
= =
+ = + = =
.
Để có chứa x4 thì 40 14k
4 k 23
−= = . Vậy hệ số của x4 là 2 6
8C 2 1792= .
14. Tìm hệ số chứa x4 trong khai triển n 2
2nx1 3x
6
− + +
, biết:
( )n 1 nn 4 n 3C C 7 n 3+
+ +− = +
LỜI GIẢI
Điều kiện n 2
n
. ( )
( )( )
( )( )n 1 n
n 4 n 3
n 4 ! n 3 !C C 7 n 3 7 n 3
3!n!3! n 1 !+
+ +
+ +− = + − = +
+
( )( )( ) ( )( )( )( )
n 4 n 3 n 2 n 3 n 2 n 17 n 3
6 6
+ + + + + + − = +
( )( ) ( )( )n 4 n 2 n 2 n 1 42 + + − + + =
n 12 = .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Với n 12= thì ( ) ( ) ( )n 2 1010 k
2 2 k 210
k 0
nxP x 1 3x 1 2x 3x C 2x 3x
6
−
=
= + + = + + = +
Ngoài ra ta có:
( ) ( ) ( ) ( )k kk mk m2 m 2 m k m m k m
k km 0 m 0
2x 3x C 2x 3x C .2 3 .x 0 m k− − +
= =
+ = =
Vậy 10 k m k
k m k m m k m k m k m m k m10 k 10 k
k 0 m 0 k 0 m 0
P(x) C C .2 .3 .x C C .2 .3 .x− + − +
= = = =
= =
Theo yêu cầu bài toán
k m 4m 0 m 1 m 2
0 m k 10k 4 k 3 k 2
m,k
+ = = = =
= = =
Kết luận hệ số của số hạng chứa x4 là:
4 0 4 3 1 2 2 2 0 210 4 10 3 10 2C C 2 C C 2 .3 C C 2 .3 8085+ + = .
15. Cho khai triển ( ) ( )210 2 2 14
0 1 2 141 2x 3 4x 4x a a x a x a x+ + + = + + + + . Tìm
6a
LỜI GIẢI
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2210 10 221 2x 3 4x 4x 1 2x 2 1 2x + + + = + + +
( ) ( ) ( )10 12 14
4 1 2x 4 1 2x 1 2x= + + + + +
Số hạng tổng quát của khai triển ( )10
4 1 2x+ là ( )kk
104C 2x hệ số của x6 trong khai triển
này là 6 6104.2 .C .
Số hạng tổng quát của khai triển ( )12
4 1 2x+ là ( )kk
124C 2x hệ số của x6 trong khai triển
này là 6 6124.2 .C .
Số hạng tổng quát của khai triển ( )14
1 2x+ là ( )kk
14C 2x hệ số của x6 trong khai triển
này là 6 6142 .C .
Kết luận 6 6 6 6 6 66 10 12 14a 4.2 .C 4.2 .C 2 .C 482496= + + = .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
16. Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển
( ) ( ) ( )220 2f x 1 2x x x 1= + + + thành đa thức.
LỜI GIẢI
Ta có ( )22 1 3
x x 1 2x 14 4
+ + = + + .
Vậy ( ) ( ) ( ) ( )2
220 20 22 1 31 2x x x 1 1 2x 2x 1
4 4
+ + + = + + +
( ) ( ) ( )20 4 21 3 9
1 2x 2x 1 1 2x16 8 16
= + + + + +
( ) ( ) ( )24 22 201 3 9
1 2x 1 2x 1 2x16 8 16
= + + + + +
Có ( )n
n k k k
nk 0
1 2x C 2 x=
+ = , để có hệ số của 6x thì k 6= , nên:
Trong khai triển ( )24
1 2x+ hệ số của 6x là 6 6
242 C .
Trong khai triển ( )22
1 2x+ hệ số của 6x là 6 6
222 C .
Trong khai triển ( )20
1 2x+ hệ số của 6x là 6 6
202 C .
Vậy hệ số 6 6 6 6 6 6
6 24 22 20
1 3 9a 2 C 2 C 2 C
16 8 16= + +
18. Cho ( ) ( )n
21P x x x
x
= − +
. Xác định số hạng không phụ thuộc vào
x khi khai triển ( )P x biết n là số nguyên dương thỏa mãn
3 2n n 1C 2n A
++ = .
LỜI GIẢI
Ta có ( )( )( )
3 2n n 1
n N,n 3
C 2n A n 8n n 1 n 22n n 1 n
6
+
+ = =− −+ = +
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8 k 8 k8 8 kk mk k2 k 2 k m k m 28 8 k
k 0 k 0 m 0
1 1 1x x C 1 x x C 1 . C x . x
x x x
− −
−
= = =
− + = − + = −
( )
8 kk k m 2k m 8
8 kk 0 m 0
1 C .C .x + −
= =
= −
Để có số hạng không phụ thuộc vào x thì:
0 m k 8,m ,k 0 m k 8,m ,k m 0 m 2
2k m 8 0 2k m 8 k 4 k 3
= =
+ − = + = = =
Suy ra có hai số hạng không phụ thuộc vào x là 4 08 4C .C và ( ) 3 2
8 31 C .C− .
Kết luận hệ số của số hạng không chứa x là ( )4 0 3 28 4 8 3C .C 1 C .C 98+ − = − .
19. Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức ( )2n
2 3x− thành đa
thức , biết rằng : 1 3 2n 12n 1 2n 1 2n 1C C C 1024+
+ + ++ + + = .
LỜI GIẢI
Ta có ( )2n 1 0 1 2 2 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 x C C x C x C x+ + +
+ + + ++ = + + + + .
Chọn ( )2n 1 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1x 1 2 C C C C 1+ +
+ + + += = + + + + .
Chọn ( )0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1x 1 0 C C C C 2+
+ + + += − = − + + − .
Lấy ( ) ( )1 2− ta được:
( )2n 1 1 3 2n 1 1 3 2n 1 2n2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 2 C C C C C C 2+ + +
+ + + + + += + + + + + + =
2n 2n 102 1024 2 2 2n 10 n 5 = = = = .
Ta có : ( ) ( ) ( )10 10
10 k kk 10 k k 10 k k10 10
k 0 k 0
2 3x C .2 . 3x C .2 . 3 .x− −
= =
− = − = − .
Từ đó suy ra hệ số của x7 là ( )77 3
10C .2 . 3− .
21. Đặt ( )4
2 3 2 120 1 2 121 x x x a a x a x a x− + − = + + + + . Tính hệ số cố a7.
LỜI GIẢI
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( ) ( ) ( ) ( )
4 44 44 k2 3 2 k k i 2i4 4
k 0 i 0
1 x x x 1 x 1 x 1 C x C x= =
− + − = − + = −
Từ giả thuyết ta có ( )k 2i 7 0 k,i 4;k,i+ = .
Từ đó suy ra k 1 k 3
i 3 i 2
= =
= =
Vậy 1 3 3 27 4 4 4 4a C C C C 40= − − = − .
22. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển biểu thức
( ) ( )n
5
3
2P x x x 0
x
= +
. Biết số nguyên dương n thỏa mãn:
1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095−+ + + = .
LỜI GIẢI
Ta có: 1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095−+ + + =
0 1 2 n 1 n n 12n n n n nC C C C C 4096 2 2 n 12− + + + + = = =
Ta có ( )12 5k 11k12 12 36
5 k 12 k 36 3k k 12 k2 212 123
k 0 k 0
2P x x C .2 .x .x C .2 .x
x
− +− − + −
= =
= + = =
.
Để có hệ số của số hạng chứa x8 thì 11k
36 8 k 82
− + = = .
Vậy hệ số của x8 trong khai triển là: 8 412C .2 7920= .
23. Cho khai triển ( ) ( ) ( )n n 2 n
0 1 2 n1 n x 1 x a a x a x ... a x 1− + + = + + + + (n
nguyên dương). Biết rằng: 0 1 2 na a a ... a 4096+ + + + = . Hãy tính a4.
LỜI GIẢI.
Với x = 1 thay vào (1) ta được:
( ) ( )n n n 2
0 1 2 na a a ... a 1 1 1. 1 1 2 2 4096 n 12+ + + + = − + + = = = .
Do đó trong khai triển:
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 12 12 12
12 12 k k kk m m k m m 112 12 12 12
k 0 m 0 k 0 m 0
1 x x 1 x C x x C x 1 C x C x +
= = = =
− + + = − + = − +
Để có hệ số của x4 thì k 4 k 3
m 1 4 m 3
= =
+ = =
Vậy ( )4 4 3
4 12 12a 1 .C C 715= − + = .
24. Cho số tự nhiên n thỏa mãn n 1 n 2n nC C 36− −+ = . Tìm hệ số của x8
trong khai triển thành đa thức của biểu thức ( ) ( )n
2 3f x 1 2x x= + − .
LỜI GIẢI
( )n 1 n 2n nC C 36 1− −+ = .Điều hiện n *,n 2 .
( )
( )( )
n 1 2n 1
n 1 !1 C 36 36 n n 72 0 n 8 n 9
2 n 1 !−
+
+ = = + − = = = −
−.
So với điều kiện nhận n = 8.
Từ đó ( ) ( ) ( )8 8
2 3 2f x 1 2x x 1 x 2 x = + − = + −
( ) ( )8 8k kk 2 k 2k
8 8k 0 k 0
C x 2 x C x 2 x= =
= − = −
( ) ( )
8 k 8 ki ik 2k i k i k i k i 2k i
8 k 8 kk 0 i 0 k 0 i 0
C x . C .2 x 1 .2 C .C .x− − +
= = = =
= − = − .
Để có số hạng chứa x8 thì
k 42k i 8
i 00 i k 8
k 3i,k
i 2
= + =
= =
=
Vậy hệ số của x8 trong khai triển f(x) là: ( ) ( )0 24 4 0 3 2
8 4 8 31 .2 .C .C 1 .2.C .C 1456− + − = .
37. (ĐH khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức
của [1 + x2(1 – x)]8.
LỜI GIẢI
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )888 8 k k
2 2 3 k 3 28
k 0
1 x 1 x 1 x x C x 1 x−
=
+ − = + − = − +
( ) ( ) ( )8 k 8 km8 k 8 kk 24 3k m 2 k m 24 3k 2m
8 k 8 kk 0 m 0 k 0 m 0
C 1 .x . C . x C C 1 x− −− − +
= = = =
= − = − .
Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k, m thỏa mãn:
16 2m k 6k24 3k 2m 8 3 m 10 m k 8 0 m k 8
k 8m,k m,k
m 4
+ == − + = =
= =
Vậy hệ số của x8 trong khai triển là: ( ) ( )2 06 1 8 4
8 6 8 8C C 1 C C 1 238− + − =
36. (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển
nhị thức Newton của n
5
3
1x
x
+
, biết rằng: n 1 n
n 4 n 3C C 7(n 3)++ +− = + (n
nguyên dương, x > 0).
LỜI GIẢI
Ta có: n 1 nn 4 n 3C C 7(n 3)++ +− = + ( )n 1 n n
n 3 n 3 n 3C C C 7(n 3)+
+ + ++ − = +
(n 2)(n 3)
2!
+ += 7(n + 3 n + 2 = 7.2! = 14 n = 12.
Số hạng tổng quát của khai triển là: ( )12 k
5 60 11kk 3 k k2 212 12C (x ) x C x
−−
− =
Số hạng chứa x8 trong khai triển, ứng với giá trị k thỏa: 60 11k
2
− = 8 k = 4.
Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là 412
12!C
4!(12 4)!=
− = 495.
38. (ĐH khối D 2004)Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển
nhị thức Newton của:7
3
4
1x
x
+
với x > 0
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
LỜI GIẢI
Ta có: ( )k7 7 k k 28 7k7 7 77 k
3 k 3 k k3 4 127 7 74 4
k 0 k 0 k 0
1 1x C x C x .x C x
x x
− − −−
= = =
+ = = =
Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k Z, 0 ≤ k ≤ 7) thoả mãn:
28 7k0 k 4
12
−= = .
Vậy số hạng không chứa x cần tìm là 47C = 35.
39. (ĐH khối A 2005 dự bị 2): Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa
thức (2 – 3x)2n, trong đó n là số nguyên dương thoả mãn:
1 3 5 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 1024+
+ + + ++ + + + = .
LỜI GIẢI
Ta có: ( ) ( )2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 x C C x C x C x ... C x *+ + +
+ + + + ++ = + + + + +
Chọn x = 1 thay vào (*) được:
22n+1 = 0 1 2 3 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C ... C +
+ + + + ++ + + + + (1)
Cho x = –1 thay vào (*) được:
0 = 0 1 2 3 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C ... C +
+ + + + +− + − + − (2)
Lấy (1) – (2):
( )2n 1 1 3 2n 1 1 3 2n 1 2n2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 2 C C ... C C C ... C 2+ + +
+ + + + + += + + + + + + =
Theo đề bài ta có: 2n2 1024 2n 10 n 5= = =
Ta có: (2 – 3x)10 = ( ) ( )10 10
10 kk 10 k k 10 k k k10 10
k 0 k 0
2 3x C 2 3x C 2 ( 3) (x)− −
= =
− = − = −
Số hạng chứa x7 ứng với giá trị k thỏa: k = 7.
Suy ra hệ số của x7 là ( )77 3
10C 3 2 2099520− = −
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
40. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niu tơn
củan
7
4
1x
x
+
, biết rằng 1 2 n 20
2n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 1+ + ++ + + = −
LỜI GIẢI
• Từ giả thiết suy ra: 0 1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 2
+ + + ++ + + + = (1)
Vì k 2n 1 k2n 1 2n 1C C + −
+ == , k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên:
( )0 1 2 n 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
1C C C ... C C C C ... C
2+
+ + + + + + + ++ + + + = + + + + (2)
Từ khai triển nhị thức Newton của (1 + 1)2n+1 suy ra:
0 1 2 2n 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C (1 1) 2+ + +
+ + + ++ + + + = + = (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 n = 10.
• Ta có: ( )10 10 10k
11k 407 k 4 10 k 7 k10 104
k 0 k 0
1x C (x ) x C x
x
−− −
= =
+ = =
Số hạng chứa x26 ứng với giá trị k thỏa mãn 11k 40 26 k 6− = =
Vậy hệ số của x26 là 610C = 210.
42. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006)Khai triển biểu thức (1 –
2x)n ta được đa thức có dạng: a0 + a1x + a2x2 + … + anxn.
Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71.
LỜI GIẢI
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = k k knC ( 2) .x−
Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 0 1 2n n nC 2C 4C 71− + =
n N, n 2
n(n 1)1 2n 4 71
2
−
− + =
2
n N, n 2
n 2n 35 0
+ − =
n = 7
Với n = 7, ta có hệ số của x5 trong khai triển (1 – 2x)n là:
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
a5 = 5 57C ( 2)− = – 672.
43. (CĐ Điện lực TPHCM 2006): Tìm số hạng không chứa x trong
khai triển nhị thức n
2
3
1x
x
+
, biết rằng: 1 3
n nC C 13n+ = (n là số tự
nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0).
LỜI GIẢI
Ta có: 1 3 2n n
n 10n(n 1)(n 2)C C 13n n 13n n 3n 70 0
n 76
=− −+ = + = − − =
= −
So với điều kiện nhận n = 10.
Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là:
k 2 10 k 3 k k 20 5kk 1 10 10T C (x ) (x ) C x− − −+= =
Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn 20 – 5k = 0 k = 4
Vậy số hạng không chứa x là: 45 10T C 210= =
44. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006): Cho A = 20 10
3
2
1 1x x
xx
− + −
. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ
gồm bao nhiêu số hạng?
LỜI GIẢI
Khai triển biểu thức 20 10
3
2
1 1A x x
xx
= − + −
= ( ) ( ) ( )20 10k 10 k n
k k 20 k 2 n n 3 120 10
k 0 n 0
( 1) C x x ( 1) C x x−
− − −
= =
− + −
( ) ( )20 10
k nk 20 3k n 30 4n20 10
k 0 n 0
1 C x 1 C x− −
= =
= − + −
Xét trường hợp 2 biểu thức có số hạng chứa x mũ giống nhau:
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
20 3k 30 4n 4n 3k 10n 4
0 k 20 0 k 20n 7
0 n 10 0 n 10n 10
n,k n,k
− = − − = =
= =
20 – 3k = 30 – 4n 10 – n = 3(n – k)
có 3 số hạng trong hai khai triển trên có luỹ thừa của x giống nhau.
Vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm: 21 + 11 – 3 = 29 số hạng.
49. Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức Niu tơn của n
2 2x
x
−
,
biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 3n 1 n n4C 2C A++ = .
LỜI GIẢI
Ta có ( )3 2 3n 1 n n4C 2C A 1++ = . Điều kiện n 3,n
( )
( )( ) ( ) ( )
n 1 ! n! n!1 4 2
3! n 2 ! 2! n 2 ! n 3 !
+ + =
− − −
( ) ( )( ) ( )( )
2 n 1 n n 1n n 1 n n 1 n 2
3
+ − + − = − −
( ) ( ) ( )2 2 22 n 1 3 n 1 3 n 3n 2 n 12n 11 0 n 11 − + − = − + − + = =
50. Tìm hệ số chứa x7 trong khai triển ( )n
32 x 2x− + biết
0 1 2n n nC C C 29+ + =
LỜI GIẢI
( )0 1 2n n nC C C 29 1+ + = . Điều kiện n 2,n .
( )
( ) ( )n! n!
1 1 29n 1 ! 2! n 2 !
+ + =− −
( ) 2n n 1
1 n 29 n n 56 0 n 72
− + + = + − = =
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )7 7 k7 7 kk i3 k 3 k 7 k 21 3k i k i
7 7 kk 0 k 0 i 0
2 x 2x C 2 x 2x C 2 x C 2 x−
− − −
= = =
− + = − = −
( )
7 kik i 7 i 21 3k i
7 kk 0 i 0
C C .2 1 .x− − +
= =
= −
Để có hệ số chứa x7 ta phải có:
21 3k i 7 3k i 14i 1 i 4 i 7
0 i k 7 0 i k 7k 5 k 6 k 7
i,k i,k
− + = − = = = =
= = =
Kết luận hệ số của x7: ( ) ( ) ( )4 75 1 6 6 4 3 7 7
7 5 7 6 7 7C C 2 1 C C 2 1 C C 1 5881− + − + − = −
51. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 3 3n 3 n 1A 6C 294+ +− = . Tìm số
hạng mà tích số mũ của x và y bằng 18 trong khai triển nhị thức Niu
tơn ( )n
24
2
ynx, xy 0
3y x
+
.
LỜI GIẢI
( )3 3n 3 n 1A 6C 294 1+ +− = . Điều kiện n 2,n
( )
( ) ( )( )
( )( )( ) ( ) ( )n 3 ! n 1 !
1 6 294 n 3 n 2 n 1 n 1 n n 1 294n! 3! n 2 !
+ + − = + + + − + − =
−
2n 2n 48 0 n 6 + − = = .
Ta có
6 k6 k2 24 46 6k k 6 k 24 6k 6 3k6 62 2
k 0 k 0
y y2x 2xC C .2 .x .y
y yx x
−
− − − +
= =
+ = =
Để tích của hai số mũ của x và y bằng 18, theo đề bài có
( )( ) 224 6k 6 3k 18 k 6k 9 0 k 3− − + = − + = =
Số hạng cần tìm là: 3 3 6 3 6 36C 2 .x y 160x y=
52. Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển nhị thức
Niu tơn của ( )n
51
x , x 0x
−
. Biết n số nguyên dương thỏa
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
n 1 n 2 n 3 2n 2n 1 362n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C C 2+ + + +
+ + + + ++ + + + + = .
LỜI GIẢI
Ta có k 2n 1 k2n 1 2n 1C C , k 0,2n 1+ −
+ += = +
Nên ta có:
0 1 2 n n 1 n 2 n 3 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C C C C C C+ + + +
+ + + + + + + + ++ + + + = + + + + +
Vậy n 1 n 2 n 3 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C C+ + + +
+ + + + ++ + + + +
( )0 1 2 n n 1 n 2 n 3 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
1C C C C C C C C C
2+ + + +
+ + + + + + + + += + + + + + + + + + +
2n 1 2n1.2 2
2+= =
Theo đề bài ta có 2n 362 2 2n 36 n 18= = =
NHỊ THỨC NIU TƠN TÌM HỆ SỐ ak max
1. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12
thành dạng: a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12. Tìm max(a1, a2, …, a12).
LỜI GIẢI
P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12
Ta có số hạng tổng quát: ( )kk k k k
12 12C 2x C 2 x= .
Hệ số của số hạng tổng quát k kk 12a C .2=
Giả sử ( )k 0 1 12a max a ,a ,...,a= . Từ đó ta có:
k k k 1 k 1k k 1 12 12
k k k 1 k 1k k 1 12 12
a a C .2 C .2
a a C .2 C .2
+ ++
− −−
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
12! 12! 1 2.2k! 12 k ! k 1 ! 11 k ! 12 k k 1
12! 12! 2 1.2
k 13 kk! 12 k ! k 1 ! 13 k !
− + − − +
−− − −
23k
23 263 k k 826 3 3
k3
=
(vì k )
Kết luận hệ số lớn nhất trong khai triển là: 8 88 12a C .2 126720= =
2. (ĐH An Ninh khối A 2001) Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …,
xn, … với
xn = 4n 4
n 2 n
A 143
P 4P+
+
− (n = 1, 2, 3, …)
LỜI GIẢI
Ta phải tìm các số tự nhiên n > 0 thoả mãn:
xn = 4n 4
n 2 n
A 143
P 4P+
+
− < 0 (n + 3).(n + 4) – 143
4 < 0
4n2 + 28n – 95 < 0 19 5
n2 2
−
Vì n là số nguyên dương nên ta được n = 1, 2
các số hạng âm của dãy là x1, x2.
3. (ĐHSP HN khối A 2001) Trong khai triển của 10
1 2x
3 3
+
thành đa
thức:
a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak R) hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0
≤ k ≤ 10).
LỜI GIẢI
Ta có 10
1 2x
3 3
+
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển: ak = k k1515
1C .2
3; (với k = 0, 1, 2, …, 15)
Giả sử ( )k 0 1 15a max a ;a ;...;a= . Từ đó ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k k k 1 k 115 1515 15
k k 1
k k k 1 k 1k k 115 1515 15
15! 15!1 1 .2C .2 C .2 k! 15 k ! k 1 ! 14 k !a a 3 3a a 1 1 15! 15!
C .2 C .2 .2k! 15 k ! k 1 ! 16 k !3 3
+ +
+
− −−
− + −
− − −
Ta có: ak–1 ≤ ak k 1 k 1 k k10 10C .2 C .2− −
1 2
(k 1)!(11 k)! k!(10 k)!
− − −
k ≤ 2(11 – k) k ≤ 22
3
Vậy hệ số a7 là lớn nhất: a7 = 7 71010
1.C .2
3.
8. Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển nhị thức ( )n
33 2+
, biết ( )3 n n n
n n 2n 3n 27P C C C P= , với n là số tự nhiên.
LỜI GIẢI
Ta có ( ) ( )( ) ( )
( )3 3n n n
n n 2n 3n 27 27
2n ! 3n !P C C C P n! . . P
n!.n! n!. 2n != =
( )3n ! 27! 3n 27 n 9 = = =
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )k9 k9 9n 9 9 k k
3 3 k 3 k 329 9
k 0 k 0
3 2 3 2 C 3 2 C .3 .2−
−
= =
+ = + = =
Để có số hạng là số nguyên khi
( )9 k 2
k 3 k 3 k 9
0 k 9,k N
−
= =
Vậy có hai số hạng là số nguyên là 3 39C .3 .2 và 9 3
9C .2 .
9. Khai triển đa thức 12P(x) (1 2x)= + thành dạng:
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2 12.0 1 2 12P(x) a a x a x ... a x= + + + +
Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số 0 1 12a ,a ,...a (tức là tìm max
0 1 2 12(a ,a ,a ,...,a ) )
LỜI GIẢI
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có 12 12
k k k k k12 12
k 0 k 0
P(x) C (2x) C 2 x= =
= = (1)
Từ (1) suy ra k kk 12a 2 C= ; k 0,1,2,...12=
Xét bất phương trình k k 1a a ,+
ta thấy:
k k k 1 k 1k k 1 12 12a a 2 C 2 C+ +
+ k k 1
12 12C 2C +
12! 12!2
(12 k)!k! (11 k)!(k 1)!
− − +
1 2
12 k k 1
− +
k 1 2(12 k), + − (do 12 k 0)−
3k 23 23
k .3
Do k vì k 0 nên k 0,1,2,...,7= .
Vì lẻ ấy k k 1a a k 8,9,10,...,11+
=
Vậy ta có 0 1 2 7 8 9 10 12a a a ... a a a a ... a .
Vì thế 8 80 1 11 12 8 12max a ,a ,...,a ,a a 2 C 126720= = = .
10. Xét khai triển 9 2 90 1 2 9(3x 2) a a x a x ... a x+ = + + + + .
Tìm max 0 1 2 9{a ,a ,a ,...,a } .
LỜI GIẢI
Theo công thức khai triển Newton, ta có9
9 k k 9 k9
k 0
(3x 2) C (3x) (2) −
=
+ = .
Vậy k 9 k kk 9a 3 (2) C−= ; k 0,1,2,...,9= .
Ta có k 9 k k k 1 8 k k 1k k 1 9 9a a 3 (2) C 3 (2) C− + − +
+ k k 1
9 92C 3C +
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
9! 9!
2 3(9 k)!k! (8 k)!(k 1)!
− − +
2 3
9 k k 1
− + 2k 2 27 3k + − 5k 25 k 5 k 0,1,2,3,4 =
Từ đó suy ra k k 1a a k 5+
= =
k k 1a a k 5 k 6,7,8,9+
=
Vậy ta có 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a a =
Do đó giá trị lớn nhất của các hệ số đạt tại hai giá trị 55 6 9a a 2C 252= = = .
11. Xét khai triển n 2 n0 1 2 n(1 2x) a a x a x ... a x .+ = + + + +
Tìm n để 0 1 2 n 8max{a ,a ,a ,...a } a= .
LỜI GIẢI
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
n n
n k k k k kn n
k 0 k 0
(1 2x) C (2x) 2 C x= =
+ = =
Như vậy k kk na 2 C= ; k 0,1,2,...,n= .
Theo giả thiết ta có 8 0 1 2 na max{a ,a ,a ,...,a }= tức là:
0 1 7 8 9 10 na a ... a a a a ... a .
Vậy ta phải có 8 8 7 7
8 7 n n
8 8 9 98 9 n n
a a 2 C 2 C
a a 2 C 2 C
n! n!2
(n 8)!8! (n 7)!7!
n! 2n!
(n 8)!8! (n 9)!9!
− −
− −
2 1
8 n 71 2
n 8 9
−
−
2n 14 8
9 2n 16
−
−
2511 n
2 .
Do n n 12 = .
HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Khai triển ( )30
1 3x+ thành đa thức : 2 30
0 1 2 30a a x a x ... a x+ + + + . Tìm hệ số lớn nhất của các hệ
số 0 1 2 30
a ;a ;a ;...;a .
LỜI GIẢI
Ta có: ( )30
1 3x+ = ( )30 30
kk k k k
30 30k 0 k 0
C 3x C 3 x= =
=
Hệ số của kx là k k k
30C 3 x . Ta có:
( ) ( ) ( )
k 1 kk 1 k 1 k k k
k 1 k 30 30
30!3 30!3a a C 3 C 3 x
k 1 ! 29 k ! k! 30 k !
++ +
+− = − = −
+ − −
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
k k
k 1 k
30!3 30!3a a 3 30 k k 1 89 4k
k 1 ! 30 k ! k 1 ! 30 k !+
− = − − + = − + − + −
( )k 1 k 0 1 2 22 23
89a a 0 89 4k 0 k 22,25 a a a ... a a 1
4+− − =
( )k 1 k 23 24 25 29 30
89a a 0 89 4k 0 k 22,25 a a a ... a a 2
4+− − =
Suy ra hệ số lớn nhất trong các hệ số 0 1 2 30
a ;a ;a ;...;a là 23 23
23 30a C 3=