UNIBAN

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

PAULO JORGE MAGALHÃES TEIXEIRA

UM ESTUDO SOBRE OS CONHECIMENTOS NECESSÁRIOS AO

PROFESSOR DE MATEMÁTICA PARA A

EXPLORAÇÃO DE PROBLEMAS DE CONTAGEM NO ENSINO

FUNDAMENTAL

SÃO PAULO - SP

2012

PAULO JORGE MAGALHÃES TEIXEIRA

UM ESTUDO SOBRE OS CONHECIMENTOS NECESSÁRIOS AO PROFESSOR DE MATEMÁTICA PARA A

EXPLORAÇÃO DE PROBLEMAS DE CONTAGEM NO ENSINO FUNDAMENTAL

Tese apresentada à Banca Examinadora do Curso de Doutorado em Educação Matemática, Linha de Pesquisa em Formação de Professores que ensinam Matemática, da Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN, como exigência parcial à obtenção do título de Doutor em Educação Matemática, sob a orientação do professor Dr. Ruy César Pietropaolo.

SÃO PAULO 2012

P268e Teixeira, Paulo Jorge Magalhães

Um estudo sobre os conhecimentos necessários ao professor de matemática para a exploração de problemas de contagem no ensino fundamental. ./ Paulo Jorge Magalhães Teixeira. -- São Paulo: [s.n.], 2012. 458 f.: il.; 30 cm. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Universidade Bandeirante de São Paulo. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. “Orientação: Professor Dr. Ruy César Pietropaolo”

1.Educação matemática. 2. Problemas de contagem. 3. Formação de professores de matemática. 4. Conhecimento matemático para o ensino. 5. Currículo de matemática. I. Título.

CDD: 372.7

Autor: Paulo Jorge Magalhães Teixeira

Título: Um estudo sobre os conhecimentos necessários ao pro fessor de

Matemática para a exploração de Problemas de Contag em no Ensino

Fundamental

Este trabalho foi julgado e aprovado para obtenção do título de Doutor em

Educação Matemática – UNIBAN – Universidade Bandeirante de São Paulo

São Paulo, 30/11/2012.

Banca Examinadora

_____________________________________________________________

Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo (Orientador)

Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN

_____________________________________________________________

Profª. Dra. Martha Salerno Monteiro

Universidade de São Paulo - USP

_____________________________________________________________

Prof. Dr. Márcio Antonio da Silva

Universidade Federal do Mato Grosso do Sul - UFMS

_____________________________________________________________

Profª. Dra. Siobhan Victoria Healy (Lulu Healy)

Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN

_____________________________________________________________

Profª. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva

Universidade Bandeirante de São Paulo - UNIBAN

Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a

reprodução total ou parcial desta tese por processos de

fotocopiadoras ou eletrônicos.

Local e Data: ___________________________________

Assinatura: _____________________________________

Dedicatória

Dedico este trabalho aos meus amados e

queridos pais FERNANDO TEIXEIRA MALTA

(in memoriam) e ANA MAGALHÃES MALTA,

de quem aprendi o caminho da retidão, da luta,

do esforço, da justiça, do amor e do trabalho,

razões de minha existência e aos meus

queridos irmãos HILDA, LUÍS ANTÔNIO e

ELISABETE, presentes nesta minha conquista

e em tantas outras realizações.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar e acima de tudo, a Deus, sem o qual nada é possível, seu

filho Jesus Cristo, Maria Nossa Senhora, Nossa Senhora da Conceição

Aparecida, Nossa Senhora da Consolação e Correia, Nossa Senhora da

Conceição, São Judas Tadeu, São Jorge e aos mensageiros da luz, pois

sempre me mantiveram na esperança de vida principalmente quando tudo

parecia estar escuro, quando bateu o desânimo, quando as palavras não foram

suficientes;

Ao meu querido e amado pai Fernando Teixeira Malta (in memoriam), pelo

exemplo de vida, amor, luta, coragem e determinação;

À minha querida e amada mãe Ana Magalhães Malta, pelo exemplo de vida,

amor, luta, coragem, determinação, estímulo e pelas palavras confortantes nos

momentos de maior preocupação, fraqueza, desânimo e em tantos outros não

menos difíceis;

Aos meus irmãos Hilda Magalhães Teixeira Lopes, Luís Antônio Magalhães

Teixeira e Elisabete Teixeira Sá Freire de Abreu, pela força, companheirismo e

disponibilidade para resolverem inúmeros problemas pessoais enquanto me

dispunha a estudar em São Paulo e em redigir esta tese;

Aos cunhados Hélcio e Manuel, à Márcia, Ana Carolina, Luiz Fernando,

Leonardo e Mateus pelas palavras de incentivo e força nos momentos difíceis

porque passamos;

Ao Professor Doutor Ruy César Pietropaolo, pela orientação, dedicação, apoio,

valiosas sugestões, ajuda, companheirismo, amizade e incentivo em vários

momentos, assim como em me ouvir, me corrigir e me orientar sobre o os

caminhos a trilhar e pela incondicional disponibilidade em avaliar o material

desta tese, acreditando em mim e no trabalho de pesquisa que desenvolvia;

Aos Professores membros da Banca Examinadora: Ruy César Pietropaolo,

Siobhan Victoria Healy (Lulu Healy), Angélica da Fontoura Garcia Silva, Márcio

Antonio da Silva, Martha Salerno Monteiro, Lilian Nasser e Verônica Yumi

Kataoka pelas valiosas sugestões que contribuíram para o aprofundamento das

questões discutidas e as contribuições para tornar mais claro o texto, assim

como pela disponibilidade em avaliar o material desta tese;

À Professora Doutora Tânia Maria Mendonça Campos pelo apoio, pela ajuda,

pelo incentivo e pela dedicação e determinação com que desenvolve suas

tarefas à frente da Coordenação do Curso de Pós Graduação Strict Sensu em

Educação Matemática da UNIBAN – Universidade Bandeirante de São Paulo;

Ao Professor Doutor Ruben Klein, pela disponibilidade de material para

pesquisa e apoio;

Ao Professor Doutor João Rua, primo querido, pelo incentivo e apoio para a

concretização deste trabalho;

À UNIBAN, a bolsa de tutoria que custeou parte das mensalidades, que muito

contribuiu para que a realização deste trabalho fosse em parte suavizada;

Aos Professores colegas do Departamento de Análise do Instituto de

Matemática e Estatística da UFF – Universidade Federal Fluminense que

contribuíram com seu esforço de trabalho para que eu pudesse me afastar das

minhas atividades docentes por um pequeno período de tempo, para a

concretização deste trabalho;

A todos os amigos e parentes que torceram por esta realização e tanto apoio

me deram, bem como dos muitos momentos em que me recolhi aos meus

estudos e reflexões e não pude compartilhar com eles minhas angústias;

À amiga professora Martha Yvonne de Almeida pelas correções gramaticais,

sugestões e o incentivo para tornar este trabalho o mais claro possível;

À amiga professora Ida Rabelo pela ajuda na tradução do resumo em francês;

Aos professores sujeitos de pesquisa, que com responsabilidade e

profissionalismo demonstraram interesse e motivação para compartilhar

concepções, crenças, reflexões e discussões durante as respostas aos

questionários e ao longo da sequência de ensino, os agradecimentos e

respeito;

Aos professores Rosana Jorge Monteiro Magni, Olga Corbo e Marcelo Villani

pela disponibilidade e ajuda que foram fundamentais para a aplicação da

sequência didática no Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES;

Ao Guilherme Menezes pela amizade e ajuda em vários momentos -

fundamentais para que muitas vezes pudesse voltar para o Rio de Janeiro,

bem como pela disponibilidade e consideração em resolver questões

administrativas no âmbito do Curso as quais não poderia fazer por estar

distante de São Paulo;

A todos os professores do Curso de Doutorado em Educação Matemática da

Universidade Bandeirante de São Paulo: Angélica, Janete, Luis Gonzaga, Lulu,

Maria Elisabette, Maria Helena, Marlene, Mônica, Nielce, Rosana, Ruy,

Solange, Tânia, Ubiratan, Vera, Verônica e Vincenzo, dos quais compartilho

conhecimentos, experiências, sabedoria, orientação, amizade e incentivo;

A todos os colegas das turmas 2009, 2010 e 2011 do Curso de Doutorado em

Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo, em especial

Raimundo Nonato Brandão, Anna Luisa de Castro, Wilson Barbosa da Silva e

Benedito, dos quais compartilho recordações, conhecimentos, experiências e

amizade.

A todos os que colaboraram com esse trabalho e que se reconhecerão nessas

linhas, o meu mais profundo agradecimento.

"A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos".

ARISTÓTELES.

"A utopia está lá no horizonte. Me aproximo dois passos, ela se afasta dois passos. Caminho dez passos e o horizonte corre dez passos. Por mais que eu caminhe, jamais alcançarei. Para que serve a utopia? Serve para isso: para que eu não deixe de caminhar".

EDUARDO GALENO.

RESUMO Esta pesquisa teve o propósito de investigar os conhecimentos necessários ao professor de Matemática, para desenvolver em suas aulas noções relativas a Problemas de Contagem na Educação Básica. Trata-se de estudo que envolveu um grupo de 23 professores dos Ensinos Fundamental e Médio, da rede pública do Estado de São Paulo, em um curso de formação continuada desenvolvido no âmbito do Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES. A primeira fase da coleta de dados constituiu-se na aplicação de três instrumentos com o objetivo de conhecer o perfil dos professores e identificar suas concepções a respeito do processo de ensino e de aprendizagem dos Problemas de Contagem na Educação Básica. A segunda fase, denominada intervenção, foi realizada segundo princípios da metodologia Design Experiments e teve a finalidade de investigar se uma sequência de atividades que explore a resolução de Problemas de Contagem, sem a utilização de fórmulas, pode favorecer a ressignificação dos conhecimentos dos professores sob os pontos de vista do conteúdo, didático e curricular de noções concernentes a esse tema. Na terceira e última fase da coleta, foi aplicado instrumento com a finalidade de validar dados obtidos durante a intervenção e de identificar prováveis mudanças nas concepções dos professores. Cabe ressaltar que, além da análise de pesquisas existentes sobre esse tema desenvolvidas com alunos e professores, foram examinados também documentos recentes de referência curricular para a abordagem de conceitos relativos à Análise Combinatória. Sobre a fundamentação teórica, no que concerne à apreensão de um conteúdo, utilizou-se a noção de imagem conceitual, segundo Tall & Vinner (1981) e também as ideias defendidas por Fischbein (1994) sobre a importância de integrar na atividade matemática os componentes formais, intuitivos e algorítmicos. Relativamente aos conhecimentos que devem ser de domínio do professor, foram consideradas as categorias estabelecidas por Shulman (1986): conhecimento do conteúdo específico, do pedagógico e do curricular. Finalmente, no que se refere à formação de professores reflexivos, em um ambiente de estudo de inovações curriculares, foram utilizadas as ideias defendidas por Zeichner (1993). As respostas dos professores aos instrumentos diagnósticos revelaram concepções inconsistentes sobre os tipos de agrupamentos presentes nos problemas de contagem. Além disso, os professores mostraram ter forte convicção de que a resolução de um problema de combinatória não utilizando uma linguagem formal – algébrica, no caso – seria uma solução “arranjada” e, portanto, não muito correta do ponto de vista da Matemática. Essas respostas constituíram-se em ponto de partida para o processo de formação, ao longo da segunda fase. As discussões e reflexões realizadas durante a intervenção ampliaram a imagem conceitual dos professores, relativa aos problemas de contagem, bem como ao seu ensino, sobretudo no que concerne à importância da articulação dos três componentes de Fischbein (1994) no desenvolvimento de noções relativas a esse conteúdo. No entanto, no final desse processo percebeu-se certa tensão nas falas dos professores: aceitar as soluções “aritméticas”, envolvendo os princípios multiplicativo e aditivo ou as obtidas pela contagem direta da árvore de possibilidades, sem considerar como necessário o uso das fórmulas para a validação das respostas encontradas para problemas envolvendo os conceitos: permutação, combinação simples e arranjo. Palavras-chave: Educação Matemática; Problemas de Contagem; Formação de Professores de Matemática; Conhecimento Matemático para o Ensino; Currículos de Matemática.

ABSTRACT This research aimed to investigate the knowledge necessary for Mathematics teacher’s to develop in the classes in notions related to Counting Problems in Basic Education with their classes. This is a study involving a group of 23 teachers of the public Elementary and High School network of the São Paulo State, in service education course developed within the Observatory of Education UNIBAN/CAPES. The first phase of data collection consisted in applying three instruments in order to know the profile of teachers and identify their conceptions about the teaching and learning of Problems Counting in Basic Education. The second phase, called the intervention, was conducted according to principles of the methodology Design Experiments and aimed to investigate whether a sequence of activities that explore the resolution of Counting Problems, without the use of formulas, may help the resignifying of teachers' knowledge on the point of view of content, instructional and curricular notions concerning this topic. The third and final phase of data collection, involved the application of an instrument in order to validate data obtained during the intervention and identify potential changes in teachers' conceptions. Note that, besides the analysis of existing research on this topic developed with students and teachers, were also examined recent curricular reference documents addressing concepts related to Combinatorial Analysis. On the theoretical basis, regarding the seizure of content, we used the notion of conceptual image, according Vinner & Tall (1981) and also the ideas defended by Fischbein (1994) on the importance of integrating formal, intuitive and algorithmic components in mathematical activity. In relation to knowledge that must be part of teacher’s responsibility, were considered the categories established by Shulman (1986): knowledge of specific content, pedagogy and curriculum. Finally, referring to the formation of reflective teachers in a study of curricular innovations environment, were used the ideas defended by Zeichner (1993). Teachers' responses to diagnostic instruments revealed inconsistent conceptions about the types of clusters present in the Counting Problems. Moreover, teachers showed a strong conviction that solving a combinatorial problem not using a formal language - algebraic in the case – could be an "arranged" solution and not quite correct therefore in the Mathematics point of view. These responses were set up as a starting point for the training process, during the second phase. Discussions and reflections took along the intervention process, increased the conceptual image of teachers concerning counting problems, as well as their teaching action, especially regarding the importance of coordination of the three components of Fischbein (1994) in the development of notions related to that content. However, at the end of the process was realized a kind of tension in the teacher´s speeches: accepting "arithmetic" solutions involving the multiplicative and additive principles or those obtained by direct counting in the tree possibilities, without regarding as necessary the use of formulas validating the already found solutions to problems involving the concepts: permutation, combination simple and arrangement. Keywords: Mathematics Education; Problems Counting; Mathematics Teachers Training, Mathematical Knowledge for Teaching, Mathematics Curriculum.

RÉSUMÉ

Cette recherche visait à étudier les connaissances que doit avoir un professeur de mathématiques pour développer, lors de ses classes, des notions concernant les Problèmes de Comptage dans l'éducation de base. Il s'agit d'une étude portant sur un groupe de 23 enseignants de l’enseignement primaire et secondaire de l'Etat de São Paulo, pendant un cours de formation continue développé au sein de l’ « Observatório da Educação » de UNIBAN/CAPES. La première phase de la récolte des données consistait à appliquer trois outils afin de connaître le profil des enseignants et d'identifier leurs conceptions sur le processus d’enseignement-apprentissage des Problèmes de Comptage dans l'Éducation de Base. La seconde phase, dite d’intervention, a été menée selon les principes de la méthodologie Design Experiments et avait pour but déterminer si une séquence d'activités qui explore la résolution de Problèmes de Comtage, sans l'utilisation de formules, pouvait favoriser la redéfinition des connaissances des enseignants sous les points de vue du contenu, didactique et curriculaire des notions concernant ce sujet. Pendant la troisième et dernière phase de la récolte, nous avons utilisé un outil afin de valider les données obtenues lors de l'intervention et d’identifier des changements potentiels dans les conceptions des enseignants. Notez que, outre l'analyse des recherches existantes sur ce sujet, mises au point avec la participation d’élèves et d’enseignants, ont été examinés, également, des documents de référence curriculaire actualisés pour aborder les concepts liés à l'Analyse Combinatoire. Sur la base théorique, en ce qui concerne la saisie d'un contenu, nous avons utilisé la notion d'image conceptuelle, d’après Vinner & Tall (1981), ainsi que les idées défendues par Fischbein (1994) sur l'importance d'intégrer dans l'activité mathématique les composantes formelle, intuitive et algorithmique. Relativement au savoir-faire de l'enseignant, ont été considérés les catégories établies par Shulman (1986): la connaissance des contenus spécifiques, pédagogiques et curriculaires. Enfin, en ce qui concerne la formation d’enseignants réfléchis, dans un environnement d'étude des innovations curriculaires, nous avons utilisé les idées défendues par Zeichner (1993). Les réponses des enseignants aux outils de diagnostic ont révélé des conceptions contradictoires sur les types de groupements présents dans les Problèmes de Comtage. En plus, les enseignants étaient convaincus que la résolution d'un problème combinatoire qui n’utilise pas de langage formel – dans ce cas, algébrique – constituerait une solution ad hoc et, donc, pas tout à fait correcte du point de vue des mathématiques. Ces réponses sont devenues le point de départ du processus de formation, au cours de la deuxième phase. Les discussions et les réflexions ayant lieu au cours de l'intervention ont agrandi l'image conceptuelle des enseignants, relativement aux problèmes de comptage, ainsi qu’à leur enseignement, surtout en ce qui concerne l'importance de l’articulation des trois composantes de Fischbein (1994) dans le développement de notions comprises par ce contenu. Cependant, à la fin du processus une certaine appréhension était repérable dans les paroles des enseignants: acceptation des solutions "arithmétiques" que comprenaient les Principes Multiplicatif et Additif ou celles obtenues par comptage direct de l’arbre des possibilités, tout en considérant dispensable l'utilisation de formules pour la validation des solutions trouvées à des problèmes portant sur les notions: permutation, combinaison simple et agencement. Mots-clés: Education mathématique, problèmes de comptage; Formation de Professeurs de Mathématiques ; Connaissances mathématiques pour l'enseignement ; curriculum de mathématiques.

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 - Idades dos professores integrantes do Observatório da UNIBAN em

2011................ ..................................................................................................... 203

Gráfico 2 - Séries do Ensino Fundamental em que os professores do

Observatório da UNIBAN trabalham ou não......................................................... 204

Gráfico 3 - Séries do Ensino Médio em que os professores do Observatório

Da UNIBAN trabalham, ou não ............................................................................ 204

Gráfico 4 - Tempo de magistério dos professores do Observatório da UNIBAN.. 206

Gráfico 5 - Quantidade de aulas semanais ministradas pelos professores do

Observatório da UNIBAN ..................................................................................... 206

Gráfico 6 - Grau máximo de formação dos professores do Observatório da

UNIBAN................................................................................................................ 207

Gráfico 7 - Participação em atividades de formação da SEE e o grau de

satisfação dos professores do Observatório da UNIBAN..................................... 207

Gráfico 8 - Posição dos professores do Observatório da UNIBAN em relação

ao novo currículo prescrito pela SEE .................................................................. 209

Gráfico 9 - Como os professores do Observatório da UNIBAN veem a

implementação do novo currículo prescrito pela SEE.......................................... 211

Gráfico 10 - Em relação às situações de aprendizagem contidas no Caderno do

Professor, você as utiliza como?.......................................................................... 212

Gráfico 11 - Em relação aos conteúdos de Matemática dos Cadernos do

Professor, para uso em suas aulas são: .............................................................. 213

Gráfico 12 - Em relação aos conteúdos de Matemática dos Cadernos do Aluno,

para melhorar a aprendizagem deles, elas são: .................................................. 213

Gráfico 13 - Em relação aos instrumentos avaliativos que o professor utiliza...... 215

Gráfico 14 - Em relação aos recursos pedagógicos que o professor utiliza ......... 216

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Datas dos encontros da sequência didática... .................................... 37

Quadro 2 - Atividades e objetivos desenvolvidos na sequência didática... .......... 280

Quadro 3 - Árvore de possibilidades e Tabela de dupla entrada. Fase de

intervenção .......................................................................................................... 288

Quadro 4 – O Princípio Multiplicativo. Fase de Intervenção................................. 296

Quadro 5 – Princípio Multiplicativo e Princípio Aditivo. Fase de Intervenção... .... 302

Quadro 6 – Conhecimentos do professor sobre arranjos simples. Fase de

intervenção........................................................................................................... 310

Quadro 7 - Conhecimentos do professor sobre permutação simples. Fase de

intervenção........................................................................................................... 322

Quadro 8 - Conhecimentos do professor sobre permutação simples.

Continuação. Fase de intervenção....................................................................... 325

Quadro 9 - Conhecimentos do professor sobre permutação simples.

Continuação. Fase de intervenção....................................................................... 328

Quadro 10 - Conhecimentos do professor sobre permutação em que nem todos

os objetos são distintos. Fase de intervenção. .................................................... 331

Quadro 11 - Conhecimentos do professor sobre permutação em que nem todos

os objetos são distintos. Anagramas. Fase de intervenção... .............................. 337

Quadro 12 - Conhecimentos do professor sobre combinação simples. Fase de

intervenção........................................................................................................... 344

Quadro 13 - Conhecimentos do professor sobre permutação circular. Fase de

intervenção.................... ....................................................................................... 352

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Indicação dos dados dos professores que permitiram a concepção inicial da sequência didática desenvolvida no Observatório Educação da CAPES/UNIBAN................................................................................................... 38

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Esquema mostrando o avanço da imagem conceitual em relação aos aspectos formal, algorítmico e intuitivo ................................................................ 363 Figura 2 - Esquema mostrando estratégias para a obtenção de solução para problemas de contagem ...................................................................................... 368 Figura 3 - Relação entre os aspectos da matemática segundo Fischbein (1994), e a resolução de problemas de contagem na Educação Básica.......................... 370

LISTA DE ABREVIATURAS

ABE Associação Brasileira de Educação

ANPED Associação Nacional de Pós Graduação e Pesquisa em Educação

CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal Superior

CECIERJ Centro de Ciências do Estado do Rio de Janeiro

CENP Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

CNE Conselho Nacional de Educação

CNE/CES Câmara de Educação Superior do Conselho Nacional de Educação

CNE/CP Conselho Pleno do Conselho Nacional de Educação

CNMT Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias

ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática

GEEM Grupo de Estudos do Ensino da Matemática

GEPEM Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática do Rio

de Janeiro

GT7 Grupo de Trabalho 7 da SBEM sobre Formação de Professores

IDEB Índice de Desenvolvimento da Educação Básica

ICME International Congress of Mathematics Education

IME Instituto de Matemática e Estatística da USP

IMPA Instituto de Matemática Pura e Aplicada

INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio

Teixeira

LCT Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

LDBEN Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

MEC Ministério da Educação e Cultura

MEC Ministério da Educação

MMM Movimento da Matemática Moderna

OFA Ocupantes de Função Atividade

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

PA Princípio Aditivo ou da Adição

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

PCN+ Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros

Curriculares Nacionais

PE Pesquisa Exploratória de Dados

PISA Programa Internacional de Avaliação Comparada

(PISA – Programme for International Student Assessment)

PM Princípio Multiplicativo ou da Multiplicação ou Fundamental da

Contagem

PME Psychology of Mathematics Education

PUC-SP Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

SAEB Sistema Nacional de Avaliação Escolar da Educação Básica

SARESP Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São

Paulo

SBEM Sociedade Brasileira de Educação Matemática

SBM Sociedade Brasileira de Matemática

SEE-SP Secretaria de Estado da Educação de São Paulo

SIPEM Seminário Internacional de Pesquisas em Educação Matemática

TIC Tecnologias de Informação e Comunicação

UEL Universidade Estadual de Londrina

UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro

UFF Universidade Federal Fluminense

UNESCO Organização das Nações Unidas para a Educação

(United Nations Educacional, Scientific and Cultural Organization)

UNESP Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”

UNIBAN Universidade Bandeirante de São Paulo

UNICAMP Universidade de Campinas

USP Universidade de São Paulo

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................... 21 1 JUSTIFICATIVAS E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............................................. 25 1.1 ANTECEDENTES E MOTIVAÇÕES DESSE ESTUDO......................................................... . 25 1.2 FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES E INOVAÇÕES CURRICULARES......... 30 1.3 METODOLOGIA DE PESQUISA ............................................................................................ 33 1.3.1 O problema central da pesquisa .................................................................................... 33 1.3.2 O Observatório da Educação da CAPES/UNIBAN ........................................................ 35 1.3.3 Sobre a metodologia: algumas considerações ................................................... 40 1.3.4 O papel do pesquisador na sequência didática ............................................................. 48 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................................................. 53 2.1 ESTUDOS E PESQUISAS QUE FUNDAMENTAM ESTA PESQUISA ................................. . 53 2.2 CONHECIMENTOS NECESSÁRIOS AO PROFESSOR........................................................ 57 2.3 FORMAÇÃO DO PROFESSOR REFLEXIVO ........................................................................ 63 2.4 COMPONENTES BÁSICOS DA MATEMÁTICA COMO ATIVIDADE HUMANA.................... 68 2.5 ENCULTURAÇÃO MATEMÁTICA ......................................................................................... . 75 2.5.1 Dimensões Cultural e Social do Conhecimento Matemático ........................................ . 78 2.5.2 Práticas docentes e as mudanças culturais .................................................................. . 80 2.5.3 O Saber Matemático como componente cultural .......................................................... . 81 2.5.4 Os valores matemáticos estão sendo transmitidos de modo equilibrado? .................. . 83 2.5.5 Princípios para o reequilíbrio dos valores ligados ao Saber Matemático ..................... . 88 2.6 PESQUISAS SOBRE ENSINO E APRENDIZAGEM COM PROBLEMAS DE CONTAGEM.......................................................................................................................... ... 90 3 PROBLEMAS DE CONTAGEM EM CURRÍCULOS DA EDUCAÇÃ O BÁSICA ..................... 102 3.1 REFORMAS DO ENSINO SECUNDÁRIO ............................................................................. . 103 3.2 O QUE PRESCREVIAM OS CURRÍCULOS DO ESTADO DE SÃO PAULO... .................... . 114 3.2.1 A Proposta Curricular de Matemática do 1º Grau do Estado de São Paulo... ............... 114 3.2.2 A Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau em São Paulo... ......................... 123 3.2.3 Nova Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau do Estado de São Paulo... ... 137 3.3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS..................................................................... 143 3.3.1 PCN e os Problemas de Contagem ............................................................................. . 146 3.4 CURRÍCULO ATUAL DE MATEMÁTICA DA SECRETARIA DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DE SÃO PAULO........................................................... .................................................................. 151 3.4.1 Projeto Político-Pedagógico do currículo de matemática ............................................. . 151 3.4.2 Um currículo enculturador ............................................................................................. . 155 3.4.3 Um currículo centrado em competências ...................................................................... . 164 3.4.4 Os problemas de contagem ................... ....................................................................... 176 4 UMA ANÁLISEDOS DADOS INICIAIS DA PESQUISA ......................................................... 187 4.1 EXPERIÊNCIA DOCENTE... .................................................................................................. . 190 4.2 CONHECIMENTOS SOBRE O CONTEÚDO.......................................................................... 207 4.2.1 Sobre o conhecimento dos professores a respeito da construção de uma

representação gráfica para resolver problemas de contagem .............................................. . 209 4.2.2 Sobre o conhecimento dos professores a respeito da resolução de problemas

que envolvem a aplicação dos princípios multiplicativo e aditivo........................................... . 216

4.2.3 Sobre o conhecimento dos professores a respeito da resolução de problema de contagem que envolve conceito de arranjos com repetição ............................................. . 222

4.2.4 Sobre o conhecimento dos professores a respeito de permutações simples e de permutações com objetos nem todos distintos ................................................................. . 226

4.2.5 Sobre o conhecimento dos professores a respeito utilização do conceito de permutações circulares .......................................................................................................... . 232

4.2.6 Sobre o conhecimento dos professores a respeito utilização do conceito de combinações simples ........................................................................................................... . 237

4.3 CONHECIMENTOS PEDAGÓGICOS..................................................................................... 246 4.3.1 Sobre as estratégias que o professor se utiliza para auxílio do raciocínio

combinatório no ensino dos problemas de contagem............................................................ . 247 4.3.2 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino do Princípio

Multiplicativo . ......................................................................................................................... 249 4.3.3 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino do Princípio

Aditivo............. ......................................................................................................................... 252 4.3.4 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino de Arranjos

simples ou com repetição de objetos. ..................................................................................... 258 4.3.5 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino das Permutações

simples.......... .......................................................................................................................... 261 4.3.6 Sobre o conhecimento dos professores a respeito do ensino das Combinações

Simples.......... .......................................................................................................................... 264 4.3.7 Sobre o conhecimento pedagógico dos professores a respeito das dificuldades

que os alunos têm na resolução de problemas de contagem................................................. 266 4.3.8 Sobre a opinião do professor em relação aos esclarecimentos oferecidos pelos

livros didáticos de modo que ele possa ensinar os problemas de contagem na Educação Básica .................................................................................................................... . 267

4.3.9 Sobre o conhecimento pedagógico dos professores a respeito das dificuldades que ele tem para preparar aulas que envolvem o raciocínio combinatório na Educação Básica .................................................................................................................... . 269

4.3.10 Sobre a importância que os professores conferem à introdução de conceitos que envolvem o raciocínio combinatório no Ensino Fundamental ......................................... . 271

4.4 BREVE SÍNTESE DA ANÁLISE DAS RESPOSTAS AOS QUESTIONÁRIOS ..................... . 273

5 ANÁLISE DOS DADOS DA SEQUÊNCIA DE ENSINO ............................................................ 277

5.1 SOBRE OS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS PARA A FASE DE INTERVENÇÃO ... 277 5.2 DESENVOLVIMENTO DA FASE DE INTERVENÇÃO............................................................. 282 5.3 ANÁLISE DOS DADOS DA FASE DE INTERVENÇÃO - SEQUÊNCIA DIDÁTICA - ............. . 288 5.3.1 Uso de representações como a árvore de possibilidades e tabelas de dupla entrada.. 289 5.3.2 Aplicações do princípio multiplicativo............................................................................. . 298 5.3.3 Aplicações do princípio multiplicativo e do princípio aditivo em conjunto ...................... 302 5.3.4 Fórmulas ........................................................................................................................ . 309 5.4 O QUESTIONÁRIO FINAL (Q4).............................................................................................. 373 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................ 383 REFERÊNCIAS............................................................................................................................... .....426 APÊNDICES....................................................................................... ............................................ 435

21

APRESENTAÇÃO

Este trabalho, “Um estudo sobre os conhecimentos necessários ao

professor de matemática para a exploração de problemas de contagem no

Ensino Fundamental”, está vinculado à linha de pesquisa Formação de

Professores que Ensinam Matemática do Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática da UNIBAN - Universidade Bandeirante de São Paulo.

O propósito deste estudo foi o de investigar os conhecimentos de

professores de Matemática para explorar noções relativas aos problemas de

contagem ao longo do Ensino Fundamental.

Para tanto, identificaram-se as concepções de um grupo de professores

de matemática sobre esse tema e sobre seu ensino na Educação Básica e,

posteriormente, promoveu-se uma formação continuada com o intuito de

discutir inovações a respeito do processo de ensino e aprendizagem de noções

concernentes a esse tema.

Cabe ressaltar que essa pesquisa foi realizada no âmbito do

Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES, projeto financiado pela

CAPES, coordenado pelo Prof. Dr. Ruy César Pietropaolo. Tal projeto é

constituído por um grupo colaborativo de formação e pesquisas integrado por

professores pesquisadores, professores da rede estadual de ensino de São

Paulo, mestrandos e doutorandos da UNIBAN. Entre os objetivos de atuação

do Observatório da Educação está o de contribuir para o desenvolvimento

profissional de professores, promovendo reflexões a respeito das inovações

curriculares indicadas para as aulas de Matemática no Ensino Fundamental e

Médio. Analisa, além disso, as possibilidades de promover mudanças nos

conhecimentos pedagógicos e curriculares desses professores no tocante a

esse tema, mediante um processo de formação continuada, cuja ênfase é a

reflexão sobre suas práticas e sobre as inovações propostas nos recentes

currículos.

Assim, este estudo pode ser julgado como relevante, pois tem como

finalidade contribuir para a implementação efetiva desse tema ao longo do

Ensino Fundamental de modo a favorecer o desenvolvimento do pensamento

combinatório dos alunos, conforme indicam os Parâmetros Curriculares

22

Nacionais – PCN (1997, 1998) e currículos posteriores que tomam esses

parâmetros como referência, como o do Estado de São Paulo (2010).

Para atingir os objetivos desta pesquisa começamos por perguntar a

seguinte questão principal, objeto desta investigação, qual seja:

Que experiências um professor de Matemática do Ensino Fundamental

deve vivenciar em sua formação continuada para selecionar e dirigir situações

de aprendizagem com vistas a desenvolver o raciocínio combinatório de seus

alunos por meio da proposição de problemas de contagem de modo a

compreender as dificuldades que os alunos enfrentam na resolução de

problemas de contagem e para ajudá-los a superar essas dificuldades e

atender às orientações do Currículo do Estado de São Paulo (2010)?

Prosseguindo nos objetivos desta pesquisa nos propomos a responder

às seguintes questões específicas:

� Quais são as inovações propostas pelos Parâmetros Curriculares

Nacionais (1998) e pelo atual Currículo do Estado de São Paulo

(2010) para os processos de ensino e de aprendizagem de

conceitos relativos a Problemas de Contagem?

� Quais são os conhecimentos dos professores a respeito da

resolução de Problemas de Contagem e suas concepções sobre

o desenvolvimento desse tema no Ensino Fundamental?

� Uma sequência de atividades que explore a resolução de

Problemas de Contagem, sem a utilização de fórmulas, pode

favorecer a ressignificação dos conhecimentos dos professores

sob os pontos de vista do conteúdo, didático e curricular, de

noções relativas a esse tema?

Assim, analisaram-se as inovações propostas pelos Parâmetros

Curriculares Nacionais (1997, 1998, 1999) e o Currículo do Estado de São

Paulo (2010) no tocante aos Problemas de Contagem, além das concepções

dos professores, sujeitos de nosso estudo, a respeito desse tema. Essa opção

pela análise desses documentos curriculares decorre do fato de que os

professores estavam, em 2011, incumbidos de implementar em suas aulas as

23

recomendações do currículo de São Paulo, cuja proposta, por sua vez, está

fundamentada nos PCN.

As situações-problema propostas na sequência de ensino foram

concebidas com o propósito de explorar a aplicação de conceitos e

procedimentos relativos aos problemas de contagem à luz das inovações

propostas nos documentos analisados e em resultados de pesquisas com as

de Navarro-Pelayo, Batanero e Godino (1996) e Placha e Moro (2009).

A proposta para o grupo de professores foi o de discutir diferentes

estratégias de resolução de problemas de contagem, sobretudo as que utilizam

de representações gráficas, como um meio de promover o desenvolvimento do

raciocínio combinatório dos alunos desde o Ensino Fundamental.

No Capítulo 1 apresentam-se as circunstâncias que contribuíram para a

realização deste estudo, ou seja, buscaram-se no tempo fatos fundamentais

para compor uma argumentação que justifique o interesse e os esforços

empreendidos para concretizá-lo. Nesse capítulo, descreve-se o Observatório

da Educação da UNIBAN/CAPES (ambiente em que a pesquisa se

desenvolveu) e apresenta-se também a formulação e delimitação do problema

de pesquisa, além de se justificar a escolha dos procedimentos metodológicos

utilizados. Optou-se por princípios do Design Experiments de Cobb et al (2003)

para a concepção, elaboração e transformações da sequência didática.

Apresentam-se no Capítulo 2 reflexões sobre os teóricos que

fundamentaram a análise desta pesquisa. A respeito dos conhecimentos dos

professores foram utilizados trabalhos de Shulman (1986) que tratam dos

conhecimentos necessários para a docência: conteúdos específicos, didáticos

e curriculares. Em relação à formação de professores reflexivos e os

conhecimentos necessários à prática docente foram utilizados estudos de

Zeichner (1993, 2003). Para a análise de concepções dos professores,

utilizam-se as ideias propostas por Tall e Vinner (1981) e Fischbein (1994).

Além disso, são analisadas recentes pesquisas que abordam o tema análise

combinatória envolvendo alunos e professores.

O Capítulo 3 destina-se à discussão do Currículo da Secretaria de

Estado da Educação de São Paulo (2010) para o Ensino Fundamental (6º ao 9º

24

ano) e Ensino Médio no tocante aos problemas de contagem, iniciando com

uma análise do projeto-político pedagógico desse currículo. Para identificar as

inovações desse currículo analisam-se propostas anteriores e as orientações

dos PCN para o ensino dos problemas de contagem.

O Capítulo 4 contém esclarecimentos a respeito da primeira fase da

coleta dos dados desta investigação. Apresentam-se as escolhas relativas ao

grupo de sujeitos e ao instrumento de coleta de dados – de caráter diagnóstico

– utilizado nesta fase. Em seguida, é exposta uma análise desses dados à luz

das ideias de Shulman, no que se refere aos conhecimentos necessários ao

professor para o ensino dos Problemas de Contagem, de Fischbein (1994)

quanto aos componentes básicos da atividade matemática e das ideias de Tall

e Vinner (1981) no que diz respeito à apropriação desse conteúdo, por uma

pessoa. Assim, apresentam-se nesse capítulo as concepções dos professores

sobre o processo de ensino e de aprendizagem de Problemas de Contagem na

Educação Básica, antes da aplicação da sequência de ensino.

O Capítulo 5 é destinado à exposição das ações que se fizeram

necessárias ao longo da intervenção, ou seja, da aplicação da sequência de

ensino. Explicitam-se, do mesmo modo, as razões que motivaram a escolha da

metodologia – princípios do Design Experiments – e as decisões tomadas ao

longo desta etapa. Finalmente, discutem-se os dados sob o olhar dos autores

referidos anteriormente.

No Capítulo 6, das considerações finais, apresenta-se uma síntese das

reflexões já expostas e analisadas nos capítulos anteriores e com as quais foi

possível fundamentar respostas às questões deste estudo. Assim, elas

expressam a interpretação do pesquisador a respeito dos dados e indicam

pontos que não foram discutidos aqui por não constituírem escopo deste

estudo e que, todavia, merecem serem objetos de futuras pesquisas.

25

1. JUSTIFICATIVAS E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Iniciamos este capítulo, apresentando antecedentes que

consubstanciaram a realização desta pesquisa, bem como as motivações para

empreendê-la por meio de nossa breve trajetória profissional.

Apresentamos também aspectos relacionados às inovações curriculares

no tocante ao processo de ensino e de aprendizagem de noções relativas aos

problemas de contagem indicadas por recentes currículos prescritos que

sugerem o desenvolvimento deste tema desde a 3ª Série/4º Ano do Ensino

Fundamental e não mais restrito ao Ensino Médio.

Em seguida, passamos a discorrer sobre o percurso da investigação

desta pesquisa e os pressupostos do projeto na qual ela está inserida:

Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES. Além disso, justificamos

nossas escolhas teóricas.

1.1. Antecedentes e motivações desse estudo

Quando ainda aluno do curso de Licenciatura em Matemática,1 no ano

de 1978, já exercia a atividade docente como professor de um “cursinho” e em

um Colégio de Ensino Supletivo2, além de estágio em Colégio de ensino

regular de 1º e 2º Graus. Dois meses depois de formado, em fevereiro de 1981,

já havia sido aprovado em Concurso Público Federal para o cargo de Professor

de Ensino de 1º e 2º Graus.

Esse foi um período em que experimentei os primeiros desafios da sala

de aula, os conflitos e/ou contradições entre aquilo que havia sido ensinado e

na Universidade associados às experiências de ser professor de Matemática

em turmas do Ensino Fundamental (antigo 1º Grau) e em turmas do Ensino

Médio (antigo 2º Grau).

O encantamento pelas temáticas de combinatória e probabilidade

iniciou-se, de fato, logo após fazer um curso de um semestre letivo na

1 Na Universidade Federal Fluminense (UFF), em Niterói, Estado do Rio de Janeiro. 2 Ensino do 2º Grau (atual Ensino Médio), noturno, com duração de três semestres letivos,

destinado, preferencialmente, para trabalhadores com idades acima de 21 anos que estavam fora do ensino regular.

26

Universidade e quando conheci o Professor Arago de Carvalho Bachx e

comecei a tomar contato com o livro de sua autoria3.

Eram grandes os desafios que eu deveria percorrer principalmente

aqueles relacionados ao domínio didático pedagógico necessário para permitir

empreender uma metodologia eficiente no sentido de favorecer a

aprendizagem dos alunos em relação às temáticas citadas.

Desde os primeiros contatos com os alunos, por mais que os motivasse

discutindo que para resolver os problemas de contagem utilizam-se apenas as

quatro operações aritméticas básicas com os números naturais e que, por essa

razão, não deveria haver grandes dificuldades na aprendizagem.

No entanto, meus alunos e colegas professores que frequentavam os

minicursos do Professor Arago consideravam a Combinatória como um tema

muito difícil. De modo geral, em problemas de combinatória eles tinham

dificuldades em identificar os tipos de agrupamento – Arranjo, Permutação,

Combinação. Diziam eles que, depois de verem o encaminhamento para a

solução a um problema proposto, compreendiam o que foi feito, mas que

muitas vezes não eram capazes de – após a leitura do enunciado – iniciar a

busca da solução e, quando o faziam, não tinham certeza de que o caminho

escolhido estava correto.

A partir das experiências e das motivações advindas da participação em

um grupo de pesquisas, desde 1982, passei a ministrar minicursos sobre

combinatória e probabilidade em encontros e jornadas que aconteciam no

Estado do Rio de Janeiro.

Cabe ressaltar que esse grupo de pesquisa, inicialmente denominado de

“Projeto de Formação Permanente para professores de 1º e 2º Graus” mais

tarde, em 1984, passou à denominação de “Projeto Fundão – Um desafio para

a Universidade” – (atuando até os dias de hoje) oferecia também oficinas e

minicursos para professores. Além disso, passei também a ministrar oficinas de

temas variados pelo Centro de Ciências do Estado do Rio de Janeiro –

CECIERJ– com a participação do professor Arago e outros.

3 Bachx, A. de C. Poppe, L.M.B. Tavares, R.N.O. Prelúdio à análise combinatória. Companhia

Editora Nacional, São Paulo, 1975.

27

Todavia, confesso, foi preciso caminhar por uma década mostrando a

professores como ensinar e aprender os conceitos da Análise Combinatória à

luz de alguns livros didáticos do 2º Grau à época e do livro do Professor Arago

para que eu pudesse apropriar-me com mais profundidade dos conceitos e

desenvolvesse concepções pedagógicas e metodológicas que julgava mais

adequadas e próprias para poder ensinar meus alunos a resolverem problemas

de contagem para aquele segmento, ampliando minhas concepções e crenças

a respeito desse conteúdo desde quando estudante do 2º Grau e da

Universidade, no curso de Licenciatura em Matemática.

Independente do nível em que estão sendo ensinados (na Educação

Básica ou Superior) e a clientela para a qual estão sendo dirigidos (aluno ou

professor da Educação Básica), os conteúdos de combinatória apresentam

características bastante peculiares como as que seguem:

• A apropriação de conceitos e de procedimentos subjacentes aos

conteúdos de combinatória (problemas de contagem) é realizada

por meio da busca das soluções de situações-problema bastante

diversificadas;

• A proposição de uma variedade de situações-problema permite

identificar o tipo agrupamento de objetos presentes nas restrições

impostas à cada uma particular situação de contagem proposta;

• A utilização de esquemas, árvores de possibilidades ou tabelas de

dupla entrada por contagem direta ou o uso de fórmulas que

permite a contagem de todas as possibilidades sem a

necessidade de enumerar todas elas, para resolver um problema

que envolva contagens.

Diferentemente de outros ramos da Matemática, a Análise Combinatória

não é derivada de uma particular axiomática e, por conta dessa peculiar

característica, seus conceitos e procedimentos emergem dos diferentes tipos

de problemas de contagem que devem ser propostos aos alunos. É uma

singular maneira de se desenvolver um conteúdo matemático, tanto na

Educação Básica quanto no Superior.

28

Segundo Morgado et al (2004): “é verdade que a solução de um

problema combinatório exige quase sempre engenhosidade e a compreensão

plena da situação descrita pelo problema”. Ainda, segundo esses autores, “[...]

se a aprendizagem desses conceitos se faz de maneira mecânica, limitando-se

a empregá-los em situações padronizadas, sem procurar habituar o aluno com

a análise cuidadosa de cada problema, cria-se a impressão de que a Análise

Combinatória é somente um jogo de fórmulas complicadas” (MORGADO et al,

2004, p. 1-2).

Só no início de 1991, enquanto frequentava um curso para professores

de matemática promovidos pela Fundação Vitae4 e pelo Instituto de

Matemática Pura e Aplicada – IMPA5, ministrado pelo Professor Augusto César

de Oliveira Morgado, comecei a refletir sobre as minhas concepções e crenças

quanto à prática pedagógica em relação ao ensino de combinatória e

probabilidade ao nível da Educação Básica. A partir de então, iniciei mudanças

na minha postura em relação à forma de apresentação dos conteúdos e à

maneira de construção dos conceitos matemáticos associados aos aspectos

didático-pedagógicos do conteúdo e acerca de estratégias que favorecessem o

ensino e a aprendizagem por professores e pelos alunos.

Nascia ali, naquele curso, o embrião do hoje consagrado livro “Análise

Combinatória e Probabilidade”, de autoria dos professores Augusto César de

Oliveira Morgado, João Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Carvalho e

Pedro Fernandez.

A partir do curso com o Professor Morgado passei a encarar o ensino de

combinatória sob o ponto de vista estritamente pautado nos Princípio Aditivo e

Multiplicativo para a resolução dos problemas e não pela classificação dos

problemas nas três categorias – Arranjo, Permutação e Combinação –

marcantes no livro do Professor Arago.

É importante ressaltar que a Análise Combinatória é um tema bastante

amplo que abarca não apenas problemas de contagem envolvendo esses três

4 Fundação de apoio à Cultura, Educação e Promoção Social. 5 Instituto de Matemática Pura e Aplicada, localizado na Cidade do Rio de Janeiro, órgão de

Ensino e Pesquisa ligado ao CNPq – Conselho Nacional de Pesquisas.

29

tipos de agrupamento, mas de muitas outras situações também concernentes à

Matemática Discreta, como o universo da Teoria dos Grafos.

No entanto, muitos professores – como veremos posteriormente – e, por

conseguinte, os alunos, ainda têm a falsa impressão de que os problemas de

combinatória estão restritos unicamente a esses três tipos de agrupamentos.

A partir de então, meu fascínio pela matemática discreta só têm

aumentado, e como ampliação desse interesse por outros conhecimentos

passei a estudar problemas de otimização derivados das “árvores”, os quais

estão presentes na Teoria dos Grafos e em suas aplicações.

O professor Paulo Cézar Pinto de Carvalho, do IMPA, indagava junto

aos professores que assistiam a alguns de seus cursos do por que dos

problemas de combinatória ser considerados de difícil resolução se, para tanto,

basta utilizar as quatro operações elementares da aritmética com os números

naturais.

A partir de reflexões pessoais sobre essas questões, levantadas pelo

professor Paulo Cezar, comecei a empreender questionamentos mais

consistentes sobre a maneira como a combinatória era ensinada e, sobremodo,

elas serviram de mote para que – anos mais tarde – viesse a empreender a

pesquisa objeto deste trabalho.

Fato é que, desde então, passei a fazer leituras de artigos e livros a

respeito do ensino e da aprendizagem de combinatória na Educação Básica e

pude então constatar o grande interesse que a temática tem despertado dentre

os pesquisadores em razão das dificuldades que professores têm de ensinar e

aprender. Além disso, pude também verificar as inovações propostas pelos

currículos prescritos mais recentes no tocante à necessidade do

desenvolvimento do pensamento combinatório.

Esses currículos têm indicado a proposição dos Problemas de

Contagem desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, diferentemente do

que era feito antes, quando esses problemas eram desenvolvidos unicamente

em uma única série: em geral na 2ª série do Ensino Médio e em um único

bimestre.

30

1.2 Formação continuada de professores e Inovações curriculares

O Ministério da Educação – MEC – tem se preocupado com a questão

da melhoria da qualidade da educação brasileira como pode ser constatado no

documento intitulado “Referenciais para Formação de Professores”, do qual se

extrai a afirmação de que essa melhoria “depende, em grande parte, da

melhoria da qualidade do trabalho do professor” (BRASIL, 2002, p. 6).

Somam-se a isso as questões de natureza estrutural, econômicas e

sociais da oferta de tais cursos em razão das diversidades regionais, das

condições sociais e econômicas da população e das dificuldades de

implantação de tais cursos em um país como o nosso, de modo a atender à

imensa massa de profissionais que estão no mercado de trabalho e de tantos

outros que, a cada dia, ingressam no magistério.

Em relação a essas questões, tem-se em Brasil (2002):

A realidade brasileira, complexa e heterogênea, não permite que a formação de professores seja compreendida como um processo linear, simples e único. Por um lado, dada a grande diversidade cultural característica de nosso país, as peculiaridades regionais e as especificidades das populações e grupos atendidos pela escola é necessário que se construam diferentes caminhos para elevar a qualidade da educação. Por outro lado, demandas de formação apresentam diferenças regionais substanciais: há lugares em que um número considerável de profissionais continua sendo habilitado sem que haja vagas correspondentes no mercado de trabalho; em outros lugares, ao contrário, pela ausência de profissionais habilitados, muitas pessoas precisam assumir a função sem ter formação específica (BRASIL, 2002, p. 16-17).

Como consequência da visão acerca da formação desejável para o

exercício profissional de professores da Educação Básica bem como da

insuficiente ou ausente formação continuada destes, há um enorme

contingente de docentes oriundos de cursos de licenciatura plena em

Matemática têm sua prática pedagógica destoantes das diretrizes ali

preconizadas e por vezes distantes de poderem realizar um trabalho

pedagógico consoante o que as pesquisas sugerem encaminhar.

Em relação a estas questões temos nos PCN:

Parte dos problemas referentes ao ensino de Matemática estão relacionadas ao processo de formação do magistério, tanto em relação à formação inicial como à formação continuada. Decorrente dos problemas da formação de professores, as práticas na sala de aula tomam por base os livros didáticos, que, infelizmente, são muitas vezes de qualidade insatisfatória (BRASIL, 1997, p.24).

31

Por outro lado, segundo Pietropaolo (2002, p. 34), “Discutir a formação

de professores de Matemática pressupõe, certamente, discutir também os

currículos de Matemática prescritos para a escola básica”.

À luz das diretrizes preconizadas nos PCN faz-se necessária uma

análise das práticas pedagógicas relacionadas à Educação Matemática de

modo a favorecer o acesso dos professores a esses saberes.

Quanto a essa questão concordamos com Pietropaolo (2002) em:

A comunidade de educadores de matemática parece concordar sobre a necessidade da articulação nas discussões sobre a “formação de professores” e a “Matemática na estrutura curricular”. [...] pudemos verificar um consenso: os PCN traduziriam as aspirações de grande maioria de educadores matemáticos brasileiros, sobre as questões de ensino-aprendizagem de Matemática e, sobretudo, constituíram um importante referencial para a formação de docentes (PIETROPAOLO, 2002, p. 34).

Para tal, é necessário que o professor não só se aproprie de

conhecimentos que envolvam conteúdos matemáticos, mas que também passe

a refletir sobre sua prática pedagógica.

Segundo Rangel:

O professor é um mediador que coloca o aluno em contato com diferentes situações-problema frente às quais irá utilizar-se dos conhecimentos pré-adquiridos para tentar resolvê-las mediante o uso de habilidades que foram postas em prática e das competências desejadas de modo a fazer frente a novos desafios (RANGEL, 2009, p. 9).

Embora as diretrizes educacionais do MEC indiquem a necessidade de

ocorrer mudanças sobre o que e como ensinar, “o baixo desempenho escolar

em matemática” conforme indicado nos PCN em Brasil (1997, p.23-24),

configura-se como problemática pedagógica a ser minimizada e, aos poucos,

superada.

Discussões e reflexões sobre essas questões têm ocorrido com

frequência nos últimos anos, como podemos constatar em Brasil (2002):

Profissionais da educação e de muitos outros setores da sociedade vêm colocando em discussão a concepção de educação, a função da escola,a relação entre conhecimento escolar e a vida social e cultural – e, portanto, o trabalho profissional de professor. Ao mesmo tempo em que se propõe uma nova educação escolar, um novo papel de professor está sendo gestado a partir de novas práticas pedagógicas, da atuação da categoria e da demanda social (BRASIL, 2002, p. 16).

32

Assim, a formação continuada de professores deve considerar a

necessidade de atuação na formação de capacidades intelectuais, na

estruturação e mobilização do pensamento e do raciocínio dedutivo do aluno,

na sua aplicação a problemas e situações da vida cotidiana e do mundo do

trabalho bem como no apoio à construção de novos conhecimentos em outras

áreas curriculares.

Quanto à formação continuada de professores assim se manifesta o

MEC através de documento oficial, em Brasil (2002):

Entretanto, apesar do empenho de muitos e do avanço das experiências já realizadas, há uma enorme distância – e não apenas no Brasil – entre o conhecimento e a atuação da maioria dos professores em exercício e as novas concepções de trabalho do professor que esses movimentos vêm produzindo. Trata-se, portanto, não apenas de realizar melhor a formação, mas de realizá-la de uma maneira diferente. Tais mudanças exigem, dentre outras questões, que os professores reconstruam suas práticas e, para isso, é preciso “construir pontes” entre a realidade de seu trabalho e o que se tem como meta (BRASIL, 2002, p. 16).

Corroborando com essas preocupações em relação aos rumos que

devem ser tomados para mudar esse quadro desfavorável, têm-se algumas

constatações apresentadas nos PCN (1997) como:

A implantação de propostas inovadoras, por sua vez, esbarra na falta de uma formação profissional qualificada, na existência de concepções pedagógicas inadequadas e, ainda, nas restrições ligadas às condições de trabalho. Tais problemas acabam sendo responsáveis por muitos equívocos e distorções em relação aos fundamentos norteadores e ideias básicas que aparecem em diferentes propostas (BRASIL, 1997, p.24).

Uma dessas inovações curriculares é, certamente, a proposta de incluir

desde os anos iniciais os problemas de contagem de modo a favorecer o

desenvolvimento do raciocínio combinatório das crianças. Essa proposta

consta, por exemplo, nas orientações dos PCN (1997 e 1998). As razões dessa

inclusão são justificadas assim nas orientações contidas nos PCN (1997):

Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão “tratar” as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando ideias relativas à probabilidade e à combinatória (BRASIL, 1997, p.53).

No rastro dessas orientações curriculares também no Currículo da

Secretaria Estadual de Educação de São Paulo (2010) em relação aos

processos de ensino e de aprendizagem dos conteúdos básicos relacionados

33

aos problemas de contagem assim se referem os autores de São Paulo (2010)

quanto à abordagem sugerida para o Ensino Fundamental:

No Ensino Fundamental, o trabalho com o bloco de conteúdos denominado NÚMEROS tem por objetivo principal um enriquecimento do escopo da linguagem numérica, inicialmente restrita a situações e problemas envolvendo a contagem e a medida (SÃO PAULO, 2010, p. 40) (grifo dos autores).

Portanto, como forte justificativa para o desenvolvimento da pesquisa

deste trabalho tem-se o fato de que é preciso que os professores tenham

acesso a formação continuada apropriada. O sentido da palavra “apropriada”

dado á formação continuada é o mesmo adotado por diversos pesquisadores

como Pires (2002) e Pietropaolo (2005), ou seja, a promoção de encontros e

cursos que promovam reflexões sobre a prática pedagógica à luz de recentes

pesquisas e sobre as inovações curriculares propostas.

Assim, mediante a formação que propusemos para esta investigação,

levamos em conta pesquisas recentes e algumas orientações curriculares

prescritas, sobretudo as da Proposta Curricular do Estado de São Paulo

(2010), tendo em vista que os docentes, sujeitos de nossa pesquisa estavam

imbuídos de implementar esse currículo.

1.3 Metodologia de Pesquisa

1.3.1 O problema central da pesquisa

No item anterior apresentamos breves considerações sobre a questão

da formação continuada de professores e das inovações curriculares. Mas,

para fazermos opções – teóricas e metodológicas – e justificá-las, é necessário

que explicitemos as questões desta pesquisa. São elas:

� Quais são as inovações propostas pelos Parâmetros Curriculares

Nacionais (1998) e pelo atual Currículo do Estado de São Paulo

(2010) para os processos de ensino e de aprendizagem de

conceitos relativos a Problemas de Contagem?

� Quais são os conhecimentos de um grupo de professores a

respeito da resolução de Problemas de Contagem e suas

concepções sobre o desenvolvimento desse tema no Ensino

Fundamental?

34

� Uma sequência de atividades que explore a resolução de

Problemas de Contagem, sem a utilização de fórmulas, pode

favorecer a ressignificação dos conhecimentos dos professores

sob os pontos de vista do conteúdo, didático e curricular, de

noções relativas a esse tema?

� Que experiências um professor de Matemática do Ensino

Fundamental deve vivenciar em sua formação continuada para

selecionar e dirigir situações de aprendizagem com vistas a

desenvolver o raciocínio combinatório de seus alunos por meio da

proposição de problemas de contagem de modo a compreender

as dificuldades que os alunos enfrentam na resolução e para

ajudá-los a superar essas dificuldades e atender às orientações

do Currículo do Estado de São Paulo (2010)?

Cabe destacar que ao formular suas questões de pesquisa, o

pesquisador já sabe a priori alguma coisa em relação a elas. No entanto,

apesar de possuir um pré-conhecimento acumulado a respeito de suas

vivências, procura compreensões para sua investigação a partir das análises

realizadas e das perspectivas presentes nos sujeitos da investigação.

Por conta disso, o pesquisador se prepara para a investigação

procurando estabelecer estratégias e escolher procedimentos metodológicos,

passando a adotar referenciais teóricos que permitam a ele melhor

compreender o objeto da pesquisa e a estabelecer relações entre os seus

pressupostos e o que será revelado pelos sujeitos da pesquisa.

Sendo assim, por admitir que este estudo não esteja isento da nossa

maneira de ver e compreender o fenômeno educativo é que consideramos

necessário expor, no início deste capítulo, as motivações pessoais decorrentes

de fatos “históricos” vivenciados como participante, para justificar a

problemática do tema a ser pesquisado.

Este caminho remete à subjetividade de nosso estudo da qual não

pudemos e nem queremos escapar e, portanto, por admiti-la como parte

integrante e essencial dessa investigação consideramos essencial caminhar

35

segundo critérios claros na busca do rigor científico de modo a alcançar, tanto

quanto possível, a objetividade necessária e indispensável.

Para que o leitor se situe em relação ao quantitativo dos sujeitos desta

pesquisa e algumas considerações que se relacionam com os encontros de

ensino havidos, apresentamos um breve relato na seção seguinte.

1.3.2 O Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES

Como nossa investigação desenvolve-se no âmbito do Observatório da

Educação, tendo em vista que os vinte e três sujeitos da pesquisa são

professores integrantes deste projeto, consideramos ser necessário descrevê-

lo sucintamente.

O Projeto Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES foi criado por

meio da constituição de um grupo colaborativo de formação e de pesquisa com

a finalidade de fomentar efetivas discussões sobre as práticas do professor em

seu contexto de trabalho bem como o de propiciar o compartilhamento entre os

pares (professores da Educação Básica) e os formadores da universidade, em

estrita articulação com as teorias e pesquisas estudadas.

A finalidade desse projeto é de promover e analisar o desenvolvimento

profissional docente de professores de matemática quando estes estão

inseridos em processos de implementação de inovações curriculares.

Assim, uma das preocupações do Observatório é a que os processos de

formação dos professores envolvidos (presencialmente e a distância (não

objeto desta pesquisa)) deverão incluir, evidentemente, situações em que as

práticas pedagógicas sejam refletidas e problematizadas pelos professores da

Universidade e professores da Educação Básica.

O pressuposto dos trabalhos desenvolvidos no seio do Observatório é

que os processos formativos de professores devem ser investigados em

relação estreita com os ambientes e contextos aos quais os professores

desenvolvem suas práticas, não deixando de considerar como referenciais as

tendências da formação de professores.

36

Portanto, como principal objetivo do projeto Observatório da Educação

da UNIBAN/CAPES considera-se o de desenvolver uma metodologia efetiva

que envolve a Educação Continuada de Professores que lecionam Matemática

na Educação Básica por meio da criação e do envolvimento de redes

colaborativas de aprendizagem profissional.

A partir da compreensão da problemática que envolve a formação

continuada de professores que ensinam matemática e baseado nos princípios

teóricos que direcionaram o design e a metodologia do Projeto Observatório,

anteriormente indicados, é possível definir, em linhas gerais, os objetivos que

foram definidos para a atuação do Observatório, quais sejam:

• Identificar os aspectos em que a metodologia de formação

continuada do professor de Matemática – estabelecimento de

grupos de trabalho colaborativos, cuja estratégia é a articulação

entre a teoria, a prática docente e a pesquisa – pode favorecer o

desenvolvimento profissional dos envolvidos;

• Pesquisar o papel do ambiente tecnológico - no caso, um espaço

virtual criado para a aprendizagem contínua – das reflexões

compartilhadas e da integração do grupo;

• Contribuir com propostas para serem desenvolvidas nas aulas de

Matemática, visando à melhoria da qualidade dos processos de

ensino e de aprendizagem;

• Pesquisar o papel da história da matemática escolar no processo

de formação (porque ensinamos o que ensinamos;

transformações nos currículos prescritos; movimentos de

modernização; livros didáticos);

• Estudar formas de manutenção dos grupos de trabalho

colaborativo, de modo que tenham continuidade ao término dos

projetos de formação de professores.

Os propósitos da presente investigação estão em consonância com o 1º,

3º e 5º objetivos definidos como acima.

37

Em 2011 o Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES encontrava-

se com a seguinte composição: 6 professores-pesquisadores doutores da

UNIBAN; 4 alunos de Doutorado e 1 aluno de Mestrado em Educação

Matemática da UNIBAN e 23 professores de Educação Básica da Secretaria de

Estado de Educação da Diretoria de Ensino da Região Norte de São Paulo.

As temáticas que foram objeto dos encontros no ano de 2011 foram:

Números Reais, Análise Combinatória (Problemas de Contagem) e

Probabilidade – temas sugeridos pelos professores.

O número de encontros para cada temática varia de acordo com os

objetivos a serem alcançados e as necessidades do grupo de professores

acertados no decorrer de cada uma das pesquisas associadas a cada temática

objeto da formação continuada integrante da respectiva pesquisa.

Para esta pesquisa os encontros de ensino no Observatório da

Educação da UNIBAN/CAPES ocorreram entre os meses de maio e setembro

de 2011, em intervalos quinzenais ou mais (as datas que os encontros

ocorreram estão junto aos respectivos textos e situações-problema,

apresentados nos Apêndices), sempre às quintas feiras, no horário das

13h30min às 17h30min, envolvendo até 23 professores que atuam em escolas

públicas estaduais de Ensino Fundamental II e Ensino Médio da Região Norte

da cidade de São Paulo, pertencentes da Secretaria de Estado da Educação

de São Paulo, divididos em grupos de até quatro professores em cada.

A seguir apresentamos um quadro onde listamos as datas em que os

oito encontros ocorreram (o 1º encontro na primeira fase – Fase de design e os

outros sete encontros na segunda fase – Fase de intervenção e na terceira

fase - Fase de experimentação):

Quadro 1: Datas dos encontros da sequência didática

Encontro Data

1º 12/5/2011

2º 26/5/2011

38

3º 16/6/2011

4º 04/8/2011

5º 18/8/2011

6º 25/8/2011

7º 04/9/2011

8º 18/9/2011

O grupo de professores é constituído segundo as normas de

organização do Projeto Observatório. O grupo participou de 8 (oito) encontros

de ensino, cada um deles com duração média de 200 minutos cada, totalizando

26 horas de encontros de ensino por professor.

Além dos professores, todos os encontros de ensino tiveram a presença

do pesquisador; em alguns deles houve a presença de professor (es) do

Programa de Pós Graduação da UNIBAN e em alguns encontros o professor

Orientador da pesquisa esteve presente e até interagiu com os sujeitos da

pesquisa.

O desenrolar das atividades que foram desenvolvidas no seio do

Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES foi monitorada através da

captação de som e imagens (em alguns encontros em que foi possível

disponibilizar da câmara) feita por gravação em áudio e vídeo bem como pelas

anotações observadas e registradas pelo pesquisador através das reflexões,

discussões e observações feitas entre os participantes nos grupos menores e

em todo o grupo, com a mediação.

A Tabela a seguir mostra, então, a distribuição dos professores que

participaram com suas reflexões respostas da primeira fase desta pesquisa, no

primeiro dos encontros do Observatório ocorrido em 12 de maio de 2011.

39

Tabela 1: Indicação dos dados dos professores que permitiram a concepção inicial da sequência didática desenvolvida no Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES

PROF. SENHA DED Q1 Q2P1 PP S S SP2 MEG S S SP3 ML54 S S SP4 1824 S S SP5 CMK S S SP6 S.5 S S SP7 MCH S S SP8 M.AIKO S S SP9 CIRLENE S S S

P10 SORO S S SP11 SRF-ROSA S S SP12 SAMURAI 256 S S SP13 BAPTISTA S S SP14 CP57 S S SP15 FV S S SP16 CLÁUDIA S S SP17 1811 S S SP18 CECÍLIA S S SP19 VANDA S S SP20 ELENA S S SP21 REGINA N N NP22 1084 N N NP23 ALB N N N

No primeiro dos encontros de ensino um total de 20 professores

forneceu respostas a três questionários: Dados da Experiência Docente (Q1)6,

Conhecimentos de Conteúdo (Q2)7 e Conhecimentos Pedagógicos (Q3)8,

sendo que o primeiro deles foi respondido após o intervalo, em um período de

até uma hora, e os dois últimos, entregues, nesta ordem, em até duas horas e

meio, antes do intervalo.

As respostas fornecidas pelos professores foram objeto de análise e

estão sintetizadas ao longo do Capítulo 4. Elas serviram de base para

estruturar, identificar e conceber as primeiras atividades que foram

desenvolvidas nos encontros de ensino subsequentes, seguindo orientações

dos dois primeiros momentos da metodologia Design Experiments, segundo

Cobb et al (2003), utilizada nesta investigação e considerada na seção a

seguir.

6 Ver Apêndice A. 7 Ver Apêndice B. 8 Ver Apêndice C.

40

Além disso, os dados resultantes das atividades da sequência de

ensino9 – Fase de Intervenção e do questionário Q410 - Fase de

Experimentação têm suas análises apresentadas no Capítulo 5.

Nessas análises vamos considerar aspectos e concepções relacionadas

às reflexões e o produto destas reflexões feitas pelos professores integrantes

do Observatório da Educação da CAPES/UNIBAN com a mediação do

pesquisador, segundo uma amostra de 20 (vinte) professores, os sujeitos de

nossa pesquisa (professores identificados de P1 a P20), considerando variável

a presença dos professores aos encontros de ensino, razão porque os

professores P21, P22 e P23 figuram na tabela, mas estiveram presentes em

alguns encontros da sequência de ensino.

1.3.3 Sobre a metodologia: algumas considerações

A metodologia Design Experiments foi escolhida para nortear a segunda

fase de nossa pesquisa e os motivos para tal escolha são explicados e

compreendidos à medida que a descrevemos, em seguida.

Ressaltamos, desde já, não ter encontrado uma tradução para o

português do termo design que atendesse aos propósitos conforme foi escrito

no texto original. Segundo Drisostes (2005), “o termo design envolve atividades

como planejar, delinear, desenhar, esboçar, projetar, esquematizar, criar,

inventar e executar” (DRISOSTES, 2005, p.38).

Considerando que os professores de Matemática - sujeitos desta

pesquisa - estavam imbuídos da ideia de implementar em sua prática

pedagógica as orientações contidas no Currículo de Matemática do Estado de

São Paulo (2010) e o fato de ter sido esse Currículo elaborado com base nos

Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), a metodologia adotada para a

busca de respostas às quatro questões de nossa investigação incluiu

inicialmente uma pesquisa documental a respeito da análise das orientações

curriculares contidas nesses documentos.

9 Ver Apêndices de E até M. 10 Ver Apêndice D.

41

A utilização da metodologia Design Experiments segundo Cobb et al

(2003) para atender aos propósitos desta pesquisa se consubstanciaram nas

características presentes nos dois primeiros momentos explicitados pelos

autores e que, nesta investigação, se desdobraram em três momentos, a

saber: Primeiro momento: definição dos documentos diagnósticos acerca da

Experiência docente, dos conhecimentos de conteúdo e dos conhecimentos

pedagógicos conteúdos e a elaboração das respectivas questões para compor

as atividades desses três documentos introdutórios, o segundo momento:

elaboração e aplicação de proposta de sequência didática de ensino que foi

apresentada aos professores sujeitos da pesquisa durante os encontros de

ensino no seio do Projeto Observatório da Educação da UNIBAN/CAPES,

ambiente em que a pesquisa se desenvolveu e o terceiro momento, no qual

elaboramos um questionário para identificar concepções e crenças dos

professores em relação à ressignificação de conhecimentos de conteúdo,

pedagógicos de conteúdo e curriculares, após a sequência didática..

A metodologia Design Experiments, por Cobb et al (2003), ainda

considera os seguintes momentos: Elaboração de sequência didática pelos

professores e Interpretação, análise e discussão sobre as produções dos

alunos.

A pesquisa de campo objeto desta pesquisa foi desenvolvida, no

primeiro momento, como a seguir:

Inicialmente, neste momento, consistiu na aplicação de três

questionários ao grupo de professores, sujeitos desta pesquisa, visando

conhecer o perfil dos professores e identificar seus conhecimentos,

concepções e crenças a respeito do processo de ensino e de aprendizagem

dos Problemas de Contagem na Educação Básica. Esses questionários foram

respondidos individualmente por todos os professores e tinham a seguinte

finalidade: analisar a experiência docente dos professores; analisar os

conhecimentos de noções concernentes à Análise Combinatória na Educação

Básica, como conceitos, procedimentos e representações gráficas, ale de

analisar os conhecimentos pedagógicos do professor em relação a esse

conteúdo, ou seja: o que e como ensinar.

42

O segundo momento – fase de intervenção - consistiu na concepção e

na realização de uma abordagem de noções concernentes à Análise

Combinatória com a finalidade de investigar se uma sequência de atividades

que explore atividades sobre a resolução de Problemas de Contagem, sem a

utilização de fórmulas, pode favorecer a ressignificação dos conhecimentos dos

professores sob os pontos de vista do conteúdo, didático e curricular de noções

concernentes a esse tema para o ensino e a aprendizagem no Ensino

Fundamental, preferencialmente. Os dados obtidos por meio dos questionários

respondidos no primeiro momento se constituíram em ponto de partida para a

elaboração e aplicação dessa sequência de atividades. Além disso, levamos

em conta os resultados de pesquisas sobre os processos de ensino e de

aprendizagem desse tema, como as pesquisas de Navarro-Pelayo, Batanero &

Godino (1996), Fischbein e Gazit (1988) e Placha e Moro (2009), além das

orientações pedagógicas do Currículo de São Paulo (2010). Quanto ao

método utilizado para a análise dos dados coletados baseamo-nos na noção de

imagem conceitual conforme Tall e Vinne