Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Kompiuterinė lazerių fizika
Viktorija Tamulienė
Vilniaus universitetasFizikos fakultetas
2018 ruduoGauso modos
Difrakcija 1 / 44
Turinys
1 Gauso pluoštaiBendražidinio rezonatoriaus skersinės modosErmito ir Gauso pluoštaiGauso pluoštasLagero ir Gauso pluoštaiBeselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiUžduotisGauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Difrakcija 2 / 44
Turinys
1 Gauso pluoštaiBendražidinio rezonatoriaus skersinės modosErmito ir Gauso pluoštaiGauso pluoštasLagero ir Gauso pluoštaiBeselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiUžduotisGauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Gauso pluoštai Difrakcija 3 / 44
Turinys
1 Gauso pluoštaiBendražidinio rezonatoriaus skersinės modosErmito ir Gauso pluoštaiGauso pluoštasLagero ir Gauso pluoštaiBeselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiUžduotisGauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Gauso pluoštai Difrakcija 4 / 44
Bendražidinio rezonatoriaus skersinės modos
Bendražidinis (konfokalinis) rezonatorius (l = R).Atstumas tarp veidrodžių daug didesnis už veidrodžių matmenis.Fraunhorferio difrakcija.Stabilus rezonatorius. Skirstiniai ant pirmo ir antro veidrodžiųsutampa:
Φ(x, y) =∫
Ψ(x′, y′) exp[− ik(xx′ + yy′)
l
]dx′dy′. (1)
Čia integruojama pagal veidrodžio paviršių. Tarę, kad Φ veidrodžiokraštuose slopsta, integralo ribas galime praplėsti į begalybę:
Φ(x, y) =∞∫−∞
∞∫−∞
Φ(x′, y′) exp[− ik(xx′ + yy′)
R
]dx′dy′. (2)
Gauso pluoštai Difrakcija 5 / 44
Bendražidinio rezonatoriaus skersinės modos
Tarkime, kad Φ(x, y) = f(x)g(y) faktorizuojasi. Tuomet reikia spręstilygtį
f(x) =∞∫−∞
f(x′) exp[− ik(xx′)
R
]dx′. (3)
Nesunku įsitikinti, kad šios lygties sprendinys yra Gauso funkcija
f(x) ∝ exp(−kx
2
2R
). (4)
Dvimatis Furjė vaizdas yra toks pat skirstinys kaip ir transformuojamafunkcija: Ermito ir Gauso bei Lagero ir Gauso pluoštai.
Gauso pluoštai Difrakcija 6 / 44
Turinys
1 Gauso pluoštaiBendražidinio rezonatoriaus skersinės modosErmito ir Gauso pluoštaiGauso pluoštasLagero ir Gauso pluoštaiBeselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiUžduotisGauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Gauso pluoštai Difrakcija 7 / 44
Ermito ir Gauso pluoštai
Norint gauti Ermito ir Gauso pluošto keitimąsi nuo sklidimokoordinatės z, reikia spręsti parabolinę difrakcijos lygtį Dekartokoordinatėse.Atsakymas:
Alm(x, y, z) = almvρ0ρ(z)Hl
[√2x
ρ(z)
]Hm
[√2y
ρ(z)
]×
× exp[−x2+y2
ρ2(z) − ik0x2+y2
2R(z) + i(l +m+ 1) arctan(zld
)].
(5)
Gauso pluoštai Difrakcija 8 / 44
Ermito ir Gauso pluoštai
Alm(x, y, z) = almvρ0ρ(z)Hl
[√2x
ρ(z)
]Hm
[√2y
ρ(z)
]×
× exp[−x2+y2
ρ2(z) − ik0x2+y2
2R(z) + i(l +m+ 1) arctan(zld
)].
Čia almv – amplitudė,
l, m – modos numeriai,
ρ(z) = ρ0
√1 +
(zld
)2– pluoštelio radiusas,
ρ0 apibūdina pluošto matmenis sąsmaukoje (z = 0),
ld = k0ρ20
2 – difrakcinis nuotolis (Relėjaus ilgis).
Gauso pluoštai Difrakcija 9 / 44
Ermito ir Gauso pluoštai
Alm(x, y, z) = almvρ0ρ(z)Hl
[√2x
ρ(z)
]Hm
[√2y
ρ(z)
]×
× exp[−x2+y2
ρ2(z) − ik0x2+y2
2R(z) + i(l +m+ 1) arctan(zld
)].
Kreivumo spindulys:
R(z) = z
(1 + l2d
z2
)(6)
(l +m+ 1) arctan(zld
)– Guji fazė.
Hl – Ermito daugianaris (polinomas), apibrėžiamą kaip
Hl(ξ) = (−1)l exp(ξ2) dl
dξlexp(−ξ2). (7)
Gauso pluoštai Difrakcija 10 / 44
Ermito ir Gauso pluoštai
Hl(ξ) = (−1)l exp(ξ2) dl
dξlexp(−ξ2).
Randame, kad
H0(ξ) = 1, H1(ξ) = 2ξ, H2(ξ) = 4ξ2 − 2, H3(ξ) = 8ξ2 − 12ξ (8)
ir t. t.Galioja rekurenčioji formulė
Hl+1(ξ) = 2ξHl(ξ)− 2lHl−1(ξ). (9)
Gauso pluoštai Difrakcija 11 / 44
Ermito ir Gauso pluoštai
Funkcijos fl(ξ) = Hl(ξ) exp(−ξ2), čia ξ =√
2x/ρ, grafikai:
l: 0 (a), 1 (b), 2 (c), 3 (d), 10 (e)
Gauso pluoštai Difrakcija 12 / 44
Ermito ir Gauso pluoštaiIntensyvumo skirstinys:
Ilm(ξ, η) = f2l (ξ)f2
m(η) = H2l (ξ)H2
m(η) exp(−ξ2 − η2). (10)
Čia ξ =√
2x/ρ, η =√
2y/ρ
Gauso pluoštai Difrakcija 13 / 44
Turinys
1 Gauso pluoštaiBendražidinio rezonatoriaus skersinės modosErmito ir Gauso pluoštaiGauso pluoštasLagero ir Gauso pluoštaiBeselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiUžduotisGauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Gauso pluoštai Difrakcija 14 / 44
Gauso pluoštasKai l = m = 0, (5) amplitudė aprašo Gauso pluoštą:
A00(x, y, z) = avρ0ρ(z) exp
[−x
2 + y2
ρ2(z) − ik0x2 + y2
2R(z) + i arctan(z
ld
)].
(11)
Gauso pluoštai Difrakcija 15 / 44
Gauso pluoštas
ρ(z) = ρ0
√1 +
(zld
)2– pluoštelio radiusas,
av(z) = avρ0/ρ(z) = av/√
1 + z2/l2d – viršūnė,
R(z) = z
(1 + l2d
z2
)– kreivumo spindulys.
Gauso pluoštai Difrakcija 16 / 44
Gauso pluoštasPanagrinėkime fazinį daugiklį
exp(−ik0z − i
k0(x2 + y2)2R(z)
). (12)
Lygtis
k0z + k0(x2 + y2)2R = S(x, y, z) = const (13)
yra paviršiaus lygtis, o
grad S =(
x0∂
∂x+ y0
∂
∂y+ z0
∂
∂z
)S (14)
yra statmenas tam paviršiui vektorius. Kai y = 0 (išvestinė ∂R/∂znereikšminga),
grad S = k0
(x
Rx0 + z0
). (15)
Gauso pluoštai Difrakcija 17 / 44
Gauso pluoštas
grad S = k0
(x
Rx0 + z0
).
Dydis R yra kreivumo spindulys.
Gauso pluoštai Difrakcija 18 / 44
Gauso pluoštasR(z) = z
(1 + l2d
z2
)Kai z = 0, kreivumo spindulys yra lygus begalybei, tai reiškia, kadsąsmaukoje bangos frontas yra plokščias. Pluoštui sklindant kreivumospindulys mažėja, kreivumas didėja. ld/R(z) kreivės maksimumaspasiekiamas, kai z = ld, paskui ld/R vėl mažėja iki nulio.
Gauso pluoštai Difrakcija 19 / 44
Gauso pluoštasGauso pluošto Guji fazė arctan(z/ld) kinta nuo 0 iki π/2.Gauso pluoštas susidaro lazerio rezonatoriuje. Raskime stabilausrezonatoriaus sąlygą bendru atveju, kai veidrodžių kreivumo spinduliainelygūs. Tegu rezonatoriaus veidrodžiai išdėstyti palei z ašį, pirmojoveidrodžio koordinatė z1, antrojo z2. Jų kreivumo spinduliai atitinkamaiyra R1 ir R2. Pareikalavę, kad Gauso pluošto kreivumo spindulys, kaisklidimo nuotolis z1 ir z2, atitinkamai būtų lygus R1 ir R2, gauname
R1 = l2dz1
+ z1,
−R2 = l2dz2
+ z2.
(16)
Kitas sąryšis:z1 − z2 = d > 0, (17)
čia d – atstumas tarp veidrodžių.Gauso pluoštai Difrakcija 20 / 44
Gauso pluoštas
Eliminavę dydį l2d (16) išraiškose ir pasinaudoję (17), gauname
z1 = d(R2 − d)R1 +R2 − 2d,
z2 = d(d−R2)R1 +R2 − 2d
(18)
irl2d = d(R1 − d)(R2 − d)(R1 +R2 − d)
(R1 +R2 − 2d)2 . (19)
Gauso pluoštai Difrakcija 21 / 44
Gauso pluoštas
Stabilaus rezonatoriaus sąlygos:1) (R1 − d)(R2 − d) ≥ 0,2) R1 +R2 − d ≥ 0.Kai tenkinamos pirma ir antra nelygybės, l2d ≥ 0.
Gauso pluoštai Difrakcija 22 / 44
Gauso pluoštas
1
2 [ x , y ]=meshgr id ( −3 :0 . 05 : 3 , −3 :0 . 05 : 3 ) ;3 f=exp(−x .^2−y .^2 ) ;4 s u r f ( x , y , f . ^2 )5 v iew (2)6 shad ing i n t e r p7 co lormap ( g ray )8 pbaspec t ( [ 1 1 1 ] )9 a x i s o f f
Gauso pluoštai Difrakcija 23 / 44
Turinys
1 Gauso pluoštaiBendražidinio rezonatoriaus skersinės modosErmito ir Gauso pluoštaiGauso pluoštasLagero ir Gauso pluoštaiBeselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiUžduotisGauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Gauso pluoštai Difrakcija 24 / 44
Lagero ir Gauso pluoštai
Lagero ir Gauso pluoštai yra parabolinės difrakcijos lygties, užrašytoscilindrinėje koordinačių sistemoje (r, ψ, z), sprendiniai. Lygties pavidalasyra toks:
∂A(r, ψ, z)∂z
= − i
2k0
(1r
∂
∂r
(r∂A
∂r
)+ 1r2∂2A
∂ψ2
), (20)
čia ψ – azimutinis kampas, r – spindulio koordinatė.Sprendinys:
Alp(r, ψ.z) = alpvρ0ρ(z)
[r
ρ(z)
]lLlp
[2r2
ρ2(z)
]×
× exp[− r2
ρ2(z) −ik0r2
2R(z) + ilψ + i(2p+ l + 1) arctan(zld
)].
(21)
Gauso pluoštai Difrakcija 25 / 44
Lagero ir Gauso pluoštai
Alp(r, ψ.z) = alpvρ0ρ(z)
[r
ρ(z)
]lLlp
[2r2
ρ2(z)
]×
× exp[− r2
ρ2(z) −ik0r2
2R(z) + ilψ + i(2p+ l + 1) arctan(zld
)].
p – spindulinis (radialinis) indeksas,l – azimutinis indeksas.
Lagero daugianariai (polinomai):
Llp(x) = 1p!e
xx−ldp
dxp
[e−xxp+l
](22)
Gauso pluoštai Difrakcija 26 / 44
Lagero ir Gauso pluoštaiLagero daugianariai (polinomai):
Llp(x) = 1p!e
xx−ldp
dxp
[e−xxp+l
]Ll0(x) = 1, Ll1(x) = l + 1− x, L0
1(x) = 1− x, L02(x) = 1− 2x+ x2/2.
l = p = 0, Gauso pluoštas.
Kai p = 0:
Al0(r, ψ.z) = al0vρ0ρ(z)
[r
ρ(z)
]l×
× exp[− r2
ρ2(z) −ik0r2
2R(z) + ilψ + i(l + 1) arctan(zld
)].
(23)
Sklindančių Lagero ir Gauso pluoštų gaubtinės pavidalas, kaip ir Ermito irGauso pluoštų, nekinta.
Gauso pluoštai Difrakcija 27 / 44
Lagero ir Gauso pluoštaiIntensyvumo Ilp(ξ) = (ξ)2l
[Llp(2ξ2)
]2exp(−2ξ2) skirstiniai. ξ = r/ρ0,
z = 0.
Kai l 6= 0, optiniai sūkuriai.Gauso pluoštai Difrakcija 28 / 44
Turinys
1 Gauso pluoštaiBendražidinio rezonatoriaus skersinės modosErmito ir Gauso pluoštaiGauso pluoštasLagero ir Gauso pluoštaiBeselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiUžduotisGauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Gauso pluoštai Difrakcija 29 / 44
Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiBeselio pluoštas yra Helmholco lygties sprendinys. Helmholco lygtis:
∆E + k20E = 0. (24)
Įrašome E(x, y, z) = A(x, y) exp(−ikzz). kz yra bangos vektoriausdedamoji išilgai sklidimo krypties.
A nepriklauso nuo sklidimo nuotolio z. Pluoštas nedifraguoja.(∂2
∂x2 + ∂2
∂y2
)A(x, y) +
(k2
0 − k2z
)A(x, y) = 0. (25)
Ši lygtis cilindrinėje koordinačių sistemoje virsta Beselio funkcijų lygtimi.Beselio funkcija tenkina lygtį:
r2∂2u
∂r2 + r∂u
∂r+ (r2β2
0 − l2)u = 0. (26)
Gauso pluoštai Difrakcija 30 / 44
Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštai
Beselio funkcijų lygtis:
r2∂2u
∂r2 + r∂u
∂r+ (r2β2
0 − l2)u = 0.
Sprendinys u = Jl(β0r), čia Jl – pirmos rūšies l-tosios eilės Beseliofunkcija.(25) lygtyje skersinę laplasiano dalį užrašome cilindrinėje koordinačiųsistemoje:
∆r,ψA = ∂2A
∂r2 + 1r
∂A
∂r+ 1r2∂2A
∂ψ2 . (27)
x = r cosψ, y = r sinψ.
Taigi, A atitinka u exp(ilψ).
Gauso pluoštai Difrakcija 31 / 44
Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiHelholco lygties sprendinys:
Al(r, ψ) = avJl(β0r) exp(ilψ), (28)
β0 =√k2
0 − k2z
Gauso pluoštai Difrakcija 32 / 44
Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštai
Kai l 6= 0, Beselio pluoštas yra optinis sūkurys.
Idealaus Beselio pluošto galia yra begalinė. Suintegravę amplitudės (28),kai l = 0, modulio kvadratą pagal r, ψ, gausime begalybę:
P =∞∫
0
rJ20 (β0r)dr =∞. (29)
Integralo (29) reikšmė begalinė dėl to, kad funkcija J0 nepakankamaigreitai slopsta:
J0(β0r) ≈√
2πβ0r
cos(β0r −
π
4
), kai β0r � 1. (30)
Taigi eksperimentais Beselio pluoštas negali būti gautas.
Gauso pluoštai Difrakcija 33 / 44
Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštai
Beselio ir Gauso pluoštas, kai z = 0:
Al(r, ψ) = avJl(β0r) exp(−r
2
ρ20
+ ilψ
). (31)
Kai β0ρ0 � 1, gana daug Beselio žiedų telpa į Gauso gaubtinę ir pluoštasbūna panašus į Beselio pluoštą.
Beselio ir Gauso pluošto galia, kitaip nei Beselio pluošto, yra baigtinė.
Gauso pluoštai Difrakcija 34 / 44
Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiPluošto kampinis spektras yra jo gaubtinės dvimatis Furjė vaizdas.
Dvimatė Furjė transformacija:∞∫0
∞∫0A(x, y) exp(ikxx+ ikyy)dxdy =
=∞∫0
2π∫0A(r, ψ) exp(ik⊥r cos(θ − ψ))dψrdr.
(32)
Čia θ, k⊥ – azimutinis kampas ir spindulinė koordinatė kx, ky plokštumoje.Čia
x = r cosψ, y = r sinψ,
kx = k⊥ cos θ, ky = k⊥ sin θ.(33)
Gauso pluoštai Difrakcija 35 / 44
Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštai
Beselio funkcija gali būti pavaizduota kaip tokio pavidalo integralas:
J0(k⊥r) = 12π
2π∫0
exp(ik⊥r cos θ)dθ, (34)
todėl nulinės eilės Beselio modos spektras gali būti užrašytas taip:
S0 = 2πav∞∫0rJ0(β0r)J0(k⊥r) exp
(− r2
ρ20
)dr =
= πavρ20 exp
[− (β2
0+k2⊥)ρ2
04
]I0(β0k⊥
2 ρ20
).
(35)
Gauso pluoštai Difrakcija 36 / 44
Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiKai β0ρ0 � 1,
S0(k⊥) ≈√πavρ0β0
exp(−(β0 − k⊥)2ρ2
04
). (36)
S20n = S2
0/(√πavρ0/β0)2 grafikas:
Beselio ir Gauso pluošto spektras yra baigtinio pločio žiedas.
Gauso pluoštai Difrakcija 37 / 44
Beselio bei Beselio ir Gauso pluoštai
Difrakcija
Gauso pluoštai Difrakcija 38 / 44
Turinys
1 Gauso pluoštaiBendražidinio rezonatoriaus skersinės modosErmito ir Gauso pluoštaiGauso pluoštasLagero ir Gauso pluoštaiBeselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiUžduotisGauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Gauso pluoštai Difrakcija 39 / 44
Užduotis
Nusibraižyti pasirinktus Ermito ir Gauso, Lagero ir Gauso bei Beselio irGauso pluoštus. Apskaičiuoti jų spektrus – dvimates Furjė transformacijas.
Gauso pluoštai Difrakcija 40 / 44
Turinys
1 Gauso pluoštaiBendražidinio rezonatoriaus skersinės modosErmito ir Gauso pluoštaiGauso pluoštasLagero ir Gauso pluoštaiBeselio bei Beselio ir Gauso pluoštaiUžduotisGauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Gauso pluoštai Difrakcija 41 / 44
Gauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Beselio ir Gauso pluoštas gali būti sudarytas praleidus nulinės eilės Gausopluoštą per kūginę prizmę.
Gauso pluoštai Difrakcija 42 / 44
Gauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Sumodeliuokime tokį sklidimą aprašančią lygtį
∂A
∂z= −ik0(n(x, y, z)− 1)A− i
2k0
(∂2
∂x2 + ∂2
∂y2
)A (37)
tarę, kad pradinė sąlyga A0 = exp(−x2+y2
ρ2
). Čia n(x, y, z) yra lūžio
rodiklis, lygus n1 kūginės prizmės ribose ir 1 už jos ribų. n1 yra medžiagos,iš kurios pagaminta prizmė, lūžio rodiklis. Už kūgio ribų susidaro kūginispluoštas, kurio amplitudės maksimumas yra nuotoliu
zu = 32Ldβ0ρ
. (38)
Čia β0 = k0(n1 − 1)α, o α yra kūgio pagrindo kampas.
Gauso pluoštai Difrakcija 43 / 44
Gauso pluošto sklidimo per kūginę prizmę modeliavimas
Gauso pluoštai Difrakcija 44 / 44