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Meccanica2019-2020

Dinamica del punto materiale

Dinamica del punto materiale

Forza elastica

xukxxF�

�

)( −=

Equazione del moto?

sin( )P

x A tω φ= +m

kP =ωcon

Se assumiamo condizioni iniziali

0)0( xx =0)0( =v

)2/sin(0 πω += txx P )cos(0 tx Pω=)sin(0 txv PP ωω−=

0sin xA =φcos 0

PAω φ =

0/ 2, A xφ π= =

2

20

d x kx

dt m+ =

cos( )P Pv A tω ω φ= +Equazione della velocità?

0l

F�

F�

l

Costante elastica0k >

0x l l= −(molla «ideale»)

Dinamica del punto materiale

Forza elasticaSupponiamo una velocità iniziale non nulla:

0)0( xx =0)0( vv =

0sin xA =φ 0cos vAP =φω

1cossin

2

0

2

022 =

+

=+PA

v

A

x

ωφφ

2

2

02

0

P

vxA

ω+=

0

0

cos

sin

v

x

P

=φω

φFase iniziale:

Sfruttiamo2 2sin cos 1α α+ =

Ampiezza:

+

+= PP

P v

xt

vxtx ωω

ω 0

0

2/1

2

2

02

0 arctansin)(

Equazione del moto:

Pv

x ωφ0

0tan =

= P

v

x ωφ0

0arctan

00 =vPer si ritrovano i risultati precedenti arctan / 2 α π α→ → ∞

Avremo ancora moto armonico

ma con valori diversi di ampiezza e fase iniziale

sin( )P

x A tω φ= +

Dinamica del punto materiale

Forza elastica

I punti P e Q sono fermi

21 FF��

−= 43 FF��

−=

Poiché anche la molla nel suo insieme è ferma la risultante delle forze esterne deve essere nulla:

041 =+ FF��

41 FF��

−=Per mantenere una molla libera deformata di una quantità x

dobbiamo applicare agli estremi due forze uguali e contrarie di modulo kx

Applicata dall’esterno

Forza elastica -kx

Forza elastica +kx

Reazione vincolare

l0l

Equilibrio statico

1F�

2F�

3F�

4F�

xll =− )( 0

Applichiamo a P una forza costante che mantenga la molla (ideale) tesa con uno spostamento costante

1F�

Fili e carrucole

Tensione del filo teso a una estremità da una forza AF�

B A

All’altro estremo il vincolo esercita la forza AB FTF

���

−==

β

Carrucola: consente di cambiare direzione alla forza senza modificarne l’intensità

AF�

BF�

z

Omg mgF =

21 TTFA

���

+=

ZuT�

cos2 β−=

Forza applicata al perno:

“Filo ideale”: inestensibile, massa trascurabile

Elemento infinitesimo ds bilancia la forza

AFT��

−= A

All’interno del filo ogni elemento infinitesimo è in equilibrio statico tra coppie di forze

TT��

−,

NF�

TF�

Moto curvilineo

NT uR

vmu

dt

dvm

��

2

+= NT FF��

+=

TF →�

Forza tangenziale Variazione del modulo della velocità

NF →�

Forza centripeta Variazione della direzione

Azone del vincolo: NF�

→

Na�

Ta�

La causa della variazione di direzione nel moto curvilineo è spesso data dalla risposta vincolare

Effetto della presenza di vincoli

T Na a a= +� � �

NT amamF��

�

+=

Pendolo semplice• Punto di massa m, vincolato a un filo ideale,

nei pressi della superficie terrestre

• Posizione generica individuata dall’angolo θ

amgmTF FTOT

��

��

=+=

sin Tmg maθ− =cosF NT mg maθ− =

Accelerazione tangenziale in funzione della accelerazione angolare:

2

2

dt

dL

θ=

θsingaT −=

θsing−=2

2sin 0

d g

dt L

θ θ+ =Equazionedifferenziale del moto del pendolo

2

20

d g

dt L

θ θ+ =

Nel limite di piccole oscillazioni (piccoli valori di θ):

Moto armonicosemplice

31sin ...

6θ θ θ= − +

αLaT =

mg�

FT�

L

Verso opposto a θ > 0(“forza di richiamo”)

0θ >0θ <

O

P

θ

Moto circolare

Componenti normale e tangente alla traiettoria

F centripeta:

F tangenziale:

θcosmgθsinmg

θ

( )y f θ=

y θ=

31

6y θ θ= −

siny θ=

θ

L

gP =ω

Pulsazione e periodo:

g

LT

P

πω

π2

2 ==

Equazione del moto:

Condizioni iniziali

)sin()( max φωθθ += tt PPer l’angolo θ

)sin(max φωθ += tL P

Velocità angolare:

dt

dt

θω =)( )cos(max φωθω += tPP

Velocità angolare Pulsazione

Velocità lineare:

dt

dstv =)( )cos(max φωθω += tL PP

Indipendenti- dalla massa

Moto armonicosemplice0

2

2

=+ θθL

g

dt

dPiccoleoscillazioni

- dall’ampiezzadell’oscillazione

Pendolo semplice

mg�

FT�

L

O

P

θ

θcosmgθsinmg

θ

Velocità massima: cos( ) 1Ptω φ+ = ( ) 0

Ptω φ+ = 0θ =

Velocità nulla: cos( ) 0Ptω φ+ = ( ) / 2

Ptω φ π+ =

maxθ θ=

Coordinata s(t) lungo la traiettoria:

)()( tLts θ=

( )s t

Tensione massima:

)cos( NF agmT += θ

+=

L

vgm

2

cosθ

max( ) cos( )P P

v t L tω θ ω φ= +Per piccole oscillazioni:

gLT /2π=Limite delle piccole oscillazioni:

Per grandi oscillazioni: moto periodico ma non armonico

Approssimazione sul periodo

Pendolo semplice

( )2 2 2

max( ) cos cos ( )F P PT t m g L tθ ω θ ω φ= + +

Componente perpendicolare alla traiettoria:

NF mamgT =− θcos

Equazione del moto: )sin()( max φωθθ += tt P

Tensione del filo

( ) / 2Ptω ϕ π+ =

mg�

FT�

L

O

P

θ

θcosmgθsinmg

θ

( ) 0tθ = ( ) 0Ptω φ+ = 0θ→ =

Tensione minima: max( )tθ θ=

max 7 / 0.1%T Tθ < ° → ∆ <max 50 / 5%T Tθ < ° → ∆ <

Pendolo semplice

Tensione del filo

Forza peso

sFT ∆=

TF�

Dinamica del punto materiale

Lavoro della forza

θcos sF ∆=

dsFB

A cos= θ

Il lavoro è l’integrale di linea della forza lungo la traiettoria

Lavoro della forza: sFW�

�

∆⋅≡

Lavoro totale compiuto da una forza nello spostamento di P dal punto A al punto B A

B

=

∆⋅=n

i

ii sFW1

�

�

Passando al limite:B

ABA

W F ds= ⋅�

�

F�

sd�

A

B

θ

dsFB

AT =

Consideriamo un punto P in moto, soggetto a una forzaP

Forza tangenziale:proiezione in direzionedello spostamento

F�

Forza e la direzione dello spostamentoin generale variano da un punto all’altro della traiettoria

s∆�F�

F�

s�∆

θP compie uno spostamento lungo la sua traiettorias∆�

iii sFW�

�

∆⋅=

iF�is

�∆ θ

Forza costantesu ogni piccolo spostamento

/ 2θ π< “Lavoro motore” ( 0)W >

“Lavoro nullo”/ 2θ π= ( 0)W =

“Lavoro resistente”/ 2θ π> ( 0)W <

Dinamica del punto materiale

Lavoro della forzaLa forza agente può essere la risultante di diverse forze

1

NB

iA

i

F ds=

= ⋅ �

�

1

NB

iA

i

F ds=

= ⋅ �

�

1

NB

iA

i

F ds=

= ⋅�

�

1

N

i

i

W=

=

B

ABA

W F ds= ⋅�

�

Lavoro totale:

Il lavoro della risultante è pari alla somma del lavorodelle singole forze agenti

0=W

- Non agiscono forze

- La risultante è nulla

- La risultante è sempre ortogonale alla traiettoria E.g.: Moto circolare uniforme

F�sd

�

A

B

θ1 1

1

...N

N i

i

F F F F F=

= + + + =� � � � �

- Spostamento nullo

Dinamica del punto materiale

Potenza

dt

dWP =

Nell’intervallo di tempo infinitesimo: potenza istantanea

θcosFv=

Energia cinetica

dsmaT= dsdt

dvm= ds

m dvdt

=dsFdW T=Introduciamo la II Legge di Newton nella definizione di lavoro:

F�

sd�

A

B

θ

22

2

1

2

1AB mvmv −=

Energia cinetica: EK =½mv2

dt

sdF

�

�

⋅=

Potenza istantanea

NB: Energia cinetica: Definita a meno di una costante C Poniamo C = 0 per avere energia nulla per v = 0

t∆Lavoro compiuto nell’intervallo di tempo

vFT=Forza tangenziale

WP

t

∆≡∆Potenza media

vF�

�

⋅=

v�

Variazione del modulo della velocità

Integriamo sul finito fra A e B:

B

A

v

ABv

W mv dv=

Av�

Bv�

mv dv=

KAKBK EEE ∆=−≡ ,,

Energia cinetica

Unità di misura

Lavoro = Forza . Spostamento ]J[]mN[ =× Joule Energia cinetica, altre forme di energia

Potenza = Energia/Tempo ]W[]sJ[ -1 =× Watt

Energia cinetica e quantità di moto:

2

2

1mvEK = vmp

�� =m

pEK

2

2

=

KmEp 2=modulo della quantità di moto

(NB: Vale per ogni tipo di forza)

2 2[kg m s ]−=

2 3[kg m s ]−=

“Teorema dell’energia cinetica”

Il lavoro della forza tra A e B è parialla variazione di energia cinetica tra A e B

, ,AB K B K AW E E= −