2019 erano V...topolog´ıas ([Munkres, p. 76]). En general, dado un conjunto X de 7 V erano 2019 8 1. ESPACIOS TOPOLOGICOS Y CONTINUIDAD´ n elementos es posible determinar cuantas

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Topologıa I

Miguel A. Maldonado

Unidad Academica de Matematicas, UAZ.E-mail address: [email protected]

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Verano de 2019.

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Contenido

Contenido 2

Presentacion 5

Capıtulo 1. Espacios topologicos y continuidad 71. Topologıas y bases 71.1. Subbases 132. Nociones geometricas 143. Continuidad 184. Espacios metricos 235. Topologıas relativa y producto 276. Espacios Hausdorff 34

Capıtulo 2. Conexidad 391. Conexidad 392. Arco conexidad 433. Homotopıa I 494. Componentes conexas 50

Capıtulo 3. Compacidad 531. Cubiertas y compacidad 532. Producto finito de compactos es compacto 633. (Introduccion a) Grupos topologicos 674. Grupos de matrices 694.1. Matrices ortogonales 725. Compacidad local 756. Topologıa compacto abierto y Top(X) 777. Compactificacion de Alexandroff 817.1. Proyeccion estereografica 837.2. El numero de Lebesgue 84

Capıtulo 4. Topologıa Cociente 871. Funcion cociente 872. Topologıa cociente 913. Colapsos e identificaciones 974. Acciones en espacios 995. Espacios lente 105

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4 CONTENIDO

6. Espacios proyectivos 1077. Variedades de Grassmann 1118. Espacios celulares 113

Capıtulo 5. Axiomas de numerabilidad 1171. Definiciones 1172. Sucesiones convergentes 1213. Completitud 1264. Espacios metricos compactos 1285. Espacios de Baire 131

Capıtulo 6. Productos infinitos de espacios 1371. El Teorema de la Subbase 1372. Topologıa producto II 1383. Teorema de Tychonoff 140

Capıtulo 7. (Intro. a) Variedades topologicas 1451. Paracompacidad 1452. Variedades topologicas 1513. Propiedades topologicas de variedades 1534. Variedades con frontera 1545. Clasificacion de variedades 156

Capıtulo 8. Homotopıa y grupo fundamental 1591. Homotopıa II 1592. (Homotopıa de caminos y) grupo fundamental 1693. Propiedades funtoriales y primeros calculos 173

Capıtulo 9. Apendices 1791. Teorıa de Conjuntos 1792. Algebra lineal 180

Referencias 181

Indice 183

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Presentacion

La Topologıa de Conjuntos estudia aquellas propiedades quesubyacen en los resultados clasicos y elementales del Analisis y elCalculo como continuidad, compacidad, conexidad y convergencia.En particular, estudia como estas propiedades se heredan a atravesde funciones continuas, a subespacios, a productos (infinitos) de es-pacios o cocientes de ellos; en ese sentido suele afirmarse que laTopologıa de Conjuntos estudia propiedades simples de espacios com-plicados.

La idea central del presente material es de la introducir al lectora las propiedades simples mencionados arriba. Ası que hablaremosde topologıas, bases, continuidad, conexidad, compacidad, axiomasde separacion, ası como de espacios proyectivos, espacios de matri-ces, espacios celulares, grupos topologicos y variedades topologicas.

Seguiremos de cerca el libro [Manetti].

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CAPITULO 1

Espacios topologicos y continuidad

El area de la Topologıa surge con la intencion de generalizar el conceptode distancia en ambitos mas generales a espacios metricos. Ası, el conceptogeneral de un espacio topologico surge a principios del s. XIX por el trabajode F. Hausdorff (1868-1942).

El astronomo aleman J.B. Listing publica en 1847 Vorstudien zurTopologie, considerada la primera obra que usa el termino topologıa.

1. Topologıas y bases

Una topologıa en un conjunto X es una familia τ ⊆ P(X), cuyoselementos son llamados abiertos, tal que se cumple lo siguiente:

• ∅, X ∈ τ• La union de una cantidad arbitraria de abiertos es abierto.• La interseccion de dos abiertos es abierto.

De la ultima condicion, y aplicando un argumento de induccion,se sigue que la interseccion de una cantidad finita de abiertos esabierto.

Usualmente la pareja (X, τ) es llamada espacio topologico aunqueen la practica suele economizarse la notacion y decir simplementeque X es espacio topologico.

Ejemplo 1.1. Para cualquier conjunto X se tienen al menos dostopologias: la topologıa discreta τ = P(X) y la indiscreta o triviales τ = ∅, X. J

Ejemplo 1.2 (Topologıas en conjuntos finitos). Para el conjunto X =a existe una unica topologıa. El conjunto X = a, b admite cu-atro topologias: cuando consideramos τs = ∅, a, X se dice que(X, τs) es el espacio de Sierpinski. Para X = a, b, c se tienen nuevetopologıas ([Munkres, p. 76]). En general, dado un conjunto X de

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8 1. ESPACIOS TOPOLOGICOS Y CONTINUIDAD

n elementos es posible determinar cuantas topologıas se puedendefinir en X. Aquı un recuento. J

Ejemplo 1.3 (Topologıa Euclidiana). Decimos que U ⊂ R es abiertosi y solo si U es union de intervalos abiertos. La coleccion de abier-tos define la topologıa euclidiana o estandar en R.

Ejemplo 1.4 (Topologıa cofinita). Dado X conjunto definimos U ⊂X abierto si y solo si U = ∅ o X\U finito. La topologia ası obtenidaes llamada topologia cofinita o del complemento finito. J

Ejemplo 1.5 (Topologıa conumerable). Cambiando la condicion deser finito por la de ser numerable en la definicion anterior se obtienela topologia del complemento numerable o conumerable. J

Ejemplo 1.6. Sea X conjunto no vacıo y fijemos x0 ∈ X. Es inmedi-ato observar que la coleccion τ = U ⊂ X | x0 ∈ U ∪ ∅ esuna topologıa para X llamada la topologıa de la inclusion de punto.De manera equivalente se define la topologıa de la exclusion delpunto.J

Ejemplo 1.7. La topologıa superior en R se define con los abiertos

(−∞, a), a ∈ R∪ +∞. J

Ejemplo 1.8 (Topologıa de Fort). Sea X conjunto infinito y x0 ∈ X.La coleccion

τ = U ∈ P(X) | x0 /∈ U, o X\U finitodefine una topologıa en X, llamada la Topologıa de Fort.J

Decimos que C ⊂ X es cerrado si X\C es abierto. Dado que

X\(A ∪ B) = (X\A) ∩ (X\B),X\(A ∩ B) = (X\A) ∪ (X\B)

se tiene que• ∅, X son cerrados• La union de dos cerrados es cerrado.

https://oeis.org/search?q=A001930&language=english&go=Search

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1. TOPOLOGIAS Y BASES 9

• La interseccion arbitraria de cerrados es cerrado.

Notese la similitud con la definicion de topologıa dada antes.Ademas, al igual que en dicha definicion la segunda condicion eses valida para una cantidad finita de cerrados.

Con lo anterior recordemos la siguiente frase: un conjunto no esuna puerta por lo que puede ser cerrado y abierto o ninguna de lasdos opciones, como se vera mas adelante en el texto. Por la ‘duali-dad’ cerrado-abierto es posible definir una topologia determinandoque conjuntos son cerrados.

Ejemplo 1.9 (Topologıa cofinita). Consideremos X conjunto infinitoy definamos a U ⊆ X como cerrado si y solo sı U = X o U finito.Por la dualidad entre los conceptos de cerrado y abierto, la coleccionde abiertos no es otra cosa mas que la topologıa cofinita definidaantes. J

Dada una topologia τ en X decimos que B ⊂ τ es una base paraτ si todo abierto A ∈ τ puede expresarse como union de elementosde B. La intencion de definir una base para una topologıa es elde hacer posible una descripcion de la topologıa sin dar de maneraexplıcita todos los abiertos que la comprenden

Ejemplo 1.10. La coleccion de intervalos abiertos B = (a, b) | a <b forma una base para la topologia usual en R. Esta base no esunica:

Br = (a, b) | a < b a, b ∈ Qes tambien base y, dado que

(r, s) =⋃(a, b), r < a < b < s, a, b ∈ Q

se tiene que Br es mas pequena que B. J

Ejemplo 1.11. La coleccion B = X es una base para la topologiatrivial. La coleccion B = x | x ∈ X lo es para la topologıadiscreta. J

El siguiente resultado muestra que una base determina de man-era unica una topologia:

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Teorema 1.12 (Criterio de la Base). Sean X conjunto y B ⊂P(X). Existe una topologıa τB para la cual B es base ⇐⇒ secumple:

• X = ∪B | B ∈ B• Dados A, B ∈ B y x ∈ A ∩ B existe C ∈ B tal que x ∈

C ⊂ A ∩ B.

Dem. Notemos que la implicacion ⇒ se sigue de inmediato dela definicion de base.⇐ Probaremos que la coleccion que satisface las dos condiciones

es, en realidad, la base de cierta topologıa: diremos que U ⊂ X esabierto⇐⇒ U es union arbitraria de elementos de B. Denotamos adicha coleccion mediante:

τB = ∪i∈I Bi | Bi ∈ BDado que X es la union de todo y ∅ es la union de nada, se sigueque X, ∅ ∈ τB. Por otro lado, para A, B ∈ τB se sigue que

A ∩ B = ∪C | C ∈ B, C ⊆ A ∩ BPor otro lado, para U = ∪i Ai, V = ∪iBi elementos de τB se sigueque

U ∩V = ∪i,j(Ai ∩ Bj) = ∪C | C ∈ B, C ⊆ Ai ∩ Bj,para algunas i, j.

La topologıa de este resultado es llamada la topologıa generadapor la base B.

Sean τ1, τ2 dos topologias para X. Decimos que τ2 es mas fina omas grande que τ1 si τ1 ⊂ τ2. Equivalentemente decimos que τ1 esmas gruesa o mas pequena que τ2. Los terminos para describir estacomparacion entre topologıas tienen una interesante analogıa:

Observemos que bajo estas condiciones se tiene que todo abiertode τ1 es abierto de τ2.

Lema 1.13. Sean B,B′ bases para topologıas τ, τ′, topologıas en X.Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes

(1) τ′ es mas fina que τ(2) Para todo x ∈ X y todo B ∈ B que contiene a x, existe

B′ ∈ B′ tal que x ∈ B ⊆ B′.

Dem. [Munkres, Lema13.3].

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Figura 1. Topologıas y cafe. Tomado de http://www.math3ma.com

Ejercicio 1.14. Sean τ1, τ2 topologıas en un conjunto X. Pruebeque la funcion identidad (X, τ1) → (X, τ2) es continua ⇐⇒ τ1es mas fina que τ2. Este es el Ejercicio 3.18 de [Manetti].

Ejemplo 1.15 (Topologıa Digital). Para cada entero n tomemos

B(n) =

n, n imparn− 1, n, n + 1, n par

La coleccion B = B(n) | n ∈ Z es base para una topologıa en Z,llamada la topologıa de la linea digital; vease [Adams& Franzosa]para aplicaciones de esta topologıa en el procesamiento de imagenesdigitales. J

Ejemplo 1.16 (Topologıa de la Particion). Sean X conjunto y B =Xi coleccion de subconjuntos de X, disjuntos a pares tales queX = ∪iXi. La coleccion B es una base para una topologıa llamadala topologıa de la particion.J

Tomando X = N y la coleccion 2k, 2k + 1k∈N se obtiene unatopologıa en los numeros naturales llamada la topologıa par-impar.

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Ejemplo 1.17. La topologıa semi-abierta o del lımite inferior en R

es la topologia que tiene como base B = [a, b) | a < b. Dado que

(a, b) =∞⋃

n=k

[a +1n

, b), para a +1k< b

se tiene que la topologıa semi-abierta es mas fina que la topologıaeuclidiana. La recta R con la topologıa semi-abierta es llamada lalinea de Sorgenfrey.J

Dada una coleccion τii de topologıas en un conjunto X la in-terseccion τ = ∩iτi. Mas aun, si las topologıas contienen ciertacoleccion S ⊆ P(X) entonces τ es la topologıa mas gruesa que tienea los elementos de S como conjuntos abiertos.

Ejemplo 1.18. Sea Xii∈I coleccion de espacios topologicos y tomemossu union X = ∪iXi. Dotamos a X de la topologıa mas gruesa τ delas que contienen a cada una de las topologıas de los espacios Xi. Enestas condiciones U ⊂ X es abierto⇐⇒ U ∩Xi es abierto para cadai. El espacio topologico obtenido es llamado la union disjunta de lacoleccion Xi.J

Ejemplo 1.19 (Topologıa de Zariski). Sean K campo, n entero pos-itivo y K[x1, . . . , xn] el anillo de polinomios en n variables. Dadof ∈ K[x1, . . . , xn] tomamos

D( f ) = (a1, . . . , an) ∈ Kn | f (a1, . . . , an) 6= 0y observemos que

• D(0) = ∅, D(1) = Kn

• D( f ) ∩ D(g) = D( f g)por lo que el conjunto D( f ) f forma una base para una topologıaen Kn llamada la topologıa de Zariski. Denotemos por V( f ) alcomplemento de D( f ) y consideremos

V(E) =⋂f∈E

V( f )

= (a1, . . . , an) ∈ Kn | f (a1, . . . , an) = 0, ∀ f ∈ E,donde E ⊆ K[x1, . . . , xn]. La coleccion V(E)E⊆K[x1,...,xn] consistede los unicos subconjuntos cerrados bajo la topologıa de Zariski. Di-chos conjuntos se relacionan con los ideales del anillo K[x1, . . . , xn];vease [Manetti, Ejem.3.11].J

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1.1. Subbases. En la seccion anterior vimos que si B es una basepara un espacio topologico, entonces todo abierto puede obtenerseal tomar uniones arbitrarias de elementos de B. Pregunta: ¿seraposible “descomponer” los elementos de la base en subconjuntosmas simples? La respuesta nos lleva al siguiente concepto:

Una subbase para X es una coleccion P de subconjuntos de Xcuya union es X. La topologia τ generada por una subbase se definecomo la coleccion τ de todas las uniones de intersecciones finitas deelementos de P .

Lema 1.20. La coleccion τ es una topologıa para X

Dem. Solo basta probar que

B = S1 ∩ S2 ∩ · · · ∩ Sn | Si ∈ P , n ∈N

es una base para X. Por definicion todo x ∈ X pertence a un el-emento de P y por lo tanto a un elemento de B. Por otro lado,tomemos

B1 = S1 ∩ S2 ∩ · · · ∩ Sm, B2 = S′1 ∩ S′2 ∩ · · · ∩ S′n

y notemos que su interseccion

B1 ∩ B2 = (S1 ∩ S2 ∩ · · · ∩ Sm) ∩ (S′1 ∩ S′2 ∩ · · · ∩ S′n)

es tambien una interseccion finita de elementos de P ; luego, B esuna base.

Notemos que toda base es una subbase.

Ejemplo 1.21. Una subbase para la topologia usual de R esla coleccion

(−∞, a), (b, ∞) | a, b ∈ R

pues para cada abierto (a, b) = (−∞, b) ∩ (a, ∞). J

Las subbases pueden usarse para determinar la continuidad defunciones como se vera en el Lema 1.38

Ejemplo 1.22 (Convergencia Puntual). Sea S conjunto y X espaciotopologico. En el conjunto XS de funciones S→ X consideremos lafamilia P de los subconjuntos

P(s, U) = f : S→ X | f (s) ∈ U

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para cualquier s ∈ S y U ⊂ X abierto. La topologıa en XS que tienea P como subbase es llamada la topologıa de la convergencia pun-tual o topologıa punto-abierto. Equivalentemente, es la topologıamas gruesa que contiene a P ; vease [Munkres, Sec.46] y [VINK,Sec.25].J

2. Nociones geometricas

Recordemos que un punto x es adherente (o punto limite ) de unsubconjunto A ⊂ Rn si hay puntos de A muy cercanos a x. Dado queeste concepto esta intimamente ligado a la nocion de convergen-cia en espacios metricos, resulta natural generalizarlo para espaciostopologicos. Empezaremos por definir la cerradura de un conjuntoy regresaremos a esta nocion en el Lema 1.31.

Sea X espacio topologico y B ⊂ X. Definimos la cerradura Bcomo

B =⋂C | B ⊂ C, C cerrado

Asi, B es el cerrado mas pequeno que contiene a B. Se dice que lospuntos de B son adherentes a B.

Notemos que B es cerrado ⇐⇒ B = B. El concepto anteriorgeneraliza la nocion de punto lımite pero no se excluyen ciertoscasos patologicos:

Ejemplo 1.23. Sea R con la topologia del complemento finito (ver1.4) y tomemos A ⊂= Z ⊂ R. Tomemos r ∈ R cualquiera y r ∈ U,abierto. Por definicion

U = R\r1, r2, . . . , rk

Ahora, como Z es infinito y U ‘’deja fuera” una cantidad finita denumeros reales, existe una cantidad infinita de enteros en U, variosde ellos distintos de r. Esto prueba que r es adherente de Z; dichode otra forma, en R con la topologia del complemento finito todopunto es punto limite de Z. J

La cerradura puede considerarse como una operacion en los sub-conjuntos de X; aquı algunas de sus propiedades:

(1) Para A ⊂ B se tiene A ⊂ B, pues todo cerrado que con-tiene a B tambien contiene a A; en particular,todo punto deadherencia de A tambien lo es de B.

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2. NOCIONES GEOMETRICAS 15

(2) La cerradura conmuta con uniones finitas:

A ∪ B = A ∪ B

Vease Ejercicio 6, Sec. 17 en [Munkres].

(3) Sea Aii familia de subconjuntos de X. Dado que Aj ⊂∪i Ai, se tiene que Aj ⊂ ∪i Ai, para cualquier j. Por lo tanto,

∪i Ai ⊂ ∪i Ai

En general no se da una igualdad entre la cerradura de unaunion y la union de las cerraduras, esto solo ocurre en cier-tos casos particulares; ver por ejemplo el Lema 7.2.

(4) Mas propiedades:

A ∩ B ⊂ A ∩ B, ∩i Ai ⊂ ∩Ai,A\B ⊂ A\B, A× B = A× B.

Una propiedad remarcable de los numeros reales R es la man-era en que los racionales Q se encuentran ahı como subconjunto:todo numero real tiene numeros racionales muy, muy cerca. Estecomportamiento se formaliza de la siguiente manera.

Decimos que A ⊆ X es denso si A = X. Directamente de ladefinicion se obtiene que A es denso en X ⇐⇒ si todo abierto novacio de X intersecta a A. En general, dados A ⊆ B se dice que Aes denso en B si B ⊆ A.

Ejemplo 1.24. En cualquier espacio dotado de la topologıa triv-ial, cualquier subconjunto no vacıo es denso. Por el contrario, encualquier espacio dotado de la topologıa discreta ningun subcon-junto propio es denso. J

Ejemplo 1.25. Tomemos X con la topologıa del complemento finitoy W ⊆ X infinito. Recordemos que U ⊂ X es cerrado si y solo siC = X o C es finito. Ası, cualquier cerrado que contenga a W debeser todo X. Por tanto todo cerrado que contenga un subconjuntoinfinito es denso.J

Ejemplo 1.26 (La cerradura de Q). Sean R con la topologıa usual yK ⊂ R cerrado tal que Q ⊂ K. Entonces R\K es abierto y no con-tiene racionales. Como todo intervalo no vacio de reales contiene

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un numero racional, entonces R\K no contiene ningun intervalo;luego, R\K = ∅ y por lo tanto Q = R. J

El interior B de B ⊂ X se define como

B =⋃A | A ⊂ B, abierto

Asi, B es el abierto mas grande contenido en B y sus puntos sonllamados los puntos interiores de B.

Notemos que B es abierto ⇐⇒ B = B. Mas aun, de esto sedesprende la relacion

(2.1) X\B = X\B, (X\A) = X\A

Ejemplo 1.27 (El interior de Q). Sea R con al toplogıa usual, consid-eremos los racionales Q y sea U ⊂ R abierto. Dado que (a, b) ⊂ Uy ademas (a, b) contiene un numero irracional, se tiene que (a, b) ∩(R\Q) 6= ∅ y por tanto U 6⊂ Q por lo que Q = ∅. J

El siguiente ejemplo se usara en el Teorema de Baire (5.54):

Ejemplo 1.28. Decir que E tiene interior vacıo significa que el unicoabierto contenido en el es el conjunto vacio. De manera equivalente,y usando la relacion (2.1) de arriba se sigue que E = ∅ ⇐⇒ X\Ees denso en X. J

Ejemplo 1.29. Para cualesquiera a < b numeros reales, se tiene(a, b) = (a, b] = [a, b) = [a, b],[a, b] = [a, b) = (a, b] = (a, b). J

Algunas propiedades del interior:(1) A ∪ B ⊂ (A ∪ B)

(2) A ∩ B = (A ∩ B)

La frontera de B es el conjunto cerrado definido como

∂B = B\B = B ∩ X\B = B ∩ (X\B)

Es decir, los puntos de la frontera ∂B son puntos de adherencia paraB y para X\B.

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2. NOCIONES GEOMETRICAS 17

Ejemplo 1.30. Tomemos R con la topologia usual. Para cualesquieraa < b se tiene:

∂[a, b] = ∂(a, b) = a, b,como era de esperarse.J

Sean X espacio topologico y x ∈ X. Decimos que U ⊂ X es unavecindad de x si existe abierto V tal que x ∈ V ⊂ U. Es decir, x espunto interior de U. Denotemos por I(x) a la familia de vecindadesde x. Por definicion se tiene

A = x ∈ A | A ∈ I(x)

En estos terminos se puede ver que A es abierto ⇐⇒ es vecindadde cada uno de sus puntos. Notemos que la familia I(x) satisface:

U ∈ I(x), U ⊂ V ⇒ V ∈ I(x)U, V ∈ I(x)⇒ U ∩V ∈ I(x)

Vease Lema 3.20 en [Manetti].

Lema 1.31. Sea B ⊂ X, con X espacio topologico. Un punto xpertence a B si y solo si U ∩ B 6= ∅, para toda vecindad U ∈ I(x).

Dem. Caracterizaremos a los puntos que no estan en B:

x 6∈ B⇐⇒ x ∈ (X\B) ⇐⇒ ∃U ∈ I(x), U ⊂ X\B

El resultado se sigue por el argumento opuesto.

Dado x ∈ X decimos que una familia J ⊂ I(x) es una baselocal en x si para cualquier U ∈ I(x) existe A ∈ J tal que A ⊂ U.

Si B es base para una topologia, los abiertos de B que contienena x forman una base local en x. Notemos que para cualquier x ∈ Xse tiene que X ∈ I(x). Ademas, si U ∈ I(x) existe V ⊂ U tal quex ∈ V y V ∈ I(y) para cualquier y ∈ V. Estas propiedades y lasdadas arriba prueban el siguiente

Teorema 1.32. Sea X conjunto y para cada x ∈ X consideremosI(x) la familia de vecindades de x. Definamos U ⊂ X abierto⇐⇒ U ∈ I(x), para cualquier x ∈ U. Entonces τ = U ⊂X | U abierto es una topologia para X.

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Ası, las familias de vecindades determinan una topologıa y vicev-ersa; vease Ejercicio 3.14 de [Manetti].

Con lo expuesto anteriormente, podemos definir uno de los pri-meros axiomas de separacion para espacios topologicos, introduci-dos por H. Tietze bajo el nombre de Trennbarkeitaxiome: decimos queun espacio es T1 si todo subconjunto finito es cerrado. En realidad,esta definicion es equivalente la definicion original (=todo punto escerrado).

Lema 1.33. Un espacio X es T1 si y solo si

x =⋂

Ui∈I(x)

Ui

para cada x ∈ X.

Dem. ⇒ Hagamos U = ∩Ui y supongamos que existe y ∈ Ucon y 6= x; de aqui se sigue que y ∈ Ui, ∀i. Como X es T1 setiene que X\x, X\y son abiertos y ademas x ∈ X\y. AsiX\y ∈ I(x) y por lo tanto y ∈ X\y, lo cual no puede ser.

Ejercicio 1.34. Pruebe que la implicacion inversa del resultadoanterior. Este es el Ejercicio 3.12 de [Manetti].

4! Notemos que todo espacio topologico dotado de la topologıatrivial y con al menos dos elementos no puede ser T1. Otras propiedadesde espacios T1 seran dadas mas adelante. J

3. Continuidad

Sean (X, τ1), (Y, τ2) espacios topologicos. Una funcion f : X →Y es continua si para cualquier abierto A ∈ τ2 la pre-imagen f−1(A) ∈τ1. Como veremos en lo que sigue, esta simple definicion generalizael concepto de continuidad para funciones entre espacios metricos.

Recordemos que dada una funcion f : X → Y entre conjuntos secumple

f−1(Y\A) = X\ f−1(A), f−1(∪Ai) = ∪ f−1(Ai)

http://www.uibk.ac.at/mathematik/personal/reitberger/vietoris_tietze.pdf

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3. CONTINUIDAD 19

De aqui se obtiene: f : X → Y continua ⇐⇒ para todo cerradoC ∈ Y la preimagen f−1(C) es cerrado. Ademas, dada B base paraτ2, la funcion f es continua⇐⇒ para cualquier B ∈ B, f−1(B) ∈ τ.

Ejemplo 1.35. La funcion identidad id : (X, τ) → (X, τ) es siemprecontinua. Sin embargo, si se cambia la topologia esto ya no es cierto:tomemos X = R, τ1 topologia usual y τ2 topologia semi-abierta.Notemos que

id−1[0, 1) = [0, 1)que no es un abierto en la topologia usual. J

La continuidad de una funcion depende de la topologıa de losespacios involucrados

Teorema 1.36. Sean τ1, τ2 topologıas en X. La funcion identidadid : (X, τ1)→ (X, τ2) es continua⇐⇒ τ1 es mas fina que τ2.

Este resultado es de gran importancia para construir topologıasque cumplan ciertas propiedades; vease Proposicion 2.10 en [McCleary]y Ejercicio 3.18 en [Manetti].

Por otro lado, directo de las definiciones se tiene que toda fun-cion (X, discreta) → Y es continua al igual que toda funcion X →(Y, trivial) tambien es continua. Por otro lado, cualquier funcionconstante es continua, no importando las topologias involucradas.

Lema 1.37. Sea f : X → Y funcion entre espacios topologicos.Entonces f es continua⇐⇒ se tiene f (A) ⊂ f (A), para cualquierA ⊂ X.

Dem. ⇒ Notemos que para A ⊂ X cualquiera A ⊂ f−1( f (A)),este ultimo cerrado. Ası A ⊂ f−1( f (A)) o equivalentemente

f (A) ⊂ f (A)

⇐ Supongamos que f (A) ⊂ f (A) para todo A ⊂ X y hagamosA = f−1(C) para C ⊂ Y cerrado. Obtenemos

f ( f−1(C)) ⊂ C = C

De donde f−1(C) ⊂ f−1(C) y como la contencion inversa siemprese da., se tiene que f−1(C) = f−1(C) y f−1(C) es cerrado.

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Notemos que este resultado define la continuidad de una funcionen terminos de puntos de adherencia, de cercania entre puntos ysubconjuntos, que es la nocion usual de continuidad en espaciosmetricos como los espacios euclidianos Rn.

Otra manera de determinar la continuidad de una funcion:

Lema 1.38. Sean X, Y espacios topologicos y P subbase para Y.Entonces f : X → Y es continua⇐⇒ f−1(U) es abierto, para todoU ∈ P .

Dem. La demostracion es inmediata al notar que f−1 conmutacon uniones e intersecciones; vease [Manetti, Lema 7.3].

Observando que para funciones f : X → Y, g : Y → Z setiene que f−1(g−1(A)) = (g f )−1(A), se obtiene que composicionde funciones continuas es continua.

Decimos que f : X → Y entre espacios topologicos es continuaen x ∈ X si para cualquier U ∈ I( f (x)) existe V ∈ I(x) tal quef (V) ⊂ U.

Teorema 1.39. Una funcion f : X → Y es continua ⇐⇒ es con-tinua en todo x ∈ X.

Dem. ⇒ Sea U ∈ I( f (x)). Por definicion existe abierto f (x) ∈A ⊂ U. Tomemos V = f−1(A) y observemos que es una vecindadde x y ademas f (V) ⊂ U.⇐ Supongamos f continua en todo punto y tomemos A ⊂ Y

abierto. Probaremos que f−1(A) es vecindad de cada uno de suspuntos (= es abierto). Tomemos x ∈ f−1(A) entonces A es vecin-dad de f (x) por lo que existe vecindad V de x tal que f (V) ⊂ A.Equivalentemente, V ⊂ f−1(A) y por tanto f−1(A) es vecindad dex.

Un homeomorfismo es una funcion biyectiva continua f : X → Ycon inversa continua g : Y → X. Dos espacios X, Y son homeomor-fos si existe un homeomorfismo entre ellos. Notacion: X ∼= Y.

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3. CONTINUIDAD 21

Lema 1.40. La relacion de homeomorfismo ∼= es una relacion deequivalencia.

Dem. Debemos probar que• X ∼= X• Si X ∼= Y entonces Y ∼= X• Si X ∼= Y, Y ∼= Z entonces X ∼= Z.

La primera parte se obtiene inmediatamente pues la identidad essiempre continua (ver Ejemplo 1.35). La segunda parte es ciertapues si f : X → Y es homeomorfismo, su inversa f−1 : Y → Xtambien lo es. Finalemte notemos que la composicion de homeo-morfismos es un homeomorfismo.

Por el resultado anterior, dado un espacio X, la operacion decomposicion define el grupo de homeomorfismos Top(X) de X. Ver-emos mas propiedades de este grupo en la Seccion 6

Haremos una caracterizacion de los homeomorfismos, para locual necesitamos los siguientes conceptos: una funcion es abiertasi f (A) es abierto para todo A ⊂ X abierto. Es cerrada si f (C) escerrado para todo C ⊂ X cerrado.

Lema 1.41. Sea f : X → Y funcion continua. Entonces las sigu-ientes condiciones son equivalentes:

(1) f es homeomorfismo(2) f es cerrada y biyectiva(3) f es abierta y biyectiva.

Dem. Como todo homeomorfismo es biyectivo, basta probar lascondiciones de ser cerrada y abierta.(1)⇒ (2) Sea g : Y → X la inversa continua de f . Para C ⊂ Xcerrado tenemos f (C) = g−1(C), que es cerrado.(2)⇒ (3) Tomemos A ⊂ X abierto y consideremos C = X\A cer-rado. Como f es biyectiva, f (A) = f (X\C) = Y\ f (C), que esabierto.(3)⇒ (1) Sean g : Y → X la inversa de f y A ⊂ X abierto. Observe-mos que g−1(A) = f (A), que es abierto y por tanto g es continua.

Ejemplo 1.42. La funcion arctan : R → (−π/2, π/2) es claramenteun homeomorfismo pues es continua y su inversa tan es tambiencontinua; ası R ∼= (−π/2, π/2). J

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Llamamos propiedad topologica de un espacio X a aquella quese preserva bajo homeomorfismos; es decir, aquella propiedad deX tal que cualquier espacio Y ∼= X tambien la tiene. Por el ejem-plo anterior vemos que la propiedad de tener longitud infinita noes una propiedad topologica. Tambien la cardinalidad de un con-junto es una propiedad topologica pues todo homeomorfismo esuna funcion biyectiva.

Ejemplo 1.43. Sea Dn el disco unitario en Rn (el conjunto de vec-tores de norma ≤ 1). Definamos F : Dn → Rn como F(x) = x

1−|x|2 ynotemos que

|F(x)| = |x|1− |x|2 → ∞, cuando |x| → 1

La funcion F es un homeomorfismo con inversa dada por

y 7→ 2y1 +

√1 + 4|y|2

Ası, Dn ∼= Rn mostrando que la propiedad de ser acotado no esuna propiedad topologica. J

Ejemplo 1.44. Sea Sn la esfera unitaria en Rn (el conjunto de vec-tores de norma = 1) y tomemos

C = (x, y, z) ∈ R3 | max(|x|, |y|, |z|) = 1

el cubo centrado en el origen de lado de longitud 2. Consideremosla funcion γ : C → S2 que proyecta cada punto de C radialmentehacia la esfera; en formulas:

γ(x, y, z) =(x, y, z)√

x2 + y2 + z2

La funcion γ es un homeomorfismo con inversa:

γ−1(x, y, z) =(x, y, z)

max(|x|, |y|, |z|)

Este ejemplo muestra que la propiedad de tener esquinas no es unapropiedad topologica. J

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4. ESPACIOS METRICOS 23

Figura 2. “Tener esquinas” no es una propiedad topologica

4. Espacios metricos

Un espacio metrico es un conjunto no vacio X dotado de unafuncion distancia d : X× X → R que satisface:

• d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) = 0⇐⇒ x = y.• d(x, y) = d(y, x)• (Desigualdad del Triangulo) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Ejemplo 1.45. Para cualquier conjunto X la funcion

d(x, y) =

0, x = y1, x 6= y

define una funcion distancia en X. J

Ejemplo 1.46. La recta R es un espacio metrico con funcion distan-cia dada por d(x, y) = |x− y|. Para Rn se define:

d(x, y) =√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2

Esta distancia euclidiana se extiende al espacio complejo Cn = R2n

y se define por

d(x, y) =√|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2 + · · ·+ |xn − yn|2,

para x, y ∈ Cn.J

Ejemplo 1.47 (Metrica acotada). Sea (X, d) espacio metrico y defi-namos

d : X× X −→ R, d(x, y) = min(1, d(x, y))

Esta funcion define una metrica en X llamada la metrica acotada; eltermino acotado se debe a que d ≤ 1 ([Manetti, p. 51]. [Munkres,Thm.20.1]).J

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Ejemplo 1.48. El espacio euclidiano tiene otras metricas:

d1(x, y) =n

∑i=1|xi − yi|, d∞(x, y) = max

i |xi − yi|

En Analisis (Funcional) es de gran importancia la relacion entre es-tas metricas y la usual:

d∞(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d1(x, y) ≤ n d∞(x, y).

Dado un espacio metrico X el conjunto

Br(x) = y ∈ X | d(x, y) < r

es llamada la bola abierta de radio r con centro en x. El termino“bola” no es siempre el mas adecuado debido a que Br(x) puede noser algo esferico, dependiendo de la funcion distancia.

Dada la funcion distancia en un conjunto X consideremos U ⊂ Xtales que para todo x ∈ U, existe r > 0 tal que Br(x) ⊆ U.

Teorema 1.49 (Topologıa metrica). Bajo las condiciones de ar-riba, la coleccion τ = U ⊂ X | U abierto define una topologia enX.

Dem. Las tres condiciones en la definicion de topologıa se cumplende forma inmediata; vease [Manetti, p.51].

Ejemplo 1.50. Consideremos Rn, Cn con la distancia euclidiana delEjemplo 1.46. La topologia metrica inducida por esta funcion coin-cide con la topologıa euclidiana vista previamente. J

Lema 1.51. Para la topologia metrica inducida en un conjunto X setiene

(1) Bolas abiertas son subconjuntos abiertos.(2) Un subconjunto es abierto⇐⇒ es union de bolas abiertas.

Ası, la coleccion de bolas abiertas forma una base para latopologıa metrica.

(3) Un subconjunto U es una vecindad de x si y solo si contieneuna bola abierta centrada en x.

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4. ESPACIOS METRICOS 25

Dem. (1) Tomemos y ∈ Br(x) y tomemos s = r− d(x, y). Note-mos que si d(y, z) < s entonces d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < r por loque Bs(y) ⊆ Br(x), lo que prueba la afirmacion.(2) Notemos que la implicacion ⇐ se sigue del inciso anterior. Porotro lado, dado U para cada x ∈ U tomamos r(x) > 0 tal queBr(x)(x) ⊆ U; de aquı tenemos que U = ∪x∈UBr(x)(x).(3) Si Br(x) ⊆ U se tiene que U es vecindad (pues la bola abiertaes abierto). Por otro lado, si U es vecindad de x, existe abierto Atal que x ∈ A ⊆ U; mas aun, existe Br(x) ⊆ A ⊆ U, para algunr > 0.

La definicion clasica de continuidad es compatible con la dadaanteriormente en el contexto de la topologıa metrica:

Lema 1.52. Sea f : (X, d)→ (Y, h) funcion entre espacios metricosy x ∈ X. La funcion f es continua en x ⇐⇒ ∀ε0 ∃δ > 0 tal qued(x, y) < δ implica que h( f (x), f (y)) < ε.

Dem. Vease [Manetti, Thm.3.46].

Ejemplo 1.53. Sean (X, d) espacio metrico, ∅ 6= Z ⊆ X y definimos

dZ : X −→ R, dZ(x) = infz∈Z

d(x, z)

Probaremos que dZ es funcion continua. De la definicion de ınfimo,∀ε > 0, ∃z ∈ Z tal que dZ(x) + ε ≥ d(x, z); en particular,

dZ(y) ≤ d(z, y) ≤ d(z, x) + d(x, y) ≤ dZ(x) + ε + d(x, y)

De aquı dZ(y)− dZ(x) ≤ ε + d(x, y)⇒ dZ(y)− dZ(x) ≤ d(x, y). Dela misma forma se obtiene dZ(x)− dZ(y) ≤ d(x, y) y por tanto

|dZ(x)− dZ(y)| ≤ d(x, y)

Finalmente, la continuidad se sigue tomando δ = ε en el Lema 1.52de arriba.J

Corolario 1.54. Sean d, h metricas en X. Entonces la topologıainducida por d es mas fina que la inducida por h⇐⇒ ∀x ∈ X ∀ε >0 existe δ tal que d(x, y) < δ implica que h(x, y) < ε.

Dem. Observemos que la topologıa inducida por d es mas finaque la de h ⇐⇒ la funcion identidad (X, d) → (X, h) es continua;vease Ejercicio 1.14.

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Dos metricas en un conjunto X son llamadas equivalentes si am-bas inducen la misma topologıa metrica en X. Por ejemplo, lastopologıas inducidas por d, d son las mismas ([Munkres, p.122])por lo que son metricas equivalentes.

Un espacio topologico X es llamado metrizable si su topologıaesta inducida por cierta metrica en X. Ser metrizable es una propiedaddeseable en un espacio debido a que la presencia de una metrica haceal espacio mas manejable; ası , se buscara hallar condiciones bajo lascuales un espacio es metrizable como el Lema de Urysohn (ref??):todo espacio normal y 2do numerable es metrizable.

Ejemplo 1.55. Sea (X, d) espacio metrico. Para a ∈ R positivo, lafuncion d′(x, y) = ad(x, y) es una metrica equivalente a d.J

Corolario 1.56. Sean d, h metricas en X y a, c reales positivos. Sipara cualesquiera x, y ∈ X

d(x, y) ≥ min(a, h(x, y))c

,

entonces la topologıa inducida por d es mas fina que la inducida porh.

Dem. Dado ε > 0 cualquiera tomamos δ = mina/c, ε/c. elresultado se sigue aplicando el Corolario 1.54 y las hipotesis.

Corolario 1.57. La metrica d y su asociada acotada d son metricasequivalentes.

Dem. Observemos que por definicion se tiene

d(x, y) ≥ min(1, d(x, y))1

, d(x, y) ≥ min(1, d(x, y))1

Usando el corolario anterior el resultado se sigue.

Ejemplo 1.58. Sean (X, h), (Y, k) espacios metricos y f : [0, ∞)2 → R

una funcion tal que• Para 0 ≤ c1 ≤ a1 + b1, 0 ≤ c2 ≤ a2 + b2 se tiene que

0 ≤ f (c1, c2) ≤ f (a1, a2) + f (b1, b2)

• f (a, b) = 0⇐⇒ a = b = 0. J

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5. TOPOLOGIAS RELATIVA Y PRODUCTO 27

Ejercicio 1.59. Bajo las hipotesis de arriba, pruebe que la funciond : (X×Y)× (X×Y)→ R dada por

d((x1, y1), (x2, y2)) = f (h(x1, x2), k(y1, y2))

es una funcion distancia en X×Y.

Decimos que un subespacio A ⊆ X de un espacio metrico esacotado si existe M ∈ R tal que

d(a, b) ≤ M, ∀a, b ∈ A

5. Topologıas relativa y producto

Debido a que muchos objetos de interes son subconjuntos dealgun espacio euclidiano Rn es preciso definir una topologia paraun subconjunto de algun espacio topologico en general.

Sea Y ⊂ X subconjunto y definamos en el una topologia medi-ante: U ⊂ Y es abierto⇐⇒ existe V ⊂ X abierto tal que U = Y ∩V.Es inmediato observar que la coleccion τY = U ⊂ Y | abierto en Yes una topologia. La topologia τY se llama la topologıa relativa ola topologıa del subespacio.

Como antes, la topologia puede describirse en termino de cerra-dos: C ⊂ Y es cerrado⇐⇒ existe V ⊂ X cerrado tal que C = Y ∩V.Directo de la definicion se tienen las siguientes propiedades

• Si B es una base para X, entonces

BY = B ∩Y | B ∈ Bes una base para τY.• La topologıa relativa es la mas pequena (gruesa) que hace

a la funcion inclusion i : Y → X continua. (el que seacontinua con esa topologia es muy sencillo pues i−1(A) =Y ∩ A, ∀A ∈ τ).

Ejemplo 1.60 (Esferas). Sea n ≥ 1 y consideremos el subsespacioSn−1 ⊂ Rn dado por

Sn−1 = x ∈ Rn | ||x|| = 1

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Observemos que S0 = +1,−1 ⊂ R. Al considerar bolas abiertasen R2 y tomando la interseccion con S1 se obtiene que los abiertospara S1 son segmentos curvos abiertos.J

Ejemplo 1.61. Tomemos el cilindro C = S1 × [0, 1] ⊂ R3 y observe-mos que sus abiertos son discos ligeramente curveados obtenidos alintersectar bolas abiertas de R3 con C. J

Ejemplo 1.62 (Subespacios metricos). Si (X, d) es espacio metrico yY ⊂ X, entonces la restriccion dY induce una estructura de espaciometrico en Y. Ademas, la topologia metrica inducida por dY en Ycoincide con la topologia de Y como subespacio, la razon: toda bolaabierta en Y es la inteseccion de una bola abierta de X intersectadacon Y. J

Decimos que un subespacio Y de X es discreto si su topologiarelativa es la discreta. En otros terminos: Z ⊂ X es discreto ⇐⇒para z ∈ Z existe abierto U ⊂ X tal que U ∩ Z = z.

Ejemplo 1.63. Los numeros enteros Z son un subespacio discretode R. Los racionales Q no lo son debido a que son densos en R. J

Ejemplo 1.64. Tomemos el subconjunto discreto C = 1/n | n ∈N ⊂ R y notemos que C = C ∪ 0, que no es discreto. Asi, lacerradura de un discreto no necesariamente es discreto. J

Teorema 1.65. Sean X, Y, Z espacios topologicos, i : Y → X in-clusion y f : Z → Y funcion. Entonces la composicion i f : Z →X es continua⇐⇒ f es continua.

Dem. ⇒ Supongamos i f continua y tomemos A ⊂ Y abierto.Por definicion existe abierto U ⊂ X tal que A = Y ∩U; de aqui setiene que f−1(A) = (i f )−1(U), que es un abierto.⇐ Como i es continua, i f tambien lo es.

Consideremos X, Y espacios topologicos y Z subconjuntos talesque Z ⊂ Y ⊂ X. Observemos que

• Si Y es abierto, entonces Z abierto en Y ⇐⇒ Z abierto en X

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• Si Y es cerrado, entonces Z cerrado en Y ⇐⇒ Z cerrado enX

Estas afirmaciones son los incisos 1 y 2 del Lema 3.56 de [Manetti].

Lema 1.66. Bajo las condiciones anteriores supongamos que Y esvecindad de y. Entonces Z es vecindad de y en Y⇐⇒ Z es vecindadde y en X.

Dem. Por hipotesis, supongamos que existe U abierto en X talque y ∈ U ⊂ Y. ⇒ Si Z es vecindad de y existe V abierto en Y talque y ∈ V ⊂ Z. Notemos que U ∩V es abierto en U y por lo tantolo es en X; ademas y ∈ U ∩V ⊂⊂ Z.⇐ Supongamos V abierto en X tal que y ∈ V ⊂ Z. Entonces

V = V ∩Y es abierto en Y tambien.

Supongamos que f : X → Y es funcion continua e inyectivay tomemos Z = f (X), la imagen de f ; notemos que la funcioninducida f ′ : X → Z es claramente biyectiva. Si f ′ resulta un home-omorfismo, entonces f se llama una inmersion. Equivalentemente,f es una inmersion si todo abierto U ⊆ X tiene la forma f−1(A),para algun abierto A ⊆ Y.

Ejemplo 1.67. No toda funcion inyectiva y continua es una inmersion:tomemos la funcion identidad

id : (R, τ) −→ (R, τtrivial)

y observemos que es continua, inyectiva pero no inmersion debidoa los abiertos de las topologıas propuestas. J

Figura 3. Inmersion clasica de la botella de Klein enR3. La imagen fue tomada de la pagina web de K.Polthier

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A continuacion presentamos un resultado que permite obteneruna funcion continua a partir de dos funciones continuas dadas:

Lema 1.68 (del Pegado). Sean F, F′ ⊂ X cerrados y f : F →Y, f ′ : F′ → Y funciones continuas cuyas restricciones a F ∩ F′

coinciden. Entonces la funcion h : F ∪ F′ → Y dada por

h(x) =

f (x), x ∈ Ff ′(x), x ∈ F′

es continua.

Dem. Basta observar que la pre-imagen de cualquier cerradoB ⊂ Y es un cerrado de X.

En el resultado anterior puede sustituirse la propiedad de cerra-dos por abiertos.

Lema 1.69. Si f : X → Y es homeomorfismo, entonces f induce unhomeomorfismo de la forma X\x ∼= Y\ f (x).

Dem. El resultado se sigue de manera inmediata ([McCleary]):la restriccion f ′ : X\x → Y\ f (x) es una biyeccion, donde cadasubespacio tiene la topologıa de subespacio. La funcion f ′ es con-tinua pues cada abierto en Y\ f (x) es la interseccion de un abiertoV de Y con el complemento Y\ f (x) y la pre-imagen de dichoabierto es la interseccion de f−1(V) con el complemento X\x elcual es un abierto relativo. De la misma manera se prueba que lainversa de f ′ es continua.

Una inmersion cerrada es una inmersion que tambien es unafuncion cerrada. De manera respectiva se define una inmersionabierta.

Lema 1.70. Sea f : X → Y continua. Si f es cerrada y 1-1,entonces f es inmersion cerrada.

Dem. Sea C ⊂ X cerrado. Entonces f (C) ⊂ Y es cerrado y porlo tanto tambien cerrado en la top. relativa a f (X). De aqui se tieneque f : X → f (X) es continua, biyectiva y cerrada. El resultado sesigue del Lemma 1.41.

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El resultado anterior es valido sustituyendo la propiedad de sercerrada por la de ser abierta; vease [Manetti, Lema3.59].

4! Existen inmersiones que no son funciones cerradas, ni abier-tas. Mas aun, una inmersion f : X → Y es cerrada (abierta) ⇐⇒f (X) es cerrado (abierto) en Y.

Sean X × Y espacios topologicos y consideremos el productocartesiano:

X×Y = (x, y) | x ∈ X, y ∈ YDaremos una topologia a X×Y de manera que las proyecciones

pX : X×Y → X, (x, y) 7→ xpY : X×Y → Y, (x, y) 7→ y

sean funciones continuas. Primero notemos que para U ⊂ X, V ⊂ Yabiertos, se tiene

(5.1) p−1X (U) = U ×Y, p−1

Y (V) = X×V

Definimos la topologıa producto en X × Y como la topologiamas gruesa (pequena) entre aquellas que hacen a pX, pY contin-uas. Dicha topologıa existe pues la coleccion de topologıas talesque pX, pY son funciones continuas es no vacıa pues al menos latopologıa discreta es una de ellas. De la observacion anterior pode-mos dar una base para tal topologıa:

Lema 1.71. La coleccion B = U ×V | U ⊂ X, V ⊂ Y abiertosforma una base para la topologıa producto.

Dem. Sea τ topologia producto. Usaremos el criterio 1.12 paraprobar el resultado. Observemos que

(U1 ×V1) ∩ (U2 ×V2) = (U1 ∩U2)× (V1 ∩V2)

Asi, B forma una base para alguna topologia τ′.La continuidad de las proyecciones pX, pY se sigue de las relaciones5.1 y de observar que U×Y, X×V son elementos de B. Esto pruebaque τ ⊂ τ′. Por otro lado, consideremos U ⊂ X, Y ⊂ Y abiertos yobservemos que

U ×V = p−1X (U) ∩ p−1

Y (V) ∈ τ,

pues τ hace que las proyecciones sean continuas; de aquı se sigueque cualquier abierto de τ′ es union de abiertos en la topologıaproducto τ, es decir, τ′ ⊂ τ y resultado se obtiene.

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La coleccion del resultado anterior es llamada la base canonicade la topologıa producto.

Lema 1.72. Las proyecciones pX, pY son funciones abiertas.Ademas, para cada (x, y) ∈ X×Y las restricciones

py : X× y −→ X, px : x ×Y −→ Y,

son homeomorfismos.

Dem. Tomemos A ⊂ X×Y abierto y notemos que

A =⋃

y∈YA ∩ (X× y)

por lo que pX(A) =⋃

pX(A ∩ (X × y)). Haciendo A = ∪i(Ui ×Vi) notamos que

A∩X×y = (∪i(Ui∩X))× (∪i(Vi∩y)) =∪i(Ui × y), y ∈ Vi

∅, y /∈ Vi

con cada uno de los terminos abierto en X; luego, pX(A) es abierto.

Por otro lado recordemos que un homeomorfismo es una relacionbiyectiva a nivel de conjuntos pero tambien entre las colecciones deabiertos de los respectivos espacios. Asi, para probar el resultadobasta hallar tal biyeccion. Notemos que los abiertos de X× y sonde la forma

(U ×V) ∩ (X× y) =

U × y, y ∈ V∅, y /∈ V

La relacion U × y 7→ U es la biyeccion buscada.

Lema 1.73. Una funcion f : Z → X × Y es continua ⇐⇒ suscomponentes

f1 = pX f : Z −→ X, f2 = pY f : Z −→ Y,

son continuas.

Dem. ⇒ Se sigue de manera inmediata.⇐ Debido a que f−1(∪(Ui × Vi)) = ∪ f−1(Ui × Vi) basta probar

que la pre-imagen de un elemento de la base B es abierto. Mas aun,dado U ×V ∈ B basta ver que

f−1(U ×V) = f−11 (U) ∩ f−1

2 (V)

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lo cual es facil de verificar.

Mediante induccion es posible dotar al producto cartesiano finito

X1 × X2 × · · · × Xn

de la topologia producto, definida como la mas gruesa que hacea cada una de las proyecciones X1 × · · · × Xn → Xi una funcioncontinua. Esta topologia tiene por base la coleccion

B = U1 × · · · ×Un | Ui ⊂ Xi, abiertoy ademas una funcion f : Z → X1 × X2 × · · · × Xn es continua⇐⇒cada componente fi = pXi f es continua.

Ejemplo 1.74. La topologia euclidiana en Rn coincide con la topolo-gia producto para R× · · · ×R (n veces). Ası, como se ve en cursosde calculo, una funcion f : Z → Rn es continua ⇐⇒ cada una desus funciones coordenadas (componentes) es continua. J

Figura 4. Una (pequena) tabla de multiplicacion deespacios tomada de www.math3ma.com

Ejercicio 1.75. Consideremos la semi-esfera

Sn+ = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 | x2

1 + · · ·+ x2n+1 = 1, xn+1 ≥ 0

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Pruebe que Sn+ es homeomorfo a Dn el disco unitario en Rn.

Hint: considere la inclusion Rn ⊂ Rn+1 y la respectiva proyeccion.

Es posible extender la nocion de topologia producto a una can-tidad infinita de espacios generalizando el caso anterior. De maneranatural surgen dos opciones para hacerlo: con la topologıa de caja(box topology) y la topologıa producto. Existen algunas sutilezasen ambas definiciones pero al final, debido a algunos ejemplos sen-cillos, se prefiere la topologia producto sobre la topologia de caja.Vease [McCleary, p. 6-7].

Ejemplo 1.76. No todas las proyecciones son cerradas. Sea p1 :R2 → R proyeccion en el primer factor y tomemos la hiperbola

C = (x, y) ∈ R2 | xy = 1

Para la funcion continua f (x, y) = xy− 1 el conjunto C es su con-junto de ceros: C = f−1(0), por lo que C es cerrado. Por otro ladonotemos que p1(C) = R\0, que claramente no es cerrado. J

6. Espacios Hausdorff

Recordemos que en Rn, o en cualquier espacio metrico, todosubconjunto x es cerrado debido a que alrededor de cualquierotro punto es posible definir una bola abierta que no incluya a x.Mas aun, cualesquiera dos puntos distintos en Rn siempre es posi-ble hallarles vecindades disjuntas.

La propiedad anterior tiene consecuencias importantes como launicidad del limite de una sucesion, por lo que se desea que losespacios topologicos tambien la tengan. Sin embargo, no siemprese tiene:

Ejemplo 1.77. Tomemos X = 1, 2, 3 con

τ = ∅, 1, 2, 3, X

En este caso los puntos 2, 3 no tienen vecindades ajenas, de hecho,todo abierto que contiene a uno contiene al otro tambien. Mas aun,el elemento 2 no es cerrado, a diferencia de lo que ocurre en Rn.J

http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%3D1&dataset=

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6. ESPACIOS HAUSDORFF 35

Por el ejemplo anterior es preciso considerar espacios topologicosque contengan suficientes abiertos: X es un espacio Hausdorff o T2si para x 6= y ∈ X existen vecindades U ∈ I(x), V ∈ I(y) tales queU ∩V = ∅.

Ejemplo 1.78. Un conjunto con al menos dos elementos y dotado dela topologia trivial no es Hausdorff. Cualquier espacio metrico esHausdorff: ∀x, y ∈ X tomamos r con 0 < r < d(x, y)/2 y notamosque Br(x) ∩ Br(y) = ∅. J

Ejemplo 1.79. La recta real R con la topologıa cofinita no es unespacio Hausdorff; vease Ejercicio 1.36 en [Adams& Franzosa].J

Ejemplo 1.80. Recordemos (Ejemplo 1.8) que para x0 ∈ X la coleccion

τ = A ⊂ X | x0 /∈ A o X\A finito forma la Topologıa de Fort para X; con esta topologıa X es Hausdorff.J

Lema 1.81. En un espacio Hausdorff todo subconjunto finito es cer-rado.

Dem. Basta ver que x es cerrado. Tomemos y ∈ X\x. Porser Hausdorff existen vecindades U ∈ I(x), V ∈ I(y) tales queU ∩ V = ∅. De aqui se siue que V ⊂ X\x y por lo tanto X\xes abierto.

En particular, todo espacio T2 es T1.

Teorema 1.82. La propiedad de ser Hausdorff se hereda a productosfinitos y subespacios.

Dem. Sean X, Y espacios Hausdorff. P.D. W ⊂ X y X × Y sontambien espacios Hausdorff.Tomemos x, y ∈ W. Como X es Hausdorff existen abiertos U, Vtales que

x ∈ U, y ∈ V, U ∩V = ∅Note U∩W, V ∩W son abiertos en W que muestran que W es Haus-dorff.

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Ahora tomemos (x, y), (z, w) ∈ X × Y con z 6= x. Por hipotesis ex-isten abiertos U, V tales que x ∈ U, z ∈ V. De aqui que (x, y) ∈U ×Y, (z, w) ∈ V ×Y, donde se tiene

(U ×Y) ∩ (V ×Y) = (U ∩V)×Y = ∅.

El siguiente resultado se obtiene directamente de la definicion

Lema 1.83. Sean X Hausdorff y x1, x2, . . . , xn puntos distintos deX. Entonces existe una cantidad finita de abiertos U1, U2, . . . , Untales que

xi ∈ Ui, Ui ∩Uj 6= ∅, ∀i 6= j

Dem. Para cada i, j podemos hallar abiertos Uij, Uji tales que

xi ∈ Uij, xj ∈ Uji, Uij ∩Uji = ∅

El resultado se sigue el definir, para cada i = 1, 2, . . . , n, el abiertoUi = ∩Uij | j 6= i.

Para X espacio topologico definimos su subespacio diagonalcomo

4X = (x, x) ∈ X× X | x ∈ XComo veremos a continuacion el subespacio 4X es de gran impor-tancia para la propiedad de ser Hausdorff.

Teorema 1.84. X es Hausdorff⇐⇒ 4X ⊂ X× X es cerrado.

Dem. ⇒ Tomemos (x, y) ∈ X × X\4X. Como x 6= y existenabiertos U, V disjuntos tales que x ∈ U, y ∈ V; de aqui tenemos que

(x, y) ∈ U ×V ⊂ X× X\4X

De aqui que X× X\4X es abierto.⇐ Tomemos (x, y) ∈ X × X\4X. Existen U, V ⊂ X abiertos tales

que x ∈ U, y ∈ V y ademas U ∩V = ∅.

Ejemplo 1.85. Por el teorema anterior, el complemento

F(X, 2) = (X× X)\4X

es abierto si X es Hausdorff. Dicho espacio parametriza dos partıculasmoviendose en X sin colisionar. De manera similar puede definirseel espacio F(X, k), llamado el k-esimo espacio de configuracion deX; el espacio F(X, k) es un punto de encuentro entre diversas areas

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6. ESPACIOS HAUSDORFF 37

de trabajo de las matematicas modernas: grupos de trenzas, ge-ometrıa combinatoria, espacios de funciones y topologıa robotica,por citar algunas.J

Lema 1.86. Tomemos f , g : X → Y funciones continuas con YHausdorff. Entonces el conjunto C = x ∈ X | f (x) = g(x) escerrado de X.

Dem. Consideremos la funcion

F : X −→ Y×Y, x 7−→ ( f (x), g(x))

que es continua por hipotesis. El resultado se sigue de observar queC = F−1(4Y), que es cerrado por el resultado previo.

Sea f : X → X funcion continua. Decimos que x0 ∈ X es unpunto fijo de f si f (x0) = x0.

Ejemplo 1.87. Por el resultado anterior, si X es Hausdorff, el con-junto de puntos fijos de una funcion continua f : X → X es cerradoal tomar g = id, Y = X.J

Decimos que un espacio X tiene la propiedad del punto fijo sitoda funcion f : X → X tiene al menos un punto fijo.

Ejercicio 1.88. Pruebe que tener la propiedad del punto fijo esuna propiedad topologica.

La Teorıa del Punto Fijo es una rama de la Topologıa dedi-cada a determinar las condiciones bajo las cuales un espacio tiene lapropiedad del punto fijo. Esta rama tiene aplicaciones en Economıay Teorıa de Juegos, por citar algunas areas; vease [Adams& Franzosa,Cap.10].

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CAPITULO 2

Conexidad

Conexidad es la primera propiedad topologica de gran importancia den-tor de la Topologıa. Aunque la idea detras de conexidad es sencilla (serconexo significa estar hecho de una sola parte) su definicion en terminosconjuntistas puede ser mas bien contraintuitiva.

La propiedad de conexidad resulta de importancia pues puede ser apli-cada para determinar si dos espacios son o no homeomorfos pues dos espa-cios homeomorfos estan hechos del mismo numero de partes.

1. Conexidad

Decimos que un espacio X es conexo si los unicos abiertos ycerrados son el vacio ∅ y el total X. Si X no es conexo se suelellamar disconexo.

Lema 2.1. Sea X espacio topologico. Las siguiente afirmaciones sonequivalentes:

(1) X es disconexo(2) X es la union disjunta de dos subconjuntos propios abiertos.(3) X es la union disjunta de dos subconjuntos propios cerra-

dos.

Dem. (1)⇒ (2), (3) Sea A ⊂ X abierto, cerrado y no vacıo. SiA 6= X, entonces B = X\A es abierto, cerrado y no vacıo y ademasX = A ∪ B.(2)⇒ (1) Supongamos que X = A1 ∪ A2, con A1, A2 abiertos dis-juntos, no vacios. Entonces A1 = X\A2 es tambien cerrado.(3)⇒ (1) Supongamos que X = C1 ∪ C2, con C1, C2 cerrados dis-juntos, no vacios. Entonces C1 = X\C2 es tambien abierto.

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40 2. CONEXIDAD

Las descomposiciones X = A1 ∪ A2 y X = C1 ∪ C2 del resultadoanterior se conocen como separaciones de X. Ası, decimos que Xes conexo cuando no existe una separacion para el.

Ejemplo 2.2. Sea X = a, b con la topologia trivial. No existeseparacion de X por lo que es conexo.J

El ejemplo anterior muestra que la conexidad de un espaciotopologico depende fuertemente de su topologıa.

Lema 2.3. X es conexo⇐⇒ siempre que X = A ∪ B, con A, B novacios, entonces A ∩ B 6= ∅ o B ∩ A 6= ∅.

Dem. ⇒ Sea X conexo con X = A ∪ B. Supongamos A ∩ B =∅ = B ∩ A y notemos que

X = (X\A) ∪ (X\B)Ademas, para x ∈ (X\A) ∩ (X\B) se tiene que x /∈ A y x /∈ B, esdecir, x /∈ A ∪ B = X, lo cual no es posible y por lo tanto (X\A) ∩(X\B) = ∅. Ası, los conjuntos X\A, X\B forman una separacion deX, que no existe por hipotesis y por lo tanto A∩ B 6= ∅ o B∩ A 6= ∅.⇐ Consideremos X = U ∪ V separacion por abiertos disjuntos y

hagamos A = X\V = U y B = X\U = V. Como U, V son abiertosA, B son cerrados. Entonces

X = U ∪V = A ∪ B

pero A ∩ B = A ∩ B = U ∩ V = ∅, que no puede ser. Por tanto, Xes conexo.

Ejemplo 2.4. Tomemos X = x ∈ R | x 6= 0. Notemos que

A1 = X ∩ (∞, 0), A2 = X ∩ (0, ∞)

son abiertos (en la top. relativa), disjuntos y su union es X. J

Decimos que un subespacio Y ⊆ X es conexo si lo es en latopologıa relativa; es decir, es conexo si no tiene una separacionde abiertos relativos.

Lema 2.5. Sean X espacio topologico y A ⊆ X abierto y cerrado. SiY ⊆ X es cualquier conexo, entonces Y ⊆ A o Y ∩ A = ∅.

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1. CONEXIDAD 41

Dem. Como A es abierto y cerrado, Y ∩ A es abierto y cerradoen Y y Y conexo, se sigue que Y ∩ A = Y o Y ∩ A = ∅.

Lema 2.6. Sea X espacio, K ⊆ X cerrado y U ⊂ X abierto conK ⊆ U. Si X y U\K son conexos, entonces X\K tambien lo es

Dem. Supongamos que existe una separacion para X\K; es decir,

X\K = A ∪ B,

con A, B abiertos, disjuntos y no vacios. Como U\K es subespacioconexo de X\K por el Lema 2.5 arriba, se tiene que U\K ⊆ A oU\K ⊆ B; supongamos que

U\K ⊂ A y (U\K) ∩ B = ∅

De aquı, A ∪ K = A ∪U, U ∩ B = ∅ y por tanto

X = (A ∪ K) ∪ B = (A ∪U) ∪ B

es una separacion de X de abiertos, disjuntos, no vacios, lo cual nopuede ser. Por lo tanto, X\K es conexo.

Lema 2.7. Sea Y ⊆ X conexo. Entonces todo subconjunto Y talque Y ⊆W ⊆ Y es conexo.

Dem. Sea Z ⊆ W no vacıo, abierto y cerrado en W. EntoncesZ∩Y es abierto y cerrado en Y. Dado que Y es denso y Z es abiertoen W se tiene que Z ∩ Y 6= ∅. Pero Y es conexo por lo que Y ⊆ Z.De esto, Y ⊆ Z = Z, pues Z es cerrado en W; ası que W ⊂ Z y portanto Z = W.

Por el resultado anterior, la cerradura de cualquier conexo estambien conexo.

Teorema 2.8. El intervalo [0, 1] es conexo en la recta R.

Dem. Sean C, D cerrados no vacios tales que [0, 1] = C ∪ D, sinperdida de generalidad supongamos 0 ∈ C. Afirmamos que C ∩D 6= ∅. Consideremos d = inf D y probaremos que d ∈ C ∩ D.Como D es cerrado, d ∈ D por el Lema 1.31. Si d = 0 el resultadose sigue. Ahora, supongamos que d > 0 y hagamos

E = C ∩ [0, d]

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42 2. CONEXIDAD

Puesto que E es cerrado y ademas contiene al intervalo [0, d) sesigue d ∈ E; es decir, d ∈ C.

Teorema 2.9. Sea f : X → Y funcion continua, con X conexo.Entonces f (X) es conexo.

Dem. Sea Z ⊂ f (X) subconjunto no vacio, abierto y cerrado.Por definicion de topologıa relativa, existen A ⊂ Y abierto y C ⊂ Ycerrado tal que

Z = f (X) ∩ A = f (X) ∩ CComo f es continua, f−1(Z) = f−1(A) es abierto y f−1(Z) =f−1(C) es cerrado. Como X es conexo, se sigue que X = f−1(Z) ypor lo tanto Z = f (X).

En particular, si f : X → Y es continua, con X conexo y ademasla inversa g : Y → X es tambien continua, se sigue que Y es conexo.Como consecuencia, ser conexo es una propiedad topologica.

Ejemplo 2.10. Para a < b definamos h : [0, 1] → [a, b] medianteh(t) = a + (b− a)t. Notemos que h es homeomorfismo; por tanto[a, b] es conexo. El Lema 2.22 muestra que otros intervalos sonconexos.J

Lema 2.11. Sean Y conexo y f : X → Y funcion sobre, continua talque f−1(y) es conexo, ∀y ∈ Y. Entonces, si f es cerrada o abierta,entonces X es conexo.

Dem. Supongamos f es abierta y tomemos A1, A2 ⊆ X abiertosno vacios disjuntos tales que X = A1 ∪ A2. Dado que Y = f (A1) ∪f (A2) y Y es conexo existe y ∈ f (A1) ∩ f (A2); es decir, f−1(y) ∩Ai 6= ∅, i = 1, 2. Ahora, como f−1(y) es conexo, se tiene que

f−1(y) ∩ (A1 ∩ A2) 6= ∅,

pues si no f−1(y) ∩ A1, f−1(y) ∩ A2 formarıa una separacion paraf−1(y). En particular A1 ∩ A2 6= ∅, por lo que no existe separacionde X.

Ejercicio 2.12. X×Y es espacio conexo⇐⇒ X, Y lo son.

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2. ARCO CONEXIDAD 43

4! La implicacion ⇐ es el Teorema 4.19 de [Manetti]. El re-sultado se extiende a una cantidad arbitraria de espacios conexos;vease Teorema 6.5.J

El concepto de espacio conexo se dio en terminos conjuntistas aldefinir una separacion para un espacio X. De manera equivalentepuede definirse la conexidad en terminos funcionales:

Ejercicio 2.13. Sea Z ⊆ R subespacio discreto. Un espacio X esconexo⇐⇒ toda funcion continua f : X → Z es constante

Dem. ⇒ Sean x0 ∈ X y hagamos n0 = f (x0). Observemos queA = f−1(n0) es abierto y cerrado porque n0 ⊂ Z lo es y f escontinua. Como X conexo A = ∅ o A = X pero como x0 ∈ A sesigue que A = X y f es constante.⇐ Supongamos que X = O1 ∪O2, con O1, O2 abiertos disjuntos y consideremos f = 1O1 . Notemosque f es continua pues O1 es abierto y ademas tiene valores en Z.Ası, f = 1 O2 = ∅ o bien f = 0, O1 = ∅. En cualquier caso, X esconexo por el Lema 2.1.

4! En el resultado anterior se pudo haber considerado cualquierotro espacio discreto con al menos dos elementos, por ejemplo 0, 1.J

2. Arco conexidad

Decimos que X es arco-conexo si para cualesquiera x, y ∈ Xexiste funcion continua α : [0, 1]→ X tal que α(0) = x, α(1) = y. Lafuncion α es llamada el arco (trayectoria, camino) que une a x cony.

Ejercicio 2.14. Muestre que la imagen de un conjunto arco-conexo bajo una funcion continua es tambien arco-conexa.

Teorema 2.15. Todo espacio arco-conexo es conexo

Dem. Sea X arco-conexo y tomemos A, B ⊆ X abiertos, no vaciostales que X = A ∪ B; probaremos que A ∩ B 6= ∅.

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44 2. CONEXIDAD

Tomemos x ∈ A, y ∈ B y α arco que una a x con y. Como α es con-tinua los conjuntos α−1(A), α−1(B) son abiertos, no vacios y ademas

[0, 1] = (α−1(A))⋃(α−1(B))

Dado que [0, 1] que es conexo existe t ∈ [0, 1] con t ∈ α−1(A) ∩α−1(B); de aquı que α(t) ∈ A ∩ B por lo que no existe separacionpara X.

El inverso del resultado anterior es falso:

Ejemplo 2.16. El Peine Roto (Deleted Comb Space) es el subespaciode R2 que se muestra a continuacion

El espacio se define por

X = (1/n, y) | n ∈ N, y ∈ [0, 1] ∪ (0, 1) ∪ ([0, 1]× 0)El espacio es conexo pero no arco-conexo.J

Ejemplo 2.17 (El remolino del topologo). Sea A curva plana dadaen coordenadas polares por ( Θ

Θ+1 , Θ) | Θ ∈ (0, ∞); ver imagenabajo El remolino del topologo se define como la union W = S1 ∪ A

y es un ejemplo de un espacio conexo pero no arco-conexo; vease[Adams& Franzosa, Ejem.6.23].J

Por otro lado, es posible agregar una condicion sencilla bajo lacual el inverso del Teorema 2.15 es valido:

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Teorema 2.18. Sea X ⊆ Rn abierto. Si X es conexo entonces X esarco-conexo.

Dem. Tomemos b ∈ X fijo y consideremos la siguiente relacion:

b ≈ x ⇐⇒ ∃ ϕ : [0, 1]→ X, continua, ϕ(0) = b, ϕ(0) = x

es decir, b ≈ x si se pueden unir por un arco. Hagamos T = x ∈X | x ≈ b y probaremos que T = X.Notemos que b ≈ b, por lo que b ∈ T 6= ∅. Sean x ∈ T, ε > 0 yconsideremos Bε(x) ⊆ X, que existe pues X es abierto. Como Bε(x)es convexo (Ejemplo 2.21) para y ∈ Bε(x) se tiene y ≈ x. Finalmente,como x ∈ T se tiene que x ≈ b⇒ y ≈ b; ası Bε ⊆ T y T es abierto.Por otro lado, tomemos y ∈ T y ε > 0. Ası Bε(y) ∩ T 6= ∅, por loque existe x ∈ Bε(y) ∩ T, de donde x ≈ y y como x ≈ b ⇒ y ≈ b;es decir, y ∈ T y T = T. Ası, T es no vacio, abierto y cerrado, porconexidad de X se tiene T = X.

Este resultado es valido en el contexto de espacios vectorialescon norma; vease Theoreme II.5 en [Queffelec]. La condicion deser abierto en el resultado de arriba puede ser sustituida por serlocalmente arco conexo.

Aunque existen espacios conexos que no son arco-conexos cuandose quiere probar la conexidad de un espacio por lo general se pruebasu arco-conexidad pues esta ultima propiedad es mas manejable.

Lema 2.19. Sean A, B ⊆ X subespacios arco-conexos. Si A ∩ B 6=∅ entonces A ∪ B es arco-conexo.

Dem. Consideremos x ∈ A, y ∈ B y probaremos que existe arcoque los une.Por hipotesis podemos tomar z ∈ A ∩ B y caminos

β : [0, 1] −→ A, γ : [0, 1] −→ B,

β(0) = x β(1) = zγ(0) = z γ(1) = y

Definimos α como la concatenacion de β y γ

α(t) =

β(2t), 0 ≤ t ≤ 1/2γ(2t− 1), 1/2 ≤ t ≤ 1

y observemos que α es continua (Lema 1.68 del Pegado) y ademasune a x con y y por lo tanto A ∪ B es arco-conexo.

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46 2. CONEXIDAD

El resultado anterior es valido para una familia C = Cii∈I desubconjuntos arco-conexos de X: si

⋂ C 6= ∅ entonces⋃ C es arco-

conexo.

Ejemplo 2.20. Para n > 0 Rn es arco-conexo: dados x, y ∈ Rn elsegmento de linea

tx + (1− t)y, t ∈ [0, 1]

es un arco que los une. Para n > 1 la esfera Sn es arco-conexa:dados x, y ∈ Sn no antipodales tomamos el segmento de arriba peronormalizado:

tx + (1− t)y||tx + (1− t)y||

el cual es un segmento sobre la esfera que une a x con y; ası, la esferaSn es arco-conexo.J

Decimos que A ⊆ Rn es convexo si ∀x, y ∈ A el segmento derecta

Lxy = xt + (1− t)y | t ∈ [0, 1]esta completamente contenido en A.

Ejemplo 2.21. La bola abierta Br(x0) de radio r en Rn es un convexo:tomemos x, y ∈ Br(x0) y t ∈ [0, 1]. Consideremos

||x0 − (xt + (1− t)y)|| = ||(x0 − x)t + (1− t)(x0 − y)||≤ ||(x0 − x)t||+ ||(1− t)(x0 − y)||≤ t||(x0 − x)||+ (1− t)||(x0 − y)||≤ tr + (1− t)r = r

Es decir, Lxy ⊆ Br(x0) y por tanto es convexo. J

Notemos que de la definicion se sigue que todo convexo de Rn

es arco-conexo; en particular, todo convexo es conexo.

Lema 2.22. Sea I ⊆ R cualquiera, con |I| ≥ 2. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

(1) I es un intervalo(2) I es arco-conexo(3) I es conexo

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Dem. (3)⇒ (1) Sea I conexo y supongamos que no es intervalo.Entonces existen a < b < c tales que a, c ∈ I pero b /∈ I. Observemosque

I ∩ (−∞, b), I ∩ (b,+∞)

forman una separacion por abiertos de I, lo cual no puede ser. Lasotras implicaciones se siguen de inmediato.

Con este resultado se obtiene una caracterizacion de los conexosde R: son todos los intervalos

(a, b), [a, b), (a, b], [a, b],

para −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞.

Ejemplo 2.23. Recordemos que R ∼= (−π/2, π/2) (Ejemplo 1.42).Del homeomorfismo (a, b) ∼= (−π/2, π/2) se sigue que R es conexo.J

Ejemplo 2.24. Consideremos

w : R→ S1, t 7→ (cos(2πt), sin(2πt))

Como w es continua y R es conexo se tiene que S1 es conexo. Masaun, por el Ejercicio 2.12 el toro bidimensional T2 = S1 × S1 estambien conexo. J

Ejemplo 2.25 (Existencia de Punto Fijo). Sea f : [0, 1] → [0, ∞)funcion continua tal que f (1) = 0. Consideremos F : [0, 1] → R

definida como F(x) = f (x) − x. Dado que F es continua y tienedominio conexo, su imagen es un conexo de R, es decir, es un in-tervalo en R que contiene a −1. Ademas, como F(0) ≥ 0 existet ∈ [0, 1] tal que F(t) = 0 ⇐⇒ f (t) = t; es decir, f tiene un puntofijo.J

Como extension del ejemplo anterior se tiene el siguiente resul-tado propio del calculo.

Teorema 2.26 (Teo. Valor Intermedio). Sea f : [a, b] → R

continua tal que f (a) < c < f (b) o f (a) > c > f (b). Entoncesexiste x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) = c.

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48 2. CONEXIDAD

Dem. Como f es continua, f ([a, b]) es subconjunto conexo de R

que contiene a f (a), f (b). Por el Lema 2.22 tal conexo es un intervaloque ademas contiene a c, asi existe x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) = c.

El resultado anterior se puede generalizar a funciones continuasde la forma f : X → R, con X espacio conexo.

Ejemplo 2.27. Supongamos f : [0, 1) → (0, 1) homeomorfismo. Porrestriccion tenemos el homeomorfismo(0, 1) −→ (0, 1)\ f (0) locual no puede ser pues el espacio de la derecha no es conexo. Ası,los intervalos [0, 1), (0, 1) no son homeomorfos.J

Teorema 2.28. Sean n ≥ 1 y f : Sn → R funcion continua.Entonces existe x0 ∈ Sn tal que f (x0) = f (−x0).

Dem. Consideremos la funcion contiua

g : Sn −→ R, x 7−→ f (x)− f (−x)

Por el Ejemplo 2.20 sabemos que Sn es conexo por lo que g(Sn)es un conexo de R y por tanto un intervalo. Ası, dado y ∈ Sn elintervalo g(Sn) contiene a los puntos g(y), g(−y) y por lo tanto acualquier combinacion de ellos, en particular:

12

g(y) +12

g(−y) =12( f (y)− f (−y)) +

12( f (−y)− f (y)) = 0

Es decir, existe x0 ∈ Sn tal que g(x0) = 0⇐⇒ f (x0) = f (−x0).

4! Este resultado es un caso particular del Teorema de Borsuk-Ulam que establece que para toda funcion f : Sn → Rn existe unpunto x0 ∈ S tal que f (x0) = f (−x0). J

Figura 1. Teorema de Borsuk-Ulam en dimension 2.Imagen tomada de [Matousek].

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3. HOMOTOPIA I 49

Ejemplo 2.29 (Invarianza del Dominio). El Teorema de Invarianzadel Dominio afirma que ningun subconjunto de R puede ser home-omorfo a un subespacio abierto de Rn, para n > 1. Si existieraA → B homeomorfismo se tendrıa, por restriccion, una funcionA → Sn−1, pero por el resultado anterior tal funcion no puede serinyectiva. J

Ejemplo 2.30 (Aplicacion a Metereologıa). Supongamos que la su-perficie del planeta tierra es una esfera. Si la temperatura estadada por una funcion continua, entonces el resultado arriba mues-tra que en cualquier momento, existe un lugar del planeta con lamisma temperatura que su antipodal; vease [Adams& Franzosa,Eje.6.22].J

3. Homotopıa I

Decimos que dos funciones continuas f , g : X → Y son ho-motopicas si existe una funcion continua

H : X× I −→ Y

tal que H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x), ∀x ∈ X. La funcion Hes llamada una homotopıa entre f y g y se usa la notacion f 'Hg. Notemos que para cada t ∈ I, la homotopıa H determina unafuncion continua Ht : X → Y, donde Ht(x) = H(x, t). De aquı seobtiene que la relacion de homotopıa ' corresponde a la idea deuna deformacion continua de la funcion f en la funcion g a travesde la familia de funciones Ht(x)t∈I .

Ejemplo 2.31 (Homotopıas como caminos continuos). Sean X =∗, f , g : X → Y continuas. Dado que las imagenes de f , g sonpuntos x, y ∈ Y, una homotopıa H entre tales funciones tiene laforma

H : X× I −→ Y, H(∗, 0) = x, H(∗, 1) = yDado que X× I ∼= I la homotopıa es una funcion continua H : I →Y con H(0) = x, H(1) = y; es decir, la homotopıa H es basicamenteun camino continuo entre x, y. J

El ejemplo anterior puede ser generalizado mostrando la relacionque existe entre una homotopıa y las componentes arco-conexas delespacio: dos funciones constantes f , g : X → Y, f (x) = y1, g(x) =y2 son homotopicas ⇐⇒ y1, y2 pertenecen a la misma componentearco-conexa de Y.

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50 2. CONEXIDAD

Si las imagenes de f , g estan contenidas en componentes arco-conexas distintas entonces no pueden ser homotopicas. Estos resul-tados muestran que la propiedad de ser arco-conexo puede ponerseen terminos homotopicos. Ası, dos funciones f , g : R → R\0constantes

f (x) = 1, g(x) = −1no pueden ser homotopicas porque sus imagenes estan en compo-nentes conexas distintas.

4. Componentes conexas

Un subespacio C ⊆ X es llamado una componente conexa deX si es el elemento maximal en la familia de subespacios conexos,ordenados por inclusion; es decir, si cumple:

• C es conexo• C ⊆ A, con A conexo, entonces A = C.

Ejemplo 2.32. Notemos que si C ⊆ X es subespacio cerrado, abierto,conexo y no vacio, entonces C es una componente conexa de X pueses conexo y si C ⊆ A entonces C es abierto, cerrado y no vacio enA; si A es conexo, entonces C = A. J

Lema 2.33. Sean x ∈ X y Zii∈I familia de subespacios conexosde X que contienen a x. Entonces

⋃i Zi es conexo.

Dem. Hagamos Z = ∪iZi y tomemos A ⊆ Z abierto, cerrado novacio. Por el Lema 2.5 para cada i tenemos que Zi ⊆ A o Zi ∩ A = ∅.Puesto que A 6= ∅, ∃i A ∩ Zi 6= ∅; en particular Zi ⊆ A y x ∈ A.Como x ∈ ∩Zi se sigue A ∩ Zj 6= ∅, ∀j ⇒ Zj ⊆ A, ∀j; es decir,A = Z.

En particular, si tomamos A, B ⊂ X conexos con x ∈ A ∩ Bentonces A ∪ B es conexo.

Lema 2.34. Cada componente conexa de un espacio es un subcon-junto conexo y cerrado. Ademas las componentes conexas son dis-juntas a pares.

Dem. Para C componente conexa se sabe que C es conexo ycontiene a C, de donde C = C. Sean C, D componentes conexas

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4. COMPONENTES CONEXAS 51

tales que C ∩ D 6= ∅. Por la observacion anterior C ∪ D es conexo.Por las inclusiones C ⊆ C ∪ D ⊇ D y la condicion maximal de C, Dse tiene que C = C ∪ D = D.

Lema 2.35. Para x ∈ X consideremos

C(x) =⋃Y | x ∈ Y, Y conexo

Entonces C(x) es la componente conexa de X que contiene a x.

Dem. Observemos que x es conexo por lo que x ∈ C(x). Porel Lema 2.33 se sigue que C(x) es conexo. Para concluir que escomponente conexa debemos mostrar su propiedad maximal: seaA ⊆ X subespacio conexo con C(x) ⊆ A; de aquı, x ∈ A y pordefinicion de C(x) se tiene que A ⊆ C(x). Ası, A = C(x).

C(x) del resultado anterior es llamado la componente conexa dex. Como consecuencia del resultado anterior se tiene:

Corolario 2.36. Todo espacio topologico es la union de sus compo-nentes conexas.

Lema 2.37. Si todo punto de X tiene una vecindad conexa, las com-ponentes conexas de X son subconjuntos abiertos.

Dem. Sean C componente conexa de X, x ∈ C y U vecindadconexa de x. Puesto que x ∈ C ∩U se sigue que C ∪U es conexo ypor tanto C ∪U ⊆ C; de donde U ⊆ C y C es vecindad de x.

Lema 2.38. La cardinalidad del conjunto de componentes conexasde X es un invariante topologico.

Dem. Consideremos C(x) ⊆ X componente conexa de x y h :X → Y homeomorfismo. Mostraremos que h(C(x)) es componenteconexa en Y.Dado que h(C(x)) es conexo y contiene a h(x), se sigue que h(C(x)) ⊆C(h(x)). Por otro lado, h−1(C(h(x))) ⊆ C(x) de donde C(h(x)) ⊆h(C(x)). Por lo tanto h(C(x)) = C(h(x)) y se tiene una relacion 1 a1 entre las componentes conexas de los espacios.

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52 2. CONEXIDAD

Ejemplo 2.39. Los espacios R\0, R\0, 1 no son homeomorfospues el primero tiene dos componentes conexas y el segundo tienetres. J

4! Dos puntos x, y ∈ X se dicen homologos si existe un caminocontinuo que los une: α : [0, 1] → X, α(0) = x, α(1) = y. Es in-mediato observar que ser homologos es una relacion de equivalenciay que el conjunto S0(X) de clases de equivalencia de puntos de X esequivalente al conjunto de componentes (arco)conexas de X. Estarelacion puede ser algebrizada de la siguiente manera: dado F2 elcampo de dos elementos, definimos el grupo de homologıa en di-mension 0 de X con coeficientes en F2 como el espacio vectorialH0(X) de las sumas formales en S0(X):

ε0x0 + ε1x1 + · · ·+ εnxn,

donde εi ∈ F2. Una expresion de esta forma es llamada una 0-cadena en X. Si X es arco-conexo, H0(X) ∼= F2.J

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CAPITULO 3

Compacidad

A diferencia del concepto de conexidad la propiedad de ser compactono es algo intuitivo. Sin embargo, una manera util de pensar a la com-pacidad es como una generalizacion de un conjunto finito; en particular,probaremos en esta capıtulo que un espacio compacto tiene las siguientespropiedades de un conjunto finito:

• Todo conjunto finito tiene un elemento mınimo y uno maximo.• Toda funcion continua sobre un conjunto finito alcanza un maximo

y un mınimo.• La union de una cantidad finita de conjuntos finitos es un con-

junto finito.• La interseccion de una cantidad arbitraria de conjuntos finitos es

un conjunto finito

Debidoa a estas propiedades el estudio de la compacidad es de grantrascendencia para entender la relacion entre la Topologıa y el Analisis.

1. Cubiertas y compacidad

Consideremos un espacio topologico X y un subconjunto finitoS. Notemos que toda funcion continua f : X → R, al restringirla aS, alcanza un maximo y un minimo. Por otro lado, toda coleccionde abiertos de X cuya union contenga a A tiene una subcoleccionfinita cuya union contiene a S. La idea de introducir el concepto decompacidad es el de extender estos compartamiento s a otros sub-conjuntos de X. Partiremos de la idea de poder cubrir un espaciocon una coleccion finita de subconjuntos.

Una cubierta para X es una familia A ⊆ P(X) de subconjuntostales que

X =⋃A | A ∈ A.

53

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54 3. COMPACIDAD

En tales condiciones se dice que X es cubierto por A. Si A,B soncubiertas y A ⊂ B entonces decimos que A es subcubierta de B.

De acuerdo a la cardinalidad de A se tienen los siguientes tiposde cubiertas:

• Una cubierta A es finita si la coleccion A es finita.• Una cubiertaA es numerable si la coleccionA es numerable.

y de acuerdo a la naturaleza de los elementos de A se tienen lossiguientes tipos de cubiertas:

• Una cubierta A es abierta si cada A ∈ A es abierto.• Una cubierta A es cerrada si cada A ∈ A es cerrado.• Una cubierta A se llama localmente finita si para x ∈ X

existe V abierto tal que

x ∈ V, V ∩ A 6= ∅,

a lo mas para una cantidad finita de A ∈ A.

Ejemplo 3.1. Observemos que de la definicion, cualquier base esuna cubierta abierta. Ademas la coleccion

[n, n + 1] | n ∈ Z

es una cubierta localmente finita y ademas cerrada para R. J

Ejemplo 3.2. Notemos que A = (−n, n) | n ∈ N es una cubiertaabierta para R pero que ninguna subcubierta finita de ella cubre porcompleto a R. De igual manera, la coleccion

(a +1n

, b− 1n) | a < b, n ∈ N

es una cubierta abierta para (a, b) y ninguna subcoleccion finita deella lo puede cubrir.J

Ejemplo 3.3. Tomemos S = x1, . . . , xs ⊂ R subconjunto finito ysea A cubierta abierta para S. Por definicion de cubierta, para cadai, podemos tomar Ai ∈ A tal que xi ∈ Ai; asi que

x1, . . . , xs ⊂s⋃

i=1

Ai

por lo que en este caso sı existe subcubierta finita. J

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1. CUBIERTAS Y COMPACIDAD 55

En general, para cualquier espacio topologico X y cualquier sub-conjunto finito de el se puede encontrar una subcubierta finita decualquier cubierta para el subconjunto. Esto no siempre es posiblehacerlo ası que cuando ocurre usaremos un termino especıfico parala situacion.

Decimos que X es compacto si toda cubierta abierta admite unasubcubierta finita. Decimos que Y ⊂ X es subespacio compactosi es compacto en la topologia de subespacio. Es decir, Y ⊂ X escompacto ⇐⇒ para cualquier coleccion A de abiertos de X tal queY ⊆ ∪A existen A1, A2, . . . An ∈ A tales que Y ⊆ ∪n

i=1Ai.

Por el Ejemplo 3.3 y el comentario que le precede se sigue quetodo conjunto finito es compacto independientemente de la topologıaque tenga. Mas adelante veremos otras relaciones entre conjuntosfinitos y compactos.

Notemos que un espacio X no es compacto ⇐⇒ tiene una cu-bierta abierta que no contiene una subcubierta finita que lo cubra.

Ejemplo 3.4. Consideremos el subconjunto de R

X = 0 ∪ 1/n | n ∈ N

Si A es una cubierta abierta para X existe U ∈ A que contiene a0 y a los puntos 1/n, excepto por una cantidad finita de ellos;escojamos un elemento de A por cada uno de estos elementos queno se encuentren en X. La coleccion de estos abiertos y de U formanuna subcubierta finita de A para X, mostrando que X es compacto.J

En el ejemplo anterior no es coincidencia que 0 es el puntolımite de la sucesion de puntos 1/nn. Ms adelante veremos estefenomeno con mas detalle (Teorema 5.21).

Lema 3.5. Para n > 0, el espacio euclidiano Rn no es compacto.

Dem. Primero notemos que es posible cubrir a Rn con bolasabiertas (centradas en el origen) :

Rn =⋃

n∈NBn(0)

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56 3. COMPACIDAD

Si existiera una cubierta finita, entonces existen n1, . . . , nk ∈ N talesque

Rn =k⋃

i=1

Bni(0) = Bm(0)

donde m = maxn1, . . . , nk, lo cual no es posible.

Lema 3.6. La union finita de subespacios compactos es compacta.

Dem. Sean K1, . . . , Kn subespacios compactos de X y A cubiertaabierta de K = ∪n

i=1Ki. Para cualquier j = 1, 2, . . . , n existe unafamilia finita Al ⊂ A que cubre al compacto Kl; asi

K ⊂ A1 ∪A2 ∪ · · · ∪ An.

Ejemplo 3.7. Un espacio topologico discreto es compacto ⇐⇒ esfinito (basta recordar que en un espacio discreto la coleccion x | x ∈X forma una cubierta finita). J

Ejemplo 3.8. Sea X = a, b con la topologıa de Sierpinski ∅, a, X(Ejemplo 1.2). Notemos que a es compacto pues es finito pero noes cerrado.J

Ejercicio 3.9. Sean X espacio topologico y Kii∈I coleccion desubconjuntos compactos de X. Pruebe que si X es T2 entonces∩iKi es tambien compacto.

El siguiente resultado muestra que ser compacto es una propiedadtopologica.

Teorema 3.10. Sea f : X → Y funcion continua. Si X es com-pacto, entonces f (X) es compacto.

Dem. Consideremos A familia de abiertos de Y que forman unacubierta para f (X). Notemos que la coleccion

f−1(A) | A ∈ Aforma una cubierta abierta para X; asi, existen A1, . . . , An ∈ A talesque X = ∪n

i=1 f−1(Ai). Esto implica que f (X) ⊂ ∪ni=1Ai.

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En particular, todo espacio homeomorfo a un compacto es tambiencompacto.

Teorema 3.11 (Heine-Borel). El intervalo [0, 1] es subespaciocompacto de R.

Dem. Sea A una cubierta abierta para [0, 1] y tomemos

X = t | [0, t] ⊂⋃i∈I

Ai, Ai ∈ A, I finito ⊆ [0, ∞)

Dado que A cubre a [0, 1] 0 ∈ X pues 0 ∈ ∪A; asi, X no vacio ypodemos tomar b = sup X.

• Si b > 1, entonces existe t ∈ X tal que 1 ≤ t ≤ b. Asi[0, 1] ⊂ [0, t] y por lo tanto [0, 1] es compacto.• Supongamos que b ≤ 1. Existe A ∈ A con b ∈ A. Por ser

abierto existe δ > 0 tal que (b− δ, b+ δ) ⊂ A. Por otro lado,existe t ∈ X tal que

b− δ < t ≤ b

Como, [0, t] ⊂ A1 ∪ · · · ∪ An si 0 ≤ h < δ, entonces

[0, b + h] = [0, t] ∪ [t, b + h] ⊂ [0, t] ∪ (b− δ, b + δ) ⊂n⋃

i=1

Ai ∪ A,

por tanto b + h ∈ X; lo cual no es posible.

zHay otros metodos para probar el Teorema de Heine-Borel;en [Adams& Franzosa] se usa el Lema de los Intervalos Anidados;vease p.231 de dicho libro.z

Ejemplo 3.12. Derivado del resultado anterior, R no es homeomorfoa [0, 1], pues [0, 1] es compacto pero R no. Mas aun, dado que(0, 1) ∼= R se tiene que (0, 1) no es homeomorfo a [0, 1].J

El ejemplo anterior muestra que la propiedad de ser compactoes una propiedad topologica que permite distinguir entre intervalosabiertos y cerrados.

Ejemplo 3.13. Como la compacidad es una propiedad topologica, ypor el Teorema 3.11, se tiene que todo intervalo [a, b] es compacto.Veremos otra prueba de este hecho mas adelante. J

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58 3. COMPACIDAD

Dado que (0, 1) ⊂ [0, 1] se tiene que subespacios arbitrarios deun espacio compacto no necesariamente son compactos. Sin em-bargo, la compacidad es una propiedad heredada a susbespacioscerrados:

Teorema 3.14. Cualquier subespacio cerrado de un espacio com-pacto es compacto.

Dem. Sean Y ⊂ X cerrado con X compacto y A cubierta abiertade Y. Notemos que A∪ X\Y es una cubierta abierta de X, por loque existen A1, . . . , An ∈ A tales que

X = (X\Y) ∪ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An

De aqui se tiene que Y ⊂ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An.

El resultado anterior tiene un converso parcial:

Ejercicio 3.15. Pruebe que si X es espacio Hausdorff y K ⊆ X escompacto entonces K es cerrado.

En general, sin la hipotesis de Hausdorff, un subespacio com-pacto no tiene por que ser cerrado:

Ejemplo 3.16. Recordemos que la recta real R con la topologıacofinita no es Hausdorff (1.79); ademas los unicos cerrados son lossubconjuntos finitos y X (Ejemplo 1.9). Afirm. Todo subconjunto novacıo es compacto. Sea O = Uii∈I cubierta abierta para A ⊆ R ytomemos Ui0 ∈ O no vacıo. Hacemos A\Oi0 = x1, . . . , xn. Paracada uno de estos puntos elegimos Uij ∈ O tales que pj ∈ Uij . Fi-nalmente notamos que

A = Ui0 ∪Ui1 ∪ · · · ∪Uin

por lo que A es compacto.J

En algunos contextos resulta conveniente probar que un espaciono es compacto:

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Lema 3.17 (Criterio de No Compacidad). Si un espacio X con-tiene un subespacio infinito, cerrado y discreto, entonces X no escompacto.

Dem. Supongamos que X es compacto y sea A infinito, cerradoy discreto. Por el resultado anterior A es compacto. Por otro lado,recordemos (Ejemplo 3.7) que todo subespacio discreto y compactoes finito; asi, A es finito. Luego, X no es compacto.

Teorema 3.18. Un subespacio de R es compacto⇐⇒ es cerrado yacotado.

Dem. ⇐ Para A ⊆ R cerrado y acotado existe a > 0 tal que A ⊂[−a, a]. Dado que [−a, a] ∼= [0, 1] se sigue que [−a, a] es compacto ypor el resultado anterior se sigue que A es compacto.⇒ Sea A ⊆ R compacto. Como la coleccion (−n, n) | n ∈ N

cubre a A existen n1, n2, . . . , ns tales que

A ⊆ (−n1, n1) ∪ (−n2, n2) ∪ · · · ∪ (−ns, ns)

Entonces, A ⊆ (−N, N), con N = maxn1, . . . , ns; es decir, A esacotada. Ahora para p /∈ A la funcion

f : R\p −→ R, f (x) = 1/x− p

es continua, ası que f (A) es compacto y tambien acotado; de aquıque p /∈ A, pues f no toma valores en ∞ = 1/0, lo que prueba queA es cerrado 1.

La estructura de R juega un papel importante en el resultadoanterior, lo cual es latente debido al siguiente ejemplo

Ejemplo 3.19 (Cerrado y acotado pero no compacto). Dado M con-junto infinito lo dotamos de una topologia a traves de la metricadiscreta (1.45):

d(x, y) =

0, x = y1, x 6= y

Por definicion M es cerrado y ademas notemos que M ⊂ B2(x0),para cualquier x0 ∈ M; es decir M es cerrado y acotado. No es com-pacto pues la coleccion B1/2(x) | x ∈ M es una cubierta abiertaque no admite una subcubierta finita.2

1Se esta usando que X\A ⊆ X\A⇐⇒ A ⊆ A⇐⇒ A = A2Hay otros ejemplos en el contexto de espacios vectoriales normados...

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60 3. COMPACIDAD

Teorema 3.20 (del Valor Extremo). Si X es espacio topologicocompacto, entonces cualquier funcion continua X → R tiene (almenos) un maximo y un mınimo

Dem. Sea f : X → R continua; asi, f (X) ⊂ R es compacto y porlo tanto cerrado y acotado. El resultado se sigue de recordar quetodo cerrado y acotado en R tiene un maximo y un mınimo.

Ejemplo 3.21 (l’epigraphe de f ). Dada f : R → R funcion continuaconsideremos el conjunto

E = (x, y) ∈ R2 | y > f (x)Para p1 = (x1, y1), p2 = (x2, y2) ∈ X consideramos M el maximo de

f en el compacto [x1, x2]. Unimos a p1 con p2 uniendo al primerocon z1 = (x1, M + 1), este con z2 = (x2, M + 1) y finalmente estecon p2. Ası, X es arco-conexo.J

El siguiente resultado es paralelo al Lema 2.11 para conexidad.

Teorema 3.22. Sea f : X → Y funcion cerrada con Y compacto.Si f−1(y) es compacto, ∀y ∈ Y, entonces X es compacto.

Dem. Sin perdidad de generalidad podemos suponer que f esfuncion sobre, pues si no lo es podemos hacer Y = f (X). ParaA ⊆ X consideremos

A′ = y ∈ Y | f−1(y) ⊂ ADado que f es cerrada y ademas Y\A′ = f (X\A) se sigue que A′ esabierto si A tambien lo es. SeaA cubierta abierta de X y considemosB una familia de uniones finitas de elementos de A:

B = ⋃i∈I

Ai | I finito

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Afirmamos que B′ = B′ | B ∈ B es una cubierta abierta de Y.Sea y ∈ Y y como f−1(y) es compacto, existen A1, . . . , Am ∈ Atales que f−1(y) ⊂ A1 ∪ A1 ∪ · · · ∪ Am. Entonces, y ∈ B′, paraB = A1 ∪ A1 ∪ · · · ∪ Am.Como Y es compacto, existen B1, . . . , Bn ∈ B tales que Y =

⋃ni=1 B′i

y por lo tanto X = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn y, como cada Bi es union finitade elementos de A, hemos hallado una subcubierta finita de A deX.

El siguiente resultado es un criterio de compacidad restringiendola definicion a elementos de una base

Teorema 3.23. Sea B base para X. Si toda cubierta de X com-puesta de elementos de B tiene una subcubierta finita, entonces Xes compacto.

Dem. Para U ⊆ X abierto consideramos la coleccion BU = B ∈B | B ⊂ U. Dado que B es base, se tiene que U coincide con launion ∪B | B ∈ BU.Tomemos A cubierta abierta de X y consideremos la familia deabiertos

C =⋃

A∈ABA

Notemos que C es una cubierta para X hecha de elementos de B,por lo que existe subcubierta finita F . Para cualquier abierto U ∈ Fescojamos un abierto A(U) ∈ A tal que U ∈ BA(U); es decir, U ⊆A(U). La subcoleccion de A

A(U) | U ∈ F

es subcubierta finita para X.

Decimos que una coleccion C de subconjuntos de X tiene lapropiedad de interseccion finita si para toda subcoleccion finitaC1, . . . , Cn ⊆ C se cumple que

⋂ni=1 Ci no vacia. Usaremos esta

propiedad para dar un criterio de compacidad en terminos de sub-conjuntos cerrados.

Teorema 3.24 ([Manetti]Ejer. 4.25). Un espacio X es compacto⇐⇒ si toda coleccion C de cerrados de X que tiene la propiedad deinterseccion finita, la interseccion

⋂C∈C C de todos los elementos de

C es no vacia.

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62 3. COMPACIDAD

Primero un par de observaciones: para una coleccion A de sub-conjuntos de X y la coleccion de los complementos

A′ = A′ = X\A | A ∈ A

se tiene que A es abierta⇐⇒A′ es coleccion cerrada. Por otro lado,recordemos las Leyes de DeMorgan

X\(⋃

Ui) =⋂(X\Ui)

para obtener que la coleccion A es una cubierta para X ⇐⇒ la in-terseccion ∩A′ de todos los elementos de A′ es vacia. En particular,la subcoleccion finita A1, . . . , An ⊂ A es una cubierta para X⇐⇒la interseccion

⋂ni=1 A′i es vacıa.

Dem. del Teorema 3.24 Notemos que el resultado es cierto al notarque X es compacto ⇐⇒ dada una coleccion A de abiertos de X,si A cubre a X entonces existe subcubierta finita ⇐⇒ 3 dada unacoleccion A de abiertos, si ninguna subcubierta finita de A cubre aX entonces A no cubre a X. Por lo expuesto arriba esto es cierto⇐⇒ dada una coleccion A′ de cerrados si toda interseccion finitade elementos de A′ es no vacia, entonces la interseccion de toda A′es no vacia.

Un caso de interes del teorema anterior ocurre cuando consider-amos una sucesion numerable anidada (o descendiente) de subcon-juntos no vacıos

K1 ⊇ K2 ⊇ · · · ⊇ Kn ⊃ Kn+1 ⊇ · · ·

Si los Ki son cerrados en un compacto X, entonces por el Teorema3.14, los Ki son compactos.

Corolario 3.25. Bajo las condiciones anteriores, si los Ki son novacios, entonces la interseccion

⋂i∈N Ki es no vacia.

Dem. Por los comentarios de arriba basta notar que para cadai el complemento K1\Ki es abierto en K1 y que si la coleccion deabiertos K1\Ki cubre a K1 entonces

⋂Ki = ∅, pero observemos

que dicha coleccion no puede cubrir a K1.

Ejemplo 3.26. Para un conjunto X y un elemento distinguido ∗ ∈X podemos construir una topologia definiendo sus subconjuntos

3El contrapositivo: (P⇒ Q) ∼= (−Q⇒ −P)

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2. PRODUCTO FINITO DE COMPACTOS ES COMPACTO 63

cerrados (vease Ejemplo 1.80)

B cerrado ⇐⇒ ∗ ∈ B o B finito

Notemos que la interseccion arbitraria ∩Bi de cerrados es un cer-rado por lo que ∗ ∈ ∩Bi o ∩Bi es finito; en cualquier caso cualquiercoleccion de cerrados tiene intersecion vacia y por el Teorema 3.24se tiene que X es compacto. J

El ejemplo anterior muestra que en cualquier conjunto con unelemento distinguido puede definirse una topologia que le otorgauna estructura de espacio Hausdorff y compacto.

2. Producto finito de compactos es compacto

En esta seccion daremos una caracterizacion de los espacios com-pactos en terminos de productos cartesianos. Iniciamos por un casosencillo

Lema 3.27 (del Tubo). Sean A ⊂ X compacto y y ∈ Y. Entoncespara todo abierto W ⊂ X×Y que contiene a A× y existen U ⊂X, V ⊂ Y abiertos tales que A× y ⊂ U ×V ⊂W.

Dem. Para cada x ∈ A, la pareja (x, y) tiene una vecindad de laforma Ux ×Vx contenida en W. Notemos que

A× y ⊂⋃

x∈A(Ux ×Vx)

y como A es compacto, existen x1, x2, . . . , xn ∈ A tales que A ×y ⊂ ∪n

i=1(Uxi × Vxi). Con esto definimos U = ∪ni=1Uxi , V =

∩ni=1Vxi , con lo que se obtiene lo que se deseaba:

A× y ⊂ U ×V ⊂W.

Teorema 3.28 (Wallace). Sean X, Y espacios topologicos, A ⊂X, B ⊂ Y subespacios compactos y W ⊂ X × Y abierto tal queA× B ⊂W. Entonces existen abiertos U ⊂ X, V ⊂ Y tales que

A ⊂ U, B ⊂ V, U ×V ⊂W

Dem. Por el Lema anterior, para cada y ∈ B existen abiertosUy ⊂ X, Vy ⊂ Y tales que A × y ⊂ Uy × Vy ⊂ W. Observemos

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64 3. COMPACIDAD

que B ⊂ ∪y∈BVy y como B es compacto existen y1, y2, . . . , yk ∈ Btales que

B ⊂k⋃

i=1

Vyi

El resultado se obtiene al definir los abiertos

U =k⋂

i=1

Uyi , V =k⋃

i=1

Vyi .

El Teorema de Wallace puede ser establecido para el productode una cantidad arbitraria de espacios con subespacios compactos.Vease [Engelking]

El siguiente resultado es el inverso parcial del Teorema 3.14 paraespacios Hausdorff

Corolario 3.29. Todo subespacio compacto de un espacio Hausdorffes cerrado

Dem. Sean K ⊂ X, con X Hausdorff y K compacto. Probaremosque X\K es abierto.Para x ∈ X\K el producto x × K no intersecta a la diagonal4 ⊂ X × X. Como X es Hausdorff, 4 es cerrado y x × K estacontenido en el abierto W = (X × X)\4. Por el teorema anterior,existen abiertos U, V ⊂ X tales que

x × K ⊂ U ×V ⊂W

En particular, x ∈ U, U ∩ K = ∅⇒ U ⊂ X\K.

Este resultado es demostrado en [Munkres, p.165] usando elsiguiente lema que a su vez muestra la relacion entre compacidad yla propiedad del espacio de separar ciertos subespacios.

Lema 3.30. Sean X Hausdorff y Y ⊆ X compacto. Para cada x0 /∈Y existen abiertos U, V tales que U ∩V = ∅, x0 ∈ U, Y ⊂ V

Decimos que un espacio T1 es regular (o T3) si para cualesquierax /∈ B ⊆ X, con B cerrado, existen abiertos disjuntos U, V tales quex ∈ U, B ⊆ V. Todo subespacio de un espacio regular es regular;ademas cualquier producto de espacios regulares es regular. Ası, elresultado anterior prueba que compacto + Hausdorff⇒ regular.

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2. PRODUCTO FINITO DE COMPACTOS ES COMPACTO 65

A continuacion otra consecuencia del Teorema de Wallace quesera de gran utilidad en las secciones posteriores

Corolario 3.31 (Teo. de Kuratowski). Sea X espacio compacto.Para cualquier espacio Y la proyeccion pY : X × Y → Y es unafuncion cerrada.

Dem. Tomemos C ⊂ X × Y cerrado; probaremos que pY(C) escerrado. Notemos que si pY(C) = Y el resultado se sigue inmedi-atamente. Asi, supongamos que existe y /∈ pY(C) y notemos que

X× y ⊂ (X×Y)\C

asi que por el Teorema de Wallace existe vecindad abierta V de ytal que X × y ⊂ (X × V)\C ⇒ (X × V) ∩ C = ∅; de aqui queV ∩ pY(C) = ∅.

El resultado anterior tiene un converso bajo ciertas condiciones:

Ejercicio 3.32. Sea X espacio Hausdorff. Pruebe que X es com-pacto ⇐⇒ para todo espacio Y la proyeccion p : X × Y → Y escerrada.

A continuacion probaremos el resultado principal de esta seccion

Teorema 3.33. El producto de una cantidad finita de compactos escompacto.

Dem. Consideremos primero el caso del producto cartesiano dedos espacios compactos X, Y. Por el corolario anterior, la proyeccionpY : X × Y → Y es funcion cerrada y como para cada y ∈ Yp−1

Y (y) = X × y ∼= X es compacto, usamos el Teorema 3.22 paraobtener que X × Y es compacto. El teorema se obtiene entonces alaplicar un argumento de induccion.

El caso del producto de una cantidad infinita de compactos esconocido como el Teorema de Tychonoff ([Munkres]). Lo establece-mos a continuacion pero dejaremos su demostracion para el Capıtulo6.

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66 3. COMPACIDAD

Teorema 3.34 (Tychonoff). El producto de una cantidad arbitrariade compactos es compacto.

Sea K ⊂ Rn compacto. Recordemos que Bn(0) | n ∈ N escubierta abierta para Rn y por lo tanto tambien para K. Dado queBn1(0) ⊂ Bn2(0), para n1 ≤ n2, se tiene que una subcubierta finitaesta contenida en una sola bola Bm(0) (ver Lema 3.5) y por lo tantoel compacto K es acotado. Por el Ejemplo 3.19, la implicacion con-traria (acotado ⇒ compacto) debe ser especial e importante y loobtendremos a partir del resultado anterior.

Teorema 3.35 (Heine-Borel). Un subconjunto A ⊆ Rn es com-pacto⇐⇒ es acotado y cerrado.

Dem. ⇒ Sea A ⊂ Rn compacto y consideremos A → R, x 7→|x|. Dado que la funcion es continua y A es compacto la funcionalcanza un maximo, lo que implica que A es acotado. Por otro lado,como Rn es Hausdorff, por el Corolario 3.29, se sigue que A es cer-rado.⇐ Sea A cerrado y acotado, entonces existe a > 0 tal que A ⊂[−a, a]n. Como la compacidad es una propiedad topologica y [−a, a] ∼=[0, 1] se sigue que [−a, a] es compacto; mas aun, por el Lema de ar-riba se tiene que [−a, a]n es compacto. Finalmente, usando el Teo-rema 3.14 se tiene que A es compacto.

Ejemplo 3.36 (Toda esfera es compacta). Consideremos Sn−1 ⊂ Rn

esfera de dimension n y notemos que es un subespacio acotado.Tambien es cerrado pues Sn−1 = f−1(1), donde f : Rn → R es lafuncion continua

(x1, x2, . . . , xn) 7−→ x21 + x2

2 + · · ·+ x2n

Asi Sn−1 es compacto. El disco Dn = x ∈ Rn | |x| ≤ 1 tambien escompacto pues es cerrado por definicion y tambien acotado. J

Compacidad es una propiedad que puede ser usada para deter-minar si una funcion es un homeomorfismo.

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3. (INTRODUCCION A) GRUPOS TOPOLOGICOS 67

Corolario 3.37. Si f : X → Y es funcion continua, X compacto y YHausdorff entonces f es cerrada. Si ademas f es biyectiva, entoncesf es homeomorfismo.

Dem. Para A ⊂ X cerrado se tiene que es compacto. Comof es continua, f (A) es compacto y por el Corolario 3.29, f (A) escerrado. Finalmente recordemos que si f es continua, biyectiva ycerrada, entonces f es homeomorfismo (Lema 1.41).

Recordemos que una subbase para una topologıa τ es una coleccionP de abiertos cuyas intersecciones finitas en P forman una basepara τ; vease Seccion 1.1. El siguiente resultado muestra que unasubbase puede usarse para caracterizar la compacidad de un espa-cio; comparese con el Teorema 3.23.

Teorema 3.38 (de la Subbase). Sea P subbase para X. Si todacubierta para X hecha con elementos de P tiene una subcubiertafinita, entonces X es compacto.

Este resultado, conocido como el Teorema de la Subbase, se debea J.W. Alexander y data de 1939. Pospondremos la prueba de esteresultado, basada en el Lema de Zorn, a la Seccion 1 donde se usarapara probar el Teorema de Tychonoff en su version mas general.Cabe mencionar que el recıproco de este resultado se obtiene si Xes Hausdorff (Teorema 3.12.2 en [Engelking]).

3. (Introduccion a) Grupos topologicos

La estructura de un espacio topologico se ve enormemente en-riquecida cuando se le anade una estructura de grupo, dando lugara un area de la matematicas de gran interes.

Un grupo topologico G es un conjunto con dos estructuras com-patibles entre si: una de grupo y otra de espacio topologico. Enotros terminos, decimos que G es grupo topologico si las opera-ciones

m : G× G −→ G, (g, h) 7→ m(g, h) = ghinv : G −→ G, g 7→ inv(g) = g−1

son funciones continuas.

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68 3. COMPACIDAD

Ejemplo 3.39. z Cualquier grupo G tiene estructura de grupotopologico al dotarlo de la topologıa discreta y es llamadogrupo topologico discreto.

z Los grupos aditivos Rn, Cn son grupos topologicos con latopologıa euclidiana usual, pues la funcion (x, y) 7→ x + yes continua.

z Los conjuntos Rn∗ , Cn

∗ de elementos no cero, son grupostopologicos mutiplicativos.

z Como subespacio de C2 la circunferencia S1 es un grupotopologico bajo la multiplicacion de numeros complejos, de-bido a que |z1z2| = |z1||z2|.J

Si e es el elemento neutro de G existe una inclusion natural de Gen el producto G× G dada por i(g) = (g, e). Para h ∈ G definimosla multiplicacion derecha como la composicion de la inclusion conla multiplicacion de G:

G

Rh ##

i // G× G

m

G

donde i(g) = (g, h). Observemos que Rh es funcion continua y tienepor inversa a Rh−1 ; es decir, Rh es un homeomorfismo. De maneraanaloga definimos la multiplicacion izquierda Lh(g) = hg que tienepor inversa a Lh−1 y es tambien homeomorfismo.

Lema 3.40. Sea G grupo topologico. Para cualesquiera g, h ∈ Gexiste homeomorphism ϕ : G → G tal que ϕ(g) = h.

Dem. De hecho, el homeomorfismo no es unico: podemos definirϕ = Rg−1h y notar que ϕ(g) = g(g−1h) = h y tambien podemoshacer ϕ = Lhg−1 para obtener ϕ(g) = (hg−1)g = h.

Por el resultado anterior se dice que todo grupo topologico Ges homogeneo, lo que significa que G tiene la misma estructuratopologica alrededor de cualquier punto; su estructura es homogenea.

Lema 3.41. Sea e ∈ G el elemento neutro de un grupo topologicoG. Entonces G es Hausdorff⇐⇒ e es cerrado.

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4. GRUPOS DE MATRICES 69

Dem. ⇒ Se sigue de Lema 1.81 (todo conjunto finito es cer-rado)⇐ Supongamos e es cerrado y consideremos φ : G × G → G

definida como φ(g, h) = gh−1. Notemos que φ se obtiene del dia-grama:

G inv // G i // G× G

m

h // h−1 i // (g, h−1)_

G gh−1

de donde se observa que φ es composicion de funciones continuas,por lo que tambien es continua. Por otro lado, notemos que

φ−1(e) = (g, g) | g ∈ G = 4 ⊆ G× G

el cual es cerrado, lo cual es cierto ⇐⇒ G es Hausdorff (Teorema1.84).

Si G es un grupo topologico y H ⊆ G es subgrupo, entonces, aldotar a H de la topologıa del subespacio, se tiene que H es grupotopologico llamado subgrupo topologico. Con esto el subgrupo decomplejos unitarios S1 es subgrupo topologico de C∗, los complejosno cero.

4. Grupos de matrices

El conjunto de matrices cuadradas Mn(R) = Mn,n(R) se identi-ficar con el espacio euclidiano Rn2

de la manera usual. La funciondeterminante det : Mn(R) → R es una funcion polinomial en lasentradas de A, por lo tanto es una funcion continua. Con esto, elsubespacio det−1(0) es cerrado y su complemento

GLn(R) = Rn2\det−1(0)

consiste de las matrices cuadradas invertibles. Por lo mencionadoantes hereda la estructura topologica de Rn2

y ademas forma ungrupo bajo la multiplicacion matricial, el cual esta dado por poli-nomios en las entradas de las matrices por lo que es una operacioncontinua. La funcion de inversion A 7→ A−1 es una funcion racionalen los coeficientes de A (por la regla de Cramer) por lo que es con-tinua; es decir, GLn(R) es un grupo topologico llamado el grupogeneral lineal real. De manera analoga se define el grupo generallineal complejo GLn(C). Observemos que ambos grupos son Haus-dorff.

https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer

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70 3. COMPACIDAD

Los grupos topologicos GLn(R), GLn(C) tienen subgrupos muyinteresantes:

• GL+n (R) = A ∈ Mn(R) | det(A) > 0

• El grupo especial lineal

SLn(R) = A ∈ Mn(R) | det(A) = 1

Notemos que SLn(R) = det−1(1), por lo que SLn(R) essubespacio cerrado de GLn(R).• El grupo especial lineal

SLn(C) = A ∈ Mn(C) | det(A) = 1

Al igual que antes SLn(C) es subespacio cerrado.• El grupo unitario

Un(C) = A ∈ Mn(C) | AT · A = I

• El grupo especial unitario

SUn(C) = Un(C) ∩ SLn(C)

donde AT es la matriz traspuesta de A = [aij] dada por AT = [aji]

y ATes matriz conjugada hermitiana dada por AT

= [aij]T = [aji].

A continuacion estudiaremos algunos de los grupos mencionadosarriba.

zConsideremos p : Mn(R) → Rn funcion que manda toda ma-triz a su primer vector columna. Al considerar la descomposicionMn(R) ∼= Rn×Mn,n−1(R), en la que separamos la primera columna,la funcion p es proyeccion en el primer factor y por el Lema 1.72 esfuncion continua y abierta; en particular, la restriccion

GL+n (R) −→ Rn\0

es funcion continua y abierta. Observemos que por definicion demultiplicacion matricial se tiene que p(AB) = Ap(B) = LA(p(B)),donde LA(B) = AB es multiplicacion por la izquierda por A y de-fine un homeomorfismo de GL+

n (R). Finalmente, dado que todovector no cero determina un conjunto linealmente independientede vectores, se sigue que ∀v ∈ Rn\0, p−1(v) 6= ∅.

Afirm. LA(p−1(v)) = p−1(Av).Para C ∈ LA(p−1(v)) existe B ∈ p−1(v), C = AB; de aquı

p(C) = p(AB) = Ap(B) = Av,

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por lo que C ∈ p−1(Av). Por otro lado, sea C ∈ p−1(Av) y tomemosB ∈ GLn(R) tal que p(B) = v; de esto se sigue

p(C) = Av = Ap(B) = LA(p(B))

Ası, C ∈ LA(p−1(v)).J

Las propiedades mencionadas arriba se usaran para probar elsiguiente

Teorema 3.42. El grupo GL+n (R) es conexo.

Dem. Procedamos por induccion: observemos que GL+1 (R) =

(0, ∞), el cual es conexo. Supongamos que GL+n−1(R) es conexo.

Tomemos la proyeccion p de arriba y notemos que para (1, . . . , 0) ∈Rn\0

p−1((1, 0, . . . , 0)) = Rn−1 × GL+n−1(R)

el cual es conexo por hipotesis. Para y ∈ Rn\0 tomamos A ∈GL+

n (R) tal que p(A) = y. De la relacion p(AB) = Ap(B) se sigueque

LA(p−1(1, . . . , 0)) = p−1(y)

por lo que las preimagenes p−1(y) son homeomorfas. Finalmenteusamos el Lema 2.11 para concluir que GL+

n (R) es conexo.

La demostracion anterior aplica tambien para GLn(C) probandoque es conexo.

Corolario 3.43. Los grupos topologicos SLn(R), SLn(C) sonconexos y GLn(R) tiene dos componentes conexas.

Dem. Dada una matriz A, tomamos su primer vector columna ylo multiplicamos por 1/ det(A), con lo que obtenemos las funciones

GLn(C) −→ SLn(C), GL+n (R) −→ SLn(R)

Dado que estas funciones son continuas y sobreyectivas, del Teo-rema anterior se sigue la primera afirmacion. Para la segunda note-mos que se tiene una descomposicion

GLn(R) = GL+n (R) ∪ GL−n (R),

donde el termino GL−n (R) es homeomorfo a GL+n (R) mediante la

multiplicacion de una matriz con determinante negativo.

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72 3. COMPACIDAD

Ejemplo 3.44 (El grupo de Heisenberg). Consideremos el grupo dematrices triangulares superiores unipotentes

H =

1 x z

0 1 y0 0 1

| x, y, z ∈ Z

Claramente tienen det = 1 por lo que H es un subgrupo de SL3(R),el grupo de Heisenberg. Por otro lado, como x, y, z pueden ser arbi-trariamente grandes se tiene que H no esta acotado por lo que nopuede ser compacto. En general, los grupos SLn(R), SLn(C) no soncompactos para n > 1; vease Ejercicio 4.42 en [Manetti]. J

4.1. Matrices ortogonales. Una matriz A ∈ Mn(R) tal que AT A =In es llamada matriz ortogonal. Dado que la matriz inversa de unamatriz ortogonal A es AT y como

(AB)T(AB) = BT AT AB = BInBT = BBT = In

se sigue el conjunto de matrices orgonales On(R) es un grupo lla-mado el grupo ortogonal real.

Hagamos A = [aij] y notemos que de la relacion AT A = In setienen n2 ecuaciones:

n

∑k=1

akiakj = δij,

donde δij es la delta de Kronecker definido como

δij =

1, i = j0, i 6= j

Las ecuaciones anteriores muestran que On(R) es un subgrupo cer-rado de GLn(R).

Consideremos A ∈ Ok(R), B ∈ On−k(R). En la Seccion 6 con-sideraremos el subgrupo de On(R) dado por(

A 0k,n−k0n−k,k B

)Con esto se identifica la inclusion Ok(R)×On−k(R) ⊂ On(R).

Notemos que para A ∈ On(R)

(det A)2 = det AT det A = det(AT A) = det In = 1

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por lo que On(R) = O+n (R) ∪O−n (R), donde

SOn(R) = O+n (R) = A ∈ On(R) | det A = 1

es llamado el grupo ortogonal especial. Similarmente a lo que sehizo antes, SOn(R) se puede expresar como subgrupo de SOn+1(R)mediante la identificacion:

(A 00 1

)=

a11 · · · a1n 0... . . . ...

...an1 · · · ann 00 · · · 0 1

para A = [aij] ∈ SOn(R).

La importancia de los grupos ortogonales se debe a su relacioncon las isometrıas: funciones biyectivas f : Rn → Rn que preservandistancia; es decir, | f (x)− f (y)| = |x− y|. Si f (0) = 0 entonces sellama una isometrıa lineal y en la base canonica corresponde a unamatriz en GLn(R). Mas aun,

Lema 3.45. Para A ∈ GLn(R) las siguientes condiciones sonequivalentes:

• A es isometrıa lineal• Ax · Ay = x · y, ∀x, y ∈ Rn

• A es ortogonalAquı x · y corresponde al producto interno usual de vectores en Rn.

Por este resultado ([Baker, Prop.1.38]) los elementos de SOn(R)son llamados isometrıas directas o rotaciones, las cuales estan carac-terizados por la rotacion en Rn de un plano en un angulo Θ respectoa una linea l perpendicular a dicho plano. Mas aun, del resultadose sigue que los vectores columnas de una matriz en SOn(R) sonortonormales entre si.

Ejemplo 3.46. • Notemos que SO1(R) = 1, el grupo trivial.• Tomemos A ∈ SO2(R) y tomemos su primer vector columna,

digamos z ∈ S1. Notemos que el segundo vector columnaqueda determinado automaticamente: es iz, con i2 = −1.Mas aun, se tiene una biyeccion S1 ↔ SO2(R) que, de he-cho, es un isomorfismo de grupos (multiplicativos) ([Lima,Sec.4.1]).

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74 3. COMPACIDAD

• Otra forma de ver el isomorfismo anterior es como sigue:consideremos C ⊆ M2(R) dado por

C = (

a −bb a

)| a, b ∈ R

La funcion F : C → C dada por F(a + ib) =

(a −bb a

)define un isomorfismo de grupos aditivos. Por restricciona los complejos unitarios F induce un isomorfismo entreSO2(R) y S1.• De las descripciones anteriores podemos describir a A ∈

SO2(R) como sigue: tomemos z ∈ S1 y lo escribimos z =cos(2πα) + i sin(2πα), para algun α ∈ [0, 1). La matriz derotacion tiene la forma(

cos(2πα) − sin(2πα)sin(2πα) cos(2πα)

)y su efecto en un vector x ∈ R2 esta dado por la multipli-cacion A · x.• El grupo de rotaciones SO3(R) en R3 sera interpretado como

cierto espacio cociente de la esfera llamado el espacio proyec-tivo RP3 (Lema 4.49). Para dimensiones mayores no setiene ninguna relacion entre RPn y SOn(R).

A continuacion un resultado para estudiar las propiedades topologicasdel grupo ortogonal:

Lema 3.47. Sea f : X → Y funcion continua y sobreyectiva, con Xcompacto y Y conexo y Hausdorff. Si todas las preimagenes f−1(y)son conexos, ∀y ∈ Y, entonces X es conexo.

Dem. Notemos que f es funcion cerrada; el resultado se siguedel Lema 2.11.

Teorema 3.48. Los grupos topologicos SOn(R), Un(C), SUn(C)son compactos y conexos.

Dem.4! Consideraremos el caso real. Consideremos la funcion

Mn(R) −→ Mn(R)×R, A 7→ (AAT, det(A))

y notemos que la preimagen de (I, 1) es SOn(R), lo que lo hacesubconjunto cerrado de Mn(R). Por otro lado, dado que para A =

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5. COMPACIDAD LOCAL 75

[aij] ∈ SOn(R) se tiene AAT = I, det(A) = 1 los coeficientes pertenecenal conjunto

[aij] | ∑i,j

a2ij = n

probando que SOn(R) esta acotado y por tanto es compacto.Para probar la conexidad procedemos como sigue: consideremos lafuncion

p : SOn(R) −→ Sn−1

que manda una matriz a su primer vector columna. La funcion p escontinua y ademas cumple (como ya se probo antes)

p(AB) = Ap(B), LA(p−1(v)) = p−1(Av)

mostrando que todas las preimagenes son homeomorfas. Aplicare-mos el Lema 3.47 de arriba para obtener la conexidad de SOn(R)para lo cual necesitamos conocer la conexidad de las preimagenes.Primero observemos que SO1(R) = 1, el cual es conexo. Supong-amos que SOn−1(R) es conexo, y notemos que es la preimagen de(1, 0, . . . , 0). Por el Lema 3.47 se obtiene que SOn(R) es conexo.

5. Compacidad local

Decimos que un espacio X es localmente compacto si todo puntox ∈ X tiene una vecindad compacta.

Ejemplo 3.49. Cualquier abierto de Rn es localmente compacto puessi U ⊆ Rn es abierto, para x ∈ U existe r > 0 tal que Br(x) ⊂ U. Labola cerrada BR(x), con R < r, es vecindad compacta de x. Tambientodo espacio discreto es localmente compacto.J

Teorema 3.50. Todo espacio compacto X es localmente compacto.

Dem. Sean x ∈ X y U vecindad de x. Puesto que U ⊂ U y comoU es compacto, pues es cerrado, el resultado se sigue.

La propiedad de ser localmente compacto es una propiedad quese hereda a subespacios cerrados.

Teorema 3.51. Todo subespacio cerrado de un espacio localmentecompacto es localmente compacto.

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76 3. COMPACIDAD

Dem. Sean Y ⊂ X cerrado con X localmente compacto. Cualquiery ∈ Y tiene una vecindad compacta U. Notemos que Y∩U es vecin-dad en Y que es compacta pues es cerrada en U.

Para que la propiedad sea heredada a abiertos es necesaria lacondicion de ser Hausdorff

Lema 3.52. Todo subespacio abierto de un espacio localmente com-pacto y Hausdorff es localmente compacto.

El resultado anterior se obtiene al notar que todo espacio lo-calmente compacto y Hausdorff es regular, por lo cual toda vecin-dad de cualquier punto contiene la cerradura de una vecindad delpunto.

Lema 3.53. El producto de dos espacios localmente compactos eslocalmente compacto.

Dem. Sean X, Y localmente compactos y (x, y) ∈ X × Y. Note-mos que el producto U × V de dos vecindades compactas de x ∈U ⊂ X y y ∈ V ⊂ Y es vecindad compacta de (x, y) ∈ X×Y.

Es falso que el producto arbitrario de espacios localmente com-pactos sea localmente compacto pero es inmediato notar que

Lema 3.54. El producto ∏i∈I Xi, donde Xi 6= ∅, ∀i ∈ I, es local-mente compacto⇐⇒ todo Xi es localmente compacto y existe I0 ⊂ Ifinito, tal que Xi es compacto para i ∈ I\I0.

Este es el Teorema 3.3.13 en [Engelking]. Como se vera masadelante (pero lo iniciamos aquı) la propiedad de ser localmentecompacto se enriquece enormemente con la de ser Hausdorff

Teorema 3.55. Sea X localmente compacto y Hausdorff. Entoncestodo punto de X tiene una base de vecindades compactas.

Dem. Sean x ∈ X, con X Hausdorff y K vecindad compacta de x.Sea U abierto con x ∈ U y tomemos el compacto (pues es cerrado)A = K\U y las siguientes inclusiones

x × A ⊂ (K× K)\4 ⊂ K× K

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6. TOPOLOGIA COMPACTO ABIERTO Y Top(X) 77

Por el Teorema de Wallace existen dos abiertos disjuntos V, W ⊂ Ktales que x ∈ V, A ⊂ W. Notemos que V ∩ K es abierto en K ypor tanto tambien en X. Por otro lado, como K es cerrado en X,K\W es cerrado en X, y como V ⊂ K\W se sigue que V ⊂ K\W.Observemos entonces que

x ∈ V ∩ K ⊂ V ⊂ V ⊂ K\W ⊆ K\A = K ∩U,

de donde V es vecindad compacta de x contenida en K∩U; es decir,toda vecindad compacta K de x y todo abierto U que lo contienedeterminan una vecindad compacta V de x.

Usaremos el resultado anterior en la Seccion 1 para probar quebajo la hipotesis de compacidad local y Hausdorff, el producto defunciones cociente es una funcion cociente

6. Topologıa compacto abierto y Top(X)

Recordemos que el conjunto de homeomorfismos Top(X) de unespacio X es un grupo bajo la operacion de composicion (Lema1.40). Al usar la topologia discreta se obtiene una estructura degrupo topologico en Top(X), pero como esta topologia no resultamuy util, resulta natural preguntar: ¿de que otras formas se puedetopologizar al grupo de homeomorfismos? En lo que sigue intro-duciremos una topologıa en un conjunto de funciones para despuesparticularizar al caso de Top(X).

Consideremos el conjunto C(X, Y) de todas las funciones contin-uas X → Y. Para cada par K, U de un compacto K ⊂ X y un abiertoU ⊂ Y consideramos el conjunto

W(K, U) = f ∈ C(X, Y) | f (K) ⊂ U

El conjunto C(X, Y) es un espacio topologico teniendo a la coleccionW(K, U) como subbase; es decir, la coleccion τco de uniones arbi-trarias de intersecciones finitas es una topologıa llamada la Topologıacompacto-abierto.

Teorema 3.56. Sean X, Y espacio con X localmente compacto yHausdorff, y P subbase para Y. La familia

(6.1) W(K, U) | U ∈ P , K ⊂ X compactoes una subbase para la topologıa compacto-abierto de C(X, Y).

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78 3. COMPACIDAD

Dem. Probaremos que la coleccion intersecciones finitas de ele-mentos en (6.1) forman una base para C(X, Y); en particular, vere-mos que para f ∈ W(K, U), con U ⊆ Y abierto, existen compactosK1, . . . , Kn y abiertos U1, . . . , Un ∈ P tales que

f ∈W(K1, U1) ∩ · · · ∩W(Kn, Un) ⊆W(K, U)

Sea B la base para Y determinada por P . Dado que f (K) es com-pacto, existen V1, . . . , Vm ∈ B tales que

f (K) ⊆ V1 ∪V2 ∪ · · · ∪Vm ⊆ U

Como X es localmente compacto todo x ∈ K tiene vecindad com-pacta Kx; ademas f (Kx) ⊆ Vi, para algun i. Observemos que losinteriores Kx forman una cubierta abierta de K por lo que existeS ⊂ K finito tal que K ⊂ ∪Kx | x ∈ S. Para cada i = 1, . . . , mdefinamos

Ki = ∪Kx | x ∈ S, f (Kx) ⊂ ViNotemos que cada Ki es compacto y ademas

f ∈W(K1, V1) ∩W(K2, V2) ∩ · · · ∩W(Km, Vm) ⊂W(K, U)

Finalmente, para cada Vi tomemos Ui1, . . . , Uis ∈ P tales que Vi =Ui1 ∩ · · · ∩Uis y notemos que

W(Ki, Ui1) ∩W(Ki, Ui2) ∩ · · ·W(Ki, Uis) = W(Ki, Vi)

y el resultado se sigue.

zCon el resultado anterior puede observarse que la topologıa τcotoma en cuenta la topologıa tanto de X, como la de Y. Aunque τcono se define usando ninguna metrica, cuando Y es espacio metricoτco coincide con la topologıa de la convergencia compacta; vease[Munkres, Teo.46.8].z

Lema 3.57. Sea f : X×Y → Z funcion continua y definimos

f : X → C(Y, Z), f (x)(y) = f (x, y).

Entonces f es continua.

Dem. Sea W(K, U) elemento de la sub-base para C(Y, Z) y con-sideremos x ∈ X tal que f (x) ∈W(K, U); es decir,

f (x × K) ⊆ U ⇐⇒ x × K ⊆ f−1(U),

que es abierto pues f es continua. Por el Teorema de Wallace existeA ⊆ X abierto tal que x ∈ A con

A× K ⊆ f−1(U)⇐⇒ f (A× K) ⊆ U;

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6. TOPOLOGIA COMPACTO ABIERTO Y Top(X) 79

es decir, f (A) ⊆W(K, U) lo que prueba que f es continua.

De este resultado se define una asociacion

C(X×Y, Z) −→ C(X, C(Y, Z)), f 7−→ f

entre espacios de funciones continuas.

Lema 3.58. Si Y es localmente compacto y Hausdorff, entonces laasociacion de arriba es una biyeccion.

Dem. Si denotamos por γ a la asociacion de arriba debemos pro-bar que γ es sobreyectiva. Definamos, para toda funcion continuag : X −→ C(Y, Z) definimos

f : X×Y −→ Z, f (x, y) = g(x)(y)

Basta ver que f es continua. Sea U ⊆ Z abierto y tomemos (x, y) ∈f−1(U). Dado que Y es localmente compacto existe B ⊆ Y compactocon y ∈ B con g(x)(B) ⊆ U y ademas g(x) ∈ W(B, U). Finalmente,como g es continua x tiene una vecindad A ⊆ X tal que

g(A) ⊆W(B, U)⇒ f (A× B) ⊆ U

y por lo tanto f es continua.

zSe tiene una relacion cerca con homotopıa: dadas f , g ∈ C(X, Y)una homotopıa H : X × I → Y entre ellas induce una funcion con-tinua

H : I −→ C(X, Y)

y si X es localmente compacto y T2 entonces H continua ⇐⇒ Hcontinua. Finalmente observemos que H determina un camino en-tre f y g.z

La topologıa τco hace que la asociacion γ sea mas que una biyeccion:

Lema 3.59. Si X es localmente compacto y Hausdorff, entonces lafuncion γ es continua.

Dem. Por hipotesis (y el Teorema 3.56) podemos considerar enC(X, C(Y, Z)) sub-base que consiste de elementos de la forma

W(H, W(K, U)),

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80 3. COMPACIDAD

con H ⊆ X compacto, K ⊆ Y compacto y U ⊆ Z abierto. Porconstruccion de la funcion γ se tiene que

γ(W(H × K, U)) ⊆W(H, W(K, U))

como se querıa probar.

Lema 3.60. Si X, Y son localmente compactos y Hausdorff, entoncesla funcion continua γ es un homeomorfismo.

Dem. Consideramos W(H × K, U) como arriba y probaremosque es un elemento de la sub-base para la topologıa compacto-abierto en C(X × Y, Z). Tomamos T ⊆ X × Y compacto y f ∈W(T, U). Para todo t ∈ T existen compactos Kt ⊆ X, Ht ⊆ Y talesque f (Kt × Ht) ⊆ U con t en (Kt × Ht).Dado que T es compacto y (Kt × Ht) parametriza una cubiertaabierta para T existen

K1, . . . , Kn ⊆ X, H1, . . . , Hn ⊆ Y

tales que T ⊆ ⋃ni=1(Kti × Hti) con f (Ki × Hi) ⊆ U, para i = 1, . . . , n.

De aquı se tiene que

f ∈n⋂

i=1

W(Ki × Hi) ⊆W(T, U)

como se querıa.

Ejercicio 3.61. Si X es localmente compacto y Hausdorff, pruebeque la funcion evaluacion

C(X, Y)× X −→ Y, ( f , x) 7→ f (x)

es una funcion continua.

Teorema 3.62. Para X, Y, Z espacios localmente compactos yHausdorff, la composicion

C(Y, Z)× C(X, Y) −→ C(X, Z), ( f , g) 7→ f g

define una funcion continua con la topologıa compacto-abierto.

Dem. Vease [Felix& Tanre, p.224] y/o [Aguilar& Gitler& Prieto,Sec.1.3] y/o [Manetti, Ejer.8.22].

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7. COMPACTIFICACION DE ALEXANDROFF 81

Regresamos al caso del grupo Top(X) de homeomorfismos deun espacio topologico.

Lema 3.63. Si X es compacto y Hausdorff, entonces la topolo-gia compacto-abierto induce en Top(X) una estructura de grupotopologico.

Dem. Vease [VINK, p.195], [Manetti, Ejer.8.22].

Corolario 3.64. La topologıa compacto-abierto induce en Top(R)una estructura de grupo topologico.

Ejercicio 3.65. Sea X conjunto con n puntos dotado de latopologıa discreta. Pruebe que el espacio C(X, Y) dotado dela topologıa compacto-abierto es homeomorfo al producto Yn.

El ejercicio anterior muestra que la topologıa compacto-abiertogeneraliza la topologıa producto para el caso en que uno de losespacios sea discreto.

7. Compactificacion de Alexandroff

Como vimos en el Ejemplo 3.49 Rn es un espacio no compactoque contiene muchos compactos; es decir, es localmente compacto.En esta seccion veremos que a Rn no le falta mucho para ser com-pacto, basta anadirle un punto al infinito.

Sean (X, τ) espacio localmente compacto, no compacto, Haus-dorff y ∞ un elemento que no pertenece a X. Consideremos X =X t ∞ y definimos la coleccion

τ′ = A | A ∈ τ ∪ (X\K) ∪ ∞ | K ⊂ X compacto

El espacio topologico (X, τ′) es llamado la compactificacion de Alexan-droff (o unipuntual) de X. Las principales propiedades de X estandadas en el siguiente resultado

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82 3. COMPACIDAD

Teorema 3.66 (de Alexandroff). Bajo las condiciones anteriores:(1) (X, τ′) es espacio Hausdorff compacto.(2) La topologıa inducida por X en X coincide con τ.(3) ∞ es punto de acumulacion de X.

Dem. (1) Para x, y ∈ X la condicion deser Hausdorff se sigue deinmediato. Por otro lado, para x ∈ X tomemos V vecindad com-pacta de x; notemos que V, (X\V) ∪ ∞ son vecindades disjuntasde x y ∞, respectivamente. Esto prueba que X es Hausdorff.Sea U = Ui cubierta abierta de X. Existe j tal que Uj = (X\K) ∪∞, con K compacto de X. Notemos que U\Uj es cubierta abiertapara K, y como es compacto, existen U1, . . . , Un tales que K ⊆∪n

i=1Ui; de aquı que

U1, . . . , Un, Uj

es una subcubierta finta para X.(2) Dado A ∈ τ′ notamos que si A ∈ τ entonces A∩ X = A, abiertode X. Por otro lado, si A = (X\K) ∪ ∞ entonces A ∩ X = X\K,el cual es abierto en X pues es Hausdorff.(3) Dado que X no es compacto, para todo K ⊆ X compacto se tieneque X\K 6= ∅ y entonces toda vecindad de ∞ contiene puntos de Xdistintos de el.

En particular, X es el unico espacio topologico, salvo homeomor-fismo, con la propiedades de arriba.

zEn terminos formales La compactificacion de un espacio X esuna pareja (Y, c) con Y espacio compacto y c : X → Y un encaje (in-mersion) tal que c(X) = Y. La compactificacion de Alexandroff esla compactificacion mas pequena de X; la compactifiacion mas grandees llamada de Cech-Stone: I = [0, 1], S1 son la compactificacion deCech-Stone y de Alexandroff de la recta R, respectivamente; vease[Engelking, Sec.3.5].z

Lema 3.67. Sea f : X → Y inmersion abierta entre espacios Haus-dorff. Entonces la funcion

g : Y −→ X, g(y) =

x, y = f (x)∞, y /∈ im f

es continua.

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Dem. Sea U ⊆ X abierto. Si U ⊆ X entonces g−1(U) = f (U); si,por el contrario U = X\K ∪ ∞, para cierto compacto K ⊆ X, en-tonces g−1(U) = Y\ f (K), el cual es abierto pues K es compacto.

En particular, para todo espacio compacto Hausdorff Y tomamosX = Y\x y f : X → Y inclusion. En estas condiciones, g esuna biyeccion continua entre espacios compactos y Hausdorff y portanto homeomorfismos. Ası, Y coincide con la compactificacion deY\y, para cualquier y ∈ Y.

7.1. Proyeccion estereografica. Consideremos Sn ⊂ Rn+1 esferaunitaria y tomemos su polo norte N = (0, 0, 0, . . . , 1). Identificamosa Rn con el hiperplano H ⊂ Rn+1 dado por la ecuacion xn = 0.

Lema 3.68. El espacio Rn es homeomorfo a Sn\N

Dem. La proyeccion estereografica es la funcion

h : Sn\N −→ Rn,

donde h(x) es la interseccion de H con la linea determinada por xy N. En coordenadas:

h(x0, x1, . . . , xn) =1

1− x0(x1, . . . , xn)

La funcion es claramente continua y tiene por inversa:

h−1(y1, y2, . . . , yn) =1

1 + ∑i y2i(∑

iy2

i − 1, 2y1, . . . , 2yn)

que tambien es continua. Lo que prueba el homeomorfismo Rn ∼=Sn\N.

Figura 1. Proyeccion estereografica en dimension 1.Imagen tomada (sin permiso) de [Manetti]

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84 3. COMPACIDAD

A partir del homeomorfismo anterior Sn\N ∼= Rn se obtiene que

Rn ∪ ∞ ∼= Sn,

lo cual prueba que la compactificacion de Alexandroff del espacioeuclidiano Rn es la esfera Sn. Para n = 2 la esfera S2 ∼= C ∪ ∞es llamada la esfera de Riemann que juega un rol importante enAnalisis Complejo.

7.2. El numero de Lebesgue. Dada una cubierta abierta A, unnumero δ > 0 es llamado el numero de Lebesgue de A si todo con-junto de “tamano” menor que δ esta contenido en algun elementode A. El siguiente resultado garantiza la existencia del numero deLebesgue para un espacio compacto metrico.

Teorema 3.69 (de Lebesgue). Sean Y espacio metrico compacto,f : Y → X funcion continua y A cubierta abierta de X. Entoncesexiste un numero real positivo δ tal que

f (Bδ(y)) ⊆ U, p.a. U ∈ Apara cualquier y ∈ Y.

Dem. Para cada entero positivo n definamos

Yn = y ∈ Y | B2−n(y) ⊆ f−1(U), para algun U ∈ ANotemos que por definicion Yn ⊆ Yn+1; ademas, como A es cubiertapara X, la coleccion f−1(U) | U ∈ A es cubierta de Y y se tieneque ∪nYn = Y.Afirm. Yn ⊆ Yn+1. Sea y ∈ Yn y elijamos U ∈ A tal que B2−n(y) ⊂f−1(U) y tomemos z ∈ B2−(n+1)(y). Notemos que para w ∈ B2−(n+1)(z)se tiene

d(w, y) ≤ d(w, z) + d(z, y)

≤ 2−(n+1) + 2−(n+1) = 2−n

Es decir, B2−(n+1)(z) ⊆ B2−n(y) por lo que z ∈ Yn+1 y y ∈ Yn+1. Enparticular ∪nYn = Y. Como Y es compacto Y = Ym, para algun m;finalmente Y = Ym, por construccion.

La existencia del numero de Lebesgue para un espacio X puedegarantizarse con el comportamiento de funciones continuas definidasen X; aquı mas informacion al respecto. El siguiente corolario serade gran utilidad cuando se estudia la funcion exponencial R → S1

en el calculo del grupo fundamental de S1.

http://www.mtts.org.in/userapps/download-expo.php?fileid=60

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Corolario 3.70. Sea α : I → X camino y A cubierta abiertade X. Entonces existe un entero positivo n tal que para cadai = 0, 1, 2, . . . , n− 1

α([in

,i + 1

n])

esta contenido en algun elemento de A.

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CAPITULO 4

Topologıa Cociente

En este capıtulo definiremos una nueva forma de construir espacios atraves del concepto de topologıa cociente. Un espacio cociente formalizay generaliza la operacion de pegado de espacios, una construccion muycomun entre los topologos y geometras del s.XIX que estaba basada mas enla intuicion que en la formalidad.

1. Funcion cociente

Sean X, Y espacios topologicos y f : X → Y funcion. Decimosque f es una funcion cociente (funcion identificacion) si cumple:

(1) f es sobreyectiva(2) f es continua(3) Los abiertos U ⊂ Y son aquellos tales que f−1(U) ⊂ X son

abiertos.

Es decir, f es funcion cociente si U ⊆ Y es abierto ⇐⇒ la pre-imagen f−1(U) ⊆ X es abierto; ası, ser funcion cociente es masfuerte que ser continua. Al igual como ocurre con la nocion defuncion continua, es posible dar una definicion mediante cerra-dos: una funcion cociente es aquella que satisface las propiedades(1), (2) y ademas para C ⊂ Y cerrado ⇐⇒ f−1(C) ⊂ X es cerrado.La equivalencia entre las dos definiciones se obtiene al observar quef−1(Y\C) = X\ f−1(C) (por ser f sobre).

En general, una funcion cociente no es una funcion abierta perosi lleva ciertos abiertos de X en abiertos de Y: decimos que A ⊆ Xes saturado respecto a una funcion cociente f si

A = f−1(B) =⋃

y∈Bf−1(y)

para cierto B ⊆ Y. Ası, A es saturado si es la union de las fibrasf−1(y) de algun subconjunto de Y. 1 Con esto, una funcion cociente

1En general, la saturacion de A ⊆ X es la union f−1 f (A) = ∪y∈ f (A) f−1(y)de todas las fibras que intersectan a A. De aquı, A saturado⇐⇒ A = f−1 f (A).

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88 4. TOPOLOGIA COCIENTE

es aquella funcion continua que lleva subconjuntos saturados abier-tos de X en abiertos de Y (o saturados cerrados en cerrados de Y);vease [Møller], Proposicion 2.77.

Dos tipos de funciones cociente resultaran de importancia enlo que sigue: una funcion cociente es abierta (resp. cerrada) si esfuncion abierta (resp. cerrada).

Lema 4.1. Sea f : X → Y funcion continua y sobreyectiva. Sif es abierta (resp. cerrada), es una funcion cociente abierta (resp.cerrada).

Dem. Resta ver que f satisface la tercera propiedad en la definicionde funcion cociente. Como f es sobreyectiva, para A ⊂ Y se tienef ( f−1(A)) = A. Ası, si f es abierta y A ⊂ Y cumple que f−1(A) esabierto se sigue que f ( f−1(A)) = A es abierto, lo cual indica que fes funcion cociente. De igual manera si f es cerrada.

Cabe mencionar que existen funciones cocientes que no son niabiertas ni cerradas.

Ejemplo 4.2. Tomemos X = [0, 1] ∪ [2, 3], Y = [0, 2] y definamosf : X → Y mediante

f (x) =

x, x ∈ [0, 1]x− 1, x ∈ [2, 3]

Notemos que f es continua, sobreyectiva y cerrada y por lo tantouna funcion cociente. Por otro lado, notemos que el abierto [0, 1] ⊂X no tiene imagen abierta en Y; asi que f no es funcion cocienteabierta. J

Ejemplo 4.3. Sabemos que la proyeccion R×R→ R en la primeracoordenada es una funcion continua, sobreyectiva y abierta; ası, esuna funcion cociente. Por otro lado vemos que el subconjunto

C = (x, y) ∈ R2 | xy = 1es cerrado (Ejemplo 1.76) pero su imagen = R\0 no es cerradoen R. J


f : [0, 2π] −→ S1, t 7−→ (cos t, sin t)

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1. FUNCION COCIENTE 89

y notemos que es sobreyectiva y continua. Como su dominio escompacto y su contradominio es Hausdorff, es cerrada. De aquıque f es funcion cociente cerrada. Finalmente notemos que no esabierta pues el abierto [0, 1) no tiene imagen abierta en S1. J

Para f : X → Y funcion cociente se tienen las siguientes propiedadesdirectamente de la definicion:

• La funcion identidad 1 : X → X es funcion cociente.• Si g : Y → Z es funcion cociente, g f tambien lo es. (Ejer-

cicio 5.1 en [Manetti])• Si h : Y → Z es funcion continua, y h f : X → Z es

funcion cociente entonces h es funcion cociente. (Ejercicio5.2 en [Manetti])

Por otro lado, si f : X → Y, g : Z → W son funciones cocienteabiertas, entonces

f × g : X× Z −→ Y×W

es tambien funcion cociente abierta; ver [Manetti, Ejer5.3]. Aquı esposible reemplazar la propiedad de ser abierta por ser localmentecompacto y Hausdorff a traves del Teorema de Whitehead: paraf : X → Y funcion cociente y Z espacio localmente compacto y Hausdorffel producto

f × IZ : X× Z −→ Y× Z, (x, z) 7→ ( f (x), z)

es funcion cociente.

La demostracion de este resultado se puede encontrar en [Engelking,p. 151], [Møller, Lema 2.88] pero tambien puede darse otra basandoseen el Teorema 3.55 sobre la existencia de bases locales compactas:

La siguiente propiedad de una funcion cociente es paralela alLema 1.73 donde se determina la continuidad de una funcion paraX×Y en terminos de sus funciones componentes.

Teorema 4.5. Sea f : X → Y funcion cociente. Una funciong : Y → Z es continua ⇐⇒ la composicion g f : X → Z escontinua

X

f

g f

Y

g// Z

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Dem. ⇒ Es claro. ⇐ Si g f es continua, dado U ⊂ Z abierto

(g f )−1(U) = f−1(g−1(U))

es abierto; de donde g−1(U) ⊂ Y es abierto y g es continua.

Como consecuencia de lo anterior se tiene la siguiente propiedadde las funciones cocientes.

Corolario 4.6 (Prop. Univ. del Cociente). Sean f : X → Yfuncion cociente y g : X → Z funcion continua que es constante enlas preimagenes f−1(y), ∀y ∈ Y. Entonces existe una unica funcioncontinua h : Y → Z tal que h f = g

X

f

g// Z

Y

h??

Dem. Como g es constante en f−1(y) se tiene que si f (x) = f (y)entonces g(x) = g(y). Equivalentemente, para y ∈ Y el conjuntog( f−1(y)) es unipuntual, digamos g( f−1(y)) = z. Definamosh(y) = z y notemos que para todo x ∈ X se tiene (h f )(x) = g(x).La continuidad de h se sigue del teorema anterior.

La propiedad universal anterior afirma que toda funcion con-tinua g : X → Z factoriza a traves de una funcion cociente: g =h f . El resultado siguiente establece la relacion entre una funcioncociente y la conexidad de los espacios.

Lema 4.7. Sea f : X → Y funcion cociente. Si las componentesconexas de X son abiertas, entonces las componentes conexas de Ytambien lo son.

Dem. Ejercicio 5.4 en [Manetti].

Teorema 4.8. Sea f : X → Y funcion cociente tal que f−1(y) esconexo, ∀y ∈ Y. Entonces todo abierto, cerrado y no vacio de X essaturado.

Dem. Ejercicio 5.5 en [Manetti].

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2. TOPOLOGIA COCIENTE 91

Corolario 4.9. Si f : X → Y es funcion cociente con Y conexo,entonces X es conexo.

Ejemplo 4.10. Consideremos Dn disco unitario y Sn esfera unitariacomo sigue

Dn = x ∈ Rn | ||x||2 ≤ 1, Sn = (x, y) ∈ Rn×R | ||x||2 + y2 = 1para definir f : Dn → Sn mediante

f (x) = (2x√

1− ||x||2, 2||x||2 − 1)

Notemos que f es continua y sobreyectiva. Ademas, dado que eldominio es compacto y el contradominio es Hausdorff f es unafuncion cociente cerrada. Por otro lado, observemos que la re-striccion

f : x ∈ Dn | ||x|| < 1 −→ (x, y) ∈ Sn | y < 1es un homeomorfismo. Finalmente notemos que f (∂Dn) = (0, 1) ∈Sn por lo que f envıa la frontera del disco en un punto de la esfera.Volveremos a este ejemplo mas tarde (Ejemplo 4.16).J

2. Topologıa cociente

Sean X espacio topologico y Y conjunto. Dada una funcion so-breyectiva f : X → Y definimos:

U ⊆ Y abierto ⇐⇒ f−1(U) ⊆ X abierto

Lema 4.11. La coleccion τ = U ⊆ Y | U abierto es una topologıapara Y.

Dem. Basta ver que, dado que f es sobreyectiva, se tiene:• f−1(∅) = ∅, f−1(Y) = X.• f−1 (

⋃Ui) =

⋃f−1(Ui),

• f−1 (⋂

Ui) =⋂

f−1(Ui) (cantidad finita)

La topologıa es llamada la topologıa cociente en Y respecto a f yes la unica topologıa en Y que hace que f sea una funcion cocientey la mas fina que hace a f continua. Con esto ademas podemosdefinir: una funcion continua y sobreyectiva f : X → Y es funcioncociente si Y tiene la topologıa cociente

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Ejemplo 4.12. Tomemos X = R, Y = a, b, c y definamos

f : X → Y, f (x) =

a, x > 0b, x < 0c, x = 0

Observemos que la coleccion

∅, a, b, c, a, b, a, b

son los abiertos de la topologıa cociente inducida por f . J

Ejemplo 4.13 (Topologıa Digital). Tomemos R con la topologıa usualy definamos f : R→ Z mediante

f (x) =

x, x ∈ Z

n, x ∈ (n− 1, n + 1), n entero impar

Notemos que f es la identidad en Z y f (x) es el entero impar mascercano a x. La topologıa cociente inducida por f es llamada laTopologıa Digital de los enteros Z y tiene por abiertos n, si nes impar; para n par el abierto mas pequeno que lo contiene esn− 1, n, n + 1; vease el Ejemplo 1.15.J

Existe un caso particular donde la topologıa cociente surge demanera natural y frecuente: dada una relacion de equivalencia en Xdenotemos por X/∼ al conjunto de clases equivalencia. Definimos

π : X −→ X/∼, x 7−→ [x]

Equipado de la topologıa cociente, el conjunto X/∼ es llamado elespacio cociente de X por la relacion∼.

zUn conjunto U ⊆ X/∼ de clases de equivalencia es un abiertosi y solo si la union de las clases de equivalencia es un abierto de X:

U ⊆ X/∼ abierto ⇐⇒⋃

[x]∈U

[x] ⊆ X abierto. z

Como consecuencia directa de la Propiedad Universal de Co-cientes (Corolario 4.6) se tiene lo siguiente

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Teorema 4.14. Sean f : X → Y funcion continua,∼ relacion deequivalencia en X y π : X → X/ ∼ funcion cociente. Entoncesexiste funcion continua g : X/∼→ Y tal que g π = f ⇐⇒ lafuncion f es constante en clases de equivalencia.

X

π

f// Y

X/∼

g<<

Aquı ser constante en clases de equivalencia significa que si x ∼ yentonces f (x) = f (y). Otra manera de establecer esta propiedades diciendo que f factoriza o pasa al cociente de manera unica atraves del cociente X/∼.

Ejemplo 4.15. Sea f : X → Y funcion continua y definamos

x∼ f y⇐⇒ f (x) = f (y)

Por el teorema anterior existe f : X/∼ f→ Y continua e inyectiva;como se menciono anteriormente, decimos que f factoriza al co-ciente definiendo a f . Mas aun, notemos que f es funcion cociente⇐⇒ f es homeomorfismo. Este resultado se usara adelante paraidentificar cocientes a traves de ciertas relaciones de equivalencia.J

zEl ejemplo anterior muestra que dada una funcion sobreyec-tiva f existe una relacion de equivalencia y por tanto un espaciocociente X/∼ f . Por otro lado, si∼ es una relacion de equivalenciaen X entonces la funcion canonica X → X/ ∼ es sobreyectiva. Ası,una funcion continua y sobreyectiva f : X → Y es esencialementeuna relacion de equivalencia en X.z

Ejemplo 4.16 (Esferas construidas con discos). Sea X = D2 discounitario cerrado en R2 y definamos la relacion

x∼ x, |x| < 1x∼ y, |x| = |y| = 1

Ası, X/∼ consiste de los conjuntos unipuntuales |x| < 1 y delconjunto ∂D2 = S1. Los conjuntos saturados de X son las zonassombreadas en el figura de abajo. El cociente X/∼ es homeomorfoa S2.

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Figura 1. Conjuntos saturados y sus imagenes. Ima-gen tomada de [Munkres]

El argumento anterior funciona de la misma manera para eldisco Dn y esfera Sn. Veremos mas adelante que esta funcion co-ciente se puede considerar como el colapso de la frontera de Dn paraconstruir a Sn.J

Ejemplo 4.17 (El toro T2). Tomemos X = [0, 1]× [0, 1] y consider-amos una particion mediante

(x, y), 0 < x, y < 1(x, 0), (x, 1), 0 < x < 1(0, y), (1, y), 0 < y < 1(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)

Figura 2. Imagen tomada de [Munkres, p.139].

Revisaremos ahora la relacion que hay entre topologıa cocientey los conceptos introducidos previamente. Como toda funcion co-ciente es continua se sigue que

• El cociente de un espacio arco-conexo es tambien arco-conexo;en particular se cumple para un espacio conexo.• El cociente de un espacio compacto es tambien compacto

Por otro lado, si f : X → Y es funcion cociente y A ⊆ X, en-tonces la funcion obtenida por restriccion q : A → f (A) no nece-sariamente es funcion cociente, para que eso ocurra deben pedirse

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condiciones sobre A (como ser saturado abierto/cerrado) o sobre f(como ser abierta/cerrada).

El siguiente ejemplo muestra que la propiedad de ser Hausdorffno se comporta bien bajo cocientes

Ejemplo 4.18. Tomemos R con topologıa euclidiana y definamos

x∼ y ⇐⇒

x = y

o|x| = |y| > 1

La funcion cociente π : R → R/∼ cumple que π(1) 6= π(−1), con1,−1 sin vecindades saturadas disjuntas, se tiene que R/ ∼ no esHausdorff; este es el Ejercicio 5.8 en [Manetti].J

En general, el problema de hallar condiciones para garantizarque el cociente de un Hausdorff sea tambien Hausdorff es difıcilpero en la presencia de compacidad se simplifica considerablemente:

Teorema 4.19. Sea f : X → Y funcion cociente con X compacto yHausdorff. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes

(1) Y es Hausdorff(2) f es funcion cociente cerrada(3) K = (x1, x2) ∈ X× X | f (x1) = f (x2) es cerrado.

Dem. (1)⇒ (3) Recordemos que Y es Hausdorff ⇐⇒ 4 es cer-rado y, dado que K = ( f × f )−1(4) para con f × f : X×X → Y×Y,el resultado se sigue.(3)⇒ (2) Tomemos A ⊆ X cerrado y recordemos (Teo. Kuratowski3.31) que al ser X compacto, las proyecciones p1, p2 : X × X → Xson cerradas por lo que p1(K), p2(K) son cerrados. Por otro ladonotemos

f−1( f (A)) = p1(K ∩ p−12 (A))2

por lo que f−1( f (A)) es cerrado y f es funcion cociente cerrada.(2)⇒ (1) Consideremos a 6= b ∈ Y. Dado que f es sobreyectiva,cerrada y los puntos en X son cerrados tenemos que a, b son cerra-dos; ası

A = f−1(a), B = f−1(b)

2K ∩ p−12 (A) = (x1, x2) ∈ X × A | f (x1) = f (x2) y al proyectar me quedo

con x ∈ X, f (x) ∈ f (A)⇐⇒ x ∈ f−1( f (A))

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son compactos y disjuntos. Como X es Hausdorff, el Teorema deWallace 3.28 garantiza la existencia de abiertos U, V tales que

A× B ⊆ U ×V ⊆ (X× X)\4,

es decir, A ⊆ U, B ⊆ V, U ∩ V = ∅ ⇐⇒ (X\U) ∪ (X\V) = X.Finalmente, como f es cerrada,

U′ = Y\ f (X\U), V′ = Y\ f (X\V)

son vecindades abiertas y disjuntas de a, b.

A continuacion daremos algunos criterios para ser Hausdorffcuando el cociente se obtiene mediante una relacion de equivalen-cia ∼. La grafica de la relacion ∼ como el subconjunto de X × Xdeterminado por aquellas parejas x ∼ y:

Γ∼ = (x, y) ∈ X× X | x ∼ y

Lema 4.20. Sea X Hausdorff con relacion de equivalencia ∼. SiX/∼ es Hausdorff, entonces Γ∼ es subespacio cerrado.

Dem. Recordemos (Teorema 1.84) que X es Hausdorff ⇐⇒ 4es cerrado. Observemos que Γ∼ es la imagen inversa del subespaciodiagonal de X/ ∼ bajo la aplicacion

π × π : X× X −→ (X/ ∼)× (X/ ∼)Como X/ ∼ es Hausdorff, entonces Γ∼ es cerrado.

Otro criterio en terminos de los saturados de la funcion cociente;vease Proposicion 2.5 en [Felix& Tanre]:

Teorema 4.21. Sea X Hausdorff con relacion de equivalencia ∼ talque se cumple:

• El saturado π−1(π(x)) de x es compacto en X, ∀x ∈ X.• El saturado de cualquier cerrado es un cerrado.

Entonces X/ ∼ es Hausdorff.

Como consecuencia del resultado anterior, se tiene una condicionsuficiente para que el cociente sea Hausdorff

Corolario 4.22. Sea X Hausdorff y A ⊆ X compacto. EntoncesX/A es Hausdorff.

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3. COLAPSOS E IDENTIFICACIONES 97

El cociente X/A en el resultado anterior sera definido en la sigu-iente seccion.

3. Colapsos e identificaciones

Tomemos A ⊆ X y definamos

x∼ y ⇐⇒

x = y, x, y /∈ Ax, y ∈ A

Observemos que∼ es una relacion de equivalencia y que se obtieneuna particion de X consistente del conjunto A y los unipuntualesx, para x /∈ A. El espacio cociente por esta relacion se denotapor X/A y se dice que X/A se obtiene mediante el colapso o con-traccion del subespacio A.

Ejemplo 4.23 (Disco como cociente de esfera). La funcion

f : Sn−1 × [0, 1]→ Dn, f (x, t) = xt

es continua y sobreyectiva. Como el dominio es compacto y el con-tradominio es Hausdorff, la funcion f es cerrada y por tanto funcioncociente. Notemos

f (x) = f (y)⇐⇒ x = y o x, y ∈ Sn−1 × 0,

es decir, f es constante en los puntos de Sn−1× 0. Por el Ejemplo4.15 la funcion anterior induce el homeomorfismo

Sn−1 × [0, 1]/Sn−1 × 0∼=−→ Dn J

Ejemplo 4.24. La funcion cociente Dn → Sn obtenida en el Ejemplo4.10 se puede obtener como sigue: tomemos In = [0, 1]n ⊂ Rn ycolapsemos su frontera ∂In = [0, 1]n\(0, 1)n a un solo punto. ComoIn ∼= Dn y ademas se tiene una funcion cociente f : Dn → Sn seobtiene el diagrama

XXXXX

y el homeomorfismo

In/∂In ∼=−→ Sn J

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Ahora, dados A, B ⊆ X y h : A → B homeomorfismo definimosla siguiente relacion en X

x∼ y ⇐⇒

x = y oh(x) = y oh−1(x) = y

Es decir, la relacion anterior identifica los puntos a ∈ A con lospuntos h(a) ∈ B y viceversa. El espacio cociente obtenido con estarelacion es el resultado de pegar a A con B a traves del homeomor-fismo h.

Ejemplo 4.25 (Banda de Moebius). Hagamos X = [0, 1] × [0, 1] yconsideremos

A = 0 × [0, 1], B = 1 × [0, 1], h(0, t) = (1, 1− t)

El espacio cociente es la banda de Moebius. J

Analizaremos la construccion del toro T2 del Ejemplo 4.17 bajoen concepto del pegado de subespacios.

Ejemplo 4.26 (El toro T2). Sea X = [0, 1]× [0, 1] y consideremos

A = 0 × [0, 1] ∪ [0, 1]× 0,

B = 1 × [0, 1] ∪ [0, 1]× 1Definamos h : A → B, (0, t) 7→ (1, t), (t, 0) 7→ (t, 1). El resultadode pegar A, B a traves de h consiste en pegar el lado inferior con elsuperior y el lado derecho con el izquierdo; el resultado es el toroT2.J

Ejemplo 4.27 (Botella de Klein). Al igual que en el ejemplo anterior,tomemos X = [0, 1]× [0, 1] y consideremos

A = 0 × [0, 1] ∪ [0, 1]× 0,

B = 1 × [0, 1] ∪ [0, 1]× 1Definamos h : A→ B, (0, t) 7→ (1, t), (t, 0) 7→ (1− t, 1). El resultadode pegar A, B a traves de h es la botella de Klein.J

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4. ACCIONES EN ESPACIOS 99

4. Acciones en espacios

Tomemos Top(X) el grupo de homeomorfismos de X. Cuandose especifica un subgrupo G ⊆ Top(X) decimos que G actua enX. En esta seccion hablaremos del espacio cociente que surge alconsiderar dicha accion.

Sea G grupo (multiplicativo) y X un espacio. Una accion izquierdade G en X es una funcion G× X → X, (g, x) = g · x tal que

• e · x = x, para todo x ∈ X• (gh) · x = g · (h · x), para todo g, h ∈ G.

De manera analoga podemos definir una accion derecha comouna funcion continua X×G → G con la diferencia de que x · (gh) =(x · g) · h. Observemos que toda accion izquierda induce una accionderecha mediante x · g = g−1 · x.

Ejemplo 4.28. El grupo de homeomorfismos Top(X) de un espaciotopologico X actua en dicho espacio mediante evaluacion:

Top(X)× X −→ X, ( f , x) 7→ f (x). J

Ejemplo 4.29. Para V, W espacios vectoriales, el conjunto Hom(V, W)de transformaciones lineales V →W tiene una accion izquierda porel grupo general lineal:

GL(W)× Hom(V, W) −→ Hom(V, W), (T, R) 7→ T R

De igual forma se tiene una accion derecha de GL(V).J

Ejemplo 4.30 (Grupo ortogonal real). Para n ≥ 1 el grupo O(n)actua en Rn mediante multiplicacion matricial:

O(n)×Rn −→ Rn, (A, v) 7→ Av

Notemos que si v es un vector de la base canonica, entonces Av =v ⇐⇒ la ultima columna de A es precisamente v y el resto de lascolumnas de A son ortogonales a v. J


S2n+1 = (z1, z2, . . . , zn+1) ∈ Cn+1 |n+1

∑i=1|zi|2 = 1

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y notemos que hay una accion de S1 en S2n+1 dada por multipli-cacion compleja:

z · (z1, z2, . . . , zn+1) = (zz1, zz2, . . . , zzn+1). J

Definimos la G-orbita de x ∈ X como el conjunto Gx de elemen-tos de X que se obtienen de la accion de G en x; es decir,

Gx = g · x | g ∈ G

Ası, decimos que y ∈ Gx si existe g ∈ G tal que y = g · x. La G-orbitapara A ⊆ X es la union de las orbitas de sus elementos

GA =⋃

g∈Gg · A

Notemos que las G-orbitas definen una relacion de equivalencia

x ∼ y⇐⇒ y ∈ Gx

por lo que el conjunto de orbitas de elementos de X bajo la accionde G forma una particion de X, denotada por X/G y llamado elespacio de orbitas de la accion de G. Tenemos entonces una funcioncociente canonica

π : X −→ X/G, x 7−→ Gx,

con π−1(π(x)) = Gx, como subconjunto de X. Con la topologıacociente los abiertos en X/G son orbitas de abiertos en X:

U ⊆ X 7−→ GU =⋃

g∈Gg ·U

Ejemplo 4.32 (Accion de subgrupo). Sean H ≤ G grupos multi-plicativos. Entonces H actua por la izquierda en G mediante:

H × G −→ G, (h, g) 7−→ hg

El cociente por esta accion es el cociente de G por la relacion deequivalencia: g1 ∼ g2 ⇐⇒ ∃h ∈ H, g1 = hg2; es decir, g1g−1

2 ∈ H.Los elementos del cociente son entonces las clase laterales Hg, g ∈G derechas de H. De igual forma se tiene una accion por la derechacuyo cociente consiste de clases laterales gH, g ∈ G. J

Ahora, la accion de G en X induce, para cada g ∈ G, una funcion

(4.1) g : X −→ X, x 7→ g · x

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que suele llamarse una transformacion de X. Por ejemplo, la trans-formacion determinada por el elemento identidad e ∈ G es la funcionidentidad:

X −→ X, x 7→ e · x = x

Si para la accion de G pedimos que la funcion 4.1 arrriba sea con-tinua entonces G induce, para cada g ∈ G, un homeomorfismo de Xpor lo que G puede considerarse como un subgrupo de Homeo(X).3

Teorema 4.33. Sean G ⊆ Top(X) y π : X → X/G como ar-riba. Entonces π es una funcion abierta; si G es finito π es tambiencerrada.

Dem. Por definicion, para un abierto U ⊆ X se tiene

π−1(π(U)) = GU =⋃

g∈Gg ·U

que es union de abiertos pues la multiplicacion por la izquierda eshomeomorfismo (ver Seccion 3); de aquı, π(U) es abierto en X/G.Si G es finito y C ⊆ X es cerrado, entonces π−1(π(C)) = GC comoarriba es union finita de cerrados y por tanto π(C) es cerrado.

Como se menciono antes, resulta importante analizar cuales sonlas propiedades topologicas se heredan a espacios cocientes. Elsiguiente resultado es inmediato.

Lema 4.34. Sea G grupo topologico actuando en X. Si X es com-pacto, entonces X/G es compacto.

En general el cociente de un espacio Hausdorff no es Hausdorff:

Ejemplo 4.35. Recordemos que GLn(R) es el grupo de matrices condet(A) 6= 0. Este grupo actua en Rn mediante multiplicacion matri-cial:

GLn(R)×Rn −→ Rn, (A, x) 7→ Ax

por lo que es posible considerar el cociente respectivo. Dados dosvectores x, y ∈ Rn no cero, observemos que la ecuacion

Ax = y

3Tecnicamente se necesita pedir que la accion sea efectiva: ∩x∈XGx = e

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siempre tiene solucion (no trivial) pues det(A) 6= 0. Esto muestraque el cociente Rn/GLn(R) consiste de dos clases, lo que implicaque no es Hausdorff. J

Aun ası se tiene el siguiente criterio para detectar cocientes Haus-dorff:

Teorema 4.36. Sea G ⊆ Top(X). El cociente X/G es Hausdorff⇐⇒ el subespacio

K = (x, g · x) ∈ X× X | x ∈ X, g ∈ Ges cerrado en X× X.

Dem. Sabemos que la funcion cociente X → X/G es abierta ysobreyectiva por lo que el producto

p : X× X −→ X/G× X/G

es tambien abierta y sobreyectiva; en particular, es una funcioncociente. Notemos que p(x, y) ∈ 4X/G ⇐⇒ x, y pertenecen a lamisma orbita; es decir, (x, y) ∈ K por lo que K = p−1(4X/G). Fi-nalmente, como p es funcion cociente, 4X/G es cerrado ⇐⇒ K escerrado.

Teorema 4.37. Sean G ⊆ Top(X), con X Hausdorff y π : X →X/G la respectiva funcion cociente. Supongamos que existe A ⊆ Xabierto tal que π : A→ X/G es sobreyectiva y el conjunto

g ∈ G | g · A ∩ A 6= ∅es finito. Entonces X/G es Hausdorff.

Dem. Hagamos g1, . . . , gn = g · A ∩ A. Dados p, q ∈ X/Gelementos distintos escojamos x, y ∈ X tales que π(x) = p, π(y) =q; es decir, escogemos elementos en las orbitas de p, q. Como X esHausdorff podemos considerar Ui, Vi ⊆ X tales que

x ∈ Ui, gi · y ∈ Vi, Ui ∩Vi = ∅, i = 1, 2, . . . , n

Tomemos los abiertos

U = A ∩ (n⋂

i=1

Ui), V = A ∩ (n⋂

i=1

g−1i ·Vi)

Afirm. ∀g ∈ G, U ∩ g ·V = ∅.• Si g · A ∩ A = ∅ entonces, puesto que U, V ⊆ A, se sigue queU ∩ g ·V ⊆ A ∩ g · A = ∅ y la afirmacion es cierta.

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• Si g = gi, para algun i, entonces del hecho de que U ⊆ Ui y queV ⊆ g−1 ·Vi se tiene que

U ∩ g ·V ⊆ Ui ∩Vi = ∅

Finalmente, para probar que x ∈ U, y ∈ V tienen vecindades dis-juntas probaremos que( ⋃

g∈Gg ·U

)∩( ⋃

h∈G

h ·V)=

⋃g,h∈G

(g ·U ∩ h ·V

)= ∅

Pero si g ·U ∩ h · V 6= ∅, para ciertos g, h ∈ G entonces tedrıamosque

U ∩ g−1h ·V = g−1(g ·U ∩ h ·V)6= ∅

lo cual no puede ser por lo que se acaba de probar arriba.

Ejemplo 4.38. Consideremos Top(Rn) y tomemos el subgrupo Gque consiste de translaciones por (vectores de entradas) numerosenteros:

g ∈ G, g · x = x + a, a ∈ Zn

Para A = (x1, . . . , xn) ∈ Rn | |xi| < 1, i = 1, 2, . . . , n la funcioncociente A→ X/G es sobreyectiva. Ademas, para a = (a1, . . . , an) ∈Zn se tiene que A∩ (A + a) 6= ∅ si, y solo si a = (ai) con |ai| ≤ 1; esdecir, a tiene por coordenadas combinaciones de 0’s, 1’s y -1’s. Porel resultado anterior se tiene que Rn/G es Hausdorff. J

Las condiciones del resultado anterior se satisfacen trivialmentecuando el grupo G que actua en X es finito.

Corolario 4.39. Sea G ⊂ Homeo(X) finito para X Hausdorff. En-tonces X/G es Hausdorff.

A continuacion otro criterio para determinar si el cociente esHausdorff.

Lema 4.40. Sea G y X. Si X, G son Hausdorff y compactos,entonces X/G tambien es Hausdorff y compacto.

En particular, si G es grupo topologico compacto y Hausdorff yH ≤ G es cerrado, el cociente G/H es Hausdorff y compacto.

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Decimos que la accion de G en X es transitiva si para cua-lesquiera x, y ∈ X existe g ∈ G tal que g · x = y. Notemos que si laaccion es transitiva, entonces X/G consiste de un unico punto. Porotro lado, el grupo estabilizador de X es el subgrupo

Gx = g ∈ G | g · x = x

La accion de G se dice libre si Gx = e, ∀x ∈ X.

Lema 4.41. Sea G grupo topologico compacto actuando en X demanera transitiva, con X Hausdorff. Entonces G/Gx ∼= X, ∀x ∈X.

Dem. Para x ∈ X fijo consideremos la funcion

ϕx : G −→ X, g 7→ g · x

Notemos que g, g′ ∈ G son equivalentes ⇐⇒ g−1g′ ∈ Gx; es decir,(g−1g′) · x = x, de donde g · x = g′ · x. Con esto ϕ pasa al cocientepor Gx:

ϕx : G/Stab(x) −→ X

Notemos que ϕx es inyectiva (por construccion) y como la accion estransitiva, es tambien sobreyectiva. Como G/Stab(x) es compactoy X Hausdorff, ϕx es homeomorfismo (Corolario 3.37).

Ejemplo 4.42 (Esferas como cocientes). Recordemos (Ejemplo 4.30)que On(R) y Sn−1 mediante multiplicacion matricial, y lo hace,ademas, de manera transitiva pues para u ∈ Sn−1 cualquiera pode-mos hallar una base ortonormal u1, u2, . . . , un = u cuyos vectoresforman las columnas de una matriz ortogonal A ∈ On(R) tal queAen = u.Por otro lado, notemos que si v = en ∈ Sn−1 es un vector de labase canonica, entonces Aen = en ⇐⇒ la ultima columna de A esprecisamente en y el resto de las columnas de A son ortogonales aen. Dado que las columnas de A forman un conjunto ortonormal devectores, cada una de las primeras (n− 1) columnas de A tienen laforma

a1ka2k...

an−1k0

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5. ESPACIOS LENTE 105

donde la matriz a11 a12 · · · a1n−1a21 a22 · · · a2n−1

· · · · · · · · · ...an−11 an−12 · · · an−1n−1

es ortogonal y por lo tanto pertenece a On−1(R); de aqui se tieneque Stab(en) = On−1(R). Haciendo la identificacion

O(n− 1) 3 A 7−→(

A 00 1

)∈ O(n)

se tiene que Stab(en) = On−1(R) ⊂ On(R). Por la proposicionanterior se tiene

On(R)/Stab(en) = On(R)/On−1(R) ∼= Sn−1

y la funcion cociente se identifica con O(n) → Sn−1 que envia acada matriz A a su primer columna.Nota. para el caso general se considera x = (1/|x|)x y se nota queStab(x) = Stab(x). J

Ejemplo 4.43. En el ejemplo anterior pudimos haber consideradoSOn−1(R) y Sn−1 para obtener

SOn(R)/SOn−1(R) ∼= Sn−1,

tambien sus analogos complejos:

On(C)/On−1(C) ∼= Sn−1,

y cuaternionicos

On(H)/On−1(H) ∼= S4n−1. J

5. Espacios lente

Aunque mencionados previamente por W. Dyck, los espacioslente fueron estudiados a profundidad por H.Tietze quien publicaen 1908 ([Tietze]) el primer tratado sobre ellos motivado por elproblema de clasificacion de variedades de dimension 3.

Sean p, q primos relativos 4 y consideremos:• r : rotacion en R3 por 2π/p radianes• σ : simetrıa respecto al plano z = 0

4Esta condicion es necesaria pues se quiere que la accion sea libre; es decir,exp(2π(q/p))x 6= x

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Figura 3. Espacio lente para q = 2, p = 7. Tomado de [Hatcher].

Definimos el espacio lente L(p, q) como el cociente D3/ ∼, donde∼ es la relacion de equivalencia dada por

x ∼ x, x ∈ int(D3)

x ∼ σ(rq(x)), x ∈ ∂D3 = S2

Es decir, la identificacion se obtiene rotando el casquete superioren un angulo 2π

qp y despues identificando los puntos que esten en

el mismo meridiano, los cuales equidistan del ecuador: (x, y,−z) ∼(r(x, y), z).

Los espacios lente son ejemplos de 3-variedades compactas yconexas. Aquı algunos ejemplos:

• L(1, 0) ∼= S3

• L(0, 1) ∼= S1 × S2

• L(2, 1) ∼= RP3; en este caso la identificacion de arriba essimplemente la identificacion antipodal.

El espacio L(p, q) tambien puede ser definido como el resultadode pegar dos toros solidos a lo largo de sus fronteras (aquı la de-scripcion). Algunos comentarios:

• En los 30’s K. Reidemeister prueba que

L(p1, q1) ∼= L(p2, q2)⇐⇒ q2 = q1, p2 = ±p±11 ( mod q1)

• Por otra parte, se tiene la siguiente clasificacion homotopicadada por J.H.C. Whitehead en los 40’s:

L(p, q) ' L(r, s)⇐⇒ p = r, qs = ±m2( mod p),

para algun m.

De este resultado se sigue que los espacios lente L(7, 1), L(7, 2)son homotopicos pero no son homeomorfos.

http://wolfweb.unr.edu/homepage/jabuka/Classes/2008_fall/algtop/Notes/07%20-%20Lens%20spaces.pdf

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6. ESPACIOS PROYECTIVOS 107

6. Espacios proyectivos

Tomemos Rn+1\0 consideremos el subgrupo G ⊆ Top(Rn\0)de las dilataciones:

g ∈ G, g · x = λx, para algun λ ∈ R\0Asi, para la accion de G definimos

x ∼ y⇐⇒ x = λy, λ ∈ R\0Dotado de la topologia cociente el cociente (Rn+1\0)/G es lla-mado el espacio proyectivo real de dim n y se denota por RPn. Lafuncion cociente se define por

π : Rn+1\0 −→ RPn, (x0, . . . , xn) 7−→ [x0, . . . , xn]

El espacio RPn puede obtenerse como cociente de Sn como sigue:tomemos la inclusion i : Sn → Rn+1\0 y consideramos la com-posicion π i para obtener el diagrama:

Sn i //

π′

Rn+1\0 π // RPn

Sn/ ∼f

::

donde x ∼ y⇐⇒ x = ±y y f es la funcion del Ejemplo 4.15.

Lema 4.44. La funcion f es un homeomorfismo.

Dem. Probaremos que f−1 es continua. Definamos r : Rn+1\0 →Sn, r(x) = x/|x| y consideremos el diagrama

Rn+1\0 r //

π

Sn π′ // Sn/ ∼

RPnf−1

==

donde π′ r es continua pues es composicion de continuas. Al igualque antes, f−1 es continua por el Ejemplo 4.15.

Una forma equivalente de definir a RPn es como sigue: tomemosG ⊆ Top(Sn) que consiste de 1Sn , a, donde a(x) = −x. Observemosque el cociente Sn/G ∼= Sn/ ∼, la identificacion antipodal. Por elCorolario 4.39 se sigue que RPn es Hausdorff. Tambien es posibledefinir RPn como cociente del disco unitario. Definamos en D2 larelacion de equivalencia

x ∼ y⇐⇒ x = y o x = −y

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y consideremos X = D2/ ∼.

Lema 4.45. X ∼= RP2

Dem. Consideremos el hemisferio norte de S2

S2+ = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0

y notemos que D2 ∼= S2+ mediante (x, y, z) 7→ (x, y) con inversa

(x, y) 7→ (x, y,√

1− (x2 + y2)). Con esto tenemos X ∼= S2+/ ∼, con

(x, y, 0) ∼ (−x,−y, 0). Consideremos las funciones• i : S2

+ −→ S2 (inclusion)• π : S2 −→ RP2 (f. cociente)• p : S2

+ −→ Xque forman el siguiente diagrama conmutativo:

S2+

i //

p

S2 π // RP2

Xj

AA

Observemos que j es funcion continua y biyectiva; ademas, como Xes compacto y RP2 es Hausdorff, se sigue que j es homeomorfismo(ver Corolario 3.37).

En la definicion de RPn pudimos haber usado el esapcio C envez de R para obtener la version compleja del espacio proyectivoRPn: definamos en Cn+1\0 la relacion de equivalencia

x ∼ y⇐⇒ x = λy, para λ ∈ C\0De manera analoga, dada la esfera S2n+1 ⊂ Cn+1, donde

S2n+1 = z ∈ Cn+1 | ||z|| = 1se tiene que CPn = S2n+1/ ∼. Asi, se tiene una funcion cocienteS2n+1 → CPn.

Teorema 4.46. Los espacios RPn, CPn son espacios conexos, com-pactos y Hausdorff.

Dem. Como las funciones cocientes

Sn −→ RPn, S2n+1 −→ CPn

son continuas y sobreyectivas y como las esferas son compactas yconexas, los espacios RPn, CPn lo son tambien. Resta probar que

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6. ESPACIOS PROYECTIVOS 109

CPn es Hausdorff, lo cual se obtiene del Lema 4.40 notando queCPn puede ser identificado con el cociente de S2n+1 por la accionde S1 (ver Ejemplo 4.31).

Ejercicio 4.47. Considerando a RPn como el conjunto de todaslas lineas l en Rn+1 que pasan por el origen denotemos por αl,l′

al angulo entre las rectas l, l′. Pruebe que la coleccion

Uε(l) = l′ | αl,l′ < εdefine una base para una topologıa en RPn.

A continuacion daremos descripciones concretas de los espaciosproyectivos

Ejemplo 4.48 (RP1 ∼= S1). Tomemos f : S1 → S1, z 7→ z2 y notemosque f (z) = f (−z). Asi, tenemos una funcion continua f que haceal siguiente diagrama conmutativo:

S1 f//

π

S1

RP1f

==

Por el Teorema 4.46 sabemos que RP1 es compacto y como S1

es Hausdorff, aplicamos el Corolario 3.37 para obtener que f eshomeomorfismo. Este homeomorfismo puede ser dado de maneraexplıcita; ver [Manetti, Ejer.5.18]. J

Otra descripcion de RPn, y en particular de RP2, se analiza enel Ejemplo 4.59 donde se muestra una relacion cercana entre RPn−1

y RPn. A continuacion tratamos el caso n = 3

Lema 4.49. Los espacios RP3 y SO3(R) son homeomorfos.

Dem. Recordemos que RP3 ∼= D3/R y definamos h : D3 →SO3(R) como sigue: sea Ax la rotacion con eje la linea lx del origena x en el angulo |x|π y definamos

h(x) =

I, x = 0Ax, x 6= 0

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Observemos que la funcion es continua; probaremos que es so-breyectiva: dada A rotacion a lo largo de una linea lx (del origena x) y de angulo α definimos

h( α|x|π x), α ≤ π

h(2π−α|x|π x), α ≥ π

Notemos que en ambos casos la imagen es A. Ademas notemosque las rotaciones por un angulo α = π son imagen de dos puntosantipodales mientras que las otras rotaciones son imagen de un solopunto. La funcion entonces pasa al cociente D3/R → SO3(R), quees un homeomorfismo pues SO3(R) es compacto.

Para el caso de los espacios proyectivos complejos tenemos:

Ejercicio 4.50 (CP1 ∼= S2). Consideremos f la inversa de laproyeccion estereografica, con dominio el plano (x1, x2,−1) ⊂R3 y contradominio S2\(0, 0, 1):

f (x1, x2,−1) =

(4x1

x21 + x2

2 + 4,

4x2

x21 + x2

2 + 4,

x21 + x2

2 − 4x2

1 + x22 + 4

)Construya una funcion g : C2\0 → S2 cuya restriccion a C×1 es la funcion f . Deduzca de esto un homeomorfismo CP1 ∼=S2.

El homeomorfismo CP1 ∼= S2 puede ser escrito de manera explıta:

[z0, z1] 7−→(|z0|2 − |z1|2|z0|2 + |z1|2

,z0z1 − z1z0

|z0|2 + |z1|2,

z0z1 + z1z0

|z0|2 + |z1|2

)Vease [Manetti, Ejer.5.19].

Del ejercicio anterior se tiene una funcion continua

f : S3 −→ S2

conocida el mapeo de Hopf. En teorıa de homotopıa esta funciones importante pues se muestra que es (homotopicamente) no trivialy define una manera de mapear una esfera en otra de dimension

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7. VARIEDADES DE GRASSMANN 111

menor, algo que en primera instancia no parece ser posible. Final-mente, al ser f no trivial, determina un elemento (no trivial) en elgrupo de homotopıa π3(S2).

Aqui otra interpretacion del espacio proyectivo RP3:

Ejercicio 4.51. El espacio tangente (unitario) a Sn se define como

T(Sn) = (x, y) ∈ Rn+1 ×Rn+1 | |y| = 1, x · y = 0Muestre que T(S2) ∼= RP3.

7. Variedades de Grassmann

Las variedades Grassmanianas (o de Grassmann) generalizan laconstruccion del espacio proyectivo RPn. Daremos su definicion atraves del siguiente objeto.

Recordemos que un k-marco ortogonal en Rn es una k-tupla devectores de Rn que forman un conjunto ortonormal de (Rn)k. Lacoleccion de k-marcos ortogonales en Rn

Vk,n(R) = (a1, a2, . . . , ak) ∈ (Rn)k | 〈ai, aj〉 = δij

es llamada la variedad de Stiefel Vk,n(R), cuya topologıa esta heredadapor la de (Rn)k y por lo tanto es Hausdorff. Notemos que de ladefinicion se tiene V1,n(R) ∼= Sn−1.

Notemos que un k-marco es llevado a otro k-marco bajo unatransformacion ortogonal de On(R); ademas, dados dos k-marcosestos difieren entre si por una transformacion ortogonal. Esto pruebaque On(R) actua en Vk,n(R) de manera transitiva.

Tomemos a = (a1, . . . , ak) ∈ Vk,n(R) y observemos que el esta-bilizador de a consiste de aquellas matrices que dejan a a fijo y portanto solo actuan en el espacio vectorial ortogonal al generado pora; ası On−k(R) es el estabilizador de a y por el Lema 4.41 se tiene elhomeomorfismo

Vk,n(R) ∼= On(R)/On−k(R)

De manera analoga, al restringir la accion a SOn(R), se obtieneque Vk,n(R) ∼= SOn(R)/SOn−k(R); de esto se obtiene el homeomor-fismo del Ejemplo 4.42 Sn−1 ∼= SOn(R)/SOn−1(R).

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Denotemos por Gk(Rn) al conjunto de subespacios vectoriales

de dim. k en Rn y consideremos la funcion sobreyectiva

π : Vk,n(R) −→ Gk(Rn)

que envıa un k-marco al espacio generado por el. El conjunto Gk(Rn)

tiene estructura de espacio topologico inducida por π funcion co-ciente; el resultado es llamado la variedad de Grassmann Gk(R

n).Observemos que para k = 1 la funcion cociente π coincide con laproyeccion

Sn−1 −→ G1(Rn)

por lo que G1(Rn) ∼= RPn−1.

Lema 4.52. Gk(Rn) es Hausdorff

Dem. Sea a ∈ Rn fijo y definamos ϕa : Vk,n(R)→ R mediante

(x1, x2, . . . , xk) 7−→ 〈a, a〉 − 〈a, x1〉2 − · · · − 〈a, xk〉2

Notemos que ϕa representa (el cuadrado de) la distancia de a alsubespacio generado por x1, . . . , xk; asi, pasa al cociente definiendouna funcion continua

ϕa : Gk(Rn) −→ R

Sean V1, V2 ∈ Gk(Rn) distintos y supongamos que a ∈ V1, a /∈ V2.

Entonces ϕa(V1) 6= ϕa(V2) y podemos elegir dos vecindades dis-juntas de esos valores. Las imagenes inversas de tales vecindadesforman las vecindades disjuntas de V1, V2.

El siguiente resultado muestra que Gk(Rn) se puede escribir

como cociente de grupos de matrices

Teorema 4.53. Existe un homeomorfismo

Gk(Rn) ∼= On(R)/(Ok(R)×On−k(R))

donde Ok(R)×On−k(R) ⊂ On(R) es la inclusion de Seccion 4.1.

Dem. Tomemos A ∈ On(R) y denotemos por φ(A) al espaciovectorial generado por sus primeras k columnas. Dicha asociacion

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8. ESPACIOS CELULARES 113

es compatible con el cociente y se tiene el siguiente diagrama

Vk,n(R)

%%On(R)

φ//

55

Gk(Rn)

On(R)/(Ok(R)×On−k(R))

φ

66

Afirm. φ es homeomorfismo.Notemos que si φ(A) = φ(B) entonces las primeras k columnas gen-eran el mismo subespacio vectorial por lo que existe P ∈ Ok(R) ⊂On(R) tal que A, BP tienen las mismas primeras k columnas. Porotro lado, observemos que las restantes n− k columnas de A, B (ypor ende de BP) generan el mismo subespacio φ(A)⊥. Como antesexiste Q ∈ On−k(R) ⊂ On(R) tal que A = BPQ. La inyectividad deφ se sigue de que A = BPQ con PQ ∈ Ok(R)×On−k(R). Como φes claramente sobreyectiva, se sigue que φ es biyeccion continua condominio compacto y codominio Hausdorff. Aplicando el Corolario3.37 el resultado se sigue.

Teorema 4.54. El espacio Gk(Rn) es compacto y conexo.

Las propiedades descritas arriba son expuestas en el Ejercicio5.22 de [Manetti].

8. Espacios celulares

Como se mostro en la seccion anterior la topologia cociente puedeser usada para obtener nuevos espacios a partir del colapso de algunsubespacio o, mas general, mediante una relacion de equivalencia.En esta seccion veremos un caso de especial interes.

Sean f : A→ X, f ′ : A→ X′ funciones continuas. Dada la unionX t X′ consideremos la relacion

(X t X′)/ ∼, donde f (a) ∼ f ′(a)⇐⇒ a ∈ A

y denotamos X ∪A X′ = (X t X′)/ ∼. En terminos geometricos, elespacio de arriba se obtiene al pegar los espacios X, X′ a lo largodel subespacio A. A pesar de que no es evidente en la notacion, laconstruccion anterior depende de la funcion f .

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Consideremos las funciones jX : X → X ∪A X′, jX′ : X → X ∪AX′ que mandan a cada x ∈ X, x ∈ X′ a su clase en el cociente. Note-mos que jX, jX′ son continuas y ademas satisfacen jX f = jX′ f ′.Mas aun, las funciones satisfacen la siguiente propiedad universal,consecuencia inmediata de la Prop. Univ. de la Top. Cociente (4.6):para cualesquiera funciones ϕ : X → Z, ϕ′ : X′ → Z tales queϕ f = ϕ′ f ′, existe una unica funcion

Φ : X ∪A X′ −→ Z

tal que Φ jX = ϕ, Φ jX′ = ϕ′.

Af

//

f ′

X

ϕ

jX

X′

ϕ′33

jX′ // X ∪A X′Φ

##Z

Ejemplo 4.55 (Wedge de espacios). La suma wedge (o ramillete) X∨X′ de dos espacios se construye escogiendo dos punto distinguidosx ∈ X, x′ ∈ X′ y usando las funciones

f : ∗ 7−→ X, f ′ : ∗ 7−→ X′

que envian a ∗ a los punto x, x′, respectivamente.

imagen

La construccion puede ser generalizada a una cantidad finita deespacios con puntos distinguidos de manera inductiva:

X1 ∨ · · · ∨ Xn = (X1 ∨ · · · ∨ Xn−1) ∨ Xn. J

Ejemplo 4.56 (Esferas exoticas de Milnor). Para h, l ∈ Z consider-amos el espacio de adjuncion

Mh,l = (D4 × S3)⋃ϕ

(D4 × S3),

donde ϕ : S3 × S3 → S3 × S3 esta dado por ϕ(x, y) = (x, xhyxl),tomando a S3 como cuaternios unitarios. Este espacio es home-omorfo a una esfera (de dimension 7 si h + j = ±1) por lo quees llamado una esfera topologica; sin embargo, tiene una estruc-tura diferencial distinta a la estandar ası que es llamada esferatopologica exotica. Vease este artıculo sobre esferas exoticas.J

http://math.uchicago.edu/~may/REU2015/REUPapers/McEnroe.pdf

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8. ESPACIOS CELULARES 115

La adjuncion de una n-celda a traves de una funcion f : Sn−1 →X corresponde al caso en que f ′ es la inclusion Sn−1 → Dn. En talescondiciones el cociente se denota por

X ∪Sn−1 Dn = X ∪ f en,

donde en es la imagen de Dn, llamada la n-celda adjuntada y f esla funcion de adjuncion. La imagen de la restriccion de la funcion

f : Dn −→ X ∪ f en

al interior de Dn es llamada celda abierta. Notemos que si f :Sn−1 → X es constante recobramos el bouquet (Ejemplo 4.55) obte-niendo X ∪ f en ∼= X ∨ Sn.

Un espacio o complejo celular finito es un espacio X construidoinductivamente a partir de un conjunto finito de puntos mediantela adjuncion iterada de una cantidad finita de celdas. Los elementosdel conjunto inicial son llamadas 0-celdas.

En general la estructura de espacio celular no es unica como semuestra a continuacion:

Ejemplo 4.57. S1 se obtiene adjuntando una 1-celda a un puntodado. Tambien puede dotarse de otra estructura iniciando con dospuntos (la esfera S0) adjuntando dos 1-celdas a los puntos. En di-

mensiones mayores: Sn se obtiene de adjuntar dos r-celdas, para0 ≤ r ≤ n o tambien adjuntando una n-celda a una 0-celda. J

Ejemplo 4.58. La suma wedge de n espacios homeomorfos a S1

tiene una estructura celular dada por una 0-celda a la que se laadjuntan n 1-celdas. J

Sea P poligono plano con un numero par 2n de lados. En laseccion que sigue estudiaremos el cociente definido en P mediantela identificacion de sus lados a pares. El resultado puede consider-arse como la adjuncion de una 2-celda a un wedge de n circunfer-encias.

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Ejemplo 4.59 (Espacios proyectivos). Recordemos (Seccion 6) queRPn−1 se obtiene de Sn−1 mediante la accion antipodal de Z2. Estaconstruccion tiene una funcion cociente

πn−1 : Sn−1 −→ RPn−1

Tomando a esta funcion como una funcion de pegado obtenemos eldiagrama

Sn−1 πn−1 //

RPn−1

Dn // RPn−1 ∪πn−1 en

que muestra que RPn−1∪πn−1 en se obtiene de hacer la identificacionen Dn de x ∼ −x para x ∈ Sn−1. Por lo tanto,

RPn ∼= RPn−1 ∪πn−1 en. J

Similarmente, para el caso complejo tenemos:

CPn ∼= CPn−1 ∪πn−1 e2n,

donde πn−1 : S2n−1 → CPn−1 es la funcion cociente usual.

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CAPITULO 5

Axiomas de numerabilidad

La convergencia de sucesiones es otro tema de importancia para elAnalisis donde las tecnicas de la Topologıa ofrecen resultados robustos,ası como condiciones para la existencia de lımites.

En este capıtulo revisaremos las condiciones que deben imponerse a losespacios topologicos para evitar casos patologicos como la existencia de doslımites para una misma sucesion convergente o como la no convergenciade una sucesion constante, entre otros.

1. Definiciones

Decimos que un espacio topologico satisface el segundo axiomade numerabilidad o que es segundo numerable si su topologia tienebase numerable.

Ejemplo 5.1. El espacio R dotado de la topologia euclidiana tienebase numerable dada por los intervalos

(p, q) | p, q ∈ Q

pues es inmediato notar que para a < b

(a, b) =⋃(c, d) | a ≤ c < d ≤ b, c, d ∈ Q

Resulta claro que todo subespacio de un espacio segundo nu-merable es segundo numerable (por restriccion de la base numer-able) y que el producto de dos espacios segundo numerable estambien segundo numerable (si B1,B2 son bases numerables, B1 ×B2 lo es para el producto); mas aun, el producto numerable de espa-cios segundo numerable es segundo numerable.

Ejemplo 5.2. Por el ejemplo anteior, se tiene que Rn es segundonumerable, n ≥ 1.J

117

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118 5. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD

Es posible decir aun mas para la propiedad de ser segundo nu-merable:

Teorema 5.3. Ser segundo numerable es una propiedad topologica.

Dem. Supongamos X tiene base numerable B = Un | n ∈ Ny consideremos f : X → Y homeomorfismo. Para la inversa g =f−1 : Y → X hacemos Vi = g−1(Ui). Probaremos que Vi es unabase numerable para Y. Dado W ⊂ Y abierto consideremos w ∈W.Consideremos O = f−1(W) y tambien u = f−1(w) = g(w). Comou ∈ O ⊂ X es abierto, existe j ∈N tal que

u ∈ Uj ⊂ O⇐⇒ w ∈ Vj = g−1(Uj) ⊂ g−1(O) = W

por lo que w ∈ Vj ⊂W y el resultado se obtiene.

Por otro lado, la propiedad de ser segundo numerable no sehereda a cocientes como se vera mas adelante (Ejemplo 5.7).

Un espacio topologico se llama separable (o Frechet) si contieneun subconjunto denso numerable. De la definicion se sigue que elproducto de dos espacios separables es tambien separable, aunqueser separable no es una propiedad que se herede a subespacios (ref?)

Lema 5.4. Todo espacio segundo numerable es separable.

Dem. Dada B base numerable de X, por cada abierto U ∈ Btomemos un punto pU ∈ U. Observemos que el conjunto

pU | U ∈ B

es numerable y denso (intersecta a cada elemento de la base).

El inverso del resultado anterior es valido solo en el contexto deespacios metricos:

Teorema 5.5. Todo espacio separable y metrico es segundo numer-able.

Dem. Dados (X, d) metrico y separable y E ⊆ X denso numer-able consideremos la familia

B = B2−n(e) | e ∈ E, n ∈N

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1. DEFINICIONES 119

Afirm: B es base numerable. Claramente es numerable; solo restaprobar que es base. Para U abierto y x ∈ U tomemos n ∈N tal que

B21−n(x) ⊂ U

Como E es denso, existe e ∈ E ∩ B2−n(x); de manera analoga, x ∈B2−n(e). Notemos que para y ∈ B2−n(e) se tiene:

d(x, y) ≤ d(x, e) + d(e, y) < 2−n + 2−n = 21−n

por lo que B2−n(e) ⊂ B21−n(x) ⊂ U.

Un espacio topologico en el que toda cubierta abierta contieneuna subcubierta numerables es llamado Lindeloff . En general estapropiedad no se preserva para subespacios y productos; vease [Munkres,p.193].

Teorema 5.6. Todo espacio segundo numerable es Lindeloff.

Dem. Dado X sean B base numerable y A cubierta abierta. Paracada x ∈ X tomemos abierto Ux ∈ A y Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊂ Ux.Notemos que B′ = Bx | x ∈ X es una (sub)coleccion numerablede B. Por el Lema 5.4 podemos hallar E ⊂ X denso numerable talque

B′ = Bx | x ∈ E

de donde A′ = Ux | x ∈ E es subcubierta abierta de A.

Existe una version local de la propiedad de ser segundo numer-able: decimos que un espacio es primero numerable si todo puntoadmite una base local numerable de vecindades. Es decir, para cadax ∈ X existe familia numerable Ux

i | i ∈N tal que para cualquierabierto V con x ∈ V existe j tal que Ux

j ⊂ V. Notemos que todoespacio segundo numerables es primero numerable pues los abier-tos de la base numerable que contienen un punto dado forman unabase local.

En general, la propiedad de ser primero numerable se comportabien: todo subespacio de un primero numerable es primero nu-merable y el producto numerable de espacios primero numerable estambien primero numerable. Por otro lado, el siguiente ejemplomuestra que la propiedad no se hereda a cocientes.

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Ejercicio 5.7. Dados x, y ∈ R definimos

x ∼ y ⇐⇒ x = y o x, y ∈ Z

Pruebe que el cociente R/ ∼ no es primero numerable; en par-ticular, no es segundo numerable.Hint: este es el Ejercicio 6.1 en [Manetti].

Lema 5.8. Todo espacio metrico es primero numerable.

Dem. Sea x ∈ X, con X espacio metrico. La coleccion

B2−n(x) | n ∈N

forma una base local numerable de vecindades de x.

En general, el inverso del resultado anterior es falso.

Ejemplo 5.9. El espacio R dotado de la topologia dle limite inferior(Ejemplo 1.17) es separable (los racionales son el subespacio denso),primero numerable pues cada a ∈ R tiene base

[a, a + 2−n) | n ∈N

pero no es segundo numerable. Ver Ejemplo 6.12 de [Manetti].

Una exhaucion por compactos de un espacio X es una coleccionKn | n ∈N de subespacios compactos tales que

• Kn ⊂ Kn+1• ⋃n Kn = X

Observemos que para una exhaucion por compactos Kn | n ∈N la coleccion de interiores Kn | n ∈ N es una cubierta abiertapara X; asi que, para cualquier compacto H ⊂ X existe n tal queH ⊂ Kn ⊂ Kn.

Ejemplo 5.10. Dado X = R2 definimos

Kn = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ n2

Notemos que Kn | n ∈ N es una exhaucion por compactos. Estaconstruccion puede usarse para probar que R2 no es homeomorfoa R2\0; ver Ejemplo 4.64 en [Manetti].

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2. SUCESIONES CONVERGENTES 121

Teorema 5.11. Sea X espacio segundo numerable, localmente com-pacto y Hausdorff. Entonces existe una exhaucion por compactos.

Dem. Sea B base numerable para X. Como X es localmentecompacto y Hausdorff el Teorema 3.55 garantiza la existencia deuna subcoleccion Bc ⊂ B de abiertos con cerradura compacta queademas cubre a todo X. Consideremos la coleccion A de unionesfinitas de elementos de Bc y notemos:

• A es a lo mas numerable• Cada A ∈ A tiene cerradura compacta• Para todo compacto K ⊂ X existe A ∈ A tal que K ⊂ A

Por la primera propiedad consideremos ϕ : N → Bc y definamosde manera recursiva:

K1 = ϕ(1), Kn = An ∪ ϕ(n)

donde An ∈ A es tal que Kn−1 ⊂ An. Finalmente notemos que Knes la familia deseada.

2. Sucesiones convergentes

Una sucesion en un espacio topologico X es una funcion de laforma x : N → X. Haciendo xn = x(n) usaremos la notacionxnn∈N para refererirnos a una sucesion.

Decimos que una sucesion xnn∈N en un espacio topologicoX converge a un punto p ∈ X si para toda vecindad U 3 p existeN ∈ N tal que xn ∈ U, ∀n ≥ N. Una sucesion se dice convergentesi converge a algun punto y se usa la notacion

limn→∞

xn = p

para referirse a dicha situacion.

Un punto p ∈ X es llamado punto lımite (o punto de acumu-lacion) de la sucesion xnn∈N si para cualquier vecindad U 3 p ycualquier N ∈ N existe n ≥ N tal que xn ∈ U. Notemos que si unasucesion converge a p entonces p es un punto lımite; el inverso deesta afirmacion generalmente es falso como lo muestra el siguiente:

Ejemplo 5.12. Con la topologıa euclidiana usual la sucesion de numerosracionales

xn = (−1)n nn + 1

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no converge sin embargo tiene dos puntos lımite: −1,+1. J

Observemos que si tomamos X = Rn con la topologia euclidianaentonces la definicion anterior coincide con la definicion usual deconvergencia en Analisis.

Teorema 5.13 (Unicidad del limite). Toda sucesion en un espacioHausdorff converge a lo mas a un punto.

Dem. Sean X Hausdorff y xnn∈N sucesion en X y supong-amos que converge a los puntos (distintos) p, q. Como X es Haus-dorff, existen U, V abiertos deisjuntos tales que p ∈ U, q ∈ V. Porconvergencia existen N, M ∈N tales que

xn ∈ U, n ≥ N; xn ∈ V, n ≥ M

En particular, para cualquier n ≥ max(N, M) se tiene que xn ∈U ∩V, lo cual no puede ser por hipotesis.

La condicion de ser primero numerable es una hipotesis paraobtener el converso del resultado anterior:

Lema 5.14. Sea X espacio primero numerable. Si toda sucesionconvergente de X tiene un lımite unico, entonces X es Hausdorff

Dem. Vease [Engelking, Prop. 1.6.16] y/o [Christie, Thm.25.4].

La hipotesis de ser primero numerable en el resultado anteriorno puede ser debilitada como se muestra a continuacion:

Una subsucesion de xnn∈N consiste de una composicion de laforma

Nl−→N

x−→ X,donde l es una funcion estrictamente creciente. Denotaremos unasubsucesion mediante xl(n)n∈N.

Lema 5.15. Sea xnn∈N sucesion en X. Si existe una subsucesionxl(n) tal que liml→∞ xl(n) = p, entonces p es punto lımite dexnn∈N.

Dem. Sea U vecindad de p. Entonces existe N ∈ N tal quexnj ∈ U para todo j ≥ N. En particular, dado M ∈ N podemos

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hallar s tal que xns ∈ U para s ≥ M; ası, p es punto lımite de lasucesion.

Ejemplo 5.16. En el Ejemplo 5.12 de arriba, podemos considerar lassubsucesiones

limn→∞

nn + 1

= +1, limn→∞− n

n + 1= −1

para probar que−1,+1 son puntos lımite para la sucesion (−1)n nn+1,

como se habıa mencionado. J

La condicion de ser primero numerable puede ser usada paracaracterizar otras propiedades topologicas (veanse el Lema 5.14 yel Ejercicio 5.19); a continuacion se usara para la cerradura de unsubconjunto

Teorema 5.17. Sea X espacio primero numerable y A ⊂ X subcon-junto. Para todo x ∈ X las siguientes condiciones son equivalentes

(1) Existe una sucesion xnn∈N en A tal que limn→∞ xn = x(2) El punto x es punto lımite para alguna sucesion en A(3) El punto x pertenece a A

Dem. (1)⇒ (2): es claro por el lema anterior.(2)⇒ (3): supongamos que x es punto lımite de xn∞

n=1 ⊂ A. Paracualquier vecindad U 3 x se cumple U ∩ xn∞

n=1 6= ∅; de dondex ∈ xn∞

n=1 ⊂ A.(3)⇒ (1): sea x ∈ A y consideremos Un | n ∈ N base local nu-merable de x. Por definicion de cerradura, para cualquier n, pode-mos elegir

an ∈ (U1 ∩U2 ∩ · · · ∩Un) ∩ A 6= ∅Afirm. an∞

n=1 converge a x. Dada cualquier vecindad U 3 x existeN tal que UN ⊂ U (por ser base local); de aqui que an ∈ UN ⊂ U,para cualquier n ≥ N.

Lema 5.18. En un espacio compacto, toda sucesion tiene puntoslimite.

Dem. Sea xnn∈N sucesion en X. Para cada m ∈N definamos

Cm = xnn≥m

Notemos que Cmm∈N es una coleccion numerable y decrecientede cerrados no vacios , ası que por el Teorema 3.24 ∃x ∈ ⋂

Cm,

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donde x es claramente un punto lımite de xnn∈N pues x ∈ Cm, ∀m.

Ejercicio 5.19. Sean X, Y primero numerables y Hausdorff.Pruebe que f : X → Y es continua ⇐⇒ f lleva sucesiones con-vergentes en sucesiones convergentes.

Un espacio es secuencialmente compacto si toda sucesion tieneuna subsucesion convergente

Lema 5.20. Sea X primero numerable. X es secuencialmente com-pacto⇐⇒ toda sucesion tiene punto lımite. En particular, cualquierespacio primero numerable compacto es secuencialmente compacto.

Dem. ⇒ Si toda sucesion tiene subsucesion convergente, elpunto de convergencia es punto lımite para la sucesion original(Lema 5.15).⇐ Sea xnn∈N sucesion y p punto lımite. Probaremos que la

sucesion tiene una subsucesion convergente. Por ser primero nu-merable consideremos Uii∈N base local numerable para p y s.p.g.supongamos Um+1 ⊆ Um

1. Como p es punto lımite, podemosdefinir una sucesion de indices lm | m ∈ N tales que lm+1 > lm yxlm ∈ Um, para cada m. En particular, xlmm∈N converge a p.

4! En la prueba de la implicacion ⇐ anterior pudimos haberusado el Teorema 5.17, incisos 1 y 2 con A el rango de la sucesionxnn∈N.

Teorema 5.21. Sea X espacio segundo numerable. Las siguientesafirmaciones son equivalentes

(1) X es compacto(2) Toda sucesion en X tiene un punto limite(3) X es secuencialmente compacto.

Dem. (1)⇒ (2) se sigue del Lema 5.18.(2)⇒ (3) se sigue del Lema 5.20 anterior.(3)⇒ (1) Supongamos que X no es compacto; hallaremos una sucesion

1Podemos hacer el reemplazo: Um por U1 ∩U2 ∩ · · · ∩Um

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con subsucesion no convergente.Sea A cubierta abierta de X (sin subcubiertas finitas). Por el Teo-rema 5.6 tomemos

A′ = An | n ∈N ⊂ A

subcubierta numerable. Por hipotesis A′ no tiene subcubiertas fini-tas por lo que podemos tomar

a1 ∈ X\A1, a2 ∈ X\(A1 ∪ A2), · · · , an ∈ X\n⋃

j=1

Aj

Sea anss ⊂ ann cualquiera. Afirmamos que ans no es conver-gente.Tomemos p ∈ X cualquiera y como A′ es subcubierta numerable,existe N tal que p ∈ AN pero notemos que ans /∈ AN, ns ≥ N. Ası,ans no converge a p.

En algunos textos ([Lawson, Prop.1.5.5]) el resultado anterior seexpresa de una manera mas general, pero innecesaria

Corolario 5.22. Todo espacio metrico secuencialmente compacto escompacto

En la seccion establecimos el numero de Lebesgue de una cu-bierta. A continuacion damos una condion suficiente para su exis-tencia:

Teorema 5.23. Sea X espacio metrico y secuencialmente compacto.Entonces toda cubierta abierta de X tiene un numero de Lebesgue.

Dem. Vease [Lawson, Prop.1.5.6].

Finalmente observemos que sin la condicion de ser segundo nu-merable existen espacios compactos que no son secuencialmentecompactos (Ejercicio 6.8) y tambien secuencialmente compactos queno son compactos (Ejercicio ??)

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3. Completitud

A lo largo de esta seccion X sera un espacio metrico con funciondistancia d y dotado de la topologıa metrica (Teorema 1.49) inducidapor d.

Una sucesion xnn∈N se llama sucesion de Cauchy si ∀ε >0, ∃N tal que d(xn, xm) < ε, para cualesquiera n, m ≥ N.

Ejemplo 5.24. Tomemos xnn∈N sucesion convergente con lim xn =p. De aquı, ∀ε > 0, ∃N tal que an ∈ Bε/2(p), ∀n ≥ N. De igual formaam ∈ Bε/2(p), ∀m ≥ N. Notemos que

d(xn, xm) ≤ d(xn, p) + d(xm, p) < ε/2 + ε/2 = ε

es decir, d(xn, xm) < ε y xnn∈N es sucesion de Cauchy.J

El ejemplo anterior muestra que toda sucesion convergente esde Cauchy; el converso no es cierto:

Ejemplo 5.25. Tomemos Q con la metrica d(x, y) = |x − y|. Lasucesion

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . . .

con decimales finitos, que converge a√

2 (en R), es una sucesion deCauchy pero no converge en Q, pues

√2 es irracional. J

Ejemplo 5.26. Sea (−1, 1) ⊆ R con la metrica inducida por d(x, y) =|x− y| y tomemos la sucesion

xn = 1− 1n

Notemos que xnn∈N es de Cauchy y no converge en (−1, 1). J

Del ejemplo anterior se sigue el siguiente resultado

Lema 5.27. Una sucesion de Cauchy en X es convergente⇐⇒ tienepuntos limite en X. En particular, toda sucesion de Cauchy en unespacio secuencialmente compacto es convergente.

Dem. ⇐ Sea xnn∈N sucesion de Cauchy en X que tiene ap como punto lımite. Por ser de Cauchy existe M ∈ N tal que

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3. COMPLETITUD 127

d(xn, xm) < ε/2, ∀n, m ≥ M. Por otro lado, al ser p punto lımiteexiste N ≥ M tal que d(xN, p) < ε/2. De esto se obtiene

d(p, xn) ≤ d(p, xN) + d(xN, xn) < ε/2 + ε/2 = ε

⇒ Si una sucesion de Cauchy es convergente, entonces por elLema 5.15 tiene un punto lımite.

Un espacio metrico es llamado completo si toda sucesion deCauchy es convergente.

Ejemplo 5.28. Recordemos (Ejemplo 5.8) que todo espacio metricoes primero numerable y que en un espacio compacto toda sucesiontiene puntos lımite (Lema 5.18). Ası, por el Lema 5.20 todo espa-cio metrico compacto es secuencialmente compacto. Finalmente,por el Lema 5.27, se tiene que todo espacio metrico compacto escompleto.J

Teorema 5.29. El espacio Rn es completo para n ≥ 1.

Dem. Sea xnn∈N sucesion de Cauchy en Rn y tomemos N ∈N

tal que|xn − xN| < 1, ∀n ≥ N

Hagamos R = max|x1|, |x2|, . . . , |xN| y definamos

D = x ∈ Rn | |x| ≤ R + 1Notemos que |xj| ≤ R para j = 1, . . . , N. Para n ≥ N tenemos que

|xn| = d(0, xn)

≤ d(0, xN) + d(xN, xn)

≤ |xN|+ 1 < R + 1

Es decir, todo elemento de la sucesion esta contenido en D, quecomo es compacto, es convergente por el resultado anterior.

Corolario 5.30. Cn es completo.

Dem. Basta hacer la identificacion Cn = R2n.

Ejemplo 5.31. Recordemos que (Ejemplo 5.26) (−1, 1) no es espaciocompleto. Como (−1, 1) ∼= R se sigue que ser completo no es unapropiedad topologica. J

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Lema 5.32. Sea (X, d) completo. Un subespacio A ⊆ X es cerrado⇐⇒ es completo con la metrica inducida.

Dem. ⇒ Sean A ⊆ X cerrado y xnn∈N sucesion de Cauchyen A. Dado que tambien es sucesion de Cauchy en X es convergentea un punto p ∈ A = A; ası (A, d) es completo.⇐ Si (A, d) es completo, toda sucesion de Cauchy en A converge

a p ∈ A = A y A es cerrado.

Para (X, d) espacio metrico definimos una contraccion como unafuncion f : X → X para la que existe un numero real δ < 1 tal que

d( f (x), f (y)) ≤ δd(x, y), ∀x, y ∈ X

El siguiente es un Teorema de Punto Fijo bajo las condiciones deun espacio metrico completo

Ejercicio 5.33. Pruebe que si (X, d) es completo (no vacio) y f esuna contraccion, entonces f tiene un unico punto fijo x0.

Ejercicio 5.34. Pruebe que, bajo las hipotesis del ejercicio ante-rior, para todo x ∈ X se tiene que limn→∞ f n(x) = x0.Hint: pruebe que x1 = f (x), x2 = f (x1), . . . es sucesion deCauchy.

4. Espacios metricos compactos

Un espacio metrico X se dice totalmente acotado si para cadar ∈ Z>0 existe una cubierta finita de X hecha de bolas abiertas deradio r.

Lema 5.35. Todo espacio totalmente acotado es acotado.

Dem. Tomemos X con cubierta finita B1(x1), B1(x2), . . . , B1(xn)y tomemos

M = max|xi − xj| | i 6= j

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4. ESPACIOS METRICOS COMPACTOS 129

Sean x, y ∈ X con x ∈ B1(xi), y ∈ B1(xj). Dado que

|x− y| = |x− xi + xi − y + xj − xj| ≤ |x− xi|+ |xi − xj|+ |xj − y|

se tiene que |x− y| ≤ M + 2.

Recordemos (Ejemplo 3.19) que cualquier espacio discreto e in-finito, dotado de la metrica discreta, es acotado pero no totalmenteacotado. En general, el inverso del resultado anterior no es cierto:

Ejemplo 5.36. (R, d), con d(x, y) = |x− y| no es ni acotado ni total-mente acotado. Por otro lado, si d(x, y) = min|x− y|, 1 entoncesR es acotado pero no totalmente acotado. J

Ejemplo 5.37. Con la metrica |x − y| el subespacio (−1, 1) ⊂ R estotalmente acotado, al igual que Q ∩ [−1, 1]. Notemos ademas queninguno es completo. J

Observemos que [−1, 1] es subespacio completo (Teorema 5.32)y totalmente acotado

Lema 5.38. Todo espacio metrico secuencialmente compacto es to-talmente acotado

Dem. Sea X metrico secuencialmente compacto y supongamos∃r > 0 tal que X no puede ser cubierto por una cantidad finitade r-bolas abiertas. Construiremos una sucesion que no tiene sub-sucesion convergente.Sea x1 ∈ X arbitrario y tomemos x2 ∈ X\Br(x1). En general, paran > 1, tomemos

xn ∈ X\n−1⋃i=1

Br(xi)

Notemos que d(xn, xm) ≥ r, ∀n > m asi que ninguna subsucesionde xnn∈N es convergente; contradiccion. Luego, X es totalmenteacotado.

Lema 5.39. Todo espacio metrico totalmente acotado es segundo nu-merable.

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Dem. Sea X totalmente acotado. Entonces podemos tomar, paracualquier n ∈N,

En ⊆ X finito tal que X =⋃

e∈En

B2−n(e)

De aqui, E = ∪nEn es denso y numerable por lo que X es separable.Finalmente, por el Teorema 5.5, X es segundo numerable.

Teorema 5.40. Sea X espacio metrico. Las siguientes afirmacionesson equivalentes

(1) X es compacto(2) Toda sucesion en X tiene punto lımite(3) X es secuencialmente compacto(4) X es completo y totalmente acotado

Dem. Recordemos que (Lema 5.18) compacto ⇒ toda sucesiontiene punto limite. Por otro lado, por el Lema 5.8) metrico ⇒primero numerable y por el Lema 5.20 primero numerable + (todasucesion tiene punto limite)⇒ secuencialmente compacto. De aquise tienen (1)⇒ (2) y (2)⇒ (3).(3)⇒ (1) : Por los Lemas 5.38, 5.39: secuencialmente compactometrico⇒ segundo numerable y por Teorema 5.21 X es compacto.(2) + (3) ⇒ (4) : Por el Lema 5.38 sec. compacto metrico ⇒ tot.acotado; Por Lema 5.27 sec. compacto metrico⇒ completo.(4)⇒ (3) : usaremos el siguiente resultado

Dada fn : N → An | n ∈ N familia numerable de fun-ciones. Si cada An es finito, existe g : N → N estrictamentecreciente tal que fn(g(m)) = fn(g(n)), ∀m ≥ n.

para probar que en cualquier totalmente acotado podemos obteneruna sucesion de Cauchy de cualquier sucesion. Para n ∈ N seaAn conjunto finito de 2−n-bolas que cubren a X y consideremosfn : N → An tal que fn(i) es la bola que contiene a xi, ∀i. Por elLema de arriba existe subsucesion xg(n) tal que para cualquiern < m, los elementos xg(n), xg(m) pertenecen a la misma 2−n−bola.Ası, xg(n)n∈N es sucesion de Cauchy.

Lema 5.41. Un subespacio A de un esapcio metrico es totalmenteacotado⇐⇒ A es totalmente acotado.

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5. ESPACIOS DE BAIRE 131

Dem. ⇐ Sea A totalmente acotado y tomemos r ∈ Z>0; de aquıexisten x1, . . . , xn ∈ A tales que

A ⊆n⋃

i=1

Br/2(xi)

4! terminado en clase4! .

Decimos que un subespacio A ⊆ X es relativamente compactosi esta contenido en un subespacio compacto de X. Notemos que siX es Hausdorff, entonces A ⊂ X es relativamente compacto⇐⇒ Aes compacto.

Corolario 5.42. Un subespacio de un metrico completo es relativa-mente compacto⇐⇒ es totalmente acotado.

Dem. ⇐ Sean X metrico completo. Por el resultado anteriorA ⊆X totalmente acotado ⇐⇒ A totalmente acotado. Por otro lado, Aes cerrado⇐⇒ A completo (Lema 5.32); finalmente, A es compacto(Teorema 5.40)⇐⇒ A relativamente compacto. ⇒ A relativamentecompacto ⇐⇒ A compacto y por Teorema 5.40, A totalmente aco-tado⇐⇒ A totalmente acotado.

5. Espacios de Baire

Recordemos que el interior de un subconjunto E es la union detodos los abiertos contenidos en el (vease Sec. 2). Ası, decir queE tiene interior vacıo significa que el unico abierto contenido en eles el conjunto vacio. De manera equivalente: si E = ∅ ⇒ X\E esdenso en X pues X\E = X\E = X.

Decimos que un subconjunto E es denso en ninguna parte 2 sisu cerradura tiene interior vacıo. Notemos que esta definicion solotiene sentido para subconjuntos cerrados y no abiertos pues paralos abiertos se tiene

E = E ( E⇒ E 6= ∅

Ejemplo 5.43. Notemos que Z ⊆ R es denso en ninguna parte pueses cerrado y no contiene ningun intervalo abierto. Por otro lado,

2esto significa que existe, pero no hay mucho de el en el espacio.

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x ∈ Q | 0 < x < 1 es denso en [0, 1] pero no denso en ningunaparte. J

Ejemplo 5.44. Recordemos de la Seccion 2 que la frontera deA ⊂ Xesta dada por ∂A = A\A; puesto que ∂A = A ∩ (X\A) se tieneque ∂A es siempre cerrado. Para cualquier subconjunto (abiertoo cerrado), la frontera es denso en ninguna parte; vease [Levy,Prop.3.5].J

Ejercicio 5.45. Sea E ⊆ X cerrado. Pruebe que E es denso enninguna parte⇐⇒ X\E es denso.

Lema 5.46. A es denso en ninguna parte⇐⇒ todo abierto no vacioB contiene un abierto no vacio C disjunto de A.

Dem. Esta es la Proposicion 3.2 de [Levy].

Ejemplo 5.47. Tomemos A ⊆ R2 conjunto de lineas coordenadas:

A = (x, y) | x = n, y = m, n, m ∈NDado que A se cerrado y A = ∅ se tiene que A es denso enninguna parte. J

Ejemplo 5.48. Notemos que 0 ⊆ R es denso en ninguna partepero al tomar 0 ⊆ Z, este ultimo con la topologıa discreta, ya nolo es.J

Ejercicio 5.49. Considere Z ⊆ R, donde R tiene la topologıacofinita. Pruebe que Z es denso en R.

Por el ejercicio anterior y los ejemplos se tiene que la propiedadde ser denso en ninguna parte depende directamente del espaciodonde se haga la inclusion E ⊆ X, no es una propiedad intrınsecade E. A continuacion un resultado que sera de gran utilidad.

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Lema 5.50. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:(1) La interseccion numerable de abiertos densos en X es densa

en X(2) La union numerable de cerrados de interior vacio en X tiene

interior vacio en X.

Dem. (1) ⇒ (2) Tomemos Fnn∈N coleccion de cerrados conFn = ∅, ∀n y hagamos

On = X\Fn

B = ∪Fn

Por el comentario a principio de la seccion cada abierto On es densoen X y por hipotesis, la interseccion ∩nOn es tambien densa en X.De aquı que X\B = ∩nOn implica que

X = ∩nOn = X\B = X\B

de donde B = ∅, como se querıa probar.(2) ⇒ (1) Como antes, sean Onn∈N coleccion de abiertos densosen X, hagamos

Fn = X\On

A = ∪Fn

B = ∩On

y notemos que cada Fn tiene interior vacıo; aplicamos hipotesis ytenemos que A = ∅. Finalmente observemos que

X\B = (X\B) = (∪X\On) = A = ∅

por lo que B = X.

Un subconjunto es magro (o de primera categorıa) si esta con-tenido en la union numerable de subconjuntos densos en ningunaparte. Ası, denso en ninguna parte ⇒ magro pero no al reves. Unespacio X es llamado de Baire si todo subconjunto magro tiene in-terior vacio; es decir, si ningun abierto esta contenido en la unionnumerable de densos en ninguna parte.

Por el Lema 5.50 se tiene que X es de Baire ⇐⇒ la interseccionnumerable de abiertos densos en X es tambien denso en X. Lapropiedad de ser de Baire se hereda a subespacios abiertos ([Munkres,Thm.48.4])

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Ejemplo 5.51. El conjunto vacıo es de Baire. Tambien lo es cualquierconjunto discreto no vacıo pues el unico subconjunto denso en ningunaparte es el vacio. J

Ejemplo 5.52. El conjunto Q de los racionales no es de Baire puestodo punto es denso en ninguna parte y cerrado y ademas Q esunion numerable de ellos. J

La propiedad de ser de Baire es rara y anti-natural pero veremosa continuacion que la presencia de vecindades compactas para unespacio es suficiente para ser de Baire:

Teorema 5.53 (Baire). Todo espacio localmente compacto y Haus-dorff es de Baire.

Dem. Sean X localmente compacto, Onn∈N coleccion de abier-tos densos en X y O ⊆ X abierto. Para A = ∩nOn probaremos queA ∩O 6= ∅ para mostrar que A es denso.

Como O1 es denso en X, se tiene que O1 ∩O 6= ∅ y tomamosa1 ∈ O1 ∩O. Por hipotesis (y Teorema 3.55), existe V1 3 a1 vecindadcompacta tal que

a1 ∈ V1 ⊂ O1 ∩O

Tomemos V1 ⊂ V1 abierto no vacio; como O2 es denso en X tomamosa2 ∈ O2 ∩ V1 . Por hipotesis, tomamos V2 3 a2 vecindad compactatal que

a2 ∈ V2 ⊂ O2 ∩V1 ⊂ O2 ∩V1

Siguiendo de esta manera construimos una coleccion numerable de-creciente de compactos no vacios Vnn∈N en el compacto V1 talesque

V1 ⊂ O1 ∩O, Vn ⊂ On ∩Vn−1 ⊂ · · · ⊂ O1 ∩O ⊂ O

Por el Corolario 3.25 se sigue que ∩Vn 6= ∅ y podemos tomar

x ∈ (∩nOn) ∩O = A ∩O

como se querıa.

A continuacion otras condiciones bajo las cuales un espacio esde Baire.

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Teorema 5.54 (Baire). Todo espacio metrico completo es un espaciode Baire.

Dem. Sea Fnn∈N coleccion numerable de cerrados con interiorvacio. Probaremos que ∪nFn tiene interior vacio por contradiccion:supongamos que existen x0 ∈ X, r > 0 tal que Br(x0) ⊆ ∪nFn.Como cada Fn tiene interior vacio, para cualquier bola Br(x) se tieneque Br(x)\Fn 6= ∅. Consideremos x1 ∈ Br/3(x0)\F1 y un radio0 < r1 ≤ r/3 tal que Br1(x1) ∩ F1 = ∅. Sea x2 ∈ Br1/3(x1)\F2 ytomemos 0 < r2 ≤ r1/3 tal que Br2(x2) ∩ F2 = ∅. Seguimos con laconstruccion anterior para obtener una sucesion de puntos xnn∈N

y radios rnn∈N tales que

xn ∈ B rn−13(xn−1), Brn(xn) ∩ Fn = ∅, ∀n

Consideremos n < m y observemos que 3

d(xn, xm) ≤ d(xn, xn+1) + · · ·+ d(xm−1, xm)

≤ 13(rn + rn+1 + · · ·+ rm−1)

≤ 13(rn +

rn3 + · · ·+ rn

3m−n−1 )

= rn(∑m−ni=1

13i )

= rn(12 [1− 3n−m])

≤ 12rn ≤ rn ≤ r

3n

Esto prueba que xnn∈N es de Cauchy; llamemos w a su puntode convergencia y notemos que de las desigualdades anteriores sesigue que d(xn, w) ≤ rn/2, ∀n; de donde w /∈ Fn, ∀n. Por otro lado,notemos que d(x0, w) < r, por lo que w ∈ Br(x0) ⊆ ∪Fn, por lo queobtenemos una contradiccion y el resultado se sigue.

Este resultado puede probarse usando el concepto de diametrode un subconjunto de un espacio metrico; vease [Queffelec, p.166].Del resultado anterior se desprende que Rn es espacio de Baire,∀n ≥ 1.

Corolario 5.55. Sea Bnn∈N coleccion numerable de subconjun-tos de Rn. Si Rn = ∪nBn, entonces existe entero m tal que elcerrado Bm tiene interior no vacio.

3Haremos uso de ∑ni=1 xi = x(xn−1)

x−1 , x 6= 1.

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Este es el Ejercicio 1 de [Munkres, Sec.48] y se obtiene de queRn es de Baire.

Las aplicaciones del Teorema de Baire son muchas y de distintanaturaleza:

• Existencia de una funcion diferenciable en ninguna parte;vease [Munkres, Sec.49], [Bredon, Coro.17.6]:Para una funcion continua h : I → R y ε > 0 existe g : I → R

funcion continua tal que |h(x)− g(x)| < ε, ∀x con g diferencia-ble en un subconjunto denso en ninguna parte.

• Encaje de Hurewicz; vease [Queffelec, Sec.5.III], [Munkres,Sec.50]:Todo espacio metrizable compacto de dimension n admite un en-caje en R2n+1.

• Puntos de continuidad de una funcion lımite; vease [Bredon,Coro17.4]:Para una sucesion de funciones continuas fn : X → Yn∈N

entre espacios metricos con X completo, el conjunto de puntos decontinuidad de f = limn fn es denso.

• Construccion de ejemplos patologios de variedades diferen-ciables, vease [Bredon, Coro17.5]:Existe una 2-variedad conexa con un subconjunto denso que noes segundo numerable ni metrizable.

.

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CAPITULO 6

Productos infinitos de espacios

En este capıtulo se probaran las generalizaciones de ciertos resultadossobre productos de espacios conexos, compactos y Hausdorff. Para estoharemos una revision de la topologıa para el caso de una cantidad arbitrariade espacios topologicos.

1. El Teorema de la Subbase

En esta seccion probaremos el siguiente resultado de gran utili-dad en la proximas secciones; comparese con el Teorema 3.23.

Teorema 6.1 (de la Subbase). Sea P subbase para X. Si todacubierta para X hecha con elementos de P tiene una subcubiertafinita, entonces X es compacto.

Este resultado es conocido como el Teorema de la Subbase deAlexander; su recıproco es cierto si X es Hausdorff; vease Teorema3.12.2 en [Engelking].

Dem. Denotemos por τ la topologıa determinada por P . Supong-amos que X no es compacto y consideremos la coleccion Z de fa-milias de abiertos de τ que cubren a X pero no tienen subcubiertasfinitas; por la suposicion, Z 6= ∅.Definamos en Z:

A ≤ A′ ⇐⇒ A ⊂ A′

para hacer de Z conjunto (parcialmente) ordenado. Dada cualquiercadena C ⊆ Z notamos que C = ∪A | A ∈ C es cota superior deC.Afirm. C ∈ Z.Supongamos que C tiene una subcubierta finita A1, A2, . . . , An ynotemos que por construccion de C cada Ai pertenece a algun Ai ∈

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138 6. PRODUCTOS INFINITOS DE ESPACIOS

C; en particular, la subcubierta A1, A2, . . . , An esta contenida enmaxA1, . . . ,An y tendrıamos un elemento de Z que tiene unasubcubierat finita, lo cual no puede ser; ası, C no tiene subcubiertasfinitas y C ∈ Z.•

Por el Lema de Zorn (9.2), la coleccion Z tiene un elemento max-imal; llamemosle Z .Afirm. P ∩Z es cubierta abierta de X.Dado x ∈ X tomemos A ∈ Z tal que x ∈ A. Como P es subbase,existen P1, . . . , Pn ∈ P tales que

x ∈ P1 ∩ P2 ∩ · · · ∩ Pn ⊂ A

Si Pi /∈ Z , ∀i, entonces Z ∪ Pi es una cubierta estrictamente masgrande que Z y como Z es elemento maximal, entonces Z ∪ Pi /∈Z; es decir, es cubierta abierta y tiene una subcubierta finita:

X = Pi ∪ Ai,1 ∪ Ai,2 ∪ · · · ∪ Ai,si

con Ai,j ∈ Z . Mas aun, X = (∩iPi) ∪i,j Ai,j y por tanto X =A ∪ ∪i,j Ai,j es subcubierta finita de Z , lo cual no puede ser; asi,al menos uno de los Pi’s pertenece a Z . De aquı existe Pj ∈ P ∩ Ztal que x ∈ Pj y P ∩Z es cubierta abierta de X.Finalmente notemos que P ∩ Z es cubierta abierta de X hecha deelementos de P por lo que tiene subcubierta finita; por otro lado,como P ∩Z ⊂ Z no debe contener subcubiertas finitas; contradiccion.Por tanto, X es compacto.

Ejemplo 6.2 (???). Sea X conjunto numerable y consideremos P0(X)coleccion de subconjuntos finitos de X. Hagamos X = Z≥0 y con-sideramos

φ : P0(X) −→N>,

∅ 7−→ 0n1, . . . , nk 7−→ ∑k

i=1 2ni

Notemos que φ es biyeccion por lo que P0(X) es numerable. Masaun, esto permite caracterizar: un espacio es segundo numerable⇐⇒ tiene una sub-base numerable. J

2. Topologıa producto II

En la Seccion 5 consideramos la topologıa producto en X × Y ymas tarde (Seccion 2) probamos que el producto finito de espacioscompactos es compacto. En esta seccion probaremos la version masgeneral de este resultado y el analogo para espacios conexos.

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2. TOPOLOGIA PRODUCTO II 139

Dada una familia Xii∈I de conjuntos consideremos su pro-ducto cartesiano X = ∏i Xi. Observemos que los puntos de X estanen correspondencia biyectiva con funciones que eligen, para cadai ∈ I, un elemento de Xi:

x : I −→ ∪i∈IXi

donde x(i) = xi ∈ Xi. Con esto identificamos a los elementos de Xcon la coleccion de funciones

xi : I −→ ∪i∈IXi | xi ∈ Xi, ∀i ∈ I

Si los Xi’s son no vacios, entonces X es no vacio por el Axiomade Eleccion (9.3). Notemos que si los Xi’s son todos iguales a unconjunto X0, entonces el producto cartesiano X = ∏i Xi = ∏i X0coincide con el conjunto X I

0 de funciones I → X0.

Ahora, tomemos una coleccion Xii∈I de espacios topologicosy consideremos su producto cartesiano X = ∏i∈I Xi. Definimos lai-esima proyeccion pi : X → Xi como la funcion que asigna a cadaelemento en el producto X su i-esima coordenada:

pi(x) = x(i) = xi

y observemos que pi es sobreyectiva. Definimos la topologıa pro-ducto en X como la mas gruesa donde las proyecciones pi son fun-ciones continuas.

Al igual que en el caso finito la topologıa producto puede darseen terminos de una sub-base: sea Pi la coleccion

p−1i (U) | U ⊆ Xi abierto

y denotemos por P =⋃

i∈I Pi. La topologıa producto es aquellaque tiene por sub-base a P . Bajo estas condiciones X es llamado elespacio producto de la coleccion Xii∈I .

La base canonica B de la topologıa producto consiste de todaslas intersecciones finitas de elementos de P ; estas interseccionestienen (basicamente) dos formas:

• Intersecciones de la misma coleccion:

p−1i (Ui) ∩ p−1

i (Uj) = p−1i (Ui ∩Uj),

para Ui, Uj ⊆ Xi abiertos. (tambien para una cantidad finitade ellos)

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• Intersecciones de diferentes colecciones:

B = p−1i1

(Ui1) ∩ p−1i2

(Ui2) ∩ · · · ∩ p−1in (Uin),

para una cantidad finita de ındices distintos i1, . . . , in ∈ I ydonde Uij ⊆ Xij es abierto.

Ası, x ∈ B ⇐⇒ su i1-esima coordenada pertenece a Ui1 , sui2-esima coordenada pertenece a Ui2 , y ası con el resto de las coor-denadas. Notemos que no hay restriccion en cuanto a la α-esimacoordenada si α no es ninguna de las ij’s. Finalmente notemos queel elemento de la base B de arriba puede ser escrito

B = ∏r∈I

Ur,

donde Ur = Xr para r 6= i1, . . . , in.

Notemos que si todos los espacios Xi coinciden, entonces latopologıa producto conincide con la topologıa de la convergenciapuntual del Ejemplo 1.22.

Cabe destacar que la topologıa producto no es la unica manerade darle una topologıa al producto cartesiano de espacios topologicos,tambien se tiene la topologıa de caja , la cual tiene como base lacoleccion ∏i Ui | Ui ⊆ Xi abierto. Las topologıas producto y decaja coinciden cuando I es finito; vease [Munkres, Teo.19.1].

Lema 6.3. Una funcion f : Y → X = ∏ Xi es continua⇐⇒ todassus funciones componentes

fi = pi f : Y −→ Xi

son continuas.

Dem. ⇒ Como las proyecciones pi son continuas, la composicionfi = pi f es tambien continua.⇐ Supongamos que cada fi : Y → Xi es continua y tomemos

el abierto p−1i (U) ∈ P . Notemos que f−1(p−1

i (U)) = f−1i (U) es

abierto y por tanto f es continua.

3. Teorema de Tychonoff

El Teorema 3.33 prueba que el producto de dos espacios com-pactos es tambien compacto. A continuacion mostramos su gener-alizacion:

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3. TEOREMA DE TYCHONOFF 141

Teorema 6.4 (Tychonoff). El producto arbitrario de espacios com-pactos es compacto.

Dem. Tomemos X = ∏ Xi con la topologıa producto y Xi com-pacto, ∀i. Probaremos que X es compacto usando el Teorema de laSubbase (Teorema 1).Tomemos A coleccion de abiertos tomados de la sub-base de X; estoes, para cada i tomamos Ai coleccion de abiertos en Xi tal que

A = p−1i (U) | U ∈ Ai, i ∈ I

Afirm. Si A es cubierta para X ⇒ Ai existe i0 ∈ I tal que Ai0 escubierta para X, p.a. i.Supongamos que no existe tal. Podemos tomar xi ∈ Xi, ∀i talque xi /∈ Ui para Ui ∈ Ai y p−1

i (Ui) ∈ A. De aquı el elementox = (xi) ∈ X no puede ser cubierto por A; contradiccion.

Notemos que si Ai0 es cubierta de X, tambien lo es de Xi0 . Porcompacidad de Xi0 , existe n tal que tales que

Xi = U1 ∪ · · · ∪Un, Uj ∈ Ai

Luego, p−1i (U1), . . . , p−1

i (Un) ⊂ A es subcubierta finita para X.

El Teorema de Tychonoff es considerado uno de los teoremasmas profundos de la topologıa por lo cual no es extrano encontrarotras pruebas del mismo. Por ejemplo, en [Bredon] se prueba us-ando el concepto de redes universales (universal nets) o en [Munkres]se prueba mediante el Lema de Zorn.

Sabemos que el producto de dos espacios conexos es conexo(Teorema 2.12) y, mediante un argumento de induccion, tenemosque el producto de un cantidad finita de conexos es conexo. Elsiguiente resultado contempla el caso del producto de una cantidadarbitraria de espacios.

Teorema 6.5. El producto arbitrario de espacios conexos es conexo.

Dem. Sea X = ∏i∈I Xi producto una cantidad arbitraria de es-pacios conexos. Suponiendo que X 6= ∅ podemos tomar x ∈ X yconsideremos F(x) ⊂ X

F(x) = y ∈ X | yi 6= xi, cantidad finita de indices

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Probaremos que F(x) es conexo y denso en X, lo cual probara elteorema.Para J ⊆ I finito definimos

hJ : ∏j∈J

Xj −→ X, hj(z)i =

zi, i ∈ Jxi, i /∈ J

Notemos que cada hJ es continua y, como el dominio es conexo(Teorema 2.12), su imagen es conexo. Mas aun, como F(x) es launion de tales imagenes y cada una contiene a x se sigue que F(x)es conexo (Lema 2.33).Por otro lado, denotemos por pJ : X → ∏j∈J Xj a la proyeccion enlas coordenadas de J. De la definicion de topologıa producto, paracada J ⊂ I finito y cada abierto U de ∏j∈J Xj, los abiertos p−1

J (U)

contienen a la base canonica 1 y por lo tanto forman una base. Masaun,

h−1J (p−1

J (U)) = U 2

Asi que, si U 6= ∅ entonces F(x) ∩ p−1J (U) 6= ∅; en particular, F(x)

intersecta a todo abierto no vacio de la base canonica. Asi, comoF(x) es denso y conexo, F(x) = X es conexo.

Usando las propiedades de la topologıa producto se prueba elsiguiente resultado

Lema 6.6. El producto arbitrario de espacios Hausdorff es Haus-dorff.

Dem. Considere X = ∏ Xi, con Xi Hausdorff, ∀i. Dados x =(xi) 6= y = (yi) ∈ X, entonces difieren en al menos una coordenada,digamos xi0 6= yi0 , que pertenece a cierto espacio Xi0 . Dado que esteultimo es Hausdorff existen abiertos U, V ⊆ Xi0 tales que xi0 ∈ Uyi0 ∈ V con U ∩V = ∅. Notemos que p−1

i0(U), p−1

i0(V) son abiertos

disjuntos en X que contienen a x, y, respectivamente.

El metodo usado en la prueba anterior puede ser usado paramostrar los siguientes resultados.

1Que son de la forma p−1i (Ui), Ui ⊂ Xi abierto

2Pues F(x) ∈ p−1J (U) = hJ(U)

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3. TEOREMA DE TYCHONOFF 143

Figura 1. Prueba del lema anterior

Lema 6.7. El producto de una cantidad numerable de espacios se-gundo numerable es segundo numerable.

Dem. Este es el Ejercicio 7.4 en [Manetti].

Ejercicio 6.8. Consideremos el conjunto de funciones S = a :N→ −1, 1. Pruebe que el producto de [−1, 1]|S| es compactopero no secuencialmente compacto.

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CAPITULO 7

(Intro. a) Variedades topologicas

Una variedad topologica es un espacio que localmente tiene la estruc-tura de un espacio euclidiano, lo cual hace que sea un objeto que aparezcaen distintos contextos de las matematicas como la Topologıa Diferencial yla Geometrıa Algebraica.

En este capıtulo daremos algunas propiedades elementales de las var-iedades topologicas y mostraremos que muchos de los espacios definidos enel texto son variedades. El capıtulo termina con algunas palabras sobreel problema de clasificacion de variedades de acuerdo a su dimension, unproblema que resulta de gran trascendencia dentro de la Topologıa.

1. Paracompacidad

Sea X espacio topologico. Recordemos (ver Capıtulo 4) que unafamilia A ⊂ P(X) es localmente finita en X si todo x ∈ X tiene unavecindad V tal que V ∩ A 6= ∅, a lo mas para una cantidad finita deA ∈ A.

Ejemplo 7.1. Las colecciones

(n, n + 2) | n ∈ Z, (n, 2n) | n ∈ Z+son localmente finitas en R. Por su parte, las colecciones

(0, 1/n) | n ∈ Z+, (1

n + 1,

1n) | n ∈ Z+

no son localmente finitas en R. J

Notemos que si A es localmente finita, entonces cualquier sub-coleccion de A es tambien localmente finita. Ademas, A = Ai eslocalmente finita ⇐⇒ la coleccion de cerraduras Ai | Ai ∈ A eslocalmente finita.

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146 7. (INTRO. A) VARIEDADES TOPOLOGICAS

Las colecciones localmente finitas tiene ciertas propiedades in-teresantes como lo muestra el siguiente resultado

Lema 7.2. Si Ai es una familia localmente finita en X, entonces∪Ai = ∪Ai. En particular, la union de una familia localmentefinita de cerrados es cerrada.

Dem. La contencion ∪Ai ⊂ ∪Ai siempre se tiene porque Ai ⊂∪Ai y por tanto Ai ⊂ ∪Ai, ∀i. Resta probar que ∪Ai ⊂ ∪Ai.Consideremos x ∈ ∪Ai y U ⊆ X abierto que con x ∈ U que inter-secta a una cantidad finita de los Ai’s, digamos A1, . . . , An.Afirm. x pertenece a algun Aj, para j = 1, 2, . . . , n.Supongamos que x no pertenece a ninguna de las cerraduras y note-mos que entonces

U\(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An)

es una vecindad de x que no intersecta a ninguno de los Ai’s y portanto no intersecta a ∪Ai, lo cual no puede ser pues x ∈ ∪Ai.De aquı x ∈ Aj, para cierto j y por tanto x ∈ ∪Ai, como se querıaprobar.

Sean Uii∈I , Vjj∈J cubiertas de X. Decimos que Uii es unrefinamiento de Vjj si ∀i ∈ I, ∃j ∈ J tal que Ui ⊂ Vj; tambien sedice que refina a Vj. En tales condiciones, llamamos a una funcionf : I → J tal que Ui ⊂ Vf (i), la funcion de refinamiento.

Notemos que toda subcubierta es un refinamiento pero el recıprocono es cierto: los elementos de un refinamiento no necesariamenteson elementos de la cubierta.

Ejemplo 7.3. Sean X espacio metrico y

A = B1(x) | x ∈ X

cubierta abierta de X mediante de bolas abiertas de radio 1. Note-mos que la coleccion de bolas abiertas

A′ = B1/2(x) | x ∈ X

es un refinamiento de A.J

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1. PARACOMPACIDAD 147

Ejemplo 7.4. Dadas Uii∈I , Vjj∈J cubiertas de un espacio, la coleccion

Ui ∩Vji∈I, j∈J

es un refinamiento para cada una de ellas. Las funciones de refi-namiento son las proyecciones (i, j) 7→ i, (i, j) 7→ j. J

En terminos de refinamientos la definicion de espacio compactoqueda como sigue: X es compacto si toda cubierta abierta A de Xadmite un refinamiento abierto finito B que tambien cubre a X.

Esta manera extrana de definir la compacidad permite tener lasiguiente generalizacion. Un espacio es paracompacto si es Haus-dorff 1 y toda cubierta abierta admite un refinamiento por una cu-bierta abierta localmente finita.

Ejemplo 7.5 (Rn es paracompacto). EL espacio euclidiano Rn esparacompacto. Sea A cubierta abierta para Rn y definamos, paracada m ∈ Z>0, Bm = Bm(0), con B0 = ∅. Tomamos una coleccionCm que consiste de una cantidad finita de elementos de A quecubren a Bm e intersectan al abierto Rn\Bm−1.Afirm. C = ∪mCm es un refinamiento de A que es localmente finitay cubre a Rn; vease [Munkres, p.253].J

Ejemplo 7.6. Todo espacio compacto y Hausdorff es paracompacto,pues una subcubierta finita es localmente finita. El recıproco no escierto: por el Teorema de Stone (7.14) R es paracompacto pero noes compacto. J

Ejemplo 7.7. Todo espacio discreto es paracompacto pues la cu-bierta x | x ∈ X es abierta, localmente finita y refina cualquierotra cubierta.J

En la definicion de paracompacidad se pide refinamientos y nosubcubiertas por las siguientes razones:

• Si toda cubierta abierta de X tiene subcubierta localmentefinita entonces X es compacto pues de esta ultima podemosextraer una subcubierta finita.

1No siempre se requiere esta condicion en la definicion de paracompacidad;es una tradicion iniciada por Bourbaki

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• Si toda cubierta abierta de X tiene un refinamiento finito, Xes compacto pues para cada elemento del refinamiento A′escogemos un elemento de A que lo contenga; esto produceuna subcoleccion finita de A que cubre a X.

La propiedad de ser paracompacto se comporta muy parecidoa la de ser compacto: no todo subespacios de un paracompacto esparacompacto; es cierto solo para subespacios cerrados:

Ejercicio 7.8. Pruebe que todo subespacio cerrado de un espacioparacompacto es tambien paracompacto.

La propiedad de ser paracompacto es de gran importancia den-tro de la Topologıa y el Analisis, en parte porque es una gener-alizacion de ser compacto y de ser metrizable; vease [Engelking,Cap.5]. Partiendo de la definicion no parece claro como determi-nar si un espacio es o no paracompacto. A continuacion damosuna condicion suficiente para que un espacio Hausdorff sea paraparacompacto. 2

Teorema 7.9. Si un espacio Hausdorff tiene una exhausion porcompactos, entonces es paracompacto y localmente compacto.

Dem. Sean Knn∈N una exhausion por compactos de X, B basepara X y A cubierta abierta para X. La propiedad de ser localmentecompacto se obtiene de inmediato por la existencia de la exhausion.Afirm. ∃ C ⊆ B localmente finita que refina a A.Como X es Hausdorff, todo Kn es cerrado y el subconjunto Kn\Kn−1de Kn es compacto. Para cada n ∈ N tomemos x ∈ Kn\Kn−1 yelijamos A ∈ A, B(n, x) ∈ B tales que

x ∈ B(n, x) ⊂ A ∩ (Kn+1\Kn−2)

Dado que la coleccion B(n, x)x cubre a Kn\Kn−1 existen x1, . . . , xstales que

Kn\Kn−1 ⊂ B(n, x1) ∪ · · · ∪ B(n, xs)

Definamos C = ∪nB(n, xi) | i = 1, 2, . . . , s y notemos que C ⊂ B.Ademas, para cada x ∈ X y A ∈ A con x ∈ A se tiene que A

2Es posible obtener otro criterio considerando el concepto de σ-compacidad;ver [Bredon, p.37].

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1. PARACOMPACIDAD 149

intersecta a lo mas a una cantidad finita de elementos de C. Ası, Ces un refinamiento de A localmente finito.

A continuacion veremos que la condicion de ser conexo ofreceun resultado recıproco al teorema anterior.

Teorema 7.10. Si X es conexo, paracompacto y locamente com-pacto, entonces X tiene una exhausion por compactos.

Dem. Por ser localmente compacto, existe cubierta abierta A deX tal que A es compacto, ∀A ∈ A. Por ser paracompacto podemoshallar un refinamiento localmente finito abierto B de A. Notemosque cada B es compacto, ∀B ∈ B y por el Lema 7.2 la union⋃

B | B ∈ Ces un cerrado, para cualquier subcoleccion C ⊆ B. En particular,por ser localmente finito, existe B1 ⊂ B finita 3 tal que

K1 =⋃B | B ∈ B1

es compacto 4 y no vacio. Tomemos ahora B2 ⊂ B finita tal que

K1 ⊂⋃B | B ∈ B2

y definimos K2 = ∪B | B ∈ B2. De manera recursiva obtenemosfamilias finitas Bn ⊂ B y compactos Kn tales que

Kn =⋃B | B ∈ Bn ⊂

⋃B | B ∈ Bn+1

Afirm.Knn∈N es exhausion de X. Como B es refinamiento abierto,todo B ∈ B es abierto. Por otro lado tenemos⋃

nKn =

⋃B | B ∈ ∪Bn =

⋃B | B ∈ ∪Bn

lo que hace a ∪nKn abierto y cerrado en el conexo X. Por tanto∪nKn = X.

Corolario 7.11. Todo espacio localmente compacto, segundo numer-able y Hausdorff es paracompacto.

Dem. Recordemos (Teorema 5.11) que localmente compacto +segundo numerable + Hausdorff ⇒ exhausion por compactos. Porel Teorema 7.9, se obtiene la paracompacidad.

3Tomada de manera arbitraria?4Union finita de compactos es compacto (Lemma 3.6)

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Lema 7.12. En todo espacio paracompacto y Hausdorff todo puntotiene una base local de vecindades cerradas.

Dem. Sean X paracompacto y Haudorff y x ∈ X. Probaremosque para U ⊂ X abierto con x ∈ U, existe un abierto V tal queX\U ⊂ V, x /∈ V; de esto se sigue que

x ∈ X\V ⊂ X\V ⊂ U

por lo que X\V es vecindad cerrada de x contenida en U.Hagamos C = X\U. Como X es Hausdorff, todo y ∈ C tiene vecin-dad Wy tal que x /∈ Wy. Por ser X paracompacto la cubierta abiertapara X

A = U ∪ Wy | y ∈ Cadmite un refinamiento abierto localmente finito B = Vii∈I , conX = ∪B. Definamos

V =⋃Vi | Vi ∩ C 6= ∅

y notemos que V es abierto tal que X\U ⊂ V. Observemos que lacondicion Vi ∩ C 6= ∅ implica que Vi ⊂ Wy, para algun y. De aquıse tiene que x /∈ Vi y por tanto x /∈ V = ∪Vi | Vi ∩ C 6= ∅ comose buscaba.

Teorema 7.13 (del Refinamiento). Sean X paracompacto y Haus-dorff. Si X = ∪Ui | i ∈ I, cubierta abierta, entonces existeuna cubierta abierta localmente finita X = ∪Vi | i ∈ I tal queVi ⊂ Ui, ∀i ∈ I.

Dem. Por ser cubierta abierta, dado x ∈ X tomamos i(x) ∈ I conx ∈ Ui(x). Por el teorema anterior, podemos tomar Wx ∈ I(x) talque Wx ⊂ Ui(x). Consideremos la cubierta abierta Wx | x ∈ Xpara X y sea X = ∪Aj | j ∈ J refinamiento abierto localmentefinita. La funcion de refinamiento f : J → I satisface que Aj ⊂ U f (j),para todo j ∈ J. Tomemos ahora , para cada i ∈ I, el abierto

Vi = ∪Aj | f (j) = i

y notemos que como Ajj∈J es localmente finita,

Vi = ∪Aj | f (j) = i ⊂ Ui

como se querıa.

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2. VARIEDADES TOPOLOGICAS 151

Teorema 7.14 (de Stone). Todo espacio metrizable es paracom-pacto.

Este resultado fue probado por A.H. Stone en 1947, mejorandocon esto un resultado de J. Dieudonne (de 1944) sobre que todoespacio separable y metrizable es paracompacto. Stone mostro quela hipotesis de ser separable no era necesaria.

2. Variedades topologicas

Una n-variedad topologica M es un espacio Hausdorff en el quetoda componente conexa de M es segundo numerable y ademasM es localmente euclidiano de dim n; es decir, todo punto tiene unavecindad homeomorfa a un abierto de Rn. En lo que sigue usaremosel termino n-variedad para referirnos a una n- variedad topologica.

zEn algunas referencias la definicion de variedad topologica Mes un espacio equipado de un encaje de la forma M → RN, paracierta dimension N. Esta condicion es equivalente (al pedir ser lo-calmente euclidiano) que el espacio sea metrico separable o segundonumerable y Hausdorff; vease [Munkres], Teorema 36.2.z

Notemos que todo abierto de Rn es una n-variedad; de igualforma, todo abierto de Cn es una 2n-variedad. Algunos ejemplos devariedades topologicas:

Ejemplo 7.15 (Esferas). Dado x ∈ Sn notemos que x pertenece alabierto Sn\−x, el cual es homeomorfo a Rn. Ası Sn es local-mente euclidiano, el resto de las propiedades se siguen de inmedi-ato (Ejemplo 5.2). J

Ejemplo 7.16 (Espacios proyectivos). El espacio RPn es tambien lo-calmente euclidiano de dim n pues cualquier punto pertenece alcomplemento RPn\H, de algun hiperplano H, donde el comple-mento es un subespacio abierto homeomorfo a Rn. Por un argu-mento similar al anterior, CPn es una 2n-variedad topologica. J

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Ejemplo 7.17 (Algebra Lineal). Sea T : Rn+k → Rk transformacionlineal de rango k (es decir, sobre). Entonces la preimagen

ker T = T−1(0)

es un subespacio vectorial de dimension n de Rn+k.J

Ejemplo 7.18 (Matrices). Recordemos (Seccion 4) que el conjunto dematrices cuadradas Mn(R) se puede identificar con Rn2

, por lo quenaturalmente adquiere una estructura de n2-variedad. J

Ejercicio 7.19. Pruebe que la variedad de Grassmann Gk(Rn) es

una k(n− k)-variedad.Hint: Recuerde que el Teorema 4.52 establece que Gk(R

n) es Haus-dorff. Para el resto de las propiedades es suficiente con introducir coor-denadas locales en Gk(R

n).

Las condiciones en la definicion anterior son independientes unade otra: dos de ellas no implica la tercera como lo muestran lossiguientes ejemplos:

Ejemplo 7.20 (No variedad). En R se define la relacion

x ∼ y ⇐⇒

x = yo|x| = |y| > 1

y recordemos que el cociente R/ ∼ no es Hausdorff (Ejemplo 4.18).Por otro lado, para cualquier x ∈ R la restriccion

π : (x− 1, x + 1) −→ R/ ∼define una inmersion abierta, por lo que cada punto π(x) tiene unavecindad homeomorfa a (−1, 1). Finalmente, el cociente es segundonumerable. J

Ejemplo 7.21 (No variedad). El Ejercicio 6.6 de [Manetti, p. 108] de-fine un espacio (conexo) Hausdorff, localmente euclidiano de dim.2 pero que no es segundo numerable. J

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3. PROPIEDADES TOPOLOGICAS DE VARIEDADES 153

Ejemplo 7.22. La propiedad de ser 2do numerable se pide para evi-tar casos patologicos; vease [Bredon], Corolario 17.5. J

3. Propiedades topologicas de variedades

Derivado del Teorema 2.36, toda variedad es homeomorfa a launion disjunta de sus componentes conexas; ademas, dado que elnumero de componentes conexas es un invariante topologico (2.38)tenemos

Lema 7.23. Dos variedades son homeomorfas ⇐⇒ existe una cor-respondencia 1 a 1 entre sus componentes conexas de manera que lasrespectivas componentes son homeomorfas.

Teorema 7.24. Ser localmente n-euclidiano implica ser localmentecompacto y localmente conexo.

Dem. Sean M localmente n-euclidiano y x ∈ M. Por definicionexiste U vecindad abierta de 0 ∈ Rn y un homeomorfismo f : U →M con f (0) = x. Dada Br(0) ⊂ U, para algun radio r, observemosque

f (Bs(0))0<s<r

es una base de vecindades cerradas, compactas y conexas para x,por lo que el resultado se obtiene.

Lema 7.25. Cada componente conexa de una variedad es abierta ytiene una exhausion por compactos.

Dem. Sabemos que las componentes conexas de un espacio sonsiempre abiertos (Lema 2.37). Por otro lado, recordemos (Teorema 5.11)que segundo numerable + loc. compacto + Hausdorff⇒ exhausionpor compactos.

De este resultado se sigue que toda componente conexa de unan-variedad es tambien una n-variedad por el Ejercicio 7.33.

Corolario 7.26. Toda variedad es paracompacta.

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Dem. Por el Corolario 7.11, toda variedad conexa es paracom-pacta. El resultado tambien se obtiene para variedades no conexaspues union disjunta de paracompactos es tambien paracompacto.

De este resultado y del Lema 7.12 se sigue todo punto en unavariedad tiene una base local de vecindades cerradas. Finalizamoscon una caracterizacion de variedades topologicas en terminos dela propiedad de paracompacidad:

Corolario 7.27. Sea M espacio paracompacto, Hausdorff y loca-mente euclidiano. Entonces M es una variedad topologica.

Dem. Por el Lema 7.24 ser localmente euclidiano implica ser lo-calmente compacto y localmente conexo; ademas sabemos que cadacomponente conexa es abierta (Lema 7.25). Por otro lado, el Teo-rema 7.10 afirma que cada componente conexa M0 tiene exhausionpor compactos Knn∈N; al cubrir cada uno con una cantidad finitade abiertos homeomorfos a abiertos de Rn, se obtiene que M0 esunion numerable de abiertos, cada uno de ellos segundo numer-able y, por tanto, M0 tambien es segundo numerable.

Esto prueba que la propiedad de segundo numerabilidad en ladefinicion de variedad puede ser reemplazada por la de ser espacioparacompacto.

Lema 7.28. Sea M variedad topologica conexa. Entonces el grupode homeomorfismos Top(M) actua de manera transitiva en M; esdecir, ∀x, y ∈ M, ∃ f ∈ Top(M), f (x) = y.

Dem. Ejercicio 7.17 de [Manetti].

4. Variedades con frontera

Con la intencion de contar con mas ejemplos de variedades espreciso generalizar la definicion dada antes. Para esto definimos elsubespacio superior Hn como el subespacio de Rn dado por

Hn = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | xn ≥ 0Decimos entonces que una n-variedad con frontera M es un es-

pacio Hausdorff, segundo numerable en el que todo punto tieneuna vecindad homeomorfa a un subespacio abierto de Hn. Ası,

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4. VARIEDADES CON FRONTERA 155

todo punto x ∈ M esta equipado con una vecindad Ui y un homeo-morfismo φi : Ui →Hn.

Ejemplo 7.29. El espacio Hn es una variedad con frontera al igualque todo intervalo cerrado en R, todo disco cerrado en R2. J

La frontera de Hn se define como

∂Hn = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | xn = 0Los puntos x ∈ M de una variedad con frontera tales que φi(x) /∈∂Hn son llamados puntos interiores y aquellos tales que φi(x) ∈∂Hn son llamados puntos frontera. El conjunto de puntos fronterade M es llamado la frontera de M y se denota por ∂M y el conjuntode puntos interiores es el interior de M y se denota por Int(M).

Existen algunas sutilezas en la definicion anterior que solo puedenarreglarse si se dan por ciertos los siguientes resultados:

• Un subconjunto abierto de Rn no puede ser homeomorfo aun abierto de Rm si n 6= m; este es el Teorema de Invarianzadel Dominio.• Si x ∈ ∂Hn y U es un abierto de Hn que contiene a x,

entonces U no es homeomorfo a un abierto de Rn.

Las pruebas de estos resultados requieren cierta maquinaria queno sera desarrollada en este curso 5 por lo que los daremos porciertos. La importancia de estos resultados radica en ciertas conse-cuencias en la definicion de variedad con frontera:

Ejercicio 7.30. Pruebe que la dimension de una n-variedad estabien definida. Ademas, pruebe que ningun punto interior de Mpuede ser un punto frontera.Hint: este es el Ejercicio 2.1.3 en [Lawson].

Ejercicio 7.31. Muestre que la frontera ∂M de una n-variedad esvacia o una (n− 1)-variedad.

5Una prueba de estos resultados requiere Teorıa de Homologıa.

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Ejercicio 7.32. Sean M, N n-variedades con frontera. Pruebe quesi h : M→ N es homeomorfismo, h|∂M induce ∂M ∼= ∂N.

5. Clasificacion de variedades

Los siguientes ejercicios muestran que la propiedad de ser unavariedad se hereda a subespacios abiertos y se comporta bien conproductos finitos:

Ejercicio 7.33. Pruebe que cualquier subconjunto abierto (novacio) de una n-variedad es tambien una n-variedad. Vease[Manetti, Ejerc.7.14]

Ejercicio 7.34. Pruebe que el producto de dos variedades estambien una variedad. En general, esto es valido para una can-tidad finita de espacios. Ver [Manetti, Ejerc.7.15]

El resultado anterior puede generalizarse: el producto de unan-variedad M y una m-variedad N es una (m + n)-variedad M× N.Vease [Lawson, Exc.2.1.11]

Otra operacion importante puede ser definida en variedades: lasuma conexa; vease [Lee], p.126-129 para la prueba del siguienteresultado

Lema 7.35. Si M, N son n-variedades conexas, M#N es n-variedadconexa.

El problema de clasificacion de n-variedades consiste en dar unacoleccion Mii∈I de n-variedades de manera que si i 6= j entoncesMi, Mj no son homeomorfas y tal que toda n-variedad es homeo-morfa a alguna de las Mi’s. Para simplificar la tarea de encontrar

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5. CLASIFICACION DE VARIEDADES 157

dicha coleccion de variedades se restringe a tener cierta estructura;la mas comun es considerar variedades compactas y conexas.

Con la convencion de que R0 es un punto (tal vez el 0) es in-mediato observar que toda 0-variedad es simplemente un espaciodiscreto. Mas aun:

Lema 7.36 (Clasificacion de 0-variedades). Un espaciotopologico es una 0-variedad⇐⇒ es un espacio discreto

Por otro lado, los ejemplos de 1-variedades son mas abundantes:• La recta real R,• La semi-recta x ∈ R | x ≥ 0,• La circunferencia unitaria S1,• El intervalo cerrado [0, 1].

De hecho, para variedades conexas estos ejemplos cubren todaslas posibilidades:

Lema 7.37 (Clasificacion de 1-variedades). Cualquier 1-variedadconexa es homeomorfa a alguno de los ejemplos anteriores.

En la lista anterior los primeros dos ejemplos se refieren a var-iedades no compactas (la primera con frontera vacia), el tercero avariedades cerradas y el ultimo a compactas con frontera no vacia;vease Seccion 4.

Una 2-variedad es llamada simplemente una superficie. El temade clasificar superficies es un poco mas delicado y merece un analisispor separado. Referirmos al lector a [Maldonado] para la pruebadel siguiente resultado:

Teorema 7.38 (Mobius, 1860). Toda superficie compacta y conexaes homeomorfa a la esfera S2, a la superficie Sg, o a Ng

La clasificacion de 3-variedades es posible, al menos teorica-mente, debido a la solucion de la Conjetura de Poincare por partede G. Perelman. Por otro lado, no es posible dar una clasificacion den-variedades para n ≥ 4: todo grupo finitamente presentado puede

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realizarse comoπ1M = 〈S | R〉

donde M es una 4-variedad. Pero como el problema de la palabraes indecidible, no es posible clasificar π1M y por tanto M.

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CAPITULO 8

Homotopıa y grupo fundamental

Aunque el concepto de homotopıa determina una relacion de equivalen-cia entre espacios topologicos mas debil que la determinada por homeomor-fismo, dicha nocion es usada fuertemente dentro de la Topologıa como unamanera de aproximar objetos que usualmente son muy grandes/complicadoscomo los espacios de funciones.

La homotopıa tambien permite definir una estructura de grupo en elconjunto de caminos cerrados en un espacio topologico X, dando lugar alllamado grupo fundamental π1X, uno de los invariantes mas elemen-tales de la Topologıa Algebraica pero tambien de los de mayor relevancia.

1. Homotopıa II

Decimos que dos funciones continuas f , g : X → Y son ho-motopicas si existe una funcion continua

H : X× I −→ Y

tal que H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x), ∀x ∈ X. La funcion H esllamada una homotopıa entre f y g y se usa la notacion f 'H gpara designar a dos funciones homotopicas o simplemente f ' g sila homotopıa se sobreentiende o no hay necesidad de mostrarla.

Notemos que para cada t ∈ I, la homotopıa H determina unafuncion continua Ht : X → Y, donde Ht(x) = H(x, t). De aquı seobtiene que la relacion de homotopıa ' corresponde a la idea deuna deformacion continua de la funcion f en la funcion g a travesde la familia de funciones Ht(x)t∈I .

En el siguiente ejemplo y en los que siguen quedara de mani-fiesto que el espacio rango Y juega un papel importante para lashomotopıas pues es ahı donde se lleva a cabo la deformacion deter-minada por la homotopıa.

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160 8. HOMOTOPIA Y GRUPO FUNDAMENTAL

Lema 8.1. Toda funcion continua, no sobreyectiva X → S2 es ho-motopica a una funcion constante cte : X → S2.

Dem. Sean f : X → S2, v0 ∈ S2 tal que v0 /∈ im( f ). Definamosentonces

H : X× I −→ S2, H(x, t) =(1− t) f (x)− tv0

||(1− t) f (x)− tv0||Como v0 no se encuentra en la imagen de f la funcion H esta biendefinida, es continua y ademas 0 ∈ R3 no pertence a ningun seg-mento que une a f (x) con −v0. Notemos ademas que

H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = −v0

por lo que f 'H cte, con cte(x) = −v0.

Ejemplo 8.2 (Homotopıas como caminos continuos). Sean X = ∗, f , g :X → Y continuas. Dado que las imagenes de f , g son puntosx, y ∈ Y, una homotopıa H entre tales funciones tiene la forma

H : X× I −→ Y, H(∗, 0) = x, H(∗, 1) = y

Dado que X× I ∼= I la homotopıa es una funcion continua H : I →Y con H(0) = x, H(1) = y; es decir, la homotopıa H es basicamenteun camino continuo entre x, y. J

El ejemplo anterior puede ser generalizado mostrando la relacionque existe entre una homotopıa y las componentes arco-conexas delespacio.

Lema 8.3. Dos funciones constantes f , g : X → Y, f (x) =y1, g(x) = y2 son homotopicas ⇐⇒ y1, y2 pertenecen a la mismacomponente arco-conexa de Y.

Si las imagenes de f , g estan contenidas en componentes arco-conexas distintas entonces no pueden ser homotopicas. Estos resul-tados muestran que la propiedad de ser arco-conexo puede ponerseen terminos homotopicos. Ası, dos funciones f , g : R → R\0constantes

f (x) = 1, g(x) = −1

no pueden ser homotopicas porque sus imagenes estan en compo-nentes conexas distintas.

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1. HOMOTOPIA II 161

En diversas situaciones es pertinente que la homotopıa deje ciertosubespacio invariante: decimos que f , g : X → Y tales que f = g enA ⊂ X, son homotopicas relativas a A si f 'H g y ademas

H(a, t) = f (a) = g(a), ∀a ∈ A, ∀t ∈ [0, 1]

4! Notacion: f ' g rel A.

Teorema 8.4. La relacion de homotopia ' rel A es una relacion deequivalencia en el espacio C(X, Y; rel A) de funciones continuas deX → Y que coinciden en A ⊆ X.

Dem. Reflexiva: sea H(x, t) = f (x); asi f ' f rel A.Simetrica: si f ' g relA a traves de H entonces g ' f relA a travesde

H′(x, t) = H(x, 1− t).

Transitiva: supongamos que tenemos homotopias relativas

F : f ' g relA, G : g ' h relA

Definamos

Figura 1. Una homotopıa a partir de dos

H(x, t) =

F(x, 2t), 0 ≤ t ≤ 1/2G(x, 2t− 1), 1/2 ≤ t ≤ 1

y notemos que H es continua por el Lema del Pegado ([?], Lema1.32). Dado que

H(x, 0) = F(x, 0) = f (x),H(x, 1) = G(x, 1) = h(x)

y ademas H(a, t) = F(a, t) = G(a, t) = f (a) = g(a), se sigue quef ' h relA a traves de H.

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Cuando A = ∅ denotamos por [X, Y] al cociente de C(X, Y)por la relacion de homotopıa. Ası, dada f ∈ C(X, Y) su clase deequivalencia esta dada por

[ f ] = g : X → Y | g ' f

Definimos con lo anterior una relacion de equivalencia que per-mite distingir/identificar espacios topologicos: dos espacios X, Y sedicen del mismo tipo de homotopıa si existen aplicaciones contin-uas f : X −→ Y, g : Y −→ X tales que

f g ' 1Y

g f ' 1X

Usaremos la notacion X ' Y para denotar a espacios con el mismotipo de homotopıa. Bajo estas circunstancias las funciones f , g sonllamadas equivalencias homotopicas y tambien se dice que una esinversa homotopica de la otra.

Teorema 8.5. La propiedad de tener el mismo tipo de homotopıa esuna relacion de equivalencia.

Dem. Dado que 1X ' 1X claramente se tiene que X ' X. Ademas,si X ' Y se sigue que Y ' X debido a la simetria en la definicionanterior.

Supongamos existen funciones Xf)) Y

gii , Y

h)) Z

lii tales que X '

Y y Y ' Z. Consideremos las composiciones y notemos que

(g l) (h f ) ' g (l h) f ' g f ' 1X

(h f ) (g l) ' h ( f g) l ' h l ' 1Y.

Ejercicio 8.6. Sean X, Y del mismo tipo de homotopıa. Muestreque si X es arco-conexo, Y tambien lo es.

Dado que tener una inversa continua es una relacion mas fuerteque tener una inversa homotopica, cualesquiera espacios homeo-morfos tienen el mismo tipo de homotopıa:

(X ∼= Y) =⇒ (X ' Y)

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1. HOMOTOPIA II 163

Es decir, la relacion de ser del mismo tipo de homotopıa es unanocion mas debil que ser homeomorfos. Vease [Stillwell] para masinformacion sobre el Problema del Homeomorfismo. El recıproco de laimplicacion anterior no es cierto como se muestra a continuacion

Ejemplo 8.7. Sean X = S1 circunferencia unitaria en R2 y Y =S1 ∪ ([1, 2]× 0) como en la figura abajo.

Observemos que X, Y no son homeomorfos: si existiera homeo-morfismo f : Y → X se tendrıa, para m1 = (1, 0), que X\ f (m1) esconexo pero Y\m1 no lo es, lo cual no puede ser.Afirm. X ' Y. Tomemos la inclusion i : X → Y y la funciong : Y → X dada por

g(x) =

x, x ∈ S1

m1, x ∈ [1, 2]× 0

Tenemos que g i = 1X, i g 'H 1Y, donde

H : Y× I −→ Y, H(x, t) =

x, x ∈ S1

tx + (1− t)m1, x ∈ [1, 2]× 0 J

En general la propiedad de equivalencia homotopica no se com-porta bien respecto a cocientes; por ejemplo, dado A ⊂ X, conA ' ∗, no es posible asegurar que X ' X/A. Resolveremos estasituacion mas adelante para un caso muy concreto. A continuacionmostramos una de las equivalencias homotopicas de mayor utilidaden el resto del material

Ejemplo 8.8. Consideremos i : S1 → R2\0 inclusion y la funcion

g : R2\0 −→ S1, g(x) =x||x||

Notemos que g i = 1S1 , i g 'H 1R2\0, dondeH : (R2\0)× I −→ R2\0,(x, t) 7−→ tx + (1− t) x

||x|| . J

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Sean x, y ∈ Rn. El segmento dirigido determinado por x, y es elconjunto de puntos dados por

lx,y = (1− t)x + ty | 0 ≤ t ≤ 1Un conjunto C ⊆ Rn es llamado convexo si para cualesquiera parde puntos x, y ∈ C el segmento lx,y esta completamente contenidoen C.

Teorema 8.9. Sean X, Y espacios topologicos con Y ⊆ Rn convexo.Cualesquiera funciones f , g : X → Y son homotopicas.

Dem. Consideremos la funcion

H : X× [0, 1] −→ Y, H(x, t) = (1− t) f (x) + tg(x)

Notemos que H es funcion continua y ademas H(x, 0) = f (x) yH(x, 1) = g(x), por lo que define una homotopia entre f y g.

La homotopıa definida arriba se llama homotopıa de lineas y esde gran importancia para estudiar las propiedades homotopicas desubconjuntos de espacios euclidianos. Es de observarse que la con-tinuidad de una homotopıa de lineas se deriva de la continuidad delas operaciones de suma y producto escalar en Rn. Por esta razonla homotopıa de lineas solo es posible definirla en un espacio vec-torial donde tales operaciones sean continuas como en un espaciovectorial normado.

Un espacio X se llama contractil si la funcion identidad 1X eshomotopica a una funcion constante.

Corolario 8.10. Todo convexo de Rn es contractil.

Dem. Se sigue del resultado anterior: la homotopia entre la iden-tidad y la funcion constante en x0 ∈ C es:

H : C× I −→ C, H(x, t) = (1− t)x0 + tx.

Ası, para n ≥ 1, la bola o disco unitario Dn, el producto In =I × · · · × I (el cubo canonico en Rn) y Rn mismo, son espacioscontractiles por ser convexos. En particular, cualesquiera funcionescontinuas con contradominio en estos espacios son homotopicas(Teorema 8.9). Mas aun, la inclusion i : Sn−1 → Dn es homotopica auna funcion constante.

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1. HOMOTOPIA II 165

Ejercicio 8.11. Tomemos el disco Dn+1 ⊂ Rn+1, su frontera∂Dn+1 = Sn y una funcion continua f : Sn → X. Pruebe quelas siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) f es homotopica a una funcion constante(2) Existe funcion continua g : Dn+1 → X cuya restriccion a

Sn coincide con f .

Ejemplo 8.12. Recordemos que los espacios Rn, Rm son contractiles;en particular, esto dice que son del mismo tipo de homotopıa. Porotro lado, es un resultado clasico (mas no trivial) que si n 6= m en-tonces Rn, Rm no son homeomorfos. Este resultado requiere maquinariadel tipo homologica por lo que su prueba no se dara en las pre-sentes notas. Sin embargo, el caso m = 2 puede ser probado comouna aplicacion del grupo fundamental. J

Teorema 8.13. Sean f , g : X → Sn funciones continuas talesque f (x) 6= −g(x), ∀x ∈ X; es decir, f , g nunca son antipodales.Entonces f ' g.

Dem. La hipotesis implica que (1 − t) f (x) + tg(x) 6= 0, ∀t ∈[0, 1], ∀x ∈ X. Por lo que definimos H : X× [0, 1]→ Sn como

H(x, t) =(1− t) f (x) + tg(x)||(1− t) f (x) + tg(x)||

Observemos que mientras t varia, H(x, t) describe el arco mas cortode la circunferencia que conecta a f (x) con g(x); vease la imagenabajo.

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Este resultado es el punto de partida para el estudio de camposvectoriales 1 definidos en esferas: la presencia de un campo vecto-rial (no nulo) en Sn implica que la funcion antipodal sea homotopicaa la funcion identidad, lo cual ocurre⇐⇒ n es impar; vease [Lima,Sec. 1.1.1].

Como consecuencias inmediatas tenemos:

Corolario 8.14. Sea f : Sn → Sn funcion continua.• Si f no tiene puntos fijos ( f (x) 6= x, ∀x), entonces f ' a,

el mapeo antipodal, a(x) = −x, ∀x.• Si f (x) 6= −x, ∀x, entonces f ' 1Sn .

Decimos que un subconjunto A ⊂ X es un retracto de X si existefuncion continua r : X → A tal que r|A = 1A; esto es, A es retractosi r i = 1A, donde i : A→ X es inclusion. La funcion r es llamadauna retraccion y representa un deformacion de X en A.

Ejemplo 8.15 (Las retracciones existen). Sean X espacio topologicoy x0 ∈ X. Observemos que la funcion constante X → x0 es unaretraccion por lo que todo espacio topologico se retrae a cualquierade sus puntos.J

Ejemplo 8.16. Tomemos A, B ⊆ R2 dos circulos tangentes en unsolo punto p. La funcion

r : A ∪ B −→ A, r(x) =

x, x ∈ Ap, x ∈ B

es claramente una retraccion. J

Ejercicio 8.17. Sean X espacio Hausdorff y A ⊂ X subconjunto.Muestre que si existe una retraccion r : X → A entonces A escerrado.

1Un campo vectorial en Sn es un funcion continua v : Sn → Rn+1 que asociaun vector tangente v(x) a Sn en el punto x.

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1. HOMOTOPIA II 167

Ejercicio 8.18. Sean A retracto de X y suponga que X es conexoo compacto. Pruebe que A es conexo o compacto.

El ultimo ejercicio es util pues permite detectar posibles retractosde un espacio: para X conexo o compacto y A no conexo o nocompacto se tiene que A no puede ser retracto.

Decimos que A ⊆ X es un retracto por deformacion de X siexiste una retraccion r tal que i r ' 1X; es decir, que la retraccion yla inclusion son equivalencias homotopicas y por tanto X ' A. Enesta situacion X se deforma continuamente en A de tal manera quelos puntos de A terminan en la misma posicion donde comenzaron,a traves de toda la homotopıa.

Ejemplo 8.19. El plano ponchado dos veces R2\p, q tiene a lafigura del ocho como retracto por deformacion como se muestra en lasiguiente figura

La deformacion es tomada de [Munkres].J

Teorema 8.20. X es contractil⇐⇒ ∃x0 tal que x0 es un retractopor deformacion de X.

Dem. ⇒ Sea x0 ∈ X y supongamos 1X ' cx. Notemos quecx0 : X → x0 es retraccion pues cx0 i = 1x0, con i : x0 → Xinclusion. Ademas, por hipotesis, cx0 = i cx0 ' 1X; luego x0 esretracto por deformacion.⇐ Supongamos que existe r : X → x0 tal que

r i = 1x0, i r ' 1X

Notemos que r es funcion constante y ademas r ' 1X.

Bajo estas condiciones se tiene que X ' x0.

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Corolario 8.21. Todo espacio contractil es arco-conexo

Dem. Bajo las condiciones anteriores notemos que si H es homo-topia entre 1X y la funcion constante c entonces, haciendo variar at, H(x, t) determina un camino entre cualquier x ∈ X y c; es decir,si todo espacio contractil es arco-conexo.

Ejercicio 8.22. • Demuestre que Sn y Rn+1\0 tienen elmismo tipo de homotopıa.• Pruebe que el disco unitario D2 ⊂ R2 tiene a su centro

como un retracto por deformacion.

Por el ejercicio anterior se tienen las siguientes equivalencias ho-motopicas

0 ' Dn ' Rn, Rn+1\0 ' Sn ' Sn × I,

esta ultima equivalencia es consecuencia del resultado de abajo.

Ejemplo 8.23. Sabemos que Sn es retracto de Rn+1\0. Mas aun,es un retracto por deformacion a traves de la homotopıa:

H : (Rn+1\0)× I −→ Rn+1\0, H(x, t) = (1− t)x + tx|x| . J

Lema 8.24 (Ejem. 1.8 de [Lima]). Si X es contractil, X×Y ' Y.Si ambos son contractiles, el producto tambien lo es.

El siguiente resultado es de importancia dentro de la Teorıa deNudos debido a que el complemento de un nudo γ en la 3-esfera lodetermina completamente. En particular, esto hace necesario calcu-lar el grupo fundamental π1(S3\γ), lo cual se hara en un capıtuloposterior.

Ejemplo 8.25 (Tipo de homotopıa del complemento S3\S1). Consid-eremos a la esfera S3 de los vectores unitarios en R4. Identificandoa R4 como el espacio complejo C2 se obtiene

S3 = (z1, z2) ∈ C2 | |z1|2 + |z2|2 = 1

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2. (HOMOTOPIA DE CAMINOS Y) GRUPO FUNDAMENTAL 169

La circunferencia S1 ⊂ R2 = C es homeomorfa al subespacio de S3

dado porS1 = (z, 0) ∈ C2 | z ∈ S1

De igual forma tomamos otra circunferencia dada por

C = (0, z) ∈ C2 | z ∈ S1Afirmamos que S3\S1 ' C. Tomamos la inclusion i : C → S3\S1 yla ”normalizacion”

f : S3\S1 −→ C, (z1, z2) 7→ (0, z2/|z2|)Definamos H : (S3\S1)× I → (S3\S1) mediante

H((z1, z2), t) =(

tz1,√

1− t2|z1|2z2

|z2|

)y observemos que

H((z1, z2), 0) = (0, z2|z2|

) = ( f i)(0, z)

H((z1, z2), 1) = (z1, z2) = 1S3\S1(z1, z2)

Con esto S1 es un retracto por deformacion de S3\S1; de aqui sesigue que S3\S1 ' S1. J

2. (Homotopıa de caminos y) grupo fundamental

Sean x0, x1 ∈ X. Un camino α de x0 a x1 es una funcion continuaα : [0, 1]→ X tal que α(0) = x0, α(1) = x1, llamados el punto inicialy final del camino, respectivamente.

Dado que el intervalo [0, 1] es contractil, todo camino [0, 1]→ Xes null-homotopico si sus puntos inicial y final pertenecen a lamisma componente conexa; asi, se deben imponer algunas condi-ciones extra a los caminos en X para no tener una teoria de homo-topia trivial: un lazo basado en x0 ∈ X es una camino (cerrado) talque α(0) = α(1) = x0.

Sean α, β caminos tales que α(0) = β(0) = x0 y α(1) = β(1) =x1. Decimos que α, β son homotopicos (con extremos fijos) si α 'β rel0, 1. En otras palabras, existe H : [0, 1]× [0, 1]→ X tal que

H(s, 0) = α(t), H(s, 1) = β(s)H(0, t) = x0, H(1, t) = x1

Notacion: α ' β si se sobre entiende la homotopıa.

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α

β

x1x0

Figura 2. Representacion grafica de un homotopıa de caminos

Del Teorema 8.4 se tiene que la relacion α ' β es una relacion deequivalencia. La clase de equivalencia se denota por [α]; asi

[α] = β : [0, 1]→ X | β ' α

El camino constante en x ∈ X se define como cx(t) = x paratodo t ∈ [0, 1]. Dado un camino α se define su camino inverso αcomo el camino de x1 a x0 dado por α(t) = α(1− t). Si β es caminotal que α(1) = β(0) definimos el camino producto α ∗ β como elcamino dado por

(α ∗ β)(t) =

α(2t), si 0 ≤ t ≤ 1/2β(2t− 1), si 1/2 ≤ t ≤ 1

Observese el orden en el que se realiza la operacion, no es notacionfuncional.

Observemos que α ∗ β es funcion continua (por el Lema del Pe-gado, 1.68) y es un camino de α(0) a β(1) que consiste en recorrera α y β al doble de velocidad. En el siguiente resultado, todas lashomotopias son tomadas rel0, 1

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2. (HOMOTOPIA DE CAMINOS Y) GRUPO FUNDAMENTAL 171

Teorema 8.26. Sea X espacio topologico.(1) Sean α1, α2, β1, β2 caminos en X tales que

α1(0) = α2(0), α1(1) = α2(1) = β1(0) = β2(0), β1(1) = β2(1)

(a) Si α1 ' α2 entonces α1 ' α2(b) Si α1 ' α2, β1 ' β2, entonces α1 ∗ β1 ' α2 ∗ β2

(2) Sean α1, α2, α3 son caminos en X tales que α1(1) =α2(0), α2(1) = α3(0), entonces

(α1 ∗ α2) ∗ α3 ' α1 ∗ (α2 ∗ α3)

(3) Sean x ∈ X y α camino tal que α(0) = x, α(1) = y.Entonces se tiene(a) cx ∗ α ' α, α ' α ∗ cy(b) α ∗ α ' cx, α ∗ α ' cy

zLas homotopıas usadas en la prueba del teorema tienen formulasexplıcitas obtenidas de algunos calculos en geometrıa plana rel-ativos a identificar rectangulos con triangulos y viceversa. Estasidentificaciones se pueden obtener pero no lo haremos aqui puesno es la intencion del presente texto. Invitamos al lector interesadoen estas cuestiones a consultar [Lawson], Seccion 3.2.z

En el resultado anterior puede probarse un poco mas: dados loscaminos α1, α2, α3 (como en el inciso (2)) definimos el camino

(α1 ∗ α2 ∗ α3)(t) =

α1(3t), 0 ≤ t ≤ 1/3α2(3t− 1), 1/3 ≤ t ≤ 2/3α3(3t− 2), 2/3 ≤ t ≤ 1

Es posible probar que α1 ∗ α2 ∗ α3 ' (α1 ∗ α2) ∗ α3 ' α1 ∗ (α2 ∗ α3).

Dado x0 ∈ X consideramos al espacio de lazos basados en x0:

Ω(X, x0) = λ ∈ Map([0, 1], X) | λ(0) = λ(1) = x0

Denotamos por π1(X, x0) al cociente de Ω(X, x0) por la relacion dehomotopia de lazos:

π1(X, x0) = [α] | α ∈ Ω(X, x0)

Observemos que la composicion de caminos induce una estruc-tura de grupo en π1(X, x0), donde la inversa esta dada por

[α]−1 = [α]

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El grupo π1(X, x0) es llamado el grupo fundamental de X basado enx0. En general el grupo fundamental π1(X, x0) de un espacio no esabeliano, pero cierto enriquecimiento en la estructura de X induceuna estructura abeliana en π1(X, x0):

Ejercicio 8.27. Muestre que el grupo fundamental π1G de ungrupo topologico es abeliano.

Resulta natural preguntarse acerca de la dependencia del puntobase: sea y otro punto distinguido y γ camino entre ellos. Observe-mos que γ induce un homomorfismo de traslacion:

γ∗ : π1(X, x) −→ π1(X, y), [α] 7→ [γ]−1[α][γ] = [γ ∗ α ∗ γ]

Teorema 8.28. Si X es conexo por arcos, γ∗ es un isomorfismo paratodo par (x, y) ∈ X× X.

Dem. Sea γ(0) = x, γ(1) = y. Notemos que γ∗([α] ∗ [β]) =γ∗([α ∗ β]) y ademas

γ∗([α ∗ β]) = [γ−1 ∗ (α ∗ β) ∗ γ]

= [γ−1 ∗ α ∗ γ ∗ γ−1 ∗ β ∗ γ]

= [γ−1 ∗ α ∗ γ] ∗ [γ−1 ∗ β ∗ γ]

= γ∗([α]) ∗ γ∗([β])

asi, γ∗ es homomorfismo. Notemos que el homomorfismo

γ−1∗ : π1(X, y) −→ π1(X, x), [α] 7→ [γ ∗ α ∗ γ−1]

es el homomorfismo inverso de γ∗.

Por el resultado anterior es comun usar la notacion π1X para elgrupo fundamental de un espacio X arco-conexo.

El isomorfismo del resultado anterior no es canonico en el sentiode que no es unico; mas aun, depende de la clase de homotopia deγ. El siguiente resultado prueba que dos isomorfismos inducidospor dos clases distintas de caminos, son necesariamente conjugados:

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3. PROPIEDADES FUNTORIALES Y PRIMEROS CALCULOS 173

Lema 8.29. Sean X espacio arco-conexo y x, y ∈ X. Dados doscaminos γ1, γ2 que inician en x y terminan en y, consideremos losisomorfismos

γ1, γ2 : π1(X, x) −→ π1(X, y)

Entonces los homomorfismos (γ1)∗, (γ2)∗ coinciden ⇐⇒ la clase[γ2γ1] conmuta con todos los elementos de π1(X, x).

Por el ejercicio anterior, el isomorfismo γ∗ es independiente de γ⇐⇒ el grupo π1(X, x0) es abeliano. El ejercicio arroja consecuenciasinteresantes para la topologıa de superficies.

3. Propiedades funtoriales y primeros calculos

Consideremos una funcion f : X → Y con y0 = f (x0), para unpunto distinguido x0 ∈ X. Definamos

f∗ : π1(X, x0) −→ π1(Y, y0), f∗([α]) = [ f α]

Por el Teorema 8.26 se tiene que

f∗([λ] ∗ [η]) = f∗([λ ∗ η])

= [ f (λ ∗ η)]

= [( f λ) ∗ ( f η)]

= [ f λ] ∗ [ f η]

= f∗([λ]) ∗ f∗([η])

Es decir, f∗ es un homomorfismo de grupos y es llamado el homo-morfismo inducido por f . Sean f : X → Y, g : Y → Z y notemosque

g∗ f∗([α]) = g∗([ f α]) = [g f α] = (g f )∗([α])

En otros terminos: (g f )∗ = g∗ f∗.

Lema 8.30. Si g es funcion tal que g ' f tal que g(x0) = f (x0),entonces f∗ = g∗.

Dem. Solo basta recordar que, bajo las hipotesis del lema, f α 'g α, ∀α ∈ π1(X, x0).

http://bestiariotopologico.blogspot.mx/2015/07/el-problema-de-nielsen-parte-i.html

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Teorema 8.31. Sean (X, x0), (Y, y0) espacios con punto base. En-tonces se tiene un isomorfismo

π1(X×Y, (x0, y0)) ∼= π1(X, x0)× π1(Y, y0),

este ultimo dado por el producto directo de los grupos.

Dem. Recordemos que un mapeo λ : [0, 1] → X × Y es continuosi y solo si

pX λ : [0, 1]→ X, pY λ : [0, 1]→ Y

son mapeos continuos. Ası, si λ es un lazo basado en (x0, y0) en-tonces pX λ, pY λ son lazos basados en x0 y y0, respectivamente.Por otro lado notemos que el homomorfismo (pX)∗ × (pY)∗ tienepor homomorfismo inverso

[α]× [β] 7→ [α× β],

donde este ultimo es (α× β)(t) = (α(t), β(t)).

Teorema 8.32. El grupo fundamental es un invariante topologicode X.

Dem. Basta probar que espacios homeomorfos tienen gruposfundamentales isomorfos. Sea f : X → Y homeomorfismo cony0 = f (x0) e inversa g : Y → X. Por las propiedades de los homo-morfismos inducidos

f∗ : π1(X, x0)→ π1(Y, y0), g∗ : π1(Y, y0)→ π1(X, x0)

tales que g∗ f∗ = 1, f∗ g∗ = 1. Luego, f∗ es isomorfismo coninversa g∗.

Es de observarse que aunque dos espacios tengan grupos funda-mentales isomorfos, no implica que los espacios sean homeomorfos.Pero, por otro lado, si dos espacios no tienen grupos fundamen-tales isomorfos, entonces no pueden ser homeomorfos. El siguienteresultado ilustra que el grupo fundamental es un invariante ho-motopico

Teorema 8.33. Si f : X → Y es equivalencia homotopica, entoncesel homomorfismo

f∗ : π1(X, x0) −→ π1(Y, f (x0))

es isomorfismo.

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A diferencia del Lema 8.30, donde se tiene que las imagenes delpunto base coinciden, en el teorema de arriba no se tiene ninguncontrol sobre el punto base (no se tiene desde la definicion de equiv-alencia homotopica). Es por esto que necesitamos el siguiente resul-tado:

Teorema 8.34. Sean f ' g : X → Y. Para todo x ∈ X existe unisomorfismo de grupos χ tal que el siguiente diagrama es conmuta-tivo

π1(X, x)

g∗ ))

f∗ // π1(Y, f (x))

π1(Y, g(x))

χ

OO

Lema 8.35. Tomemos F : I × I → X y hagamos α(t) =F(0, t), β(t) = F(1, t), γ(s) = F(s, 0), δ(s) = F(s, 1). Entoncesse tiene δ ' αγβ rel0, 1.

Dem. de Teorema 8.33. Sea f equivalencia homotopica coninversa g y apliquemos el resultado anterior para g f , 1X:

π1(X, (g f )(x))

π1(X, x)

g f 11

1X

**π1(X, x)

χ∼=

OO

Como χ es isomorfismo, tambien lo es (g f )∗ = g∗ f∗. De aquique f∗ es inyectiva y g∗ sobreyectiva; de igual forma, usando f gse tiene que g∗ es inyectiva y f∗ sobre.

Como consecuencia inmediata del Teorema 8.33 tenemos el primercalculo (trivial) de un grupo fundamental:

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Corolario 8.36. El grupo fundamental de un espacio contractil estrivial.

En particular, dos espacios contractiles tienen el mismo tipo dehomotopia y cualquier mapeo entre ellos es una equivalencia ho-motopica.

Ejercicio 8.37. Dadas una retraccion r : X → A y la inclusioni : A → X pruebe que el homomorfismo inducido r∗ es so-breyectivo e i∗ es inyectivo.

Teorema 8.38 (Borsuk, 1933). Sea A un retracto por deformacionde X. Entonces la inclusion i : A ⊂ X induce el isomorfismoi∗ : π1(A, a)→ π1(X, a).

Dem. Por hipotesis existe homotopia H tal que i r 'H 1X. Sesigue entonces que

1π1X = i∗ r∗ : π1(X, a) −→ π1(X, a).

Ademas, por el Ejercicio 8.37 sabemos que i∗ es inyectiva; masaun, i∗ es sobreyectiva porque dada [λ] ∈ π1(X, a) se tiene quei∗(r∗([λ])) = [λ].

Como consecuencia del resultado anterior se tiene:

Lema 8.39. Sean A ⊂ X y a ∈ A. Si π1(A, a) es no trivial yπ1(X, a) es trivial, entonces no existe retraccion de X en A.

Ejemplo 8.40. Recordemos que la banda de Mobius M se construyea traves del pegado de dos lados del cuadro [0, 1]× [0, 1]. Consid-eremos el subespacio de [0, 1]× [0, 1] dado por

C = [0, 1]× 1/2y notemos que despues de la identificacion C ∼= S1. Definamosr : M → C como la proyeccion en tal circulo: r(t, s) = (t, 1/2).Observemos que r es una retraccion por lo que tenemos π1(M) ∼=π1(C) ∼= π1(S1).J

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Decimos que un espacio es simplemente conexo si es arco-conexoy si π1X = 1. Por las propiedades de los homomorfismos induci-dos es inmediato notar que la propiedad de ser simplemente conexoes una propiedad topologica.

Ejercicio 8.41. Pruebe que si X es simplemente conexo y A esretracto de X entonces A es simplemente conexo.

Ejemplo 8.42. Como todo espacio contractil es arco-conexo (Coro-lario 8.21) y ademas tiene grupo fundamental trivial (Corolario 8.36)se sigue que todo espacio contractil es simplemente conexo. El con-verso de este resultado no es cierto.J

En particular, π1Rn = π1Dn = π1∗ = 1.

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CAPITULO 9

Apendices

Compilacion de resultados de Algebra Lineal y Teorıa de Conjuntos.

1. Teorıa de Conjuntos

Lema 9.1. Sean f : X → Y funcion entre conjuntos• Para A ⊆ X entonces A ⊆ f−1( f (A)); es una igualdad si

f es inyectiva.• Para B ⊆ Y entonces f ( f−1(B)) ⊆ B; es una igualdad si

f es sobreyectiva.

En un conjunto ordenado (X,≤) un conjunto C ⊆ X es llamadouna cadena si para cualesquiera x, y ∈ C se tiene que x ≤ y o y ≤ x.En otras palabras, un subconjunto es una cadena si esta totalmenteordenado (bajo el orden inducido).

Teorema 9.2 (Lema de Zorn). Sea (X,≤) conjunto no vacıo or-denado. Si toda cadena de X tiene una cota superior entonces Xcontiene al menos un elemento maximal.

Teorema 9.3 (Axioma de Eleccion). Las siguientes afirmacionesson equivalentes:

• Hagamos X = ∪i∈IXi. Si Xi 6= ∅, ∀i ∈ I entonces existef : I → X tal que f (i) ∈ Xi, ∀i ∈ I.

• Si g : Y → X es una uncion sobreyectiva entre conjuntos,entonces existe una funcion f : X → Y tal que g( f (x)) =x, ∀x ∈ X.

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180 9. APENDICES

2. Algebra lineal

Dada una transformacion lineal T : V →W definimos la nulidadde T como la dimension de su kernel y el rango de T como la di-mension de su imagen. Si denotamos la nulidad y rango mediantenull(T), rnk(T), respectivamente tenemos el siguiente resultado:

Teorema 9.4 (de la Dimension). Para T : V → W transfor-macion lineal entre espacios vectoriales finitos

dim(V) = null(T) + rnk(T)

zSea (Yi, τi)i∈I coleccion de espacios topologicos y supong-amos que para cada i existe una funcion

(2.1) fi : X −→ Yi,

donde X es cierto conjunto no vacıo. A continuacion revisaremoslas topologıas en X que hacen a las funciones fi continuas.

En primer lugar necesitamos que las preimagenes de abiertos delos Yi sean abiertos por lo que tomamos la coleccion:

S =⋃

i

f−1i (U) | U ∈ τi

Es decir, S consiste de la preimagen de cada abierto de cada espacioYi. Existe una topologıa τ generada por S que tiene las siguientespropiedades:

Teorema 9.5. (1) Todas las funciones (2.1) son continuas re-specto a la topologıa τ.

(2) La topologıa τ es la interseccion de todas las topologıas quehacen de (2.1) funciones continuas.

(3) La topologıa τ es la mas pequea (mas gruesa, mas debil) quehace que las funciones (2.1) sean continuas.

(4) La coleccion S es una subbase para la topologıa τ.

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Referencias

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[Weeks] Weeks, J.R., The Shape of Space, Marcel Dekker, 2002

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Indice

accion, 99orbita de, 100libre, 104transitiva, 104

base, 9local, 17

botella de Klein, 98

cadena, 179cerradura de un subconjunto, 14colapso, 97compactificacion, 81cubierta, 53

abierta, 54cerrada, 54finita, 54localmente finita, 54numerable, 54refinamiento de, 146

delta de Kronecker, 72

esfera de Riemann, 84esfera exotica, 114espacio, 7

cociente, 92compacto, 55, 147completo, 127conexo, 39, 40contractil, 164de orbitas, 100de Baire, 133de configuraciones, 36Frechet, 118Hausdorff, 35lazos basados, 171lente, 106Lindeloff, 119localmente compacto, 75

metrico, 23metrizable, 26paracompacto, 147primero numerable, 119proyectivo complejo, 108, 151proyectivo real, 107, 151regular, 64, 76secuencialmente compacto, 124separable, 118Sierpinski, 7simplemente conexo, 177T1, 18T2, 35totalmente acotado, 128

exhaucion (por compactos), 120

funcionabierta, 21cerrada, 21cociente, 87continua, 18de contraccion, 128de refinamiento, 146inmersion, 29proyeccion, 139

graficade una relacion, 96

grupode Heisenberg, 72de homeomorfismos, 21estabilizador, 104fundamental, 172general lineal complejo, 69general lineal real, 69ortogonal especial, 73ortogonal real, 72topologico, 67

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184 INDICE

homeomorfismo, 20homologıa, 52homotopıa, 49homotopıa

de lineas, 164

interior de un subconjunto, 16isometrıa, 73

metricaacotada, 23equivalente, 26

mapeo de Hopf, 110

numerode Lebesgue, 125

numero de Lebesgue, 84

pegado, 98propiedad

de interseccion finita, 61del punto fijo, 37topologica, 22

proyeccion estereografica, 83punto

adherente, 14fijo, 37interior, 16lımite, 14lımite, 121

remolino del topologo, 44rotacion, 73

subbase, 13, 67subespacio

denso, 15denso en ninguna parte, 131diagonal, 36magro, 133relativamente compacto, 131saturado, 87

sucesion, 121de Cauchy, 126convergente, 121

superficie, 157

teoremade Borsuk-Ulam, 48de Alexandroff, 82de Baire, 134, 135de Heine-Borel, 57, 66

de Invarianza del Dominio, 49de Kuratowski, 65de la subbase, 67, 137de Lebesgue, 84de punto fijo, 128de Reidemeister, 106de Stone, 151de Tychonoff, 141de Wallace, 63de Whitehead, 89, 106del refinamiento, 150del valor extremo, 60del valor intermedio, 47encaje de Hurewicz, 136Invarianza del Dominio, 155

topologıa, 7de caja, 140cociente, 91cofinita, 8compacto-abierto, 77conumerable, 8de caja, 34de Fort, 8de la convergencia puntual, 14de la Particion, 11de Zariski, 12del lımite inferior, 12digital, 11, 92discreta, 7euclidiana, 8fina, 10generada por una base, 10generada por una subbase, 13gruesa, 10inclusion del punto, 8Par-Impar, 11producto, 31, 139relativa, 27superior, 8trivial, 7

variedadde Grassmann, 112de Stiefel, 111topologica, 151

wedge, 114

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2019 erano V...topolog´ıas ([Munkres, p. 76]). En general, dado un conjunto X de 7 V erano 2019 8 1. ESPACIOS TOPOLOGICOS Y CONTINUIDAD´ n elementos es posible determinar cuantas