Ciclo de la tarea, Actividad 1 – Unidad 1

Vectores, matrices y determinantes

Presentado por

Clara InésCárdenasYáñez – Cód. 60255539

José Alexis Domínguez – Cód. 77187699

Nelly Morales Dimarco – Cód. 52346627

Luz Sthella Quiñonez – Cód. 63342537

Sandra M. Rueda Velasco – Cód. 63497339

Grupo

208046-28

Ingeniero

Oscar Iván Valderrama

Tutor

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia (UNAD)

Escuela De Ciencias BásicasTecnología E Ingeniería

Algebra Lineal

2015

2

INTRODUCCIÓN

Una parte fundamental del algebra lineal son los vectores, matrices y determinantes. Es importante

tener los conocimientos teóricos básicos de estos temas para poder llegar a desarrollar ejercicios que

pueden ser aplicados en los diferentes campos laborales.

En el presente trabajo, se desarrollan una serie de ejercicios de vectores, matrices y determinantes que

posibilitan la aplicación de esos conocimientos teóricos, permitiéndonos alcanzar las competencias

deseadas para este curso.

Esperamos cumplir con todos los requerimientos exigidos en este trabajo, e ir avanzando en el

conocimiento y aplicabilidad del algebra lineal.

3

OBJETIVOS

Adquirir los conocimientos necesarios para la comprensión de los temas de algebra lineal, relacionados

con vectores, matrices, y determinantes, a través de la investigación de los mismos.

Aplicar los conocimientos adquiridos en la solución de los problemas planteados, entendiendo su

aplicabilidad en problemas que pueden presentarse en el campo laboral.

Avanzar en el aprendizaje del curso de algebra lineal, para alcanzar las competencias planteadas.

4

Resolver los siguientes problemas propuestos:

1. Dados los siguientes vectores en forma polar:

a. |u | = 2; ϴ = 315°

b. |v |= 5; ϴ = 60°

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

u – v,

v + u

v -3u

Solución:

Para sumar vectores cuando se trabaja con componentes; basta sumar las dos componentes, la 1ª con la

1ª y la 2ª con la 2ª.

Para: |u | = 2; ϴ = 315°

|u |= 2; ϴ = 315° – 270° = 45° (Tercer cuadrante, uy es Negativo)

ux = 2.sen45° = 1.4

uy = –2.cos45° = – 1.4

𝒖 = 1.4,−1.4

𝟑𝒖 = 4.2,−4.2

Para: |v | = 5; ϴ = 60°

vx = 5.cos60° = 2.5

vy = 5.sen60° = 4.3

𝒗 = 2.5, 4.3

Así:

𝑢 − 𝑣 =

𝑢 + −1 𝑣

1.4,−1.4 + (−2.5,−4.3)

1.4 − 2.5,−1.4 − 4.3 = (−𝟏.𝟏,−𝟓.𝟕)

5

𝑣 + 𝑢 =

2.5,4.3 + 1.4 − 1.4

(2.5 + 1.4, 4.3 + −1.4 = (𝟑.𝟗,𝟐.𝟗)

5𝑣 − 3𝑢 =

5 2.5,4.3 + 3 −1.4, +1.4 =

12.5 − 4.2, 21.5 + 4.2 = (𝟖.𝟑,𝟐𝟓.𝟕)

2. Dados los vectores𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 − 2𝑘 y 𝑤 = −𝑖 − 3𝑗 − 4𝑘encuentre:

a. El ángulo en v y w

b. El producto escalar entre v y w

c. El producto vectorial entre v y w

Solución:

a. El ángulo en v y w

261691431

17494232

15

892

423312

4,3,12,3,2

222

222

w

v

wv

wv

wv

wv

47,44

442

15cos

442

15cos

442

15

2617

15,cos

1

wv

El ángulo entre v y w es igual a 44.48°

6

b. El producto escalar entre v y w

Teniendo

𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 − 2𝑘y𝑤 = −𝑖 − 3𝑗 − 4𝑘

15

892

423312

4,3,12,3,2

wv

wv

wv

wv

El producto escalar entre w y w es = 15

c. El producto vectorial entre v y w

Teniendo

𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗 − 2𝑘 y 𝑤 = −𝑖 − 3𝑗 − 4𝑘

En teste caso se halla es el producto cruz de los dos vectores wv

kjiwv

kjiwv

kjiwv

kji

kji

wv

9106

9106

3628612

31

32

41

22

43

23

431

232

El producto vectorial entre v y w es igual a 𝟔𝒊 + 𝟏𝟎𝒋 − 𝟗𝒌

3. Dadas las matrices

𝐴 = −1 5 0 54 2 −3 6

𝐵 =

5−4−2−3

𝐶 = −9 2 6

Hallar:

a. AB

b. BC

7

AxB

𝐴 = −1 5 0 54 2 −3 6

𝐵 =

5−4−2−3

A2X4 x B4X1 = AB2X1

AB = – 1 . 5 + 5. – 4 + 0. – 2 + 5. – 3

4.5 + 2. – 4 + – 3 – 2 + 6. (– 3) =

– 5 – 20 + 0 – 15

20 – 8 + 6 – 18 = – 40

0

𝐴𝐵 = −40

0

BxC

𝐵 =

5−4−2−3

𝐶 = −9 2 6

BC = B4X1x C1X3 = B.C4X3

BC =

5. – 9 5.2 5.6

– 4 – 9 – 4 . 2 –4 . 6

– 2 . – 9 – 2 . 2 – 2 . 6

– 3 . −9 – 3 . 2 – 3 . 6

=

– 45 10 30

36 – 8 – 24

18 – 4 – 12

27 – 6 – 18

𝐵𝐶 =

−45 10 3036 −8 −2418 −4 −1227 −6 −18

4. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello primero el método de Gauss

Jordan y luego por determinantes aplicando la fórmula: 𝐴−1 =1

𝑑𝑒𝑡𝐴(𝑎𝑑𝑗𝐴)

1121

5310

1463

2012

A

Método Gauss Jordan

𝐴: 𝐼 =

2 −1 0 −2 ⋮ 1 0 0 03 −6 4 −1 ⋮ 0 1 0 00 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0−1 2 1 1 ⋮ 0 0 0 1

𝒇𝟏 = 𝑓1 2

8

𝐴: 𝐼 =

𝟏 −1

20 −1 ⋮

1

20 0 0

3 −6 4 −1 ⋮ 0 1 0 00 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0−1 2 1 1 ⋮ 0 0 0 1

𝐴: 𝐼 =

𝟏 −1

20 −1 ⋮

1

20 0 0

𝟎 −9

24 2 ⋮ −

3

21 0 0

𝟎 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0

𝟎3

21 0 ⋮

1

20 0 1

𝐴: 𝐼 =

𝟏 −1

20 −1 ⋮

1

20 0 0

𝟎 𝟏 −8

9−

4

9⋮

1

3−

2

90 0

𝟎 −1 3 −5 ⋮ 0 0 1 0

𝟎3

21 0 ⋮

1

20 0 1

𝐴: 𝐼 =

𝟏 −1

20 −1 ⋮

1

20 0 0

𝟎 𝟏 −8

9−

4

9⋮

1

3−

2

90 0

𝟎 𝟎19

9−

49

9⋮

1

3−

2

91 0

𝟎 𝟎7

3

2

3⋮ 0

1

30 1

𝐴: 𝐼 =

𝟏 −1

20 −1 ⋮

1

20 0 0

𝟎 𝟏 −8

9−

4

9⋮

1

3−

2

90 0

𝟎 𝟎 𝟏 −49

19⋮

3

19−

2

19

9

190

𝟎 𝟎7

3

2

3⋮ 0

1

30 1

𝐴: 𝐼 =

𝟏 −1

20 −1 ⋮

1

20 0 0

𝟎 𝟏 −8

9−

4

9⋮

1

3−

2

90 0

𝟎 𝟎 𝟏 −49

19⋮

3

19−

2

19

9

190

𝟎 𝟎 𝟎127

19⋮ −

7

19

11

19−

21

191

𝐴: 𝐼 =

𝟏 −1

20 −1 ⋮

1

20 0 0

𝟎 𝟏 −8

9−

4

9⋮

1

3−

2

90 0

𝟎 𝟎 𝟏 −49

19⋮

3

19−

2

19

9

190

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 ⋮ −7

127

11

127−

21

127

19

127

𝒇𝟐 = 𝑓2/−9

2

𝒇𝟑 = 𝑓3 − (−1)𝑓2

𝒇𝟑 = 𝑓3/19

9

𝒇𝟒 = 𝑓4 −7

3𝑓3

𝒇𝟒 = 𝑓4/127

19

𝒇𝟑 = 𝑓3 − −49

19 𝑓4

𝒇𝟒 = 𝑓4 −3

2𝑓2

𝒇𝟐 = 𝑓2 − −4

9 𝑓4

𝒇𝟏 = 𝑓1 − −𝑓4

𝒇𝟐 = 𝑓2 − 3𝑓1

𝒇𝟒 = 𝑓4 − −𝑓1

9

𝐴: 𝐼 =

𝟏 −1

20 𝟎 ⋮

113

254

11

127−

21

127

19

127

𝟎 𝟏 −8

9𝟎 ⋮

353

1143−

70

381−

28

381

76

1143

𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 ⋮2

127

15

127

6

127

49

127

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 ⋮ −7

127

11

127−

21

127

19

127

𝐴: 𝐼 =

𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 ⋮

77

127

6

127−

23

127

45

127

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 ⋮41

127−

10

127−

4

127

52

127

𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 ⋮2

127

15

127

6

127

49

127

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 ⋮ −7

127

11

127−

21

127

19

127

Programa Maple 13

Matriz inversa método Gauss

Digitamos el título de la matriz, damos

enter y nos aparece el título en color azul.

Vamos a herramientas / tutoriales /

algebra lineal / matriz inversa para

empezar a escribir la matriz.

𝒇𝟐 = 𝑓2 − −8

9 𝑓3

𝒇𝟏 = 𝑓1 − −1

2 𝑓2

10

Aparece esta ventana y damos clic en

editar matriz.

Escribimos los valores respectivos.

Damos clic en display para cambiar la

matriz y luego en close.

11

Vamos dando clic en next step para ir

desarrollando la matriz, en el cuadro

superior derecho van apareciendo las

operaciones que hay q realizar para llegar

a los valores de la matriz inversa.

1. Multiplicar la fila 1 por 1/2

2. Añadir 3 veces la fila 1 a la fila 2

12

3. Añadir 1 vez la fila 1 a la fila 4

4. Multiplicar fila 2 por -2/9

5. Añadir ½ veces la fila 2 a la fila 1

13

6. Añadir 1 vez la fila 2 a la fila 3

7. Añadir -3/2 veces la fila 2 a la fila 4

14

8. Multiplicar la fila 3 por 9/19

9. Añadir 4/9 veces la fila 3 a la fila 1

10. Añadir 8/9 veces la fila 3 a la fila 2

15

11. Añadir -7/3 veces la fila 3 a la fila 4

12. Multiplicar la fila 4 por 19/127

13. Añadir 45/19 veces la fila 4 a la fila

1

16

14. Añadir 52/19 veces la fila 4 a la fila

2

15. Añadir 45/19 veces la fila 4 a la fila

3. Y así finalmente obtenemos la

matriz inversa.

Si no deseamos ver paso a paso el

desarrollo de la matriz, damos clic enall

steps, para ver el resultado final.

17

Seleccionamos la matriz para copiarla en

la plantilla del editor.

Damos clic a “si” para copiarla como

texto de matemáticas.

La matriz queda de forma vertical.

18

Nos paramos al final de la flecha y damos

suprimir para que quede de manera

horizontal y sea más fácil apreciarla.

Podemos cambiar el formato de la matriz

con los botones de la barra de

herramientas.

Determinante aplicando la fórmula: 𝐴−1 =1

𝑑𝑒𝑡𝐴(𝑎𝑑𝑗𝐴)

1121

5310

1463

2012

A

Calcular valor del determinante por método Sarrus

19

𝐴 =

2 −1 0 −23 −6 4 −10 −1 3 −5−1 2 1 1

𝐴 = 2𝐴11 + 3𝐴21 + 0𝐴31 + −1 𝐴41 =

𝐴11 = −1 1+1

−6 4 −1−1 3 −52 1 1−6 4 −1−1 3 −5

= 1 −18 + 1 − 40 + 6 − 30 + 4

(1)(−77)−77

𝐴21 = −1 2+1

−1 0 −2−1 3 −52 1 1−1 0 −2−1 3 −5

= −1 −3 + 2 − 0 + 12 − 5 − 0

(−1)(6)−6

𝐴41 = −1 4+1

−1 0 −2−6 4 −1−1 3 −5−1 0 −2−6 4 −1

= −1 20 + 36 + 0 − 8 − 3 − 0

(−1)(45)−45

𝐴 = 2𝐴11 + 3𝐴21 + 0𝐴31 + −1 𝐴41 = 𝐴 = 2 −77 + 3 −6 + −1 −45

−154 − 18 + 45−𝟏𝟐𝟕

𝑨 = −𝟏𝟐𝟕

20

Hallar matriz cofactor

𝐴 =

𝟐11 −𝟏12 𝟎13 −𝟐14

𝟑21 −𝟔22 𝟒23 −𝟏24

𝟎31 −𝟏32 𝟑33 −𝟓34

−𝟏41 𝟐42 𝟏43 𝟏44

𝐵 =

𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14

𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴24

𝐴31 𝐴32 𝐴33 𝐴34

𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44

𝐴11 = −1 1+1

−6 4 −1−1 3 −52 1 1−6 4 −1−1 3 −5

= −1 2 −18 + 1 − 40 + 6 − 30 + 4

(1)(−77)−77

𝐴12 = −1 1+2

3 4 −10 3 −5−1 1 13 4 −10 3 −5

= −1 3 9 − 0 + 20 − 3 + 15 − 0

(−1)(41)−41

𝐴13 = −1 1+3

3 −6 −10 −1 −5−1 2 13 −6 −10 −1 −5

= −1 4 −3 − 0 − 30 + 1 + 30 − 0

(1)(−2)−2

𝐴14 = −1 1+4

3 −6 40 −1 3−1 2 13 −6 40 −1 3

= −1 5 −3 + 0 + 18 − 4 − 18 + 0

(−1)(−7)7

𝐴21 = −1 2+1

−1 0 −2−1 3 −52 1 1−1 0 −2−1 3 −5

= −1 −3 + 2 − 0 + 12 − 5 + 0

(−1)(6)−6

𝐴22 = −1 2+2

2 0 −20 3 −5−1 1 12 0 −20 3 −5

= 1 6 − 0 + 0 − 6 + 10 − 0

(1)(10)10

𝐴23 = −1 2+3

2 −1 −20 −1 −5−1 2 12 −1 −20 −1 −5

= −1 −2 − 0 − 5 + 2 + 20 + 0

(−1)(15)−15

21

𝐴24 = −1 2+4

2 −1 00 −1 3−1 2 12 −1 00 −1 3

= 1 −2 + 0 + 3 − 0 − 12 + 0

(1)(−11)−11

𝐴31 = −1 3+1

−1 0 −2−6 4 −12 1 1−1 0 −2−6 4 −1

= 1 −4 + 12 − 0 + 16 − 1 + 0

(1)(23)23

𝐴32 = −1 3+2

2 0 −23 4 −1−1 1 12 0 −23 4 −1

= −1 8 − 6 + 0 − 8 + 2 − 0

(−1)(−4)4

𝐴33 = −1 3+3

2 −1 −23 −6 −1−1 2 12 −1 −23 −6 −1

= 1 −12 − 12 − 1 + 12 + 4 + 3

(1)(−6)−6

𝐴34 = −1 3+4

2 −1 03 −6 4−1 2 12 −1 03 −6 4

= −1 −12 + 0 + 4 − 0 − 16 + 3

(−1)(−21)21

𝐴41 = −1 4+1

−1 0 −2−6 4 −1−1 3 −5−1 0 −2−6 4 −1

= −1 20 + 36 + 0 − 8 − 3 − 0

(−1)(45)−45

𝐴42 = −1 4+2

2 0 −23 4 −10 3 −52 0 −23 4 −1

= 1 −40 − 18 − 0 + 0 + 6 + 0

(1)(−52)−52

𝐴43 = −1 4+3

2 −1 −23 −6 −10 −1 −52 −1 −23 −6 −1

= −1 60 + 6 + 0 − 0 − 2 − 15

(−1)(49)−49

𝐴44 = −1 4+4

2 −1 03 −6 40 −1 32 −1 03 −6 4

= 1 −36 − 0 − 0 + 0 + 8 + 9

(1)(−19)−19

22

La matriz de cofactores es igual a:

𝐵 =

−77 −41 −2 7−6 10 −15 −1123 4 −6 21−45 −52 −49 −19

Hallar la transpuesta de B para hallar la adjunta de A

𝐵𝑡 =

−77 −6 23 −45−41 10 4 −52−2 −15 −6 −497 −11 21 −19

= 𝑎𝑑𝑗𝐴

Hallar inversa de A:

𝐴−1 =1

𝑑𝑒𝑡𝐴(𝑎𝑑𝑗𝐴)

𝐴−1 =1

−127

−77 −6 23 −45−41 10 4 −52−2 −15 −6 −497 −11 21 −19

Para comprobar el resultado decimos:

𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐼 = 𝐴−1 ∙ 𝐴

𝐴 ∙ 𝐴−1 =1

−127

2 −1 0 −23 −6 4 −10 −1 3 −5−1 2 1 1

−77 −6 23 −45−41 10 4 −52−2 −15 −6 −497 −11 21 −19

𝐴 ∙ 𝐴−1 =1

−127

−127 0 0 00 −127 0 00 0 −127 00 0 0 −127

23

5. Determine empleando determinantes si la matriz es invertible. Debe mostrar todo el procedimiento

no es suficiente con solo identificar la matriz invertible

418

214

112

a

407

532

2611

b

1161

02102

6225

2031

c

Solución

Se dice que una matriz es invertible si al hallar su determinante este diferente cero. Teniendo este

concepto hallamos el determinante de cada una de las matrices para saber si son o no invertibles

418

214

112

a

A la fila 2 le sumamos la fila 1 multiplicada por (-2)

418

030

112

A la fila 3 le sumamos la fila 1 multiplicada por (-4)

030

030

112

A 2 veces la fila 3 le sumamos la fila 2 multiplicada por (-2)

000

030

112

0032

000

030

112

418

214

112

=

Como el determinante es igual a cero(0) se puede afirmar que esta matriz no es invertible.

24

407

532

2611

b

A la fila 2 le restamos la fila multiplicada por (-2/11)

40711

59

11

450

2611

A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por (7/11)

11

58

11

420

11

59

11

450

2611

A la fila 3 le restamos la fila multiplicada por (-14/15)

15

400

11

59

11

450

2611

15

4

11

4511

15

400

11

59

11

450

2611

407

532

2611

xx

124315

445

Como el determinante es igual a -12 podemos afirmar que esta matriz es invertible.

25

1161

02102

6225

2031

c

A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por (-5)

1161

02102

162130

2031

A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por (-2)

1161

4240

162130

2031

A la fila 4 le restamos la fila 1 multiplicada por (-1)

1130

4240

162130

2031

A la fila 3 le restamos la fila 2 multiplicada por (4/13)

113013

116

13

3400

162130

2031

A la fila 4 le restamos la fila 2 multiplicada por (3/13)

13

61

13

1900

13

116

13

3400

162130

2031

26

A la fila 4 le restamos la fila 3 multiplicada por (19/34)

17

5000

13

116

13

3400

162130

2031

17

5000

13

116

13

3400

162130

2031

1161

02102

6225

2031

105217

534

17

5

13

34131

Como el valor del determinante es igual a 10, se puede afirmar que la matriz es invertible.

27

CONCLUSIONES

Aunque inicialmente estos temas de vectores, matrices y determinantes, parecen confusos, al ir

estudiando la teoría, vemos que no son tan complicados, lo que si necesitan es dedicación, pues como

puede verse sobre todo en las matrices y determinantes la solución de los ejercicios es extensa y

cualquier equivocación puede variar todo el ejercicio.

El estudio de las matrices, las operaciones que con ellas se realizan, su inversa, tiene mucha

aplicabilidad en casos de agrupación de datos, es la solución de problemas en los diferentes campos

laborales, si logramos llevarlo a la práctica.

Cabe destacar que nos falta mucho por aprender, pero por lo menos ya se manejan conceptos teóricos

que nos han permitido desarrollar lo ejercicios planteados, esperamos seguir avanzando en este curso y

cumplir con las metas trazadas.

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Referencias Bibliográficas

[1] Grossman, S. (1992). Álgebra Lineal con aplicaciones (cuarta ed.). México: Mc Graw Hill.

[2] Zuñiga G., C. A., & Rondon D., J. E. (2010). Módulo Álgebra Lineal (primera ed.). Bogotá D.C.:

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD.

Webgrafía

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[3] Ángulo formado por dos vectores [video]. (18 de febrero de 2009). Obtenido

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[5] Determinante de una matriz 4x4 [video]. (1 de noviembre de 2010). Obtenido de

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[6] Inversa de una matriz 4x4 [video]. (31 de octubre de 2014). Obtenido de

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[7] Operaciones básicas con matrices – Álgebra lineal y matrices [video]. (22 de agosto de 2013).

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[8] Operaciones con matrices – calculo matricial [video]. (16 de junio de 2013). Obtenido

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[9] Cómo calcular la inversa de una matriz [video]. (04 de noviembre de 2011). Obtenido

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[10] Solución de un sistema de 3x3 de Gauss Jordan [video]. (16 de noviembre de 2012). Obtenido

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