21 de Julio de 2014 FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE ERRORES Numerico/Clases/TEMA 1.pdf · Cálculo Numérico José Luis Quintero 37 Unafunciónrealf(x)sedenomina analítica en unpunto

Cálculo Numérico José Luis Quintero 1

FUNDAMENTOS DE LA

TEORÍA DE ERRORES

Departamento de Matemática Aplicada

Facultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

21 de Julio de 2014


1. Los métodos numéricos

2. Fuentes básicas de errores

3. Definiciones importantes

4. Estimación de la propagación de errores

5. Error de una suma

6. Error de una diferencia

7. Sumatorias y series elementales

8. Algoritmo de Horner

9. Evaluación de funciones analíticas

10. Condicionamiento

Puntos a tratar


Métodos numéricos

Son técnicas mediante las cuales es posible formular

problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse

usando operaciones aritméticas.












Puntos a tratar


• Planteamiento del problema (errores delproblema)

• Presencia de procesos infinitos en análisismatemático (error residual)

• Parámetros numéricos (error inicial)

• Sistema de numeración (error porredondeo)

• Operaciones con números aproximados(errores de operación)

• Representación en punto flotante (errorespunto flotante)

Fuentes básicas de errores












Puntos a tratar


El error absoluto en denotado es ladiferencia entre el valor exacto x y elvalor aproximado .

El error relativo en es . El errorrelativo es más significativo que el errorabsoluto, ya que carece de unidad.

Error absoluto y error relativo

x,∆xɶ

x / x∆xɶ

xɶ


El error por redondeo es aquel originadopor las limitaciones que todaherramienta de cálculo posee al nopoder representar las cantidades contodas sus cifras.

El error por truncamiento se produce alreducir a un número finito deoperaciones un proceso matemáticoque es infinito.

Redondeo y truncamiento


La cota o estimación de un error escualquier número no menor que el error.

Si se dice que tiene tdecimales correctos. También se diceque está correctamente redondeadoa t decimales.

Cota y decimales correctos

tx 0.5 10 ,−∆ ≤ × xɶ

xɶ


Utilice las variables especiales

eps , realmin y realmax

para calcular el épsilon de la máquina,el número más pequeño que la máquinadistingue de cero y la mayor magnitudrepresentada respectivamente.

Épsilon de la máquina, realmin y realmax



El épsilon de la máquina es el número demáquina positivo más pequeño de dobleprecisión tal que522−ε = 1 1+ ε ≠




realmin es el número de máquina positivomás pequeño de doble precisión dado por

que la máquina distingue decero

10222−µ =




realmin es el número de máquina positivomás pequeño de doble precisión dado por

que la máquina distingue decero

10222−µ =

realmax es el número de máquina másgrande dado por que puede serrepresentado con exactitud

10242β ≈


Underflow y overflow

Si un número es tal que seproduce un underflow y el computadorconsidera que x es cero

x R∈ x ,< µ


Underflow y overflow

Si un número es tal que seproduce un underflow y el computadorconsidera que x es cero

Si un número es tal que seproduce un overflow y se detienen loscálculos

x R∈ x ,< µ

x R∈ x ,> β












Puntos a tratar


Estimación de la propagación de errores

1 n

nfxn ii

i 1fx i yi

i 1 1 n

y f(x ,...,x )

xy x ,

f(x ,...,x )

∂∂

=∂∂

=

=

∆∆ ≈ ∆ δ ≈

∑∑



n n

i 1 n ii 1 i 1

y x x ... x ; y x= =

= = + + ∆ ≈ ∆∑ ∑

Error absoluto en una suma

Error relativo en un producto

nn

j in ni 1 j 1,j i

i 1 n y xn ii 1i 1

i

i 1

x x

y x x ... x ;

x

= = ≠

==

=

∆= = × × δ ≈ = δ

∑ ∏∑∏

∏



1

2

x xx 1 21 x12x2 x x22

y x x x xx x 1 2 1 21 1x x2 2

xy

x

( )

∆∆

=

+δ ≈ = δ + δ = δ + δ

Error relativo en un cociente

Error relativo en una potencia

m 1

m

y xm

m x xy x ; m

x

− ∆= δ ≈ = δ












Puntos a tratar


Error de una suma

El error absoluto de una suma de varios números

aproximados no excede de la suma de los errores absolutos de los números.

Ejemplo.

1 2

1 2

1 2

1 2

x 2.10, x 3.05, s 5.15

x 2.00, x 3.00, s 5.00

x 0.10, x 0.0 0.155, s

x x1s 0. 5

= = == = =

∆ = ∆ = ∆ =∆ = = ∆ + ∆

ɶɶ ɶ


Error de una suma

Si todos los números (no nulos) vienen afectados

del mismo signo, la cota del error relativo de su suma no excede del de la máxima cota del

error relativo de cualquiera de ellos.

Ejemplo.

1 2 1 2

s 0.151 2 s s 5.15

x x0.10 0.051 2x xx 2.10 x 3.051 21 2

s

0.0291

0.

x 2.10, x 3.05, s 5.15, x 2.00, x 3.00, s 5.00

x 0.10, x 0.05, s 0.15,

0.0476, 0.0164

max(0.0476,0.0164) 0476

∆

∆ ∆

= = = = = =∆ = ∆ = ∆ = δ = = ≈

δ = = ≈ δ = = ≈

δ < δ = =

ɶɶ ɶ












Puntos a tratar


Error de una diferencia

El error absoluto de una diferencia no excede a la

suma de las cotas de los errores absolutos del minuendo y sustraendo.

Si los números aproximados son números prácticamente iguales y tienen errores absolutos

pequeños, su suma exacta es pequeña. La cota del error relativo en este caso puede ser muy grande aun cuando los errores relativos del minuendo y el sustraendo permanezcan pequeños. Esto conduce

a una pérdida de exactitud. Esto se denomina cancelación catastrófica.












Puntos a tratar


Sumatorias

n n

2

i 1 i 1

2n

3

i 1

n

4 3 2

i 1

n(n 1) n(n 1)(2n 1)i i

2 6

n(n 1)i

2

ni (n 1)(6n 9n n 1)

30

= =

=

=

+ + += =

+ =

= + + + −

∑ ∑

∑

∑


Tabla de series elementales












Puntos a tratar


Suponga un polinomio de grado n

con coeficientes reales

y se quiere calcular el valor :

Evaluación de polinomios

n n 1

n n 1 1 0P(x) a x a x ... a x a−−= + + + +

ka (k 0,1,...,n),=

(k)P ( ) (k 0,1,...,n)ξ =



Evaluación directa:

n(n 1)

n(n 3)

2

2

n adiciones

multiplic

ope

acion

raci

es

ones

+

+

n adiciones

n multiplica

2n operac

ciones

iones

Algoritmo de Horner:



Evaluación directa:

n(n 1)(n 5)

6

+ +

Algoritmo de Horner:

Diferencia:

n(3n 1)

2

+

n(n 1)(n 2)

6

− −


x=linspace(0,10,300);

y=x.*(x+1).*(x+5)/6;

z=x.*(3*x+1)/2;

plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid on

xlabel('Grado del polinomio')

ylabel ('Número de operaciones')

legend('Evaluación tradicional','Algoritmo de Horner ')

Gráfico de una función


Gráfico de dos funciones en un mismo sistema

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

50

100

150

200

250

300

Grado del polinomio

Núm

ero

de o

pera

cion

es

Evaluación tradicional

Algoritmo de Horner


x=linspace(0,10,300);y=x.*(x-1).*(x-2)/6;plot(x,y,'b.')xlabel('Grado del polinomio')ylabel ('Número de operaciones') title('Diferencia Tradicional-Horner')

Gráfico de diferencia de número de operaciones

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

0

20

40

60

80

100

120

Grado del polinomio

Núm

ero

de o

pera

cion

es

Diferencia Tradicional-Horner


Algoritmo de Horner completo

i

j j j 1

j

inicio

leer (n,(a :0 i n), )

desde k 0 hasta (n 1) hacer

desde j (n 1) hasta k hacer

a a a

fin_desde

d a

+

≤ ≤ ξ= −

= −← + ξ

← j

n n

i

factorial(j)

fin_desde

d a factorial(n)

escribir (d :0 i n)

fin

∗

← ∗≤ ≤












Puntos a tratar


Una función real f(x) se denomina analítica enun punto si en la vecindad de estepunto puede desarrollarse en series depotencias (serie de Taylor).

En muchos casos, desarrollar una función enserie de Taylor resulta muy conveniente paracalcular los valores de la función, en otroscasos basta con racionalizar (radicales),aplicar propiedades (logaritmos) o transformaren expresiones equivalentes (expresionestrigonométricas).

Evaluación de funciones reales analíticas

ξ x R− ξ <


EJEMPLO.

Sean las funciones

Halle f(500) y g(500) y compare con el valorexacto 11.174755300747198…


xf(x) x( x 1 x) , g(x)

x 1 x= + − =

+ +


SOLUCIÓN.


f(500) 500( 501 500)

500(22.3830 22.3607) 11.15

= −≈ − =

500g(500)

501 500

500 500

22.3830 22.3607 44.7437

11.1748

=+

≈ =+

=


La segunda función es algebraicamenteequivalente a f(x), como muestra el siguientecálculo

La respuesta

tiene un error absoluto menor.


2 2

x( x 1 x)( x 1 x)f(x)

( x 1 x)

x ( x 1) ( x) x.

x 1 x x 1 x

+ − + +=+ +

+ − = =

+ + + +

g(500) 11.1748=


Considere la función

1. Obtenga su gráfica.2. Verifique que , analítica y

gráficamente.3. Verifique las siguientes expresiones

equivalentes para f(x):

Ejercicio computacional

2

1 cos(x)f(x)

x

−=

12

f(x 0)→ =

22 x2

2 2

2sen ( )sen (x)f(x) y f(x)

x (1 cos(x)) x= =

+


4. Obtenga una expresión equivalente para f(x) a partir del siguiente polinomio de Taylor de la función cos(x), alrededor de


x 0=

2i 2 4 6 8i

i 0

x x x x xcos(x) ( 1) 1 ...

(2i)! 2! 4! 6! 8!

∞

=

= − = − + − + −∑


5. Evalúe las dos expresiones disponibles paraf en los valores

6. Guarde el código (programa 1) con elnombre de taylor.m para evaluar lasexpresiones.


1 2 4 8 16x 2 , 2 , 2 , 2 , 2 .− − − − −=


Programa 1

clcx=1/2;for i=1:10

term=0.5;sum=0;n=0;while (abs(term)+sum)>sum

sum=sum+term;n=n+1;term=term*(-1)*x*x/((2*n+1)*(2*n+2));

endfun=(1-cos(x))/(x.*x);fun2=((sin(x))^2/(1+cos(x)))/(x.*x);fun3=2*(sin(x/2))^2/(x.*x);fprintf( ' n=%1.0f' ,n)fprintf( ' i=%1.0f' ,i)fprintf( ' taylor=%1.28f ' ,sum)fprintf( ' funcion=%1.28f ' ,fun)fprintf( ' funcion2=%1.28f ' ,fun2)fprintf( ' funcion3=%1.28f\n' ,fun3)x=x.^2;

end


7. Justifique los resultados obtenidosmencionando la existencia de dificultadesnuméricas presentes en las fórmulas (si lashubiera) para el rango de valoresconsiderados (cancelación catastrófica,división por cero, etc).

8. Concluya cuál de estas expresiones resultamás estable numéricamente.













Puntos a tratar


Las palabras condición y condicionamiento seusan de manera informal para indicar cuánsensible es la solución de un problemarespecto de pequeños cambios relativos en losdatos de entrada.

Un problema está mal condicionado sipequeños cambios en los datos pueden darlugar a grandes cambios en las respuestas.Para ciertos tipos de problemas se puededefinir un número de condición. Si el número esgrande significa que se tiene un problema malcondicionado.

Condición y condicionamiento


Número de condición para la evaluación de funciones

Error absoluto (EA):

Error relativo (ER):

EAimagenes .EApreimagenes

f(x h) f(x

K

f '(x)) h

=+ − ≈

ERimagenes .ERpreimagenes

f(x h) f(x) h

f(x) x

K

xf '(x)

f(x)

=+ − ≈


x=linspace(-1,1,3000);

y=exp(x);

z=abs(x);

plot(x,y,'r.',x,z,'g.'), grid on

xlabel('Preimagenes')

ylabel ('Imagenes')

legend('Condición absoluta','Condición relativa')

title('Funciones de condicionamiento para y = exp(x )')

Ejemplo


Ejemplo

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Preimagenes

Imag

enes

Funciones de condicionamiento para y = exp(x)

Condición absoluta

Condición relativa


Norma de una matriz

n

ij1 1 j ni 1

n

ij1 i nj 1

n n2

ijei 1 j 1

A max a

A max a

A a

≤ ≤=

∞ ≤ ≤=

= =

=

=

=

∑

∑

∑∑


Número de condición de una matriz

Error absoluto (EA):

Error relativo (ER):

1

EAsolución .EAladoderecho

x x b b

K

A−

≤

− ≤ − ɶɶ

1

ERsolución .ERladoderecK

A A

ho

b bx x

x b−

≤

−−≤

ɶɶ



1

1

1 1.01 10000 10100A A

0.99 1 9900 10000

(A) A A 2 20000 40000

−

−

− = ⇒ = −

κ = = × =



1 1

2 2

x x1 1.01 2.01 1

x x0.99 1 1.99 1

= ⇒ =

1 1

2 2

x x1 1.01 2 200

x x0.99 1 2 200

− = ⇒ =


Pensamiento de hoy

“La confianza en si mismoes el primer secreto deléxito”.

Emerson

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