11

1) Experimentelle Erfahrung: Es gibt zwei Arten von Ladungen, die man alsQ > 0: positive LadungQ < 0: negative Ladungbezeichnet.Das Vorzeichen ist so festgelegt, dass das Reiben eines Glasstabes auf diesem die Ladung Q > 0 zurück lässt (Hartgummistab Q < 0).

2) Das Elektron besitzt die kleinste, nicht mehr teilbare Ladung: Elementarladung e (Nachweis durch den Millikan-Versuch) In unserer Definition ist die Ladung des Elektrons negativ.

e = 1.602⋅10−19 AsQuarks

± 13e ,± 2

3e

2. Elektrostatik2.1. Grundbegriffe / Maßsysteme

Robert Andrews Millikan 22. März 1868 in Morrison, Illinois, USA † 19. Dezember 1953 in San Marino USA Nobelpreis für Physik 1923

12

Der experimentelle Nachweis von Elektronen gelang erstmals im Jahr 1897 durch den Briten Joseph John Thomson.

Der Name kommt vom griechischen Wort elektron (ηλεκτρον) und bedeutet Bernstein.

Elektronen sind negativ geladene Elementarteilchen ohne räumliche Ausdehnung. In guter Übereinstimmung mit der Quantenelektrodynamik ergaben Elektron-Elektron-Streuexperimente an Teilchenbeschleunigern eine maximale Elektronen-größe von 10-19 m. Elektronen gehören zu den Leptonen. Ihre Antiteilchen sind die Positronen (e+), mit denen sie bis auf ihre elektrische Ladung in allen Eigenschaften übereinstimmen.

Sir Joseph John Thomson 18. Dezember 1856 in Cheetham Hall† 30. August 1940 in CambridgeNobelpreis für Physik 1906

13

3) Es existiert ein Erhaltungssatz für Gesamtladungen, erhalten bleibt nur die Summe von Ladungen. Er gilt nicht für nur positive oder negative Ladungen.

Ladung wird in Coulomb gemessen 1 C = 1 As.

4) SI-Maßsystem Länge in m Zeit in s Masse in kg Ladung in C = As

Das Ampere ist die Stärke des zeitlich unveränder-lichen elektrischen Stromes durch zwei geradlinige, parallele, ∞ lange und ∞ dünne Leiter, die den Abstand 1 m haben und zwischen denen die durch den Strom elektrodynamisch hervorgerufene Kraft im leeren Raum je 1 m Länge der Doppelleitung 2*10-7 N beträgt.

14

Verwendete Bezeichnungen:

Ladung Q = n e (ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e)

Ladungsdichte ρ(r) Ladung pro Volumeneinheit

-> Gesamtladung

Flächenladungsdichte σ: Ladung pro Flächeneinheit

Linienladungsdichte η: Ladung pro Linienelement

Q =∫V

r dV

15

2.2. Das Coulombsche Gesetz in Vakuum

Das Coulombgesetz beschreibt die elektrostatische Kraftwirkung zwischen ruhenden Ladungen.Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleiche Ladungen ziehen sich an.

● Q' übt eine Kraftwirkung auf Q aus (r zeigt von Q' -> Q).● Kraftwirkung auf Q' hat den gleichen Betrag, ist aber entgegengesetzt gerichtet.

Q ' im Ursprung P 0,0 ,0

F = Q ' Q40

rr3

r = ∣r∣ = x2 y2z 2

Charles Augustin Coulomb 14. Juni 1736 in Angoulême † 23. August 1806 in Paris

0 Dielektrizitätskonstante des Vakuums

0 = 8,854⋅10−12 AsVm

16

F r = Q' Q40

r−r '∣r−r '∣3

1) Die Kraft ist direkt proportional zu den Ladungen Q und Q',2) Der Betrag ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes der beiden Ladungen,

3) Die Kraft ist entlang der Verbindungslinie der beiden Ladungen gerichtet. anziehend für Ladungen mit ungleichen Vorzeichen abstoßend für Ladungen mit gleichen Vorzeichen4) actio = reactio (Die Kraft, die eine Ladung spürt, entspricht der Kraft auf die andere Ladung mit umgekehrtem Vorzeichen.).

∣F r ∣= Q ' Q40

1

∣r−r '∣3∣r−r '∣ ~ 1

∣r−r∣2

Allgemeine Form des Coulombgesetzes für zwei Ladungen im Punkt r und r':

17

2.2.1 Konzept des elektrischen Feldes E(r)

Obwohl die Messgröße eine Kraft ist, ist es zweckmäßig, den Begriff des elektrischen Feldes einzuführen.Das elektrische Feld E(r) wird durch eine gegebene Ladungskonfiguration erzeugt und ist durch die Kraft definiert, die auf eine kleine positive Testladung q wirkt.

E r = limq0

fq

- Das elektrische Feld ist eine vektorielle Größe mit der Einheit V/m.- Da die Testladung selbst das Feld verändern würde, gilt die Definition für das elektrische Feld nur für den Grenzübergang zu einer sehr kleinen Testladung.

Q' am Ort r' erzeugt ein elektrisches Feld, dieses ist Ursache der Kraft auf Q am Ort r.

E r = Q '40

r−r '∣r−r '∣3

f r =Q E r

Das Feld-Konzept zerlegt die Kraftwechselwirkung in 2 Schritte:1) Eine vorgegebene Ladungskonfiguration (Q') erzeugt ein elektrisches Feld

(unabhängig von der anderen Ladung)2) Ladung Q reagiert auf das Feld E(r) durch Kraftwirkung

18

2.2.2 Feldlinien

Veranschaulichung durch Bilder in Form von Feldlinien:Feldlinien sind Bahnen, auf denen sich ein positiver geladener, kleiner, anfangs ruhender Körper aufgrund der Coulomb-Kraft fortbewegen würde.

- 22. September 1791 Newington Butts † 25. August 1867 bei Hampton Court

Feldlinien von Punktladungen sind radial.In jedem Raumpunkt r liegt das elektrische Feld E(r) tangential an der dort existierenden Feldlinie. Feldlinien schneiden sich nie!

+

19

Alle Kräfte die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes sind, sind Potenzialkräfte. Die Rotation solcher Kraftfelder verschwindet und sie besitzen ein skalares Potenzial. Damit existiert auch für das elektrische Feld E ein skalares Potenzial U.

rot E = 0 E r = Q '40

r−r '∣r−r '∣3

E besitzt ein elektrostatisches Potenzial U mit der Einheit Volt [V]..

E r =− ∇U r =−gradU r

2.2.3 Elektrostatisches Potenzial U

Das elektrostatische Potenzial kann durch Äquipotenziallinen dargestellt werden.

20

Zu U kann immer eine beliebige Konstante addiert werden -> messbar sind nur Potenzialdifferenzen

U r2 − U r1 =∫r1

r2

dU =∫r1

r2

∂U∂ x dx ∂U∂ y

dy ∂U∂ z

dz =∫r1

r2

gradU⋅d r =−∫r1

r2

E⋅r

gradU = ∂U∂ x , ∂U∂ y , ∂U∂ z d r = dx , dy , dz

U r2 − U r1 =−∫r1

r2

E⋅d r

wegen: Stokes'scher Satz (siehe Übung)

∫F

rot a⋅d f =∮∂ F

a⋅d r ∫F

rot Eda rot E=0

⋅d f =∮E⋅d r = 0

Wegunabhängigkeit der Potenzialdifferenz

Dieses Linienintegral ist wegunabhängig.

21

Potenzial des elektrischen Feldes

U r ' −U ∞=−∫∞

r '

E⋅d r

übliche Wahl der Konstanten U ∞ = 0 ,und Q ' im Nullpunkt ,

U r ' =−∫∞

r '

E r ⋅d r =−Q '

40

∫∞

r 'r ⋅d rr3

r⋅d r=x dx ydyzdz=∣r∣∣d r∣a⋅b=a bcos

=− Q '40

∫∞

r 'dr

r2= Q '

40 r '

Das ist das elektrische Potenzial am Ort r' erzeugt durch eine Ladung Q' im Nullpunkt, für eine Ladung Q' an einem beliebigen Ort r erhalten wir

U = Q'40∣r−r '∣

Eine Ladung Q' sei im Nullpunkt unseres Koordinatensystems. Eine andere Ladung, dieaus dem Unendlichen zum Ort r' gebracht wird, muss die Potenzialdifferenz bewältigen

22

2.2.4 Superpositionsprinzip

Mehrere Punktladungen Qi an Orten ri

● Jede Punktladung erzeugt ein Feld Ei(r) am Ort r● Gesamtfeld E (r)

E r =∑i

E i r U r =∑i

U i r

mitE i r =Q i

40

r−r i∣r−r i∣

3U ir =

Q i

40

1∣r−ri∣

Ursache ist die Linearität der Maxwellschen Gleichungen. Die Summe von Lösungen ist wieder Lösung der Maxwellschen Gleichungen.Für sehr starke Felder treten nichtlineare Effekte auf, in diesen Fällen gilt dasSuperpositionsprinzip dann nicht!

23

r =d QidV

Qi =∫V i

rdV

Ladung dQ im Volumen dV

r = dQdV

U r =∑i

Qi40∣r−r i∣

= 140

∫ r ' d 3 r '∣r−r '∣

d 3 r ' = dx ' dy ' dz '

U x , y , z = 140

∫∫∫ dx ' dy ' dz ' x ' , y ' , z '

x−x ' 2 y− y ' 2 z−z ' 2

2.2.5 Raumladungsdichte - Raumladungswolke

Die Ladungdichte ist Ladung pro Volumen:

Übergang von diskreten Punktladungen zu Ladungsverteilungen:

24

∮ E⋅d f

Fluss des elektrischen Feldes E durch die Oberfläche einer Kugel

Ladung im Mittelpunkt einer Kugeldf: Flächenelement ist orientiert in Richtung der Normalen auf der Fläche

E r = Q40

rr3

∣ E r ∣= Q40

∣r∣r3 =

Q40

1

r 2 konstant auf Kugeloberfläche

E hat Richtung von r, df ebenfalls, E ist parallel zu df

∮F

E⋅d f =∮F

E df = E∫F

df = E 4 r2Kugel !

∮E⋅d f =Q0

2.2.6 Fluss des elektrischen Feldes durch eine Fläche

25

Für eine beliebige geschlossene Fläche ist E und die Flächennormale nicht mehr parallel.Das elektrische Feld E hat die Richtung des Vektors r.

∮E⋅d f = Q40

∮ r⋅d fr 3 = Q

40∮ r⋅r

2dr3 = Q

40∮d

4

= Q0

cos d f = r 2 d er

r⋅d f = r cos∣d f ∣= r3 d

∫0

∫0

2

sin d d= 4

Skalarprodukt bedeutet Projektion von df auf E

E ∥ d f

Raumwinkeld= sin d d

26

● Viele Ladungen in geschlossener Fläche

Superposition E =∑i

E i Q =∑i

Q i

0 ∮∂V

E⋅d f = Q

2.2.7 Physikalischer Gaußscher Satz

Der Fluss des E-Feldes durch die Oberfläche eines beliebigen Volumens V ist gleich der eingeschlossenen Gesamtladung mal einem Faktor (ε0).

Gauß'scher Satz aus der Mathematik:

∫V

div E r d 3 r = ∮S V

E⋅d f

27

Zum Gaußschen SatzKann sich eine Punktladung im elektrischen Feld anderer Ladungen in einem stabilen mechanischen Gleichgewicht befinden?

Stabiles Gleichgewicht für positive Ladung Q (stabil -> E = 0)

Es gibt keine stabilen Gleichgewichtspunkte in irgend-einem elektrostatischen Feld, außer genau an der Stelle einer anderen Ladung.

(-> Atome: dynamisches Gleichgewicht, Elektronen auf Bahnen)

+

28

1. ∞ langer, homogen geladener Stabλ = Ladung pro Längeneinheit● Fluss von E durch Fläche = Ladung im Inneren/ε0● wegen Symmetrie nur radiale Komponente E

∮ E⋅d f = E∫d f = E 2 r⋅l = Q0

=⋅l0

Die elektrische Feldstärke ist umgekehrt proportional zum senkrechten Abstand vom geladenen Stab.

2. homogen geladene Kugel

E = 140

Q

r2 rR

E = 140

1

r2

Q r3

R3 rR

E =

20 r

l

r

RR

Viele Probleme mit Symmetrie lassen sich sehr einfach mit dem Gaußschen Satz lösen.

29

3. homogen geladene dünne KugelschaleP sei ein Punkt im Inneren einer homogen geladenen Kugelschale.

kleiner Kegel mit Scheitel in P bis zur Kugeloberflächedf = r2 sinθ dθ dφ

df 1

df 2

=r1

2

r22

Wenn die Kugeloberfläche homogen geladen ist, ist die Ladung dq auf jedem Flächenelement proportional zum Flächeninhalt

dq2

dq1

=df 2

df 1

dq = df

r1

r2

Nach dem Coulombschen Gesetz stehen die Beträge der Feldstärken, die von diesen Flächenelementen in P erzeugt werden, im Verhältnis

E 2

E1

=q2 / r2

2

q1 / r12= 1.

Die Felder kompensieren einander. Das Feld im Inneren einer homogen geladenen Kugel ist 0. Das ist allerdings nur so, wenn das Coulombgesetz ~ 1/r2 ist, ansonsten verschwindet das elektrische Feld nicht.

30

B. Franklin hat als erster bemerkt, dass im Inneren eines geladenen hohlen Körpers E = 0 ist. Er schloss daraus auf die quadratische Abstandsabhängigkeitdes Coulombgesetzes. (Priestley erreichte 1775 gleiches Ergebnis.)Durch Messung des elektrischen Feldes im inneren eines geladenen Körpers, lässt sich umgekehrt die Abstandsabhängigkeit des Coulombgesetzes überprüfen.

Maxwell ermittelte: δ < 10-5

Plimpton + Laughton 1939: δ < 10-9

1

r2

Die Gültigkeit des Coulombgesetzes ist bis zu Abständen von 10-15 m gesichert, darunter scheint es ca. 10 mal zu schwach zu sein (doch keine Punktladungen?).

Benjamin Franklin 17. Januar 1706 in Boston † 17. April 1790 in Philadelphia

31

Definition: Vektor der dielektrischen Verschiebung D

D = 0E

da V beliebig ist, muss gelten:

divD = r

Ladungen sind Quellen des elektrischen Feldes!

∮D⋅d f =Q∫V

divD⋅d 3r = Q =∫V

r d 3r

2.2.8 Dielektrische Verschiebung

Aus dem physikalischen und mathematischen Gaußschen Satz erhalten wir:

32

2.2.9 Grundgleichungen der Elektrostatik im Vakuum

1. rot E = 0 elektrische Felder sind wirbelfrei

2. div E = 10

div D = mit D = 0E

Integrale Darstellung:

1.∮ E⋅d r = 0

2.∫F

E⋅d f = 10

Q

33

div -gradU = 10

r

U =−0

lineare, inhomogene, partielle

∂2

∂ x2∂2

∂ y2∂2

∂ z2 U r = −0

Differenzialgleichung

Lösung:

U r = 140

∫ r ' d 3r '∣r−r '∣

falls ρ(r') für alle r' bekannt ist und keine Randbedingungen für U(r) im Endlichen vorliegen.

2. Beide Gleichungen lassen sich zur Poisson-Gleichung umschreiben:

1. ist automatisch erfüllt, da rot grad = 0 E = - grad U

34

Randwertproblem der Elektrodynamik

Häufig ist allerdings ρ(r') in einem endlichen Volumen bekannt und die Werte für U(r) oder deren Ableitungen auf einer Oberfläche gegeben.Gesucht wird dann U(r) für alle r -> Randwertproblem.

35

Siehe z.B. Nolting Bd. 3 Elektrodynamik S. 32

rU r =1

40∫d 3r ' r ' r

1∣r−r '∣

=− 10∫d 3r ' r ' r−r ' =− 1

0

r

Beweis: a) r−r0 = 0 r ≠ r0

b) ∫V

d 3r r−r0 = {1 falls r0∈V

0 sonst

r−r ' =− 14

1∣r−r '∣

Überprüfung der allgemeinen Lösung der Poissongleichung: