2.1. Matemática - Teoria - Livro 2

1

FRENTE 1 lgebra

MDULO 22 Propriedades dos Logaritmos

MDULO 21 Logaritmos: Definio

1. DEFINIO

Dados os nmeros reais estrita men te positivos a eN, com a 1, chama-se logaritmo de N na base a oexpoente a que se deve elevar a para que a potnciaobtida seja igual a N.

Simbolicamente

Nomenclatura

N o logaritmando ou antilogaritmo

a a base.

o logaritmo.

Condies de existncia

logaN existe se, e somente se:

Consequncias da definioSendo a > 0, a 1, N > 0 e n real, decorre da

definio que:

Cologaritmo

Chama-se cologaritmo do nmero N na base a o

logaritmo de na base a.

Em smbolos:

Observao

AntilogaritmoDa nomenclatura apresentada

, decorre que N (logaritmando) o antilo -

garitmo de na base a.

Em smbolos:

antiloga = N a = N

logaN =

1cologaN = loga = logaNN

1cologaN = logaN

1N

logaa = 1

alogaN = N

loga1 = 0

logaan = n

a 1a > 0N > 0

logaN = a = N

1. PROPRIEDADES

Sendo M > 0, N > 0, a > 0 e a 1, valem, para os

logaritmos, as seguin tes propriedades:

Observe que:

az = M . N = ax . ay az = ax + y z = x + y

Portanto,

loga(M . N) = logaM + logaN

2. MUDANA DE BASE

Sendo N > 0, a > 0, b > 0, a 1 e b 1, temos:

loga(M . N) = logaM + logaN

M loga = logaM logaNN

loga(Nm) = m . logaN,m

m loga

nNm = . logaN, m ,n *n

logaM = x

logaN = y

loga(M . N) = z

ax = M

ay = N

az = M . N

logbNlogaN =

logba

C2_3oTEO_MAT_conv_Rose 04/10/10 17:49 Pgina 1

MDULO 23 Funo Logartmica

Observe que:

bzx = by z . x = y x = .

Portanto, logaN =

Consequncias

e

satisfeitas as condies de existn cia.

logaN = x

logbN = y

logba = z

ax = N

by = N (bz)x = N = by

bz = a

yz

logbNlogba

1logba =

logab

xlogby

ax = . logbay

2

1. DEFINIO

a funo f : *+ , tal que f(x) = logax, com 0 < a 1.

Domnio = *+ Contradomnio = Imagem =

Exemplos Esboar o grfico da funo de finida em *+ por

f(x) = log2x.Resoluo

A funo logartmica de base a > 1 estritamente

crescente e con tnua em *+. Assim, para f(x) = log2x,

temos o esboo:

Esboar o grfico da funo de finida em *+ porf(x) = log1/2x.

Resoluo

A funo logartmica de base a, 0 < a < 1, es -tritamente de crescente e contnua em *+. Assim, para f(x) = log1/2x, temos o esboo:

ResumoA funo logartmica, assim defi nida, :

x log2x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 1

4 2

8 3

x log1/2x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 1

4 2

8 3

Injetora e Sobrejetora (Bijetora)

Estritamente crescente, se a >1

Estritamente decrescente, se 0 < a < 1


Concluses

Grficos

Sinal do logaritmo

Observao

De fato:

Seja f: *+ a funo bijetora, tal que f(x) = logax,

com a > 0 e a 1.

Utilizando a regra prtica para a determinao de

sua inversa, temos:

1) y = logax;

2) x = logay (trocando x por y e y por x);

3) y = ax (isolando y).

Logo, a inversa da funo f: *+ , tal que

f(x) = logax, f1: *+, definida por

f 1(x) = g(x) = ax.

Os grficos de f e f 1 so, por tanto, simtricos em

relao reta de equao y = x (bissetriz dos quadran -

tes mpares).

Considerando f(x) = log2x e f 1(x) = 2x, temos para

alguns valores de x:

f(1) = log21 = 0 e f1(0) = 20 = 1

f(2) = log22 = 1 e f1(1) = 21 = 2

f(4) = log24 = 2 e f1(2) = 22 = 4

f(8) = log28 = 3 e f1(3) = 23 = 8

f( ) = log2 = 1 e f 1(1) = 21 = f( ) = log2 = 2 e f 1(2) = 22 = f( ) = log2 = 3 e f1(3) = 23 =

logax1 = logax2 x1 = x2 > 0, se 0 < a 1

logax1 < logax2 0 < x1 < x2, se a > 1

logax1 < logax2 x1 > x2 > 0, se 0 < a < 1

Para a > 1

logax > 0 x > 1

logax < 0 0 < x < 1

Para 0 < a < 1

logax > 0 0 < x < 1

logax < 0 x > 1

Sendo 0 < a 1, a funo f: *+ , tal que

f(x) = logax, a inversa da funo g : *+,

definida por g(x) = ax.

12

12

12

14

14

14

18

18

18

3


4

Exerccios Resolvidos1. Resolver, em , a equao 25x 6 . 5x + 5 = 0.

Resoluo

25x 6 . 5x + 5 = 0 (52)x 6 .(5x) + 5 = 0

(5x)2 6 . (5x) + 5 = 0

Substituindo-se 5x por y, resulta:

y2 6y + 5 = 0 y = 1 ou y = 5

y = 1 5x = 50 x = 0

y = 5 5x = 51 x = 1

Logo, o conjunto-verdade da e qua o V = {0; 1}.

Resposta: V = {0; 1}

2. Resolver, em , a equao 3x + 3x 1 = 4x.

Resoluo

3x + 3x 1 = 4x 3x + = 4x

3x. 1 + = 4x 3x . = 4x =

x

= 1

x = 1 V = {1}

Resposta: V = {1}

3. Resolver, em , a inequao

log1/2(x1) log1/2(x+3) log1/2 .

Resoluo

a) Condies de existncia

x > 1

b) log1/2 (x 1) log1/2 (x + 3)

log1/2 log1/2 log1/2

0

0 0

(2x 22) . 7 . (x + 3) 0 e

x 3 3 < x 11

De a e b, temos: 1 < x 11

Resposta: V = {x | 1< x 11}

4. Resolver, em , a inequao

( )2 . log2(x

2 3x 10)

> ( )log1

2

(x2 + 4x + 4)

Resoluo

a) Condies de existncia

x < 2 ou x > 5

b) ( )2 . log2(x

2 3x 10)

> ( )log1

2

(x2 + 4x + 4)

( )2 . log2(x

2 3x 10)

> ( ) log1

2

(x2 + 4x + 4)

Notando que log1aN = logaN, temos:

( )log2[(x + 2) (x 5)]

2

>( )log2(x + 2)

2

(x + 2)2 . (x 5)2 > (x + 2)2

(x 5)2 > 1 e x 2

x2 10x + 24 > 0 e x 2

x < 4 ou x > 6 e x 2

De a e b, resulta x < 2 ou x > 6.

Resposta: V = {x | x < 2 ou x > 6}

x 1 > 0x + 3 > 0 x > 1x > 3

57

x 1x + 3

57

x 1x + 3

57

x 1x + 3

57

7x 7 5x 15

7(x + 3)2x 22

7(x + 3)

x > 1 3 < x 11

32

23

x2 3x 10 > 0x2 + 4x + 4 > 0 x < 2 ou x > 5x 2

32

23

32

32

32

32

3x3

34

3x4x

43)13(

)34()34(

57

MDULOS 24 e 25 Equaes e Inequaes Exponenciais e Logartmicas


5

N101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354N

0000004140792113914611761204123042553278830103222342436173802397941504314447246244771491450515185531554415563568257985911602161286232633564356532662867216812690269907076716072437324

0

2008604920864120615231818209523552601283330543263346436553838401441834346450246544800494250795211534054655587570558215933604261496253635564546551664667396830692070077093717772597340

2

3012805310899123915531847212223802625285630753284348336743856403142004362451846694814495550925224535354785599571758325944605361606263636564646561665667496839692870167101718572677348

3

4017005690934127115841875214824052648287830963304350236923874404842164378453346834829496951055237536654905611572958435955606461706274637564746571666567586848693770247110719372757356

4

5021206070969130316141903217524302672290031183324352237113892406542324393454846984843498351195250537855025623574058555966607561806284638564846580667567676857694670337118720272847364

5

6025306451004133516441931220124552695292331393345354137293909408242494409456447134857499751325263539155145635575258665977608561916294639564936590668467766866695570427126721072927372

6

7029406821038136716731959222724802718294531603365356037473927409942654425457947284871501151455276540355275647576358775988609662016304640565036599669367856875696470507135721873007380

7

8033407191072139917031987225325042742296731813385357937663945411642814440459447424886502451595289541655395658577558885999610762126314641565136609670267946884697270597143722673087388

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9037407551106143017322014227925292765298932013404359837843962413342984456460947574900503851725302542855515670578658996010611762226325642565226618671268036893698170677152723573167396

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1004304530828117314921790206823302577281030323243344436363820399741664330448746394786492850655198532854535575569458095922603161386243634564446542663767306821691169987084716872517332

1

TBUA DE LOGARITMOS


6

N555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899N

0740474827559763477097782785379247993806281298195826183258388845185138573863386928751880888658921897690319085913891919243929493459395944594949542959096389685973197779823986899129956

0

2741974977574764977237796786879388007807581428209827483388401846385258585864587048762882088768932898790429096914992019253930493559405945595049552960096479694974197869832987799219965

2

3742775057582765777317803787579458014808281498215828083448407847085318591865187108768882588828938899390479101915492069258930993609410946095099557960596529699974597919836988199269969

3

4743575137589766477387810788279528021808981568222828783518414847685378597865787168774883188878943899890539106915992129263931593659415946595139562960996579703975097959841988699309974

4

5744375207597767277457818788979598028809681628228829383578420848285438603866387228779883788938949900490589112916592179269932093709420946995189566961496619708975498009845989099349978

5

6745175287604767977527825789679668035810281698235829983638426848885498609866987278785884288998954900990639117917092229274932593759425947495239571961996669713975998059850989499399983

6

7745975367612768677607832790379738041810981768241830683708432849485558615867587338791884889048960901590699122917592279279933093809430947995289576962496719717976398099854989999439987

7

8746675437619769477677839791079808048811681828248831283768439850085618621868187398797885489108965902090749128918092329284933593859435948495339581962896759722976898149859990399489991

8

9747475517627770177747846791779878055812281898254831983828445850685678627868687458802885989158971902590799133918692389289934093909440948995389586963396809727977398189863990899529996

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1741274907566764277167789786079318000806981368202826783318395845785198579863986988756881488718927898290369090914391969248929993509400945094999547959596439689973697829827987299179961

1

TBUA DE LOGARITMOS


7

1. INTRODUO

Os logaritmos dos nmeros reais positivos na base

10 denominam-se logaritmos decimais ou vul ga -

res ou de Briggs.

Notao

O logaritmo decimal do nmero N > 0 ser indicado

por log10N ou log N.

Propriedades

Alm das propriedades dos loga ritmos, j estuda -

das, bom lembrar que:

N > 1 log N > 0

0 < N < 1 log N < 0

log10k = k, k e, assim, podemos construir as

tabelas a seguir.

Observaes Os logaritmos das potncias de 10, com expoen -

tes inteiros, so iguais aos respectivos expoentes.

Se o nmero real N > 0 estiver compreendido entre

duas dessas po tn cias consecutivas, o log N esta r entre

dois inteiros consecutivos.

Assim, para c , temos:

10c N < 10c+1 log 10c log N < log 10c+1 c log N < c + 1

2. CARACTERSTICA

Desta forma, podemos afirmar que:

, com c e 0 m < 1

O logaritmo decimal de N , pois, a soma de um

inteiro (c) com um nmero decimal (m) no negativo e

menor que 1.

O nmero c , por definio, a caracterstica dolog N.

O nmero decimal m , por defini o, a mantissado log N.

Determinao da caracterstica Regra 1A caracterstica do logaritmo de cimal de um nmero

N > 1 igual ao nmero de algarismos da sua parte

inteira menos 1.

ExemplosSendo c a caracterstica de log N, temos:log 5,213 c = 0

log 52,13 c = 1

log 3592,39 c = 3

Regra 2A caracterstica do logaritmo de cimal de um nmero

0 < N < 1 igual ao oposto do nmero de zeros que

precedem o primeiro algarismo dife ren te de zero.

ExemplosSendo c a caracterstica do log N, temos:

log 0,753 c = 1

log 0,0947 c = 2

log 0,00502 c = 3

log N = c + m

0 < N < 1 log N

0,0001 4

0,001 3

0,01 2

0,1 1

N 1 log N

1 0

10 1

100 2

1000 3

10000 4

MDULO 26 Logaritmos Decimais


3. MANTISSA

A mantissa do log N pode ser encontrada em tabelas

chamadas TBUAS DE LOGARITMOS.

Vale a seguinte propriedade:

Os logaritmos decimais de dois nmeros, cujas

representaes deci mais diferem apenas pela posio

da vrgula, tm mantissas iguais.

De fato, em log N = c + m, temos caracterstica c e

mantissa m.

Sendo p , decorre:

log(10p . N) = log 10p + log N = p + (c + m) = (p + c) + m, em

que a ca rac terstica (p + c) e a mantissa m.

Exemploslog 2 = 0 + 0,3010 = 0,3010

log 20 = 1 + 0,3010 = 1,3010

log 2000 = 3 + 0,3010 = 3,3010

log 0,2 = 1 + 0,3010 = 1,3010 = 0,6990

log 0,02 = 2 + 0,3010 = 2,3010 = 1,6990

ObservaoPara passar um logaritmo nega tivo para a forma

mista (caracterstica negativa e mantissa positiva), basta

somar 1 sua parte decimal e subtrair 1 da sua parte

inteira.

Exemplo

log 0,02 = 1,6690 = 1 0,6990

1 + 1

2 + 0,3010 = 2,3010

(forma mista)

8

MDULO 27 Mdulo de um Nmero Real

1. DEFINIO

O mdulo de um nmero real x indicado por |x| eassim definido:

Observaes

a) x 0, x b) Na reta real, o mdulo de um nmero real a

distncia da abscissa desse nmero origem.

AplicaesPara avaliar qual o conjunto de valores assumidos

por uma expresso, que apresenta mdulo em pelomenos um de seus termos, frequente estud-la supri -mindo os sinais de mdulo, usando a definio. Assim, aanlise feita em intervalos.

Como exemplo, vamos esboar o grfico da funo

f: , tal que f(x) = x + 3 x 2.Marquemos na reta numrica os valores x = 3 e

x = 2, que so as razes de x + 3 = 0 e x 2 = 0,respectivamente.

Desse modo, a reta foi subdividida nos intervalos ] ; 3], [ 3; 2] e [2; + [.

a) Para x 3, temos |x + 3| = x 3 e |x 2| = x + 2.Logo, f(x) = ( x 3) ( x + 2) = x 3 + x 2 = 5,

cujo grfico :

b) Para 3 x 2, temos x + 3 = x + 3 ex 2 = x + 2.Logo, f(x) = (x + 3) ( x + 2) = x + 3 + x 2 = 2x + 1,

cujo grfico :

x = x, se x 0 x = x, se x 0


9

1. DEFINIO

a funo f: , tal que f(x) = x, sendo:

Domnio = Conjunto imagem = + Grfico

PropriedadesDado a > 0, temos:

1. x = a x = a ou x = a

2. x < a a < x < a

3. x > a x < a ou x > a

ObservaesSendo x e n *, ento:

1.nxn = x, se n for mpar;

2.nxn = x, se n for par;

3. x . y = x . y;

4. | | = , y 0;5. x + y = x + y , se x e y tiverem o mesmo sinal;

6. x + y < x + y , se x e y forem de sinais contrrios;

7. x + y x + y e x y x y .

2. GRFICOS

Exemplos

1. Consideremos a funo f: , definida por:

f(x) =

cujo grfico dado a seguir.

x = x, se x 0 x = x, se x 0xy

x

y

x + 8, se x < 5

x 2, se 5 x < 01

x (x 6), se x 03

c) Para x 2, temos x + 3 = x + 3 e x 2 = x 2.Logo, f(x) = (x + 3) (x 2) = x + 3 x + 2 = 5,

cujo grfico :

Portanto, o grfico de f :

MDULO 28 Propriedades e Grficos da Funo Modular


10

A partir do grfico de f, vamos obter os grficos de:

a) f(x ) b) f (x) c) f(x )

Re soluo

a) 1) x = x f ( |x | ) uma funo par (o seu

grfico simtrico em relao ao eixo y).

2) x = x para x 0 o grfi co de f(x ) igual aode f(x) para x 0.

De 1 e 2, conclumos que, para obter o grfico de

f( x ), basta repe tir o grfico de f (x) para x 0 e

reba t-lo em torno do eixo y, resultando:

b) 1) f(x) = f(x) para f(x) 0

2) f(x) = f(x) para f(x) 0

De 1 e 2, conclumos que, para obter o grfico def(x), basta repetir o de f(x) para f(x) 0 e "rebater" o def(x), para f(x) < 0, em torno do eixo x, resultando:

c) Utilizando os resultados dos itens a e b, obtm-se:

2. Esboce o grfico da funo f:[ 2, 2] , definidapor f(x) = sen x + 1.

Resoluo

Para x [ 2; 2], temos:

a) o grfico de g(x) = sen x:

b) o grfico de g(x) = sen x:

c) o grfico de f(x) = sen x + 1:


11

NMEROS NATURAIS

O Conjunto Os nmeros naturais so 0, 1, 2, 3, ... , n, ... e o con -

junto formado por esses nmeros chamado conjun todos nmeros naturais. indica do por .

Diviso Euclidiana em Teorema

Se a e b *, ento existe um nico par (q, r)de nmeros natu rais, tais que

Dispositivo prtico

Se , diz-se que a diviso exata.

Se , ento: q = 0 e r = a

NMEROS INTEIROS

O Conjunto Os nmeros inteiros so ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...

O conjunto formado por esses n me ros chamadoconjunto dos n me ros inteiros. indicado por .

= {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}

* = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3, ...} = {0}

+ = {0, 1, 2, 3, ... } =

+* = {1, 2, 3, ...} = *

* = { 1, 2, 3, ... }

Mltiplo e divisor em Definio

Sejam a e b dois nmeros intei ros. Diz-se que b

divisor (ou fator) de a e que a mltiplo de b se, e

somente se, existe c inteiro, tal que

Assim, sendo a, b, c nmeros inteiros, temos

Nmero par e nmero mparUm nmero inteiro a par se, e somente se, a for

mltiplo de 2.Um nmero inteiro a mpar se, e somente se, a

no for mltiplo de 2.

Em smbolos

Os nmeros pares so, portanto, 0, 2, 4, 6, ... .Os nmeros mpares so, por tanto, 1, 3, 5,

7, ...

NMERO PRIMO

Um nmero inteiro p, com p 0, p 1 e p 1, primo se ele pos sui exatamente 4 divisores inteiros, queso 1, 1, p e p.

Em smbolos:

NMERO COMPOSTO

Um nmero inteiro a, com a 0, a 1 e a 1, composto se ele tem mais de 4 divisores inteiros.

Em smbolos:

DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS,TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMTICA

TODO nmero composto pode ser decomposto (oufatorado) num produto de fatores primos. A menos daordem dos fatores e do sinal, tal decomposio nica.

= {0, 1, 2, 3, ... , n, ... }

* = {1, 2, 3, 4, ... , n, ... } = {0}

a = b . q + r e r < b

r = 0

a < b

a = b . c

a mltiplo de b e c.a = b . c b e c so ambos divi sores (ou fatores) de a.

a PAR a M(2) k a = 2k

a MPAR a M(2) k a = 2k +1

p 0, p 1, p 1p primo D (p) = { 1, 1, p, p}

a 0, a 1, a 1a composto n[D(a)] > 4

a

r

b 0

q a = b . q + rr < b

MDULO 29Diviso em , Mltiplos e

Divisores em , Nmero Primo e Composto


12

NMEROS PRIMOS ENTRE SI

DefinioDois nmeros inteiros a e b, no nulos, so chama -

dos primos entre si se, e somente se, os nicos divi -sores comuns de a e b so 1 e 1 e, consequen temente,se, e so men te se, mdc(a, b) = 1.

Em smbolos:

Propriedades Dois nmeros consecutivos quaisquer so pri mos

entre si. Se p e q so primos e p q e p q, ento p e q

so primos entre si.

a e b so primos entre si mmc(a, b) = a . b, a, b *.

Teoremas importantesSe x divide a e x divide b, ento x divide a b.

Simbolicamente

Se x divide a e x divide a b, ento x divide b.Simbolicamente

Os pares de nmeros inteiros (a, b); (a; a b) e (b; a b) tm o mesmo mximo divisor comum.

a *e b *so primos entre si D(a) D(b) = {1, 1} mdc(a, b) = 1

x D(a) } x D(a b)x D(b)

x D(a) } x D(b)x D(a b)

MXIMO DIVISOR COMUM

DefinioSejam a e b dois inteiros no simultaneamente

nulos. O mxi mo divisor comum de a e b o mximoelemento do conjunto [D(a) D(b)].

Representa-se mdc(a, b).Assim sendo:

MNIMO MLTIPLO COMUM

DefinioSejam a e b dois inteiros no nulos. O mnimo

mltiplo comum de a e b o menor elemento do conjun -

to [M*+(a) M*+(b)].

Representa-se mmc(a, b).

Assim sendo:

ObservaesSe a e b so dois inteiros no nulos, ento,

a) Os divisores comuns de a e b so os divisores domximo divisor comum de a e b.

Em smbolos:

b) Os mltiplos comuns, estrita mente positivos, de ae b so os mltiplos, estritamente positivos, do mnimomltiplo comum de a e b.

Em smbolos:

c)

mdc (a, b) = mx [D(a) D(b)]

mmc (a, b) = mn [M*+(a) M*+(b)]

D(a) D(b) = D[mdc (a; b)]

M*+(a) M*+(b) = M*+[mmc(a; b)]

mdc(a; b) .mmc(a; b) = a . b, a, b *

NMERO DE ELEMENTOS DE D(a)

Indicando por D(a) o conjunto dos divisores in -teiros e por D+ (a) o conjunto dos divisores naturaisdo nmero inteiro a, temos:1. D(a) = D( a), a 2. D(0) = e D(1) = D( 1) = { 1; 1}

3. Se a *, o nmero de elemen tos de D(a) finito.

Alm disso, se a * e se a = p .p .p ...p , em

que os inteiros p1, p2, p3, ..., pn so os divisores primos

naturais de a e os na turais k1, k2, k3, ..., kn os respec tivos

expoentes, ento

k11

k22

k33

knn

n [D+(a)] = (k1 + 1)(k2 + 1)(k3 + 1)...(kn +1)

n [D (a)] = 2. (k1 + 1)(k2 + 1)(k3 + 1)...(kn +1)

MDULO 30Mximo Divisor Comum,

Mnimo Mltiplo Comum e Propriedades

MDULO 31Nmeros Primos entre Si,

Critrios de Divisibilidade e Nmeros Reais


Simbolicamente

Se p primo e p divide a . b, ento p divide a ou pdivide b.

Simbolicamente

Se a divide x, b divide x e, alm disso, a e b soprimos entre si, ento a . b divide x.

Simbolicamente

CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE

Divisibilidade por 2Um nmero inteiro a divisvel por 2 se, e somente

se, o algarismo das unidades for 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.


se, a soma de seus algarismos for divisvel por 3.


se, o algarismo das unidades for 0 ou 5.


se, a diferena entre o nmero que se obtm de asuprimindo-se o algarismo das unida des e o dobro desteltimo (algaris mo das unidades) for divisvel por 7.


se, sendo x a soma dos algarismos de ordem mpar e ya soma dos algarismos de ordem par, ento x y divisvel por 11.


se, o nmero formado pelos algarismos das dezenas edas unidades de a (na ordem) for divisvel por 4.


se, a for divisvel por 2 e tambm por 3.


se, for divisvel por 2 e tambm por 5.

Assim sendo, a divisvel por 10 se, e somente se,o algarismo das unidades de a for zero.


se, a for divisvel por 3 e tambm por 5.

NMEROS DECIMAIS EXATOS

So os que apresentam um nmero finito de casasdecimais no nulas.

Exemplos2357

2,357 = 100075

0,75 = 100

NMEROS DECIMAIS NO EXATOS

So os que apresentam um nmero infinito decasas decimais no nulas.

Podem ser

Peridicos (dzimas)Exemplos2,333 ...

0,424242 ...

3, 52626262 ...

0, 73444 ...

no peridicos

Exemplos

2,252552555255552

= 3,1415926535

e = 2,71822818284590453

2 = 1,4142

3 = 1,7320Exemplos

Obter as fraes geratrizes das dzimasperidicas

a) 0,424242 b) 3,5262626

Resoluo

a) 0,424242 ... = =

b) 3,5262626= =

26 35 +

99= =

10

mdc(a; b) = mdc(a; a b) = mdc(b; a b)

p primo } p D(a) ou p D(b)p D(a.b)

a D(x) } ab D(x)b D(x)mdc (a, b) = 1

4299

1433

35,262626...

10

3491990

13


14

Ao escrevermos 2495, estamos representando cincounidades mais nove dezenas mais quatro centenas emais dois milhares.

Dessa forma, 2495 uma abreviao para

5 . 100 + 9 . 101 + 4 . 102 + 2 . 103.

Em cada nmero, alm do seu prprio valor (valorabsoluto), cada algarismo possui um peso (valorrelativo) que depende da sua posi o no nmero.

No nmero 2495, tem-se:

algarismo valor absoluto valor relativo

5 5 5 . 100 = 5

9 9 9 . 101 = 90

4 4 4 . 102 = 400

2 2 2 . 103 = 2000

NMEROS REAIS

O Conjunto Um nmero chamado real quan do inteiro ou

decimal. O con junto formado por todos os nme rosreais chamado conjunto dos n meros reais e representado por .

NOTAES* = {0}

+ = {x x 0}*+ = {x x > 0} = {x x 0}

* = {x x < 0}

NMEROS RACIONAIS ENMEROS IRRACIONAIS

O Conjunto Diz-se que um nmero real x racional se, e somente

se, existem n meros inteiros a e b, com b 0, tais que

x = .

O conjunto formado por todos os nmeros racionais

chamado conjunto dos nmeros reais racionais e

representado por .

= {x | x = , a , b *}Notar que

TeoremaSejam a e b *. O quociente (nmero racional)

da diviso de a por b, ou inteiro, ou deci mal exatoou decimal no exato peridico.

Consequncia do TeoremaOs nicos nmeros reais que no so racionais so os

nmeros deci mais no exatos e no peridi cos.

O Conjunto Diz-se que um nmero real irracional se, e

somente se, no racional. O conjunto formado portodos os nmeros irracionais cha ma do conjunto dosnmeros irracio nais e representado por .

= {x | x }Notar que

( ) =

( ) =

Propriedades do fechamento fechado em relao adi o (r + s), sub -

trao (r s), multi pli ca o (r . s) e diviso , s 0. Assim, a soma, a diferena, o produto e o quo ciente

, s 0 de dois n me ros racionais so sempre racio -nais.

no fechado em re la o adio,subtrao, multiplica o e diviso. Assim, a soma, a dife -ren a, o produto e o quociente de dois nmeros irracio -nais nem sempre so irracionais.

ConclusoDo exposto, sendo r e s nmeros racionais e e

nmeros irracionais, temos

Radical duploSe os nmeros naturais a e b so tais que

a b + e c = a2 b , ento

a b =

ab

ab

rs

rs

a + c

2

a c

2

r + s r + + r s r r . s r . (r 0) . r

(s 0) s

r (r 0)

MDULO 32 Sistemas de Numerao


Esse tipo de sistema chamado posicional. Opeso de cada algarismo depender do lugar, da posi-o que ele ocupa no nmero.

O sistema de numerao posicional preponderante o decimal, cujos algarismos so 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8e 9.

OUTROS SISTEMAS

No sistema de base sete, os algarismos so 0, 1, 2,

3, 4, 5 e 6. Num sistema de base b maior que 1, osalgarismos vo de 0 a b1, inclusive (0, 1, ..., b1).

Ao escrevermos (1425)7 =1425(7), estamos, abrevia -

damente, representando

5 . 70 + 2 . 71 + 4 . 72 + 1 . 73.

costume indicar a base quan do o sistema no

decimal.No nmero 1425(7), tem-se:

Assim sendo,1425(7) = 5 + 14 + 196 + 343 = 558

Se a base maior que dez, torna-se necessriorepresentar os naturais maiores que nove e menores que abase por novos smbolos. Uma con ven o utilizar as letrasdo alfabeto latino a, b, c, ... para indicar o 10, 11, 12, respectivamente. Outra nota o exis ten te (10), (11),(12), ..., que subs ti tuem 10, 11, 12, ..., respec tiva mente.

No sistema duodecimal, base doze, os algarismosso 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a e b, estes dois ltimospodendo ser substitudos, na ordem, por (10) e (11).

Representando 15a3b(12) = 15(10)3(11)(12),

estamos abreviando a soma

b . 120 + 3 . 121 + a . 122 + 5 . 123 + 1 . 124.No nmero 15a3b(12), tem-se

Assim sendo,15a3b(12) = 11 + 36 + 1440 + 8640 + 20736 = 30863

MUDANA DE BASE

Como exemplo, vamos examinar a representao donmero N = 558 = 1425(7) = 5 . 7

0 + 2 . 71 + 4 . 72 + 1 . 73

Todas as parcelas da soma in dicada, com exceoda primeira, so divisveis por 7 e, portanto, o pri meirocoeficiente (o algarismo 5) o resto da diviso de 558por 7.

De modo anlogo, pode-se con cluir que, dividindo,sucessivamente, por 7 cada quociente da diviso an te -rior, os restos so (na ordem inver sa) os algarismos donmero na base 7.

No caso, tem-se

Exemplos

1. Escrever o nmero 2134(5) no sis tema decimal.Resoluo

2134(5) = 4 . 50 + 3 . 51 + 1 . 52 + 2 . 53 =

= 4 + 15 + 25 + 250 = 294

2. Representar o nmero 44687 no sistema de base 12.Resoluo

Resposta: 44687 = 21(10)3(11)(12) = 21a3b(12)

3. Representar o nmero 425(7) na base 3.

Resoluo

a) 425(7) = 5 . 70 + 2 . 71 + 4 . 72 = 5 + 14 + 196 = 215

Resposta: 425(7) = 215 = 21122(3)


5 5 5 . 70 = 5

2 2 2 . 71 = 14

4 4 4 . 72 = 196

1 1 1 . 73 = 343


b b (onze) 11 . 120 = 11

3 3 3 . 121 = 36

a a (dez) 10 . 122 = 1 440

5 5 5 . 123 = 8 640

1 1 1 . 124 = 20 736

b) 215 3 2 71 3 2 23 3 1 7 3 1 2

15


16

Nmero complexo um par orde nado (x, y) de

nmeros reais.

Representando por o conjunto dos nmeros

complexos, temos

Sendo (a, b) e (c, d) , definimos em :

Adio(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)Multiplicao(a, b) . (c, d) = (ac bd, ad + bc)(C, +, ) o corpo dos nmeros complexos.

FORMA ALGBRICA

Decorre da definio que(x, 0) = x, isto , (x, 0) e x so isomorfos.

Se i = (0, 1), ento i2 = 1(0, y) = (y, 0) (0, 1) = yi(x, y) = (x, 0) + (0, y)(x, y) = x + yi

Nomenclaturaz a notao usual de um elemento de C.x a parte real de z : x = Re(z).yi a parte imaginria de z.y o coeficiente da parte imaginria: y = Im(z).

i = (0, 1) a unidade imaginria.y = 0 z = x + yi = x z real.x = 0 z = x + yi = yi z imaginrio puro.z = a bi chamado conjugado de z.

OPERAES NA FORMA ALGBRICA

Adio: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) . i

Subtrao: (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d) . i

Multiplicao: (a + bi)(c + di) == ac + adi + bci + bdi2 = (ac bd) + (ad + bc) i

a+bi a+bi cdiDiviso: = =

c+di c+di cdi

(...) + (...)i (...) (...)= = + i

c2 + d2 c2 + d2 c2 + d2

com c + di 0

POTNCIAS DE i

sendo n e r {0, 1, 2, 3} o resto da diviso de n

por 4.

Observe que

in + in + 1 + in + 2 + in + 3 = 0, n .

= {(x, y) x e y }

i0 =1 i1=i i2=1 i3= i in = ir

MDULOS 33 e 34Definio de Nmero Complexo

e Operaes na Forma Algbrica

Sendo z = x + yi, com x, y , um nmerocomplexo, temos

Mdulo de z

Indica-se z ou

Define-se

Argumento de z 0Indica-se arg z ou Define-se

FORMA TRIGONOMTRICA

Se z = x + yi um nmero complexo diferente dezero, ento a forma trigonomtrica de z

Observe que

z = cos + isen

z = (cos + i sen )

z = = x2 + y2

0 < 2

xarg z = cos = ysen =

z = (cos + i sen )

z = x + yix = cos y = sen

MDULO 35 Forma Trigonomtrica


17

Sejam z, z1 e z2 trs nmeros complexos diferentesde zero, tais que:

Multiplicao

Diviso

Potenciao com expoente inteiro

Observe que:

z1 .z2 = [1(cos 1 + i sen 1)] .

. [2(cos 2 + i sen 2)] =

= (1 . 2) . (cos 1 . cos 2 + i .

. cos 1 . sen 2 + i sen 1 . cos 2 +

+ i2 sen 1 . sen 2) =

= (1 . 2) [(cos 1 . cos 2 sen 1 . sen 2) +

+ i . (cos 1 . sen 2 + sen 1 . cos 2)] =

= (1 . 2) [cos(1 + 2) + i sen(1 + 2)]

z = (cos + i sen )z1 = 1(cos 1 + i sen 1)z2 = 2(cos 2 + i sen 2)

z1 . z2 = (1 . 2) . [cos (1 + 2) ++ i . sen (1 + 2)] (z1,z2 *)

z1 1 = [cos (1 2) + i . sen (1 2)]z2 2

(z1,z2 *)

zn = n . [cos (n) + i . sen (n)](Frmula de Moivre) (n )

REPRESENTAO GEOMTRICA

Consideremos num plano, cha ma do Plano deArgand-Gauss ou Plano Complexo, um sistema de coordenadas cartesianas ortogo nais xOy e nele, um ponto P de coorde nadas x e y. Lembrando que z = (x, y) = x + yi, conclumos que existe umacorrespondncia biunvo ca entre os pontos do plano e os

n me ros complexos. Em outras palavras, o conjunto dosnmeros com plexos pode ser representado geometrica -mente pelos pontos do plano. O ponto P a imagemgeomtrica de z ou o afixo de z.

z = (x, y) = x+ yi = (cos + i . sen)

forma de par

ordenado

forma algbrica

forma trigonomtrica

P (x, y)

O x

y

y

x

MDULO 36Operaes na Forma Trigonomtrica:Multiplicao, Diviso e Potenciao


18

FRENTE 2 lgebra

MDULO 11 Progresses Aritmticas

1. DEFINIO DE SEQUNCIAS

Chama-se SEQUNCIA DE N ME ROS REAIS, ou,

simplesmente, se quncia real, a qualquer funo f de

* em .

f : *

n f(n) = an

Notaes

f = (an) = (a1, a2, a3, , an, )

Os nmeros reais a1, a2, a3, , an, so chama dos

TERMOS da sequn cia.

2. LEIS DE FORMAO

Termo em funo da posioExpressa an em funo de n.

Exemplo

Determine o domnio, o contra do mnio e a imagem

da sequncia f : * , tal que f(n) = an = (1)n+1.

Se (an) = (a1,a2,a3,,an,) = (1; 1; 1;(1)n+1,),

ento: D(f) = *, CD(f) = , lm(f) = {1, 1}.

Lei de recorrnciaFornece o 1o. termo a1 e expressa um termo qualquer

an+1 em funo do seu antecedente an.

Exemplo

Determine o domnio, o contra do m nio e a imagem

da sequncia f : * , tal que a1 = 2 e an+1 = an+ 2n.

Se (an) = (a1, a2, a3, , an,) = (2, 4, 8, 14, 22, ),

ento:D(f) = *, CD(f) = ,

lm(f) = {2, 4, 8, 14, 22,}.

3. CLASSIFICAO DAS SEQUNCIAS

Sequncias monotnicas

1. (an) ESTRITAMENTE CRES CENTE se, e somente

se, an < an+1, n *.

2. (an) CRESCENTE se, e so mente se, an an+1,

n *.

3. (an) ESTRITAMENTE DE CRES CENTE se, e

somente se, an > an+1, n *.

4. (an) DECRESCENTE se, e so mente se, an an+1,

n *.

5. (an) CONSTANTE se, e so men te se, an = an+1,

n *.

Sequncias alternantesUma sequncia (an) ALTERNANTE se, e somente

se, (an) NO MONOTNICA.

4. DEFINIO DE PA

Sejam a e r dois nmeros reais. Chama-se PRO -

GRESSO ARITM TICA (PA) SEQUNCIA f = (an), tal

que:

ou seja, (an) = (a, a + r, a + 2r, a + 3r, ...).

O nmero real r chama-se RAZO da PA

Segue da definio que:

Assim, r = a2 a1 = a3 a2 = a4 a3 = ...

a1 = aan + 1 = an + r, n *,

r = an + 1 an, n *


19

Exemplos

(an) = ( 10, 8, 6, 4, ...) uma PA de razo 2.

(an) = (10, 8, 6, 4,...) uma PA de razo 2.

(an) = (10, 10, 10, 10, ...) uma PA de razo 0.

5. CLASSIFICAO

Se (an) uma PA, ento:

(an) estritamente crescente r > 0

(an) estritamente decrescen te r < 0

(an) constante r = 0

6. TERMO GERAL DE UMA PA

Pela definio de PA, podemos concluir que:

Se an e am so dois termos quais quer de uma PA

ento:

ExemploNa progresso aritmtica (an) = (5, 8, 11, ...), o

dcimo termo pode ser obtido por:

a10 = 5 + 9 . 3 = 32

ou

a10 = 11 + 7 . 3 = 32an = a1 + (n 1) . r

an = am + (n m) . r

a10 = a1 + (10 1) . ra1 = 5 e r = 3

a10 = a3 + (10 3) . ra3 = 11 e r = 3

MDULOS 12 e 13 Propriedade e Soma dos Termos de uma PA

1. TERMOS EQUIDISTANTES DOS EXTREMOS

DefinioDois termos so chamados equidistantes dos ex -

tremos se o nmero de termos que precede um deles

igual ao nmero que sucede o outro.

a1,............, ap,............,ak,..........., an

(p 1) termos (n k) termos

Se ap e ak so termos equidistantes, ento:

p 1 = n k

TeoremaA soma de dois termos equidistantes dos extre -

mos igual soma dos extremos, isto ,

2. PROPRIEDADE DA PROGRESSO ARITMTICA

Cada termo de uma PA a MDIA ARITMTICA

entre o termo anterior e o posterior.

Seja a PA: (a1, a2, a3, ..., ap1, ap, ap+1, ...), ento:

3. SOMA DOS PRIMEIROS n TERMOS DE UMA PA

TeoremaSe (an) uma PA e Sn a SOMA DOS PRIMEIROS n

termos de (an), ento:

ExemploObter a soma dos n primeiros nmeros naturais

mpares:

Resoluo

Na PA (an) = (1, 3, 5, 7, ), tem-se:

an = 1 + (n 1) . 2 an = 2n 1

p + k = 1 + n

ap + ak = a1 + an

ap 1 + ap + 1ap =

2

(a1 + an) . nSn =

2

an = a1 + (n 1). r

a1 = 1 e r = 2


20

MDULO 14 Progresses Geomtricas

1. DEFINIO

Sejam a e q dois nmeros reais. Chama-se PRO -

GRESSO GEO M TRICA (PG) SEQUNCIA

f = (an), tal que:

{a1 = aan + 1 = an . q, n *Portanto:

(an) = (a, aq, aq2, aq3,...)

O nmero real q chama-se RAZO DA PG

Segue da definio que, se a1 0 e q 0, ento:

an + 1q = , n *

an

a2 a3 a4Assim, q = = = = ...

a1 a2 a3

2. CLASSIFICAO

Se (an) uma PG, ento:

(an) ESTRITAMENTE CRESCENTE

a1 > 0 e q > 1{ ou

a1 < 0 e 0 < q < 1

(an) ESTRITAMENTE DE CRES CENTE

a1 > 0 e 0 < q < 1{ oua1 < 0 e q > 1

(an) CONSTANTE q = 1 e a1 0

(an) SINGULAR a1 = 0 ou q = 0

(an) ALTERNANTE a1 0 e q < 0

3. TERMO GERAL DE UMA PG

Pela definio de PG, podemos concluir que:

Se an e am so dois termos quaisquer de uma PG

NO SINGULAR, ento:

Exemplo

Na PG (an) = (1, 2, 4, 8, ...), o dcimo termo pode ser

obtido por:

a10 = a1.q10 1 } a10 = 1 . 29 = 512a1 = 1 e q = 2

ou

a10 = a4.q10 4 } a10 = 8 . 26 = 512a4 = 8 e q = 2

Assim: (a1 + an) . nSn = 2

a1 = 1 e an = 2n 1 (1 + 2n 1) . nSn = = n22


21

1. TERMOS EQUIDISTANTES

O produto de dois termos equidistantes dos extre -mos igual ao produto dos extremos.

, com p + k = 1 + n

2. MDIA GEOMTRICA

Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, a

MDIA GEOM TRICA entre o termo anterior e o posterior.

Seja a P.G.: (a1, a2, ..., ap 1, ap, ap + 1...)

Ento:

Exemplo

Se (an) = (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...) uma

P.G., ento

a1 . a9 = a2 . a8 = a3 . a7 = a4 . a6 = a52 ,

pois 1 . 256 = 2 . 128 = 4 . 64 = 8 . 32 = 162

3. PRODUTO DOS nPRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.

TeoremaSe (an) uma P.G. e Pn PRO DUTO DOS n PRI MEI -

ROS TERMOS, ento:

ObservaoA frmula acima nos permite calcular o mdulo do

produto; para obter o sinal de Pn, basta analisar o sinaldos termos.

ExemploNa P.G. (an) = (1, 3, 9, 27, 81 ), o produto dos 8

primeiros termos 328, pois:

q = = = 3

a8 = a1 . q7 a8 = 1.(3)

7 = (1) . 37

|P8| = (a1 . a8)8 = (1. (1).37)8 = 356 |P8| = 328

Dos 8 termos, 4 so estrita mente positivos e 4 so

estritamente negativos.

Assim, como a quantidade dos negativos par (4),

o produto ser positivo.

Logo, P8 = 328

4. SOMA DOS nPRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.

Teorema

Se (an) uma P.G. de razo q e Sn a soma dos n

primeiros termos de (an), ento:

, se q = 1

ou

, se q 1

Exemplo

A soma dos 10 primeiros termos da P.G.

(an) = (1, 3, 9, 27, 81, ) 29524, pois:

q = = = 3

S10 =

S10= = S10 = 29524

ap . ak = a1 . an

ap2 = ap 1 . ap + 1

|Pn| = (a1 . an)n

a2a1

3

1

Sn = n . a1

a1 . (1 qn )

Sn = 1 q

a1. (qn 1)

Sn = q 1

a2a1

31

a1 . (q10 1)

q 1

1 . (310 1)

3 1310 1

2

MDULO 15Progresso Geomtrica:

Propriedades e Frmula do Produto


22

1. SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DEUMA P.G.

Se (an) uma P.G. de razo q 1 e Sn a soma dosn primeiros termos de (an), ento:

Exemplo

A soma dos dez primeiros ter mos da P.G.

(an) = (1, , , , ...) , pois

S10 = = =

2. PROGRESSO HARMNICA (P.H.)

Seja (an) uma sequncia de termos no nulos. A

sequncia (an) uma PROGRESSO HARMNICA (P.H.)

se, e somente se, a sequncia uma PRO -

GRESSO ARIT MTI CA (P.A). Isto , a sequncia (a1, a2,

..., an ...) uma P.H. se, e somente se, a sequncia:

( ; ; ; ; ) uma P.A.Exemplo

O nono termo da P.H.

(an) =( , , , ) , pois: Se ( , , , ) P.H., ento (9, 7, 5 ) P.A. Na P.A. (9, 7, 5, ...), o nono ter mo :

a9 = a1 + 8r a9 = 9 + 8 . ( 2) a9 = 7

O nono termo da P.H. =

3. O LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA P.G.

Seja (an) uma P.G. de razo q tal que .

A soma S dos infinitos termos da P.G. existe, finita

e pode ser obtida calculando-se Sn.

De fato

1 < q < 1 (qn) = 0, portanto,

S = a1 + a2 + a3 + ... = Sn =

= = =

Assim sendo, a soma dos infinitos termos de uma

P.G. de razo q, com 1 < q < 1,

O limite da soma dos infinitos termos da P.G.

(an) = (1, , , , ) 2, pois

S = a1 + a2 + a3 + ... = 1 + + + ... o limite

de Sn quando n tende a infinito com a1 = 1 e q = .

Assim,

S = = =

= = = 2

a1 . (1 qn) a1 . (q

n 1)Sn = = 1 q q 1

12

14

18

1023512

a1 . (1 q10)

1 q

11 . (1 ()10)2

11

2

1023

512

1an

1a1

1a2

1a3

1an

19

17

15

17

19

17

15

1

7

1

7

1 < q < 1

limn +

limn +

limn +

limn +

a1 . (1 qn)

1 q

a1 . (1 0)1 q

a11 q

a1S = 1 q

12

14

18

12

14

12

lim Snn +

limn +

a1(1 qn)

1 q

a11 q

1

1 1

2

MDULOS 16 e 17Soma dos Termos de uma

Progresso Geomtrica e Progresso Harmnica


23

1. DEFINIES

Definio de matriz m x n

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n

M = ......am1 am2 ... amn

ou M = (aij)mxn

m = nmero de linhas

n = nmero de colunas

m n matriz retangular

m = n matriz quadrada

m = 1 matriz linha

n = 1 matriz coluna

Exemplo

M = [aij]2x3 tal que aij = i + j a matriz retangular de

ordem 2x3 com

a11 = 1 + 1 = 2;

a12= 1 + 2 = 3;

a13= 1 + 3 = 4

a21 = 2 + 1 = 3;

a22= 2 + 2 = 4;

a23= 2 + 3 = 5

Logo:

2 3 4 M =

3 4 5

Matriz nula de ordem m x n

0 = (xij)mxn tal que xij = 0

0 ... 0 ...... 0 0 ... 0 ...... 0

0mxn = ....0 ... 0 ...... 0 m x n

Matriz unidade (ou identidade de ordem n)

In = (xij)nxn tal que:

xij = 1 se i = j

xij = 0 se i j

1 0 0 .......... 0 0 1 0 .......... 0

In = ................... 0 ................... 1 00 0 .............. 1 n x n

Exemplo

1 0 0 I3 = 0 1 0

0 0 1

a matriz identidade de ordem 3.

Matriz oposta

Sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, define-se

B = ( A) bij = aij.

a11 a12 ............. a1n....................................

A =....................................

am1 am2 .......... amn

a11 a12 ....... a1n......................................

A =...................................... am1 am2 ....... amn

Matriz transposta

Sendo A = (aij)mxn, define-se a matriz transposta de

A como sendo a matriz

At = (a'ji)nxm tal que a'ji = aij

a11 a12 ......... a1na21 a22 ......... a2nA =..............................

am1 am2 ........ amn m x n

a11 a21 ......... am1a12 a22 ......... am2. . .

At = . . .. . .

a1n a2n ......... amn n x m

MDULO 18 Matrizes: Definies e Operaes


Exemplo

A matriz linha Mt = (1 2 3) a matriz transposta da

matriz coluna

1 M = 2( 3 )

2. IGUALDADE

Sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, define-se

A = B aij = bij

a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n... = .. am1 am2 ... amn bm1 bm2 ... bmn

3. OPERAES

Adio

Sendo A = (aij)mxn, B = (bij)mxn e C = (cij)mxn, defi -

ne-se

C = A + B cij = aij + bij

a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n............................ + ............................... =am1 am2 ... amn bm1 bm2 ... bmn

(a11 + b11) (a12 + b12) ... (a1n + b1n)= .......................................................

(am1 + bm1) (am2 + bm2) ... (amn + bmn)

Exemplo

1 2 c d + =

a b 3 4

1 + c 2 + d =

a + 3 b + 4

Subtrao

A B = A + ( B)

Multiplicao escalar (de nmero real por matriz)

Sendo A = (aij)mxn, B = (bij)mxn e um nmero real

qualquer, define-se:

B = . A bij = . aij

a11 a12 ... a1n . .......................... =

am1 am2 ... amn

( . a11) ( . a12)( . a1n)

= ...........................................

( . am1)( . am2)( . amn)

Exemplo

a b c 5a 5b 5c5 . =

1 2 3 5 10 15

a11 = b11a12 = b12....................

a1n = b1n....................

amn = bmn

24


25

A partir das frmulas de adio de arcos: cos (a + b) = cos a . cos b sen a . sen b

sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b

tg a + tg b tg (a + b) =

1 tg a . tg bpodemos obter as frmulas do arco duplo.

Frmulas do arco duploSo as expresses das funes trigonomtricas de

arcos da forma 2.a. um caso particular de adio de

arcos. suficiente fazer b = a nas frmulas acima.

Clculo de cos (2.a)cos (2. a) = cos (a + a) = cos a . cos a sen a . sen a Assim,

ou ainda

a) cos (2.a)=cos2a (1 cos2a) = cos2a 1 + cos2a

cos (2 . a) = cos2a sen2a

cos (2 . a) = 2 . cos2a 1

FRENTE 3 Trigonometria e Geometria Analtica

MDULO 11 Adio e Subtrao de Arcos

Se a e b so as determinaes de dois arcos,verifica-se que: Cosseno de (a + b)

Cosseno de (a b)cos(a b) = cos[a + ( b)] == cos a . cos( b) sen a . sen ( b) Como cos ( b) = cos b e sen ( b) = sen b, temos:

Seno de (a + b)

sen (a + b ) = cos (a + b) =

= cos a b =

= cos a . cos b + sen a . sen b

Como cos a = sen a

e

sen a = cos a, temos:

Seno de (a b)sen(a b) = sen[a + ( b)] == sen a. cos( b)+cosa . sen( b)Como cos ( b) = cos b e

sen ( b) = sen b, temos:

Tangente de (a + b)

tg(a + b) = =

=

Dividindo o numerador e o deno minador por

cos a . cos b 0, temos

tg(a + b) =

Portanto:

Observao

a, b e (a + b) devem ser dife ren tes de + n .

(n ).

Tangente de (a b)

tg (a b) = tg [a + ( b)] =

Como: tg( b) = tg b, temos:

Observao

a, b e (a b) devem ser diferen tes de + n .

(n ).

cos(a + b) = cos a . cos b sen a . sen b

cos(a b) = cos a . cos b + sen a . sen b

2

2

2

2

2

2 sen(a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b

sen(a b) = sen a . cos b cos a . sen b

sen(a + b)

cos(a + b)

sen a . cos b + cos a . sen b

cos a . cos b sen a . sen b

sen a sen b + cos a cos b

sen a sen b

1 . cos a cos b

tg a + tg btg(a + b) =

1 tg a . tg b

2

tg a + tg ( b)

1 tg a . tg ( b)

tg a tg btg(a b) =

1 + tg a . tg b

2

MDULOS 12 e 13 Frmulas do Arco Duplo


26

b) cos (2.a) = (1 sen2a) sen2a

Clculo de sen (2.a)sen (2.a) = sen (a + a) = sen a . cos a + cos a . sen a

Assim,

Clculo de tg (2.a)

tg(2.a) = tg (a + a) =

Assim,

com a + n . e a + n . (n )

cos (2 . a) = 1 2 . sen2a

sen (2 . a) = 2 . sen a . cos a

tg a + tg a

1 tg a . tg a

2 . tg atg (2 . a) =

1 tg2a

2

4

2

1. FRMULAS DO ARCO TRIPLO

So as expresses das funes trigonomtricas dearcos da forma 3 . a.

Clculo de cos (3 . a)cos (3a) = cos (2a + a) cos (3a) = cos (2a) . cos a sen (2a) . sen a cos (3a) = (2 . cos2a 1) . cos a (2 . sen a . cos a) . sen acos (3a) = 2 . cos3a cos a 2 . cos a . (1 cos2a) cos (3a) = 2 . cos3 a cos a 2 . cos a + 2 . cos3aAssim,

Clculo do sen (3 . a)sen (3a) = sen (2a + a) sen (3a) = sen (2a) . cos a + cos (2a) . sen a sen (3a) = 2 . sen a . cos a . cos a ++ (1 2 . sen2a) . sen a sen (3a) = 2 . sen a . (1 sen2a) + sen a 2 . sen3a sen (3a) = 2 . sen a 2 . sen3a + sen a 2 . sen3aAssim,

2. FRMULAS DE TRANSFORMAO EM PRODUTO

O problema consiste em transformar certas expres -ses em que aparecem soma de funes trigonom tri -cas de um ou mais arcos em expresses em queaparecem apenas produtos de funes trigono m tri -cas dos mesmos arcos ou de outros arcos com eles rela -cionados.

Foi visto que:cos (a + b) = cos a . cos b sen a . sen b (I)cos (a b) = cos a . cos b + sen a . sen b (II)sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b (III)sen (a b) = sen a . cos b cos a . sen b (IV)Somando-se (ou subtraindo-se) convenientemente

estas ex presses, e fazendo-se

, obtm-se:

I + II:

I II:

III + IV:

III IV:

que so chamadas Frmulas de Transformaoem Produto ou Frmulas de Prostafrese.

3. APLICAO

Transformar em produto a expresso: cos 5x + cos 3x

Resoluo

cos 5x + cos 3x = 2.cos .cos =

= 2 . cos (4x) . cos x

Simplificar a expresso: E =

Resoluo

E = =

= = tg (5x)

cos(3 . a) = 4 . cos3a 3 . cos a

sen (3 . a) = 3 . sen a 4 . sen3a

a + b = pa b = q p + q

a = 2

p qb =

2

p + q p qcos p + cos q = 2 . cos (). cos ()2 2

p + q p qcos p cos q = 2 . sen (). sen ()2 2

p + q p qsen p + sen q = 2 . sen (). cos ()2 2

p + q p qsen p sen q = 2 . cos (). sen ()2 2

( 5x + 3x2 ) ( 5x 3x2 )sen 7x + sen 3x

cos 7x + cos 3x

sen 7x + sen 3x

cos 7x + cos 3x

=

7x + 3x 7x 3x2.sen().cos()2 2

7x + 3x 7x 3x2.cos().cos()2 2

=

2 . sen (5x) . cos (2x)2 . cos (5x) . cos (2x)

MDULO 14Frmulas do Arco Triplo e

Transformao em Produto


27

A trigonometria permite deter minar elementos (la dosou ngulos) no dados de um tringulo.

A obteno desses elementos, em um tringulo qual -quer, fundamen ta-se em relaes existentes entre oselementos (lados e ngulos) do trin gulo. As relaesmais impor tantes so conhecidas como Lei dos Se nose Lei dos Cossenos.

Lei dos SenosEm todo tringulo, as medidas dos lados so pro -

porcionais aos senos dos ngulos opostos e a razo deproporcionalidade a medida do dimetro da cir cun -ferncia circuns crita ao tringulo.

Consideremos o tringulo ABC, inscrito na circunfe -rncia de raio R. Verifica-se que:

Demonstrao:Seja o tringulo ABC (da figura abaixo), inscrito na

circunferncia de raio R:

I) Se BD__

= 2 . R dimetro da circunferncia, ento

C^

= 90 e, portanto,

sen D =

sen D = 2R =

II) Como BA^C BD^C (so ngulos inscritos deter mi -

nan do o mesmo arco BC), ento sen D= sen A.

De I e II, resulta que:

2 . R = 2 . R =

Analogamente se demonstra que:

2 . R = e 2 . R =

Lei dos Cossenos"Em todo tringulo, o quadrado da medida de um

lado igual soma dos quadrados das medidas dos ou -tros lados, menos o dobro do produto dessas me di daspelo cosseno do ngulo que eles formam."

Seja o tringulo ABC, da figura. Verifica-se que:

Demonstrao:

a b c = = = 2 . RsenA sen B sen C

B

A

R

b

a

c

O

C

OB

A

a

C

D

BCBD

BC2 . R

BCsen D

BCsen A

asen A

bsen B

csen C

A

B Ca

c b

a2 = b2 + c2 2 . b . c . cos A

b2 = a2 + c2 2 . a . c . cos B

c2 = a2 + b2 2 . a . b . cos C

A CD

b

ch

a

B

MDULO 15Relaes Trigonomtricas em um Tringulo Qualquer


28

INTRODUO

Considere dois eixos, Ox

(eixo das abscissas) e Oy

(eixo das ordenadas), perpendiculares no ponto O. Oplano determinado pelos 2 eixos fica dividido em 4 qua -drantes, numerados conforme a figura.

Tomemos um ponto P do plano e por ele con duza -

mos as paralelas aos eixos, que cor taro Ox

e Oy

, res -

pectivamente em P1 e P2.

NOMENCLATURA

Abscissa de P o nmero real x = OP1 Ordenada de P o nmero real y = OP2 Coordenadas de P so os nmeros reais x e y,

indicados na forma de par ordenado P (x; y)

Observe que:

Sinais dos pontos nos quadrantes

y

O

P2

P1

P

x

II I

IVIII

II I

IVIII

;( +)

( ; )

(+ ; +)

(+ ; )

y

xO

P Ox

y = 0

y

0

P (x; 0)

x

P Oy

x = 0

y

0 x

P (0; y)

AB

paralelo a Ox

yA = yB

y

A B

xA xB X

y = yA B

O

AB

paralelo a Oy

xA = xB

y

Xx = xA B

yA

yB

0

A

B

Seja o tringulo ABC (da figura anterior) e h a altura

relativa ao lado AC:

I) No ABD, temos:

cos A = AD = c . cos A

II)CD = b AD CD = b c . cos A

De I e II e como h2 = c2 AD2 = = a2 CD2 (Teoremade Pitgoras), resulta que:

a2 (b c . cos A)2 = c2 (c . cos A)2

a2 b2 + 2 . b . c . cos A c2 . cos2A =

= c2 c2 . cos2A

a2 = b2 + c2 2 . b . c . cos A.

Tomando-se as outras alturas do tringulo, de modoanlogo, obtm-se:

b2 = a2 + c2 2 . a . c . cos B

c2 = a2 + b2 2 . a . b . cos C

ADAB

MDULO 16 Coordenadas Cartesianas Ortogonais


29

1. REA DE UM TRINGULO

Dados trs pontos distintos, A(xA; yA), B(xB; yB)

e C(xC; yC), temos duas posies a considerar:

os trs pontos esto alinhados;

os trs pontos constituem um tringulo.

Considerando-se o determinante

xA yA 1D = xB yB 1|xC yC 1| ,

constitudo pelos pontos A, B e C, verifica-se que:

a condio necessria e suficiente para que A, B

e C sejam colineares ;

a condio necessria e suficiente para que A, B

e C formem um tringulo ;

se A, B e C formam um tringulo, sua rea ser

igual a

Exemplos1) Obter a rea do tringulo com vrtices A ( 2; 3),

B (4; 0) e C (1; 5).Resoluo

2 3 1D = 4 0 1 | 1 5 1 | = 3 + 20 12 + 10 = 21SABC = = = 10,5 u.a.

2) Determinar k, para que os pontos A(k; 2), B(1; 3)e (1; 0) sejam colineares.

Resoluok 2 1

A, B, C alinhados D = 0 1 3 1 = 0 | 1 0 1 | 3 . k + 2 3 + 2 = 0 k =

D = 0

D 0

|D|SABC = 2

|D|2

212

13

1. PONTO MDIO DE UM SEGMENTO

Sejam A(xA; yA), B(xB; yB) e o ponto M(xM; yM),

mdio de AB__

.

Pelo Teorema de Tales, conclui-se que:

xM =

e

yM =

Portanto, as coordenadas do ponto M so

2. DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Sejam A (xA; yA) e B (xB; yB). Pelo Teorema de

Pitgoras, temos:

y

yB

yM

yA

O xAx

Mx

Bx

A

M

B

xA + xB

2

yA + yB

2

xA + xB yA + yBM ( ; )2 2

y

yB

yA

A

B

dy - yB A

xBxA xO

x - xB A

d = (xB xA)2 + (yB yA)2

MDULO 17 Ponto Mdio Distncia entre Dois Pontos

MDULO 18 Alinhamento de 3 Pontos Curvas


2. CURVAS

Seja s uma curva num sistema de coordenadas car te -sianas ortogonais e f (x; y) = 0 a sua equao. Note que

todos os pontos da curva s satisfazem equa o; todas as solues da equao representam pon -

tos da curva s.

Obs.: Dentre as principais curvas, estudaremos comdetalhes a reta e a circunferncia.

No estudo das curvas, dois problemas devem serdestacados.

1o. ) Interceptos (interseco da curva com oseixos coordena dos).

Lembrando que, para se obter pon tos de uma cur va,

basta atribuir valores a x ou y na equao da curva, adeterminao dos intercep tos feita da seguinte

maneira:

interceptos no eixo x: faz-se y = 0, na equao dacurva, calculando-se o valor de x.

interceptos no eixo y: faz-se x = 0, na equao dacurva, calculando-se o valor de y.

Na figura, A(xA; 0) o intercepto no eixo x e B(0; yB)

o intercepto no eixo y.

2 o. ) Interseco de duas curvas

As interseces de duas curvas so os pontos de

encontro entre elas.

As coordenadas dos pontos de interseco so

as solues reais, obtidas na resoluo do sistema

determinado pelas equa es das duas curvas.

Na figura, P(xP; yP) o ponto de interseco entre

as curvas s1 e s2.

y

x

P (x; y)

s

f (x; y) = 0

y

B (0; y )B

A (x ; 0)A

s

x

y

Py

P

s2

x

s1

x P

30


31

Elementos

BC__

a hipotenusa

AB__

e AC__

so os catetos

AH__

a altura relativa hipotenusa

BH__

e CH__

so, respectivamente, as projees dos

catetos AB__

e AC__

sobre a hipotenusa BC__

.

Relaes

No tringulo retngulo ABC da figura, sendo BC = a,

AC = b, AB = c, AH = h, BH = m e CH = n, ento valem as

seguintes relaes:

1) b2 = a . n (Relaes de Euclides)

2) c2 = a . m }3) a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitgoras)

4) h2 = m . n

5) b . c = a . h

Demonstraes

1) Os tringulos HCA e ACB so semelhantes pelo

critrio (AA ~).

Assim:

= =

2) Os tringulos HBA e ABC so semelhantes pelo

critrio (AA ~ ).

Assim:

= =

3) Somando membro a membro as relaes demons -

tradas nos itens 1 e 2, tem-se:

an + am = b2 + c2 a(n + m) = b2 + c2

a . a = b2 + c2

4) Os tringulos HBA e HAC so semelhantes pelo

critrio (AA ~).

Assim:

= =

5) Os tringulos HBA e ABC so semelhantes pelo

critrio (AA ~).

Assim:

= =

HCAC

CACB

nb

ba

b2 = a . n

HBAB

BABC

mc

ca

c2 = a . m

a2 = b2 + c2

HBHA

HAHC

mh

hn

h2 = m . n

HAAC

BABC

hb

ca

b . c = a . h

FRENTE 4 Geometria Plana

MDULO 11 Relaes Mtricas nos Tringulos Retngulos


32

1. TRINGULO ACUTNGULO

Em todo tringulo acutngulo, o quadrado da

medida do lado oposto a um n gu lo agudo igual

soma dos qua drados das medidas dos outros dois lados,

MENOS duas vezes o produto da medida de um deles

pela medida da projeo do outro sobre ele.

Assim, no tringulo acutngulo ABC da figura,

tem-se:

Demonstrao

1) c2 = h2 + m2 h2 = c2 m2 h2 = c2 (a n)2

2) b2 = h2 + n2 h2 = b2 n2

De (1) e (2), tem-se:

c2 (a n)2 = b2 n2

2. TRINGULO OBTUSNGULO

Em todo tringulo obtusngulo, o quadrado damedida do lado opos to ao ngulo obtuso igual somados quadrados das medidas dos ou tros dois, MAIS duasvezes o pro du to da medida de um deles pela me dida daprojeo do outro sobre ele.

Assim, no tringulo obtusngulo ABC da figura,

tem-se:

Demonstrao

1) c2 = h2 + m2 h2 = c2 m2 h2 = c2 (a + n)2

2) b2 = h2 + n2 h2 = b2 n2

De (1) e (2), tem-se:

c2 (a + n)2 = b2 n2

Exemplo

Com os dados da figura seguin te, na qual a = BC,

b = AC, c = AB, m = BD, n = DC e x = AD, prove que:

b2m + c2n = ax2 + amn

Resoluo

Seja z a medida da projeo de AD__

sobre BC__

.

No tringulo obtusngulo ADC, tem-se:

b2 = x2 + n2 + 2nz

b2m = mx2 + mn2 + 2mnz (I)

No tringulo acutngulo ABD, tem-se:

c2 = x2 + m2 2mz c2n = nx2 + m2n 2mnz (II)

Somando-se (I) e (II), membro a mem bro, tem-se:

b2m + c2n = mx2 + nx2 + mn2 + m2n

b2m + c2n = (m + n)x2 + (m + n)mn

b2m + c2n = ax2 + amn

3. NATUREZA DE TRINGULOS

Sendo a, b e c as medidas dos lados de um trin -gulo e a a maior delas, tm-se:

a2 < b2 + c2 tringulo acutngulo

a2 = b2 + c2 tringulo retngulo

a2 > b2 + c2 tringulo obtusngulo

c2 = a2 + b2 2 an

c2 = a2 + b2 2 an

c2 = a2 + b2 + 2 an

c2 = a2 + b2 + 2 an

MDULO 12 Relaes Mtricas nos Tringulos Quaisquer


33

1. DEFINIO

Entende-se como lugar geom trico dos pontos quepossuem a pro priedade P um conjunto de pontos taisque eles, e somente eles, pos suem a propriedade P.

Assim, se uma figura um lugar geo mtrico, entotodos os seus pon tos possuem uma certa proprie dade etodos os pontos que pos suem essa propriedadepertencem figura.

2. PRINCIPAIS LUGARES GEOMTRICOS PLANOS

Circunferncia (LG-1)Circunferncia o lugar geom trico dos pontos de um

plano, cujas distncias a um ponto fixo desse pla no so

uma constante (e igual ao raio).

C o centro da circunferncia.R o raio da circunferncia.

Par de paralelas (LG-2) O lugar geomtrico dos pontos de um plano que

distam K de uma reta desse plano um par de retas

paralelas a esta, situadas no plano e a uma distncia K

desta reta.

Observe que qualquer ponto de r1 ou r2 est a uma

distncia K de r e vice-versa.

Mediatriz (LG-3)Mediatriz de um segmento a reta perpendicular ao

segmento dado no seu ponto mdio.

Exemplo

Na figura, como AM

BM e MAB

AB, tem-se

que MAB me dia triz do segmento AB.

Pode-se ainda definir mediatriz como o lugargeomtrico dos pontos de um plano que equidistam dedois pontos (distintos) dados des se plano.

Assim, se MAB__ a mediatriz do segmento AB

__da

figura, ento qual quer ponto de MAB__ equidista de A e B,

e qualquer ponto do plano que equidiste de A e B

pertence a MAB__.

Notao

X MAB__ AX

__ BX

__

Bissetriz (LG-4)Bissetriz o lugar geomtrico dos pontos de um

plano que equi dis tam dos lados de um ngulo desseplano.

Exemplo

Ox

a bissetriz do ngulo rO^

s da figura. P Ox

se,

e somente se, as distncias de P a Or

e Os

forem iguais.

MDULO 13 Lugares Geomtricos


34

ConsequnciaAs bissetrizes dos ngulos for mados por duas retas

concorrentes formam um par de retas chamado PAR DE

BISSETRIZES. Qualquer pon to situado em uma reta do

PAR equidistar das duas retas concor rentes e

qualquer ponto do plano que equidiste das duas retas

concor rentes, pertencer ao PAR DE BIS SETRIZES.

MDULO 14 Pontos e Segmentos Notveis no Tringulo

1. MEDIANA

o segmento com extremos num vr tice e no ponto mdio

do lado oposto.

Todo tringulo tem trs medianas, que se inter cep -

tam num ponto cha ma do "BARICENTRO".

O baricentro divide cada media na na razo 2:1.

Exemplo

AM

A, BM

B e CM

C so as media nas do tringulo ABC.

G o BARICENTRO.

2. BISSETRIZ NO TRINGULO

o segmento com extremos num vr tice e na reta

suporte do lado opos to, contido na bissetriz do ngulo

do vrtice.

As bissetrizes internas inter cep tam-se num ponto

chamado "INCEN TRO" que o centro da circun ferncia

tangente internamente aos lados do tringulo (circun -

ferncia inscrita).

ExemploASA,

BSB e

CSC so as bissetrizes internas do

tringulo ABC.

I o INCENTRO.

Observao

As bissetrizes externas intercep tam-se duas a duas

em trs pontos denominados EX-INCENTROS e estes so

centros das circunferncias que tangenciam as retas

suportes dos lados do tringulo.

AG BG CG 2 = = = GMA GMB GMC 1


35

3. MEDIATRIZ NO TRINGULO

a reta perpendicular ao lado no ponto mdio.

Todo tringulo tem trs media trizes que se inter -ceptam num ponto chamado "CIRCUNCENTRO".

O circuncentro o centro da cir cun ferncia quecontm os vr tices do tringulo (circunferncia cir cuns - crita).

Exemplo

MAB, MBC e M

AC so, respec ti va mente, as media -

trizes dos lados AB,

BC e

AC.

O o CIRCUNCENTRO.

Observao

O circuncentro de um tringulo interno, ponto

mdio da hipotenusa ou externo ao tringulo, conforme

este seja acutngulo, retngulo ou obtu sn gulo,

respectivamente.

4. ALTURA

o segmento com extremos num vrtice e na reta

suporte do lado opos to, sendo perpendicular a esta.

Todo tringulo tem trs alturas, cujas retas suportes

interceptam-se num ponto chamado "ORTOCEN TRO".

Exemplo

AHA,

BHB e

CHC so, respectiva-mente, as alturas

relativas aos lados BC

, AC

e AB

.

O o ORTOCENTRO.

O tringulo HAHBHC denomi na do tringulo rtico.

Observao

O ortocentro de um tringulo in ter no, vrtice do

ngulo reto ou exter no ao tringulo, conforme este seja

acu tn gulo, retngulo ou obtusngulo, respec tiva mente.

5. PARTICULARIDADES

Os pontos notveis do trin gulo tm nomes cujas

iniciais formam a sigla "BICO".

Em todo tringulo issceles, os pontos notveis so

alinhados.

Em todo tringulo equiltero, os pontos notveis

so coincidentes.


36

1. NGULO CENTRAL

ngulo que tem o vrtice no cen -tro da circunferncia.

AB o arco correspondente ao

ngulo central A^OB.

Tomando-se para unidade de arco

(arco unitrio) o arco definido na cir cun -

ferncia por um ngulo central unitrio

(unidade de ngulo), temos que

"A medida de um arco de circun -

ferncia igual medida do ngulo

central correspondente."

Assim, na figura acima:

2. NGULO INSCRITO

ngulo que tem o vrtice na cir -cun ferncia e os lados so secan tes aela.

AB o arco na circunferncia,

determinado pelos lados do ngulo

inscrito A^PB.

A medida do ngulo inscrito a

metade da medida do arco que ele

determina sobre a circunferncia.

Assim, na figura anterior, tem-se

3. NGULO EXCNTRICO INTERIOR

ngulo de vrtice num ponto inte -rior circunferncia, distinto do cen -tro.

AB e

CD so arcos deter mina dos

pelos lados dos ngulos e prolon ga -

mentos destes sobre a cir cun ferncia.

A medida do ngulo excntrico

interior da figura anterior dada por

ExemploCalcular a medida x do ngulo

agudo determinado pelas retas r e s

da figura seguinte.

ResoluoO ngulo em questo do tipo

excntrico interior e determina na

circunferncia arcos de 60 e 90.

Assim: x = x = 75

4. NGULO EXCNTRICO EXTERIOR

ngulo de vrtice num ponto ex -

terior circunferncia e lados sobre

semirretas secantes ou tan gentes a ela.

AB e

CD so arcos deter mina dos

pelos lados do ngulo sobre a circun -ferncia.

A medida do ngulo excntricoexterior da figura acima dada por

ExemploCalcular a medida y do ngulo

agudo formado pelas retas r e s da

figura seguinte.

Resoluo

O ngulo em questo do tipo

excntrico exterior e determina na

circunferncia arcos de 40 e 100.

O

A

B

= AB

A

B

P

AB

= 2

A

B

P

C

D

AB +

CD

= 2

60s

r

x

90

60 + 90

2

A

C

D

B

P

AB

CD

= 2

40

100

r

s

y

MDULO 15 ngulos na Circunferncia


37

1. DEFINIO

Vamos considerar uma circun -fern cia , um ponto P e vamos cons -truir vrias secantes , que passampelo ponto P.

Em qualquer secante, cons tanteo produto dos dois segmentos quetm uma extremidade no ponto P e aoutra na circunferncia .

Assim:PA . PB = PC . PD == PM . PN == PT . PT = (PT)2 = p2

A constante p2 denominada"potn cia do ponto P em relao circunferncia ".

ExemploCom os dados das figuras a

seguir, prove que, em ambos oscasos, vale a relao

Demonstrao

De acordo com o critrio (AA~),em ambos os casos tem-se que ostringulos PAD e PCB so semelhan -tes.

Assim:

= PA . PB = PC. PD

Observaes1. Na figura seguinte, em que T

ponto de tangncia, tem-se

Demonstrao

Os tringulos PTA e PBT sosemelhantes pelo critrio (AA~).

Assim: =

PA . PB = (PT)2

2. Na figura seguinte, em que A e Bso pontos de tangncia, tem-se

Assim pode-se afirmar que, porum ponto exterior a um crculo,podem-se traar duas tangentes circun ferncia desse crculo e esseponto equidista dos pontos detangncia.

ExemploNo quadriltero circunscritvel

ABCD da figura seguinte, tem-se

Pois: AF = EA, FB =

= BG, CH = GC e HD = DE

Assim: AF + FB + CH + HD =

= BG + GC + DE + EA

Logo: AB + CD = BC + DA

B A

CP

M

T

N

D

PA . PB = PC . PD

DB

A

C

P

AB

C

D

P

A

B

C

D

P

D B

A C

P

PAPC

PDPB

PA . PB = (PT)2

A

B

P

T

B

A

P

T

PTPB

PAPT

PA = PB

A

B

P

AB + CD = BC + DA

D H C

GE

A F B

MDULO 16Potncia de um Ponto em

Relao a uma Circunferncia


38

MDULO 17 rea das Figuras Planas

1. DEFINIO

rea de uma figura um nmeroassociado sua superfcie, que ex -prime a relao existente entre esta ea superfcie de um quadrado de ladounitrio.

Dizemos que duas superfciesso equivalentes, quando possuem amesma rea.

2. REA DO TRINGULO

Em funo da base e da altura

Em funo dos lados

Sendo a, b e c as medidas dos

lados de um tringulo qualquer, sua

rea dada por

(Frmula de Hiero)

em que p =

(semipermetro)

Se o tringulo equiltero de lado, ento sua rea dada por

Em funo de dois ladose do ngulo entre eles

Sendo a e b as medidas de doisdos lados de um tringulo e amedida do ngulo entre eles, a suarea dada por

Em funo do raio da circunferncia inscrita

(p o semipermetro)

Em funo do raio da circunfernciacircunscrita

3. REA DOSQUADRILTEROS

A superfcie de qualquer quadri -ltero pode ser "dividida" em duasregies triangulares, quando se con -sidera qualquer uma de suas dia-gonais.

Assim, a rea de um quadriltero sempre igual soma das reas dedois tringulos.

Exemplo

A rea S do quadriltero da fi gura

dada por , em que

S1 a rea do tringulo ABC e S2 a

rea do tringulo CDA.

O clculo das reas dos qua dril -teros notveis pode ser execu tado demaneira mais simples, pelo em pregodas seguintes frmulas:

h h

b b b

b . hS =

2

A

B Ca

bc

S = p (p a) (p b) (p c)

a + b + c

2

2 3S =

4

A

b

C aB

a . b sen S =

2

c b

r

aC

A

B

O

r

r

S = p . r

a + b + cp =

2

B Ca

R

c b

A

a . b . cS =

4R

S = S1 + S2

A

D

B

C


39

Trapzio

Paralelogramo

Retngulo

Losango

Quadrado

ou

4. RAZO ENTRE REAS DE FIGURAS SEMELHANTES

A razo entre as reas de duas

superfcies semelhantes igual ao

quadrado da razo de semelhana.

Exemplo

Se os tringulos ABC e MNP da fi -

gu ra forem semelhantes e tiverem

reas S1 e S2, respectivamente, ento

(razo de semelhana)e

Demonstrao

Da semelhana dos tringulos

ABC e MNP, tem-se

= = k

Por outro lado,

S1 = e S2 =

Assim,

=

=

= .

= k . k

Exerccio

Calcular a rea S de um tringulo

equiltero de lado .

1a. Resoluo

S = = =

2a. Resoluo

S = =

= =

3 Resoluo

p = =

S = p(p ) (p ) (p )

Assim,

S = =

= =

b

B

h

(B + b) . hS =

2

h

b

b

S = b . h

a

a

b b

S = a . b

D

d

D . dS =

2

d

S = 2d2

S = 2

b1

h1

A

B

C

h2

P

N

b2M

b1 h1 = = kb2 h2

S1 = k2S2

b1b2

h1h2

b1. h12

b2. h22

S1S2

b1 . h12

b2 . h2

2

S1S2

b1 . h1b2 . h2

S1S2

b1b2

h1h2

S1S2

S1 = k2S2

h

h = 32

. h

2

3 .

2

223

4

60

. . sen 60

2

32 .

2

223

4

. .

232

3 . . . 2 2 2 2

3416

23

4


40

1. REA DO CRCULO

A rea de um crculo de raio R expressa por

Observao

O comprimento da circunfern cia

de raio R dado por C = 2 R, em

que 3,1416.

2. REA DA COROA CIRCULAR

Sendo S a rea da coroa circularde raios R e r, tem-se

3. REA DO SETOR CIRCULAR

A rea do setor circular de raio R,limitado por um arco de comprimento

, dada por

ObservaoA rea do setor circular sempre

uma "frao" da rea do crculo noqual o setor est "contido".

ExemploA rea do setor circular da figura

abaixo dada por

4. REA DO SEGMENTO CIRCULAR

Sendo S a rea do segmento cir-

cular limitado pela corda AB e pelo

arco AB da figura, tem-se

Exemplo

A rea do segmento circular da

figura abaixo dada por

ObservaoOutra maneira de calcular mos a

rea do segmento circular da figuraacima a seguinte:

Calculamos a rea do setor cir -cular de 60 com raio r = 6 e delasubtramos a rea de um tringuloequiltero de lado = 6.

Assim,

S = . . 62

S = 6 93

S = 3(2 33)

R

S = R2

R

r

S = (R2 r2)

R

0

B

A

. RS =

2

5

5

72

72S = . . 52 = 5

360

0R A

B

h

RS = ( h)2

6

60

6S = (2 3 3) = 3 (2 33)2

60360

6234

MDULO 18 rea das Figuras Circulares


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2.1. Matemática - Teoria - Livro 2