BLOQUE 2  13 

Bloque 2

2.1. Nociones de Topografía, Cartografía y Geodesia.

2.2. Conceptos topográficos en el plano.

2.3. Conceptos geográficos de la esfera (o el elipsoide).

2.4. Proyecciones cartográficas.

2.5. La proyección UTM.

Bibliografía específica y referencias 

San José (de), J. J.; García, J. López, M. (2000) Introducción a  las ciencias que estudian  la geometría de la superficie terrestre. Ed. Bellisco, Madrid. 

Portal de Cartesia: www.cartesia.org/

 

 

 

 

 

2.1. Nociones de Topografía, Cartografía y Geodesia 

  La Geodesia y la Topografía forman parte del amplio conjunto de las Ciencias de la Tierra. El punto  de  vista  bajo  el  que  la  tierra  es  estudiada  en  el  caso  de  la Geodesia  es  el  de  su  forma  y dimensiones  globales  (podremos  distinguir  entre  Geodesia  matemática,  dinámica  o  Astronomía geodésica,  en  cuanto  a  los  diferentes  procedimientos  de  estudio).  Por  lo  que  respecta  a  la Topografía, su objeto es  la representación de una parte de  la superficie terrestre con sus formas y detalles; zona de tamaño lo suficientemente limitado como para que pueda considerarse plana, y por tanto pueda proyectarse en un plano acotado. No obstante,  también puede  representar  zonas de gran extensión en  las que ya no puede prescindirse de  la curvatura terrestre, y por tanto requerirá conocimientos de Geodesia y Cartografía. 

  La mejor manera de concebir el aspecto y  forma de una  zona de  la  superficie  terrestre es hacer  una  representación  gráfica  de  la  misma  (un  mapa,  una  fotografía,...).  La  Topografía  y  la Cartografía  son  dos  ciencias  cuyo  objeto  es  el  estudio  y  representación  de  toda  o  parte  de  la superficie  terrestre  sobre un plano,  como ya  se  citó. Por  su parte,  la Geodesia estudia  la  forma y dimensiones de  la Tierra, de  forma global. El uso de una superficie curva por parte de  la Geodesia frente al plano horizontal de la Topografía determina algunas diferencias operativas:   

‐ En Topografía la dirección de la vertical se considera paralela en todos los puntos. En Geodesia las verticales no son paralelas (Figura 2‐1): 

BLOQUE 2  14 

 

Figura 2‐1. Dirección de la vertical en Topografía (izq.) y Geodesia (dcha.) 

‐  En  Topografía  las  cotas  (altitudes)  se  refieren  a planos horizontales  y  en Geodesia  a  superficies curvas (Figura 2‐2): 

 

Figura 2‐2. Planos de referencia en Topografía (izq.) y superficies en Geodesia (dcha.) 

 

  Las dificultades esenciales que afectan a la representación de una zona del terreno son tres: 

‐  Dimensiones  de  la  zona,  mucho  mayores  que  las  que  se  pueden  utilizar  en  la representación. 

‐ Forma de la tierra (curva, y no plana como es la representación sobre un papel).  

‐ Relieve, que también debe ser representado sobre una superficie plana. 

  El  primer  problema  nos  conduce  al  concepto  de  escala,  el  segundo  a  los  sistemas  de proyección cartográfica y el tercero a los diferentes sistemas de representación del relieve. El primer y tercer problemas se han estudiado en apartados y asignaturas anteriores. Respecto a los sistemas de proyección cartográfica, se estudiarán en apartados siguientes. 

 

2.2. Conceptos topográficos en el plano 

  En  topografía clásica es práctica  imprescindible y constante  la medición de ángulos en dos planos perpendiculares entre sí, el vertical y el horizontal. Los ángulos horizontales se miden siempre en  sentido  retrógrado  en  un  plano  horizontal  que  dividimos  convencionalmente  en  cuatro cuadrantes numerados, como ya se mencionó. Si el origen de la medida no es conocido se habla de lecturas angulares; de lo que se deduce que los ángulos se obtienen como diferencia de lecturas. Por el contrario, si el origen es conocido y predeterminado se tratará de acimutes (Figura 2‐3), cuando el 

BLOQUE 2  15 

origen sea el norte geográfico  (en  realidad  la meridiana geográfica) o de  rumbos, cuando  lo sea el norte magnético (meridiana magnética). 

 

Figura 2‐3. Azimutes en distintos cuadrantes del plano horizontal. 

   

  El acimut, por tanto, se define como ‘el ángulo que forma una dirección con  la meridiana o línea norte‐sur, medido en sentido horario’. Es el ángulo horizontal fundamental en Topografía, y se usa  comúnmente  en  ingeniería,  planos,  mapas,  etc.  Su  importancia  estriba  en  que  toma  una referencia estable y conocida, que es la dirección norte‐sur.  Se habla de acimutes recíprocos (Figura 2‐4) cuando θ(B‐A)= θ(A‐B)+200g (o 180°): 

 

Figura 2‐4. Acimut directo y recíproco de una dirección AB. 

   

N

B

A

180º=200g

A-B ︶

A-B ︶

B-A ︶

BLOQUE 2  16 

  Los  ángulos  verticales  se  miden  en  un  plano  vertical,  hacia  arriba  o  hacia  abajo  con referencia al plano horizontal. Cuando el punto quede  sobre éste,  la  visual  formará un ángulo de elevación respecto a la horizontal llamado comúnmente altura de horizonte (α), positivo hacia arriba o negativo hacia abajo. Entonces el cero de  los ángulos se encuentra en el horizonte. Si el origen  lo situáramos  en  el  Cenit  (dirección  de  la  vertical  hacia  la  esfera  celeste),  estaríamos midiendo  un ángulo cenital (V), complementario del anterior. Por último, si consideramos como origen la vertical pero  en  sentido  contrario  al  cenit  (el  Nadir),  hablaremos  de  ángulos  nadirales  (N)  (Figura  2‐5). Decimos ‘visual’ porque la dirección del punto suele ser ‘visada’ desde el anteojo del instrumento. 

 

Figura 2‐5. Ángulo cenital, nadiral y de altura de horizonte para visuales sobre el horizonte y por debajo de él.  

  Además de  los polos N y S geográficos, existen  los polos magnéticos. La Tierra se comporta como un gran imán que genera un campo magnético. Las líneas de acción de ese campo marcan en cada  punto  la  dirección  de  la  meridiana  magnética,  dirigida  hacia  los  polos  magnéticos.  Es  la dirección que marca la aguja de una brújula. Se llama declinación al ángulo formado por la dirección del norte geográfico y magnético en un punto dado.  

 

2.3. Conceptos geográficos de la esfera (o el elipsoide) 

2.3.1. Forma de la tierra: ¿esfera, elipsoide o geoide? 

  Con el desarrollo de  la cartografía tras  los descubrimientos y el desarrollo de  la navegación de  los  siglos    XV  y  XVI,  se hace patente que  la  definición  de  la  tierra  como  una  esfera  generaba anomalías y errores. En el siglo XVII, Newton afirma que  la  forma de equilibrio de una masa  fluida homogénea  sometida  a  las  leyes  de  la  gravitación  universal  y  que  gira  en  torno  a  un  eje  es  un elipsoide de revolución aplastado por los polos. Aunque actualmente se conoce que el aplanamiento o achatamiento es un valor muy pequeño, (corresponde aproximadamente al de 1 mm en una esfera 

BLOQUE 2  17 

de  30  cm  de  radio),  es  lo  suficientemente  perceptible  como  para  distorsionar  las mediciones  de distancias y ángulos.  A partir de esas fechas,  los geodestas han propuesto diferentes elipsoides cada vez más precisos y ajustados a la forma de la tierra. La ventaja de esta definición es que el elipsoide es una forma geométrica tridimensional cuya definición matemática es relativamente sencilla, por lo que es un buen sistema de referencia para definir una proyección matemáticamente. Los que se han utilizado en  la Cartografía española son el elipsoide de Struve, de Hayford, el WGS 84 y el ETRS89. Mientras en la esfera los meridianos y paralelos son circunferencias, en el elipsoide los paralelos son circunferencias y los meridianos elipses. 

  Por el  contrario, el geoide es un  concepto abstracto  y es una definición puramente  física, pero  es  la  figura más  próxima  a  la  real  de  la  Tierra.  Fue  definido  en  1873  por  Listing  como  la ‘superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre que coincida con la superficie media de los mares en reposo idealmente extendida bajo los océanos’. Esta definición implica que la gravedad es constante en cada punto del geoide y que su dirección en cualquier punto es perpendicular al mismo. Como el valor del potencial de la gravedad es variable en la superficie terrestre, el geoide se “hunde” debajo de la superficie física donde hay deficiencia de masa (en los océanos) y se eleva donde existe exceso  (en  los  continentes).  Por  ello  para  estudiar  el  geoide  es  necesario medir  con  precisión  la gravedad. La  tendencia actual es medir u observar en  la superficie  terrestre y referir  la cartografía resultante  a  una  superficie  que  tenga  una  expresión matemática  relativamente  sencilla  como  el elipsoide (Figura 2‐6). 

 

Figura 2‐6. Elipsoide (izq.) y geoide (dcha. Fuente: NASA). 

 

2.3.2. Meridianos y paralelos   

  Se  considerará  la  tierra  como una esfera  (Figura 2‐7), para  simplificar  conceptos, de  radio 6366 km y circunferencias máximas de 40000 km. El plano perpendicular al eje de rotación N‐S y que pasa por el centro de la Tierra se llama plano del Ecuador. Corta a la superficie en una circunferencia máxima que es el Ecuador. Todos  los planos que pasan por el eje N‐S son  los planos Meridianos, y cortan a la superficie en unos círculos máximos que son los Meridianos. Los planos perpendiculares al eje de rotación son los planos Paralelos y la intersección con la superficie son los Paralelos.   

  

a

b

(a-b)/a

BLOQUE

  Ey latitud

-

-

s

  Lsuperficipunto. L

E 2 

ht

Establecida ld, que son m

Longitud de punto y unopara Españapaíses. La lopor tanto el Latitud de uEcuador. Se ser N o S, ha

La meridianie terrestre eLa intersecció

  

Figura 2‐ttp://www.r

la red de meagnitudes an

un punto Po que se toma el de Madrngitud se mivalor máximun punto P  (puede mediasta un valor 

a  usada  en en un punto ón será una l

ecuador

‐7. Red de mrena.edu.ve/

eridianos y pangulares: 

P  (λ): es el áa como origrid. Actualmeide en ángulmo es 180°. (φ): es el ánr a lo largo dde 90°. 

el  acimut  s(plano que ínea horizon

Figura 2‐8

N

S

me

plano tangent

r

meridianos y p/cuartaEtapa

aralelos, def

ángulo  formaen. Antes caente se utilizos sexagesim

gulo  formaddel meridiano

se  define  coserá horizonntal con direc

8. Meridiana

plan

o m

erid

iano

mer

idia

no

te (horizontal)

ME

RID

IAN

AP

paralelos. Ex/premilitar/T

finimos las co

ado por el pada país teníza el meridiamales, hacia 

do por  la veo. Se utilizan

omo  la  interntal) con el pcción norte‐s

a y acimut. 

xtraído de Tema19a.htm

oordenadas 

plano meridiía su meridiaano de Greeel E y hacia e

rtical del pun sexagesima

sección  del plano meridiasur (Figura 2

N

SP

ml 

geográficas 

iano que paano de origenwich para tel W de Gree

unto con el pales y la latitu

plano  tangeano que pasa‐8). 

 

P

1

longitud 

sa por el n, siendo todos  los enwich, y 

plano del ud puede 

ente  a  la a por ese 

8 

BLOQUE 2  19 

2.4. Proyecciones cartográficas 

  Uno de los problemas de la Cartografía cuando se representan zonas amplias es transformar un  fragmento  de  la  esfera  o  elipsoide  en  un  plano.  Como  esa  transformación  no  es  posible  sin errores,  la Cartografía busca soluciones aproximadas  (diferentes según  la  latitud y  los objetivos del mapa). La forma real de la Tierra no se puede expresar matemáticamente: el geoide es la forma más próxima, pero  la  expresión matemática que  lo define  es muy  compleja  y no hace  fácil  su uso  en Cartografía. Para simplificar el problema se utiliza la esfera y, para mayores precisiones, el elipsoide. Tampoco el elipsoide puede desarrollarse en un plano. La solución al problema se encuentra en  las proyecciones cartográficas. Una proyección  cartográfica es, desde un punto de vista analítico, una equivalencia biunívoca entre  los puntos de una esfera o elipsoide y  los puntos transformados en el plano.  A  un  punto  de  la  Tierra  definido  por  sus  coordenadas  longitud  y  latitud  solamente  le corresponda un punto del mapa determinado por sus coordenadas X e Y, y viceversa.  

  Puesto  que  es  imposible mantener  las  propiedades  geométricas  de  los  elementos  de  una esfera o elipsoide sobre un plano,  las proyecciones cartográficas buscan al menos conservar una o alguna de esas propiedades, que pueden ser: 

  ‐ Distancia entre puntos: proyecciones equidistantes. La distancia entre puntos de  la esfera o elipsoide es igual a la distancia en el mapa, salvando el factor de escala. Cuando una proyección no es equidistante, pero las distancias se conservan en algunas direcciones, éstas se denominan automecoicas. 

  ‐ Ángulos entre direcciones: proyecciones conformes. Las  líneas que unen puntos de la superficie son siempre curvas. El ángulo que forman es el que forman sus tangentes en la proyección. 

  ‐ Areas de figuras: proyecciones equivalentes. Las superficies de figuras de la Tierra y del mapa son proporcionales en este caso. 

  Elegir  conservar  una  u  otra  dimensión  depende  de  la  finalidad  del mapa.  Para mapas  de catastro, por ejemplo, cuyo objetivo es conocer  superficies,  se optará por proyección equivalente. Para  mapas  de  fines  militares,  telecomunicaciones  o  navegación  interesa  mantener  direcciones (proyecciones  conformes).  Respecto  a  las  distancias,  es  prácticamente  imposible  conservarlas  en todo el mapa, por lo que se eligen al menos direcciones o zonas donde la deformación sea mínima. 

  En función de  la superficie sobre  la que se proyecta  la superficie terrestre,  las proyecciones se clasifican en perspectivas (la superficie terrestre se proyecta sobre un plano) y desarrollos. En este caso,  la superficie se proyecta sobre una superficie auxiliar que posteriormente se desarrolla. Si  la superficie  auxiliar  es  un  cilindro,  se  trata  de  desarrollos  cilíndricos,  y  si  es  un  cono,  desarrollos cónicos. La relación espacial entre la superficie de proyección y la superficie terrestre determina otro criterio para las proyecciones: 

- tangentes:  la  superficie  de  proyección  (sea  plano,  cilindro  o  cono)  es tangente a la tierra 

- secante: la superficie o plano de proyección corta a la tierra - vertical  (o  ecuatorial):  la  superficie  o  plano  de  proyección  pasa  por  el 

ecuador - transversa  (o polar):  la  superficie o plano de proyección pasa por un polo 

terrestre - oblicua: la superficie o plano de proyección toma cualquier posición 

BLOQUE 2  20 

  Si se tiene en cuenta la posición del vértice desde el que se proyecta, se clasificarían en: 

  ‐ Gnomónica (Figura 2‐9): vértice en el centro de la Tierra. En esta proyección, que es considerada    la más antigua,  la escala se deforma rápidamente a alejarnos del centro de  la proyección. Es usada en sismología por representar bien la propagación de las ondas sísmicas como grandes círculos. 

Figura 2‐9. Proyección gnomónica, con ejemplos de polar, oblicua y ecuatorial. Fuente: USGS. 

  ‐ Estereográfica (Figura 2‐10): vértice en un punto de la superficie y proyección en un plano  perpendicular  y  diametralmente  opuesto.  Es  útil  para  representar  zonas  polares  y también es muy usada en otras disciplinas como la geología, la mineralogía y la mecánica. 

 Figura 2‐10. Proyección estereográfica, con ejemplos de polar, oblicua y ecuatorial. Fuente: USGS. 

  ‐ Ortográfica (Figura 2‐11): vértice en el infinito. Se usa en perspectivas generales de la tierra y en atlas, pues genera una vista muy natural, tal como si viéramos el planeta desde el espacio. 

BLOQUE 2  21 

 Figura 2‐11. Proyección ortográfica, con ejemplos de polar, oblicua y ecuatorial. Fuente: USGS. 

 

  La  elección  de  una  proyección  dependerá  del  propósito  del mapa  y  de  la  localización  y tamaño  de  la  zona  que  se  quiera  representar,  y  producirá  efectos  geométricos  y  estéticos muy diferentes  para  cada mapa.  En  general,  para  representar  zonas  no muy  amplias  de  localización determinada  se  recurre a una perspectiva centrada en esa zona que conserve  lo mejor posible  las dimensiones y formas terrestres. Para representar todo el globo terráqueo, se han creado una serie de proyecciones basadas en desarrollos que, normalmente, producen más distorsión en  las  zonas polares, y que combinan criterios de conservación, geométricos y desarrollos (Figura 2‐12) 

 

                          

     

Figura 2‐12. Algunas proyecciones cartográficas usadas en la representación global de la tierra. Arriba‐izq., Mercator; arriba‐dcha., Miller (ambas cilíndricas ecuatoriales). Abajo‐

dcha., Robinson, abajo‐izq., Sinusoidal (ambas pseudocilíndricas ecuatoriales). Fuente: USGS. 

BLOQUE 2  22 

2.5. La proyección UTM   

  La  proyección más  utilizada  en  cartografía  es  la Universal  Transversa Mercator  (UTM).  Se utiliza como referencia el elipsoide de Hayford o Internacional (o sus correcciones posteriores), y se proyecta desde el centro de la Tierra a un cilindro tangente a un meridiano. Se dice que es ‘universal’ porque  sirve para  toda  la  superficie  terrestre; para que el error  sea  lo mínimo posible  se utilizan  diferentes cilindros tangentes a meridianos separados 6° de longitud (λ) en vez de uno solo. El valor es pequeño para evitar la deformación, que aumenta al alejarnos de dicho meridiano. De esa forma, se definen 60 husos en toda  la Tierra, comenzando a numerar por el antemeridiano de Greenwich. En España se usan los husos 27 y 28 para Canarias y 29, 30 y 31 para la Península y Baleares (Figura 2‐13). 

  El eje del cilindro está situado en el plano del Ecuador y es tangente al elipsoide a lo largo de una  línea  que  define  un meridiano  tomado  como  origen.  En  el  sistema  de  coordenadas UTM  se establece el origen del eje X en el Ecuador y el del eje Y en cada meridiano central de  tangencia. Estos dos ejes se representan por líneas rectas y el origen de coordenadas se sitúa en la intersección entre ambas. El valor de X en este punto es de 500000 m (para evitar valores negativos) y el del Y, 0 m para el hemisferio N y 10000000 m para el Sur. Las coordenadas UTM de un punto son la X, la Y ý el número de huso. 

  Para un huso concreto, en  la proyección UTM  los errores son menores en  la parte central y mayores conforme nos alejamos a los bordes del mapa, debido a que se tiene en cuenta la curvatura terrestre, que se hace más patente al alejarnos del meridiano de tangencia. El valor medio de esta anamorfosis  o  error  es  0,9996.  El  planteamiento  matemático  de  esta  proyección  requiere  de conformidad, es decir, que el ángulo de una dirección medido en el plano sea el mismo que el que tendría medido sobre la superficie terrestre. Sin embargo, esta proyección no es válida para latitudes mayores de 80° S o N, pues produce gran deformación en estas zonas. 

 

BLOQUE 2  23 

 

Figura 2‐13. Proyección UTM,  meridiano central y cuadrícula de husos (números a lo largo de los paralelos) y zonas (letras a lo largo de los meridianos) en la proyección.  

   

 

  Respecto a  las cotas, se utiliza el geoide como  referencia debido a  la  facilidad para usar  la gravedad en instrumentos de medida (niveles). Para cada país se decide una “cota 0”, que en nuestro caso se define mediante el nivel medio del mar en Alicante. Este nivel de referencia no coincidirá con el que  se usa en  sistemas globales  como el GPS, y  serán necesarias hacer  transformaciones entre geoide y elipsoide en lo que a cotas se refiere (Figura 2‐14). 

BLOQUE

Figura 2altur

 

E 2 

2‐14. Diferena ortométric

Fuente

ntes alturas dca). La diferee: Navegación

 

de un punto encia en alturn aérea, Cart

respecto al ras entre h ytografía y Co

 

elipsoide (h,y H se denomosmografía (h

 altura elipsomina N, onduhttp://nacc.u

 

oidal) y al gelación del geupc.es/) 

2

eoide (H, eoide. 

4