2.1.2 　指数函数及其性质

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2.1.2　指数函数及其性质

第 1课时　指数函数的图象及性质


【课标要求】1．理解指数函数的概念和意义．2．能借助计算器或计算机画出指数函数的图象．

3．初步掌握指数函数的有关性质．

【核心扫描】1．指数函数的概念及有关性质． (重点 )

2．指数函数的图象． (难点 )

3．指数函数的值域及图象过特殊点． (易错点 )


1．指数函数的定义函数叫做指数函数，其中 x是自变量，

函数的定义域是 .

温馨提示：指数函数解析式的特征： ax的系数是 1， a

为常量， x为自变量，并且规定底数 a满足条件 a>0且 a

≠1.

y＝ ax(a>0且 a≠1)

R


2．指数函数的图象与性质

a>1 0<a<1

图象


性

质

定义域，值域 ( )

图象过定点 (0,1)，即 x＝ 0时， y＝ 1

当 x>0时，；

当 x<0时， .

当 x>0时，；

当 x<0时，

.

在 R上是 . 在 R上是 .

R 0，＋∞

y>1

0<y<1

0<y<1

y>1

增函数减函数


互动探究

探究点1 指数函数定义中为什么规定a>0且a≠ 1?

提示 (1)如果a＝0，当x>0时，ax＝0；

当x≤ 0，ax无意义；

(2)如果a<0，当x＝12，

14等时，ax无意义；

(3)如果a＝1，则ax＝1，无研究的价值．

为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠ 1.


探究点2 观察同一直角坐标系中函数y＝2x，y＝3x，y＝4x，y

＝

1

2x，y＝

1

3x，y＝

1

4x的图象如图所示，能得到什么规律？

提示 (1)当x>0时，底数大

则图高(在第一象限内，图象从

下到上相应的底数由小变大)；

当x<0时，底数大则图象低．

(2)底互为倒数时，图象关于y轴

对称，即y＝ax与y＝

1

ax图象关于

y轴对称．


类型一指数函数的概念

【例 1】给出下列函数：

① y＝2·3x；② y＝3x＋1；③ y＝3x；④ y＝x3；⑤ y＝(－2)x.其中，

指数函数的个数是( )．

A．0 B．1 C．2 D．3

[思路探索] 根据指数函数的定义判断．


解析　①中， 3x的系数是 2，故①不是指数函数；②中， y

＝ 3x＋ 1的指数是 x＋ 1，不是自变量 x，故②不是指数函数；③中， 3x的系数是 1，幂的指数是自变量 x，且只有 3x一项，故③是指数函数；④中， y＝ x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－ 2<0，不是指数函数．答案　 B


[规律方法 ]　 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数 a为大于 0且不等于 1的常数； (2)指数位置是自变量 x； (3)ax的系数是 1.

2．求指数函数的关键是求底数 a，并注意 a的限制条件．


【活学活用1】若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取

值范围为________．

解析 y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：

4－3a>0，4－3a≠ 1，

解得a<43且a≠ 1.

故a的取值范围为{a|a<43且a≠ 1}．

答案 {a|a<43且a≠ 1}


类型二　指数函数的图象【例 2】如图是指数函数① y＝ ax，② y＝ bx，③ y＝ cx，

④ y＝ dx的图象，则 a， b， c， d与 1 的大小关系是

( )．

A． a<b<1<c<d B． b<a<1<d<c

C． 1<a<b<c<d D． a<b<1<d<c


[思路探索 ]　根据指数函数的底数大小与图象的关系判断．解析　法一　在 y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．由指数函数图象的升降，知 c>d>1， b<a<1.

∴b<a<1<d<c.


法二　作直线 x＝ 1，与四个图象分别交于 A， B， C， D

四点，由于 x＝ 1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知 b<a<1

<d<c.故选 B.

答案　 B


[规律方法 ]　 1.无论指数函数的底数 a如何变化，指数函数 y＝ ax(a>0， a≠1)的图象与直线 x＝ 1相交于点 (1， a)，由图象可知：在 y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点 (0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响．


【活学活用 2】 (1)函数 y＝ 2 － |x|的大致图象是 ( )．

(2)函数 y＝ ax－ 3＋ 3(a>0，且 a≠1)的图象恒过定点 ______

__．


解析 (1)y＝2－|x|＝ 2－x x≥ 0，2x x<0.

且函数y＝2－|x|是偶函数，∴ 函数的图象大致是选项C.

(2)因为函数y＝ax(a>0，且a≠ 1)过定点(0,1)，函数y＝ax－3＋3

中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，所以函数的图象过定点(3,4)．

答案 (1)C (2)(3,4)


类型三　指数型函数的定义域、值域【例 3】求下列函数的定义域与值域：

[思路探索 ]　先求定义域，确定指数的取值范围，利用单调性求值．


解 (1)由 x－4≠ 0，得 x≠ 4，

∴ 定义域为{x|x∈R且 x≠ 4}．

∵1

x－4≠ 0，知 ≠ 1，

∴ 函数 y＝的值域是{y|y>0，且 y≠ 1}．

(2)由 x－2≥ 0，得 x≥ 2，∴ 定义域为{x|x≥ 2}．

当 x≥ 2时， x－2≥ 0.

∴ y＝的值域为{y|0<y≤ 1}．


[规律方法 ]　 1.求含有指数型的函数定义域时，要注意考虑偶次根式的被开方数大于等于 0，分母不为 0等限制条件．2．求含有指数式的复合函数的值域时，要结合指数函数的单调性和定义域来考虑，不要遗漏了指数函数的值域大于 0.

(3)定义域为R.∵ 2x－x2＝－(x－1)2＋1≤ 1，

∴ ≤ 2，即y≤ 2.故函数的值域为{y|0＜y≤ 2}．


【活学活用 3】求下列函数的定义域与值域：

(1)y＝；(2)y＝ 1－3x.

解 (1)由 x－2≥ 0，得 x≥ 2.

∴ 定义域为{x|x≥ 2}．当 x≥ 2时， x－2≥ 0.

又 3>1，∴ y＝的值域为{y|y≥ 1}．


(2)要使函数有意义，则1－3x≥ 0，即3x≤ 1.又t＝3x在R上是增

函数，所以x≤ 0，因此y＝ 1－3x 的定义域是{x|x≤ 0}．由

x≤ 0，知0≤ 1－3x<1，

所以函数y＝ 1－3x的值域为{y|0≤ y＜1}．


易错辨析指数函数概念理解不透致误

【示例】函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，求实数a.

[错解] ∵ 函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，

∴ a2－4a＋4＝1，∴ a＝1或a＝3.

[错因分析] 指数函数y＝ax(a>0，且a≠ 1)中，ax的系数为1，

并且底数a要满足a>0，且a≠ 1.


[正解] ∵ 函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，

∴ 由指数函数的定义得 a2－4a＋4＝1，a>0且a≠ 1，

∴ a＝1或a＝3.

a>0且a≠ 1，∴ a＝3.

[防范措施] 切记指数函数要求形如：f(x)＝ax(a>0且a≠ 1)，

指数式前面系数为1，另外a>0且a≠ 1，自变量是指数，这三

点缺一不可．



2．(2013·平遥高一检测)函数 y＝3x与 y＝3－x的图象关于下列哪

条直线对称

( )．

A．x轴 B．y轴

C．直线 y＝x D．直线 y＝－x

解析 y＝3－x即 y＝(13)x，分别作出两个函数图象可知，y＝

3x 与 y＝(13)x的图象关于 y轴对称．

答案 B


3．函数 y＝ ax－ 5＋ 1(a≠0)的图象必经过点 ________．

解析　指数函数的图象必过点 (0,1)，即 a0＝ 1，由此变形得 a5－ 5＋ 1＝ 2，所以所求函数图象必过点 (5,2)．答案　 (5,2)


4．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________.

解析 ∵ f(x)的图象过(0，－2)，(2,0)，且a>1，

∴ －2＝a0＋b，0＝a2＋b，

∴ b＝－3，a＝ 3，

∴ f(x)＝( 3)x－3，则f(3)＝( 3)3－3＝3 3－3.

答案 3 3－3


5．求下列函数的定义域和值域：

(1)y ＝； (2)y＝ 5 － x－ 1.

解 (1)要使函数y＝有意义，

只需1－x≥ 0，即x≤ 1，

所以函数的定义域为{x|x≤ 1}．

设y＝3u，u＝ 1－x，则u≥ 0，

由函数y＝3u在[0，＋∞ )上是增函数，得y≥ 30＝1，

所以函数的值域为{y|y≥ 1}．

(2)函数y＝5－x－1对任意的x∈R都成立，所以函数的定义域为

R.因为5－x>0，所以5－x－1>－1，

所以函数的值域为(－1，＋∞ )


课堂小结1．指数函数的定义域为 ( ∞ ∞－，＋ )，值域为 (0 ∞，＋ )，

且 f(0)＝ 1.

2．当 a>1时， a的值越大，图象越靠近 y轴，递增速度越

快．当 0<a<1时， a的值越小，图象越靠近 y轴，递减

的速度越快．

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