1

ΘΕΜΑ Α

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Α1. Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που έχουν την διεύθυνση του άξονα xx΄ και εξελίσσονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι χρονικές εξισώσεις των απομακρύνσεων των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων δίνονται από τις σχέσεις

x1= Α ημ(ωt) και x2= Α ημ(ωt+π).

Για το πλάτος της ΑΣ συνισταμένης ταλάντωσης ισχύει:

α. ΑΣ=2Α

β. ΑΣ=Α

γ. ΑΣ=0

δ. ΑΣ= 4Α

Μονάδες 5 Α2. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνει σωστά τη σχέση μεταξύ της συχνότητας του διεγέρτη f και της ιδιοσυχνότητας fo συστήματος που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση;

α. β. γ. δ.

Μονάδες 5

Α3. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση κατά τη διάρκεια της οποίας το πλάτος της ταλάντωσης ελαττώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση A= Ao e-Λt :

α. η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου.

β. η περίοδος της ταλάντωσης ελαττώνεται εκθετικά με το χρόνο.

γ. η ενέργεια της ταλάντωσης παραμένει σταθερή.

δ. η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από το πλάτος της.

Μονάδες 5

2/12/2018

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ(ΘΕΡΙΝΑ)

ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ –ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ-ΤΣΙΓΚΙΣΤΡΑΣ ΒΑΓΓΕΛΗΣ

f

fo

f

fo

f

fo

f

fo

2

Α4. Τα εγκάρσια μηχανικά κύματα

α. διαδίδονται σε στερεά, υγρά και αέρια σώματα

β. έχουν μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης από τα διαμήκη

γ. μεταφέρουν ύλη

δ. σχηματίζουν όρη και κοιλάδες

Μονάδες 5 Α.5 Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα

τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη.

α. Η περίοδος των διακροτημάτων που παρουσιάζει η σύνθετη κίνηση ενός ταλαντούμενου σώματος είναι ο χρόνος μεταξύ δυο διαδοχικών μεγιστοποιήσεων του πλάτους.

β. Όταν διπλασιάζεται η συχνότητα ταλάντωσης της πηγής ενός αρμονικού μηχανικού κύματος, διπλασιάζεται και η ταχύτητα διάδοσής του.

γ. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η δύναμη επαναφοράς που δέχεται είναι πάντα ομόρροπη με την επιτάχυνση του σώματος.

δ. Σύστημα ελατηρίου – σώματος εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η συχνότητα της ταλάντωσης εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης.

ε. Σε ελαστική χορδή πολύ μεγάλου μήκους διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Η διαφορά φάσης της ταλάντωσης που εκτελούν δύο υλικά σημεία της χορδής, από τη στιγμή που έχουν αρχίσει να ταλαντώνονται, παραμένει σταθερή.

Μονάδες 5 A.1 γ A.2 α A.3 α A.4 δ A.5 α) Σ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β

Β1. Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που έχουν την ίδια διεύθυνση, εξελίσσονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουν ίσες συχνότητες ενώ για τη διαφορά φάσης μεταξύ τους ισχύει 0<Δφ<π. Αν η ενέργεια Ε της συνισταμένης ταλάντωσης και οι ενέργειες Ε1 και Ε2 των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων ικανοποιούν τη σχέση 1 2 τότε η διαφορά φάσης Δφ μεταξύ των δύο συνιστωσών είναι:

α. Δφ= rad3π

β. Δφ= rad3

2π γ. Δφ= rad

65π

Να επιλέξετε την σωστή απάντηση Μονάδες 2

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 6

3

Σωστή απάντηση η β.

Ε=Ε1=Ε2 ή (1) 21Σ 22

21

2Σ AAA ή DADADA

21

21

21

Όμως για το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης ισχύει

21ΔΔ22Δ22Δ2

Δ2

συν ήσυν1 ήσυν ήσυν

σχέσης τηςβοήθεια τημε ήσυνήσυνΔ2

φ φ φAA φAAAA

φAAAA

2Σ

2ΣΣΣΣΣ

2ΣΣ

21221Σ21

21Σ

AA

AφAAAAA 2

222

22 (1) 2

Επειδή 0<Δφ<π δεκτή λύση της παραπάνω εξίσωσης είναι η Δφ= rad3

2π

Β2. Οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k έχει το ένα άκρο του ακλόνητα στερωμένο, ενώ στο ελεύθερο άκρο του είναι στερεωμένο σώμα Σ1 μάζας m1 που μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2 πάνω στο οριζόντιο επίπεδο σε επαφή με το σώμα Σ1 όπως φαίνεται στο σχήμα . Εκτρέπουμε το σύστημα των δύο σωμάτων έτσι ώστε το ελατήριο να συμπιστεί και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.

Α. Το σώμα Σ2, χάνει την επαφή του με το σώμα Σ1: α. όταν το ελατήριο αποκτά το φυσικό του μήκος β. σε μια από τις ακραίες θέσεις της ταλάντωσής του

γ. στη θέση όπου το μέτρο της απομάκρυνσης του συστήματος από τη θέση ισορρπίας του

γίνεται 2

Ax 1 , όπου Α1 είναι το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος μέχρι τα δύο σώματα

να χάσουν την επαφή τους Να επιλέξετε την σωστή απάντηση

Μονάδες 1 Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Μονάδες 3 Β. Αν Α1 είναι το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος μέχρι τα δύο σώματα να χάσουν την επαφή τους και Α2 είναι το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ1, μετά την απώλεια της επαφής, τότε

για τον λόγο 2

1

AA

ισχύει:

α. 1

21

2

1

mmm

AA

β. 21

1

2

1

mmm

AA

γ. 1

2

1

AA

Να επιλέξετε την σωστή απάντηση Μονάδες 1

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 4

k Σ1 Σ2

4

Β2.

Α. Σωστή απάντηση η α. Έστω μια τυχαία θέση προς τ’ αριστερά με απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του συστήματος των δυο σωμάτων, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Το σώμα Σ2 δέχεται λόγω επαφής με το σώμα Σ1, μια δύναμη 2,1F

, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Επειδή το σώμα Σ2 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με τη θετική φορά που φαίνεται στο σχήμα, ισχύει

(1) ή x DFx DΣF 21,22x2, όπου D2 η σταθερά επαναφοράς του σώματος Σ2. Όταν χάνεται η επαφή των σωμάτων, γίνεται

0 F1,2 συνεπώς, από τη σχέση (1) προκύπτει x=0 Επομένως, η επαφή χάνεται όταν το σύστημα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, που συμπίπτει με τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Β. Σωστή απάντηση η α. Πριν την απώλεια επαφής το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα

21 mmkω

Αμέσως μετά την απώλεια επαφής το σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με γωνιακή συχνότητα

1mkω΄

Επειδή η επαφή χάνεται όταν το σύστημα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, που είναι και θέση ισορροπίας της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ1, για τις μέγιστες ταχύτητες ταλάντωσης υmax και υ΄max ισχύει πριν και μετά την απώλεια επαφής αντίστοιχα, ισχύει

Θέση φυσικού μήκους ελατηρίου

x 1,2F

Σ1 Σ2

5

21maxmax ΑωΑωυυ ή ή 21

121

ΑmkΑ

mmk

ή 1

21

2

1

mmm

AA

Β3. Ένα εγκαρσιο αρμονικό κύμα μήκους κύματος λ διαδίδεται σε ελαστικό μέσο διάδοσης. Στη συνέχεια το μήκος του κύματος διπλασιάζεται (2λ) , χωρίς μεταβολή του πλάτους του. Αν υmax1 και υmax2 οι μέγιστες ταχυτήτες ταλάντωσης των σημείων του μέσου πριν και μετά τη μεταβολή του μήκους κύματος

αντίστοιχα, τότε για το λόγο2max

1max

υυ

ισχύει:

α. 22max

1max

υυ

β. 21

υυ

2max

1max γ. 42max

1max

υυ

Να επιλέξετε την σωστή απάντηση Μονάδες 2

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 6

Β3. Σωστή απάντηση η α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος εξαρτάται μόνο από τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης, συνεπώς δεν μεταβάλλεται με τον διπλασιασμό του μήκους κύματος, άρα:

21 21 22111 fffλfλfλfλυυ 2 2 ή2 ή ή

Συνεπώς, για το ζητούμενο λόγο των ταχυτήτων, ισχύει

2 ή ή ή

2max

1max

2max

1max

2max

1max

2max

1max

υυ

ff

υυ

2πf2πf

υυ

ΑωΑω

υυ

2

2

2

1

2

1 2

ΘΕΜΑ Γ Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με το θετικό ημιάξονα Οx, χωρίς απώλειες ενέργειας. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο (xo=0 ) του άξονα και τη χρονική στιγμή to=0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της κινούμενη κατά την θετική φορά

με ταχύτητα μέτρου sm 2,1 . Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η

γραφική παράσταση της φάσης της ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t1=0,25 σε συνάρτηση με την απόστασή τους x από την αρχή Ο του άξονα.

Γ1. Να αποδείξετε ότι το μήκος κύματος του κύματος είναι ίσο με λ =2m, ότι η περίοδός του είναι ίση με Τ= 0,1s και να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του.

Μονάδες 6 Γ2. Να γράψετε την χρονική εξίσωση της απομάκρυσης του υλικού

σημείου που βρίσκεται στη θέση Σ(xΣ=10 m) και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες

Μονάδες 7

6

Γ3. Να βρείτε το πηλίκο Γ

O

NN

των αριθμών των ταλαντώσεων των υλικών σημείων που βρίσκονται στις

θέσεις Ο(xO=0) και Γ(xΓ=7 m) την χρονική στιγμή 1s Μονάδες 5

Γ4. Τη χρονική στιγμή t2 το υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση A(xΑ=5,3 m) βρίσκεται στην αρνητική ακραία θέση της ταλάντωσής του. Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σημείου που βρίσκεται στη θέση Β (xΒ=3,8 m) τη χρονική στιγμή t2

Μονάδες 7 Γ1. Η εξίσωση που περιγράφει τη φάση των σημείων του μέσου διάδοσης σε συνάρτηση με τη θέση τους στον άξονα xx’ είναι της μορφής:

Για t= t1 , προκύπτει:

Με τη βοήθεια του διαγράμματος προκύπτει οτι

για είναι οπότε: και για , οπότε: Η ταχύτητα διαδοσης του κύματος είναι Γ2. Η γενική εξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα xx΄ δίνεται από τη σχέση :

(1)

Τη χρονική στιγμή το υλικό σημείο Ο που βρίσκεται στη θέση xo=0 , διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, συνεπώς ταχύτητα του έχει τη μέγιστη τιμή της.

Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) προκύπτει:

Επομένως , για το σημείο Σ (xΣ =10 m), ισχύει:

Το σημείο Σ ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή

Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του υλικού σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με τον χρόνο.

7

Γ3. Η εξίσωση ορισμού της συχνότητας είναι της μορφής:

, όπου Ν ο αριθμός των ταλαντώσεων και το χρονικό διάστημα ταλάντωσης του σημείου, άρα:

Για το σημείο Ο:

Για το σημείο Γ: ή

Επομένως, για το ζητούμενο λόγο ισχύει:

Γ4. 1ος τρόπος Για τη διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Α και Β ισχύει:

Άρα:

Όμως:

Επομένως:

2ος τρόπος

Για την απομάκρυνση του σημείου Α από τη θέση ισορροπίας του ισχύει ότι: , δηλαδή βρίσκεται στην αρνητική ακραία θέση της ταλάντωσής του.

0,5 0,525 0,55 0,575 0,6

y(m)

t(s)

+6 10-2

0

-6 10-2

8

Η απόσταση των δυο σημείων είναι , οπότε:

Φτιάχνοντας το στιγμιότυπο από το σημείο Β ως το σημείο Α βλέπουμε ότι κινούμενο κατά την αρνητική φορά, οπότε

ΘΕΜΑ Δ

Σώμα Σ1 μάζας m1=1kg, ισορροπεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Κάποια στιγμή εκτοξεύουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υο= 10 m/s οπότε αυτό αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα Σ1 διέρχεται για πρώτη φορά από την θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με σώμα Σ2 μάζας m2=3kg, το οποίο κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω με ταχύτητα μέτρου υ2=1m/s.

Μετά την κρούση το σύστημα συσσωμάτωμα- ελατήριο που δημιουργείται εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ1 ελάχιστα πριν την κρούση

Μονάδες 4

Δ2. Να υπολογίσετε την ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος μετά την κρούση.

Μονάδες 4

Δ3. Να γράψετε την χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης από την θέση ισορροπίας για το σύστημα. Να θεωρήσετε ως χρονική στιγμή t=0 τη χρονική στιγμή αμέσως μετά την κρούση και ως θετική φορά την φορά προς τα πάνω.

Μονάδες 5 Δ4. Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος γίνεται τριπλάσια από την δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης για δεύτερη φορά μετά την χρονική στιγμή t=0.

Μονάδες 6 Δ5. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος τη χρονική στιγμή t1 .

Μονάδες 6

m1

k

Θ.Ι

Φ.Μ

9

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας ίση με g=10m/s2

Δ1. Εφόσον η ταχύτητα

αναφέρεται στη θέση ισοροπίας του σώματος Σ1, αν Α1 είναι το πλάτος της ταλάντωσης του, ισχύει

Έστω 1Δ η συσπείρωση του ελατηρίου στη θέση ισορροπίας του σώματος Σ1. Από τη συνθήκη ισορροπίας του σώματος Σ1 προκύπτει:

Η απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας του ελάχιστα πριν την κρούση, όπως φαίνεται στο σχήμα, είναι:

Έστω 1

η ταχύτητα του σώματoς πριν την κρούση. Από την Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση του σώματoς

έχουμε:

Δ2. Εφαρμόζοντας την αρχή διατήρησης της ορμής κατά την κρούση των σωμάτων Σ1 και Σ2 , προκύπτει

1

1F

1 Σ1 Θ.Ι(1)

Φ.Μ

gm 1

(+)

2

1

Φ.Μ

(Πριν ) (Μετά) )

Σ2

10

Το συσσωμάτωμα μετά την κρούση ακινητοποιείται στιγμιαία συνεπώς η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου αποτελεί θέση μέγιστης απομάκρυνσης για την ταλάντωση που προκύπτει μετά την κρούση

Επομένως, για το πλάτος Α2 της ταλάντωσης του συσσωματώματος, ισχύει

Όμως, στη νέα θέση ισορροπίας του συστήματος ( Θ.Ι 2) ισχύει:

Για την ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος προκύπτει:

Δ3.

Η χρονική εξίσωσης της απομάκρυνσης του συσσωματώματος από τη θέση ισοροπίας του είναι της μορφής

Για to=0 είναι x= +A2, άρα

ή ή ή λόγω του ότι , είναι . και

άρα ισχύει

(S.I.) Δ4.

Εφόσον το σώμα εκτοξεύεται την to=0 από τη θέση x= +A, πρώτα θα διέλεθει από τη θέση και μετά

από τη θέση . Άρα η ζητούμενη τιμή είναι η

2

Φ.Μ (Θ.Μ.Α)

Θ.Ι (2)

gmm )( 21

2,F

11

Δ5. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος υπολογίζεται από τη σχέση:

Για την ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t1, είναι:

Άρα