!+4.bd. Itaasi:Bcdol{inggaDitaryfu.nuntuNft{cngfriany Lcnanarl coryfungKewut AKbinztrb

Metode lterosi Bedo Hinggo Diteropkqn UntukMenghitung Lenturon Congkong Kerucut Axisimetris

ofefr : Ir Dormt,I'l)idjoyorPendohuluqn

Problem yang menjadi topik bahasan dalam makalah ini adalah salah satu jenis strukturdalam teknik sipil, yaitu cangkang kerucut (onical shcll), br'ik berupa kerucut penuhataupun kerucut terpancung. Struktur cangkang seperti ini dapat kita jumpai antara lainsebagai tangki air, puncak atap, kepala pipa, dan sebagainya. Selanjutnya, dalam makalahini hanya akan dibahas struktur cangkang kerucut tipis axisimetris dengan tebal korstan.Sifat aksisimetris meliputi geometri rvlupun bebannya. Dalam makalah ini akan disajikansuatu perdekatan numerik iteratif untuk menghitung besamya rspons deformasi danrcspon gaya. Beban yang dipikul adalah statik terbagi pada bidang lengkung cangkang,dan/atau beban di tepi cangkang. Metode yang akan disajikan ini dapat diterapkan untukkondisi batas fepit, sendi, nvrupun tepi bebas.

Gambar 1. Beban-beban yang akan dianal isa

Ada dua teori yang dapat dipakai untuk menganalisa struktur cangkang, yaitumembrane teori dan bending teori. Membrane teori hanya memperhitungkan teganganmembran, sedangkan bending teori juga memperhitungkan tegangan lentur. Bending teoribersifat lebih umum, tapi lebih komplek secara matematis. Kedua teori ini menghasilkanprsamaan keseimbangan berupa persamaan differensial. Pemecahan persamaan diferen-sial ini akan menghasilkan nespons deformasi maupun nespons deformasi maupun responsgaya yang diinginkan.

'Dosen Tetap Fakultas TeknikJurusan Sipil Universitas Kristen Krida Wacana dan saatini sedang merampungkan studi pasca sarjana di ITB, Bandung.

% Krida Wacane

n{etolz I tzrasi lklo Nbggo Diteropfo;n Untu(*{ngfriant L.naEaL Congfong fQ:ut A4bimctrk

Metode-metode yang telah dikembangkan untuk menganalisa struktur cangkangkerucut adalah metode eksak metode pendekatan numerik (metode elemen hingga danmetode beda hingga), dan metode pendekatan/penyederhanaan (appoimation). Metodeeksak (Flugge, \960, dan Trmoshenko, Woinowsky-Krieger,1959) merupakan pemecahananalitis terhadap persamaan differensial keseimbangan. Metode ini dikembangkan lebihlanjut oleh Taylor et.al (1954, 1.974) danhasilnya ditabulasikan oleh Roarkand Young (1975,1989). Untuk cangkang kerucut pendek terpancung Roark & Young memakai koefisienpengaruh dari Baltrukonis (1959). Harintho (1986), dan Flarintho & Logan (1988) meng-analisa cangkang kerucut terpancung dengan ketebalan bervariasi. Metode elemen hinggamerupakan metode numerik yang sangat ampuh dan luwes, dan telah banyak dibuatmenjadi program-prcgram paket. Sebaliknya, metode pendekatan/penyederhanaan(Geckler, Kelkar) biasanya memiliki keterbatasan dan kekurangmacetan. Metode bedahingga merupakan alternatif lain dari metode pendekatan numerilq metode ini bersifatcukup umum dan teliti.

S.p".ti diketahui, persanuran diferensial dapat disimulasilon dengan persamaan bedahingga. Hal ini secara implisit berarti metode beda hingga membutuhkan elaprcsi elcsplisitdari persamaan diferensialnya. Di satu pihak ini merupakan kelemahary karena tidaksemua problem keteknikan dapat dituliskan PDnya secara eksplisif tapi di lain pihak jugamerupakan kekuatan, sebab bila beda hingganya diambil semakin kecil maka solusinyasemakin menuju solusi eksak asalkan persarnaan beda hingganya konsisten. Dalammakalah ini pendekatan beda hingga digunakan untuk mencari solusi numerik dari per-samaan differernial cangkang kerucut yang diturunkan berdasarkan bending teori.

Pengembangan metode beda hingga untuk memecahkan persamaan difurensial men-gandung beberapa masalah, yaitu konsistensi, stabilitas, kecermatan, dan efisiensi(kecepatan). Di samping itu tentu saja secara matematis solusi persamaan diferensial selalumenga nd ung pertanyaan tenta ng existensi, keunikan, dan kestabila nnya.

Eksistensi dan keunikan solusi sistem,persamaan diferensial keseimbangan daricangkang kerucut ini sebenarnya merupakan masalah penting, mengingat masalahcangkang kerucut ini merupakan masalah nilai bahs. Tapi dalam makalah ini masalahexistensi dan keunikan solusi tidak dibahas, karena membutuhkan pembahasan khusus,lagipula dengan mengingat bahwa sebenarnya solusi eksak sudah pemah dikerpkan(Flugge, Timoshenko, Taylo4, dan seterusnya).

Dalam makalah ini juga tidak dilakukan analisis terhadap metode numerik yang alondisajikan, tapi diberikan demonstrasi berkaitan dengan korsistersi, stabilitas, kecermatarydan efisiensi.

Krlda Wacana s7

lkto& tawl Dcla l{bggo tD'ttanpfon un*(P{aryfiiang Lcnasan congfung I(cruut A4isitutrk

Perumuson MosolohStruktur cangkang kerucut yang akan dipelajari pada gambar 2. Pada gambar tersebut

digambarkan sistem koordinat dan besaran-besaran geometri yang menentukan. IGrenaaksisimetri baik beban maupun geometrinya, maka deformasi yang menentukan adalahperalihan meridional u dan peralihan normal w. Cangkang kerucut ini mempunyaiketebalan konstan h.

AII

Grnbrr 2. Bcrrm e.sn trli ddam koordh*r ddormrd

Trniau suatu elemen cangkang seperti teqgambar (Gambar 3)

l + i

Gember 3. Elemon Cangkang

G\/H t , / - - - -

tn/

5t Krida Wecana

^4.tof,. I taasi:Eelo 1{h4go Diuropfo;n Untu(p{agfiialng Lenasan ConXfong Kgucttt AaLfrrcris

Tinggi elemen adalah ds sedangkan lebar elemen ditentukan oleh robahan sudut sebesardt pada sumbu kerucut. Beban pada permukaan cangkang diuraikan ke arah s dan z,menjadi ps dan pz" yang didefinisikan sebagai gaya per satuan luas, bekeria di tengah-tengah elemen cangkang. Gayagaya membran, yaitu resultan tqiangan membrary padaelemen tersebut digambarkan sebagai berikut (gambar 4).

Garnbar f. Gryrjaye mcmbran

Resultan tegangan membran Nt dan Ns didefinisikan sebagai gaya pr satuan panjang.Total gaya-gaya adalah 0V0(ds) dan (N')(rdt). Nt dan N, merupakan fungsi s. Resultantegangan geser seiajar bidang cangkang Nst dan Nb sama dengan nol karena sifat simetri.Juga karena sifat simetri maka Nt dan Ns tidak merupalon fungsi t.

Pada peniniauan gaya-gaya lenturan, yaitu momen lentur, gaya geser tegak lurus bidang,dan monren torsi (Gambar 5), akan kita jumpai hal yang serupa. Karena simetri maka

Gmlrrt, Gryrtryr l.ntr$

ll .

Krlde Wecene 39

,{ebd. It 1!si:Ec/ol{inggoDitzmpfuV IJnnlffkngfriarrrf L.flanut CongfongKerrcut A4isimetris

momen torsi Mts dan lvGt sama dengan nol, dan resultan tegangan lentur Mt, lvG, dan Q"tidak tergantung pada t melainkan pada s saja. Mu lrds, dan Q' juga tergantung pada tmelainkan pada s saia. Me lvG, dan Q. juga didefinisikan per satuan panjang. Total gaya-gaya masing-masing adalah (Mt) (ds), (M') (rdt), dan (Q$ (rdt).

Karena simetri maka 6 persamaan keseimbangan untuk cangkang kerucut dapatdireduksi menjaadi 3 persamaan keseimbangan sebagai berikut :

d (sNs)Nt=- sps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

ds

d (sG)Nt tano=- spz . . . . . . . . (2)

ds

d (slvG)Mt = - sQ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

ds

Adapun gaya rnembran dan gaya lenturan dapat dinyatakan dalam peralihan u dan wsebagai berikut :

E h d u u wNs=- [ -+ t ( -+ - tancr ) ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 )

l - l t ' d s s s

E h d u u wN r = - . I p - + - t a n c r ) ] . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 5 )

l - l r ' d s s s. d ? w p d wMs=DI

"

+ ( - ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 )d s o s d s

d 2 w l d wM t = D [ [ r

d s " s d s

Eh3di mana =

rz(1, -tr\

E = modulus elastisitash = tebal cangkang1 = pertrandingan PoissonD = kekakuan lentur

60 Krida Wacana

*{eto& I tzrasi *4a t{itgga Diterop fon antu(alengfiiant Lcnalran coag fu,lg r1eraeut AtTbinutrk

..-

hl-u^ 3 persarnaan diferensial tersebut (persamaan 1, 2, 3) terdapat 5 bilangan takdiketahui, yaitu Ns, Nt, Ms, Mr, dan e.. Tetapi karena setiap resultan giya dalam tZoLU,rtdapat dinyatakan dalam u dan w maka sebenarnya hanya ada 2 varia*l'tergantung (yaituu dan w), dan satu variabel bebas (yaitu s). Dengan demikian sistem 3 persimaan jiiL*t -sial. Adapun cara meringkasnya adalah sebagai berikut.

Persamaan (2) dan (3) dikombinasikan dengan cara mengeliminasikan ee, yaitu denganmenurunkan persamaa_n (3) terhadap s sekali, kemudian mensubstitusikan ke dahm ftr-samaan (2), sehingga diperoleh:

a2 (sv") dMt+ Nt tan cr = spr . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . (9)dsds2

Sistem Prsamaan diferersial yang dimiliki sekarang adalah persamaan (1) dan (9). BilaPersamaan (4'5,6,7,8) disubstitusikan ke dalam ke dua persamaan diferensiai ini maiiakandiperoleh 2 persamaan diferensial terangkai dalam u dun r^, sebagai berikut :

Af l

-L I

1 -l-

o s -

, 1 . ' . , ,

, t )

.?r-l " t^l

A - \ )u 5

tan7 d-l - c low 1 dw

+2 ? ?

s - ds ' - ds

72 u d r r( + A

t \ /h'S s d l;.

i tatr d,

tern d, +

I2+

, '.)

h - '

E, ,z

D

d r r

d:,-

1.1 s p _ .- 5' " -FT

tan o(-

( 11 )'l t+

J ^U J

E hT : '

- = l . e k a l < r : a n e x t e n s t c r h ? 1

- 2r - / -( . 12 )

^ -Persamaan (10) dan (11) merupakan sistem persamaan difurensial biasa linier simultan.Solusi unikdari sistem persamaan diferensial te-rsebut juga tidaktime4rynitenf, sebaliknyabersifat stewly state. Jadi permasalahan yang dihadapiialam analisa struLtuicangka"g

Krida Wacane 6l

,lcbd. Ituwsitsela t{iaggo Diurop(gn Antu(fi{engfiiatflg Leflanat Congfung l(entcut tryisinutris

kerucut aksimetris ini ternyata adalah permasalahan sistem terangkai (coupled system) steadysfafe dengan syarat batas.

Penyelesoion dori Sistem Persomoon Diferensiol fersebutSolusi analitis dari sistem persarnaan diferersial (10) dan (11) dapat dicari dengan cara

mereduksi menjadi sistem pesamaan diferensial tingkat satu, lalu mencari solusi turunan-nya; langkah tersebut dilakukan secara berulang-ulang (succrssioe) l7l.

Dengan metode numerik ada 2 pendekatan yang dapat dipakai dalam memecahkansistem persaruan diferensial terangkai (biasa maupun parsial), yaitu [9] :

" Cara langsungo Cara iterasi

Bila sistem prs,amaan diferensial tersebut bersifat standar seperti yang dijumpai dalamproblem analisa dinamik dan Multi DCru of Freedom System, rnaka dapat dilakukan caraintegrasi langsung, misalnya dengan metode Newmark-p, Wilson-O, Houbolt, dansebagainya. Bila sistem persilmaan differeruial yang kita jumpai bersifat tidak standarseperti pem (10) dan (11) di atas rnaka cara langsung memerlukan prosedur yang tidakstandar. Dalam hal ini cara iterasi akan lebih mudah untuk dilaksanakan.

Cara iterasi antara lain diuraikan oleh DN de G.Allery MA [1,19541, yang disebut sebagaiTunVsi&bTechniqre. Dalam cara tersebut dilakukan terkaan awal dari variabel u dan w,kemudian melalui proses yang disebutnya liquidasi, dilakukan iterasi sampai mencapaikonvergensi.

PeiJianping dan Issam E Harik dalam 16,1990l mengajukan metode iterasi yang lain,yaitu dengan menggunakan terkaan awal u dan dry'de untuk setiap titik diskrit, misalkan0, Persamaan (10) dinyatakan dalam persanuran beda hingga, kemudian terkaan awaldimasukkan dalam persilmaan hingga tersebut, sehingga diperoleh sistem persamaan liniersimultan. Bila sistem persamaan linier simultan tersebut diselesaikan akan diperoleh hargaw untuksetiap titikdiskrit. Kemudian nilai u, du/ds, dan w yang telah diperolehdimasuk-kan dalam prsilmaan (5), diperoleh Nt. Haqga Ns dihitung dengan mengintegrasi per-samaan (1). Kemudian harga du/ds dihitung dengan mengkombinasikan persamaan(4) dan (5) yang menghasilkan rumus :

- = - ( N s - 7 4 f t )d s m /

Dengan intqgrasi numerik maka nilai u untuk setiap titik diskrit fuga dapat dihitung.Nilai u yang diperolh ini dibanrdingkan terhadap nilai u pada terkaan semula; bila selisih-nya masih dianggap terlalu besar maka nilai u dan du/ds yang diperoleh terakhir dipakaisebagai terkaan untuk iterasi berikutnya. Menurut Pei )ianping metode ini mempunyaiakurasi yang baik sekali, dan konvergen dengan cepat, pada umumnya iterasi ke 6 dan ke7 hanya berbeda pada singnificant digit yang ke lima.

n,,uu( 1 3 )

62 Krida Wacana

*{ctodt luro-sil&c[a 9{idgga Ditcropfon AntuNfthngfriatrf Lcflanan Congfotg t(arcut Aabinctis

Prosedur lain yang tampaknya lebih sederhana adalah sebagai berikut. Kedua per-samaan (10) dan (11) dinyatakan dalam persamaan beda hingga, sebutlah persamaan A danB. Terkaan awal diberikan terhadap u dan du/ds, kemudian w dihitung dari persamaan A.Dengan data harga w tersebut dilakukan diferensiasi numerilg dipenrleh dw/ds. Nilai wdan dwlds dimasukkan ke dalam persamaan B, diperoleh u. Ftrarga u ini dibandingkanterhadap terkaan semula, bila belum memuaskan maka dilakukan diferensiasi numerikterhadap harga u, diperoleh du/ds. Haqga u dan du/ds yang baru ini dipakai sebagaiterkaan untuk iterasi berikutnya.

Mengingat kesederhanaan dari prosedur yang terakhir ini, maka penulis tertarik untukmempelajarinya dan mendemonstrasikan unjuk kerjanya, baik dalam hal stabilitasnumerik, akurasi, maupun efisiensi (kecepatan). Khusus untuk rnasalah efisiensi(kecepatan), untuk mempercleh pembanding maka penulis juga membuat program kom-puter berdasarkan algoritrna Pei Jianping, kemudian membandingkan rlru.,essing time-nyadengan program yang dibuat berdasarkan algoritrna ke dua.

Satu hal yang menjadi ganjalan dalam algorihna kedua adalah pada langkah diferensiasinumerik. Dalam buku teks mengenai metode numerik diperingatkan bahwa difereruiasinumerik sedapat mungkin dihindarkan karena sangat eensitif dalam hal akurasi. Tapikarcna metode ini adalah metode iterasi, maka diperkirakan kekurangan dalam hal akurasitidak terlalu serius. Kondisi paling buruk adalah konvergensi akan lebih lambat.

Persomoon Bedo hinggo dorl Persornoon (I0) don (I l)Dalam menyusun persamaan beda hingga dipakai formula central differencz, larena

dipandang bahwa formula ini memberikan errcr yang lebih kecil dibandingkan forwodmaupun bdqtard difference. Dengan formula central difference maka persamaan (10) dapatdisimulasikan dengan persamaan beda hingga sebagai berikut.

Fw r-z + GW i -r + HW 1 + IW i +t + Jw i + 2 = K ..............(14)di mana

F =si-x. . . . . . . . . . . . . . . . . (14a)2 L

Kride Wscanc 63

l{cto{e ttausi:Deda 9{hgga:Ditaopfu;n ltntulft{engfi.ifrirrt Lcnalrafl Congfung I(erucut Ar7isinuttis

]=s i+ l . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . (14)

P z u i d u l 2 t a n oK = - i A a - 1 - * F ( - ) i l - A . . " ( 1 4 0

D s i d s h '

Persamaan beda hingga ke-2 untuk persamaan (11) adalah sebagai berikut.

L u i - r = + M u i + N u i + l = P . . . . . . . . . ( 1 5 )

di mana

s lL = -

Lz 2L(1sa)

Altematif lain adalah dengan rnemindahkan (du/ds) dan (u/s) ke ruas kanan. Per-samaan beda hingga ke II untuk prsilmaan alternatif ini adalah sebagai berikut.

u i -1 -2u i+u i+ 1 =R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (16)

di mana

Ps i p tancr dw tancr ldu up-L2 t_ _ - ( - ) i * - , w i _ - + - | . . . . . . . . . . . . . . . . . (16a)

T s i d s s i o s i d s s i o

Dari penampilannya tampak bahwa prsamaan (16) lebih sederhana daripada per-saruan (15). Untuk nremudahkan mengingat, persamaan (15) disebut persarvran IIa danprsamaan (16) disebut persamaan IIb.

54 Krida Wacane

Neadc ttcrui:Bctra l{ingga Ditcrapfon UnaNft{mgfiiaug Lcnasol cugfong Karctt Axi.it utrirt

Syorot BqfosAda 3 kondisi batas yang akan diperhitungkan dalam pengembangan metode ini, yaitu

iepit (clampeQ, sendi (simply connectedl dan tepi &bs ftie ads'e). untuk cangkang kerucutqenuf (so = 0), kondisi batas di puncak adalah sama dengan kondisi jepit. Kondislbatas inidiperlukan untuk mengeliminasikan u dan w di ti6k- tida fiktif (ui-l, ui+ 1, wi-2" wi-';,, wi+2,wi+2) bila persamaan (14,15,16) diterapkan di titik-titik batas.

loa

Persamaan syarat batas untuk jepit adalah w = dw/ds = u = 0.Persamaan syarat batas untuk sendi adalah w = 0, Ms = 0, u - 6.

Persamaan syarat batas untuk tepi bebas adalah lr{s = lvtr Qs = e, dan Ns = N.Pembuqton Progrom Kompufer__I3gT- komputer dibuat dalam bahasa FORTRAN 77, d,engan compiter MicrosoftFORTRAN ver.4'0. Struktur Program menggunakan main progru^ dan subprogram. Sub.Pr.r8lAy3ng terpenting adalah subprogram unh,rk menghitung solusi sistem persamaanlinier (SPL) dan subprogram untuk diferersiasi numerik.

P-ada pembuatan subprogram SPI kendala yang dihadapi adalah besarnya matrikskoefisien. Menurut Pei Jianping jumlah titik diskrit yang diperlukan bisa mencapai 200,yang berarti ukuran matriks koefisien adalah 2fr0 x ?n0 = 40.(XX) elemen. Dengan PC,memori yang tersedia fauh dari cukup. Tapi dari bentuk pensamaan (14,15,16) terlihat bahwasesungguhnya matriks koefisien berbentuk band-matriks (matriks terialur). Pada per-samaan (14) lebar falurnya adalah 5, sehingga jumlah elemen yang tidak nol aditah

Krlda Wecane 55

glctodc ltansithclo Nh1ga Utavpfun antu(;!+{agfiidotg L.flturarl congfung Kcruut A4isimetris

5 xiumlah tidk diskdt. IGrena PC yang d ipakai dapat menampung selcligus sampai kuranglebih 8000 elemen dalam satu matriks, maka jumlah titik diskrit 6isa mencapai iOm. Uatcapemecahan lerhadap kesulitan tersebut adalah menyimpan hanya elemen yang tidak nols a1a (fundu i d th- rcIeme).

-

Pengamatan lgbih lanjut menunjukkan bahwa pada setiap iterasi hanya matriks ruaskanan yang berubah. Berarti metode yang paling efisien untuk ini adalahilJ decomosition(danvarian-variannya). Dalam litqatur adavarian yang disebutMdif;edCholesky, denganmenggunakan sistem PenyrmPanan garis langit-langit. Sejauh ini varian tersebut-tak dapatdigunakan dalam kasus ini karena matriks koefisien tidak simetris dan tidak diagonillydominant. Karena itu penulis memodifikasi program LU decomposition biasa meniadiProgram yang membaca dan mengolah data berdasarkan penyimpanan bandwidth.Mod ifikasi tersebut menya ngkut mod if ikasi ind eks elemen-elemen ma trilcs koefi s ien.

_

Subprogram difercnsiasi numerik menggunakan central diffnence, supaya konsistendengan prsamaan Ha hingganya.

Untuk Prcgram komputer dengan algoritma menurut Pei Jianping ada tambahan sub-Prc$ram integrasi numerilg yang dalam hal ini penulis memakai algoritma Simsn's 3/8 rule.Pengullon don Demonstrosi Penggunoon progrom KomputerHol-hql yong dlull

Hildebrand dalam {4,7968} mengemukakan dua syarat perlu dan cukup agar suatuPersamaan beda hingga dengan syarat awal konve4gen, yaitu syarat konsistensi dan syaratstabilitas.

Persamaan beda hingga disebut korsisten bila untuk beda hingga menuju nol makaPersarvran beda hingga kompatibel dengan persilmaan diferensialnya. Konsep konsistensiini dapat juga diterapkan pada masalah syarat batas. Konsistensi dari persamian (14,15,16)te4gantung pada konsistensi persamaan beda hingga untuk turunan ke 1 s/d. ke 4, dandalam hal ini dianggap tidak perlu dibuktikan lagi, sehingga persarnaan (14, Ls,16) jugamernenuhi sya ra t konsistensi.

Syarat stabilitas adalah syllat yang meniamin tidak adanya ketidakstabilan kuat, yangdilgbut iuga gintui* inst&ility, yaitu kondisi adanya errcr yang semakin besar di zuatutitik Xk untuk beda hingga yang semakin kecil. Sekalipun ketidakstabilan kuat tidakdijumpai, masih ada lcemungkinan adanya ketidakshbilin lemah, yang bersifat step-utivinstability, yaitu bertambatnya aror dari titik ke titik untuk Xk menuju tik terhingga.

Pada boundmy aaluz prcbbn biasanya stabilitas numerik tidak menjadi masalah. Tapidalam makalah ini juga akan didemonstrasikan perilaku stabilitas numerik dari metodeyang menyatakan bahwa bounfury valuc poblem pasti stabil secara numerik" dan untukmeyakinkan bahwa iterasi konvergen pada eract solutiott.

65 Krida Wacana

,{ctofu ltuasitselo 9{ingga Diterapfon Untulft{cngfiiant L.natron. Cugfong Kelut Aaisitrutris

Perilaku numerik lain yang diuji coba adalah kecermatan dan kecepatan. Perilakukecepatan dari metode ini dibandingkan dengan kecepatan dari metode yang dibuat olehPei Jianping.

Tigo confoh sool sebogoi uil cobo

Untuk uji coba dipilih 3 kasus, yaitu sebagai berikut :

Kasus I : Cangkang kerucut penuh menerima unifrnn shen.

Y = Z ) 5 , 8 x 1 0 5 k N / m 2F= 0r3h = 0 , 0 2 mt r = 4 5 oS o = 0S k = 2 mQk = 9,8 kN/m

*bo& ttensi lhcla 1{h4go tDi,urapfo;n Untu(;ft{cngfiiturrt Lcna$an Congfong \gruut A4isimetris

Kasus III : Cangkang kerucut terpancung menerima beban ps dan pz, di tambah beratsendiri.

Fixen

Y = 3 0 x 1 0 6 p s iP - 0 , 3c r = 5 5 oh = 1 i nS o = Z ) , 9 2 i nSk = 418.ttii inPz = 26,94psiPs = 18,06 psiV'hopry = 0,28 psi

VrnopV

Komenfor ferhodop hosil perhitungon

Dalam tabel I disajikan rekapitulasi hasil kasus I, II, dan III, untuk memperlihatkanperilaku poi nt-utis stability dan step-wiv stability .Yang d iperlihatkan adalah nilai-nilai v Ns,dan Itds untuk berbagai titik dan besar beda hingga (equisryced delta, dl. Sebagai hasil yangdianggap exd solutiott adalah hasil menurut Roark & Young (1975,1989) untuk kasus I danII, dan hasil menurut Harintho (1986) untuk kasus III. Harga error (e) diperhitungkanterhadap nilai-nilai exrct slutbn im.

Terlihat dalam tabel tersebut ada kecenderungan umum untuk mengecilnya error (e)seiring dengan mengecilnya d. Ini berarti kondisi stabilihs terpenuhi.

Sekalipun terhirular dari pointwix instability tapi dalam tabel tersebut terlihat bahwametode ini terperangkap dalam stepwise instability, yaitu meningkatnya e dari titik ke titikdengan maksimum di suatu titik Untuk v e max terjradi di tepi bebas, sedangkan untuk Nsdan lvIs teriadi di antara so dan sk

Sebagai demonstrasi ekstra, dilakukan uji coba terhadap kasus I dengan 5 tabel yangberbeda sedikit demi sedikit, dan 5 edge shear yang juga berbeda sedikit demi sedikit.Relapitulasi hasilnya dititik dengan (s-so)/(sk+o) = 0.8S disajikan dalam tabel 2 (untuk

6t Krlda Wacana

|r{ctodc lnrasi8cr'aNinggatDiaropfon llnnftflcngfiitur8 Lcflaren CarykngS(pruut t

,i{cbdc It rositse{a 9{ingga lDitcrapfun Tlntu(ft{cngfriau,t Leflalran Cangfong t(crucut Afbimetris

Karena uji coba yang dilakukan hanya menyangkut boundary jepit dan bebas, makakesimpulan yang dapat ditarikbelum mencakupboundmy sendi, maupun bebas-bebas.

KeslmpulonDari keseluruhan studi yang telah dilakukan dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :

" Masalah lentur struktur cangkang merupakan masalah sistem terangkai steady statedengan syarat batas.

" Sistem terangkai tercebut dapat diselesaikan dengan metode numerik menurutprosedur iterasi dengan integrasi numerik maupun diferensiasi numerik.

o Prosedur diferersiasi numerik untuk kasus cangkang kerucut penuh dengan tepibebas dan cangkang kerucut penuh dengan boundary bebas-jepit menunjukkanindikasi hasil yang bersifat pinhaix stabb, tetapi ste?utis instable. Dengan pengan-daian konsistensi persamaan beda hingga, maka kedua syarat/ yaitu syarat konsis-tensi daan syarat stabilitas, telah telpenuhi, sehingga dapat disimpulkan bahwaprosedur ini menunjukkan indikasi konveqgen untl.rkketiga kasus yang telah dicoba.

" Sistem pelsamaan diferensial lenturan cangkang kerucut ini menunjukkan indikasisolusi yang bersifat stabil.

" Dari segi kecepatary prosedur integrasi numerik lebih cepat scara mencolok diban-d ingkan dengan prosedur diferensiasi numerik.

' Hasil dari prmedur diferensiasi numerik maupun integrasi numerik menunjukkanindikasi akurasi yang baik sekali.

' Coupling antara besaran u dan w bersifat kuat. Mericlional displacemenf u tak dapatdiabaikan dalam struktur cangkang kerucut.

o Pemindahan sebagian term persamaan diferensial ke forcing function (ruas kanan)menunjukkan ind ikasi mempercepat konvergensi.

" Metode iterasi beda hingga merupakan metode pendekatan numerik alternatif yangcukup dapat diandalkan disamping FEM untuk melakukan analisa strukturcangkang kerucut axisimetris.

70 Krida Wacana

,{ctoL I tttari :Belo l{idgga Ditcrop fu;n Tlntu(lv{ngfriawt Lcrrasu Cong fung t(aucut A4bit utk

Dofior Pustoko

D. N. de G. Allen, MA "Relaxation Methods in engineering and science", McGraw-Hill, Inc,New York1954

Gerald C. F. "Applied Numerical Analysis Addison Wesley Publishing Company, Inc,Massachusetts, 2nd ed, 1978

Greenspan, D. lvl, Discrete Numerical Methods in Physics and engineering, Academic Press,Inc, New York1974

Hildebrand, F. 8,. Finite-Dfference Equations and Simulations, Prentice Flall, EnglewoodCliffs, N.J. 1968

Kreyszig, E,"Advanced Engineering Mathematics", John Wiley & Sons, 6th ed, 1988

PeiJianping, and Issam E.Harih" Iterative FDSolution toBendingof AxisyrnmetricColonialShells" Journal of Structural Engineering, Vol.l16.No.9 2,423 - 2446,ASCE 1990

Petrovski.I.G "Ordinary Differential Equatiorsn, Prentice-Hall,Inc, Englewood Cliffs NJ.196

Young, W.C nRoarks Formulas for Sterss & Strain", McGraw-Hill, Inc, 6th ed, 1989

Zienkiewicz, O.C, Coupled Problems and their Numerical Solutions", Numerical Methodsin Coupled Systems (8d., R. W. Lewis, P Bettess, and E. Hinston), |ohn Wiley and SonsLtd,1984

"Catatan Kuliah Metode Numerik (SI403) di ITBdari Prof. M. Sahari Besari MSc. PhD", 1991.

Lompiron (tobel I s/d 5)Lihat halaman berikutnya.

Krlda Wacene 7l

Ncodc lteflsi&efu l{ingga:Oitcropfuin Antu(ffhngfrianf Lcnaran Cangfung 9(eruut A4bit utrk

(s -so) / (sk-so)=0.52Cose I

(s -so) / (sk - so) = 0.64Cose I

(s -so) / (sk-so)=0.76Cose I

V ( m x 1 0 -6'l

Ns (kN/m) MsN.m/m)

nilai e ni la i e nilai ed = 0.040 0.0373 0.0123 4.n9 J.2?A 0.902 J.717d = 0.02,0 0.0284 0.0034 4.060 1.059 0.992 0.027d = 0.010 0.0?57 0.0007 4.ffi7 1.006 1.015 0.004R&Y 0.02s0 0.0000 4.001 0.000 1.019 0.000

v (m x 106) Ns (kN/m)ni la i nilai e nilai e

d=0.040 0.1132 1.0068 4.078 0Jm -7.m1 0.257d=0.020 0.1163 1.0037 J.049 0.043 -7.896 0.062d =0.010 1.1165 0.003s ).088 0.004 -7.939 0.019R&Y 1.1200 0.0000 ).092 l.0m -7.958 0.0m

V(mx105) Ns(kN/m) Ms(N.m/m)

ni lai e nilai nilaiC=0.040 -1.9s66 0.0734 4.456 t.1s3 {.030 r.242C=0.020 -2.0t22 0.0178 -0.341 1.03E 4.959 0.313d=0.010 -2.0%z 0.m,$ o.306 0.003 -7.181 0.091R&Y -2.0300 0.0000 -0.303 0.000 -7.n2 0.000

72 Krida Wacana

Neudc ltcrasiAeilo 9{irygo Ditzropfun TlntuNfilengfriwng Lcnuran Cangfong Kgnrcut A4bimcttk

(s -so) / (sk-so1 =0.88Cose I

(s -so) / (sk-so)=1.00Cose I

R & Y = Roark and Young (1975)

Tqbel I. Hubungon ontoro equispoced delto dengon v, Ns, don Ms

(s-so) / (sk-so)=0.52Cose l l

v (m x 105) Ns (kN/m) Ms(N.m/m)nilai nilai nilai

d = 0.040 J.21,51 t.1351 -2.777 ).507 23s.816 4.n4d = 0.020 J . t t 7 7 0.0317 t.D9 J.129 ?39.418 7.172d = 0.010 3.0864 0.0064 -1.696 ).0?i 2N.737 0.453R&Y 0.0800 0.0000 -'1.670 1.000 240.s90 ].0m

V(m x 104) Ns (kN/M) Ms(N.m/m)nilai ni lai e nilai e

c = 0.040 19.09s1 0.5949 t.9n 0.0m 0.000 0.000d = 0.020 i9.s448 J.t4s2 5.9n 0.000 1.000 0.000d = 0.010 ,9.6'n5 D.07U5 t.930 0.000 0.005 0.005R & Y i9.6900 1.0000 t.930 0.0m l.0m 0.000

v(m x 104) Ns (kN/m) Ms(N.m/m)ni la i ni lai nilai e

d = 0.040 -1.6003 1.571,3 29.5s7 29.722 16.631 0.419d = 0.020 4.4207 J.3917 7.?55 7.4?n 16.941 0.109d = 0.010 4.1327 0.1031 1.799 1.964 17.029 0.021R&Y {.0290 0.0000 -0.165 ).0m 17.0s0 l.0m

Krida Wacana 7t

,{.to{. Itaosi:Bcy'a l{h4ga Ditaop(gn ttnnft;ff{ngfiialn1 L.na$u Con1fung Kcruut A4bimetris

(s -so) / (sk-so)=0.64Cose ll

(s-so) / (sk-so) =O.76Cose ll

(s 'so) / (sk-so)=0.88Cose ll

V(mx 106) Ns ftN/m) Ms(N.m/m)

nilai e nilai nilai ed = 0.040 1.8319 1.8191 25.n8 24,50 -39.4?A 0.102d = 0.020 3.1958 0.4ss4 7.272 6.0s4 -39.s07 0.023d = 0.010 3.s309 J.l,?nl 2.743 1.58s -39.4s9 0.071R&Y 3.6510 ).0000 1.158 0.000 -39.530 0.0m

v(mx10-6,) Ns(kN/m) Ms(N.m/m)

nilai nilai nilai

d = 0.040 -17.3176 1.2276 22.125 2r.ts9 -82.984 -27.276I = 0.02,0 -16.3907 0.3007 t.?57 5.297 -498.835 s.365I = 0.010 -16.1508 0.0608 2.3s2 1.386 -s02.786 1.4't4R&Y -16.0900 0.000 ).9$ 0.000 -s04.200 0.000

v(mx104) Ns(kN/m) Ms(N.m/m)

nilai nilai nilaid = 0.040 -10s.3s44 0.7456 -15 775 -14 n76 2080.160 -54.240d = 0.020 -10s.8690 0.2310 -?6.356 -3.495 zl?,0.s7s -13.825d = 0.010 -106.0087 0.0913 -?8.91,2 0.939 2129.270 -5.130R&Y -106.1m0 ).finO -29.8s'l 0.000 zt34.N0 0.000

74 Krida Wacana

n{cudc t uttsi lBe[o 9{inggo tDiurupfu;n Ann(p{c:gfriautf Lcnalrafl Congfong 9(auut A4isinutris

(s -so) / (sk-so)=I .00Cose ll

R & Y Roark ang Young (1975')

Tobel l. Hubungon ontoro equispoced delto dengon v, Ns, don Ms(sombungon)s = 20.92 in

Cose l l l

v(mx10{) Ns (kN/m) Ms(N.m/m)

nilai nilai e nilaid = 0.040 538.0134 14.ffi66 1.000 0.0m 9800.00s ).005d = 0.020 548.934'l 3.6659 1.000 0.0m 9800.017 ).017d = 0.010 ssl.?a44 1.3t56 1.000 0.000 1800.02(t J.0?6R&Y ss2.6000 0.0000 1.000 0.000 9800.000 ).000

v(in.x 10-3) Ns (lb/in) Ms 0b-in/in)

nilai e nilai e nilaid = 4.015 0.1s80 0.0420 1.003 0.003 1.000 0.000d = 1.506 0.1579 0.0421 t.003 0.003 1.001 ).001d = 1.004 0.1578 0.0422 4.001 0.001 t.000 ).0mHARINTH( 0.2000 0.0000 0.000 0.000 c.000 ).000

Krida Wacana 75

L4cu& Itaasit&cla9{iaggatDitaepfun ann(;/cngfriaurf L.naffott congfong Kcruut A4isimetrk

s = 153.42 ln

Cose ll l

s = 285.93 In

Cose ll l

s = 418.43 ln

Cose ll l

v(in. x 10-3) Ns (lb/in) Ms0b-in/in)

nilai e nilai e nilaid = 4.015 5.0705 0.0705 ?f,0s.769 0259 1.139 1.139d = 1.506 6.0m7 0.0707 2805.208 0.292 .130 .130d = 1.004 6.0m7 0.0m7 2f,0s.387 1.113 1.096 1.096HARINTH( 6.0000 0.0000 2805.s00 1.000 0.0m D.0m

v (in. x 10-3)

Ns (lblin) Ms 0b-in / in)

nilai e nilai e nilai ed = 4.015 20.v03 7.0297 i299.200 0.100 1.176 0.807d = 1.506 n.v704 r.0296 i299.0?r 1.080 t.2?5 0.857d = 1.064 n.9742 1.02s8 i298.69E J,N2 1.100 0.737HARINTH( 22.m00 0.0xn0 5299.100 ).000 0.369 l.m0

v (in.) Ns (lb/in) Ms0b-in/in)

nilai e nilai e nilaid = 4.015 t.0000 0.0000 7643.%9 42.X9 1595.735 14.965d = 1.506 t.00m 0.m00 7608.20s 7.205 t659.969 J.731d = 1.004 0.0000 0.0m0 7602.303 1.303 166s.984 i.28HARINTH( 0.0000 0.0000 2601.000 0.000 16r,0.700 l.0m

76 Krida Wacana

Nctodc ttcrosi:Bela 9{idgga Diuropfun Untu(n(engfiiat rg Lcna$M Congfong Kerrcut A4bimctrb

Harintho (1986)

Tobel l. Hubungon onloro equisoced delio dengon v, Ns, don Ms(sombungon)Cose | (Complele conicol shell) - (s - so) / (sk - so) = Q,tt

Tobel 2. Horgo v, dw/ds, don Ms unluk berbogol fobel Conicol shell

CASE | (Complete conicol shell) -(s - so) / (sk - so) = Q,$$

Tobel 3. Horgo v, dw/ds, Ns, Ms, unluk berbogol edge sheor Qk

I = prosedur derqgan integrasi numerik2 = proeedur dengan differensiasi numerik

Iebal (m) v ( m x 1 0 - 6 ) lw /ds Ns &N/m) Ms (N.m/m)1.018 1.0103 117.8s73 -1..696 n8.2111.019 4.41,73 11,6.5779 1.ms 224.484J.O2 0.0864 11,4.4681 1.696 24JJ.1,37J.021 05?51 172.0606 t.693 155.595).0?2 0.9009 709.3693 1.689 270.906

ok (kN) v ( m x 1 0 - 6 ) dw/ds Ns ftN/m) Ms (N.m/m)9 ).0793 10s.t232 1.557 2?.05349.4 ).0829 109.79s8 -1.627 230.3359.8 t.0864 114.4681 -1.696 2N.13710.2 1.0899 119.1,103 -1,.765 249.93910.6 1.0934 't23.8119 -1.834 2s9.74

Celta ASE I CASE II delta CASE IIIPnc. Time Pro. Time Prc. Time

(meter) tdetik) ldetik) (in) (detik)0.04 I 2.75 1.90 4.01s I 8.73

2 r4.84 19.48 z 8.il0.002 I 3.95 16.75 1.s06 1 41.63

2 ?4.73 31.91 z 6s.v70.01 I 43,8 79.37 1.004 1 95.62

2 55.97 53.56 2 98.M

Krida Wecanr 77

*tcodc ttatsi:Bcr'oilitrggolDiaapfontlnnftp{aryfri.utng Lcnaran Congfungl(muutAtTisimcttis

Tobel 4. Processing lime

r' = u cor a + w ein a = total horizontal displacement1 = valuee due to Roark and Young (19751! = proaedur integraei numerik oleh Pei jianPir and Iseam E Harik! = procedur integresi numerik oleh Danna Widjaja4 = proeedur differenaiesi numerik oleh Darma WidjajaTabel 5. Harga displacement and forces menurut berbagai cara Perhitun-gan

0.52 0.64 J.76 0.88 1.00QI r3) (4) (s) t6) n

V (mx 10-6)

1 ).02s0 ).1200 -2.0300 1.0800 59.6900

z 0.0280 1.1100 -2.07W 0.1800 s9.61003 0.0266 J.7102 .2.Msg 0.1693 i9.54064 0.0?57 0.1165 -2.02s2 0.0854 59.6115

dwlds(radx105)

I 0.6980 -1.8330 -?A.8100 114.s000 552.6000

2 0.72s0 -2.0360 -24.8000 116.3000 ss1.70003 1.7188 -2.8000 -24.78s8 116.7220 tsD.89424 0.6964 -r.8432 -2/1.6848 114.4681 i51.2702

Ns (kN/m) 1 4.ml J.092 4.303 -1..670 5.932 0.003 0.098 {.309 -1.658 6.933 ).020 0.113 4.293 -1,.U3 6.934 -0.m7 0.088 4.306 -r.696 6.93

Nt (kN/m) 1 J.1,42 J.092 -7.ffis 4.246 t7s.8t22 0.1s5 ).s33 -7.998 ).09s 175.61,63 0.154 1.533 .7.987 c.066 775.3684 0.1.42 D.556 .7.U7 4.223 175.575

Ms(N.m/m)

I 1.019 -7.272 -7.n2 2N.5n t.0m

2 1.019 a.?51 4.4s8 242.060 0.0003 7.017 a.%4 {.488 24r.792 -0.0074 1.015 -7.939 -7.181 ?40.737 ).00sI 0.n2 -2.87 -4.42n 31.115 37.906z t.402 -2.695 -4.175 81.683 ,7.883 1.400 -2.691 -4.180 81.584 37.789I J.396 .2.s79 -4.383 30.%4 37.819

7t Krida Wacana

FAI.IT I.IEIITI}. :'J.SI I

\ * ( } . H A L A } i A N A L T N E A I ] , A R I S T i. ,RC F]T.\I \ S E] IAR I r SN\ .A1 .

3 .l5 .6 .1 .B .L1 ( i .1 , ,1 t .t . ' ,t .l i .I ( r .

1 : .l ( ,1 ( i') ()2 1 .22 , ,2 . , ., .

Z I t .

a o ,, -

2 1 .3 0 .. t J .

. J i .

3.1 .

3 f .. t ;

"

: i t ' .

'l cr

1 ( \

4 1 ., 1 . ,

J . .

,1 ,4

+ t ,

1 a

+ E ,

2

333

I1

t2:j369935724612238II8B

8B9

1 0

1I333l1 1222113233

1 & 2311233-I64231523-l.l5-17J

2

212iBl

53

c h a r a t e r i s 1 - i r - t s

Y a r e tr e s F r o n d e ni n t e r m i d i a t - eo f t h e c o n t r : t c r : L , f . i v e :b e r u s i a 3 { . ) 1 - a i r u n, \ 1 r r i Ic r = 1 . 9 6 0( r l e n g a n = 5 % lb e n t m r r r : 2 0 t : r h i . r nb e r u m r r r ' 3 0 t a l r l r n

c h a r a c t e r i s t i sr ra : . ; Dcen11a rc hr e s p o n d e r r t si n 1 - e r m e d i a t eo f c ( ) n i . r a r : e p t i r . ' eL r e r u s i a < i J 0 L i , r l r u nA p r r I 1 9 9 07 - a = 1 . 9 6 0( r l e n g : r n c r . =b e r r r m u r ( 2 0tre r-umtr r- ) 3 0

1 B1 81 BI Yl 91 92 02 02 02 02 02 02 02 02 0

5 % It - ahunt ahr"rn

p = 5 7 ; )p 5 % )P 5 % )F = 5 % )

P > 5 % )p > 59 l " )p ) 5 % )1 i < 5 % )i d a k a d a

2 ztnal< , ,.> 2 a n a k '( p , 0 . 0 5 )u m t r r ( 2 0trmr.r r .1 2L1r rnah ) 2a n a r k ) lu : i : r { 2 ( ) t a h r r n1 3 %r e s p o n d , o n ( 2 0 t a h u r rr ( ' s p o i l ( l r ' f r > J 0 t a h ' r n( r m u r ) 3 0( p > i % )l r e r L r m r . t r ' < 3 t i ' t - a h u r rt r e t ' t r m u r ' ' . 1 0 t a h r r r r1 ' a i t u ) 2 a n a i r( p < 5 % )t r s i a ( 3 0 t a h r r n( p < 5 % )" h a n d o u t s "

S it -

A- A-l . L d e c o p p o s i t i o n\ = l 0 ' 'l l a r us r n d r o m as ; i nd romr lr n i c k a r d ; u r ng a r a m( ' l e l i s i d a n o r ; a s -m e m e r n a n j a n gt l i t i n g k a l l i e r n. \ l ; s r . r ak da l amI r r g g r ' i : ; a t a r rl . r a h a s : r I n d o r r e , s i a

2

222

n i l . a i 1 5 , 9 9 . . , . . . d s t2 a n a k2 an ;ek{ p = 0 ' 0 5 )r i m u r 2 0u m u r 7 a 2 0anzrk 2analr 2t r s i a 2 0 t - a l n r n

r e s p o n d e r i 2 0 t a h r . r nr e s p o n , l e n 3 C l a h t r numu r- 3 0( p = 5 z )b e r L r m L r r 3 ( i t a h r r nb e r u n r r r r 3 ( ) t a h r r n1 ' a i t u 2 : r r r a k( p = 5 % )u s i a 3 0 t a h r r n( p = i r % )" h a n < i - o u t s "

S it -

- t - FA- -A

L , L i d e c o m o s i t - i o n\ , ' : l t r - 6b a rs i n d r o ms i n d r o r nm i o k a r c ig a r z re r c . l ; s i t l ; r n m ( . m : r n j i r n q

d i t - o r r g k a t l i a r r: l b s t r ' a l ; d a l z r m b a h a s ai n g g r i s

2 2

t l

2 22 22 2z l

6 4

o o

7 28 28 28 28 28 28 3

o l

8 6

2c a s e i

3I8I9I

Master Index: Help: UK Krida Wacana Logo: