21692714 Persamaan Diferensial Legendre

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Persamaan Diferensial

Citation preview

  • APLIKASI

    PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE

    Disusun Oleh:

    Lindawati (070823)

    Tia Anita (070786)

    FKIP Matematika

    5B

    UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA

    SERANG

    2009

    1

  • PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE

    Persamaaan Diferensial Legendre adalah persamaan diferensial orde ke dua.

    (1)

    (1)

    Yang dapat ditulis;

    (2)

    (2)

    Format di atas adalah suatu kasus khusus yang disebut " persamaan diferensial legendre yang

    dihubungkan" sesuai dengan kasus m=0. Persamaan diferensial Legendre Telah teratur poin

    Tunggal di persamaan diferensial Legendre mempunyai poin-poin bentuk tunggal reguler pada,

    -1, dan, 1, dan .

    Jika variabel digantikan oleh , Maka persamaan diferensial Legendre menjadi;

    (3)

    (3)

    Diturunkan di bawah ini untuk kasust ( ).

    Karena Legendre adalah suatu persamaan diferensial orde kedua persamaan diferensial

    biasa, , itu memiliki dua solusi independen linear. Solusi A solution yang biasa di

    titik-titik yang terbatas disebut fungsi Legendre jenis pertama, sementara solusi

    yang singular adalah tunggal di disebut fungsi Legendre jenis kedua. Jikafungsi

    legendre adalah bilangan bulat, fungsi jenis pertama polinom tereduksi menjadi dikenal

    sebagai polinomial Legendre.

    2

  • Persamaan diferensial Legendre dapat dipecahkan dengan menggunakan metode

    Frobenius dengan membuat serangkaian ekspansi dengan .

    (4)

    (4) (5)

    (5) (6)

    (6)

    Memasukkan,

    (7) (7)

    (8) (8)

    (9) (9)

    (10) (10)

    (11)

    (11)

    Maka setiap istilah harus lenyap dan;

    (12)

    (12)

    (13)

    (13)

    3

  • (14)

    (14)

    Oleh karena itu,

    (15)

    (15)

    (16)

    (16)

    (17)

    (17)

    (18)

    (18)

    (19)

    (19)

    Sehingga solusinya,

    (20)

    (20)

    Demikian pula, solusinya

    (21)

    (21)

    Jika suatu bilangan bulat, rangkaian menurunkan polynomial derajat tingkat dengan genap

    kuasa-kuasa x dan rangkaian berbeda. Jika adalah suatu bilangan bulat aneh, rangkaian menurunkan sekedar polynomial derajat tingkat dengan kuasa-kuasa x yang lain dan

    4

  • rangkaian berbeda. Solusi yang umum untuk suatu bilangan bulat kemudian adalah yang diberi oleh Legendre polynomials.

    (22)

    (22)

    (23)

    (23)

    Di mana dipilih sehingga menghasilkan normalisasi dan adalah

    sebuah fungsi HIPERGEOMETRIS.

    Terkait persamaan diferensial Legendre;

    (24)

    (24)

    Yang dapat ditulis

    (25)

    (25)

    (Abramowitz dan Stegun 1972; Zwillinger 1997, hal 124). Solusi untuk persamaan

    ini disebut polinomial Legendre yang terkait (jika sebuah bilangan bulat), atau yang

    terkait fungsi Legendre jenis pertama (jika bukan bilangan bulat). Solusi lengkapnya

    adalah;

    (26)

    (26)

    Di mana adalah sebuah fungsi Legendre jenis kedua.

    5

  • Persamaan diferensial Legendre Yang dihubungkan sering ditulis dalam suatu format

    yang diperoleh dengan pengaturan . Isi identitas Yang mengisi identitas;

    (27)

    (27)

    (28)

    (28)

    (29)

    (29)

    (30)

    (30)

    ke () kemudian memberikan

    (31)

    (31)

    (32)

    (32)

    Moon dan Spencer (1961, hal. 155)

    (33)

    (33)

    Fungsi gelombang Legendre (Zwillinger 1997, hal 124).

    6

  • FUNGSI LEGENDRE JENIS PERTAMA

    Berhubunga dengan fungsi Legendre jenis pertama adalah solusi bagi persamaan

    diferensial Legendre yang teratur pada titik asal untuk bilangan bulat dan bilangan

    real, fungsi Legendre jenis pertama disederhanakan menjadi polinom yang disebut

    polinom Legendre. Yang terkait fungsi Legendre jenis pertama diberikan oleh

    Mathematica perintah LegendreP [n, m, z], dan fungsi tidak terkait oleh LegendreP [n, z].

    FUNGSI LEGENDRE JENIS KEDUA

    Solusi kedua ke persamaan diferensial Legendre. Fungsi Legendre yang kedua

    mencukupi hubungan perulangan sebagai polynomials Legendre. Fungsi Legendre jenis

    Kedua, implementasi dalam Matematika sebagai LegendreQ [ l , x ]. Yang pertama

    adalah

    7

  • (1)

    (1) (2)

    (2) (3)

    (3) (4)

    (4)

    Yang terkait fungsi Legendre jenis kedua solusi kedua terkait persamaan

    diferensial Legendre, dan dilaksanakan di Mathematica sebagai LegendreQ [l, m, x]

    memiliki turunan dari 0.

    (5)

    (5)

    (Abramowitz dan Stegun 1972, hal 334). Turunan Logaritmanya adalah

    (6)

    (6)

    DEFINISI LAIN:

    Dari sumber lain diperoleh;

    Persamaan diferensial yang Legendre adalah urutan kedua persamaan diferensial biasa

    (ODE) yang dapat ditulis sebagai:

    8

  • atau yang dapat ditulis juga sebagai:

    Di mana adalah operator Legendre:

    Kami menggunakan metode Frobenius untuk memecahkan persamaan di wilayah

    .Kita mulai dengan menetapkan parameter metode Frobenius p dalam nol.

    , ,

    , ,

    . .

    Mengganti istilah-istilah ini ke dalam persamaan asli, diperoleh;

    Jadi ,

    . .

    9

  • Dan secara umum,

    . .

    Rangkaian ini menyatu ketika

    Oleh karena itu solusi rangkaian harus dipotong dengan memilih:

    .

    POLINOMIAL LEGENDRE

    Dalam matematika, fungsi Legendre adalah solusi untuk persamaan diferensial

    Legendre punya:

    Mereka dinamai setelah Adrien-Marie Legendre. Ini persamaan diferensial biasa yang

    sering ditemui dalam fisika dan bidang teknis lainnya. Secara khusus, hal itu terjadi

    ketika menyelesaikan persamaan Laplace (dan berhubungan dengan persamaan

    diferensial parsial) dalam koordinat bola.

    persamaan diferensial Legendre yang dapat diselesaikan menggunakan standar seri

    kekuatan metode. Persamaan memiliki titik singular reguler di x = 1 , secara umum,

    serangkaian solusi tentang asal hanya akan berkumpul untuk | x |

  • Solusi untuk n = 0, 1, 2, ... (Dengan normalisasi P n (1) = 1) membentuk polinom urutan

    dari polinomial ortogonal disebut polinomial Legendre. Setiap Legendre polinom P n (x)

    adalah n derajat polinomial th. Ini dapat dinyatakan dengan menggunakan Rodrigues

    'rumus:

    P n sering didefinisikan sebagai koefisien dalam deret Taylor ekspansi:

    . .

    Dalam fisika, fungsi pembangkit ini merupakan dasar bagi ekspansi multipol

    Definisi Rekursif

    Perluasan deret Taylor dalam persamaan (1) untuk kedua istilah pertama memberi

    . .

    untuk pertama dua polinomial Legendre. Untuk mendapatkan pengertian lebih lanjut

    langsung tanpa beralih pada perluasan deret Taylor, persamaan (1) dibedakan dengan

    terhadap t pada kedua belah pihak dan disusun kembali untuk mendapatkan

    . .

    Menggantikan hasil bagi akar kuadrat dengan definisi dalam (1), dan menyamakan

    koefisien t kekuasaan dalam hasil ekspansi memberikan Bonnet's rekursi rumus

    11

  • Hubungan ini, bersama dengan dua polinomial P 0 dan P 1, memungkinkan polinomial

    Legendre dapat dihasilkan secara rekursif.

    The orthogonality properti (Sifat orthogonal)

    Sifat penting dari polinomial Legendre adalah bahwa mereka ortogonal yang berkaitan

    dengan produk L 2 batin pada interval -1 x 1:

    (di mana mn menunjukkan Delta Kronecker, sama dengan 1 bila m = n dan ke 0

    sebaliknya). Bahkan, alternatif turunan dari polinomial Legendre adalah dengan

    melaksanakan proses Gram-Schmidt pada polinomial (1, x, x 2, ...) yang berkaitan dengan

    produk batin ini. Alasan untuk properti orthogonality ini adalah bahwa persamaan

    diferensial Legendre dapat dipandang sebagai Liouville Sturm-masalah, dan karenanya

    mereka eigenfunctions

    Aplikasi dari polinomial Legendre dalam fisika

    Para polinomial Legendre pertama kali diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie

    Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi Newtonian

    dimana r dan r 'adalah panjang dari vektor X dan X masing-masing dan adalah sudut

    antara kedua vektor. Seri menyatu ketika r> r '. Ekspresi memberikan potensial gravitasi

    dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. Perluasan

    12

  • menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan

    ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan.

    Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi,

    , Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan metode pemisahan

    variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada

    sudut azimuthal).

    Di mana adalah sumbu simetri dan adalah sudut antara posisi pengamat dan

    sumbu (sudut puncak), solusi potensial akan

    dan . harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah .

    Polinomial Legendre dalam perluasan multipole

    Legendre Polinomial juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah

    sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

    yang muncul secara alami di multipole ekspansi. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi

    pembangkit untuk polinomial Legendre.

    Sebagai contoh, potensi listrik (r, ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang

    terletak pada sumbu z pada z = a (Gambar 2) bervariasi seperti

    13

  • Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang

    potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

    di mana kita telah mendefinisikan = a / r