21.IN_Linear_prog

1/245

I.I.LINEARNOLINEARNO

PROGRAMIRANJE - LPPROGRAMIRANJE - LP

PProf. dr rof. dr IIlija lija NNikolićikolić

KVANTITATIVNI MODELI I METODIKVANTITATIVNI MODELI I METODIU BIZNISU I EKONOMIJIU BIZNISU I EKONOMIJI

mailto:mailto:[email protected]@yahoo.com

Beograd, 2007/2009Beograd, 2007/2009

2/245

Matematički model : Funkcija cilja i ograničenja

Rešavanje :Ručni postupci : Grafičko rešavanje za n=2 promenljiveRučni postupci : Simpleks metodaPrimena softvera : WinQSB, Modul Linear and Integer Programming

Tipovi problema (2) :1) Maksimizacija funkcije kriterijuma2) Minimizacija funkcije kriterijuma

Vrste modela sa stanovišta promenljivih (5) : 1) Linearno programiranje (za kontinualne promenljive)2) Celobrojno linearno programiranje, 2 tipa promenljivih :

a) bilo koji celi brojevib) binarni brojevi : 0 ili 1; 0-1 programiranje

3) Mešovito celobrojno linearno programiranje

Oblici ograničenja (3) : , ,

LINEARNO PROGRAMIRANJE – LPLINEARNO PROGRAMIRANJE – LP

3/245

Softver :Softver : WinQSBWinQSBQuantitave Systems for BusinessQuantitave Systems for BusinessKvantitativni sitemi (modeli) za biznisKvantitativni sitemi (modeli) za biznis

Autor i adresa za preuzimanje softvera

Grupa modela : 19Ukupno modela : 57Demo primera : 64

4/245

Uputstvo za korišćenje : Uputstvo za korišćenje : 1)1) Linear and Integer Programming (4 modela)2)2) Network Modeling (7 modela)

Softver :Softver : WinQSBWinQSBQuantitave Systems for BusinessQuantitave Systems for BusinessKvantitativni sitemi (modeli) za biznisKvantitativni sitemi (modeli) za biznis

Prof. dr I. Nikolić i R. B.Metode optimizacije u zadacima tipa transporta sa jednim i više kriterijuma

5/245

1. KONTINUALNO LP1. KONTINUALNO LP Primer, Verbalni model, Tabelarni model,Primer, Verbalni model, Tabelarni model, Grafički model i metoda, Simpleks tabele,Grafički model i metoda, Simpleks tabele, Primena softvera, Primarni model i Dualni model, Primena softvera, Primarni model i Dualni model, Nesaglasnost ograničenja, Jedinstveno x*, Nesaglasnost ograničenja, Jedinstveno x*,

Višestruko x* ....Višestruko x* ....

2. CELOBROJNO LP2. CELOBROJNO LP

3. (0-1) ili BINARNO LP3. (0-1) ili BINARNO LP

4. MEŠOVITO CELOBROJNO LP4. MEŠOVITO CELOBROJNO LP

SADRŽAJSADRŽAJ

Naslov

5. POST-OPTIMALNA ANALIZA5. POST-OPTIMALNA ANALIZA

Zadaci / Vežbe

Zadaci / Vežbe

Zadaci / Vežbe

Zadaci / Vežbe

Zadaci / Vežbe

6. ODABRANE PRIMENE LP6. ODABRANE PRIMENE LP

7. Više oSimpleks metod i Simpleks tabelama

7. Više oSimpleks metod i Simpleks tabelama

Meniji i opcije softvera

Meniji i opcije softvera

6/245

1.1.KONTINUALNOKONTINUALNO

LINEARNOLINEARNOPROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE

7/245

OPŠTA POSTAVKA PROBLEMA LP

.... (1)

.... (2)

.... (3)

.... (1)

.... (2)

.... (3)

8/245

(2)-(3)

(2)(3)

(2)-(3)

(2)-(3)

(2)

9/245

(2) -(3)

(2)

10/245

IZBOR OPTIMALNOG ASORTIMANA PROIZVODA

11/245

12/245

13/245

PRIMER 1. : PROBLEM 1. Izrada obuće

Verbalni model

14/245

Matematički model

Model A Model B

Kapaciteti

(čas/mes)

Profit (n.j./par) 45 60 max

ResursiNormativi (čas/par) uslovi

Mašina 1 3 2 480

Mašina 2 2 4 600

Mašina 3 1 1 180

Nepoznate (par) x1 x2

Tabelarni model

Funkcija kriterijuma

Ograničenja

Prirodna ograničenja

15/245

GrafičkiModel

Grafik ograničenja 1 3x1 + 2x2 480Grafik ograničenja 1 3x1 + 2x2 480

Matematički model

Prava 3x1 + 2x2 = 480

Presek sa osom x1 : Ako x2=0 x1=160; M1(160;0)Presek sa osom x2 : Ako x1=0 x2=240; M2(0;240)

Dopustivo : Skup tačaka na duži M1M2

3x1 + 2x2 = 480 x1 0 x2 0

Dopustivo : Skup tačaka na duži M1M2

3x1 + 2x2 = 480 x1 0 x2 0

50 100 150 200 250 300

50

100

150

200

0

x1

x2

250

3x1 + 2x2 = 480

Dopustivaoblast :3x1 + 2x2 480x1 0x2 0

Dopustivo:x1=0; x2=240

Dopustivo :x1=30; x2=100

Nedopustivaoblast :3x1 + 2x2 > 480

Nedopustivo :x1=30; x2=200

M2

M1



MS Visio Object, ostvariti uvid sa ‘Mouse Klick’ nakon što se isključi ‘View Show’ sa ‘Esc2

16/245

50 100 150 200 250 300

50

100

150

200

0

x1

x2

250

1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

XMatematičkimodel

Grafičkimodel

B(60,120)C(120,60)

D(160,0)

(90,105)Nije dopustivo(90,105)Nije dopustivo

x1=90, x2=105 nije dopustivo rešenje.Zadovoljava sa znakom jednakosti 1) i 2) ograničenje, ali ne zadovoljava 3).

x1=90, x2=105 nije dopustivo rešenje.Zadovoljava sa znakom jednakosti 1) i 2) ograničenje, ali ne zadovoljava 3).

A(0,150)

Oblast (skup) dopustivih rešenja X= petougao 0ABCD

17/245

Sistem linearnih jednačina - SLJ 2x2

x1 x2 b x1 x2Ogr 1 3 2 480 D = 3 2 8Ogr 2 2 4 600 2 4

b x2 x1 bDx1 = 480 2 720 Dx2 = 3 480 840

600 4 2 600

x1 = Dx1/D = 90 x2 = Dx2/D = 105

x1 x2 b x1 x2Ogr 1 3 2 480 D = 3 2 1Ogr 3 1 1 180 1 1

b x2 x1 bDx1 = 480 2 120 Dx2 = 3 480 60

180 1 1 180

x1 = Dx1/D = 120 x2 = Dx2/D = 60

MS Excel WorksheetZa uvid : Isključiti ‘View Show’ sa tipkom ‘Esc’ i ‘Mouse Click’

Presek 3x1+2x2 = 480 za M12x1+4x2 = 600 za M2jeste nedopustiva tačka (x1,x2) = (90,105)

Presek 3x1+2x2 = 480 za M11x1+1x2 = 180 za M3jeste dopustiva tačka C(120,60) x1 = 120, x2 = 60

Odrediti presek prave 2x1+4x2 = 500 za M2 sa pravom 1x1+1x2 = 180 za M3

18/245

Grafik dunkcije kriterijumaz = 45x1 + 60x2

Grafik dunkcije kriterijumaz = 45x1 + 60x2

50 100 150

50

100

150

0

x1

x2

1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X

-50 z = 45x1 + 60x2 = 0

z = 7.200

z = 9.000

z* = 9.900

Matematičkimodel

Grafičkimodel

C(120,60)

D(160,0)

A(0,150)

Optimalno rešenje x*x1=60, x2=120, z*=9.900

B(60,120)Postavi se prava u koordinatnom početku (0,0) i vrši se pomera-nje preko X do posled-nje dopustive tačke, u ovom slučaju B(60,120)

Pronalaženje x* sa grafikom funkcije kriterijuma

19/245

Proračun profita z(x) u temenima oblasti dopustivih rešenja

Optimalno rešenje:

x1* = 60 pari modela A; x2* = 120 pari modela BMaksimalna profit z* = 9.900 (n.j.)

Resursi

Norma- tivi x1

Norma- tivi x2

Angažo- vanje

Raspolo- živo

Slobo- dno

M1 3 60 2 120 420 480 60M2 2 60 4 120 600 600 0M3 1 60 1 120 180 180 0

x1 x2 z = 45x1 + 60x2 maxA 0 150 9.000B 60 120 9.900C 120 60 9.000D 160 0 7.200

9.900

Proračun (provera) korišćenja kapaciteta mašina

U celosti se koriste kapacitet za M2 i M3Ostaje slobodno 60 (čas) za M1

MS Excel Worksheet, za uvid : Isključiti ‘View Show’ sa ‘Esc’ i ‘Mouse Click’

MS Excel Worksheet(ostvariti uvid u šablon za proračun)

20/245

50 100 150

50

100

150

0

x1

x2

1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X

z* = 9.900

Tačka B ne pirpada pravoj za M1, tako da rastojanje B od prave za M1 iskazuje slobodne kapacitete M1 sa rešenjem B(60,120).

Angažovano : 360+2120 = 180+240 = 420

Tačka B ne pirpada pravoj za M1, tako da rastojanje B od prave za M1 iskazuje slobodne kapacitete M1 sa rešenjem B(60,120).

Angažovano : 360+2120 = 180+240 = 420

(max) z = 45x1 + 60x2

Pri ograničenjima

M1 3x1 + 2x2

480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

U celosti se koriste kapacitet za M2 i M3Ostaje slobodno 60 (čas) za M1

Tačka B jeste u preseku ograničenja 2) za M2 i 3) za M3, tako x1=60 i x2=120 zadovoljava jednačinu 2) za M2 i jednačinu 3) za M3

Optimalno rešenje u Bx1=60, x2=120, z*=9.900

B(60,120)

Slobodno : 480-420 = 60 (udaljenost B od prave) Slobodno : 480-420 = 60 (udaljenost B od prave)

21/245

50 100 150

50

100

150

0

x1

x2

1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X

z* = 9.600

4) x2 = 100

Ograniča-vanjepromenljiveNajviše 100 pari

modela B

Lošije

Optimalno rešenje sa x2

100 x1=80, x2=100, z*=9.600

Polazno opt. rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900

PRIMER 2

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 B .... x2 100 x1, x2 0

B1(80,100)

B(60,120)

22/245

Lošije

Optimalno rešenje sa x1

100 x1=100, x2=80, z*=9.300

PRIMER 3

(max) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 A .... x1 100 x1, x2 0

Polazno opt. rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900

Ograniča-vanjepromenljiveNajmanje 100 pari

modela A

50 100 150

50

100

150

0

x1

x2

1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X

z* = 9.300

4) x1 = 100

B2(100,80)

B(60,120)

23/245

REKAPITULACIJA(max) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Optimalno rešenjex1* = 60, x2* = 120, z* = 9.900

(max) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 B .... x2 100 x1, x2 0

(max) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 A .... x1 100 x1, x2 0



ZAKLJUČAK :Dodatna ograničenja mogu da rezultuju lošijim rešenjem sa stanovišta optimalne vrednosti funkcije kriterijuma

24/245

Da li rešenje može da se odredi softverom ?Da li rešenje može da se odredi softverom ?

Optimalno rešenje

x1*=60

x2*=120

z*=9.900

Polazni podaci za softverPolazni podaci za softver

Optimalno rešenje sa softveromOptimalno rešenje sa softverom

Softver Softver označava označava ograničenja ograničenja (Constraint)(Constraint) sa sa C1, C2, C3C1, C2, C3

25/245

Model A Model B

Kapaciteti

(čas/mes)

Profit (n.j./par) 45 60 max

Resursi Normativi (čas/par) uslovi

Mašina 1 3 2 480

Mašina 2 2 4 600

Mašina 3 1 1 180

Nepoznate (par) x1 x2

Prikazivanje polaznih podataka za model LPPrikazivanje polaznih podataka za model LP

Tabelarno prikazivanje polaznih podataka(Tabelarni model)

Matrix Form za polazne podatkesa softverom Linear and Integer Programming

26/245

ZNAČAJNE KARAKTERISTIKE ZNAČAJNE KARAKTERISTIKE MODELA LPMODELA LP

1)1) Minimizacija i maksimizacija Minimizacija i maksimizacija funkcije kriterijumafunkcije kriterijuma

2)2) Nesaglasnost / kontradiktornost Nesaglasnost / kontradiktornost ograničenjaograničenja

3)3) Jedinstveno optimalno rešenje Jedinstveno optimalno rešenje ((u ranijim primerimau ranijim primerima))

4)4) VišestrukoVišestruko optimalno rešenje

27/245

PRIMER I. MAKS. i MIN. FUNKCIJE KRITERIJUMA

(max) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

(min) z = 45x1 + 60x2

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Opt. reš.

x1* = 60

x2* = 120

z* = 9.900

Opt. reš.

x1* = 90

x2* = 105

z* = 10.350

50 100 150 200 250 300

50

100

150

200

0

x1

x2

250

1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X z* = 9.900

50 100 150 200 250 300

50

100

150

200

0

x1

x2

250

1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

Dopustiva oblast X

z* = 10.350

x1 x2 z = 45×x1 + 60×x2 maxA 0 150 9.000B 60 120 9.900C 120 60 9.000D 160 0 7.200

9.900

E(90,105)

B(50,120)

G

H

A

C

D

28/245

150 200 250

50

100

150

200

0

x1

x2

250

1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

4) 1x1 + 1x2 = 250

PRIMER II.SAGLASNOST i NESAGLASNST OGRANIČENJA

Tri uslova (mašine) : M1 ... 3x1 + 2x2 480

M2 ... 2x1 + 4x2 600

M3 ... 1x1 + 1x2 180

x1, x2 0

Jedan uslov (sirovina) : S1 ... 1x1 + 1x2 250 x1, x2 0

Nesaglasnost (kontradiktornost) ograničenja

Nema (jedinstven) skup dopustivih rešenja

Nema optimalno rešenje

z = 45x1 + 60x2 max

M1 3x1 + 2x2 480

M2 2x1 + 4x2 600

M3 1x1 + 1x2 180

S1 1x1 + 1x2 250 x1, x2 0

PRIMER 1. proširen sa ograniče-njem za S1Vizuelno jasnoVizuelno jasno

na grafikuna grafiku

29/245

50 100 150

50

100

150

0

x1

x2

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180X

z* = 10.800

1) 3x1 + 2x2 = 480

B(60,120)

C(120,60)

D(160,0)

A(0,150)

z = 60x1 + 60x2 i 1x1 + 1x2 = 180 imaju isti nagib.

Višestruko optimalno rešenje x** na duži BC koja pripada pravoj 1x1 + 1x2 = 180 za M3.

z = 60x1 + 60x2 i 1x1 + 1x2 = 180 imaju isti nagib.

Višestruko optimalno rešenje x** na duži BC koja pripada pravoj 1x1 + 1x2 = 180 za M3.

c1 x1 c2 x2 z maxA 60 0 60 150 9.000B 60 60 60 120 10.800C 60 120 60 60 10.800D 60 160 60 0 9.600

10.800

(max) z = 60x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0Ako ista dobit 60 za raz-matrane parove obuće, nastaje višestruko optimalno rešenje x** na duži BC sa z* = 10. 800

Duž BC pripada pravoj Duž BC pripada pravoj xx1 1 + x+ x2 2 = 180 za M3. = 180 za M3. Sledi :

x1*60,120; x2* = 180-x1*

PRIMER III. VIŠESTRUKOOPTIMALNOREŠENJE

30/245

PRIMENA SOFTVERAPRIMENA SOFTVERAWinQSB – WinQSB – Quantitative Systems for BusinessQuantitative Systems for Business

MODUL : Linearno i celobrojno programiranjeLinearno i celobrojno programiranje

UPUTSTVOUPUTSTVOProf. dr I. Nikolić i R. B.Prof. dr I. Nikolić i R. B.Metode optimizacije u zadacima tipa transporta sa jednim i više kriterijuma

31/245

Novi problem

Učitavanje memorisanog

problema

Naziv problema

Broj promenljivih

Broj ograničenjaVrsta

kriterijuma

Format unosa

podataka

Preddefinisani tip promenljivih

Specifikacija novog problema

MeniMeni

11MeniMeni

11

32/2454. Rešavanje i

analiza

1. Operacije sa dokumentima

MeniMeni

22MeniMeni

222 3

4

3. Format podataka

2. Operacije sa podacima

Nedostupan meni Results

(dostupan nakon

rešavanja)

7

Izbor dokumenata za prikazivanje na ekranu

9

Nedostupne opcije(dostupne nakon

rešavanja)

1

33/245

ToolBars

9

Koristitimeni Helpza tumačenje :

1) teorije LP 2) primene

softvera

34/245

MeniMeni

33MeniMeni

33

Nedostupne opcije(dostupne nakon

sprovođenja analize

Dostupna opcija ako postoji x**

3Analiza ako nema

rešenja x*

Analiza ako rešenje nije ograničeno

7

Izbor dokumenata za prikazivanje na ekranu

Izbor drugih modula softvera WinQSB

35/245

Odrediti alternativno x*(opcija dostupna ako postoji x**)

Parametarska analiza za cj, bi

Pregled rešešenja - kombinovano : 1 + 2

Analiza osetljivosti sa stanovišta bi

1. Pregled rešešenja sa stanovišta promenljivih

Analiza osetljivosti sa stanovišta cj

2. Pregled rešešenja sa stanovišta ograničenja

Poslednja simpleks tabela

Analiza nemogućnosti da se odredi x*Analiza neograničenosti rešenja

Meni Resulsts

Dostupne opcije nakon analize :

1) Tabelarni prikaz2) Grafički prikaz

Sadržaj

36/245

Polazni model, rešenjex1=60, x2=120, z*=9.900

Tri modela cipela, tri promenljive

(max) z = 45x1 + 60x2 + 50x3

3x1 + 2x2 + 1x3 480 .... M1 2x1 + 4x2 + 3x3 600 .... M2 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 .... M3 x1, x2, x3 0

Rešenje: Softver WinQSB, LPRešenje: Softver WinQSB, LP&&ILPILP

PRIMER 4 :

Neka se razmatra i model obuće C sa podacima za normative i jedin. dobit u proširenom matemat. modelu sa dva modela obuće.

37/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3

480M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0

Donje graniceza promenljive

Gornje graniceza promenljive

M =

Tipovi za promenljive : Continuous (kontinualne, realne vrednosti), Integer (celobrojne

vrednosti), Binary (binarne vrednosti : 0 ili 1), Unresticted (vrednosti neograničene u znaku)

Tip funkcije kriterijuma

Ograničenja

Softver :Softver : WinQSB WinQSBModul :Modul : Linear and Integer ProgrammingLinear and Integer Programming

POLAZNI PODACI : Matrix FormPOLAZNI PODACI : Matrix Form

Promenljive

Desna strana ograničenja

Znaci ogr.

38/245

Gubitak po jedinici za x3 > 0

Slobodni kapaciteti

Korišćenje kapaciteta

Raspoloživi kapaciteti

Fun

kcija

ci

ljaP

rom

enlji

veza

odl

učiv

anje

Ogr

anič

enja

Gubitak po jedinici za

nedostajuće kapacitete

C2, C3

Status za bazične

promenljiveBazičneNa granici

Reducirane cene

Cene u senci

REŠENJE : Combined ReportREŠENJE : Combined Report


z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3

480M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0

Vrednosti za promenljive

39/245

REŠENJE : Combined ReportREŠENJE : Combined Report


z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3

480M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0

Donje i gornje granice elemenata koje omogućavaju prisustvo datih promenljivih u opt. rešenju: (x1,x2)x*.

PRIMERI : a) x1x* za c1(30,60); b) (x1,x2)x* za b1(420,M=+)

Donje granice koefic. cj u z(x)

Gornje granice koefic. cj u z(x)

Donje granice slobodnih član. bi u ograničenjima

Gornje granice slobodnih član. bi u ograničenjima

40/245

DUALNI MODEL DUALNI MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJALINEARNOG PROGRAMIRANJA

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

y1

y2

y3

Primarni model LPPrimarni model LP

v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60

C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50

y1, y2, y3 0

Dualni model LPDualni model LP

x1

x2

x3

Dualne Dualne promenljivepromenljive

Primarne Primarne promenljivepromenljive

Du

aln

i mo

de

l od

du

aln

og

mo

del

aD

ua

lni m

od

el o

d d

ua

lno

g m

od

ela

jes

te

jes

te

Pri

ma

rni m

od

el.

Pri

ma

rni m

od

el.

M1 M2 M3M1 M2 M3

A B CA B C

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

41/245

v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60

C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50

y1, y2, y3 0


z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

Primarni model LPPrimarni model LP Normal Model FormNormal Model Form

Dual Model FormDual Model Form

WinQSB : Linear and Integer Programming

Nazivi za promenljive : X1, X2, X3za ograničenja : M1, M2, M3

Nazivi za Nazivi za promenljive : M1, promenljive : M1, M2, M3M2, M3za ograničenja : za ograničenja : X1, X2, X3X1, X2, X3

42/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60

C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50

y1, y2, y3 0

Ista optimalna vrednost funkcije kriterijumamax z = min z = 9.900



Vrednosti Shadow Price (cene u senci, dualne promenljive) u jednom modelu su vrednosti za promenljive (Decision Variable) u suprotnom modelu.

x1 = 60 za Primar je Chadow Price za Constr. X1 = 60 u Dualux2 = 120 za Primar je Chadow Price za Constr. X2 u DualuX3 = 0 za Primar je Chadove Price za Constraint X3 u Dualu

Combined Report

43/245

Izravna-vajuće prom. u Dualu

Final Simplex Tableau



X1 X2 X3Slack_X1

Slack_X1

Slack_X1

M1 M2 M3Surplus_M1

Surplus_M2

Surplus_M2

y1 y2y3

Izravnavajuće prom. u Primaru

Prom. za odlučivanje

u Primaru

Prom. za odlučivanje

u DualuPosmatrati suprotne - pozitivne vrednosti

44/245

Primer B.Primer B.

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

y1

y2

y3


v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60

C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50

y1, y2, y3 0


x1

x2

x3



Du

aln

i mo

de

l od

du

aln

og

mo

del

aD

ua

lni m

od

el o

d d

ua

lno

g m

od

ela

jes

te

jes

te

Pri

ma

rni m

od

el.

Pri

ma

rni m

od

el.

M1 M2 M3M1 M2 M3

A B CA B C

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

45/245

1) Max z(x) – funkcija cilja za Primar neka znaci “” za sva ograničenja za mešovita ograničenja, važe proširena pravila

2) Svakom ograničenju Primara pridružuje se promenljiva Y za Dual

3) Slobodni članovi Primara = Koeficijenti funkcije cilja Duala4) Koeficijenti funkcije cilja Primara = Slobodni članovi Duala5) Tehnološka matrica leve strane ograničenja Primara

transponuje se za model Duala (redovi postaju kolone i obrnuto)

6) Min v(y) – funkcija cilja za Dual znaci “” za ograničenja, ako znaci “” za sva ograničenja

Primara

PRAVILA za PREVOĐENJE PRIMARA u DUALPRAVILA za PREVOĐENJE PRIMARA u DUAL

7) Sve jedno je koji se model rešava Iz rešenja Duala može da se odredi rešenje Primara, i obrnuto Max z(x) = Min v(y)

PRAVILA ZA REŠENJAPRAVILA ZA REŠENJA

46/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

y1

y2

y3


v = 480y1 + 600y2 + 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 60

C ... 1y1 + 3y2 + 1,5y3 50

y1, y2, y3 0


x1

x2

x3



Du

aln

i mo

de

l od

du

aln

og

mo

del

aD

ua

lni m

od

el o

d d

ua

lno

g m

od

ela

jes

te

jes

te

Pri

ma

rni m

od

el.

Pri

ma

rni m

od

el.

M1 M2 M3M1 M2 M3

A B CA B C

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

Va

ži :

ma

x z

= m

in v

Primer C.Primer C.

47/245

Primarni model sa različitim znacima za ograničenja

z = 45x1 + 60x2 max

M1 ... 3x1 + 2x2 480

M2 ... 2x1 + 4x2 600

M3 ... 1x1 + 1x2 180

x1, x2 0

A B A B

Primer C. Primer C. max z sa ograničenjem “max z sa ograničenjem “””

z = 45x1 + 60x2 max

M1 ... 3x1 + 2x2 480

M2 ... 2x1 + 4x2 600

M3 ... -1x1 - 1x2 –180

x1, x2 0

A B A B

/(-1)

y1

y2

y3


v = 480y1 + 600y2 – 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 – 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 – 1y3 60

y1, y2, 0, y3 0

Dual LP – DP Dual LP – DP

M1 M2 M3M1 M2 M3

x1

x2

x3


Primar LP – PM Primar LP – PM

Množenje sa(– 1) da (max) z ima sva ograničenja “”

y3 za ograničenje “” za M3 u PM je nepozitivna promenljiva u DP.

48/245

v = 480y1 + 600y2 – 180y3 min

A ... 3y1 + 2y2 – 1y3 45

B ... 2y1 + 4y2 – 1y3 60

y1, y2, 0, y3 0


M1 M2 M3M1 M2 M3

Kako rešavati model LP ako nisu sve promenljive nenegativne – nemaju uslov nenegativnosti “ 0”

Za y3 0 se uvede smenay3 = –y’3

y3 0 postaje –y’3 0

Množenje sa (–1) daje potrebnu nenegativnost –y’3 0 /(–1) y’3 0

v = 480y1 + 600y2 – 180(–y’3) minA ... 3y1 + 2y2 – 1(–y’3) 45B ... 2y1 + 4y2 – 1(–y’3) 60 y1, y2, 0, (–y’3) 0 v = 480y1 + 600y2 + 180y’3 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y’3 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y’3 60

y1, y2, 0, y’ 0

Prikazuje se postuapk za napred definisani DP, što važi Prikazuje se postuapk za napred definisani DP, što važi za bilo koji model sa promenljivama tipa “za bilo koji model sa promenljivama tipa “ 0 0““

Sve promenljive su tipa “ 0”U x* izvršiti povratak na polaznu promenljivu – odrediti y3* = –y’3*

49/245

Primarni model sa različitim znacima za ograničenja

z = 45x1 + 60x2 max

M1 ... 3x1 + 2x2 480

M2 ... 2x1 + 4x2 600

M3 ... 1x1 + 1x2 = 180

x1, x2 0

A B A B

Primer D. Primer D. max z sa ograničenjem “=”max z sa ograničenjem “=”

z = 45x1 + 60x2 max

M1 ... 3x1 + 2x2 480

M2 ... 2x1 + 4x2 600

M3 ... 1x1 + 1x2 180

1x1 + 1x2 180

x1, x2 0

A B A B

y1

y2

y3

y4


v = 480y1 + 600y2 + 180y3 – 180y4 min

A ... 3y1 + 2y2 + 1y3 – 1y4 45

B ... 2y1 + 4y2 + 1y3 – 1y4 60

y1, y2, y3 0, y4 0


M1 M2 M3M1 M2 M3

x1

x2

x3


Primar LP – PM Primar LP – PM

Zameniti sa dva ograničenja tipa “” i “”

y4 za ograničenje “” za M3 u PM je nepozitivna promenljiva u DP.

50/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x3 20, najmanje 20 pari modela

C x1, x2, x3 0

PRIMER 5Donje granice za promenljiveLowerBound

Polazni podaci : Matrix Form

51/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x3 20, najmanje 20 pari modela C

x1, x2, x3 0

Optimalna rešenja

1. Tumačenje za promenljive i cilj : Zamena 30 pari mod. A sa 20 pari mod. C umanuje dobit sa 9.900 na 9.550 za 350.

2. Tumačenje za ograničenja : Slobodno 130 čas. M1

PRIMER 4x1* = 60x2* = 120x3* = 0z* = 9.900

PRIMER 5x1* = 30x2* = 120x3* = 20z* = 9.550

Op

tim

aln

o r

eš

en

je :

Iz

ve

štaj

Co

mb

ined

Rep

ort

52/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x2 75, najviše 75 pari modela B

x1, x2, x3 0

PRIMER 6Gornje granice za promenljiveUpperBound


53/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max 3x1 + 2x2 + 1x3 480 2x1 + 4x2 + 3x3 600 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x2 75, najviše 75 pari modela B

x1, x2, x3 0

PRIMER 4x1* = 60x2* = 120x3* = 0z* = 9.900

PRIMER 5x1* = 30x2* = 120x3* = 20z* = 9.550

Optimalna rešenja

PRIMER 6x1* = 105x2* = 75x3* = 0z* = 9.225

Op

tim

aln

o r

eš

en

je :

Iz

ve

štaj

Co

mb

ined

Rep

ort

Tumačenje: a) za promenljive, b) za cilj, c) za ograničenja

54/245

1. KONTINUALNO LINEARNO PROGRAMIRANJE

ZADACI ZA VEŽBANJE

ZADATAK 1.

Da li ograničenje tržišta za proizvod A utiče na optimalno rešenje?

55/245

ZADATAK 2.

Sadržaj

56/245

2.2.CELOBROJNOCELOBROJNO

LINEARNOLINEARNOPROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE

Ako sa Ako sa Variable Type = ContinuousVariable Type = Continuous promenljive nemaju celobrojne vrednosti, a promenljive nemaju celobrojne vrednosti, a

trebalo bi, definisati : trebalo bi, definisati : Variable Type = IntegerVariable Type = Integer

Celobrojno LP spada u klasu modela “Nelinearno programiranje” (NP). Za ručne postupke je podesna koristii “Branch and Bound Method”

(Metoda grananja i ograđivanja)

57/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0 i celi brojevi

PRIMER 7Celobrojno programiranje


Neka je nastupila promena normativa za model A (promenljiva x1) na M1 i M2

Optimalno rešenje : Izveštaj Solution Summary

Optimalno rešenje:x1* = 53,333; x2 = 126,667z* = 10.000

Nisu dopustive necelobrojne vrednosti za promenljive (broj pari cipela)

Ne zahteva se celobrojnost za promenljive

Uočiti promenu naziva za promenljive i ograničenja

58/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0 i celi brojevi

Celobrojno programiranje


Optimalno rešenje : Izveštaj Solution Summary

Optimalno rešenje:x1* = 54x2* = 126z* = 9.9000

Zahteva se celobrojnost za promenljiveVariable Type = Integer

59/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

1x1 + 1x2 + 1,5x3 180 x1, x2, x3 0

POREĐENJENecelobrojno programiranje Celobrojno programiranje

Optimalno rešenjesa zatevom “celobroj-nost za promenljive” :x1* = 54; x2* = 126z* = 9.9000

Optimalno rešenjebez zahteva “celobroj-nost za promenljive” :x1* = 53,333; x2* = 126,667z* = 10.000

ZATHTEV : “celobrojnost za promenljive”REZULTAT : LOŠIJA VREDNOST z*, REZULTAT : LOŠIJA VREDNOST z*, ako bez tog zahteva postoje necelobrojna rešenja za promenljive

Ne vrši se “uobičajeno zaokruživanje” necelih brojeva na cele brojeve

60/245

Optimalno rešenjeTumačenje ograničenja:Slobodni kapaciteti1 (čas) za M1 i 147 (čas) za M2100% korišćenje M3Zahtevano korišćenje 300 (jed.) Sirovine 1

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

S1 2x1 + 1x2 + 3x3 = 300 x1, x2, x3 0 i celi brojevi

PRIMER 8Celobrojno programiranje

Neka se razmatra i Sirovina 1, sa normativima 2, 1, 3 (jedinica sirovine za par obuće modela A, B, C)i zahtevom da se utroši tačno 300 (jedinica sirovine)

Rešenje: Necelobrojne promenljive

Rešenje: Celobrojne promenljive

61/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

S1 2x1 + 1x2 + 3x3 200 x1, x2, x3 0 i celi brojevi

PRIMER 9

Zahteva se trošenje/ angažovanje S1 najmanje 200 (jedinica sirovine)

Sirovina 1 koristi se L.H.S = 234 (jed.), Surplus = 34 više od zahteva R.H.S = 200

“Reduced Cost” – “Reducirani troškovi” za promenljive “at bound” – “na granici” koje imaju vrednosti :

> 0 = 0

“Shadow Price” – “Troškovi u senci” za ograničenja

62/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

S1 ... 2x1 + 1x2 + 3x3 200 x1, x2, x3 0 i celi brojevi

TUMAČENJE IZRAVNAVAJUĆIH PROMENLJIVIH

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0Slack_M1 + 0Slack_M2 + 0Slack_M3 –

0Surlus_S1 max

M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 + Slack_M1 = 480

M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 + Slack_M2 = 600

M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 + Slack_M3 = 180

S1 2x1 + 1x2 + 3x3 = 200 + Surplus_S1

x1, x2, x3 0 i celi brojevi

Slack_M1, Slack_M2, Slack_M3 ; Surplus_S1 0

• Slack – nedostizanje, podbačaj• Surplus – prekoračenje, prebačaj

Prevođenje Prevođenje promenljive promenljive Surplus_S1 na Surplus_S1 na levu stranu levu stranu ograničenja Sograničenja S44

S1 2x1 + 1x2 + 3x3 – Surplus_S1 = 200

M = Beskonačno velikiM = Beskonačno veliki pozitivni brojpozitivni broj

63/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

S1 2x1 + 1x2 + 3x3 = K x1, x2, x3 0 i celi brojevi

PRIMER 10SAGLASNOST i NESAGLASNST OGRANIČENJA

K = 350 (jed.sirov.) ima rešenje K = 365 (jed.sirov.) nema rešenje

Softver daje : upozorenje da nema rešenje i preporuke za promenu desne

strane ograničenja

Za S1 razmatraju se varijante količina K sa zahtevom da se utroše u celosti.

64/245

Metoda grananja i ograničavanja

x* je celobrojno rešenje sa z* = max z(x* nije obavezno na kraju neke od grana)

Branch and Bound Method

ZADATAK:Odrediti x* primenom softvera

Dodatno ograničenje






Bez celobrojnosti

Z = Skup celih brojeva

Drvo grananja

NE

NE

NE

65/245

2. CELOBROJNO LINEARNO PROGRAMIRANJE

ZADACI ZA VEŽBANJE

ZADATAK 3.

66/245

ZADATAK 4.

67/245

ZADATAK 5.

ZADATAK 6.

68/245

ZADATAK 7.

69/245

ZADATAK 8.

Sadržaj

70/245

3.3.0-1 (Binarno)0-1 (Binarno)LINEARNOLINEARNO

PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJEZahteva se da promenljive imaju vrednosti Zahteva se da promenljive imaju vrednosti 11 ili ili 00

Definisati : Definisati : Variable Type = BinaryVariable Type = Binary

NAPOMENA: 0-1 linearno programiranje spada u klasu modela “Nelinearno programiranje”

Sadržaj

71/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ...... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ....... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ...... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

2 r.para x1 + x2 + x3 = 2

x1, x2, x3 = 1 ili 0

PRIMER 12

(0,1) PROGRAMIRANJE

Neka se zahteva da se izrade samo dva (2) različita para obuće iz skupa: Model A, B, C

Zahteva se binarnost za promenljive (vrednosti 1 ili 0)Variable Type = BynarySoftver postavlja UpperBound = 1

Po

lazn

i po

da

ci

Optimalno rešenje :Model A, x1* = 0Model B, x2* = 1Model C, x3* = 1Z* = 110Izraditi Model B i C

72/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ...... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ....... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ...... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

2 r.para 1x1 + 1x2 + 1x3 = 2

x1, x2, x3 = 1 ili 0 NAPOMENA :Isti zahtev opisuje i model celobrojnog programiranja (Variable Type = Integer)sa gornjim granicama za promenljive UpperBound = 1

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ...... 3,25x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ....... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ...... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

2 r.para 1x1 + 1x2 + 1x3 = 2

x1 1, x2 1, x3 1

x1, x2, x3 0 i celi brojevi

73/245

Određeni preduzetnik razmatra mogućnost da izgradi po jedan industrijski objekat (A, B i C) različitih namena (metalni proizvodi, plastični proizvodi, kondiktorski proizvodi). Svaki objekat zahteva odgovarajuću površinu građe-vinskog zemljišta: 10, 8 i 12 (ara), respektivno za A, B i C. Cene izgradnje objekata iznose 150, 170 i 130 (novč. jedin.). Proizvodnju u objektima obavljaju specijalisti Radnici 1 (3, 2 i 4 za A, B, C) i Radnici 2 (10, 15 i 10). Odrediti u koje objekte da investira preduzetnik sa ciljem da ostvari maks. ukupnu dobit polazeći sa procenom da eksploatacija objekata donosi dobit 47,50; 65,00 i 52,00 (novč.jedin./godišnje), ako preduzetnik raspolaže sa površinom 22 (ara) i finansijskim sredstvima 330 (novč.jedin.), a planira da uposli najviše 10 i 35 specijalista Radnici 1 i Radnici 2.

Model (0,1) programiranja Nepoznate veličine x1 = Investicije-A x2 = Investicije-B x3 = Investicije-C

x1, x2, x3 = 1 ili 0

PRIMER 13 : PROBLEM 2. Izbor investicija

Matematički model i polazni podaci za softver

Da li je složeno definisati podatke za softver bez matematičkog modela ? Nije !Da li je složeno definisati podatke za softver bez matematičkog modela ? Nije !

74/245

Potrebno angažovnje :Površina = 20 (ara) Finansije = 300,00 (n.j). Radnici 1 = 6Radnici 2 = 25

Polazni podaci

Optimalno rešenje

Maksimalna očekivana ukupna godišnja dobit 117,00 (novč.jedin.)

Investirati u objekat B i C

z = 47,5x1 + 65,0x2 + 52,0x3 max p.o.

Povr .... 10x1 + 8x2 + 12x3 22

Cene .... 150x1 + 170x2 + 130x3 330

Rad1 .... 3x1 + 2x2 + 4x3 10

Rad2 .... 10x1 + 15x2 + 10x3 35 x1, x2, x3 = 1 ili 0

SadržajSlobodno

75/245

Sadržaj

3. (0-1) ili BINARNO LINEARNO PROGRAMIRANJE

ZADACI ZA VEŽBANJE

ZADATAK 9. Izbor investicija : PROBLEM 2 : Uvođenje novih investicija

Neka se u ranijem problemu izbora investicija (PRIMER 12, PROBLEM 2) razmatraju još dve potencijalne investicije D i E sa očekivanim vrednostima za godišnje dobiti 70 i 50 (n.j.), cenama 160 i 140 (n.j.), potrebnim površinama za izgradnju objekata 15 i 5 (ara) i zahtevima da se angžuje 5 i 2 specijalista Radnici 1, odnosno 7 i 14 specijalista Radnici 2, respektivno. Odrediti optimalno rešenje i uporediti sa rešenjem polaznog problema.

A B C D E Raspoloživo

Površina 10 8 12 15 5 22 (ara)Cene 150 170 130 160 140 330 (n.j.)Radnici-1 3 2 4 5 2 10 (radn.)Radnici-2 10 15 10 7 14 35 (radn.)

Dobit 47,5 65 52 70 50 (n.j.)max

SUGESTIJA: Uvek prikazati podatke sa podesnom tabelom !SUGESTIJA: Uvek prikazati podatke sa podesnom tabelom !

Da

li j

e sl

ože

no

D

a li

je

slo

žen

o

def

inis

ati

po

dat

ke

def

inis

ati

po

dat

ke

za s

oft

ver

bez

za

so

ftve

r b

ez

mat

emat

ičko

g

mat

emat

ičko

g

mo

del

a ?

N

ije

!m

od

ela

?

Nij

e !

76/245

4.4.MEŠOVITO MEŠOVITO

CELOBROJNOCELOBROJNOLINEARNOLINEARNO

PROGRAMIRANJEPROGRAMIRANJE Neke promenljive mogu da imaju necelobrojne - realne Neke promenljive mogu da imaju necelobrojne - realne

vrednostivrednosti Za skup promenljivih se zahtevaju celobrojne Za skup promenljivih se zahtevaju celobrojne

vrednosti – proizvoljne celobrojno vrednosti ilivrednosti – proizvoljne celobrojno vrednosti ili//i i ((iliili//ii)) binarne (0,1) vrednosti binarne (0,1) vrednosti

NAPOMENA: Mešovito celobrojno linearno programiranje spada u klasu modela “Nelinearno programiranje”

Sadržaj

77/245

PRIMER 14 : PROBLEM 3. Proizvodni program

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max p.o.M1.... 3,75x1 + 2x2 + 1x3 480M2.... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600M3.... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180S1.... 2x1 + 1x2 + 3x3 200B .... x2 10,5 x1, x2 0

x3 0 i ceo broj

U određenom proizvodnom pogonu moguća je izrada artikala A, B i C. Njihove količine (jedinice mere) izražavaju se necelobrojnim vrednostima za A i B i celim brojevima za C.

Polazni podaci daju se tabelom: gornje granice kapaciteta mašina i donja granica korišćenja sirovine u planskom periodu, dobit po jedinici mere artikala i granice plasmana artikala. Odrediti i obrazložiti optimalni proizvodni program maksimizacije dobiti.

Polazni podaciPolazni podaci

Ma

tem

ati

čki

mo

de

lM

ate

ma

tič

ki m

od

el

78/245

Optimalno rešenje : x1 = 133,50 x2 = 10,50 x3 = 24 z = 7.837,50Potrebno je analizirati optimalno rešenje i sa stanovišta ograničenja.

Da li je složeno definisati podatke za softver bez matemat. modela ?Da li je složeno definisati podatke za softver bez matemat. modela ?

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max p.o.M1.... 3,75x1 + 2x2 + 1x3 480M2.... 1,75x1 + 4x2 + 3x3 600M3.... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180S1.... 2x1 + 1x2 + 3x3 200B .... x2 10,5 x1, x2 0

x3 0 i ceo brojPolazni podaci za primenu softvera

79/245

Sadržaj

4. MEŠOVITO CELOBROJNO LINEARNO PROGRAMIRANJE

ZADACI ZA VEŽBANJE

ZADATAK 10. Proizvodni program : PROBLEM 3 : Novi proizvodi

Neka se za PROBLEM 3, PRIMER 14 zahteva da se ispita kakve promene će nastupiti u optimalnom proizvodnom programu ako se razmatraju i novi artikli D, E i F. Normativi utrošaka mašinskog vremena iznose 5, 0 i 2 za Mašina 1, odnosno 2, 3 i 5 za Mašina 2, dok se Sirovina 1 angažuje u količinama 1, 4 i 1, respektivno za jedinicu artikal D, E i F.

Odrediti optimalno rešenje za maksimalnu ukupnu dobit i uporediti sa rešenjem polaznog problema, ako novi artikli ostvaruju dobit 30, 65 i 75 (n.j.) i zahteva se da samo F ima celobronju vrednost.

80/245

5.5.POST-OPTIMALNAPOST-OPTIMALNA

ANALIZAANALIZA Promena koeficijenata funkcije kriterijumaPromena koeficijenata funkcije kriterijuma Promena slobodnih članova – desne strane Promena slobodnih članova – desne strane

ograničenjaograničenja Promena koeficijenata tehnološke matrice – leve Promena koeficijenata tehnološke matrice – leve

strane ograničenjastrane ograničenja Istovremena promena više klasa elemenata modela Istovremena promena više klasa elemenata modela Izostavljanje promenljive, uvođenje nove promenljiveIzostavljanje promenljive, uvođenje nove promenljive Izstavljanje ograničenja, uvođenje novog ograničenjaIzstavljanje ograničenja, uvođenje novog ograničenja

Parametarska analiza : Određivanje vrednosti funkcije kriterijuma na skupu dopustivih vrednosti razmatranih elemenata (koeficijenti cj, slobodni članovi bi)

Zasebno se izlaže Parametarska analiza za cj, bi

Zasebno se izlaže Parametarska analiza za cj, bi

81/245

Odrediti alternativno x*(opcija dostupna ako postoji x**)

Parametarska analiza za cj, bi

Pregled rešešenja - kombinovano : 1 + 2

Analiza osetljivosti sa stanovišta bi

1. Pregled rešešenja sa stanovišta promenljivih

Analiza osetljivosti sa stanovišta cj

2. Pregled rešešenja sa stanovišta ograničenja

Poslednja / krajnja simpleks tabela

Analiza nemogućnosti da se odredi x*Analiza neograničenosti rešenja

Meni Resulsts

Dostupne opcije na-kon analize :

1) Tabelarni prikaz

2) Grafički prikaz

Za Variable Type = Integerprikazuje se simpleks tabela za poslednji model na stablu procesa rešavanja, što nije obavezno x*

82/245

PRIMER 15 : PROBLEM 1. Izrada obuće

PRIMER 1.(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0Polazno opt. rešenjex1*=60, x2=120, z*=9.900

a) Dobit za model A se uveća na 55 (n.j.);b) Dobit za model A se uveća za još 5 (n.j.);c) Dobit za model A se uveća na 65 i za model B na 65;d) Kapacitet mašine M1 se poveća za 120 maš. časova;e) Kapciteti M2 i M3 se uvećaju (istovremeno) za po 25%;f) Kapacitet M2 se koristi samo 70% usled iznenadnog kvara;g) Normativ za par obuće B na M2 se umanjuje sa 4 na 3;h) Istovremena promena c1 na 50, a12 na 1,5 i b1 na 470.

a)(max) z = 55x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Grafička metoda (korekcija polaznog grafika)

Primena softvera (korekcija polaznog modela)

Dva Dva postupka :postupka :

Zasebno : Parametarska analiza za cj, bi

Zasebno : Parametarska analiza za cj, biSadržaj

83/245

Grafičkimodelpolaznog problema i novog problema a)

a) Promena c1

(max) z = 55x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0Ostaje X, ostaje x*, ali

je veće z’* = 10.500

50 100 150

50

100

150

0

x1

x2

1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X

AB

C

D

c1 x1 c2 x2 z maxA 55 0 60 160 9.600B 55 60 60 120 10.500C 55 120 60 60 10.200D 55 160 60 0 8.800

10.500

PROMENA cjA

84/245

Grafičkimodelpolaznog problema i novog problema a)

b) Promena c1

(max) z = 60x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

c1 x1 c2 x2 z maxA 60 0 60 150 9.000B 60 60 60 120 10.800C 60 120 60 60 10.800D 60 160 60 0 9.600

10.800

Višestruko optimalno rešenje x** na duži BC : x1*60,120; x2*=180-x1*

50 100 150

50

100

150

0

x1

x2

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180X

z* = 10.800

1) 3x1 + 2x2 = 480

B(60,120)

C(120,60)

D(160,0)

A(0,150)

x**

85/245

Polazni podaci

VIŠESTRUKO OPTIMALNO REŠENJE x** SA SOFTVEROM

b)(max) z = 60x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Optimalno rešenje : x1*=120, x2*=60, z*=10.800

Alternativno optimalno rešenje : x1*=60, x2*=120, z*=10.800

Naredba : Results, Obtain Alternate Optimal Results, Obtain Alternate Optimal

Informa- cija da postoji x**

86/245

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

50 100 150

50

100

150

0

x1

x2

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X

A(0,150)

B(60,120)

C(120,60)

D

z* = 9.900

1) 3x1 + 2x2 = 480

REKAPITULACIJA za cj

Postoji odgo-varajući skup (pramen) pravih kroz B bez drugih tačaka u X.

Postoje dve granice zapramen pravihz* = c1x1 + c2x2 = 9.900

x1

Ostaje x* = (60, 120) za c1 i c2 tako daz* = c1x1 + c2x2 = 9.900

ZAKLJUČAK 1

z* = 9.900

87/245

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Dve granice za pramen pravihz* = c1x1 + c2x2 = 9.900

Duž AB na pravoj 2) 2x1 + 4x2 = 600 za M2Potrebno c2 = 2c2

z* = c160 + 2c1120 = 9.900300c1 = 9.900 c1 = 33; c2 = 2c1 = 66

Funkcija kriterijuma : z = 33x1 + 66x2

Provera: A(0,150) z = 330+66150 = 9.900 = z*B(60,120) z = 3360+66120 = 9.900 = z*

2

1

x1

Duž BC na 3) 1x1 + 1x2 = 180 za M3Potrebno c2 = c2

z* = c160 + c1120 = 9.900180c1 = 9.900 c1 = 55; c2 = c1 = 55

Funkcija kriterijuma : z = 55x1 + 55x2

Provera:

B(60,120) z = 5560 + 55120 = 9.900 = z* C(120,60) z = 55120 + 5560 = 9.900 = z*


z* = 9.900

88/245

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0Postoje dve varijante z* = c1x1 + c2x2 sa granicama (po dve) za pramen pravih

Ostaje x* = (60, 120) za c1 i c2 tako daz* = c1x1 + c2x2 9.900

ZAKLJUČAK 2

x1

z*

z = c1x1 + 60x2

c130;60 = All. Min. c(1); All. Max. c(1)

z* = c160 + 60120 = c160+7.200c1 = 30 z* = 9.000; x** na ABc1 = 60 z* = 10.800; x** na BC z = 45x1 + c2x2

c245;90 = All. Min. c(2); All. Max. c(2)

z* = 4560 + c2120 = c2120+3.360c2 = 45 z* = 8.100; x** na BCc2 = 90 z* = 13.500; x** na AB


Combined Reportza Variable Type = Continous

89/245

Grafičkimodel novog problema sa novim kapaci-tetom za M1b’1 = b1 + 120 = 480 + 120 = 600

d) Promena b1

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 600 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

c1 x1 c2 x2 z maxA 45 0 60 150 9.000B 45 60 60 120 9.900E 45 180 60 0 8.100

9.900

Menja se X (oblast 0ABE), ali ostaje x*, z*

PROMENA biB

50 100 150 200

50

100

150

200

0

x1

x2

250

Polazno 1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X

Novo 1) 3x1 + 2x2 = 600

A(0,150)

B(60,120)

C(120,60)

D(160,0)

E(180,0)

z* = 9.900

D(160,0) nije više na granici oblasti X

Proširenje X sa trouglom DEC

90/245

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

REKAPITULACIJA za b1

50 100 150 200

50

100

150

200

0

x1

x2

250

Polazno 1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X

A(0,150)

C(120,60)E(180,0)

z* = 9.900

B(60,120)

D(160,0)

b1 420 zadržava x*

x* u B(60,120) Potrebno je da kapacitet M1 iznosi b1* = 360 + 2120 = 420Veći kapacitet za M1 ne utiča ne x*

Za E(180,0) jeb’1 = 3180 + 20 = 540

b1(420,540 menja X, ali ostaje x*

Proizilazi :

b1 > 540 ne utiče na X(usled toga, ostaje x*)

ZAKLJUČAK 1

>>

1

2

91/245

50 100 150 200

50

100

150

200

0

x1

x2

250

Polazno 1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

Xz* = 9.900

B(60,120)

D(160,0)

C(120,60)

A(0,150)

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

REKAPITULACIJA za b1

x* u B(60,120) Potrebno je da kapacitet M1 iznosi b1* = 360 + 2120 = 420Manji kapacitet za M1 menja x*

Za A(0,150) jeb’1 = 30 + 2150 = 300

b1300,420) menja X, x*, z* x’* je na duži AB

Proizilazi :

b1 < 300 menja X, x*, z*x’* je na osi 0x2 : x’1* = 0, x’2* = b1

ZAKLJUČAK 2

>>

b1 < 420 menja x*

1

2

92/245

Grafičkimodel za polazni problem, sa ranijim kapacitetima za M2 i M3

e) Promena b2, b3

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 6001,25 M3 1x1 + 1x2 1801,25 x1, x2 0

SUGESTIJA : Konstruisati prave za M2 i M3, odrediti novo X i ispitati fun. cilja z(x) u tačkama u temenima oblasti X ili primeniti softver.

50 100 150 200

50

100

150

200

0

x1

x2

250

1) 3x1 + 2x2 = 480

Polazno2) 2x1 + 4x2 = 600

Polazno 3) x1 + x2 = 180

Xz* = 9.900

B(60,120)

D(160,0)

C(120,60)

A(0,150)

NAPOMENA : Za diskret-ne promene jednog ili više parametara modela (cj, bi, aij) jednostavnije je koristiti softver

93/245

e) Promena b2, b3

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 6001,25 M3 1x1 + 1x2 1801,25 x1, x2 0

Polazno opt. rešenje : x1*=60, x2=120, z*=9.900Veći kapaciteti za 25% kod M2 i M3 daju znatno bolje rešenje : x1*=52,50; x2=161,25; z*=12.037,50

Odrediti celobrona rešenja za brojeve pari modela obuće A i B

Slobodni kapaciteti samo kod M3

Primena softveraPrimena softvera Matrix Form

Combined Report

94/245

f) Promena b3

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 1800,70

x1, x2 0

SUGESTIJA : Konstruisati pravu za M3, odrediti novo X i ispitati funkciju cilja z(x) u tačkama u temenima oblasti X ili primeniti softver.

Grafičkimodel za polazni problem, sa ranijim kapacitetom za M3

50 100 150 200

50

100

150

200

0

x1

x2

250

1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

Polazno 3) x1 + x2 = 180

Xz* = 9.900

B(60,120)

D(160,0)

C(120,60)

A(0,150)

95/245

Polazno opt. rešenje : x1*=60, x2=120, z*=9.900Manji kapacitet za 30% kod M3 daje znatno lošije rešenje : x1*=0; x2=126;, z*=7.560

f) Promena b3

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 1800,70

x1, x2 0

Slobodni kapaciteti kod M1 i M2

Izgraditi samo model B ili postaviti donju granicu za model A !

Primena softveraPrimena softvera Matrix Form

Combined Report

96/245

g) Promena a22

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 3x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

SUGESTIJA : Primeniti softver

Grafičkimodel za polazni problem, sa ranijim normativom a22 = 4 i novim a’22 = 3 za proizvod (par obuće) B na M2

50 100 150 200

50

100

150

200

0

x1

x2

250

1) 3x1 + 2x2 = 480

Polazno 2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X

Polaznoz* = 9.900

B(60,120)

D(160,0)C(120,60)

A(0,150)

300

Novo 2) 2x1 + 3x2 = 600

G(0,180)

Novo z'* = 10.800

c1 x1 c2 x2 z maxG 45 0 60 180 10.800C 45 120 60 60 9.000D 45 160 60 0 7.200

10.800

Proširuje se X sa trouglom ABGNovo x’* je tačka G(0,180) sa z’* = 10.800

Proširenje za X z’* > z*

97/245

h) Promena c1, b1, a12

(max) z = 50x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 1,5x2 470 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Grafičkimodel za polazni problem

50 100 150 200

50

100

150

200

0

x1

x2

250

Polazno 1) 3x1 + 2x2 = 480

2) 2x1 + 4x2 = 600

3) x1 + x2 = 180

X

Polaznoz* = 9.900

B(60,120)

D(160,0)C(120,60)

A(0,150)

300

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o.

M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

SUGESTIJA : Konstruisati pravu za M1, odrediti novo X i ispitati novo z(x) u tačkama u temenima oblasti X ili primeniti softver.

Sadržaj 5

98/245

Polazni model LP

(max) z = CXp.o. AX B X 0

C = c1; c2 = 45;60 X = x1; x2

C’ = c’1; c’2 Parametarska analiza cj

Parametarski model LP

(max) z(C+C’) = (C+C’)Xp.o. AX B X 0

Parametarska analiza bi

Parametarski model LP

(min) z(B+B’) = CXp.o. AX B+B’ X 0

cj = cj + c’j

A.2

A.1

Perform Parametric Analysis, PARAMETARSKA ANALIZA

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

z = (45+c’1)x1 + (60+

c’2)x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2

480+b’1

M2 2x1 + 4x2

600+b’2

M3 1x1 + 1x2

180+b’3

x1, x2 0

B’ = b’1; b’2;b’3

bi = bi + b’i

C’ = Smer pertubacije; = Skala promene

11

42

23

3231

2221

1211

aa

aa

aa

AB = b1; b2; b3 = 480;600;180

Matrični zapis

B’ = Smer pertubacije; = Skala promene

99/245

Za n 3 nepoznatih (više od 2) mogu da se razmatraju (istovremeno) samo neki ili svi koeficijenti cj

PRIMER : n = 4; C’ = c’1; c’2; c’3 = 1; 0; 1,5 c3 se menja 1,5 puta brže i suprotno od c1 (bez promene c2 jer je c’2 = 0)

A.1.1

Parametarska analiza cj

Pozicionirano x1 sa c1

Izbor da se menjaju cj koeficijenti u funkciji kriterijuma uz xj

A.1.2

Vektorska analiza više cj

Izbor “Prertubation Vector”Potvrda sa OK

Prertubation Vector za funkciju kriterijuma z(x)C’ = c’1; c’2 = 1; 1,5c2 se menja 1,5 puta brže od c1

Unosi se c’2 za pozicionirano c2

Potvrda

Potvrda

A.1

Promene :

Ravno-merne ili neravno- merne ;

Smerovi :

Isti ili različiti

Analiza samo jednog cj

100/245

Zavisnost funkcije kriterijuma z(x) od vrednosti c1 koeficijenta za x1 (dobit za model A), nepoznata x1

Vrednost z*=9.900 za x* sa c1=45 iz polaznog modela

c1From Coeff. of X1; To Coeff. of X1zFrom OBJ Value; To OBJ Valuez = (From OBJ Value) + (c1 From Coef. of M1)Slope

A.1.1.1

1.1) Ilustracija Range, R = 1Neka c1 = 50 ; c145; 60z1* = 9.900+(5045)60 = 10.200 9.900; 10.800 Ostaje x*

R = 1

R = 2R = 4

R = 5

Parametarska analiza : Jedno cj

R = 3

101/245

z*=9.900 za x* sa c1=45


1.2) Ilustracija R = 2 : c1 = 80 ; c160; 90

z2* = 10.800+(8060)120 = 13.200 10.800; 14.400

R=2 desno od R=1, Podaci iz R=1

Prelaz sa R=1 na R=2 (promena baze, x1*) Izlazi iz baze (Leaving Variable) Slack_M1 (ranije > 0, postaje 0 ; koristi se 100% kapac. b1 = 480) Ulazi u bazu (Entering Variable) Slack_M2 (ranije = 0, postaje > 0 ; ne koristi se 100% kapac. b2 = 600)

R = 1

(max) z = c1x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

R = 2

R = 3

R = 4

R = 5

c1

z*

PRIMENE

1) Dato c1 ; odrediti z* 2) Dato z* ; odrediti c1

3) Odrediti x* za 1), 2)

Ilustracija R=1 R=2 : c1 = 60 (presek za R=1 i R=2) c145; 60 i c160,90 ; z1,2* = 10.800

Nastaje višestruko reš. x1,2** ; Alternativna x* : Poslednje x1* za R=1 ; Prvo x2* za R=2

x** na granicama za svaki par intervala c1

Prelaz sa R=1 na R=2 : Slack_M2 B Slack_M1

102/245

z*=9.900 za x* sa c1=45


1.3) Ilustracija R = 3 : c1 = 100 ; c190; M=

z3* = 14.800+(10090)160 = 13.200 10.800; 14.400

R=3 desno od R=3, Podaci iz R=2Prelaz sa R=2 na R=3 (promena baze, x2*) Izlazi iz baze (Leaving Variable) X2 (ranije > 0, postaje 0 ; ne proizvodi se obuća B) Ulazi u bazu (Entering Variable) Slack_M3 (ranije = 0, postaje > 0 ; ne koristi se 100% kapac. b3 = 180)

R = 1

(max) z = c1x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

R = 2

R = 3

R = 4

R = 5

x** na granicama svakog para intervala za c1

1.4) Ilustracija R = 4 : c1 = 40 ; c145; 30

z4* = 9.900+(4045)60 = 9.600 9.900; 9.000

R=4 levo od R=1 ; ostaje x1* = polazno x*

1.5) Ilustracija R = 5 : c1 = 20 ; c130; M=

z5* = 9.000+(2035)0 = 9.000 9.000; 9.000

Slope = 0 z5* = 9.000 za c1 30 ; R=5 levo od R=4 ; Podaci iz R=4

Izlazi iz baze X1 (ranije > 0, postaje 0 ; ne proizvodi se obuća A) Ulazi u bazu Slack_3 (ranije = 0, postaje > 0 ; ne koristi se 100% kapac. b3 = 180)

103/245

z*=9.900 za x* sa c1=45


2.1) Ilustracija z* = 11.000 ; c1 = ? ; x* = ?

z* = 11.000 10.800; 14.400 R=2 sa c160; 90

z* = 11.000 = 10.800+(c160)120 c1 = 61,667

R=2 desno od R=1 ; Videti pod 1.2) prelaz sa x1* na x2*

R = 1

(max) z = c1x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

R = 2

R = 3

R = 4

R = 5


3.1) Ilustracija x* za z* = 11.000 i c1 = 61,667 pod 2.1)

Combined Report

x1* = 120; x2* = 60 ; z* = 11.000,04

Slobodni kapac. Slask_M2 = 120 za M2

104/245

z*=9.900 za x* sa c1=45


R = 1

(max) z = c1x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

R = 2

R = 3

R = 4

R = 5


Range From c1 To c1 From z To z Slope Dc1 c1 z*

1 45,00 60,00 9.900,00 10.800,00 60,00 5 50 10.200,00

1 45,00 60,00 9.900,00 10.800,00 60,00 5 55 10.500,00

1 45,00 60,00 9.900,00 10.800,00 60,00 5 60 10.800,00

2 60,00 90,00 10.800,00 14.400,00 120,00 5 65 11.400,00

2 60,00 90,00 10.800,00 14.400,00 120,00 5 70 12.000,00

2 60,00 90,00 10.800,00 14.400,00 120,00 5 75 12.600,00

2 60,00 90,00 10.800,00 14.400,00 120,00 5 80 13.200,00

2 60,00 90,00 10.800,00 14.400,00 120,00 5 85 13.800,00

3 90,00 M 14.400,00 M 160,00 5 90 14.400,00

3 90,00 M 14.400,00 M 160,00 5 95 15.200,00

3 90,00 M 14.400,00 M 160,00 5 100 16.000,00

3 90,00 M 14.400,00 M 160,00 5 105 16.800,00

4 45,00 30,00 9.900,00 9.000,00 60,00 5 45 9.900,00

4 45,00 30,00 9.900,00 9.000,00 60,00 5 40 9.600,00

4 45,00 30,00 9.900,00 9.000,00 60,00 5 35 9.300,00

4 45,00 30,00 9.900,00 9.000,00 60,00 5 30 9.000,00

Podesno je da se koristi MS Excel Work-sheet za realizaciju procesa proračuna z* u funkciji c1 za željeni priraštaj Dc1 koef. c1

Omogućava se promenom Dc1 = 5 u prvom redu tabele i/ili kasnije. Neophodna je kon-trola/korekcija broja redova za intervale.

105/245

Vektor perturbacije 1; 1,5c2 se menja 1,5 puta brže od c1

Zavisnost funkcije kriterijuma z(x) od vrednosti c1 i c2 (koeficijen. za x1 i x2) dobiti za model A i B.

z*=9.900 sa x* sa c1=45, c2=60 iz polaznog modela

A.1.2.1

From (Vector); To (Vector)zFrom OBJ Value; To OBJ Valuez = (From OBJ Value) + ( From (Vector))Slope

cj = cj + c’j

Range, R = 1

R = 2

R = 3

Ilustracija 1 :

Neka = 10R= 1, 0; M = z* = 9.900+(100)240 = 9.900+2.400 = 12.300c1 = 45+101 = 55

c2 = 60+101,5 = 75

R = 4

R = 5

Parametarska - Vektorska analiza : Više cj

Ostaje x*

106/245

Vektor perturbacije c2 se menja 1,5 puta brže od c1


Ilustracija 2 :

= 10 R= 2, 0; 30z* = 9.900+(100)240 = 7.600 9.900; 2.700c1 = 45+(10)1 = 35 ; c2 = 60+(10)1,5 = 45

C = c1; c2 = 45;60

C’ = c’1; c’2 = 1; 1,5

cj = cj + c’j

z = (45+1)x1 + (60+ 1,5)x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Ilustracija 4 :

Neka c2 = 70 Potrebno je odrediti c2 = 60+1,5 = 70 ; = (7060):1,5 6,667 R= 1, 0; M =

Ilustracija 3 : R = 3 ; 30; 36Prelazak sa R=2 na R=3 ; Podaci za R=2 : Bazu napušta (Leaving Variable) Slack_M1 koristiće se 100% b1 = 480 Postaje bazna (Entering Variable) Slack_M2 Neće se koristiti 100% b2 = 600

z* = 9.900+(6,6670)240 = 11.500 9.900; Mc1 = 45+6,6671 = 61,667

Ilustracija 5 : Odrediti cj za z* = 9.1009.100 9.900; 2.770 R = 2 sa 0; 30 9.100 = 9.900 + ( 0)240 = 800/240 0,333 c1 = 450,3331 = 41,667 c2 = 603,3331,5 = 55,000

(max)

107/245

z = 41,667x1 + 55x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

Zahtev 5)z* = 9.100

Matrix Form

Combined Report

Zadržava se ranije x*

z = (45+1)x1 + (60+ 1,5)x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

(max)

Ilustracija 6 : Odrediti x* za z* = 9.100

108/245

Vektor perturbacije c2 se menja 1,5 puta brže od c1

C = c1; c2 = 45;60

C’ = c’1; c’2 = 1; 1,5

cj = cj + c’j

z = (45+1)x1 + (60+ 1,5)x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0From (Vector); To (Vector)zFrom OBJ Value; To OBJ Valuez = (From OBJ Value) + ( From (Vector))Slope

Range From To From z To z Slope D c1* c'1 c1 c2* c'2 c2 z*

1 0,00 M 9.900,00 M 240,00 0,00 0,00 45 1,0 45,00 60 1,5 60,00 9.900,00

1 0,00 M 9.900,00 M 240,00 5,00 5,00 45 1,0 50,00 60 1,5 67,50 11.100,00

1 0,00 M 9.900,00 M 240,00 5,00 10,00 45 1,0 55,00 60 1,5 75,00 12.300,00

2 0,00 -30,00 9.900,00 2.700,00 240,00 -5,00 -5,00 45 1,0 40,00 60 1,5 52,50 8.700,00

2 0,00 -30,00 9.900,00 2.700,00 240,00 -5,00 -10,00 45 1,0 35,00 60 1,5 45,00 7.500,00

2 0,00 -30,00 9.900,00 2.700,00 240,00 -5,00 -15,00 45 1,0 30,00 60 1,5 37,50 6.300,00

2 0,00 -30,00 9.900,00 2.700,00 240,00 -5,00 -20,00 45 1,0 25,00 60 1,5 30,00 5.100,00

2 0,00 -30,00 9.900,00 2.700,00 240,00 -5,00 -25,00 45 1,0 20,00 60 1,5 22,50 3.900,00

2 0,00 -30,00 9.900,00 2.700,00 240,00 -5,00 -30,00 45 1,0 15,00 60 1,5 15,00 2.700,00

3 -30,00 -36,00 2.700,00 1.440,00 210,00 -2,00 -32,00 45 1,0 13,00 60 1,5 12,00 2.280,00

3 -30,00 -36,00 2.700,00 1.440,00 210,00 -2,00 -34,00 45 1,0 11,00 60 1,5 9,00 1.860,00

3 -30,00 -36,00 2.700,00 1.440,00 210,00 -2,00 -36,00 45 1,0 9,00 60 1,5 6,00 1.440,00

4 -36,00 -45,00 1.440,00 0,00 160,00 -2,00 -38,00 45 1,0 7,00 60 1,5 3,00 1.120,00

4 -36,00 -45,00 1.440,00 0,00 160,00 -2,00 -40,00 45 1,0 5,00 60 1,5 0,00 800,00

4 -36,00 -45,00 1.440,00 0,00 160,00 -2,00 -42,00 45 1,0 3,00 60 1,5 -3,00 480,00

4 -36,00 -45,00 1.440,00 0,00 160,00 -2,00 -44,00 45 1,0 1,00 60 1,5 -6,00 160,00

4 -36,00 -45,00 1.440,00 0,00 160,00 -1,00 -45,00 45 1,0 0,00 60 1,5 -7,50 0,00

MS Excel Worksheet za proračun c1, c2 i z* sa željenim priraštajima D za

(max)

109/245

Promene suprotnih smerova :c1 se menja 2 puta brže od c2

Ilustracija 1 : = 30

R= 3, 25,7143; Mz = 11.314,29+(3025,7143)160 = 12.000 11.314; Mc1 = 45+301 = 75 ; c2 = 60+30(0,5) = 45

c1 raste, c2 opada

C = c1; c2 = 45;60

C’ = c’1; c’2 = 1; 0,5

cj = cj + c’j

z = (45+1)x1 + (60+

(0,5)x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

A.1.2.2

z*=9.900 sa x* sa c1=45, c2=60 iz polaznog modela

R = 1

R = 2

R = 3

R = 4

R = 5

Ilustracija 2 : = 20

R= 5, 12; Mz = 9.900+(20(25,7143))(75) = 9.471 9.900; M = c1 = 45+(20)1 = 25 ; c2 = 60+(20)(0,5) = 70

c1 opada, c2 raste

NetačnoPotrebno je M

R = 1, R = 4 Zadržava se z* = 9.900 za 12; 10

(max)

110/245

REKAPITULACIJA : Parametarska analiza cj

(max) z = c1x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

z = (45+1)x1 + (60+1,5)x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 M2 2x1 + 4x2 600 M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0



cj = cj + c’jPrimene :

1) Izbor ; proračun c1, c2, z*

2) Dato jedno cj ; proračun , ostalih cj, z*

3) Dato z* ; proračun , c1, c2

4) Odrediti x* za 1), 2), 3)

Primene :

1) Izbor ; proračun c1, z*

2) Dato z* ; proračun , c1


c’1; c’2 = 1; 1,5

Promene : Ravno-merne ili ne-ravno-merneSmerovi : Isti ili različiti

Parametarska Vektorska analiza više cj(max)

A.1

A.1.1

A.1.2

111/245

PRIMERI :

Promene istih smerova : 1) B’ = 0; 1; 1 ; 2) B’ = 0; 1; 1,5 3) B’ = 1; 1; 1 ; 4) B’ = 0,5; 2; 1,5

Promene različitih smerova : 1) B’ = 1; 1; 0 ; 2) B’ = 0; 0,5; 1

A.2.1

Parametarska analiza bi

Pozicionirano M1 sa b1

Izbor da se menjaju bi

slobodni članovi (Right Hand Side) ograničenja

A.2.2

Analiza samo jednog bi

Vektorska analiza više bi

Izbor “Prertubation Vector”Potvrda sa OK

Prertubation Vectorza desnu stranu ograničenjaB’ = b’1; b’2; b’3 = 0; 0,5; 1b2 se menja 2 puta brže i suprotno od b3

Unosi se b’3 za pozicionirano b3

za M3

Potvrda

Potvrda

A.2

Promene :

Ravno-merne ili neravno- merne ;

Smerovi :

Isti ili različiti

112/245

Zavisnost funkcije kriterijuma od vrednosti b1 kapac. za M1

z*=9.900 za x* sa b1=480

R = 1

R = 2R = 3

R = 4b1From RHS of M1; To RHS of M1zFrom OBJ Value; To OBJ Valuez = (From OBJ Value) + (b1From RHS of M1)Slope

A.2.1.1

Parametarska analiza : Jedno bi

z*

b1 = Right-Hand-Side of M1

113/245

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 b1 = RHS of M1

M2 2x1 + 4x2 600

M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

b1From RHS of M1; To RHS of M1zFrom OBJ Value; To OBJ Valuez = (From OBJ Value) + (b1From RHS of M1)Slope

Ilustracija R = 3 b1 = 450 420; 300z = 9.900+(450420)7,5 = 9.7509.900; 9.000

Bazu napušta Slack_M1 (postaje 0)Koristiće se 100% kapacitet b1 = 400 za M1

Postaje bazna Slack_M3 (postaje > 0)Neće se koristiti 100% kapcitet b3 = 180 za M3

z*=9.900 za x* sa b1=480

R = 2

R = 3R = 4R=1, R=2

Zadržava se z* = 9.900 za b1420; MOdnosno, za b1 420

Ilustracija R=4 : b1 < 300

Nema rešenje za b1 0

R = 1Prelaz sa R=2 na R=3

Prelaz sa R=2 na R=3Slack_M1 = 0 iz BAZE

Sladk_M3 > 0 u BAZU

z*

b1

114/245

Ilustracija : z* = 7.500 9.000; 0 R=4 ; b1 300; 0 7.500 = 9.000+(b1300)30 b1 = 250Bazu napušta X1 ; u bazu se uvodi Slack_M2

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 b1 = RHS of M1

M2 2x1 + 4x2 600

M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0


z*=9.900 za x* sa b1=480

R = 2

R = 3R = 4

R=1, R=2 : z* = 9.900 za b1 420


R = 1

Prelaz sa R=3 na R=4

Range From

RHS of M1; b1

To RHS of M1 ; b1

From z To z Slope Db1 b1 z*

3 420,00 300,00 9.900,00 9.000,00 7,50 -20 400 9.750,00

3 420,00 300,00 9.900,00 9.000,00 7,50 -20 380 9.600,00

3 420,00 300,00 9.900,00 9.000,00 7,50 -20 360 9.450,00

3 420,00 300,00 9.900,00 9.000,00 7,50 -20 340 9.300,00

3 420,00 300,00 9.900,00 9.000,00 7,50 -10 330 9.225,00

3 420,00 300,00 9.900,00 9.000,00 7,50 -10 320 9.150,00

3 420,00 300,00 9.900,00 9.000,00 7,50 -10 310 9.075,00

3 420,00 300,00 9.900,00 9.000,00 7,50 -10 300 9.000,00

4 300,00 0,00 9.000,00 0,00 30,00 -20 280 8.400,00

4 300,00 0,00 9.000,00 0,00 30,00 -20 260 7.800,00

4 300,00 0,00 9.000,00 0,00 30,00 -20 240 7.200,00

4 300,00 0,00 9.000,00 0,00 30,00 -20 220 6.600,00x** na granicama svakog para intervala za b1

MS Excel Worksheet za proračun b1, z* sa Db1

115/245

Zavisnost funkcije kri-terijuma od vrednosti b3 kapaciteta za M3

z*=9.900 za x* sa b3=180 iz polaznog modela

A.2.1.2


R = 2

R = 1R = 3

R = 4

R=2 : Zadržava se z* = 9.900 za b3195; M ; odnosno za b3 195

Ilustracija 1 : b3 = 170Range = 3, b3180; 150z = 9.900+(170180)30 = 9.6009.900; 9.000Za x* ostaje struktura x* ; pošto : b3 = 170 u R=3 jeste levo od polazne vrednosti b3 = 180 u R=1 sa x*

116/245

Zavisnost funkcije kri-terijuma od vrednosti b2 i b3 kapaciteta za M2 i M3

z*=9.900 za x* sa b2=600 i b3=180 iz polaznog modela

Vektor perturbacije 0, 1, 1

R = 2

Ravnomerna istih smerova promena b2 i b3

A.2.2.1

R = 1 R = 3

R = 4

R = 5

R = 6

Parametarska Vektorska analiza : Više bi

Nema rešenje za 180

117/245

Ilustracija R=1 : = 10 0; 17,1429

z* = 9.900+(100)37,50 = 10.275 9.900; 10.542

b2 = 600+101 = 610; b3 = 180+101 = 190

Prelaz sa x* desno na R=1 Slack_M3 B Slack_M1 Koristi se 100% kapacitet b1 = 480 za M1 Ne koristiti se 100% kapcitet b3 = 190 za M3

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 +

0 M2 2x1 + 4x2 600 +

1 M3 1x1 + 1x2 180 +

1 x1, x2 0

Vektor perturbacije 0, 1, 1ravnomerna istih smerova promena b2 i b3

From (Vector); To (Vector)zFrom OBJ Value; To OBJ Valuez = (From OBJ Value) + (From (Vector))Slope

bi = bi + b’i


R = 2

R = 1R = 3

R = 4R = 5

R = 6

z*=9.900 za x* sa b2=600 i b3=180 iz polaznog modela

R=3 : Zadržava se z* = 9.900 za 360; M ; 360b2 = 600+ 1 ; b3 = 180+ 1

Ilustracija R=2 : = 100 17,1429; 360z* = 10.451+(10017,1429)11,25 = 11.475b2 = 600+1001 = 700; b3 = 180+1001 = 280

R=1 R=2 : Slack_M3 B Slack_M1x** na granicama svakog para intervala

118/245

Ilustracija R=4 : = 10 0; 40

z* = 9.900+(100)37,50 = 9.525 9.900; 8.400

b2 = 600101 = 590; b3 = 180101 = 170Prelaz sa x* levo na R=4 ; ostaje struktura x*

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 +

0 M2 2x1 + 4x2 600 +

1 M3 1x1 + 1x2 180 +

1 x1, x2 0

Vektor perturbacije 0, 1, 1ravnomerna istog smera promena b2 i b3


bi = bi + b’i


Ilustracija : z* = 11.000 ; Odrediti : b2, b3, x*

z*10.542,86; 14.400 R=2 17,1429; 36011.000 = 10.542,86+(17,1429)11,25

= 57,77757 b2 = 600+57,781 = 657,78

b3 = 180+57,781 = 237,78

R=1 R=2 : Slack_M3 B Slack_M1

Combined Report

x1* = 75,56; x2* = 126,67; z* = 11.000,03

Slack_M3 = 35,55 (Slobodni kapaciteti M3)Celobrojne promenljive : x* = 76; 126 ; z* = 10.980 ; Slack_M2 = 1,78 ; Slack_M3 = 35,78

119/245

Ilustracija : b2 = 622 ; Odrediti : b3, z*

b2 = 622 = 600+1 = 22

= 22 17,1429; 360 za R=2z* = 10.542,86 + (2217,1429) = 10.597,50 b3 = 180+221 = 222

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 +

0 M2 2x1 + 4x2 600 +

1 M3 1x1 + 1x2 180 +

1 x1, x2 0

Vektor perturbacije 0, 1, 1ravnomerna istog smera promena b2 i b3


bi = bi + b’i


MS Excel Worksheet za proračun b1, b2, z* sa željenim D b1* = 480 b2* = 600 b3* = 180

Range From To From z To z Slope D b'1 b1 b'2 b2 b'3 b3 z*

1 0,00 17,143 9.900,00 10.542,86 37,50 0 0,00 0 480 1 600 1 180 9.900,00

1 0,00 17,143 9.900,00 10.542,86 37,50 5 5,00 0 480 1 605 1 185 10.087,50

1 0,00 17,143 9.900,00 10.542,86 37,50 5 10,00 0 480 1 610 1 190 10.275,00

1 0,00 17,143 9.900,00 10.542,86 37,50 5 15,00 0 480 1 615 1 195 10.462,50

1 0,00 17,143 9.900,00 10.542,86 37,50 1 16,00 0 480 1 616 1 196 10.500,00

1 0,00 17,143 9.900,00 10.542,86 37,50 1 17,00 0 480 1 617 1 197 10.537,50

2 17,1429 360,00 10.542,86 14.400,00 11,25 0 17,143 0 480 1 617 1 197 10.542,86

2 17,143 360,00 10.542,86 14.400,00 11,25 32,86 50,00 0 480 1 650 1 230 10.912,50

2 17,143 360,00 10.542,86 14.400,00 11,25 50 100,00 0 480 1 700 1 280 11.475,00

2 17,143 360,00 10.542,86 14.400,00 11,25 50 150,00 0 480 1 750 1 330 12.037,50

2 17,143 360,00 10.542,86 14.400,00 11,25 50 200,00 0 480 1 800 1 380 12.600,00

2 17,143 360,00 10.542,86 14.400,00 11,25 50 250,00 0 480 1 850 1 430 13.162,50

2 17,143 360,00 10.542,86 14.400,00 11,25 50 300,00 0 480 1 900 1 480 13.725,002 17,143 360,00 10.542,86 14.400,00 11,25 50 350,00 0 480 1 950 1 530 14.287,502 17,143 360,00 10.542,86 14.400,00 11,25 10 360,00 0 480 1 960 1 540 14.400,004 0 -40,00 9.900,00 8.400,00 37,50 0 0,00 0 480 1 600 1 180 9.900,004 0 -40,00 9.900,00 8.400,00 37,50 -10 -10,00 0 480 1 590 1 170 9.525,004 0 -40,00 9.900,00 8.400,00 37,50 -10 -20,00 0 480 1 580 1 160 9.150,004 0 -40,00 9.900,00 8.400,00 37,50 -10 -30,00 0 480 1 570 1 150 8.775,004 0 -40,00 9.900,00 8.400,00 37,50 -10 -40,00 0 480 1 560 1 140 8.400,005 -40 -180,00 8.400 0,00 60,00 0 -40,00 0 480 1 560 1 140 8.400,005 -40 -180,00 8.400,00 0,00 60,00 -10 -50,00 0 480 1 550 1 130 7.800,005 -40 -180,00 8.400,00 0,00 60,00 -10 -60,00 0 480 1 540 1 120 7.200,005 -40 -180,00 8.400,00 0,00 60,00 -10 -70,00 0 480 1 530 1 110 6.600,005 -40 -180,00 8.400,00 0,00 60,00 -10 -80,00 0 480 1 520 1 100 6.000,005 -40 -180,00 8.400,00 0,00 60,00 -10 -90,00 0 480 1 510 1 90 5.400,005 -40 -180,00 8.400,00 0,00 60,00 -10 -100,00 0 480 1 500 1 80 4.800,005 -40 -180,00 8.400,00 0,00 60,00 -20 -120,00 0 480 1 480 1 60 3.600,005 -40 -180,00 8.400,00 0,00 60,00 -20 -140,00 0 480 1 460 1 40 2.400,005 -40 -180,00 8.400,00 0,00 60,00 -20 -160,00 0 480 1 440 1 20 1.200,005 -40 -180,00 8.400,00 0,00 60,00 -20 -180,00 0 480 1 420 1 0 0,00

120/245

Ne-ravnomerna različitih smerova promena b2 i b3

A.2.2.2


(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 + 0

M2 2x1 + 4x2 600 + (0,5)

M3 1x1 + 1x2 180 + 1 x1, x2 0


bi = bi + b’i

Vektor perturbacije 0; 0,5; 1

b3 se menja 2 puta brže i suprotno od b2

Ilustracija R=1 : = 10 0; 14,1176

z* = 9.900+(100)26,25 = 10.162,50 9.900; 10.270,25b2 = 600100,5 = 595; b3 = 180+101 = 190

Nema rešenje za 1.200

z* = 10.162,50x1* = 82,50 ; x2* = 107,50

Slack_M1 = 17,50Slack_M2 = 0

Celobrojne promenljive

z* = 10.155,00x1* = 83 ; x2* = 107

Slack_M1 = 17Slack_M2 = 1

z* = 9.900x1* = 60 ; x2* = 120

Slack_M1 = 60Slack_M2 = 0

Raspoloživa verzija soft-vera ne prikazuje grafik

121/245

MS Excel Worksheet za proračun b1, b2, z* sa željenim D b1* = 480 b2* = 600 b3* = 180

Range From To From z To z Slope D b'1 b1 b'2 b2 b'3 b3 z*

1 0,00 14,1176 9.900,00 10.270,59 26,25 0 0,00 0 480 -0,5 600 1 180 9.900,00

1 0,00 14,118 9.900,00 10.270,59 26,25 5 5,00 0 480 -0,5 598 1 185 10.031,25

1 0,00 14,118 9.900,00 10.270,59 26,25 5 10,00 0 480 -0,5 595 1 190 10.162,50

1 0,00 14,118 9.900,00 10.270,59 26,25 2 12,00 0 480 -0,5 594 1 192 10.215,00

1 0,00 14,118 9.900,00 10.270,59 26,25 2 14,00 0 480 -0,5 593 1 194 10.267,50

1 0,00 14,118 9.900,00 10.270,59 26,25 0,12 14,12 0 480 -0,5 593 1 194 10.270,59

2 14,1176 560,00 10.270,59 7.200,00 -5,625 0 14,118 0 480 -0,5 593 1 194 10.270,59

2 14,118 560,00 10.270,59 7.200,00 -5,63 35,88 50,00 0 480 -0,5 575 1 230 10.068,75

2 14,118 560,00 10.270,59 7.200,00 -5,63 50 100,00 0 480 -0,5 550 1 280 9.787,50

2 14,118 560,00 10.270,59 7.200,00 -5,63 50 150,00 0 480 -0,5 525 1 330 9.506,25

2 14,118 560,00 10.270,59 7.200,00 -5,63 50 200,00 0 480 -0,5 500 1 380 9.225,00

2 14,118 560,00 10.270,59 7.200,00 -5,63 100 300,00 0 480 -0,5 450 1 480 8.662,50

2 14,118 560,00 10.270,59 7.200,00 -5,63 100 400,00 0 480 -0,5 400 1 580 8.100,002 14,118 560,00 10.270,59 7.200,00 -5,63 100 500,00 0 480 -0,5 350 1 680 7.537,502 14,118 560,00 10.270,59 7.200,00 -5,63 60 560,00 0 480 -0,5 320 1 740 7.200,00

3 560,00 1.200,00 7.200,00 0,00 -11,250 0 560,000 0 480 -0,5 320 1 740 7.200,00

3 560 1.200,00 7.200,00 0,00 -11,25 40 600,00 0 480 -0,5 300 1 780 6.750,003 560 1.200,00 7.200,00 0,00 -11,25 100 700,00 0 480 -0,5 250 1 880 5.625,003 560 1.200,00 7.200,00 0,00 -11,25 100 800,00 0 480 -0,5 200 1 980 4.500,003 560 1.200,00 7.200,00 0,00 -11,25 100 900,00 0 480 -0,5 150 1 1.080 3.375,003 560 1.200,00 7.200,00 0,00 -11,25 100 1.000,00 0 480 -0,5 100 1 1.180 2.250,003 560 1.200,00 7.200,00 0,00 -11,25 100 1.100,00 0 480 -0,5 50 1 1.280 1.125,003 560 1.200,00 7.200,00 0,00 -11,25 100 1.200,00 0 480 -0,5 0 1 1.380 0,005 0 -26,6667 9.900,00 9.200,00 26,25 0 0,00 0 480 -0,5 600 1 180 9.900,005 0 -26,67 9.900,00 9.200,00 26,25 -5 -5,00 0 480 -0,5 603 1 175 9.768,755 0 -26,67 9.900,00 9.200,00 26,25 -5 -10,00 0 480 -0,5 605 1 170 9.637,505 0 -26,67 9.900,00 9.200,00 26,25 -5 -15,00 0 480 -0,5 608 1 165 9.506,255 0 -26,67 9.900,00 9.200,00 26,25 -5 -20,00 0 480 -0,5 610 1 160 9.375,005 0 -26,67 9.900,00 9.200,00 26,25 -5 -25,00 0 480 -0,5 613 1 155 9.243,755 0 -26,67 9.900,00 9.200,00 26,25 -1,67 -26,67 0 480 -0,5 613 1 153 9.200,006 -26,667 -180,00 9.200,00 0,00 60,00 0 -26,67 0 480 -0,5 613 1 153 9.200,006 -26,667 -180,00 9.200,00 0,00 60,00 -50 -76,67 0 480 -0,5 638 1 103 6.200,006 -26,667 -180,00 9.200,00 0,00 60,00 -50 -126,67 0 480 -0,5 663 1 53 3.200,006 -26,667 -180,00 9.200,00 0,00 60,00 -50 -176,67 0 480 -0,5 688 1 3 200,006 -26,667 -180,00 9.200,00 0,00 60,00 -50 -226,67 0 480 -0,5 713 1 -47 -2.800,00

122/245

Troskovi, zavisnost od "mi"

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

-17

6,6

7

-76

,67

-26

,67

-20

-10 0 5

12

14

,11

8

50

15

0

25

0

35

0

45

0

55

0

56

0

65

0

75

0

85

0

95

0

1.0

50

,00

1.1

50

,00


(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 + 0

M2 2x1 + 4x2 600 + (0,5)

M3 1x1 + 1x2 180 + 1 x1, x2 0


bi = bi + b’i

Vektor perturbacije 0; 0,5; 1

b3 se menja 2 puta brže i suprotno od b2

Nema rešenje za 1.200

Raspoloživa verzija soft-vera ne prikazuje grafik

Grafik sa MS Excel

123/245

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480 + 0

M2 2x1 + 4x2 600 + (0,5)

M3 1x1 + 1x2 180 + 1 x1, x2 0

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 b1

M2 2x1 + 4x2 600

M3 1x1 + 1x2 180 x1, x2 0

REKAPITULACIJA : Parametarska analiza bi


bi = bi + b’iPrimene :

1) Izbor ; proračun b2, b3, z*

2) Dato jedno bi ; proračun , ostalih bi, z*

3) Dato z* ; proračun , b2, b3

4) Odrediti x* za 1), 2), 3)

Primene :

1) Izbor ; proračun b1, z*

2) Dato z* ; proračun , b1


Promene : Ravno-merne ili ne-ravno-merneSmerovi : Isti ili različiti

Parametarska Vektorska analiza više bi

A.2

A.2.1

A.2.2


b1 = RHS of M1

B’ = 0; 0,5; 1

124/245

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480

M2 2x1 + 4x2 600

M3 1x1 + 1x2 180

A x1 75 x1, x2 0

Parametarska analiza ograničenja za promenljive xjA.3

A.3.1

Donja granica

1) Uvođenje donje granice, Lower Bound

2) Uvođenje aktivnog ograničenja

Nema PA

Ima PA

Raspoloživa verzija softvera ne podržava na isti način analizu donjih i gornjih granica

125/245

(max) z = 45x1 + 60x2

p.o. M1 3x1 + 2x2 480

M2 2x1 + 4x2 600

M3 1x1 + 1x2 180

A x2 95 x1, x2 0

Parametarska analiza ograničenja za promenljive xjA.3

A.3.2

Gornja granica

2) Uvođenje aktivnog ograničenja

Ima PA uPerturbation Vector

Nema PA

Ima PA

Raspoloživa verzija softvera ne podržava na isti način analizu donjih i gornjih granica

1) Uvođenje gornje granice, Upper Bound

126/245

PRIMER 16 : ZADATAK 3. (Vežbe) Proizvodnja cigareta

Parametarska analiza1) Jedinična profit za cigarete tipa A (1) c1 = 60. Odrediti z*. (2) z* = 80.000. Odrediti c1, x*. (3) Interval c1 sa z* = Const. 2) C’ = 1; 0; 1,5 (1) = 10. Odrediti cj, x*. (2) c1 = 60. Odrediti c3, z*. (3) z* = 80.000. Odrediti cj, x*. (3) Interval sa z* = Const. Odrediti cj.

3) Kapacitet pogona I (b1) (1) b1 = 7.000. Odrediti z*, x*. (2) z* = 80.000. Odrediti b1, x*. (3) Interval b1 sa z* = Const. (4) Interval b1 bez dopustivog rešenja.4) Kapacitet za Pogon I se menja 1,2 puta brže i obrnuto od kapaciteta za Pogon II. (1) = 1.000. (2) b1 = 7.000. Odrediti b2, z*, x*. (3) z* = 112.000. Odrediti b1, b2, x*. (3) sa z* = Const. Odrediti b1, b2. (4). bez x*. Odrediti b1, b2.

127/245

Parametarska analiza za proizvode A, B, C, D1) Jedinična profit za proizvod A (1) c1 = 200. z*=?. (2) z* = 1.600.000. c1=?, x*=?. (3) Interval c1 sa z* = Const. 2) C’ = 1; 0; 0,5; 1,5 (1) = 10. (2) c1 = 200. Odrediti cj, z*. (3) z* = 1.600.000. Odrediti cj, x*. 3) Količina sirovine Pamuk (b1) (1) b1 = 20.000. Odrediti z*, x*. (2) z* = 1.600.000. Odrediti bi, x*. (3) Interval b1 sa z* = Const. (4) Interval b1 bez dopustivog rešenja.4) Količina za Pamuk se menja 1,2 puta brže i obrnuto od količine za Sintetičko vlakno. (1) = 1.000. (2) b1 = 20.000. Odrediti b2, z*, x*. (3) z* = 1.600.000. Odrediti b1, b2, x*. (3) sa z* = Const. Odrediti b1, b2. (4). bez x*. Odrediti b1, b2. 5) Ograničenje za proizvod A, Gornja granica za X1 = UB_X16) Količina za Pamuk se menja 1.5 puta brže od promene UB_X1 (1) = 10.000, z* = ?, b1 = ?, UP_X1 = ? (3) z* = 1.600.000, odrediti b1, UP_X1, x* (3) b1 = 20.000, odrediti z*, b1, UP_X1, x*.

PRIMER 17 : ZADATAK 1. (Vežbe) Izrada konfekcije

128/245

5. POST-OPTIMALNA ANALIZA

ZADACI ZA VEŽBANJE

ZADATAK 11.

Da li se menja x* polaznog problema ako ne postoje ugovorne obaveze za model B?

129/245

Parametarska analiza za proizvode A, B, C, D

1.1) Jedinična profit za A1.2) C’ = 1; 1; 0; 01.3) C’ = 1; 1,5; 0; 01.4) C’ = 1; 0; 0; 11.5) C’ = 1; 1,5; 0; 1

Kapaciteti mašina : b1, b2

2.1) Analiza b1

2.2) Ravnomerna – istog smera promena b1 i b2

2.3) 2 puta brža promena b1 od promene b2 istog smera2.4) 1,5 puta brža promena b1 od b2 suprotnog smera

130/245

ZADATAKA 12.

Sadržaj

131/245

6.6.ODABRANE PRIMENE LPODABRANE PRIMENE LP

OPŠTE POSTAVKEOPŠTE POSTAVKEI PRIMERII PRIMERI

1. Problemi proizvodnje – planiranje asortimana1. Problemi proizvodnje – planiranje asortimana

2. Problem (dijetalne) ishrane – mešanje namirnica2. Problem (dijetalne) ishrane – mešanje namirnica

3. Problem mešanja sirovina za izradu proizvoda3. Problem mešanja sirovina za izradu proizvoda

4. Optimalno proširenje proizvodnih kapaciteta4. Optimalno proširenje proizvodnih kapaciteta

5. Proizvodnja delova i finalnih proizvoda5. Proizvodnja delova i finalnih proizvoda

6. Optimizacija utrošaka materijala6. Optimizacija utrošaka materijala

7. Poslovno udruživanje (više) kompanija7. Poslovno udruživanje (više) kompanija Sadržaj

132/245

PROBLEMI PROIZVODNJE1

Opšta postavka problema izbora asortimana proizvodnje za više kategorija resursa data je na početku (posle opšte postavke problema LP)

Deo 2Deo 2

133/245

Opšta postavka problema izbora asortimana proizvodnje za više kategorija resursa data je na početku (posle opšte postavke problema LP)

Deo 2Deo 2

Literatura

134/245

135/245

Meseci Dani Vikendi Praznici Remont Radni dani Kvartali Broj M2 Fond cas. Kvartali1 31 8 3 20 8 1.200,002 28 8 10 10 8 600,003 31 9 22 52 8 1.320,00 3.120,004 30 9 1 20 8 1.200,005 31 8 23 8 1.380,006 30 9 1 20 63 8 1.200,00 3.780,007 31 9 22 8 1.320,008 31 8 23 8 1.380,009 30 10 20 65 8 1.200,00 3.900,0010 31 8 23 8 1.380,0011 30 8 2 20 8 1.200,0012 31 10 21 64 8 1.260,00 3.840,00

Godisnje 365 104 7 244 244 14.640,00 14.640,00

Tabela 2.1. Kapacitet 5 Mašina grupe 1 sa remontom po 15 dana u januaru

Primena MS Excel Worksheet (Isključiti View Show, Click na tabelu)Ppodesno definisanje osnov. radnog šablona i korekcije za druge proračune

136/245

Tabela 2.3. Fond časova 10 radnika kategorije 1 (na odmoru 5 u julu i 5 u avgustu)Meseci Sani Vikendi Praznici Radni dani Kvartali Broj R1 Fond cas. Kvartali

1 31 8 3 20 10 1500,002 28 8 20 10 1500,003 31 9 22 62 10 1650,00 4650,004 30 9 1 20 10 1500,005 31 8 23 10 1725,006 30 9 1 20 63 10 1500,00 4725,007 31 9 22 5 825,008 31 8 23 5 862,509 30 10 20 65 10 1500,00 3187,5010 31 8 23 10 1725,0011 30 8 2 20 10 1500,0012 31 10 21 64 10 1575,00 4800,00

Godisnje 365 104 7 254 254 17362,50 17362,50

MS Excel Worksheet

137/245

Tabela 3. Direktni troškovi, prodajne cene i bruto-dobit za proizvode

Resursi Jedin.cene Normativi za P1 Troskovi Normativi za P2 Troskovi Normativi za P3 TroskoviM1 40,00 2,00 80,00 0,00 0,00 4,00 160,00M2 50,00 3,00 150,00 5,00 250,00 0,00 0,00R1 25,00 3,00 75,00 2,00 50,00 2,00 50,00R2 10,00 0,00 0,00 1,00 10,00 1,00 10,00S1 10,00 20,00 200,00 30,00 300,00 32,00 320,00S2 5,00 5,00 25,00 4,00 20,00 10,00 50,00

Ukupno 530,00 630,00 590,00Prodajne cene 630,00 750,00 700,00Bruto-dobit 100,00 120,00 110,00

MS Excel Worksheet

138/245

139/245

140/245

141/245

142/245

143/245

144/245

145/245

Za celobrojno programiranje, u opštem slučaju se ne prikazuju intervali za koeficijente cj uz nepoznate xj u funkciji kriterijuma (intervali promena cj da se zadrži struktura optimalnog rešenja sa stanovišta promenljivih).

Allowable Min. c(j); Allowable Max. c(j).

146/245

Proizvodi Količine Normativi Utrošci Normativi UtrošciP1, x1 1.000,00 0,00 0,00 5,00 5.000,00P2, x2 1.500,00 1,00 1.500,00 4,00 6.000,00P3, x3 1.740,00 1,00 1.740,00 10,00 17.400,00Ukupno 3.240,00 28.400,00

Radnici 2 Sirovina 2

Tabela 6. Proračun potreba za resursima bez ograničenja

MS Excel Worksheet

Zašto da se ne koristi (podesno proširi) raniji matematički model i odredi rešenja programom Linear and Integer programming

147/245

148/245

Iste vrednosti su određene napred sa MS Excel !

149/245

Tabela 7. Proračun potrebnih resursa za x1=1.000 i slobodnih resursa za x2 i x3

Resursi P1, x1 norm. P1 Potrebni resursi Raspoložii resursi Slobodni resursiM1 1.000,00 2,00 2.000,00 8.962,50 6.962,50M2 1.000,00 3,00 3.000,00 14.640,00 11.640,00R1 1.000,00 3,00 3.000,00 17.362,00 14.362,00R2 1.000,00 0,00 0,00S1 1.000,00 20,00 20.000,00 200.000,00 180.000,00S2 1.000,00 5,00 5.000,00

MS Excel Worksheet

Koristiti Excel za bilo koje iole složenije proračune !!!

150/245

151/245

152/245

VARIJANTE FUNKCIJE KRITERIJUMA

153/245

Suprotno navedenom, može da se postavi i obrnuti zahtev – da se se vrši minimizacija korišćenja kapaciteta, ali istovremeno sa nekim drugim (dodatnim) uslovom koji jeste od osnovnog značaja za poslovanje ili širu analizu (na primer, bruto-dobit).

U suštini, ekonomski je više opravdano da se minimizira umesto da se maksimizira korišćenje kapaciteta. Takav zaključak nameće činjenica da manje kapaciteta, uz dostizanje postavljenog dodatnog uslova, oslobađa kapacitete koji mogu da se posebno koriste (na primer, za nove vrste proizvoda).

Ukoliko se kao dodatni zahtev razmatra ostvarena godišnja bruto-dobit, onda je potrebno uvoditi donju granicu f0 za bruto-dobit i dodatno ograničenje oblika:

f(x) ... 100x1+120x2+110x3 f0

154/245

155/245

PROIZVODNJA ZA SOPSTVENE POTREBEI TRŽIŠTE

156/245

Sadržaj 6.

P1 P2 P3

ZADATAK:Odrediti x* i detaljno obrazložiti (količine proizvoda, ukupna dobit, dobit od proizvoda za sopstvene potrebe, dobit od proizvoda za tržište, korišćenje resursa (mašina, radnika, sirovine) ....

157/245

PLANIRANJE ISHRANE2

Ovaj problem pripada klasi tzv. “problema smeše” ili “mešavina”. Posebno je od značaja mešavina sirovina za izradu proizvoda sa zahtevanim karakteristikama.

158/245

159/245

160/245

Ilustrativni primer

1

2

3

4

161/245

162/245

1 2 3 4

5000 КЈ/дан 20 гр/дан 120 гр/дан 750 мгр/дан

163/245

1

2

3

4

Optimalno rešenje: x1 = 7,5; x9 = 2,1 (750 gr hleba; 2,1 lit ulja), f* = 20,49 din.

Očigledno da x* nema smisla, nezavisno što su zadovoljeni svi uslovi:

1) Energetska vrednost prosečno 5.000 KJ na dan; 2) 20 gr belačevina3) 120 gr ugljenih hidrata4) 250 mgr kalijuma.

Proizilazi da matematički model ne opisuje ne opisuje dovoljno dobro problemdovoljno dobro problem i da svi zahtevi koje dijeta treba da ispuni nisu uključeni u model.

A

Не више од 20 гр/дан

До 750 мгр/дан

Бар 120 гр/дан

Бар 500 КЈ/дан

164/245

B

165/245

Odgovarajuča dodatna ograničenja

Optimalno rešenje (uočiti da su na početku troškovi iznosili prvo 20,49 i zatim 37,05 a sada 108,71

C

166/245

• Istražiti (na Internetu) podatke o bihemijskim karakteristikama i cenama za skup namirnica koje bi trebalo da koriste za zdravu ishranu osobe između 20 i 30 god.

• Utvrditi potrebne granice za pojedine karakteristike dnevnog obroka (ili posmatrati više dana, odnosno sedmicu).

• Eventaulno razmatrati specifičnosti za polove, sportiste i sl.

Potrebno je:

1. Definisati verbalni model za odabrani vremenski period,2. Prikazati tabelarni model,3. Formirati matematički model,4. Odrediti optimalno rešenje primenom softvera,5. Obrazložiti optimalno rešenje.

Zadatak 1. Isharana

Sadržaj 6.

167/245

PROBLEM SMEŠE SIROVINA ZA PROIZVODE3

168/245

169/245

170/245

171/245

172/245

173/245

Resursi Jedin.cene Normativi za P1 Troskovi Normativi za P2 Troskovi Normativi za P3 TroskoviM1 40,00 2,00 80,00 0,00 0,00 4,00 160,00M2 50,00 3,00 150,00 5,00 250,00 0,00 0,00R1 25,00 3,00 75,00 2,00 50,00 2,00 50,00R2 10,00 0,00 0,00 1,00 10,00 1,00 10,00

Ukupno 305,00 310,00 220,00Prodajne cene 466,25 432,50 356,25Bruto-dobit 161,25 122,50 136,25

Direktni troškovi, prodajne cene i bruto-dobit za proizvode P1 P3

MS Excel Worksheet

174/245

175/245

176/245

177/245

Sadržaj 6.

178/245

OPTIMALNO PROŠIRENJE PROIZV. KAPACITETA4

179/245

180/245

Celobrojnost za promenlive !

181/245

182/245

Polazni podaci za problem optimalnog proširenja kapaciteta mašina M1 i M2

183/245

184/245

185/245

186/245

Primena softvera Linear and Integer Programming

Optimalno rešenje

Proizvodi Nove mašine Bruto-dobit

ZADATAK:Odrediti ostale elemente rešenja.

187/245

Utrošeni kapaciteti M1 i M2; raniji kapaciteti, novi kapaciteti i ukupni kapaciteti

Sadržaj 6.

188/245

PROIZVODNJA DELOVA I FINALNIH PROIZVODA5

189/245

190/245

Polazni podaci za godišnji plan sa delovima i finalnim proizvodima

:

191/245

Direktni troškovi, prodajne cene i bruto-dobit za delove i finalne proizvoda

NaziviJedin. cene

Normat. za D1

TroskoviNormat. za D2

TroskoviNormat. za P1



Troskovi

M1 40,00 0,25 10,00 0,75 30,00 2,00 80,00 0,00 0,00 4,00 160,00M2 50,00 0,50 25,00 0,20 10,00 3,00 150,00 5,00 250,00 0,00 0,00R1 25,00 1,00 25,00 1,00 25,00 3,00 75,00 2,00 50,00 2,00 50,00R2 10,00 0,00 0,00 1,00 10,00 1,00 10,00S1 10,00 5,00 50,00 4,00 40,00 20,00 200,00 30,00 300,00 32,00 320,00S2 5,00 5,00 25,00 4,00 20,00 10,00 50,00

D1 za Pj 110,00 2,00 220,00 1,00 110,00 0,00 0,00D2 za Pj 105,00 0,00 0,00 1,00 105,00 3,00 315,00

110,00 105,00 750,00 845,00 905,00125,00 115,00 850,00 965,00 1.015,0015,00 10,00 100,00 120,00 110,00

Prodajne ceneBruto-dobit

Delovi Finalni proizvodiResursi

Ukupni troškovi

MS Excel Worksheet

192/245

193/245

194/245

195/245

196/245

197/245

Sadržaj 6.

198/245

OPTIMIZACIJA UTROŠKA MATERIJALA6

199/245

200/245

Ilustrativni primer

201/245

Odreditix* saWinQSB

Sadržaj 6.

202/245

POSLOVNO UDRUŽIVANJE VIŠE KOMPANIJA7

203/245

204/245

205/245

206/245

207/245

208/245

209/245

Sadržaj 6.

210/245

7.7.VIŠE OVIŠE O

SIMPLEKS METODI ISIMPLEKS METODI ISIMPLEKS TABELAMASIMPLEKS TABELAMA• Razvijeno je više varijanti Simpleks algoritma - metode• Ima više oblika Simpleks tabela

211/245

x1

x2

0

SIMPLEKS METODAza rešavanje modela LP

Model LP sa n = 2 promenljive rešava se Grafičkom metodom u 2-dimenzionalnom prostoru Tabelarno - primenom Simpleks metode

Model LP sa n = 3 promenljive rešava se Grafičkom metodom u 3-dimenz. prostoru (nije jednostavno) Tabelarno - primenom Simpleks metode

Model LP sa n > 3 promenljivih rešava se Tabelarno - primenom Simpleks metode (ne može da se prikaže grafički)

Granica za ogra-čenje “” je prava

x2

x3

0

x1

Dopustiva rešenja sa x1, x2 0 je trougao OAB

A

B

B

A

C

Dopustiva rešenja sa x1, x2, x3 0 je piramida OABC

1

2

3

Granica za ogra-čenje “” je ravan

212/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1x3 180

S1 ... 1x1 + 2x2 100

S2 ... 3x2 + 1x3 = 50

S3 ... 2x1 + 1x2 = 140

x1, x2, x3 0

Problem maksimizacije 2.

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1x3 180

x1, x2, x3 0


z = 45x1 + 60x2 + 50x3 min

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

Problem minimizacije 1.

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 min

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1x3 180

S1 ... 1x1 + 2x2 100

S2 ... 3x2 + 1x3 = 50

S3 ... 2x1 + 1x2 = 140

x1, x2, x3 0


ILUSTRACIJA MAKSIMIZACIJE I MINIMIZACIJE

213/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0Slack_M1 + 0Slack_M2 + 0Slack_M3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 + Slack_M1 = 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 + Slack_M2 = 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 + Slack_M3 = 180

x1, x2, x3 0 Slack_M1, Slack_M2, Slack_M3 0

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

IZRAVNAVAJUĆE IZRAVNAVAJUĆE PROMENLJIVE PROMENLJIVE

• Slack – Slack – nedostizanjenedostizanje, podbačaj , podbačaj za ograničenja tipa “za ograničenja tipa “””

• Surplus – Surplus – prekoračenjeprekoračenje, , prebačaj za ograničeja tipa “prebačaj za ograničeja tipa “””

U x(0) U x(0) U x(0)

AA

NAMENA izravnavajućih promenljivih za NAMENA izravnavajućih promenljivih za ograničenja “ograničenja “” jeste formiranje x” jeste formiranje x(0)(0)

Prom. za odlučivanje: x1 = x2 = x3 = 0Izravnavajuće prom. = slobodni članovi (desna strana ograničenja)

Slack_M1 = 480Slack_M2 = 600Slack_M3 = 180

BB


214/245

Prikazana varijanta preslikava model u tabeluPrikazana varijanta preslikava model u tabelu

Prom. za odlučivanje: x1 = x2 = x3 = 0 Izravn. prom. = slobodni članovi R.H.S.

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0Slack_M1 + 0Slack_M2 + 0Slack_M3 max

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 + Slack_M1 = 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 + Slack_M2 = 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 + Slack_M3 = 180

x1, x2, x3 0 Slack_M1, Slack_M2, Slack_M3 0

M1 ...M1 ...M2 ...M2 ...M3 ...M3 ...

POČETNA SIMPLEKS TABELA, Iteration 1POČETNA SIMPLEKS TABELA, Iteration 1

U Basis U Basis U Basis

U Basis

Basis = Promenljive koje čine tekuće rešenje

Razvijene su varijante za Simpleks algoritamRazvijene su varijante za Simpleks algoritamNajjednostavnije je koristiti Simpleks tabeleNajjednostavnije je koristiti Simpleks tabeleIma više oblika Simpleks tabelaIma više oblika Simpleks tabela

CC

x(0)x(0) Zaglavlje sa 2 reda

Poslednji red C(j)-Z(j) iz 2 dela

215/245

M1 ...M1 ...M2 ...M2 ...M3 ...M3 ...

POČETNA SIMPLEKS TABELA, Iteration 1POČETNA SIMPLEKS TABELA, Iteration 1

Basis = Promenljive koje čine tekuće rešenje

Zaglavlje: Promenljive u modelu

Poslednji red C(j)-Z(j) Deo za promenljive

Kolona C(j) = C(Basis,j) = CCBB(j)(j) = koeficijenti iz z(x) uz promenljive iz Basis

Red C(j) = koeficijenti iz funkcije kriterijuma z uz sve promenljive

R.H.S. (Right Hand Side) Desna strana, Vrednosti za bazične promenljive

Kolona X1C(1) = 45Z(1) = C(Slack_M1)Slack_M1 + C(Slack_M2)Slack_M2 + C(Slack_M3)Slack_M3 = 03 + 02 + 01 = 0

C(1)-Z(1) = 45 – 0 = 45

Proizvod kolone CB(j) i kolone X1

Z(j)-C(j) u x(0) jednaki sa C(j) jer su Z(j)=0

Poslednji red C(j)-Z(j) Deo za funkc. kriter. ZProizvod kolone CB(j) i kolone R.H.S.0480 + 0600 + 0180 = 0

216/245

Poboljšanje rešenja 1

Izbor nove bazične promenljive i KK

max (Cj – Zj) = max (45; 60; 50) = 60 = C2 – Z2 ... Najveću dobit ima X2

X2 Basis .... Kolona X2 je KK = KARAKTERISTIČNA KOLONA

SIMPLEKS TABELESIMPLEKS TABELE

RHS : X2

Bazične promenljive

Vrednosti za bazične promenljive

Vrednost fun. krit. z

Izbor promenljive koja napušta bazu i KR

Ratio = RHS : X2 (kolona RHS : kolona X2, gde X2 = KK pošto X2 Basis

480 : 2 = 240 600 : 4 = 150 180 : 1 = 180

2

1

min Ratio = min (240; 150; 180) = 150

Ovaj min odgovara redu Slack_M2

Ovaj red je KK= KARAKTERI- STIČNI RED

Izmena Basis (bazičnih promenljivih): X2 Basis Slack_M2

Koeficijenti Cj

DD

Ovo nije x*, postoje Z(j)-C(j) > 0

217/245

RHS : X2

Izbor promenljive koja napušta bazu i KR

Ratio = RHS : X2 (kolona RHS : kolona X2, gde X2 = KK pošto X2 Basis

480 : 2 = 240 600 : 4 = 150 180 : 1 = 180

2

min Ratio = min (240; 150; 180) = 150

Ovaj min odgovara redu Slack_M2

Ovaj red je KK= KARAKTERI- STIČNI RED

Izmena Basis (bazičnih promenljivih): X2 Basis Slack_M2

Zašto je izabrano da Slack_M2 napusti Basis ?

Početno rešenjex1, x2, x3 = 0

Odabrano da x2 > 0i ostaje x1, x3 = 0

M1 ... 1x1 + 2x2 + 1x3 + Slack_M1 = 480M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 + Slack_M2 = 600M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 + Slack_M3 = 180

M1 ... 2x2 + Slack_M1 = 480 M2 ... 4x2 + Slack_M2 = 600M3 ... 1x2 + Slack_M3 = 180

2x2 480 4x2 6001x2 180

x2 480:2 = 240x2 600:4 = 150x2 180:1 = 180

max x2 = 150

x2 480:2 = 240x2 600:4 = 150x2 180:1 = 180

M1 ... 2150 + Slack_M1 = 480 M2 ... 4150 + Slack_M2 = 600M3 ... 1150 + Slack_M3 = 180

300 + Slack_M1 = 480 600 + Slack_M2 = 600150 + Slack_M3 = 180

Slack_M1 = 180Slack_M2 = 0Slack_M3 = 30

X2=150 Basis Slack_M2=0 Videti Simpl. Tabl. - - Iteration 2

218/245

KE = 4 = KARAKTERISTIČNI ELEMENT u preseku KK i KR

4

3

KK

KR

KE

Formiranje naredne SIMPLEKS TABELE (ST) 2

Elementi u KR (iz ST-1) se dele sa KE = 4 (iz ST-1)

X2 Basis Slack_M2

5 Elementi u KK (iz ST-1) postaju 0,osim KE:KE = 1 što je određeno pod 5

6

RHS : X2

219/245

7

KK

KR

KE

Ostali elementi u ST-2

Polje (Slack_M1; X1) 3 – 22:4 = 3 – 1 = 2

Polje (Cj-Zj; Slack_M2) 0 – 601:4 = –15

3

KKKR

8 Posebno se proračnunava polje (Cj-Zj; RHS) = vrednost Z, na osnovu vrednosti u novoj simpl. tabeli

RHS : X2

2

2 4

4

060

1

220/245

KK

KR

KE

8

Poslednji red C(j)-Z(j), Deo (polje) za funkciju kriterijuma ZProizvod kolone CB(j) i kolone R.H.S.Proizvod vrednosti promenljivih za tekuće rešenje u kol. R.H.S i njihovih koef. C(j) za funkc. krit. Z u koloni CB(j)

Posebno se proračnunava polje (Cj-Zj; RHS) = vrednost Zna osnovu vrednosti u novoj simpleks tabeli

Z = 0180 + 60150 + 030 = 9.000

RHS : X2

221/245

e

a

c

KK

KR

bZašto praviloproračunaza narednu STa’ = a – bc:e

Akox2 > 0x1 = x3 = 0sledi

M1 ... 30 + 2x2 + 10 + Slack_M1 = 480

M2 ... 20 + 4x2 + 30 + Slack_M2 =

600

M3 ... 10 + 1x2 + 1,50 + Slack_M3 =

180

M1 ... 2x2 + Slack_M1 = 480

M2 ... 4x2 + Slack_M2 = 600

M3 ... 1x2 + Slack_M3 = 180

M1 ... x2 480:2 = 240

M2 ... x2 600:4 = 150

M3 ... x2 180:1 = 180

max x2 = min (240, 150, 180) = 150 = 640:4 ..... M2

M2 sa kapacite-tom 600 određuje max x2

RHS : X2

??

222/245

M1 ... 2x2 + Slack_M1 = 480

M2 ... 4x2 + Slack_M2 = 600

M3 ... 1x2 + Slack_M3 = 180max x2 = 150 = 640:4

Slack_M1 = 480 – 2x2 = 480 – 2(640:4)

Slack_M2 = 600 – 4x2 = 600 – 4(640:4)

Slack_M3 = 180 – 1x2 = 480 – 2(640:4)

M1 ... Slack_M1 = 180

M2 ... Slack_M2 = 0

M3 ... Slack_M3 = 30

RHS : X2

223/245

Promena rešenja 2 : X1 Basis Slack_M3

Promena rešenja 1 : X2 Basis Slack_M2

Optimalno rešenjeOptimalno rešenje

RHS : X2

RHS : X1

SVESVE SIMPLEKS TABELE SIMPLEKS TABELE

224/245


OPTIMALNO REŠENJE – TumačenjeOPTIMALNO REŠENJE – Tumačenje

Nema C(j)-Z(j) < 0 u kolonama za promenljive, postignuto je x*

Maksimalna vrednost funkcije kriterijuma Z* = 9.000

Optimalne vrednosti za promenljive

Bazične promenljive (iz kolone Basis)Slack_M1 = 60 (neiskorišćen kapacitet mašine M1)X2 = 120X1 = 60 Nebazične promenljive (nisu u koloni Basis)

X3 = 0Slack_M2 = 0 (100% iskorišćen kap. M2)Slack_M3 = 0 (100% iskorišćen kap. M4)

225/245

Co

mb

ine

d R

ep

ort

Pregle- dno

Više infor- macija

OstvarenoDeo za ogra-ničenja

Slack (podbačaj) za ograničenje “”

Reduced Cost = -2,50 za bazičnu prom. X3 = 0(pogoršanje, umanjenje Z* po jedinici X3 > 0)

Deo za promenljiveP

osl

ed

nja

ST

(d

eo

)

Slack_M1 = 60 ; podbačaj za M1

X2 = 120 ; X1 = 60 Z* = 9.900

226/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 = 480 + x4

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 = 600 + x5

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 = 180 + x6

x1, x2, x3 0 x4, x5, x6 0

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 min

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

IZRAVNAVAJUĆE i IZRAVNAVAJUĆE i VEŠTAČKE PROMENLJIVE VEŠTAČKE PROMENLJIVE



• Artificital – Artificital – veštačke veštačke za za ““” i ” i “=““=“

(min)

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 – x4 = 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 – x5 = 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 – x6 = 180

x1, x2, x3, x4, x5, x6 0

(min)

Izravnavajuče promenljive naziva “prekoračenja”(prevode ograničenja tipa “” u tip “=” )

x4 = Surplus_1x5 = Surplus_2x6 = Surplus_3

Sve nepoznate levo od znaka “=“


227/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 min

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

N3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

Koeficijenti u funkciji kriterijumaKoeficijenti u funkciji kriterijuma• Za izravnavajuće promenljive Za izravnavajuće promenljive ccjj = 0 za (max) z ; za (min) z = 0 za (max) z ; za (min) z

• Za veštačke promenljive. Za veštačke promenljive. – – M ako (max) z ; +M ako (min) zM ako (max) z ; +M ako (min) z

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 – x4 = 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 – x5 = 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 – x6 = 180

x1, x2, x3, x4, x5, x6 0

(min) “prekoračenja”(prevode ogran. tipa “” u tip “=” )

x4 = Surplus_1x5 = Surplus_2x6 = Surplus_3Ne može da se formira polazno rešenje !

Ako x1 = x2 = x3 = 0, ne ostvaruju se ograničenja “” Potrebne su veštačke promenljive: x7, x8, x9

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0(x4 + x5 + x6) + Mx7 + Mx8 + Mx9

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 – x4 + x7 = 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 – x5 + x8 = 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 – x6 + x9 = 180

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 0

(min)

228/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 min

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

N3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 180

x1, x2, x3 0

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0(x4 + x5 + x6) – Mx7 – Mx8 – Mx9

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 – x4 + x7 = 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 – x5 + x8 = 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1,5x3 – x6 + x9 = 180

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 0

(min)

Veštačke prom.

x7 = Artificial_1x8 = Artificial_2x9 = Artificial_3

Neka poromenljive za odlučivanje 0 x1 = x2 = x3 = 0

Sledi da su i izravnavajuće poromenljive jednake 0 x4 = x5 = x6 = 0

Preostaje da su veštačke promenlive jednake slobodnim članovima(desnoj strani) ograničenja x7 = 480; x8 = 600; x9 = 180

1

2

3

NAMENA veštačkih NAMENA veštačkih promenljivih za ograni-promenljivih za ograni-čenja tipa “čenja tipa “” i “=“” i “=“ jeste jeste formiranje početnog formiranje početnog rešenja xrešenja x(0)(0)

229/245

KK KE

RHS : X2

Ne prikazuje se deo uz M Z = 0 + 1.360M

KR

Promena rešenja 1 : X2 Basis Artificial_M2

RHS : X1

Promena rešenja 2 : X1 Basis Artificial_M3 Z = 9.000 + 210M

230/245

RHS : Surplus_M1

Promena rešenja 2 : X1 Basis Artificial_M1 Z = 9.900 + 60M

Z = 10.350 + 0M = 10.350

Problem minimiza: Ovo je x*, nema Z(j)-C(j) < 0

231/245

Co

mb

ine

d R

ep

ort

Po

sle

dn

ja S

T (

de

o)

Surplus_M3 = 15 ; preačaj za M3

X2 = 105 ; X1 = 90

Z* = 10.350 + 0M = 350

Pregle- dno

Više infor- macija

OstvarenoDeo za ogra-ničenja

Surplus (prekoračenje) za ograničenje “”

Reduced Cost = 8,75 za bazičnu prom. X3 = 0(pogoršanje, rast Z* po jedinici X3 > 0)

Deo za promenljive

232/245

Tip ograni-čenja

Izravna- vajuća promenlj.

Vešta- čka promenlj.

Koefic. za max z(x)

Koefic. za min z(x)

Početno rešenje x(0)

+ xSNE + 0xs + 0xs xs

– xr + xv

+ 0xr

– Mxv

+ 0xr

+ Mxv xv

= NE + xv – Mxv + Mxv xvM = + (Beskonačno veliki pozitivni broj)

PRAVILA

1. Veštačke promenljive su potrebne da se formira početno rešenje kada model ima bar jedno ograničenja tipa “” ili “=“.

2. Koeficijenti M doprinose da se one isključuje iz bazičnih rešenja3. Ove promenljive ne mogu da budu u optimalnom rešenju x*, ako

takvo postoji

1

233/245

Tip kriteri-juma

Optimalno rešenje x*

Rešenije nije x*Uvodi se u Basis promenljiva sa

maxz(x)

C(j)-Z(j) 0za sve nebazične promenljive

max (C(j)-Z(j)) = za nebazične promenljive saC(j)-Z(j) > 0

min z(x)

C(j)-Z(j) 0za sve nebazične promenljive

max |C(j)-Z(j)| = max ABS(C(j)-Z(j))za nebazične promenljive sa C(j)-Z(j) < 0

Višestruko optimalno rešenje x** nezavisno od kriterijuma max z(x) ili min z(x)

a) Optimalno rešenje x* ima bar jednu bazičnu promenljvu čija vrednost = 0

b) Bar jedna takva bazična promenljiva (koja je = 0) ima Reduciranu cenu (Reduced Cost) = 0

PRAVILA

2

3

234/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1x3 180

S1 ... 1x1 + 2x2 100

S2 ... 3x2 + 1x3 = 50

S3 ... 2x1 + 1x2 = 140

x1, x2, x3 0






(max)

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0(x4+ x5+x6+x7) –Mx8 –Mx9 –Mx10 –Mx11)

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 + x4 = 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 + x5 = 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1x3 – x6 + x8 = 180

S1 ... 1x1 + 2x2 – x7 + x9 = 100

S2 ... 3x2 + 1x3 + x10 = 50

S3 ... 2x1 + 1x2 + x11 = 140

x1, x2, ..., x10 0

(max)

Početno rešenjex4, x5, x8, x9, x10, x11 = Desna strana ograničenja

235/245

Izbor KK : max (Z(j)-C(j)) = max (45+3M; 60+8M; 50+2M; 0; 0; -1M; -1M; 0; 0; 0; 0) = 60+8M = Z(2)-C(2)

KK KRKE

RHS : X2Početno rešenje

Dva polja za kontrolni (poslednji red) C(j)-Z(j)

Kolona X1, proračun C(1)-Z(1) C(1) = 45 Z(1) = 03 + 02 + M1 + M0 + M1 + M1 = 3M C(1)-Z(1) = 45 – (–3M) = 45 + 3M

C(1)-Z(1) = 45 – 3M prikazuje se u 2 polja

Deo bez M

Deo uz M(* Big M)Problem maksimizacije: Ovo nije x*, postoje Z(j)-C(j) > 0

u koloni, zato : X2 Basis

Izbor KRkao za (max) z

12

Ne prikazuje se deo uz M ; Z = 0 – 470M

Deo bez M Deo uz M

236/245

RHS : X1

RHS : Surplus_S1

Z = 1.000 – 336,67MPromena rešenja 2 : X1 Basis Artificial_S1

Z* = 4.000–136,67MPromena rešenja 3 : Surplus_S1 Basis Artificial_S3

NAPOMENA:Da se ispita da li je dobijeno x* posmatraju se oba polja u kontrolnom redu C(j)-Z(j). Ako postoji deo uz M, bira se maks. pozitivna vrednost !

237/245

RHS : X3

Z = 5.800 – 56,67MPromena rešenja 4 : X3 Basis Artificial_M3

RHS : Surplus_M3

Promena rešenja 5 : Surplus_M3 Basis X2 Z = 8.350+0M = 8.350

NAPOMENA: Da se ispita da li je dobijeno x* posmatraju se oba polja u kontrolnom redu C(j)-Z(j). Ako ne postoji deo uz M, bira se maks. pozitivna vrednost u delu bez M (u ovom slučaju 45 za Surplus_M3)

238/245

Problem maksimizacije: Ovo je x*, nema Z(j)-C(j) > 0 Z* = 8.800 + 0M = 8.800

Optimalno rešenje x*

Slack_M1 = 10 ; podbačaj za M1 ; slobodni kapaciteti od 480

Slack_M2 = 170 ; podbačaj za M2 ; slobodni kapaciteti od 600

X3 = 50 ; X1 = 140

Surplus_M3 = 10 ; prebačaj za M3 ; više od donje granice 180

Surplus_S1 = 40 ; prebačaj za S1 ; više od donje granice 100Z* = 8.800+0M = 8.800

Bazične promenljive (iz Bazis)

Nebazične promenljive (nisu u Bazis) imaju vrednost 0 ; značajno X2 = 0

239/245

Z* = 8.800+0M = 8.800

Co

mb

ine

d R

ep

ort

Po

sle

dn

ja S

T (

de

o)

Pregle- dno

Slack (nedostizanje) za ogran. (Direction) “”Surplus (prekoračenje) za ograničenje “”Ograničenje ”=“ nema odstupanje

Ostvareno

Deo za promenljive

Deo za ogra-ničenja

Više infor- macija

Reduced Cost = -180 za bazičnu prom. X2 = 0(pogoršanje, umanjenje Z* po jedinici X2 > 0)

Itd.

240/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1x3 180

S1 ... 1x1 + 2x2 100

S2 ... 3x2 + 1x3 = 50

S3 ... 2x1 + 1x2 = 140

x1, x2, x3 0




(min)

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0(x4+ x5+x6+x7) + M(x8+x9+x10+x11)

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 + x6 = 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 + x7 = 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1x3 – x4 + x8 = 180

S1 ... 1x1 + 2x2 – x4 + x9 = 100

S2 ... 3x2 + 1x3 + x10 = 50

S3 ... 2x1 + 1x2 + x11 = 140

x1, x2, ..., x10 0

(min)


Podesniji redosled za promenljive

241/245

z = 45x1 + 60x2 + 50x3

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1x3 180

S1 ... 1x1 + 2x2 100

S2 ... 3x2 + 1x3 = 50

S3 ... 2x1 + 1x2 = 140

x1, x2, x3 0






(min)

z = 45x1 + 60x2 + 50x3 + 0(x4+ x5+x6+x7) + M(x8+x9+x10+x11)

M1 ... 3x1 + 2x2 + 1x3 + x4 = 480

M2 ... 2x1 + 4x2 + 3x3 + x5 = 600

M3 ... 1x1 + 1x2 + 1x3 – x6 + x8 = 180

S1 ... 1x1 + 2x2 – x7 + x9 = 100

S2 ... 3x2 + 1x3 + x10 = 50

S3 ... 2x1 + 1x2 + x11 = 140

x1, x2, ..., x10 0

(min)


242/245

Izbor KK : max (Z(j)-C(j)) = min (45-3M; 60-8M; 50-2M; 0; 0; 1M; 1M; 0; 0; 0; 0) = 60-8M = Z(2)-C(2)

KK KRKE

RHS : X2Početno rešenje

Dva polja za kontrolni (poslednji red) C(j)-Z(j)

Kolona X1, proračun C(1)-Z(1) C(1) = 45 Z(1) = 03 + 02 + M1 + M0 + M1 + M1 = 3M C(1)-Z(1) = 45 – 3M

C(1)-Z(1) = 45 – 3M prikazuje se u 2 polja

Deo bez M

Deo uz MProblem minimizacije: Ovo nije x*, postoje Z(j)-C(j) < 0

za kolonu X2, zato : X2 Basis

Izbor KRkao za (max) z

12

0480+0600 +M180+M 100+M50+M140

Ne prikazuje se deo uz M ; Z = 0 + 470M

243/245

Z = 1.000 + 286,72MPromena rešenja 2 : X1 Basis Artificial_S1

Promena rešenja 3 : X1 Basis Artificial_S1 Z = 4.000 + 136,67M

RHS : X1

RHS : Surplus_S1

244/245

RHS : X3

Z = 5.800+0M = 5.800Promena rešenja 4 : X3 Basis Artificial_M3

Z* = 8.350+0M = 8.350Nema C(j)-Z(j) < 0 u kolonama za promenljive, postignuto je x*


245/245

Co

mb

ine

d R

ep

ort

Po

sle

dn

ja S

T (

de

o)

Z* = 8.350 + 0M = 8.350

Slack_M1 = 27,75 ; podbačaj za M1

Slack_M2 = 192,75 ; podbačaj za M2

X3 = 42,50 ; X1 = 135,00 : X2 = 2,50

Surplus_S1 = 40 ; prebačaj za S1

Pregle- dno

Više infor- macija

Sadržaj

Deo za promenljive

Deo za ogra-ničenja

246/245

KRAJ PREZENTACIJEKRAJ PREZENTACIJE

Documents

21.IN_Linear_prog