UNIDAD 4 : Vectores . Recta y plano. Posiciones relativas Calcula el valor de m para que sean paralelos la recta r y el plano ( de ecuaciones:

2x 3y = -1

r: (: mx y + z = 5 x + y z = 2

Busquemos la recta r en parametricas y su ur 2x = - 1 +3y ( x = - + 3/2 y r : - + 3/2 y + y z = 2 ( z = - 1/ 2 - 2 + 3/2 y + y ( z = - 5/2 + 5/2 y x = - + 3/2 y = ur = (3/2, 1, 5/2) = (3, 2, 5) y n = (m, -1, 1) z = - 5/2 + 5/2 Para que r ( ur n ( ur n = 0 ; 3m 2 + 5 = 0 ( 3m + 3 = 0(

m = -1

Ademas podemos asegurar el paralelismo, viendo que el A(- , 0, -5/2) r pero - (- ) 0 5/2 5 0 luego A no pertenece al plano ( r Calcular la ecuacin del plano que contiene a la recta definida por el punto (1, 1, 1) y el vector ( 0, -5, 3) y que pasa por el punto P (1, 0, -5).

A (1,1,1) ur ( 0, -5, 3)

u = K . ur = ( 0, -5, 3)

v = AP = (0, -1 , -6)

AQ = (x - 1, y 1, z - 1)

AQ AQ

u, v y AQ son l.d. rg u = 2 u = 0

v v x 1 y 1 z 1

0 - 5 3 = 0 ; 33 ( x -1 ) = 0 ; x - 1 = 0 ; x = 1

0 - 1 - 6

Calcular la ecuacin del plano que pasa por el punto p( 1, 0, -1), es paralelo a la recta

x - 2y = 0

r: , y es perpendicular al plano 2x - y + z + 1 = 0

z = 0

El punto P( 1, 0, -1) al plano pedido.

Como r es paralelo al plano ur es paralelo al u( , es decir, u(= k ur

x - 2y = 0 ; x = 2y x = 2

Como r y = ( ur = ( 2, 1, 0)

z = 0 z = 0 z = 0

Como el plano dado es perpendicular al pedido el n( vector caracterstico de y el

v( debern de ser paralelos. ( v( = k n( ;

Como 2x - y + z + 1 = 0 n( = ( 2, -1, 1) v( = ( 2, -1, 1)

Si Q( x, y, z) es un punto genrico de , PQ, u( , v( son linealmente dependientes.

PQ x - 1 y z + 1

u( = 0 2 1 0 = 0 ; x - 1 - 2y 4(z + 1) = 0 x - 2y - 4z - 5 = 0

v( 2 -1 1

Comprueba que los puntos A(0, 1, 0) B(2, 1, 1), C(-1, 3, -2) y D(-2, -1, 0) no son coplanarios y determinar el volumen del tetraedro.

Si A, B, C y D no son coplanarios son li.

;

= 2 + 4 80 l.i.

x + y + z = 1

Considera la recta r Determinar a para que el

x 2y + z = 0

plano , de ecuacin 2x + y + az =b sea paralelo a r. Determinar para que valor de b, la recta est contenida en el plano.

n ur

n ur si r n ur = 0

2x + y + az b = 0 n = (2, 1, a)

x + y + z = 1 x + y = 1 z

r - y = 1 2z ;

x 2y + z = 0 -x 2y = - z x 1 + 2z = 1 z ;

x = 2 3

y = - 1 + 2z r y = - 1 + 2 ur = ( -3, 2 , 1) ;

x = 2 3z z =

n ur = 0 ; 2 (-3) + 1 2 + 9 1 = 0 ; - 4 + a = 0 ; a = 4 r a

Si quiero que r obliguemos que A r ; A r = ( 2, -1, 0)

2 . 2 + (-1) + 4 . 0 = b ; b = 3

x = -1 + 2( Considera la recta de ecuaciones paramtricas r: y = - 1 + (

z = 1

y los puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2). Determina la posicin relativa de r y la recta que pasa por P y Q. a) Calculamos la recta s que pasa por P y Q.

x = 1

us = PQ = (0, -2, 0) s y = 1 - 2 z = 2

AP

Para calcular la posicin relativa entre r y s, se calcula el rag ur us

Como A(-1, -1, 1) ( AP = (2, 2, 1) ; ur = (2, 1, 0) y us = (0, -2, 0)

2 2 1 AP

2 1 0 = - 4 0 rg ur = 3 r y s se cruzan en el espacio 0 -2 0 us

x - 2 y + 1 z - m x = 1 - 3( Considera las rectas r: ------ = ------- = -------- y s: y = -1 + 4( 2 -1 2 z = 5 - (Determinar m para que las rectas se corten. Hallar el punto de corte.

ur = (2, -1, 2) A (2, -1, l -m)

AB = (-1, 0, 5+m)

us = (-3, 4, -1) B (1, -1, 5)

AB AB

rg ur = 2 para que r y s se corten ur = 0

us us

-1 0 5 + m

2 -1 2 = 0; - 1 + 8(5 + m) 3 (5 + m) + 8=0

-3 4 -1 5 (5 + m) + 7 = 0 ; 5 + m = - 7/5 ; m = -7/5 - 5 ; m = - 32/5

Adems no son paralelos pues ur ( us para m = - 32/5 y ( m ya que

2 -1 2---- ----- -----

-3 4 -1

Para hallar el punto de corte ponemos r en paramtricas.

x = 2 + 2( x = 1 - 3(

r y = - 1 - ( s y = -1 + 4( z = 32/5 + 2( z = 5 - (

2 + 2( = 1 - 3( 2( + 3( = -1 2( + 3( = -1

- 1 - ( = -1 + 4( ; - ( - 4( = 0 ; - 5( = -1 ; ( = 1/5

32/5 + 2( = 5 - ( 2( + ( = - 7/2 - 2( - 8( = 0

P(1 - 3/5 , -1 + 4/5 , 5 - 1/5) = (2/5, -1/5, 24/5).

Cuales son las condiciones para que un plano dado por su ecua-cin en forma implicita, sea paralelo a la direccin de un vector dado por sus coordenadas?.Por que?.

Sea ax + by + cz + d = 0 el plano y sea v = (v1,v2,v3) el vector.

Para que el plano y el vector sean paralelos, es necesario y suficiente que el vector normal

al plano w = (a,b,c) y el vector v sean ortogonales.

w.v = 0 ====> a.v1 + b.v2 + c.v3 = 0

x + 2y + z = 1 Dada la recta de ecuaciones explicar el significado

3y - z = 2

geometrico de (3y - z - 2) + (x + 2y + z - 1) para todo perteneciente a R.

Al venir la recta dada por sus ecuaciones reducidas, esto nos indica que la recta viene dada por la interseccin de dos planos.

Si en cada uno de los planos, pasamos el termino independiente al primer termino y realiza-mos una combinacin lineal de ambos, nos queda:

(3y - z -2) + .(x + 2y + z - 1) que nos representa la ecuacin del haz de planos que tiene por base a la recta dada.

Dada la recta definida por:

a) Hallar la ecuacin del plano que pasa por el origen y contiene a r

b) Halla la ecuacin del plano que pasa por el origen y es perpendicular a r

a)

b)

x = 3 + (

Dada la recta en paramtricas: r: y = 1 + 2( halla: a) una

z = -2 + 3( ecuacin en forma continua, b) una de sus expresiones implcitas, c) dos puntos diferentes de dicha recta.

x 3 y 1 z + 2

a) ------- = ------- = ------- 1 2 3

2(x 3) = y 1 2x y = 5

b) (

3(x 3) = z + 2 3x z = 11 c) ( = 0 A(3, -1, 2) ( = 1 B(4, 3, 1) Dadas las rectas

x = 1 + 2 2x 3y = 13

r: y = 3 - 3 s:

z = -2 + x 2z = a - 3

Calcular el valor de a para que las dos rectas estn en el mismo plano.

Para que las rectas estn en el mismo plano lo nico que no pueden hacer es cruzarse,

AB

es decir ur 0. En caso contrario son coincidentes son paralelos se cortan en un punto.

us

A ( 1, 3, - 2) De r :

ur = ( 2, - 3, 1) -

-3y = 13 2x ; y = - 13/3 + 2/3x

De s :

-2z = a - 3- x ; z = - (a 3)/2 + 1/2x

x = s : y = -13/3 + 2/3 B ( 0, - 13/3, - a + 3/2) us = ( 1, 2/3, 1/2) ( 6, 4, 3)

z = - (a - 3)/2 + 1/2 AB = ( -1, -13/3 3, -a + 3/2 + 2) = ( - 1, - 22/3, -a + 7/2)

- 1 - 22/3 -a + 7/2

2 - 3 1 0 ; 9 44 + 4 ( -a + 7) + 9 ( -a + 7) + 4 + 44 0

6 4 3

9 4a + 28 9a + 63 + 4 0

r y s se cortan para este valor de a, ya que no pueden ser paralelas ni coincidentes pues

ur K . us

x y + z = 1

Dados A(-2,-4,-3) y B(2,6,5) y la recta r:

2x + y 3z = 2

averigua si existe alguna recta que contenga los puntos A y B y corte a r. Razona la respuesta

ur Calculamos la recta s que pasa por A y B

A x x C

xB y luego comprobemos si corta o no a la recta r

us = AB = (4, 10, 8) = (2, 5, 4) x y = 1 z

Calculemos las parametricas de r + ( 3x = 3 + 2z ( x = 1 + 2/3 z

2x + y = 2 + 3z

y = x 1 + z = 1 + 2/3 z 1 + z ( y = 5/3 z

x = 1 + 2/3

r y = 5/3 ( C(1, 0, 0) y ur = ( 2/3, 5/3, 1) = (2, 5, 3) z =

Para estudiar la posicin relativa entre r y s necesitamos el vector AC, ademas del ur y del us con lo que AC = ( 3, 4, 3 )

AC 3 4 3 3 4 3 rg ur = rg 2 5 3 ; 2 5 3 = 60 + 24 + 30 30 32 45 us 2 5 4 2 5 4 = 7 0

AB

( rg ur = 3 r y s se cruzan y no se cortan. us

Dados la recta r de ecuaciones paramtricas:

x = -1 + 2t

r: y = -1 + t y los puntos P(1,1,2) y Q(1,-1,2), halla la posicin

z = 1

relativa de r y la recta s determinada por P y Q. Calculemos la recta s que pasa por P(1,1,2) y Q(1,-1,2),

x = 1 us = PQ = (0, -2, 0) ( y = 1 - 2 z = 2 Como ur = (2, 1, 0) y A(-1, -1, 1) ( AP = ( 2, 2, 1)

AP 2 2 1 2 2 1 rg ur = rg 2 1 0 ; 2 1 0 = - 4 0 us 0 -2 0 0 -2 0

AB

( rg ur = 3 r y s se cruzan

us

x + y 2 = 0

Dados el plano ( : x + y + az = b y la recta r:

2y + z 4 = 0

calcula a y b de modo que: a) r y ( sean secantes. En qu punto se cortan?. b) r y ( sean paralelos, c) r este contenida en (. x = 2 y x = 2 -

Pongamos la recta en parametricas ( y = ur = ( -1, 1, -2) z = 4 2y z = 4 - 2

( : x + y + az = b ( n = (1, 1, a).

Calculamos ur n = (-1) 1 + 1 1 + (-2) a = - 2a

r Si -2a = 0 ( a = 0 ( ur n = 0 ( ( A(2, 0, 4) r

r parelela a 2 + 0 + 0 = b ( b = 2 A Para a = 0 y b = 2 ( r Para a = 0 y b 2 ( r paralela a

Para a 0 y para todo b ( r incide en

Dados, el plano x y + z + k = 0, donde k R, y la recta r (x 3) / 2 = y + 1 = - z, se pide:

a) Demuestra que para cualquier k R, la recta r es paralela al plano .

b) Determina el valor de k R de forma que la recta r est contenida en el plano .

a) n = (1, -1, 1) ur = (2, 1, -1) A = (3, -1, 0)

Para que sea paralelo a r; ur n = 0

12 11 11 = 0 2 -1 -1 = 0 y no depende del valor de k.

b) Sustituyo el punto A de la recta en la ecuacin del plano para que r est contenida en el plano, porque si A (punto de la recta) pertenece tambin al plano, r pertenecer al plano.

31 1 (-1) + 0 + k = 0; k = -4 para este valor de k , r estara contenida en

x y + z -4 = 0 , ya que el punto A sustituido en la ecuacin del plano hace que esta se verifique.

x + y +1 = 0

Dados el punto A (1,-2, -3), la recta r = y el plano z = 0 = x 2y -3z + 1 = 0 se pide: a) Ecuacin del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a . b) Ecuacin de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a .

x = -1 -

y =

z = 0

A (-1, 0, 0)

ur = (-1, 1, 0)

a)

Pasamos r a paramtricas r =

Sacamos n (a partir del plano) (1, -2, -3)

AP

u= ur

v= n

Formamos el nuevo plano ==

x - 1y + 2z + 3

1 -2 -3

-1 1 0

b) Necesitamos construir un plano que sirva de apoyo a la recta que se pide, por lo que debe ser paralelo a y pasar por A, por lo que sustituimos el punto para sacar d:

= x - 2y 3z + a = 0 1 - 2 (-2) 3 (-3) + d = 0; 1 + 4 + 9 + d = 0; d = -14

El nuevo plano = x 2y -3z - 14 = 0

Ahora estudiamos la posicin relativa entre la recta r y :

u ur = 1 (-1) + (-2) 1 3 0 0 r incide en

Necesitamos buscar el punto en el que r incide en , para ello metemos las coor- denadas x, y, z de la recta r en paramtricas (apartado anterior) en la ecuacin del plano:

(- 1 ) 2 3 0 - 14 = 0; -3 15 = 0; = -5 sustituyendo en la ecuacin

de la recta r nos queda M (-6, -5, 0).

Ahora slo nos queda buscar el vector director de nuestra nueva recta t, que lo

obtenemos a partir de A y M. AM = (-6, -5, 0) (1, -2, -3) = (-7, -3, 3)

x = 1 - 7

y = -2 - 3

z = -3 + 3

t =

Dados los planos: : ax + y = 1 determina los valores de a para (: x + y + z = 1 ( : x + (a 1)z = 0los que: a) los planos se cortan en un solo punto. b) se cortan en una recta de puntos.Para que se corten en un punto rg C = rg A = 3 = n incognitas. a 1 0 c= 1 1 1 = a ( a 1 ) + 1 (a 1) = a2 - a + 1 a + 1 = a2 2 a + 2 1 0 a- 1 _____ 2 4 8 c= 0 a2 2a + 2 = 0 ; a = ---------------- no existe a que haga c= 0 2a ; c 0 existe m.p. de orden 3 rg C = rg A = 3 = n incognitas , y se cortan en 1 punto . a perteneciente a R

: mx + y + z = 1

Dados los planos : x + my + z = 1 Estudiar la posicin

: x + y + mz = 1

relativa de los mismos segn los valores de m.

Para estudiar la posicin relativa de 3 planos, veamos cuanto valen los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada segn los valores de m.

m 1 1 1 m 1 1

1 m 1 1 C = 1 m 1 = m + 1 + 1 m m m

1 1 m 1 1 1 m

= m - 3m + 2

Rufini 1 0 -3 2 -1 1 + 8 m = 1

1 1 1 -2 m + m 2 = 0 ; m = ---------------- =

----------------------------- 2 m = - 2

1 1 -2 0

Los valores a discutir son m = 1 , m = -2 , m 1, -2

x + y + z = 1

m = 1 x + y + z = 1 Es obvio que los 3 planos son coincidentes

x + y + z = 1

-2x + y + z = 1 Como C = 0 ---> rgC < 3

m = -2 x 2y + z = 1

x + y 2z = 1 Existe -2 1 = 4 1 0 rg C = 2

1 -2

Ampliemos con los trminos independientes:

-2 1 1

1 -2 1 = 4 + 1 + 1 + 2 + 2 1 0 ( rgA = 3 y rgC = 2

1 1 1 Sistema incompatible, no existen soluciones de corte.

Geomtricamente se observa que los planos no son paralelos dos a dos.

-2 1 1 -2 1 1 1 -2 1

--- --- --- ; --- --- --- ; --- --- ---

1 -2 1 1 1 -2 1 1 -2

Por lo que los planos solo pueden estar formando un triedro.

m -2 , 1 ( C 0 ( rgC = 3 y el rgA = 3 pues no existen menores de orden 4.

Si rgC = rgA = n de incgnitas = 3 ( Sistema compatible determinado ( existe una nica solucin que geomtricamente indica que los 3 planos se cortan en un punto.

Dados los vectores a y b del espacio. Siempre es posible encontrar otro vector c tal que multiplicado vectorialmente por a nos de el vector b?. Por que ?.

No siempre ser posible. El vector a x c, cualquiera que sea c, ser perpendicular tanto al a como al c. Por tanto solamente podr ser igual al b en el caso de que el a y el b sean perpendiculares.

En este caso, basta con tomar un vector c que forme un Angulo cualquiera con el a y de modo que c.b = 0 y adems que

b b = a.c. sen es decir c = ---------------

a. sen Uno de los productos a x c o c x a deber ser igual al b Dados en R3 : u = (a,1,a) , v = (0,a,1) y w = (2,1,1) , a) Para qu valores de a son linealmente dependientes los tres vectores?. b) obtn en cada caso una com-binacin lineal de los mismos cuyo resultado sea el vector nulo y los coeficientes distintos de cero.

a) Para que sean linealmente dependientes, el determinante formado por los tres vectores ha de valer cero.

a 1 a

0 a 1 = a2 + 2 2a2 a = - a2 a + 2 ( - a2 a + 2 = 0

2 1 1

- 1 1 + 8 - 1 3 1

a2 + a 2 = 0 ( a = ---------------- = --------- =

2 2 -2

Para a = 1 y para a = -2 , los tres vectores son linealmente dependientes.

(1 + 2(3 = 0 Sistema homogeneo

Para a = 1 ( (1u + (2v + (3w = 0 (1 + (2 + (3 = 0 compatible indeterminado

(1 + (2 + (3 = 0 ( ( soluciones con (i ( 0

(1 = - 2(3 una combinacion lineal sera: -2u + v + w para (3 = 1

(2 = - (1 - (3 ( (2 = (3 -2(1 + 2(3 = 0 Sistema homogeneo

Para a = - 2 ( (1u + (2v + (3w = 0 (1 - 2(2 + (3 = 0 compatible indeterminado

-2(1 + (2 + (3 = 0 ( ( soluciones con (i ( 0

(1 = (3 una combinacion lineal sera: u + v + w para (3 = 1

(2 = ((1 + (3)/2 ( (2 = (3Dados los planos

1: x + 2y z = 1,

2: 3x - z = 3 Estudiar la posicin relativa.

3: - x + 2y + z = 7,

1 1 2 -1

rg 2 = 3 porque 3 0 -1 0

3 -1 2 1

Rg C = 3, existe menor principal de orden 3 en C

Rg A= 3, no existe menor principal de orden 4 en A1, 2, 3 se cortan en un punto porque rgC = rgA = 3 = n de incgnitas, existe solucin nica que es el punto de corte.

Dados los vectores de R3 : u = (1,2,-1) y v = (2,1,0) aade un vector w para que los vectores u, v y w sean: a) linealmente independientes , b) linealmente dependientes.

a)

u 1 2 -1 v ( 0 El w puede ser (0,-1,1) ( 2 1 0 = 1 + 2 4 = - 1 ( l.i. w 0 -1 1

u 1 2 -1b) v = 0 El w puede ser (3,3,-1) ( 2 1 0 = -1 6 + 3 + 4 = 0 ( l.d. w 3 3 -1

Dados los vectores u = (1, 2 ,0) y v= (2, 1, 1) , encuentra un vector w de modulo ( 35 y perpendicular a los dos anteriores.

w = (wx, wy, wz )

w u ; wx + 3wy + 0wz = 0 wx = - 3 w

2wx + wy + wz = 0 wy = -2 (-3 wy ) - wy wx 2 + 3wy 2 + 0 wz 2 = 0 wz = 5 wy9wy 2 + 25wy 2 + wy 2 = 35 ; 35wy 2 = 35 ; wy 2 = 1 ; wy = ( 1

wy = 1 ; wx = - 3 ; wz = 5 ; w = ( -3 , 1, 5 )

wy = -1 ; wx = 3 ; wz = -5 ; w = ( 3 , -1, -5 ) Dados los vectores u = (1, 4, x) y v = (0, 3, y), obtn x e y con la condicin de que u y v sean perpendiculares y de que v = 5.

u v ; u v = 0 ; 1 0 + 4 3 + x y = 0

v = 5 0 + 9 + y 2 = 5 ; 9 + y 2 = 25 ; y 2 = 16 ; y = ( 4

y = 4 12 + 4x = 0 ; 4x = - 12 ; x = - 3

y= - 4 12 4x = 0 ; 4x = 12 ; x = 3

Dados los vectores u (3,2,1) , v(-1,0,2) y w(1,1,0) obtn:

a) u (v + w) ; b) u x (v - w) ; c) u x (v+w) ; d) u (v -w) :

a) u (v + w) = (3, 2 ,1) (0, 1, 2) = 30 + 21 + 12 = 4

b) u x (v - w) = = 5i - 8j +kc) u x (v + w) = = 3i 6j + 3k

d) u (v - w) = (3, 2 ,1) (-2, -1, 2) = - 6 - 2 + 2= - 6

Dados los vectores u= (9, 3, 3) y v= (1, 2, 3), calcula: a) modulo de u y v respectivamente; b) producto vectorial de u y v; c) vector unitario de u y de v; d) rea del paralelogramo que tiene por lados los vectores u y v.

_________ ___ ________ ___

a) u (9, 3, 3) u = 81 + 9 + 9 = 99 v = (1, 2, 3) v = 1 + 4 + 9 = 14

i j k

b) u x v = 9 3 3 = 15 i 30 j +15 k

1 2 3

u (9, 3, 3) 3 1 1

c) u = ------- = ------------ = ------ , ------- , -------

u 3 11 11 11 11

v (1, 2 3) 1 2 3

v = ------ = ----------- = ------- , -------- , ------- v 14 14 14 14

________________ _____ ___

d) S paralelogramo= u x v = 152 + (30) 2 + 152 = 1350 = 15 6 u2 Dados los vectores: u = (a, 1+a, 2a) , v = ( a,1,a) , w = (1,a,1) se pide: a) Determina los valores de a para los que los vectores u, v y w sean li-nealmente independientes. b) Estudia si x = (3,3,0) depende linealmente de los vectores u, v y w para el caso a = 2. Justifica la respuesta.

u

u, v y w son vectiores l.i si v ( 0

w

a 1+a 2a

a 1 a = a + a (a+1) + 2a3 2 -a (1+a) a3 = a + a2 + a + 2a3 2a -

1 a 1 - a a2 a3 = a3 - a

a = 0

Si a3 a = 0 ; a (a2 1) = 0 ( a = 1 ( a ( 0, 1 , -1 los tres vectores son l.i.

a = -1

( a ( 0, 1 , -1 los tres vectores son l.i. y siempre se podra poner x como combinacion lineal de u, v y w. Si x = (3,3,0) ( (3,3,0) = (1 (2,3,4) + (2 (2,1,2) + (3 (1,2,1)

3 = 2(1 + 2(2 + (3 3 = 3(1 + (2 + 2(3 ( 3 = (1 + 3(2 ( 3 + 3/2 = 3(2 ( (2 = 3/2

0 = 4(1 + 2(2 + (3 3 = - 2(1 ( (1 = - 3 / 2

3 = 2 (-3/2) + 2 (3/2) + (3 ( (3 = 3

Las nuevas coordenadas del x seran x = (-3/2, 3/2, 3)

Determina el modulo del vector v + w sabiendo que(u (=20 , u v = 6 , u w = 4 y el ngulo que forman u con (v + w) es 60

u (v + w) u v + u w 6 + 4 1

cos ( u ,v ,w)= ------------------ = ------------------- ( cos 60 = --------------- = ---

(u ((v + w( (u ( (v + w( 20(v + w( 2

( 20 = 20(v + w( ( (v + w(= 1

x = 2 + (

Determina el punto de interseccin de la recta r: y = 3 - 2( con el

z = 4 - 3(plano: (: 2x + 3y 5z + 6 = 0

Sustituimos la x, y y z de las parametricas de la recta en las del plano

2(2 + () + 3(3 - 2() 5(4 - 3() + 6 = 0 4 + 2 + 9 6 20 + 15 + 6 = 0 ( 11 1 = 0 ( = 1 / 11

El punto de interseccion se obtiene sustituyendo en las parametricas de r

C(2 + 1/11, 3 2/11, 4 3/11) = (23/11, 31/11, 41/11) Determinar la ecuacin de un plano que pasa por el punto (1, 0, 2) y es paralelo a la vez a las rectas

y + 4 x y

x = ------- = - z -- = -- = z + 1

2 2 3

x y + 4 z

recta r -- = ------- = -- ==> u = (1, 2, -1)

1 2 -1

x y z + 1

recta s -- = -- = ------ ==> v = (2, 3, 1)

2 3 1

El plano pedido tendr como vectores direccin los proporcionales al u y al v y tomando un punto genrico P(x,y,z), el vector AP pertenecer tambin al plano.

Los tres vectores debern ser linealmente dependientes, luego

x - 1 y z - 2

1 2 -1 = 0 ==> 5.(x - 1) - 3y - (z - 2) = 0

2 3 1

El plano ser : 5x - 3y - z - 3 = 0

Determinar el valor de a para que los puntos (1, 2, -1) , (a, 3, 0) y (2a, 5, 2) estn alineados. Hallar las ecuaciones de la recta que deter-minan para ese valor de a. Para que tres puntos A, B y C estn alineados, ser necesario que AC = .AB

AB = (a-1, 1, 1) AC = (2a-1, 3, 3)

2a-1 3 3

------ = -- = -- ==> 2a - 1 = 3.(a - 1)

a-1 1 1

2a - 1 = 3a - 3 ==> a = 2

Si a = 2 el vector AB = (1, 1, 1) r

x - 1 y - 2 z + 1

r ------ = ------ = ------- Escrita en reducidas queda

1 1 1

x - 1 = y - 2 ; x - y + 1 = 0

x - 1 = z + 1 ; x - z - 2 = 0

Determinar la posicin relativa de las rectas:

x + 4 y - 7 z x + 2y 5z 5 = 0

r = = s

- 3 4 1

2x + y + 2z 4 = 0

x + 4 y - 7 z

A (4, 7, 0)

r = =

- 3 4 1

Ur = (3, 4, 1)

x + 2y 5z 5 = 0 x + 2y = 5 + 5z

s

2x + y + 2z 4 = 0 2x + y = 4 2z

5+5z 2

42z 1 5+5z8+4z 3+9z

x=

=

= = 1 3z

1 2 1 4 3 x = 1 - 3( B (1, 2, 0)

2 1 y = 2 + 4( z = ( Us = (3, 4, 1)

1 5+5z

2 42z 42z1010z 612z

y=

=

= = 2 + 4z

1 2 14 3

2 1

Ur = (3, 4, 1)

Us = (3, 4, 1)

AB= (5, 5, 0)

Ur

Ur

rg

Ur = Us rg = 1

Us

Us

AB 5 5 0

r y s son paralelas

rg Ur = rg 3 4 1 = 2

Us 3 4 1

550

3 41 = 0 No existe menor principal de orden 3

3 41

50

= 5 0 Existe menor principal de orden 2

31

Tandazo y las que me gindan

Determinar la recta que pasa por el punto A(1,-1,0) y que corta a las rectas:

x y - 2 z x - 2 y z - 1

r -- = ------ = -- s ------ = -- = ------ 1 -1 2 3 2 1

La recta t que corta a las rectas r y s vendr dada como interseccin de dos planos y '

A(1, -1 ,0)

u ( r = (1,-1,2) ( B(0, 2, 0) ( r ( ==> AB = (-1, 3, 0) ( x - 1 y + 1 z

1 -1 2 = 0 ==> - 6.(x-1) - 2.(y+1) + 2.z = 0

-1 3 0 - 6x 2y + 2z + 4 = 0 ( 3x + y - z - 2 = 0

A(1, -1, 0)

' v ( s = (3, 2, 1) ( '

C(2, 0, 1) ( s ( ' ==> AC = (1, 1, 1) ( '

x - 1 y + 1 z

3 2 1 = 0 ==> x - 1 2 (y + 1) + z = 0 ( x - 2y + z - 3 = 0

1 1 1

3x + y - z = 2

La recta t En parametricas resolvemos el sistema

x - 2y + z = 3

Determinar los valores de los parmetros a y b , para que las rectas: 2x y = 0 x + by = 3

r: s : se corten ortogonalmente

ax z = 0 y + z = 3Primero obligamos a que r y s se corten ;

y = 2x x = ( A(0, 0, 0)

r : ( y = 2( (( ( R (

z = ax z = a( ur = (1, 2, a)

AB = (3, 0, 3)

x = 3 by x = 3 b( B(3, 0, 3)

s: ( y = ( (( ( R (

z = 3 y z = 3 - ( us = (- b, 1, -1)

AB 3 0 3Para que r y s se corten ( rg ur = 2 ( 1 2 a = 0

us -b 1 -1- 6 + 3 + 6b 3a = 0 - 3 + 6b 3a = 0 ( a 2b + 1 = 0

Para que sean perpendiculares ur y us lo deben de ser ( ur us = 0

( (1 , 2 , a) (-b , 1 , -1) = 0 ( - b + 2 a = 0

a + b 2 = 0

Restando 3b 3 = 0 ; b = 1 y a + 1 2 = 0 ; a = 1

a 2b +1 = 0 Discute y resuelve segn los valores de m, la posicin relativa de los siguientes planos, indicano las figuras geometricas que determinan.

1 x y = 1 ; 2 2x + 3y 5z = - 16 ; 3 x + my z = 0

1 -1 0

C = 2 3 -5 = - 3 + 5 2 + 5m = 5m ; Si C = 0 ( 5m = 0 ( m = 0

1 m -1

m = 0 (No existe m.p. orden 3 en C ; ( existe m.p. orden 2 en C ( rg C = 2

1 -1

C = = 3 + 2 = 5 0 ( existe m.p. orden 2 en C ( rg C = 2 2 3

1 -1 1

A = 2 3 -16 = 16 3 = 13 0 ( existe m.p. orden 3 en A ( rg A = 3 1 0 0

Si rg C < rg A ( sistema incompatible, no existe ningun punto de corte

Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que siempre se cortan en rectas.

En este caso podemos asegurar que los tres planos se cortan 2 a 2 en rectas paralelas (Triedro de planos)

Si m 0 ( C 0 ( existe m.p. orden 3 en C ( rg C = 3 Como no existe menor de orden 4 en A ( rg A = 3 Si rg C = rg A = n incognitas ( sistema compatible determinado ( solucion unica.

Los tres planos se cortan en un punto.

Discute sin resolver, segn los valores de m, la posicin relativa de los siguientes planos, indicano las figuras geometricas que determinan.

1 x y mz = 1 ; 2 -3x + 2y + 4z = m ; 3 -x + my + z = 0

1 -1 -m C = -3 2 4 = - 2 + 3m2 + 4 2m 3 4m = 3m2 6m + 3 ; -1 m 1 1

Si C = 0 ( m2 2m + 1 = 0 ( m =

1 m = 1 ( No existe m.p. orden 3 en C ; ( rg C < 3

1 -1

C = = 2 - 3 = -1 0 ( existe m.p. orden 2 en C ( rg C = 2 -3 2

1 -1 1

A = -3 2 1 = 1 3 + 2 1 = -1 0 ( existe m.p. orden 3 en A ( rg A = 3 -1 1 0

Si rg C < rg A ( sistema incompatible, no existe ningun punto de corte

Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que los planos

1 -1 -1

1 y 3 son paralelos ya que --- = --- = --- y 2 los corta a cada uno en rectas paralelas. -1 1 1

Si m 1 ( C 0 ( existe m.p. orden 3 en C ( rg C = 3 Como no existe menor de orden 4 en A ( rg A = 3 Si rg C = rg A = n incognitas ( sistema compatible determinado ( solucion unica.

Los tres planos se cortan en un punto.

Discute y resuelve segn los valores de m, la posicin relativa de los siguientes planos, indicano las figuras geometricas que determinan.

1 x y = 1 ; 2 2x + 3y 5z = - 16 ; 3 x + my z = 0

1 -1 0

C = 2 3 -5 = - 3 + 5 2 + 5m = 5m ; Si C = 0 ( 5m = 0 ( m = 0

1 m -1

m = 0 (No existe m.p. orden 3 en C ; ( existe m.p. orden 2 en C ( rg C = 2

1 -1

C = = 3 + 2 = 5 0 ( existe m.p. orden 2 en C ( rg C = 2 2 3

1 -1 1

A = 2 3 -16 = 16 3 = 13 0 ( existe m.p. orden 3 en A ( rg A = 3 1 0 0

Si rg C < rg A ( sistema incompatible, no existe ningun punto de corte

Si buscamos el paralelismo o coincidencia de dos en dos planos, vemos que siempre se cortan en rectas.

En este caso podemos asegurar que los tres planos se cortan 2 a 2 en rectas paralelas (Triedro de planos)

Si m 0 ( C 0 ( existe m.p. orden 3 en C ( rg C = 3 Como no existe menor de orden 4 en A ( rg A = 3 Si rg C = rg A = n incognitas ( sistema compatible determinado ( solucion unica.

Los tres planos se cortan en un punto.

Dos vectores unitarios u y v forman un ngulo de 60. Hallar: a) su producto escalar. b) el vector proyeccin ortogonal de v sobre u. c) el vector proyeccin ortogonal de u sobre v.

a) u v = u v cos = 1 1 cos 60 = 0,5

u v 0,5

b) proy u v = ---------- = ----- = 0,5 proy u v = 0,5 u

u 1

u v 0,5

c) proy v u = ---------- = ----- = 0,5 proy v u = 0,5 v

v 1

Dos vrtices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). El centro del paralelogramo es O(0,0,1). Se pide: a) las coordenada de los otros dos vrtices; b) el rea del paralelogramo.

AB = OB OA= (0, 2, 0) (1, 1, 1) = (1, 1, 1)

C (x, y, z) AC = (x1, y1, z1)

AO = (0, 0 1) (1, 1, 1) = (1, 1, 0)

x 1 y 1 z 1

AC = 2 AO ------ = ------- = ------ = 2

1 1 0x 1= 2; x = 1

y 1= 2 y = 1 C (1, 1, 1)

z 1 = 0 z = 1 Como CD = (x +1, y +1, z 1)

x +1 y +1 z 1 x = 0

y AB = CD( ------- = --------= --------- = 1; y = 2 D (0, 2, 2)

-1 1 1 z = 2

i j k

Area= AB x AD = 1 1 1 = 2 i + 2 j + 4 k = 4 + 4 + 16 = 24 u2

1 3 1

En R3, el vector x = (5,-1,2), es combinacin lineal de los vectores

u = (3,-1,2) y v = (1,0,4) ?.

Para que x sea combinacin lineal de los vectores u y v es necesario que el rango de la matriz formada por los tres vectores sea 2 , o lo que es lo mismo que no exista menor principal de orden 3 en la matriz.

5 -1 2

3 -1 2 = - 20 2 + 2 + 12 = - 8 0

1 0 4

Como si existe menor principal de orden 3 ( rango A = 3 ( los tres vectores son linealmente independientes por lo que el vector x no es combinacin lineal de u y v.

En R3 , el vector x = (1,6,-5), depende linealmente de los vectores

u1 = (0,1,1) , u2 = (2,1,0) , u3 = (-1,1,-2) ?.

El que un vector x dependa linealmente de otros tres vectores u1, u2, y u3 es lo mismo que decir que x se puede poner como combinacin lineal de los tres.

x = 1 u1 + 2 u2 + 3 u3 ( (1,6,-5) = 1 (0,1,1) + 2 (2,1,0) + 3 (-1,1,-2) 1 = 22 3 6 = 1 + 2 + 3 Al resolver el sistema deben salir tres unicos

-5 = 1 - 23

1 = 22 3 3 = 6 2 3 3

( 14 = 7 2 ( 2 = 2

11 = 2 + 3 3 11 = 2 + 3 3

11 2 = 3 3 ( 3 = 3 y 6 = 1 + 2 + 3 ( 1 = 1

Al ser los tres reales y unicos puedo asegurar que el vector x es combinacin lineal de los otros tres.

Escribe la ecuacin implicita de un plano que pasa por el origen de coordenadas y que es paralelo a las rectas

x 3 y 7 z 8

r ------ = ------ = ------ y s x = y = z

2 3 4

u = k ur ur O v = k us

A x

us B x P

Como ur = (2, 3, 4) y us = (1, 1, 1) , al proyectarlos paralelamente sobre el plano pedido, podremos asegurar que

u = k ur = (2, 3, 4) , que v = k us = (1, 1, 1) y que el OP = (x, y, z)

OP OP Como OP, u y v deben de ser l.i ( rg u = 2 ( u = 0 v v x y z

2 3 4 = 0 ( 3x + 3y + 2z 3z 2y 4x = 0 ( - x + 2y z = 0 1 1 1

x 2y + z = 0 Escribir la ecuacin de una recta paralela al eje OY y que pasa por el punto (1, -2, 3)

x = 0 Las ecuaciones parametricas del eje OY son : y = z = 0 Como r eje OY ( ur = k (0, 1, 0) = (0, 1, 0) y como A(1, -2, 3) r

x = 1

r y = -2 + para todo R

z = 3

Estudia la dependencia e independencia lineal en R3 de los vectores:

u = (-1,3,4) , v = (2,1,1) y w(-4,5,7) .

-1 3 4

Calculemos el 2 1 1 = - 7 12 + 40 + 16 42 + 5 = 0

-4 5 7

Al ser el determinante de orden 3 igual a cero ( No existe menor principal de orden 3 al calcular el rango de la matriz formada por los tres vectores ( los tres vectores son linealmente dependientes

Estudia la posicin relativa de las rectas:

x + 1 z 1 x + y + 1 = 0

r: ------ = y = ------- y s: y calcula el ngulo que

-2 2 z = 0 forman. Para estudiar la posicin relativa de r y s necesitamos A(-1, 0, 1) x = - 1 B(-1, 0, 0)

r s y = AB = (0, 0, -1)

ur = (-2, 1, 2) z = 0 us = (-1, 1, 0)

AB 0 0 -1 AB

ur = -2 1 2 = 2 1 = 1 0 ( rg ur = 3 us -1 1 0 us

r y s se cruzan en el espacio.

ur us -2(-1) + 11 + 20 3

(r,s) = arc cos ------------- = arc cos ------------------------------ = arc cos -----------

ur us 4 + 1 + 4 1 + 1 + 0 9 2

(r,s) = arc cos 1 / 2 = 45

Estudia la posicin relativa de las rectas:

x = 2 3t x = 1 - t

r: y = 3 + 5t s: y = 2t

z = t z = 5

En el caso en que se corten, obtn el punto de corte.

A(2, 3, 0) B(1, 0, 5)

r s AB = (-1, -3, 5) ur = (-3, 5, 1) us = (-1, 2, 0)

AB -1 -3 5 -1 -3 5 rg ur = rg -3 5 1 ; -3 5 1 = 3 30 + 25 + 2 = 0 us -1 2 0 -1 2 0

AB

( rg ur = 2 us

ur -3 5 1

rg = rg = 2 por ser vectores l.i.

us -1 2 0

r y s se cortan en un punto P. 2 3t = 1 -

3 + 5t = 2 ( t = 5 ( P( 2 15 , 3 + 25, 5) = (-13, 28, 5)

t = 5

Estudiar la posicin de los planos:

x - y + z = 0

3x + 2y - 2z = 1 especificando si es vaca, o se trata de un

5x = 1

punto , de una recta o de otra figura. Vamos a calcular los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada que forman mis tres planos.

1 -1 1

C = 3 2 -2 = 10 10 = 0 rg C = 2 ya que si existe m.p.orden 2 en C

5 0 0

1 -1 0

A = 3 2 1 = 2 5 + 3 = 0 rg A = 2 ya que si existe m.p.orden 2 en A

5 0 1

rg C = rg A = 2 < n de incgnitas ==> sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones, las cuales representan los infinitos puntos de la recta comn a los tres planos.

La ecuacin de la recta comn ser : 5x = 1 ==> x = 1 / 5

y = 1/5 + z y = 1/5 + ( - y + z = - 1/5 z = ( Estudiar la posicin relativa de dos rectas r y s y calcular el ngulo que forman.

x - 1 y z x = 2 +

r: ------ = ---- = ---- ; s: y = 3 + 2

2 3 4 z = 4 + 3

Sacamos los vectores ur =(2,3,4) y us = (1,2,3)

Y los puntos A=(1,0,0) y B=(2,3,4) ( AB=(1,3,4)

AB AB 1 3 4

rg ur ur = 2 3 4 = 9 + 16 + 12 12 8 18 = 1 0

us us 1 2 3

Existe m. p. orden 3 ( r y s se cruzan en el espacio.

| ur us | 2 1 + 3 2 + 4 3

= arc cos --------------- = arc cos -------------------------------- = | ur | | us| 4 + 9 + 16 4+5+1 20

= arc cos ----------------- = arc cos 0.99 = 8.1

29 14

Estudiar la posicin relativa de las rectas:

x = 2 3t x = 1 - t

r: y = 3 + 5t s: y = 2t

z = t z = 5

En el caso en que se corten, obtn el punto de corte.

A(2, 3, 0) B(1, 0, 5)

r s AB = (-1, -3, 5) ur = (-3, 5, 1) us = (-1, 2, 0)

AB -1 -3 5 -1 -3 5 rg ur = rg -3 5 1 ; -3 5 1 = 3 30 + 25 + 2 = 0 us -1 2 0 -1 2 0

AB

( rg ur = 2 us

ur -3 5 1

rg = rg = 2 por ser vectores l.i. r y s se cortan en un punto P. us -1 2 0

2 3t = 1 - 3 + 5t = 2 ( t = 5 ( P( 2 15 , 3 + 25, 5) = (-13, 28, 5)

t = 5

Estudiar la posicion relativa de las siguientes rectas. Hallar, en su caso, el punto de interseccin.

x 2 y z + 1 x = -2

r: -------- = ------ = -------- s: y = -12 +

1 6 2 z = -5 + 4 ur = (1 , 6 , 2) A (2 , 0 , -1) ( r

AB = (-2 , -12 , -4)us = (-2 , 1 , 4) B(0, -12 , -5)( r

AB -2 -12 -4 -2 -12 -4 1 6 2

rg ur = rg 1 6 2 ; 1 6 2 = - 2 1 6 2 = 0 us -2 1 4 -2 1 4 -2 1 4

No existe m.p. orden 3

1 6 AB -2 1 = 1 + 12 = 13 ( 0 Existe m.p. orden 2 ( rg ur = 2

us ur 1 6 2

Adems rg us = rg -2 1 4 = 2 Existe m p orden 2

r y s se cortan en un punto

x = 2 + x = -2r = y = 6 s = y = -12 +

z = -1 + 2 z = -5 + 4

2 + = -2 + 2 = -2 + 2 = -2 13 = - 26 ; = - 2

6 = -12 + 6 - = -12

-1 + 2 = -5 + 4 2 - = -4 12 - 2 = -24 2 = - 2 + 2 ; = 0

Punto de corte entre r y s x = 2 + (-2) = 0

y = 6 (-2) = 12 P (0 , -12 , -5) z = - 1 + 2 (-2) = - 5

x = 2( - 1

Estudiar la posicion relativa de la recta r: y = -2 - ( con respecto a

z = 8 + 4(cada uno de los ejes coordenados. Hallar, en cada caso, los puntos de corte.

x = ( x =-1 + 2( a) con eje ox y = 0 r: y = -2 - ( z = 0 z = 8 + 4(A (0, 0, 0) B (-1, -2, 8) ( AB = (-1, -2, 8) ur = (2, -1, 4) uox = (1, 0, 0)

AB -1 -2 8 -1 -2 8

rg uox = rg 1 0 0 ; 1 0 0 = - 8 + 8 = 0 no existe m.p orden 3 ur 2 -1 4 2 -1 4

AB

-1 -2 = 2 0 existe m.p orden 2 rg uox = 2

1 0 ur

uox 1 0 1 0rg = rg ; = - 1 0 existe m.p orden 2 rg = 2

ur 2 -1 2 -1

r y el eje ox se cortan ( = - 1 + 2( 0 = - 2 - ( ; ( = - 2 ( = -1 - 4 = - 5

0 = 8 + 4( A( -5, 0, 0) es el punto de corte.

x = 0 x = -1 + 2( b) con eje oy y = ( r: y = -2 - ( se cortan r y el eje oy?

z = 0 z = 8 + 4(0 = -1 + 2( ; 2( = 1 ; ( =

( = - 2 - ( no existe ( nico ( no se cortan

0 = 8 + 4( ; 4( = - 8 ; ( = -2

-1 -2 8 -1 -2 8

Rg 0 1 0 0 1 0 = - 4 - 16 = - 20 0 existe m.p orden 3 rg = 3

2 -1 4 2 -1 4 r yel eje oy se cruzan

x = 0 x = - 1 + 2(c) con eje oz y = 0 r: y = - 2 - (

z = ( z = 8 + 4(

-1 -2 8

0 0 1 = - 4 - 1 = - 5 0 existe m.p orden 3 rg = 3

2 -1 4 r y el eje oz se cruzan.

Estudiar la posicin relativa de las rectas r y s, segn los valores de b:

r : = =

s : = = ur = (3, 4, -1) A= (2, 1, -6)

AB = (-3, 0, -9)

us = (-6, b + 2, 2) B= (-1, 1, 3) Calculemos el rg ; = - 12 + 27 (b + 2) + 108 3 (b + 2) =

= - 12 + 27b + 54 + 108 3b 6 = 24b + 144; | C| = 0 24b + 144 = 0; 24b = -144;

b = - 6

Si b = - 6 | |3x3 = 0 m.p. orden 3; Como = - 6 0 m.p. orden 2

Luego rg = 2 Calculamos rg rg 1

Ya que m.p. orden 2

Si rg = 1 y rg = 2 r y s son paralelas

b - 6 | |3x3 0 m.p. orden 3 rg QUOTE

= 3 r y s se cruzan

Estudiar la posicin relativa de los planos:

: 2x + y - 3z - 1 = 0

: 8x + 9y - 17z + 7 = 0

: x - 2y + z -6 =0

2x + y - 3z = 1

8x + 9y - 17z = -7 x- 2y + z = 6

m.p.orden 3 en C

Si rg C = rg A = 2 < n incgnitas; sistema compatible indeterminado; ( Soluciones

Los 3 planos se cortan en una recta que forma parte del haz de planos.

Existe algn plano que pase por los puntos A(1,-1,3) , B(2,-2,0) y

C(3,-3,-3)?. Por qu?

Depende de si los puntos estan alineados en una recta en donde existiran infinitos planos pertenecientes al haz de planos o de que los puntos no esten alineados en cuyo caso existira un unico plano.

Para ver si estan o no alineados AB y AC deben o no ser proporcionales 1 -1 -3

AB = ( 1, -1, -3) y AC = (2, -2, -6) ( ----- = ----- = ----- Al ser proporcionales 2 -2 -6

los vectores estan alineados en una sola recta de vector direccion ur = AB y punto base el A

x 1 y + 1 z 3 - x + 1 = y + 1 x + y = 0

------- = ------- = ------- ( (

1 -1 -3 -3x + 3 + 3 z 3 3x 3z = 0

La ecuacin del haz de planos sera: (x + y) + (3x 3z) = 0

( + 3) x + y - 3 z = 0

Expresa la ecuacin de la recta r que pasa por el punto A(2,-3,1) y tiene como vector direccin v = (3,-2,0) : a) En forma vectorial, b) en forma paramtrica, c) en forma continua, d) en forma implcita o cartesiana.

a) E. vectorial (x, y, z) = (2, -3, 1) + (3, -2, 0) x = 2 + 3 b) E parametricas y = -3 2 z = 1

x 2 y + 3 z 1

c) E. Continua ------- = ------- = -------

3 -2 0

-2(x 2) = 3(y + 3) 2x + 3y = - 13

d) E Reducidas ( 0 = 3 (z 1) z = 1

Expresa la ecuacin de la recta r que pasa por los puntos A(3,-1,-2) y

B(1,4,-5) en forma de: a) vectorial, b) paramtrica, c) continua, d) cartesiana.

Ur = AB = OB OA = ( 1 3, 4 + 1, -5 + 2) = (-2, 5, -3)a) (x, y, z) = (3, -1, -2) + (-2, 5, -3)

x = 3 2

b) y = - 1 + 5 z = - 2 3 x 3 y + 1 z + 2

c) ------- = ------- = ------- -2 5 -3

5(x 3) = -2(y + 1) 5x + 2y = 13

d) (

-3(x 3) = -2 (z + 2) 3x 2z = - 5

Hallar la ecuacin de un plano que pasa por Q(1,-2, 0) y que pertenece al haz de arista: 2x 1 3yz + 1 r: ---------- = ----- = -------- 2 -1 6 El haz de planos se halla a partir de las reducidas de r.- 2x + 1 = 6y 2x + 6y = 0 2x + 6y 1 + ( 6x z 4 ) = 0 pasa por Q6x - 3 = z + 1 6x z 4 = 0 2 . 1 + 6 ( - 2) 1 + ( 6 . 1 0 4 ) = 0 ; - 11 + 2 = 0 ; = 11/2 2x + 6y 1 + 11/2 ( 6x z 4 ) = 0 ; 4x + 12y 2 + 66x 11z 44 = 0 70x + 12y 11z 46 = 0 Hallar la ecuacin de un plano paralelo a (: 5x y +3z -1 = 0 que pase por el punto Q (-12, 1, 4)

(// ( ( n( = k n(

n( = (5, -1, 3) ( n( = (5, -1, 3)

(( 5x y + 3z + d= 0

Para que pase por Q (-12, 1, 4) 5 (-12) 1 + 3 (4) + d = 0

- 1/9 + d = 0 d = 1/9

( ( 5x y + 3z + 1/9 = 0

Hallar la ecuacin general del plano paralelo a las siguientes rectas y que pasa por (0, 0,0):

r => x = y + 1 = z s => x = 2 + 3t / y=2 / z = -1

Se halla el vector director de cada una de las rectas:

De r: A (0, -1, 0) ur (1, 1, 1)

De s: B (2, 2, -1) us (3, 0, 0)

Se halla el plano con el punto (0, 0, 0) y los vectores de las anteriores rectas:

x y z

1 1 1 = 3y 3z = 0 Plano => y z = 0

3 0 0

Hallar la ecuacin implcita del plano determinado por el punto A(1,-2,5) y los vectores u = (2,0,3) y v = (1,-1,2). AP = (x 1, y + 2, z 5) , u y v deben de ser l.d para que sean coplanarios.

AP x 1 y + 2 z 1

( rg u = 2 ( 2 0 3 = 0

v 1 -1 2

3(x 1) (y + 2) 2 (z 5) = 0 ( 3x y 2z + 5 = 0 Hallar la interseccin de la recta r, determinada por los puntos: A(1, 6, 3) y B(2, 6,0), con el plano: x y + 3z = 2

El punto P pedido se calcula intersectando la recta r que pase por A y B con el plano n.

P = r Para calcular r, calcularemos

ur = AB = (2 - 1, 6 - 6, 0 - 3)

Ur = (1, 0, -3) y con A (1, 6, 3) como punto base

escribiremos las

Calculemos las paramtricas de r.

x = 1 + 1 x = 1 + Sustituimos en el n y nos queda:r y = 6 + 0 ( y = 6

z = 3 - 3 z = 3 - 31 + 6 + 3 (3 - 3) = 2;

2 1

1 + 6 + 9 - 9 = 2; -8 = -2 ; = ---- = ----

8 4

1 3 5 9

El punto P de interseccin valdr P (1 + ---, 6 , 3 - ---- ) ; P ( ----, 6 , ---- )

4 4 4 4

Hallar la posicin relativa de una recta r y el plano

x y + z = 1

r: (: 4x-7y+5z = 0. En su caso hallar el punto de corte.

x+y-z = 0

x y = 1 z ( 2x = 1; x = 1/2

Pasemos a paramtricas la recta r:

x + y = z ( - 2y = 1 - 2z; y = - 1/2 + z

x = 1/2

r ( y = - 1/2 + (: 4x - 7y + 5z = 0 Sustituimos las parametricas de r en la

z = ecuacin del plano para calcular el punto

de corte, si es que existe.

4 (1/2) 7 (- 1/2 + ) + 5 = 0; 2 + 7/2 - 7 + 5 = 0

11/2 = 2 ; = 11/4 nico r y ( se cortan en 1 punto.

P( , - 1/2 +11/4, 11/4 ) ( P( , 9/4, 11/4)

Hallar la ecuacin de una recta que pasa por P (0, 0, 2) y corta a las rectas siguientes:

x + 2 y 4 x y z

r: ---------- = ---------- = z 1 s: ----- = ------ = ------

5 2 4 - 2 3

ur = (5, 2, 1) A r = (- 2, 4, - 1)

us = (4, - 2, 3) B s = (0, 0, 0)

AQ = (x + 2, y 4, z + 1)

1 AP = v1 = (2, - 4, 3)

ur = u1 = (5, 2, 1)

t BQ = (x, y, z)

2 BP = v2 = (0, 0, 2)

us = u2 = (4, - 2, 3)

x + 2 y 4 z + 1

1 2 - 4 3 = 0 ; - 10 (x + 2) + 13 (y 4) + 24 (z + 1) = 0;

5 2 1

- 10 x + 13 y + 24 z 48 = 0

x y z

2 0 0 2 = 0 ; 4 x + 8 y = 0 ; x + 2 y = 0

4 - 2 3

10 x 13 y 24 z + 48 = 0

t

x + 2 y = 0 Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(1,1,-1) , B(2,-2,3) y C(1,0,2) en todas las formas posibles.

Elegimos como punto base el A y como vectores direccion el AB y el AC

AP = (x-1, y-1, z+1) ; u = AB = (1, -3, 4) ; v = AC = (0, -1, 3)

Ecuacin vectorial : (x, y, z) = (1, 1, -1) + (1, -3, 4) + (0, -1, 3)

x = 1 +

Ecuacin parametricas : y = 1 - 3

z = -1 + 4 + 3

AP

Ecuacin general implicita: Como AP, u y v son l.d ( u = 0 v x 1 y - 1 z + 1 1 -3 -4 = 0 ( -5(x 1) - 3(y - 1) (z + 1) = 0

0 -1 3 5x + 3y + z - 7 = 0

La ecuacin en forma continua de una recta es:

x 1 y z 2

------ = --- = ------ . Determina a) su vector direccin, b) su ecua- 2 -3 5 cin en forma paramtrica, c) Tres puntos distintos que pertenezcan a dicha recta.

a) ur = (2, -3, 5) x 1 = 2 x = 1 + 2 b) E.Parametricas: y = - 3 ( y = - 3 z 2 = 5 z = 2 + 5 c) Para = 0 ( A( 1, 0, 2)

Para = 1 ( B(3, -3, 7)

Para = -1 ( C(-1, 3, -3)

Mostrar que el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, mediante un ejemplo en el que se multipliquen de distintas formas los vectores de componentes (1;1;1), (1;0;0) y (1;2;3).

Sean a = (1;1;1) b = (1;0;0) c = (1;2;3) Comprobemos que (a x b) x c a x (b x c)

i j k i j k

a x b = 1 1 1 = j - k = (0; 1; -1) (a x b) x c = 0 1 -1 = 3i - j - k + 2i =

1 0 0 1 2 3 5i - j - k i j k i j k

b x c = 1 0 0 = 2k - 3j = (0; -3; 2) a x (b x c) = 1 1 1 = 2i - 3k + 3i - 2j =

1 2 3 0 -3 2 5i - 2j - 3k Se comprueba que el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa.

Obtn la ecuacin del plano determinado por la recta de ecuacin:

x = 1 - 2( r : y = 2 + 3( y un punto A(-3,0,2) exterior a ella.

z = 3 - ( El vector ur = ( -2, 3, -1) pertenece tambien al plano pedido u = ur El punto B (1, 2, 3) perteneciente a la recta y al plano junto con el punto A que no es de r pero si del plano, me dan el otro vector direccion del plano v = AB = (4, 2, 1)

Ademas puedo tomar como vector generico el BP o el AP = ( x + 3, y, z 2)

Como los tres vectores deben de ser l.d (

x + 3 y z 2

-2 3 -1 = 0 ( 3(x 3) 4y 4(z 2) 12(z 2) + 2y + 2(x 3) = 0

4 2 1

5x 2y 16z + 17 = 0

Obtn el producto mixto {u,v,w}sabiendo que u = (1,2,1) , v = (-1,0,1) y w es perpendicular a u y v, siendo su modulo 2. i j k

w a u y v => w = u x v = 1 2 1 = 2 i 2 j + 2 k ; w = =

-1 0 1

u . (v x w) = = + + + = = = = = 2 Obtn un vector perpendicular a w = (-2, 3, 4) que tenga modulo 5 Hay ms de una solucin?

Sea

; Al ser 2 ecuaciones con 3 incgnitas habr ms de

una solucin

Para qu valores de a el conjunto de vectores (1,1,1) , (1,a,1) y (1,1,a) es una base de R3 ?.

Para que los tres vectores formen una base, es suficiente con que sean linealmente independientes y para ello

1 1 1 1 a 1 0 ( a2 + 1 + 1 a a - 1 0 ( a2 2a + 1 0

1 1 a

Si a2 2a + 1 = 0 ( a = (-2 4 4 ) / 2 = - 1

Para todos los valores de a -1 , los 3 vectores son l.i y forman una base.

Para qu valores de m los vectores u1 = (1,1,2) , u2 = (1,2,m) y u3 = (m,0,0) no forman una base de R3 ?.

u1 = (1,1,2) , u2 = (1,2,m) y u3 = (m,0,0). Para que los tres vectores no formen una base, es suficiente con que sean linealmente dependientes y para ello

1 1 2 1 2 m = 0 ( m2 4m = 0 ( m (m 4) = 0

m 0 0

Para los valores de m = 0 y m = 4 , los 3 vectores son l.d y no forman una base.

Prueba que en R3 son linealmente independientes los vectores: u1 = (1,0,0) , u2 = (1,a,0) y u3 = (1,b,c) siendo a,b,y c numeros reales cualesquiera, distintos de cero.

Para que sean linealmente independientes el determinante formado por los tres vectores ha de ser distinto de cero

1 0 0

1 a 0 = a c 0, siempre que los vectores a,b y c sean 0 que es la con-

1 b c dicin del problema

Prueba que los puntos A(3,-2,1), B(2,2,-3) y C(1,1,0) no estn alineados y halla la ecuacin del plano que determinan. AB = (2-3, 2+2, -3-1) = (-1, 4, -4) = u

AC = (1-3, 1+2, 0-1) = (-2, 3, -1) = v u y v son l.i , mientras que segn la defi-

AP = (x-3, y+2, z-1) nicion de plano, u , v y AP son l.d

x 3 y + 2 z - 1

-1 4 -4 = 0 ( 8 (x 3) + 7 (y + 2) + 5 (z 1) = 0

-2 3 -1

El plano pedido tiene de ecuacin general: 8x + 7y + 5z 15 = 0

Que vectores son los que dan el producto escalar nulo al multipli-carlos por un vector a, no nulo?. Cuales son los que dan un producto vectorial nulo (vector cero), al multiplicarlos vectorialmente por ese vector a?.

a) Dado un vector a 0, partiendo de que a.b = a.b.cos

Podemos observar que para que este producto escalar, se haga cero, ser necesario que b = 0 o que cos = 0, es decir que b sea ortogonal al a.

b) Cualquiera que sea la forma en que se defina el producto vectorial de dos vectores a y b, se sabe que el modulo del producto vectorial vale:

a x b = a.b. sen Para que este vector a x b sea nulo hara falta que, o bien el b = 0, o bien que el

sen = 0.

Esto ultimo quiere decir que los vectores a y b debern formar un Angulo de 0 o de 180, o lo que es lo mismo, que el vector b debe ser paralelo al vector a ya que

b = .a , R

Razona si determinan un plano el punto A(3,-2,1) y los vectores:

a) u = (2,-3,1) y v = (2,-1,3)

b) u = (2,-3,1) y v = (4,-6,2)

a) AP = (x-3, y+2, z-1) Para empezar u y v deben de ser l.i

2 -3 1 Aqu (2,-3,1) k (2,-1,3) ya que --- ---- --- ( SON L.I 2 -1 3

x-3 y +2 z-1

El plano formado con AP, u y v sera 2 -3 1 = 0 2 -1 3 -8 (x 3) 4 (y + 2) + 4 (z 1) = 0 ( -8x 4y + 4z + 24 8 4 = 0 2x + y z 3 = 0

2 -3 1

b) Aqu (2,-3,1) = k (4,-6,2) ya que --- = ---- = ---- ( SON L.D. 4 -6 2 Luego no existe ningun plano con solo AP y u

Razonar, que si los vectores a, b, c, son perpendiculares dos a dos, el producto escalar (a + b).(c + b) no puede ser negativo.

Por ser los vectores perpendiculares dos a dos se verifica que

a.b = 0; a.c = 0; b.c = 0

Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar

(a + b).(b + c) = a.b + a.c + b.b + b.c = b.b = b2 Evidentemente, el modulo al cuadrado de un vector no nulo, nunca podr ser negativo.

Razonar por que si u , v , w son tres vectores del espacio que no estan en el plano, el vector (v x u) x (w x u) tiene la misma direccin que el vector u.

Si los vectores u, v y w son ortogonales, es decir perpendiculares dos a dos, vamos a ver cual es la direccin de los productos vectoriales v x u y w x u y posteriormente la direccin de los nuevos vectores resultantes.

Sabiendo que en general, el producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular a ellos.

v x u es un vector en la direccin del vector w w x u es otro vector en la direccin del vector v (v x u) x (w x u) ser por tanto un vector perpendicular al w y al v, es decir en la direccin del vector u.

Sea el triangulo de vrtices A(1 , 0 ,1) ; B (1 , 1 , 0) ; C (0 , 1 , 1). Hallar las ecuaciones de los tres lados y la ecuacin del plano que determinan.

C

A Recta AB: AB = (0 , 1 , -1) pasa por A

x - 1 y z - 1 x = 1

------- = ------- = -------- y =

0 1 -1 z = 1 -

B

Recta AC: AC = (-1 , 1 , 0) pasa por A

x - 1 y z - 1 x = 1 -

------- = ------- = -------- y =

-1 1 0 z = 1

Recta BC: BC = (-1 , 0 , 1) pasa por B

x - 1 y 1 z x = 1 -

------- = ------- = -------- y = 1

-1 0 1 z =

Plano ABC: u( = AB = (0, 1 , -1) AP = (x 1, y, z - 1)

v( = AC = (-1, 1, 0)

AP

u( = 0 para que AP, v( y u( sean l.d. y pertenezcan al plano (.

v(

x - 1 y z - 1

0 1 -1 = 0 ; 1 ( x - 1) + 1 y + 1 (z - 1) = 0 ; x - 1 + y + z - 1 = 0 ;

-1 1 0

x + y + z 2 = 0

Sea el vector v = e1 2e2 + 3e3 , expresado en una base cartesiana. Hallar: a) sus proyecciones ortogonales sobre cada uno de los vectores de la base, b) los ngulos que forma el vector v con cada uno de los vectores de la base.

v i 11 + (-2) 0 + 3 0

proy i v = --------- = ---------------------------- = 1

i 1 v j 10 + (-2) 1 + 3 0

proy j v = --------- = ---------------------------- = 2

j 1

v k 10 + (-2) 0 + 3 1

proy k v = --------- = ---------------------------- = 3 k 1

v i 1

( v, i ) = arc cos --------- = arc cos ---------------------- = 74,5

v 12 + (-2)2 + 32 v j 2

( v, j ) = arc cos --------- = arc cos ---------------------- = 57.69

v 12 + (-2)2 + 32 v k 3

( v, ik) = arc cos --------- = arc cos ---------------------- = 36,7

v 12 + (-2)2 + 32 y + 6 z 6

Sean A, B y C los puntos de la recta x12 = = , que estn

2 3

en los planos coordenados x = 0; y = 0; z = 0, respectivamente. a) de-terminar razonadamente cual de los tres puntos se encuentran entre las otras dos. b) siendo D un punto exterior a la recta, indicar razona-damente cul de los tringulos DAB, DAC o DBC tienen mayor rea.

x = 12 + r y = 6 + 2 z = 6 + 3 A = r 1 1 x = 0; 12 + = 0; = 12 ( A(0, 30, 30)

B = r 2 2 y = 0; 6 + 2 = 0; 2 = 6; =3 ( B(15,0,15)

C= r n 3 3 z = 0; 6 + 3 = 0; 3 = 6; = 2 ( C(10, 10, 0)

AB = (15, 30, 45)

Se encuentra B entre A y C? | AB | > | AC | B no esta entre A y C

AC = (10, 20, 30)

Se encuentra C entre A y B? | AC | < | AB | C est entre A y B

El DAB tiene mayor rea que el DAB y que DCB ya que es la forma de estos dos.

Sean A (m-2, m, -5) , B (m, 1, -5) y C (-1, 3, m) los vrtices de un tringulo ABC, cunto vale m para que el tringulo sea rectngulo en B?

BA ortogonal a BC BA BC = 0

BA = OA OB = (m - 2, m, -5) (m, 1, -5) BA = (-2, m - 1, 0)

BC = OC OB = (-1, 3, m) (m, 1, -5) = (- 1 - m, 2, m + 5)

BA BC = -2 (-1 - m) + (m - 1) 2 + 0 = 0 ( 2 + 2m + 2m 2 = 0 ;

4m = 0 ; m = 0

x - 2y - 2z = 0

Se considera la recta r

x + 5y - z = 0

y el plano 2x + y + mz = n

Se pide: - Para que valores de m y n, r y son secantes?.

- Para que valores de m y n, r y son paralelos?.

- Para que valores de m y n, contiene a la recta r?. Primero calcularemos por Gauss, la matriz de coeficientes y ampliada resultante del sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuacin del plano.

1 -2 2 0 f2-f1 1 -2 2 0 7f3-5f2 rg 1 5 -1 0 ====== rg 0 7 -3 0 =======

2 1 m n f3-2f1 0 5 m-4 n

1 -2 2 0

= rg 0 7 -3 0

0 0 7m-13 7n

Para que r y sean secantes, ser necesario que exista un solo punto de corte, es decir que rg C = rg A = n de incgnitas

13

Para ello ser necesario que m --- y que n 0

7

Para que r y sean paralelos, ser necesario que no exista ningn punto de corte, es decir que rg C = 2 y que rg A = 3, con lo que el sistema ser incompatible

13

Para ello ser necesario que m = --- y que n 0

7

Para que la recta este contenida en el plano, ser necesario que existan puntos de corte, es decir que rg C = rg A n de incgnitas, con lo que el sistema ser compatible indeterminado.

13

Para ello ser necesario que m = --- y que n = 0

7

Se consideran 5 puntos cuyas coordenadas son: P1 (1, - 1, 2) ; P2 (- 2, 2, 3) ; P3 (- 3, 3, 3) ; P4 (- 3, 3, 0) ; P5 (- 3, 4, 3). Contesta de forma razonada a la siguiente pregunta: forman parte de un mismo plano?

Calculamos el plano que pasa por 3 de ellos: P1, P 2 , P 3

P1Q P1Q = (x 1, y + 1, z 2)

P1P 2 = 0 P1P 2 = u = (- 3, 3, 1) P1P 3 P1P 3 = v = (- 4, 4, 1)

x 1 y + 1 z 1

- 3 3 1 = 0 ; - (x 1) (y + 1) = 0 ; x + y = 0

- 4 4 1

P4 ? - 3 + 3 = 0 P4 (- 3, 3, 0) pertenece a P5 ? - 3 + 4 0 P5 (- 3, 4, 3) no pertenece a Se consideran el plano : x + ay + 2az = 4

x + y + 2z = 2

y la recta r:

x + 2y - z = 3

Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos

( ( x + ay + 2az = 4 n (1, a, 2a )

x + y + 2z = 2 y = -3z = 1 x+1+3z+2z = 2 r (

x + 2y z = 3 y = 1 + 3z x = 1 5z

x = 1 - 5 ur (-5, 3, 1)

y = 1 + 3 ( ( R

z = ( (1, 1, 0)

n ur = 0

-5 + 3a + 2a = 0-5 + 5a = 0 a = 1 y el n ( 1, 1, 2)

Ademas (11) + (11) + (20) ( 0 ( ( ( ( r // ( Se consideran las rectas:

x 2 y + 1 z + m x = 1 + 3(

r: ------ = ------ = ------- y s: y = -1 + 4( 2 -1 2 z = 5 - (

Determina m de manera que las rectas se corten. Halla el punto de corte.

AB ur Para que r y s se corten es necesario que rg ur = 2 y que el rg = 2 us us

A( 2, -1, -m ) B( 1, -1, 5 )

ur = (2, -1, 2) us = (3, 4, -1) AB = ( -1, 0, 5+m )

-1 0 5+m

2 -1 2 = - 1 + 8 (5 + m) + 3 (5 + m) + 8 = - 1 + 40 + 8m + 15 + 3m + 8

3 4 -1

= 11m + 62

11 m + 62 = 0 ( m = - 62 / 11 el rango es 2 y como los vectores direccion son l.i ,

podemos asegurar que las rectas se cortan en un punto.

Para calcular el punto de corte sustituimos el valor de m = - 62 / 11 en las paramtri-cas de r y las igualamos a las parametricas de s.

2 + 2 = 1 + 3 2 - 3 = - 1

- 1 = - 1 + 4 ( ( - 8 - 3 = - 1 ( = 1 / 11

-(-62/11) + 2 = 5 - + 4 = 0

Y sustituyendo en la recta s saco el punto de corte P(1+3/11, -1 + 4/11, 5 1/11)

P( 14/11, - 7/11, 50/11 )

Se consideran las rectas:

x 2 y + 1 z + m x = 1 + 3(

r: ------ = ------ = ------- y s: y = -1 + 4( 2 -1 2 z = 5 - (

Determina m de manera que las rectas se corten. Halla el punto de corte.

AB ur Para que r y s se corten es necesario que rg ur = 2 y que el rg = 2 us us

A( 2, -1, -m ) B( 1, -1, 5 )

ur = (2, -1, 2) us = (3, 4, -1) AB = ( -1, 0, 5+m )

-1 0 5+m

2 -1 2 = - 1 + 8 (5 + m) + 3 (5 + m) + 8 = - 1 + 40 + 8m + 15 + 3m + 8

3 4 -1

= 11m + 62

11 m + 62 = 0 ( m = - 62 / 11 el rango es 2 y como los vectores direccion son l.i ,

podemos asegurar que las rectas se cortan en un punto.

Para calcular el punto de corte sustituimos el valor de m = - 62 / 11 en las paramtri-cas de r y las igualamos a las parametricas de s.

2 + 2 = 1 + 3 2 - 3 = - 1

- 1 = - 1 + 4 ( ( - 8 - 3 = - 1 ( = 1 / 11

-(-62/11) + 2 = 5 - + 4 = 0

Y sustituyendo en la recta s saco el punto de corte P(1+3/11, -1 + 4/11, 5 1/11)

P( 14/11, - 7/11, 50/11 )

Si B={u1 , u2, u3 } es una base de v3 en donde u1 u1 = 3 ; u2 u2 = 2 ; u3 u3 = 1, u1 u2 = 3 , u1 u3 = 3 , u2 u3 = 6; cunto ha de valer a para que el vector u = 2 u1 + u2 - u3 sea ortogonal al v = u1 - au2 + 2 u3 ?

u