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2.3 Funciones hiperbólicas y sus inversas. Competencia: Realizar cálculos donde se involucren funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas, mediante la utilización de sus propiedades e identidades. Las funciones hiperbólicas están definidas en base a funciones exponenciales. Ejemplo 2.3.1: Encuentra el valor indicado utilizando tres cifras decimales. a) senh(2) b) cosh(-1) c) tanh(3) Definición 2.3.1: Funciones hiperbólicas: a) d) b) c) d) e)

2.3 calculo

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2.3 Funciones hiperbólicas y sus inversas.

Competencia: Realizar cálculos donde se involucren funciones hiperbólicas y funciones

hiperbólicas inversas, mediante la utilización de sus propiedades e identidades.

Las funciones hiperbólicas están definidas en base a funciones exponenciales.

Ejemplo 2.3.1: Encuentra el valor indicado utilizando tres cifras decimales.

a) senh(2) b) cosh(-1) c) tanh(3)

Definición 2.3.1: Funciones hiperbólicas:

a) d)

b) c)

d)

e)

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Al igual que las funciones trigonométricas, las funciones hiperbólicas tienen una serie de

entidades entre ellas que permiten convertir valores de una función hiperbólica a otra.

Ejemplo 2.3.2: Si conocemos que senh(x)=2. Calcula el resto de las funciones hiperbólicas

inversas. Si el resultado no es racional utiliza tres cifras decimales.

Ejemplo 2.3.3: Verifica que la identidad hiperbólica a) es verdadera:

1)()( xx 22 senhcosh .

Ejemplo 2.3.4: Considera la gráfica de la función f(x) = csch(x) que se muestra para obtener

los siguientes valores:

a) csch(a)

b) b)]senh[csch(

c) c)]cosh[csch(

Identidades hiperbólicas:

a) g)

b) h)

c)

i)

d)

j)

e)

k)

f)

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Ahora revisemos las funciones hiperbólicas inversas en base a las funciones

hiperbólicas originales y a las generalidades de las funciones inversas.

Ejemplo 2.3.5: En base a sus gráficas, identifica qué funciones hiperbólicas tienen función

inversa.

Recordatorio: ¿Qué se tiene que cumplir para afirmar que una función g(x) es la inversa de

la función f(x)?

a) .

b) .

c) .

d) .

La respuesta es el inciso d).

Recordatorio: Para que la inversa de una función f(x) exista en un intervalo dado, se requiere

que sea inyectiva. ¿Qué significa esto?

a) Que la función sea siempre creciente o siempre decreciente en el intervalo.

b) Que la función sea creciente y decreciente en el intervalo.

c) Que la función sea siempre positiva en el intervalo.

d) Que la función sea siempre negativa en el intervalo.

La respuesta es el inciso a).

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Solución:

Se observa que la gráfica de la función seno hiperbólico es siempre creciente, por lo tanto

su función inversa existe.

La función coseno hiperbólico es decreciente a la izquierda del eje vertical, y después es

creciente, por lo que su función inversa no existe, al menos en lo que respecta a su

definición original.

La función tangente hiperbólico es siempre creciente, por lo que su función inversa existe.

La función cosecante hiperbólico siempre es decreciente, por lo que su función inversa sí

existe.

La gráfica de la función secante hiperbólico indica que primero es creciente y después del

eje vertical se vuelve decreciente, por lo que su inversa no existe, al menos en lo que

respecta a su función original.

Finalmente, se observa que la función cotangente hiperbólico siempre es decreciente, por

lo tanto su función inversa sí existe.

En el ejemplo anterior se llegó a la conclusión de que las funciones coseno hiperbólico y

secante hiperbólico no eran inyectivas para todo su dominio, por lo que sus funciones inversas

no existen. Ahora revisemos estas mismas funciones pero con su dominio acotado para

números reales: [0, ).

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Con la acotación propuesta, se observa que las funciones son siempre creciente para el

caso de la función secante hiperbólico, y siempre decreciente, para el caso de la función

cosecante hiperbólico, por lo que para estas funciones acotadas, también existen funciones

inversas.

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Si las funciones hiperbólicas están definidas en base a funciones exponenciales naturales, es

de esperarse que las funciones hiperbólicas inversas se puedan expresar en términos de

funciones logarítmicas naturales.

Ejemplo 2.3.6: Las gráficas que se muestran a continuación corresponden a las seis

funciones hiperbólicas inversas. Identifícalas.

Definición 2.3.2: Funciones hiperbólicas inversas:

Función Dominio Rango

a) (-, ) (-, )

b)

[1, ) [0, )

c)

(-1, 1) (-, )

d)

(-, -1) (1, ) (-, 0) (0, )

e)

(0, 1] [0, )

f)

(-, 0) (0, ) (-, 0) (0, )

Recordatorio: ¿Qué característica guarda la gráfica de la inversa de una función con

respecto a la gráfica de la función original?

a) Es un reflejo de la función tomando como referencia el eje horizontal.

b) Es un reflejo de la función tomando como referencia el eje vertical.

c) Es un reflejo de la función tomando como referencia la recta y = x.

d) Es idéntica a la función original.

La respuesta es el inciso c).

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a) b) c)

d) e) f)

Solución:

Para identificar las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas recurrimos a las gráficas de

las funciones hiperbólicas que se muestran en la

definición 2.3.1

a) Corresponde al reflejo con respecto al eje y = x

de la función tangente hiperbólico, por lo tanto se

trata de la función tanh-1(x).

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b) Corresponde al reflejo con respecto al eje y = x de la función cotangente hiperbólico, por lo

tanto se trata de la función coth-1(x).

c) En este caso se trata del reflejo con respecto al eje y = x de la función coseno hiperbólico,

por lo tanto se trata de la función cosh-1(x).

d) El reflejo de esta función con respecto al eje y = x

corresponde al secante hiperbólico, por lo tanto se trata de

la función sech-1(x).

e) Corresponde al reflejo con respecto al eje y = x de la

función seno hiperbólico, por lo tanto se trata de la

función senh-1(x).

f) Esta función es el reflejo con respecto al eje y = x del

cosecante hiperbólico, por lo tanto se trata de la función

csch-1(x).

Ejemplo 2.3.7: Considera las definiciones de las funciones seno hiperbólico y seno

hiperbólico inverso para verificar que se cumple que xxsenh ]senh )([ 1.

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Ejemplo 2.3.8: Considera las gráficas de las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico

inverso que se muestran para determinar los valores indicados. Se pide que sólo utilices las

gráficas para encontrar los valores.

a) senh(1) b) senh-1(-3) c) senh-1(-1)

d) cosh-1[senh(1.44)] e) cosh-1[senh-1(1.18)]

Solución:

En este caso las respuestas se obtendrán sólo de las gráficas, por lo que será necesario

reafirmar las siguientes consideraciones:

Para la gráfica del seno hiperbólico, la coordenada y corresponde al seno hiperbólico

inverso de la coordenada x correspondiente.

Para la misma gráfica del seno hiperbólico, la coordenada x corresponde al seno

hiperbólico inverso de la coordenada y correspondiente.

Para la gráfica del coseno hiperbólico inverso, la coordenada y corresponde al coseno

hiperbólico inverso de la coordenada x correspondiente.

Para la misma gráfica del coseno hiperbólico inverso, la coordenada x corresponde al

coseno hiperbólico de la coordenada y correspondiente.

a) La respuesta se obtiene al observar la gráfica de la función seno hiperbólico y corresponde

al valor de la coordenada y en la gráfica para el cual su coordenada x es 1.

senh(1) =

b) y c) En este caso también la gráfica de la función seno hiperbólico sirve para encontrar el

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resultado, y corresponde al valor de la coordenada x en la gráfica cuya coordenada y es -3.

senh-1(-3) =

senh-1(-1) =

d) Primero se utiliza la gráfica del seno hiperbólico determinando la coordenada y

correspondiente y posteriormente la gráfica del coseno hiperbólico inverso:

cosh-1[senh(1.44)] = cosh-1[2] =

e) Con la gráfica del seno hiperbólico se encuentra el valor del senh-1(1.18) y posteriormente se

utiliza este valor en la gráfica del coseno hiperbólico inverso:

cosh-1[senh-1(1.18)] = cosh-1[1] =

NOTA: Se recomienda utilizar una calculadora para comprobar los valores obtenidos de las gráficas.