Ζύμη: Σε ένα μπολ ανακατεύουμε το χλιαρό νερό, το ελαιόλαδο, τη ζάχαρη και τη μαγιά, μέχρι η μαγιά και η ζάχαρη να διαλυθούν. Αφήνουμε το μπολ για 5 - 7 λεπτά, σε θερμοκρασία δωματίου, μέχρι το μείγμα να αφρίσει. Σε μια λεκάνη ρίχνουμε το αλεύρι, το τυρί και το αλάτι και ανακατεύουμε καλά. Κάνουμε μια λακκούβα στο κέντρο, ρίχνουμε εκεί το μείγμα της μαγιάς και ανακατεύουμε με τα χέρια μας, μέχρι να ενωθούν όλα τα υλικά και σταδιακά να σχηματιστεί ζύμη. Τη ζυμώνουμε για περίπου 6 - 7 λεπτά, μέχρι να γίνει ελαστική και μαλακή. Αν κολλάει στα χέρια μας ρίχνουμε 2 κουτ. σούπας αλεύρι (όχι περισσότερο για να μην σφίξει η ζύμη). Την πλάθουμε σε μπάλα, την αλείφουμε με ελάχιστο ελαιόλαδο και τη βάζουμε σε ένα μπολ. Το σκεπάζουμε χαλαρά με διάφανη μεμβράνη και το αφήνουμε για 1 - 1½ ώρα σε ένα σχετικά ζεστό σημείο (π.χ. κοντά σε καλοριφέρ ή σε παράθυρο που το χτυπά ο ήλιος, μακριά όμως από ρεύματα αέρα), μέχρι να διπλασιαστεί ο όγκος της ζύμης. Στρώνουμε με λαδόκολλα μια μεγάλη λαμαρίνα φούρνου. Κόβουμε τη ζύμη σε δύο ίσα κομμάτια και ανοίγουμε το καθένα με τα δάχτυλά μας, μέσα στο ταψί, σε σχετικά στρογγυλό φύλλο πάχους όχι πάνω από 1/2 εκ. (αν θέλουμε μπορούμε να τα ανοίξουμε με τον πλάστη, σε μια ελαφρώς αλευρωμένη επιφάνεια). Επιφάνεια: Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 200ºC. Σε ένα αντικολλητικό τηγάνι ζεσταίνουμε το ελαιόλαδο σε μέτρια φωτιά. Προσθέτουμε τα μανιτάρια. Δυναμώνουμε καλά τη φωτιά και τα σοτάρουμε για 2 - 3 λεπτά, μέχρι να μαλακώσουν και να σωθούν τα υγρά που θα βγάλουν. Ρίχνουμε τον πελτέ, τη ζάχαρη, τη ρίγανη, αλάτι και πιπέρι και σοτάρουμε για 2 λεπτά, ανακατεύοντας. Αποσύρουμε από τη φωτιά και αφήνουμε τη σάλτσα να κρυώσει. Τη στρώνουμε επάνω στις ζύμες και από πάνω μοιράζουμε τη φέτα και το κασέρι (ή τη γραβιέρα). Πασπαλίζουμε με μπόλικο πιπέρι και βάζουμε το ταψί στο φούρνο. Ψήνουμε τις πίτσες για 20 - 25 λεπτά, μέχρι να λιώσουν τα τυριά και να ροδίσουν οι ζύμες. Τις σερβίρουμε ζεστές. Για 2 μέτριες πίτσες (8 κομματιών έκαστη) Για τη ζύμη
